第2讲 两直线的位置关系
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
2.两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．
考点2 三种距离公式
1.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.
2.点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.
3.两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.
[必会结论]
1.与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0.
2.与对称问题相关的两个结论：
(1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有 y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b，
可求出x′，y′.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )
1
2020年高三理科数学一轮讲义案第九章
9.2《两直线的位置关系》
最新考纲
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知 识 梳 理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.
2.两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.
[微点提醒] 2 1.两直线平行的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析
1. 直线和直线垂直，则实数的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1或0
【答案】D
【解析】若直线与直线垂直，则，
解得m=-1，或m=0．故选Ｄ．
【考点】两条直线垂直的条件．
2. 已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和B(a，－1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x＋by＋1＝0，且直线l2与直线l1平行，则a＋b等于( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
【答案】B
【解析】由直线l的倾斜角，得l的斜率为－1，l1的斜率为．
∵直线l与l1垂直，∴＝1，得a＝0．又直线l2的斜率为－，
∵l1∥l2，∴－＝1，得b＝－2．∴a＋b＝－2．
3. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝( )
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，解得
故m＋n＝．
4. 已知直线，，若直线与的夹角为，则= ． 【答案】0或 【解析】由夹角公式得解得=0或= 【考点】夹角公式
5. 两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离为________．
【答案】
【解析】在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．d＝
6. 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．
【答案】充分不必要
【解析】由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.
7. 已知直线l1:y=2x+1,l2:y=2x+5,则直线l1与l2的位置关系是( )
高三数学两条直线的位置关系试题答案及解析
1. 直线和直线垂直，则实数的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1或0
【答案】D
【解析】若直线与直线垂直，则，
解得m=-1，或m=0．故选Ｄ．
【考点】两条直线垂直的条件．
2. 已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
【答案】（1）(－∞，－6)∪(－6,0]
（2）2
【解析】解：(1)因为l1∥l2，
所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2
＝－(a2＋)2＋．
因为a2≥0，所以b≤0．
又因为a2＋1≠3，所以b≠－6．
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l1⊥l2，
所以(a2＋1)－a2b＝0．
显然a≠0，所以ab＝a＋，
|ab|＝|a＋|≥2，
当且仅当a＝±1时等号成立，
因此|ab|的最小值为2．
3. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝( )
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，解得
故m＋n＝．
4. 已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣8 C．2 D．10
【答案】B
【解析】∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2， ∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，
∴=﹣2，解得 ，
故选 B．
5. 两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离为________．
【答案】
【解析】在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．d＝
