高等数学第六章定积分的应用

定 积 分

选择题

（1）函数xf在ba,上连续是xf在ba,上可积的（ ）。

（A）充分条件 （B）必要条件

（C）充要条件 （D）既非充分条件也非必要条件

（2）如果xf在1,1上连续，且平均值为2，则11fxdx（ ）。

（A）4 （B）4

（C）14 （D）14

（3）定积分bafxdx的值与（ ）无关。

（A）积分变量记号x （B）对应关系""f

（C）积分下限a （D）积分上限b

（4）若40(25)0kxxdx，则k可以取值（ ）。

（A）－1 （B）1

（C）－2 （D）2

（5）203sin0limxtdtxx=（ ）。

（A）13 （B）23

（C）1 （D）0

（6）设函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则曲线(),,yfxxaxb及x轴所围成的图形的面积S（ ）。

（A）bafxdx （B）bafxdx

（C）bafxdx （D）bafxdx

（6）设函数)(xf在]2,0[上连续，令变量xt2，则定积分dxxf102化为（ ）。

（A） dttf1021 （B）dttf102

A

一、填空题

1．设)(xf在],[ba上连续，当ba时，aaxf)( ，当1)(xf时，badxxf)( .

2．设2)21(0adxx，则a .

3．xxtdtx020sin1lim .

4．设,)()(102dttxx则)(x .

5.设)(xf是连续奇函数，且10()2xfxdx，则01()xfxdx 。

二、选择题

1．设函数)(),(xgxf在],[ba上连续，且)()(xgxf，则（ ）

A．;)()(babadxxgdxxf B. ;)()(babadxxgdxxf

C. ;)()(dxxgdxxf D. .)()(dxxgdxxf

2. 设,ln,ln2121dxxbxdxa则( )

A. ;ba B. ;ba

C. ;ba D. .ba

3. 设)(uf在],[ba上连续,且x与t无关,则( )

A. ;)()(babadxxfxdxxxf B. ;)()(babadxxftdxxtf

C. ;)()(babadtxftdtxtf D. .)()(babadxtfxdttxf

4. )()1ln(02xdttdxd

A. );1ln(2x B. );1ln(2t

C. );1ln(22xx D. ).1ln(22tt

5. 设,0,2,0,)(2xxxxfx则)()(11dxxf A. ;112dxx B. ;211dxx

C. ;210012dxdxxx D. .210201dxxdxx

三、计算题

1．;1102xxdx 2. ;2121xdxex

第六章 定积分的应用

一、内容提要

（一）主要定义

【定义】 定积分的元素法

如果

（1）所求量U是与一个变量x的变化区间ba,有关的一个整体量；

（2）U对区间ba,具有可加性；

（3）部分量iU可表示为iiiUfx.

则可按以下步骤计算定积分

（1）选取一个变量x或y，并确定它的变化区间ba,;

（2）把区间ba,分成n个小区间, 求任一小区间,xxdx的部分量U的近似

dU.

UdUfxdx;

（3）计算U=bafxdx.

（二）主要定理与公式

根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式.

1．平面图形面积

（1）直角坐标情形

①由,(0),,yfxfxxaxb所围图形的面积

basfxdx.

②由12,,,yfxyfxxaxb所围图形的面积

12 basfxfxdx.

③由12,,,xyxyycyd所围图形的面积

12dcsyydy

（2）参数方程情形

由曲线l：xtyt，12ttt，x轴及,xaxb所围图形的面积

21 ttsttdt

（3）极坐标情形

① 由,,所围图形的面积

212sd

② 由12,,,所围图形的面积

222112sd

2.体积

（1）旋转体的体积

① 由0,,,yyfxxaxb所围图形绕x轴旋转所得旋转体体积：

2baVfxdx.

当0ab时，上述曲边梯形绕y轴旋转所得旋转体的体积：

22bbaaVxydxxfxdx.

89 第十章 定积分的应用 （ 8 时 ）

§1 平面图形的面积 （ 2 时 ）

一． 直角坐标系下平面图形的面积 ：

1 简单图形：X型和Y型平面图形 .

2简单图形的面积: 给出X型和Y型平面图形的面积公式. 对由曲线0),(yxF和0),(yxG围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.

例1 求由抛物线 xy2与直线 032yx所围平面图形的面积.

3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[ba上的曲边梯形的曲边由方程battyytx)( , )( , , )( , )(给出.又设0)(t,就有)(t↗↗, 于是存在反函数 )(1xt. 由此得曲边的显式方程

],[ , )]([)(1baxxyty.

badtttydxxyS)(| )( || )]([ |1,

亦即 )(| )( || |tdtydxyS.

具体计算时常利用图形的几何特征 .

例2 求由摆线)0)(cos1(),sin(atayttax的一拱与x轴所围平面图形的面积.

例3 求椭圆12222byax所围平面图形的面积.

二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 )(rr和射线 , 

) (所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r,

顶角为的扇形面积为 221r . )

drA)(212 . 90 例4求由双纽线 2cos22ar 所围平面图形的面积 .

解 4 , 4 , 02cos或45 , 43. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为4的两条直线之间 ) . 以代 方程不变图形关于X轴对称;以代, 方程不变,