【精品学案】高中数学：两直线的位置关系
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第一节 两条直线的位置关系
【学习目标】
基础性目标：1.我能判定两条直线平行或垂直．
2.我能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
3.我能探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
拓展性目标：1.我能恰当选择方法，判定两条直线平行或垂直.
2.我能解决对称问题的题目.
挑战性目标：我能转化思路，解决最值问题和对称性问题。
【考向预测】
一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；
三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，大都是客观题.
第一部分 自主学习
【知识梳理】
（1）参考课本选择性必修一 P55-P57、P70-P79三维设计P149-P151页；
（2）完善下列思维导图：
【基础小测】
1．(选择性必修第一册67页习题8题改编)已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
2.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
3．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________.
4．(选择性必修一71页例2改编)直线x＋y－3＝0与直线x－y＋1＝0的交点坐标是( )
A．(2,2) B．(－2,2) C．(－1,3) D．(1,2)
5．(选择性必修一77页例5改编)已知点(a,2)到直线x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
6．(选择性必修一78页例7改编)两平行直线2x＋2y＋1＝0与x＋y＋2＝0之间的距离是________．
常用结论
1．两个充要条件
(1)两条直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两条直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
2．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
3．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
第二部分 考点突破
考点一 两直线的位置关系
例题1. (2021·包头模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝( )
A．－1 B．2 C．0或－2 D．－1或2
若本例条件变为l1⊥l2，则a＝________.
跟踪1．(2021·天津)“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
考点二 两直线的交点及距离问题
例题2.(1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B.2 C.3 D．2
(2)(2021·上饶模拟)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是
5，则m＋n＝( )
A．0 B．1 C．－2 D．－1
跟踪2．(2021·河南安阳模拟)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
跟踪3．(2021·福州模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________． 考点三 对称问题
考向1 点关于点中心对称
例题3(2021·黄冈模拟)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
考向2 点关于直线对称
例题4(2021·江西联考)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
考向3 线关于点的对称
例题5 (2021·福州模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为__________．
小结：
1. 我的收获（建议思维导图）分知识、能力、学科素养、思想方法等内容：
2. 我的疑惑：
考点突破 需讲的题号写出
考点1
考点2
考点3
第三部分 当堂检测
1.(2021·广东湛江模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
2.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
(3)求直线l关于点A(－1，－2) 对称的直线l′的方程．
自主练习
1．(2021·哈师大附中模拟)已知直线l1: ax＋(a＋2)y＋1＝0, l2：x＋ay＋2＝0, 其中a∈R, 则“a＝－3”是“l1 ⊥ l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2021·山东淄博模拟)已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C．6 D．0或6
3．(2021·宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( )
A．a＝13，b＝6 B．a＝－3，b＝16
C．a＝3，b＝－16 D．a＝－13，b＝－6
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
5．(2021·江苏模拟)已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明由．
