运筹学的实际应用
——最短路问题
一、主题概述
所谓最短路问题是指给定起点及终点,并知道由起点到终点的各种可能的路
径,问题是要找一条由起点到终点的最短的路,即长度最短的路。需要指出的是 最短路问题中的“度”可以是通常意义下的距离,也可以是运输的时间或者运输 费用等等。而且,有些与运输根本没有关系的问题也可以化为求最短路的模型,例如求关键路径。在经济快速发展的现代化时代，效率显得尤为重要，则最短路为题显现出了它的重要性，如何才能使在相同的条件下，达到预定的效果，并且成本最低呢，这就需要我们建立模型，分析它，把它与实际联系在一起，让它服务于我们。
二、建立模型
例1：最短运输路线问题
如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？
引例2：最廉价航费表的制定
某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。
三、编写程序
例1
function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal)
n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start;
for i=1:n 055252510550102025251001020402010015252015050102540500 if i~=start
label(i)=inf;
end, end
s(1)=start; u=start;
while length(s)
for i=1:n
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运筹学的应用与发展
作者：吕 游
来源：《活力》2010年第06期
[关键词]运筹学;应用;发展
何谓“运筹学”?它的英文名称是Operations Research,直译为“作业研究”,就是研究在经营管理活动中如何行动,如何以尽可能小的代价,获取尽可能好的结果,即所谓“最优化”问题,这就极为恰当地概括了这门学科的精髓。
在人类历史的长河中,运筹谋划的思想俯拾皆是,精典的运筹谋划案例也不鲜见。像“孙子兵法”就是我国古代战争谋略之集大成者;像诸葛亮更是家喻户晓的一代军事运筹大师。然而,把“运筹学”真正当成一门科学来研究,则还只是近几十年来的事。第二次世界大战中,英美等国抽调各方面的专家参与各种战略战术的优化研究工作,获得了显著的成功,大大推进了胜利的进程。战后,从事这些活动的许多专家转到了民用部门,使运筹学很快推广到了工业企业和政府工作的各个方面,从而促进了运筹学有关理论和方法的研究和实践,使得运筹学迅速发展并逐步成熟起来。
运筹学发展到现在了虽然只有五千多年的历史,但运筹学在物流当中的应用已經日渐成熟,物流学是一门综合性、应用性、系统性和拓展性很强的科学。物流学是研究物料流、人员流、信息流和能量流的计划、调节和控制的科学。
物流学与运筹学作为一门正式的学科都始于二战期间,从一开始,两者就密切地联系在一起,相互渗透和交叉发展。与物流学联系最为紧密的理论有:系统论、运筹学、经济管理学,运筹学作为物流学科体系的理论基础之一,其作用是提供实现物流系统优化的技术与工具,是系统理论在物流中应用的具体方法。
以下总结一些当前运筹学在物流领域中应用较多的几个方面。
(一)数学规划论
数学规划论主要包括线性规划、非线性规划、整数规划、目标规划和动态规划。研究内容与生产活动中有限资源的分配有关,在组织生产的经营管理活动中,具有极为重要的地位和作用。它们解决的问题都有一个共同特点,即在给定的条件下,按照某一衡量指标来寻找最优方案,求解约束条件下目标函数的极值(极大值或极小值)问题。具体来讲,线性规划可解决物资调运、配送和人员分派等问题;整数规划可以求解完成工作所需的人数、机器设备台数和厂、库的选址等;动态规划可用来解决诸如最优路径、资源分配、生产调度、库存控制、设备更新等问题。 龙源期刊网
运筹学实例分析及lingo求解
一、线性规划
某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8
W1 6 2 6 7 4 2 5 8
W2 4 9 5 3 8 5 8 2
W3 5 2 1 9 7 4 3 3
W4 7 6 7 3 9 2 7 1
W5 2 3 9 5 7 2 6 5
W6 5 5 2 2 8 1 4 3
试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。
解：设ijx表示从第i个仓库到第j个客户的货物运量。ijc表示从第i个仓库到第j个客户的单位货物运价，ia表示第i个仓库的最大供货量，jd表示第j个客户的订货量。
目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束
数学模型为：
6181)(minijijijxcxf
08,,2,1,6,2,1,,..6181ijjiijijijxjdxiaxts
编程如下：
model:
Sets:
Wh/w1..w6/:ai;
Vd/v1..v8/:dj; links(wh,vd):c,x;
endsets
Data:
ai=60,55,51,43,41,52;
dj=35,37,22,32,41,32,43,38;
c=6,2,6,7,4,2,5,9
4,9,5,3,8,5,8,2
5,2,1,9,7,4,3,3
7,6,7,3,9,2,7,1
2,3,9,5,7,2,6,5
5,5,2,2,8,1,4,3;
Enddata
Min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));
第 1 页 共 2 页 运筹学单纯形法例题求解过程
（原创版）
目录
一、运筹学单纯形法的基本概念
二、运筹学单纯形法的求解步骤
1.确定基变量和初始基本可行解
2.编制初始单纯形表
3.判断基本可行解是否为最优解
4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解
5.重新计算机会费用和检验数
三、运筹学单纯形法的应用实例
正文
一、运筹学单纯形法的基本概念
运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它是基于数学和统计学的理论基础，通过逐步优化算法，寻找线性规划问题中最优解的一种方法。线性规划问题是指在一定约束条件下，寻求目标函数的最小值或最大值的问题。而单纯形法是线性规划问题中最常用的求解方法之一，它通过迭代计算，不断优化基变量，从而得到问题的最优解。
二、运筹学单纯形法的求解步骤
1.确定基变量和初始基本可行解
在求解线性规划问题时，首先需要确定问题的基变量，即在所有变量中选择若干个变量作为基变量。基变量的选取可以通过寻找单位矩阵的方法来确定。确定基变量后，可以求出初始基本可行解，即满足所有约束条件的变量值组合。 第 2 页 共 2 页 2.编制初始单纯形表
根据初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。单纯形表是一个包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件常数项和检验数等元素的矩阵表。
3.判断基本可行解是否为最优解
在求解过程中，需要判断基本可行解是否为最优解。这可以通过检验数来进行。检验数是指非基变量与对应约束条件的乘积，如果所有非基变量的检验数都小于等于 0，说明已经达到最优解。否则，需要继续迭代求解。
4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解
如果基本可行解不是最优解，需要通过迭代求解来寻找下一个使目标函数更优的基本可行解。迭代过程中，需要确定换入变量和换出变量，然后根据换入变量和换出变量生成新的单纯形表，并重新计算机会费用和检验数。
