考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷60(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷60 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设A，B为两个随机事件，其中0＜P(A)＜1，P(B)＞0且P(B｜A)＝P(B｜)，下列结论正确的是( )．

A．P(A｜B)＝P(｜B)

B．P(A｜B)≠P(｜B)

C．P(AB)＝P(A)P(B)

D．P(AB)≠P(A)P(B)

正确答案：C

解析：整理得P(AB)＝P(A)P(B)，选(C)． 知识模块：概率论与数理统计

2． 设随机变量X，Y相互独立，X～U(0，2)，Y～E(1)，则P(X＋Y＞1)等于( )．

A．1－

B．1一e

C．e

D．2e

正确答案：A

解析：由X～U(0，2)，Y～E(1)得再由X，Y相互独立得(X，Y)的联合密度函数为则P(X＋Y＞1)＝1－P(X＋Y≤1)＝1－dxdy 知识模块：概率论与数理统计

3． 若E(XY)＝E(X)E(Y)，则( )．

A．X和Y相互独立

B．X2与Y2相互独立

C．D(XY)＝D(X)D(Y)

D．D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)

正确答案：D

解析：因为E(XY)＝E(X)E(Y)，所以Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0，而D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2Cov(X，Y)，所以D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)，选(D)． 知识模块：概率论与数理统计

4． 以下命题正确的是( )．

A．若事件A，B，C两两独立，则三个事件一定相互独立

B．设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B独立，则A，B一定互斥

C．设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B互斥，则A，B一定独立

D．A，B既互斥又相互独立，则P(A)＝0或P(B)＝0

正确答案：D

解析：当P(A)＞0，P(B)＞0时，事件A，B独立与互斥是不相容的，即若A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＞0，则A，B不互斥；若A，B互斥，则P(AB)＝0≠P(A)P(B)，即A，B不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)． 知识模块：概率论与数理统计

5． 设随机变量X，Y相互独立，它们的分布函数为FX(x)，FY(y)，则Z＝min(X，Y)的分布函数为( )．

A．FZ(z)＝max{FX(z)，FY(z)}

B．FZ(z)＝min{FX(z)，FY(z)}

C．FZ(z)＝1－[1－FX(z)]［1－FY(z)]

D．FZ(z)＝FY(z)

正确答案：C

解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P{min(X，Y)≤z}＝1－P{min(X，Y}＞z}＝1－P(X＞z，Y＞z)＝1－P(X＞z)P(Y＞z)＝1－[1－P(X≤z)][1－P(Y≤z)]＝1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，选(C)． 知识模块：概率论与数理统计

6． 设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记则服从t(n～1)分布的随机变量是( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析： 知识模块：概率论与数理统计

填空题

7． 设P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(AB)＝0，P(AC)＝P(BC)＝，则A，B，C都不发生的概率为______．

正确答案：

解析：A，B，C都不发生的概率为＝1－P(A＋B＋C)，而ABCAB且P(AB)＝0，所以P(ABC)＝0，于是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)＝，故A，B，C都不发生的概率为． 知识模块：概率论与数理统计

8． 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E(X－1)(X＋2)]＝8，则λ

＝______．

正确答案：

解析：由随机变量X服从参数为λ的指数分布，得E(X)＝于是E(X2)＝D(X)＋[E(x)]2＝，而E[(X－1)(X＋2)]＝E(X2)＋E(X)－2＝． 知识模块：概率论与数理统计

9． 随机变量X的密度函数为f(x)＝则D(X)＝______．

正确答案：

解析：E(X)＝∫－∞＋∞xf(x)dx＝∫－10x(1＋x)dx＋∫01x(1－x)dx＝0，E(X2)＝∫－11x2(1－｜x｜)dx＝2∫01x2(1－x)dx＝，则D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝． 知识模块：概率论与数理统计

10． 设常数a∈[0，1]，随机变量X～U[0，1]，Y＝｜X－a｜，则E(XY)＝______．

正确答案：

解析：E(XY)＝E[X｜X－a｜]＝∫01x｜x－a｜f(x)dx 知识模块：概率论与数理统计

11． 设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，X10为总体的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)＝______．

正确答案：

解析： 知识模块：概率论与数理统计

12． 设A，B是两个随机事件，P(A｜B)＝0．4，P(B｜A)＝0．4，＝0．7，则P(A＋B)＝______．

正确答案：

解析：因为P(A｜B)＝0．4，P(B｜A)＝0．4，所以P(A)＝P(B)且P(AB)＝0．4P(A)，解得P(A)＝P(B)＝，于是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝． 知识模块：概率论与数理统计

13． 设随机变量X的概率密度为fX(x)＝(－∞＜x＜＋∞)，Y＝X2的概率密度为______．

正确答案：

解析：FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2≤y)当y≤0时，FY(y)＝0；当y＞0时，FY(y)＝P(X2≤y)＝P 知识模块：概率论与数理统计

14． 设随机变量X～P(λ)，且E[(X－1)(X－2)]＝1，则λ＝______．

正确答案：1

解析：因为X～P(λ)，所以E(X)＝λ，D(X)＝λ，故E(X2)＝D(X)＋E[(X)]2＝λ2＋λ．由E[(X－1)(X－2)]＝E(X2－3X＋2)＝E(X2)－3E(X)＋2＝λ2＋2λ＋2＝1得λ＝1． 知识模块：概率论与数理统计

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X表示3个球中的新球个数，求X的分布律与分布函数．

正确答案：X的可能取值为1，2，3，所以X的分布律为X～ 涉及知识点：概率论与数理统计

16． 袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次取1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：(1)第一次抽取后放回； (2)第一次抽取后不放回．

正确答案：(1)(X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)． 涉及知识点：概率论与数理统计

17． 设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间为5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时问Y的分布．

正确答案：因为X～E(λ)，所以E(X)＝＝5，从而λ＝，根据题意有Y＝min(X，2)．当y＜0时，F(y)＝0；当y≥2时，F(y)＝1；当0≤y＜2时，F(y)＝P(Y≤y)＝P{min(X，2)≤y}＝P(X≤y)＝1－，故Y服从的分布为F(y)＝ 涉及知识点：概率论与数理统计

18． 设X～f(x)＝对X进行独立重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求E(Y2)．

正确答案：Y～B(4，p)，其中p＝P(X＞，E(Y2)＝D(Y)＋[E(Y)]2＝5． 涉及知识点：概率论与数理统计

19． 某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，用X表示抽取的100个索赔户中被盗索赔户的户数．(1)求X的概率分布；(2)用拉普拉斯定理求被盗户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值．

正确答案：(1)X～B(100，0．2)，即X的分布律为P(X＝k)＝C100k0．2k．0．8100－k(k＝0，1，2，…，100)．(2)E(X)＝20，D(X)＝16，P(14≤X≤30)＝≈Ф(2．5)－Ф(－1．5)＝0．927． 涉及知识点：概率论与数理统计

20． 设某元件的使用寿命X的概率密度为f(x；θ)＝其中θ＞0为未知参

数．又设(x1，x2，…，xn)是样本(X1，X2，…，Xn)的观察值，求参数θ的最大似然估计值．

正确答案：参数θ的似然函数为L(θ)＝，当xi＞θ(i＝1，2，…，n)时，1nL(θ)＝nln2－2(xi－θ)，因为lnL(θ)＝2n＞0，所以lnL(θ)随θ的增加而增加，因为θ＜Xi(i＝1，2，…，n)，所以参数θ的最大似然估计值为＝min{x1，x2，…xn}． 涉及知识点：概率论与数理统计

21． 设一设备在时间长度为t的时间内发生故障的次数N(t)～P(λt)．(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2)求设备在无故障工作8小时下，再无故障工作8小时的概率．

正确答案：(1)T的概率分布函数为F(t)＝P(T≤t)，当t＜0时，F(t)＝0；当t≥0时，F(t)＝P(T≤t)＝1－P(T＞t)＝1－P(N＝0)＝1－e－λt，所以F(t)＝即T～E(λ)．(2)所求概率为p＝P(T≥16｜T≥8)＝ 涉及知识点：概率论与数理统计

22． 设随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)＝(1)求P(X＞2Y)； (2)设Z＝X＋Y，求Z的概率密度函数．

正确答案：(1)P{X＞2Y}＝f(x，y)dxdy＝dy∫2y1(2－x－y)dx＝(2)FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(X＋y≤z)＝f(x，y)dxdy．当z＜0时，FZ(z)＝0；当0≤z＜1时，FZ(z)＝∫0zdy∫0z－y(2－x－y)dx＝z2－；当1≤z＜2时，FZ(z)＝1－∫z－11dy∫z－y1(2－x－y)dx＝1－；当z≥2时，FZ(z)＝1． 涉及知识点：概率论与数理统计

23． 某商店经销某种商品，每周进货数量X与顾客对该种商品的需求量Y之间是相互独立的，且都服从[10，20]上的均匀分布．商店每出售一单位商品可获利1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．

正确答案：设R为商店每周的利润，则有R＝因为X，Y相互独立且都服从[10，20]上的均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 涉及知识点：概率论与数理统计

24． 电信公司将n个人的电话资费单寄给n个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量X表示收到自己电话资费单的人的个数，求E(X)及D(X)．

正确答案：令Ai＝{第i个人收到自己的电话资费单}，i＝1，2，…，n，Xi＝，i＝1,2，…n，则X＝X1＋X2＋…＋Xn．P(Xi＝0)＝，P(Xi＝1)＝E(Xi)＝E(Xi2)＝(i＝1，2，…n)E(X)＝E(Xi)＝1；当i≠j时，P(Xi＝1，Xj＝1)＝P(AiAj)＝P(Ai)P(Aj｜Ai)＝，Cov(Xi，Xj)＝E(XiXj)－E(Xi)E(Xj)＝(i≠j) 涉及知识点：概率论与数理统计