§5.1 定积分的概念与性质

教 师 备 课 纸 1

第五章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

一、定积分问题举例

1.曲边梯形的面积

曲边梯形：设函数)x(fy在区间],[ba上非负、连续。 由直线ax，bx，

0y及曲线)x(fy所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边，下面我

们来研究如何求曲边梯形的面积。

具体方法是

(1) 分割：在区间[a b]中任意插入若干个分点ax

0 x

1 x

2    x

n1 x

n b， 把

[a b]分成n个小区间[x

0 x

1]，[x

1 x

2]， [x

2 x

3]，    ，[x

n1 x

n ]，它们的长度依次为

x

1 x

1x

0  x

2 x

2x

1      x

n  x

n x

n1 ，经过每一个分点作平行于y 轴的直线段

把曲边梯形分成n个窄曲边梯形。

(2)近似：在每个小区间[x

i1 x

i ]上任取一点

i  以[x

i1 x

i ]为底、f (

i)为高的窄矩

形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n) 。

(3)求和：把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似

值 即Af (

1)x

1 f (

2)x

2   f (

n )x

n

n

iiixf

1)(

(4)取极限：记max{x

1 x

2   x

n } 于是增加分点 使每个小曲边梯形的宽

度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为

n

iiixfA

10)(lim



2 变速直线运动的路程

设物体作直线运动 已知速度vv(t)是时间间隔[T

1 T

2]上t的连续函数 且

v(t)0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 

具体做法是：

(1)分割：用分点T

1t

0t

1t

2  t

n1t

nT

2把时间间隔[T

江 苏 省 职 业 学 校

理论课程教师教案本

（2013—2014 学年 第 二 学期）

专业名称 12预科（大专）

课程名称 数学

授课教师 陆玉喜

学 校 江苏省高邮中等专业学校

授课时间 教者 陆玉喜 授课班级

课程名称 数学 授课形式 新授

授课章节

名称 不定积分的性质和基本积分公式 授课课时 2

使用教具

教学目的 1、使学生掌握原函数与不定积分的性质;

2、掌握基本积分公式.

教学重点 不定积分的性质， 基本积分公式

教学难点 基本积分公式的推导及应用

课外作业

主要内容板书设计 课 堂 教 学 安 排

教学过程 主 要 教 学 内 容 及 步 骤

复习导入

教学设计

课堂讨论

一、复习引入

不定积分的定义

二、新课讲解

1、不定积分的性质

性质1

即

dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([

这是因为, ])([])([])()([dxxgdxxfdxxgdxxff(x)g(x).

性质2 被积函数中不为零的常数因子可 即

dxxfkdxxkf)()((k k 0)

例1. dxxxdxxx)5()5(21252

dxxdxx21255dxxdxx21255

Cxx232732572

例2 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133)1(222323

Cxxxxdxxdxxdxdxx1||ln3321113322

例3 xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3

第5章 定积分及其应用

定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，这类问题往往归结为计算“和式的极限”.定积分与不定积分是两个不同的概念,微积分基本定理揭示了这两个概念之间的关系,解决了定积分的计算问题.本章将从两个实例出发引出定积分的概念,然后讨论定积分的性质和计算方法,介绍定积分在几何上和物理学上的一些应用.

§5.1 定积分的概念与性质

一、引例

1 曲边梯形的面积

在中学，我们学过求三角形、矩形等以直线为边的图形的面积。但在实际应用中，有时需要求以曲线为边的图形的面积（图5.1），这种图形可以分割为若干个一条边为曲线，而其余边为直线的图形（图5.2）。

现考虑求由连续曲线()(()0)yfxfx以及直线0ybxax、、所围成图形（图5.3）的面积，这种图形称为曲边梯形，曲线()yfx叫做曲边梯形的曲边。

怎样计算曲边梯形的面积呢？不妨回顾一下我们是怎样求函数在某点的瞬时变化率（切线的斜率、瞬时速度）的，都是先求某一区间内的平均变化率（割线的斜率、平均速度），得到某点变化率的近似值，再取极限由近似变化率过渡到精确变化率（切线的斜率、瞬时速度）。简言之，就y

x O

图5.3 ()yfx

a b A 图5.1 图5.2 1 是先求近似值，再取极限由近似值过渡到精确值。我们也采取这种方法来求曲边梯形的面积，先将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，每个小曲边梯形都用一个小矩形近似代替，则所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，当把曲边梯形无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.

为了便于表述，按下面四个步骤求曲边梯形的面积A：

（1）分割

用1n个分点

01211iinnaxxxxxxxb，

把区间],[ba分成n个小区间

011211[,],[,],,[,],,[,]iinnxxxxxxxx，

它们的长度依次为

11022111,,,,,iiinnnxxxxxxxxxxxx，

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习题5-1定积分的概念与性质

1．用定积分的几何意义画图说明下列等式：（1）1

2

01

4xdx



；

如左图，2

1yx

表示的图形是上半圆，

定积分的几何意义是上半单位圆与x

轴及0x

，1x

围成的图形的面积，即1

4圆的面积。所以，1

2

01

4xdx



（2）2

00sin2sinxdxxdx





.

如左图，左边的定积分的几何意义是sin(0)yxx



与x

轴围成的图形的面积，由于sin(0)yxx



的图形关于

2x



对称，所以，面积等于对称轴左边部分图形面积的两倍。

所以2

00sin2sinxdxxdx





，

（3）

0cos0xdx



如左图，左边的定积分的几何意义是

cos(0)yxx



与x

轴围成的图形，一部分位于x

轴的上方（这部分加上正号），另一部分位于x

轴的下方（这

部分加上负号）。由于两部分面积正好相等，所以，代数和为

0。即

0cos0xdx

·高等数学练习册·习题答案

2．不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由.

（1）

1

02

1dxxI

，；

在[0,1]

上，232

(1)0xxxx

23

xx

1

2

1

0Ixdx

1

03

2dxxI

（2）

1

01dxeIx

，

1

02)1(dxxI

.

设()1(01)x

fxexx

，则()1x

fxe



在(0,1)

内，()0fx



，()fx

在[0,1]

上单调递增。

()(0)0fxf

，即1x

ex

1

1

0x

Iedx

1

02)1(dxxI

3．证明不等式

（1）



0

241

2

222

edxeexx设2211

()()(02)

24fxxxxx

，易知，11

()

24f

是()fx

的最小值，(2)2f

是()fx的最大值。

2

2

21

2

4

1

2

2

4

0

1

0

2

4

2[,]

22

22xx

xx

xxeee

eedxe

eedxe















·高等数学练习册·习题答案