第四节：实对称矩阵的对角化

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实对称矩阵的正交相似对角化

作者：舒阿秀

来源：《教育教学论坛》2017年第12期

摘要：矩阵的对角化问题是高等代数研究的核心问题之一，本文主要针对实对称矩阵，讨论了它既合同又相似于对角阵的三种方法，并具体举例说明.

关键词：实对称矩阵；对角化；正交

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）12-0208-02

矩阵对角化问题是代数学和矩阵论中最基本的问题之一.将一个实对称矩阵合同对角化的方法实际就是求二次型标准形的方法，即通过坐标变换（或者配方）的方法来实现的；将一个实对称矩阵相似对角化的方法与一般矩阵的相似对角化方法相同，本文不再赘述；下面我们重点研究将一个实对称矩阵既合同又相似对角化的方法.这里主要介绍三种，分别是Schmidt正交法、直接正交法和度量矩阵法.

一、Schmidt正交法

二、直接正交法

当实对称矩阵A的某一特征根λ为t（t>1）重根时，我们可以求出属于λ的t个特征向量，要得到t个彼此正交的单位特征向量，可以直接从特征子空间中求出正交向量，然后单位化即可.且当特征根的重数较大时，能够大大减少计算量.

三、度量矩阵法

使用该方法时，需要对度量矩阵和合同变换有清晰的了解.利用正定矩阵合同于单位矩阵，求的原基与新基之间的“过渡矩阵”是该方法的关键.

参考文献：

[1]北京大学数学系.高等代数[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]王萼芳，石生明.高等代数辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2007. 龙源期刊网

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第四节 实对称矩阵的相似对角矩阵

从第二节我们看到，不是每一个矩阵都能相似于对角矩阵。本节我们讨论一种特殊的方阵—实对称矩阵，它必能相似于对角矩阵。而且它还能正交相似于对角矩阵。

一、实对称矩阵的特征值与特征向量

实对称矩阵的特征值与特征向量具有下列性质

性质4.4 实对称矩阵的特征值全是实数。

证 设矩阵A为实对称矩阵，即A为实矩阵，且AAT，设为A的特征值，为对应的特征向量，则有 A

两端取其共轭：

A

因而，

TTTAA)(

TTA

又

TTA)(

故

0)(T 设naaa21，则有021niiTa，因而，



即为实数。

性质4.5 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。

证 设21,为实对称矩阵A的两个不同的特征值，21,分别为它们对应的特征向量，则

222111,AA

对第二式取转置得 TTTTAA2222

故12112122TTTA

因而

0)(1212T

由于21，所以，

0],[1221T

即21,正交。

定理4.6 设A为n阶实对称矩阵，为A的特征方程的r重根，则矩阵AE的秩为rn，从而对应特征值恰有r个线性无关的特征向量。

这个定理不予证明。

定理4.7 设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得

AQQAQQT1

nn,,,,2121为A的特征值。

证 设A的互不相等的特征值为s,,,21，它们的重数依次为snnn,,21（nnnns21）。

根据性质4.4及定理4.6知，对应特征值i（i=1~s），恰有in个线性无关的特征向量，把它们正交化并单位化，即得in个单位正交的特征向量。有nnnns21，知这样的特征向量共可得n个。

实对称矩阵的正交对角化

摘 要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。

关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化

作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。

Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。 下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。

（1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。

（2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A-λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。

Ii：αi1，αi2，…，αini

则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。

令P1=（I1，I2，…，Ik），

则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。

（3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。

Ji：ei1，ei2，…，eini

则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。

说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini

1 ４－４ 实对称矩阵的对角化

一、共轭矩阵及其性质［Ｐ１７９：６－１４行 了解］

复习：复数＝ａ＋ｂｉ的共轭复数＝ａ－ｂｉ。

定义：对矩阵Ａ＝nmija，称A＝nmija为矩阵Ａ的共轭矩阵，其中ija是ija的共轭复数。

性质：对任意矩阵Ａ，Ｂ，及任意数λ，有

AB＝BA，AA，Ａ为实矩阵A＝Ａ。

二、实对称矩阵及其性质

定义：若实方阵Ａ是对称矩阵，称Ａ为实对称矩阵。

定理４．５ 实对称矩阵的特征值都是实数。

即：ｎ阶实对称矩阵有ｎ个实特征值（重根按重数计算）。

证明：Ｐ１７９：－１２行－Ｐ１８０：８行。 了解。不证明。

说明：据定理４．５，在研究实对称矩阵的时候，所有特征值和特征向量都是实的。［看一下Ｐ１８１例４．７，Ｐ１８３例４．８，帮助理解］

定理４．６ 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。

证明：Ｐ１８０：－１３行至－４行，了解。

对比：Ｐ１５８；性质４。

正交向量组必线性无关；但是线性无关的向量组未必正交。

定理４．７ 实对称矩阵的属于每一个ｋ重特征值的线性无关的特征向量正好有ｋ个。即，如果Ａ是实对称矩阵，0是Ａ的一个ｋ重特征值，那么（0Ｅ－Ａ）Ｘ＝０的基础解系恰好含有ｋ个向量。

结论：依据定理４．７和定理４．６：ｎ阶实对称矩阵有ｎ个线性无关的特征向量，故

实对称矩阵必可对角化。

三、任意实对称矩阵Ａ，总可以求出一个正交矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝ＰＴＡＰ为对角形，且主对角线上元恰好是Ａ的全部特征值。［熟记］

原理：Ｐ１８１：３－１０行 了解

步骤：Ｐ１８６：－１５行－Ｐ１８７：１行 掌握

例４．７ (类型：３阶实对称矩阵有３个互不相同的特征值［讲］)

解：AE＝20212022＝86323＝)82)(1(2

＝)4)(2)(1(