1 / 1 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用
一． 定积分的定义
A）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
，
把区间[a,b]分成n个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211niiixxxnixxx在[iixx,1]上任意取一点i，作和式：)1.......()(1iniixf
如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[iixx,1]怎样选取，只要0有iniixf1)(I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做badxxf)(即I=badxxf)(其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
例：求曲边图形面积：3xy的图像在1,0x间与1x及x轴围成的图形面积。
注：
1、有定义知道badxxf)(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即badxxf)(=baduuf)(=badttf)(
2、定义中的0不能用n代替
3、如果iniixfLim10)(存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？
经典反例：中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(xxxf在[0，1]上不可积。
2 / 2 可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
第五章 定积分
一、教材分析
定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。
定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。
二、教学要求
1、理解定积分的概念及性质
2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。
3、理解积分上限函数及其求导定理。熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。
4、了解反常积分的概念
5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）
三、教学重点与难点
重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法
难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。
四、教学内容及课时划分
§5—1 定积分的概念与性质 3课时
§5—2 微积分基本公式 2课时
§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时
§5—4 反常积分 2课时
习题课 2课时
合计 12课时
五、本章知识结构图
- 1 - 定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算 - 2 - 解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
第五章定积分
本章的教学与考试基本要求
1. 理解定积分的概念、性质、儿何意义；
2. 理解积分上限函数及其性质，微积分基本定理;
3. 会川定积分的换元法与分部积分法求定积分；
4. 会求积分区间为无穷区间的广义积分；
5. 会用微元法求有关的血积和体积.
5・1定积分的概念与性质
一、主要内容回顾
表5. 1定积分的概念
定义 设/(x)在［a,b］上有界,将区间［a,切任意分成几段:
a = x0 < < x2 < - < xn_x
记Ax,- = xi 一兀_i(i = 1,2,…,M),在每一小区间［%,•_!，%/］上任取一点
& e［和,xj作乘积畑$(i = 1,2,...,/?)并作和式
/=1
记2 = maxlArJ »如果对［a,b］的任意分法以及&的任意取法，极限 总有确定的值/,贝U称函数/⑴在区间［讪 上可积，并 —哈
称该极限/为/(x)在区间［⑦方］上的定积分.记为f f(x)dx,即
Ju
f f(x)dx = lim ©)勒.
Ja 久—0厶〒
儿何
意义 (1 )当 f(x) > 0 时，C f(x)dx 表 7J< 由曲线 y = /o),直线 Ju
x = a,x = b(a
(2 )当f(x) < 0时，(f(x)dx(a
函数类 (2)若/(x)在［a.b］上有界，且只有有限个间断点，则/(x)在［a.b］上可
积.
⑶ 若/(X)在s,切上单调有界，则/⑴在s,刃上可积.
性质1 定积分只•被积函数/(X)及积分区间有关，而为积分变量的记法无关 即
f .f(x)dx= £ f\t)dt •
性质2 (1) f7(x)Jx = 0・ Ja
⑵ fMdx = - (、f (x)dx .
线性
运算 (1) J［/(x)±gO)］dx= ( f(x)dx± ［ g(Qdx •
(2) f kf{x)dx = k ( f (x)dx (k 为常数).
