对称阵的对角化

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实对称矩阵的正交相似对角化

作者：舒阿秀

来源：《教育教学论坛》2017年第12期

摘要：矩阵的对角化问题是高等代数研究的核心问题之一，本文主要针对实对称矩阵，讨论了它既合同又相似于对角阵的三种方法，并具体举例说明.

关键词：实对称矩阵；对角化；正交

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）12-0208-02

矩阵对角化问题是代数学和矩阵论中最基本的问题之一.将一个实对称矩阵合同对角化的方法实际就是求二次型标准形的方法，即通过坐标变换（或者配方）的方法来实现的；将一个实对称矩阵相似对角化的方法与一般矩阵的相似对角化方法相同，本文不再赘述；下面我们重点研究将一个实对称矩阵既合同又相似对角化的方法.这里主要介绍三种，分别是Schmidt正交法、直接正交法和度量矩阵法.

一、Schmidt正交法

二、直接正交法

当实对称矩阵A的某一特征根λ为t（t>1）重根时，我们可以求出属于λ的t个特征向量，要得到t个彼此正交的单位特征向量，可以直接从特征子空间中求出正交向量，然后单位化即可.且当特征根的重数较大时，能够大大减少计算量.

三、度量矩阵法

使用该方法时，需要对度量矩阵和合同变换有清晰的了解.利用正定矩阵合同于单位矩阵，求的原基与新基之间的“过渡矩阵”是该方法的关键.

参考文献：

[1]北京大学数学系.高等代数[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003.

[2]王萼芳，石生明.高等代数辅导与习题解答[M].北京：高等教育出版社，2007. 龙源期刊网

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软件２０１３年第３４卷第９期　ＳＯＦＴＷＡＲＥ　国际ＩＴ传媒品牌　

两个实对称阵同时正交对角化的ＭＡＴＬＡＢ程序　

罗晓丹，王积社　

（韩山师范学院数学与统计学系，广东潮州５２１０４１）　

摘要：使用Ｍａｄａｂ语言设计出实现两个实对称阵同时正交相似对角化的计算机程序。　关键词：同时正交相似对角化；Ｍａｄａｂ；程序　中图分类号：Ｏ１５１．２，０２４４　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００３—６９７０．２０１３．０９．０２４　本文著录格式：［１】罗晓丹，王积社．两个实对称阵同时正交对角化的ＭＡＴＬＡＢ程序Ⅱ】．软件，２０１３，３４（９）：７８—８０　

Ｔｈｅ　Ｍａｔｌａｂ　Ｐｒｏｇｒａｍ　ｏｆ　Ｔｗｏ　Ｒｅａｌ　Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　Ｍａｔｒｉｃｅｓ　Ｗｈｉｃｈ　ｔｏ　Ｂｅ　Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ　Ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ　Ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ　

ＬＵＯ　Ｘｉａｏ—ｄａｎ，ＷＡＮＧ　Ｊｉ—ｓｈｅ　（ＨａｎｓｈａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｃｈａｏｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　５２１０４１，Ｃｈｉｎａ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｕｓｉｎｇ　Ｍａｔｌａｂ　ｌａｎｇｕａｇｅ　ｔｏ　ｄｅｓｉｇｎ　ａ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｐｒｏｇｒａｍ　ｔｈａｔ　ｃａｎ　ａｃｈｉｅｖｅ　ｔｈｅ　ｇｏａｌ　ｏｆｔｗｏ　ｒｅａｌ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｍａｔｒｉｘ　ｗｈｉｃｈ　ｔｏ　ｂｅ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ　ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ．　［Ｋｅｙｗｏｒｄ］ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ　ｄｉａｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ；Ｍａｔｌａｂ；ｐｒｏｇｒａｍ　

０引言　

实对称矩阵正交对角化是重要的数学方法，但其求解过程　非常繁琐，尤其多个矩阵同时正交对角化问题，更使人望之生畏。　因此本文研究实现两个实对称矩阵同时正交相似对角化的算法　

实对称矩阵的正交对角化

摘 要：实对称矩阵一定可以对角化，并且可以要求相似变换矩阵是正交矩阵，即实对称矩阵可以正交对角化。本文对该正交矩阵的构成进行了说明，并做了详细的解释。

关键词：实对称矩阵；正交对角化；特征值；特征向量；正交规范化

作为数学基础课之一，线性代数是最抽象、最难的一门课。线性代数的难点在于不同章节之间隐藏的联系，只有把这种联系在各个章节之间打通，才能真正地学好线性代数。在学习的过程中，基础要扎实，遇到问题要寻根究底，对于一些证明过程要真正弄明白。如果对一些本来就比较难的部分，证明过程解释的比较粗糙，学生就会对内容感觉似是而非，从而导致学生基础不牢，只能靠死记硬背。因此，教师在上课过程中，应对一些重点内容进行必要的解释。本文就实对称的正交对角化，正交矩阵的构成过程进行了详细的解释，希望能帮助学生真正地理解这部分内容。

Th设A是实对称矩阵，则A可正交对角化，即存在正交矩阵P，使P-1AP=PTAP=∧。 下面说明正交矩阵的求解过程：先求一般的相似变换矩阵P1，然后由P1构造正交矩阵P，使P仍然是相似变换矩阵。

（1）由|A-λE|=0求A的k（k≤n）个不同的特征值λ1，λ2，…，λk，重数分别为n1，n2，…，nk，则■ni=n。

（2）对于A的每一个ni重特征值λi，由（A-λiE）x=0求基础解系Ii――含ni个向量。

Ii：αi1，αi2，…，αini

则Ii为A的对应于特征值λi的ni个线性无关的特征向量。

令P1=（I1，I2，…，Ik），

则P1可逆，且P-11AP1=∧=diag（■，■，…，■）。

（3）对上述每组基础解系Ii分别进行正交规范化得向量组Ji。

Ji：ei1，ei2，…，eini

则Ji为A的对应于特征值λi的ni个长度为1且两两正交的特征向量。

说明：由施密特正交化过程，Ii：αi1，αi2，…，αini

第22

卷第4

期

2019

年7

月高等数学研究

STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol. 22 ,No. 4

July, 2019

doi :10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2019. 04. 028

基于MATLAB的复对称矩阵对角化

黄雪晴，

李乐乐，

肖盛鹏，

曹牧宁，

孙 悦

(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710119)

摘要

根据J.H.Noble

等人的算法，本文给出了在一定精度下将复对称矩阵对角化的MATLAB

程序，并给出

实例验证了算法6

及程序的有效性•

关键词

复对称矩阵；对角化；MATLAB

中图分类号 O151.21

文献标识码 A

文章编号 1008 - 1399(2019)04 - 0103 - 05

Diagonalization of Complex Symmetric Matrix Based on MATLAB

HUANG Xueqing,

LI Lele,

XIAO Shengpeng,

CAO Muning,

and SUN Yue

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi'an 710119 , China)

Abstract According to J. H. Noble's algorithm, a MATLAB program for diagonalization of a complex

symmetric matrix with certain accuracy is given, and the validity of the algorithm and the program is veri­

fied by specific examples.

Keywords complex symmetric matrix, diagonalization, MATLAB