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[讲解]运筹学应用例题

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线性规划在工商管理中的应用00000000000

一、人力资源分配的问题00000000000

例1 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表

所示：0000000000 班次 时间 所需人数

1 06：00——10：00 60

2 10：00——14：00 70

3 14：00——18：00 60

4 18：00——22：00 50

5 22：00——02：00 20

6 02：00——06：00 30

设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班；并连续工作8小时，问该公

交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人

员的人数最少？0000000000

例2 一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示：00000000000

时间 所需售货员人数

星期一 15

星期二 24

星期三 25

星期四 19

星期五 31

星期六 28

星期日 28

为了保证售货员充分休息，要求售货员每周工作五天，休息两天，并要求休

息的两天是连续的，问应该如何安排售货员的休息日期，既能满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？0000000000

二、生产计划问题0000000000

例3 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司有甲、乙、丙三

种产品，这三种产品都要经过铸造、机械加工和装配三道工序。甲、乙两种产品

的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能保证质量。

有关情况如下表所示，公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机械加工12000

小时和装配10000小时。为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各应生产多少

件？甲、乙两种产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外包协作？00000000000

工时与成本 甲 乙 丙

单位铸造工时 5 10 7

单位机械加工工时 6 4 8

单位装配工时 3 2 2

自行生产铸件单位成本 3 5 4

外包协作铸件单位成本 5 6 —

机械加工单位成本 2 1 3

装配单位成本 3 2 2

单位产品售价 23 18 16

三、套裁下料问题0000000000

例4 某工厂要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9米、2.1米、和1.5

米的圆钢各一根。已知原料每根长7.4米，问应如何下料，可使所用原料最省？

0000000000

四、配料问题00000000000

例5 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如下表所

示：0000000000 问该厂应如何安排生产，才能使利润最大？00000000000 产品名称 规格要求 单价（元/千克）

甲 原材料1不少于50%

原材料2不超过25% 50

乙 原材料1不少于25%

原材料2不超过50% 35

丙 不限 25

原材料名称 每天最多供应量(千克) 单价（元/千克）

1 100 65

2 100 25

3 60 35

五、投资问题00000000000

例6 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资：00000000000

项目A：从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；

0000000000

项目B：从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，

但规定每年最大投资额不能超过30万元；00000000000

项目C：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定每年最

大投资额不能超过80万元；0000000000

项目D：第二年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定每年最

大投资额不能超过100万元。0000000000

据测定每次投资1万元的风险指数如下表所示：00000000000 项目 风险系数（投资1万元

A 1

B 3

C 4

D 5.5

（1）应如何确定这些项目每年的投资额，从而使得第五年末拥有资金的本

利金额最大？0000000000

（2）应如何确定这些项目每年的投资额，从而使得第五年末拥有资金的本

利金额在330万的基础上总的风险系数最小？00000000000

运输问题的应用00000000000

一、产销不平衡的运输问题0000000000

例1 石家庄北方研究院有三个区，即一区、二区、三区，每年分别需要生活用

煤和取暖用煤3000吨，1000吨，2000吨，由河北临城，山西盂县两处煤矿负责

供应。这两处煤矿的价格相同，煤的质量也基本相同。两处煤矿能供应北方研究

院的煤的数量，山西盂县为4000吨，河北临城为1500吨，由煤矿至北方研究院

的单位运价（百元/.吨）如下表：00000000000 销地

运输单价 一区 二区 三区

产地

山西盂县 1.80 1.70 1.55

河北临城 1.60 1.50 1.75

由于需大于供，经院研究院平衡决定一区供应量可减少0—300吨，二区需要量应全部满足，三区供应量不少于1500吨，试求总运费为最低的调运方案。

0000000000

例2

设有

三个

化肥

厂供

应四

个地

区的

农用化肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化肥厂年产量、各地区

年需求量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价如下表，试求出总的运费最

节省的化肥调拨方案.0000000000 销地 运输单价 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 产量

产地

Ａ 16 13 22 17 50

Ｂ 14 13 19 15 60

Ｃ 19 20 23 — 50

最低需求 30 70 0 10

二、生产与储存问题00000000000

例1 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规

格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示。

又如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。要求在完成合同的情况下，做出使该厂全年生产（包括储存和维护）

费用最小的决策。0000000000 季度 生产能力 单位成本

Ⅰ 25 10.8

Ⅱ 35

11.1

Ⅲ 30 11.0

Ⅳ 10 11.3

最高需求 50 70 30 不限 运输问题的表上作业法00000000000

例 某食品公司有三个生产面包的分厂，有四个销售公司，其各分厂每日的产量、

各销售公司每日的销售以及各分厂到各销售公司的单位运价如下表所示：

00000000000

运价 销地

产地 1B 2B 3B 4B 产量

1A 3 11 3 10 7

2A 1 9 2 8 4

3A 7 4 10 5 9

销量 3 6 5 6

在表中产量和销量的单位为吨，运价的单位为百元/吨. 问该公司在满足各消点需

求量的前提下应如何调运产品，使总运费最少？00000000000

整数规划的应用00000000000

例 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量，可

获得利润以及托运所受限制如下表所示：0000000000

甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大。

0000000000

货物 单位体积 单位重量 单位利润

甲 195 4 2

乙 273 40 3

托运限制 1365 140 一、投资场所的选择00000000000

例 京城畜产品公司计划在市区的东、南、西、北四区建立销售门市部，拟议中

有10个位置10,,2,1iAi可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居

住密集度，规定： 0000000000

在东区由321,,AAA三个点至多选择两个；0000000000

在西区由54,AA两个点中至少选一个；0000000000

在南区由76,AA两个点中至少选一个；；0000000000

在北区由1098,,AAA三个点至少选择两个；0000000000

iA各点的设备投资及每年可获得利润由于地点不同都是不一样的，预测情

况如下表所示：0000000000 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10A

投资额 100 120 150 80 70 90 80 140 160 180

利 润 36 40 50 22 20 30 25 48 58 61

投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使得年利润为

最大？0000000000

二、固定成本问题00000000000

例 高压容器公司制作小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳

动力和机器设备，制作一个容器所需的各种资源的数量如下表所示：00000000000

资源 小号容器 中号容器 大号容器

金属板 2 4 8

劳动力 2 3 4

机器设备 1 2 3

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万有引力定律公式讲解、例题及其应用

万有引力定律公式讲解、例题及其应用

万有引力定律及其应用

知识网络:

教学目标：

1．掌握万有引力定律的内容并能够应用万有引力定律解决天体、卫星的运动问题

2．掌握宇宙速度的概念

3．掌握用万有引力定律和牛顿运动定律解决卫星运动问题的基本方法和基本技能

教学重点：万有引力定律的应用

教学难点：宇宙速度、人造卫星的运动

教学方法：讲练结合，计算机辅助教学

教学过程：

一、万有引力定律：（1687年）

221rmmGF

适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211/1067.6kgmNG

二、万有引力定律的应用

1．解题的相关知识：

（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222rvmrMmG＝rTm224rm2；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G2RmM ＝mg从而得出GM＝R2g。

（2）圆周运动的有关公式：＝T2，v=r。

讨论： 万有引力定律 天体运动

地球卫星 ①由222rvmrMmG可得：rGMv r越大，v越小。

②由rmrMmG22可得：3rGM r越大，ω越小。

③由rTmrMmG222可得：GMrT32 r越大，T越大。

④由向marMmG2可得：2rGMa向 r越大，a向越小。

点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。

2．常见题型

万有引力定律的应用主要涉及几个方面：

（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）

由rTmrMmG222 得2324GTrM

又334RM 得3233RGTr

初二整式的乘法例题讲解及其应用

初二整式的乘法例题讲解及其应用

.\

教学内容 （一）整式的指数运算 （二）单项式相乘 （三）单项式乘多项式

一、巩固与提升

1、下列各式中，①233xy与32yx、②22xyz与22xyz、③5x与xy、④5与8、⑤23xyz与3229yxz是同类项的组数有（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

2、如果代数式4252yy的值为7，那么代数式212yy的值等于（ ）

A、2 B、3 C、2 D、4

3、计算

（1）1123mmmmabab （2）（2x3－3x2＋6x＋5）－2（x3－6x＋9）

二、我仍需要继续关注的问题是

一、同步知识梳理

一、同底数幂的乘法：

同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即nmnmaaa（ｍ、ｎ都是正整数）。

注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，即ａm·ａn·ａp＝ａm+n+p（ｍ、ｎ、ｐ都是正整数）。 .\

（２）运算性质可以逆运用，即ａm+n＝ａm·ａn。

（３）幂的底数ａ可以是单项式，也可以是多项式。

二、幂的乘方与积的乘方：

（１）幂的乘方法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（ｍ、ｎ都是正整数）。

注意：（１）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。

（２）此性质可以逆运用，即()()mnmnnmaaa==。

（２）积的乘方法则：

积的乘方，等于各因数乘方的积，即mmmbaab)(（ｎ为正整数）。

注意：（１）这一运算性质可推广到三个或三个以上的因数的积的乘方，即（ａｂｃ）n ＝ａn·ｂn·ｃn（ｎ为正整数）。

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

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北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

2 北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

知识网络：

目标认知

考试大纲要求：

1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；

2.掌握常见的求数列通项的一般方法；

3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题.

4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.

重点：

1.掌握常见的求数列通项的一般方法；

3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题

难点：

3 用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.

知识要点梳理

知识点一：通项与前n项和的关系

任意数列的前n项和；

注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：

（1）求，

（2）求出当n≥2时的，

（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.

知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法

1.迭加累加法：

，

则，，…，

2.迭乘累乘法：

4 ，

则，，…，

知识点三：数列应用问题

1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2.建立数学模型的一般方法步骤.

①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：

⑴明确问题属于哪类应用问题；

⑵弄清题目中的主要已知事项；

⑶明确所求的结论是什么.

②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.

③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如

《运筹学》复习参考资料

《运筹学》复习参考资料

第 1 页 共 29 页 《运筹学》复习参考资料

资料加工、整理人——杨峰（函授总站高级讲师）

要求掌握的各部分知识点

第一部分 线性规划问题的求解（相当于教材的第一章）

——重要算法：单纯形迭代、大M法单纯形迭代、表上作业法、匈牙利法

第二部分 动态规划问题的求解（相当于教材的第三章）

——重要算法：图上标号法

第三部分 网络分析问题的求解（相当于教材的第四章）

——重要算法：破圈法、TP标号法、寻求网络最大流的标号法

第四部分 存储论简介（相当于教材的第七章）

※杨老师关于学习方法的提示：《运筹学》属于应用数学的范畴，本门课程在管理类本科生层次开设时，又称“管理运筹学”，是现代数学理论和计算机技术应用于管理科学的新兴学科。非应用数学系（专业）学生学习本门课程之前务必先具备“高数Ⅱ”（线性代数、概率论与数理统计）的知识基础。学员同志们通过学习，必须领会数学建模的思想、系统工程的思想。

非全日制学生学习时，只要求知道若干典型数学模型及其算法的操作，即只须明白“怎样做”，而不必去过问“为什么”要这样做。 第 2 页 共 29 页 第一部分 线性规划问题的求解

一、两个变量的线性规划问题的图解法：

㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。

定义：达到目标的可行解为最优解。

㈡图解法：

图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。1、将约束条件（取等号）用直线绘出；

2、确定可行解域；

3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；

注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。

4、确定最优解及目标函数值。

㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）

例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：