第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质

南京商业学校教案

授课日期 2016年 月 日 第 周 时 数 2 课型 新课

课题 26.1定积分的概念与基本性质（1）

教学

目标 知识目标：理解定积分的概念和几何意义

能力目标：理解定积分的概念和几何意义

情感目标：培养学生的逆向思维能力

教学重点 理解理解定积分的概念和几何意义

教学难点 理解定积分的概念和几何意义

教学资源 课本，教学参考书，学习指导用书

教法与学法 讲授法，讲练结合法，练习巩固法

学情分析

（含更新、补充、删节内容） 定积分在自然科学和生产实践的各个领域中有着广泛应用，计算定积分的关键就是求不定积分，学生已经学了不定积分，所以对于定积分不会再那么抽象。

板书

设计 26.1定积分的概念与性质

1、定积分的定义

2、定积分的几何意义

教后记

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计） 师生活动

一、探究

1 曲边梯形的面积

曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a b]上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边

求曲边梯形的面积的近似值

（1）分割：

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b]中任意插入若干个分点

ax0 x1 x2    xn1 xn b

把[a b]分成n个小区间[x0 x1] [x1 x2] [x2 x3]     [xn1 xn ]

它们的长度依次为x1 x1x0  x2 x2x1      xn  xn xn1 

（2）近似：

（3）求和：

经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形 在每个小区间[xi1 xi ]上任取一点i  以[xi1 xi ]为底、f (i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i1 2     n)  把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即Af (1)x1 f (2)x2

·高等数学练习册·习题答案

习题5-1定积分的概念与性质

1．用定积分的几何意义画图说明下列等式：（1）1

2

01

4xdx



；

如左图，2

1yx

表示的图形是上半圆，

定积分的几何意义是上半单位圆与x

轴及0x

，1x

围成的图形的面积，即1

4圆的面积。所以，1

2

01

4xdx



（2）2

00sin2sinxdxxdx





.

如左图，左边的定积分的几何意义是sin(0)yxx



与x

轴围成的图形的面积，由于sin(0)yxx



的图形关于

2x



对称，所以，面积等于对称轴左边部分图形面积的两倍。

所以2

00sin2sinxdxxdx





，

（3）

0cos0xdx



如左图，左边的定积分的几何意义是

cos(0)yxx



与x

轴围成的图形，一部分位于x

轴的上方（这部分加上正号），另一部分位于x

轴的下方（这

部分加上负号）。由于两部分面积正好相等，所以，代数和为

0。即

0cos0xdx

·高等数学练习册·习题答案

2．不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由.

（1）

1

02

1dxxI

，；

在[0,1]

上，232

(1)0xxxx

23

xx

1

2

1

0Ixdx

1

03

2dxxI

（2）

1

01dxeIx

，

1

02)1(dxxI

.

设()1(01)x

fxexx

，则()1x

fxe



在(0,1)

内，()0fx



，()fx

在[0,1]

上单调递增。

()(0)0fxf

，即1x

ex

1

1

0x

Iedx

1

02)1(dxxI

3．证明不等式

（1）



0

241

2

222

edxeexx设2211

()()(02)

24fxxxxx

，易知，11

()

24f

是()fx

的最小值，(2)2f

是()fx的最大值。

2

2

21

2

4

1

2

2

4

0

1

0

2

4

2[,]

22

22xx

xx

xxeee

eedxe

eedxe















·高等数学练习册·习题答案

》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理1．5.3 定积分的概念

定积分的概念

问题1：求曲边梯形面积的步骤是什么？

提示：分割、近似代替、求和、取极限．

问题2：你能将区间等分吗？

提示：可以．

定积分的概念

如果函数f

(x

)在区间上连续，用分点a

＝x

0

1<…

i－1

i<…

n＝b

将区间等分成n

个

小区间，在每个小区间上任取一点ξ

i(i

＝1,2，…，n

)，作和式

i

＝1n

f

(ξ

i)Δx

＝

i

＝1n

b

－a

nf

(ξ

i)．当n

→∞

时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间上的定积分，记作

ab

f(x)dx，

即

ab

f(x)d

x＝lim

n→∞

i＝1n

b－a

nf(ξ

i)．其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，

函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d

x叫做被积式．

对定积分概念的理解

由定义可得定积分

ab

f(x)d

x是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而

与积分变量没有关系，即

ab

f(x)d

x＝

ab

f(t)d

t＝

ab

f(u)d

u.

定积分的几何意义

问题1：根据定积分的定义，求

12

(x＋1)d

x的值是多少．

提示：

12

(x＋1)d

x＝5

2.

问题2：

12

(x＋1)d

x的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么

关系？

提示：相等．

》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《

马鸣风萧萧整理定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f

(x

)≥

0，那么定积分

ab

f(x)d

x表示由直

线x

＝a

，x

＝b

，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分

ab

f(x)d

x的几何

意义．

评析定积分的几何意义

关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间上恒为正时，定积分

ab

f(x)dx的几何意义是

以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分

ab

f(x)d

x的几何意义是介

南京商业学校教案

授课日期 2016年 月 日 第 周 时 数 2 课型 新课

课题 26.1定积分的概念与性质(2)

教学

目标 知识目标：通过具体实例，理解定积分的概念，体会定积分的思想方法。

能力目标：会求简单的定积分

情感目标：培养学生的逆向思维能力

教学重点 理解定积分的概念

掌握定积分的性质

教学难点 掌握定积分的性质

教学资源 课本，教学参考书，学习指导用书

教法与学法 讲授法，讲练结合法，练习巩固法

学情分析

（含更新、补充、删节内容） 通过上次课的学习，学生已掌握了简单的求定积分的方法，本节课学习定积分的性质，是在上节课的基础上的延伸，难度不大，学生容易掌握。

板书

设计 26.1定积分的概念与性质

1、定积分的定义

2、定积分的性质

教后记

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计） 师生活动

一、复习引入

1、定积分的概念

定义

设函数f(x)在[a b]上有界 在[a b]中任意插入若干个分点

a x0 x1 x2    xn1 xnb

把区间[a b]分成n个小区间[x0 x1] [x1 x2]    [xn1 xn] 

各小段区间的长依次为x1x1x0 x2x2x1   xn xn xn1

在每个小区间[xi1 xi]上任取一个点 i (xi1  i  xi) 作函数值f ( i)与小区间长度xi的乘积f ( i)xi (i1 2   n)  并作出和niiixfS1)(

记  max{x1 x2   xn} 如果不论对[a b]怎样分法 也不论在小区间[xi1 xi]上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a b]上的定积分 记作badxxf)( 即