新人教A版高中数学必修1第二和三章单元检测含答案

1 新人教A版高中数学必修1第二章单元检测

(120分钟 150分)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．函数y＝x－1 ·ln (2－x)的定义域为( )

A．(1，2) B．[1，2) C．(1，2] D．[1，2]

【解析】选B.要使解析式有意义，则x－1≥0，2－x>0，

解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1，2).

2．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝ab x 的图象可能为( )

【解析】选C.根据指数函数y＝ab x 可知，a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2＋bx的对称轴－b2a ＜0，可排除B与D，又因为二次函数y＝ax2＋bx过坐标原点，所以C正确．

3．函数y＝3x－1 的值域是( )

A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)

C．(0，1] D．[1，＋∞)

【解析】选D.由于x－1 ≥0，所以函数y＝3x－1 ≥30＝1，故函数的值域为[1，＋∞).

4．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )

A．{x|x<－2或x>4}

B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6}

D．{x|x<－2或x>2}

【解析】选B.因为f(x)为偶函数，

当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.

所以f(x)＝2x－4，x≥0，2－x－4，x<0， 若f(x－2)>0， 2 则有x－2≥0，2x－2－4>0 或x－2<0，2－x＋2－4>0， 解得x>4或x<0.

5．下列四个数中最小的是( )

A．log13 2 B．－0.30.7 C．log12 3 D．－1

【解析】选C.log12 3＝－log23＜－1，

－1＜－0.30.7＜0，log13 2＝－log32∈(－1，0)，

所以四个数中，最小的是log12 3.

6．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝eln x的定义域和值域相同的是( )

A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝1x

【解析】选D.函数y＝eln x的定义域和值域均为(0，＋∞)，函数y＝x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足要求；函数y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y＝1x 的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．

7．三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序正确的是( )

A．0.65＜log0.65＜50.6 B．0.65＜50.6＜log0.65

C．log0.65＜50.6＜0.65 D．log0.65＜0.65＜50.6

【解析】选D.由指数函数与对数函数的图象与性质可知50.6＞1，0＜0.65＜1，log0.65＜0，所以log0.65＜0.65＜50.6.

8．已知log32＝a，3b＝5，则log330 用a，b表示为(

)

A．12 (a＋b＋1) B．12 (a＋b)＋1

C．13 (a＋b＋1) D．12 a＋b＋1

【解析】选A.因为3b＝5，所以b＝log35，log330 ＝12 log330＝12 (log33＋log32＋log35)＝12 (1＋a＋b).

9．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) 3

A. a＞1，c＞1 B. a＞1，0＜c＜1

C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1

【解析】选D.因为函数单调递减，所以0＜a＜1，

当x＝1时，loga(x＋c)＝loga(1＋c)＜0，

即1＋c＞1，即c＞0，当x＝0时，loga(x＋c)＝logac＞0，即c＜1，即0＜c＜1.

10．已知函数f(x)＝2log12 x的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域是( )

A．22，2 B．[－1，1]

C．12，2 D．－∞，22 ∪[2 ，＋∞)

【解析】选A.因为已知函数f(x)＝2log12 x的值域为[－1，1]，所以－1≤2log12 x≤1，

即log12 12 －1

≤2log12 x≤log12 12 1 ，

化简可得 12 ≤x2≤2.再由x＞0 可得22 ≤x≤2 ，

故函数f(x)的定义域为22，2 .

11．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q(2，2)，G2，12 中，可以是“好点”的有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【解析】选C.设指数函数为y＝ax(a>0，a≠1)，

显然不过点M，P，若设对数函数为y＝logbx(b>0，b≠1)，显然不过N点，所以“好点”有2个．

12．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正的常数，则当N＝N03 时，t＝(

)

A．λln 3 B．λln 13 C．1λ ln 13 D．1λ ln 3 4 【解析】选D.N＝N0e－λt，所以NN0 ＝e－λt，

所以－λt＝ln NN0 ，所以t＝－1λ ln NN0 ，

当N＝N03 时，t＝1λ ln 3.

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．(23a2 ·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b5 )＝______．

【解析】(23a2 ·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b5 )

＝2a23·b12 －6a12·b13 ÷－3a16·b56

＝＝4a1·b0＝4a.

答案：4a

14．设f(x)＝2ex－1，x<2，log3（2x－1），x≥2， 则f(f(2))＝________．

【解析】因为f(2)＝log3(22－1)＝1，

所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.

答案：2

15．若f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝log2(2－x)，则f(0)＋f(2)＝________．

【解析】f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，

f(2)＝－f(－2)，所以f(－2)＝log2(2＋2)＝2，所以f(2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝0－2＝－2.

答案：－2

16．设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________．

【解析】由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋3 ，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋3 )，即m＝2n－1－3 ，所以2n＝43 ，所以m＝3 ，所以m·2n＝3 ×43 ＝12. 2111153262364ab5 答案：12

三、解答题(共70分)

17．(10分)已知x∈[－3，2]，求f(x)＝14x －12x ＋1的最小值与最大值．

【解析】f(x)＝14x －12x ＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2－x－12 2 ＋34 ，

因为x∈[－3，2]，所以14 ≤2－x≤8，则当2－x＝12 ，即x＝1时，f(x)有最小值34 ，当2－x＝8即x＝－3时，f(x)有最大值57.

18．(12分)(1)已知log2(16－2x)＝x，求x的值．

(2)计算：－15－3 0 ＋810.75－（－3）2 ×823 ＋log57·log725.

【解析】(1)因为log2(16－2x)＝x，

所以2x＝16－2x，化简得2x＝8，所以x＝3.

(2)原式＝1＋(34)34 －3×(23)23 ＋lg 7lg 5 ·2lg 5lg 7

＝1＋27－12＋2＝18.

19．(12分)已知指数函数f(x)的图象经过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称．

(1)求函数g(x)的解析式．

(2)若g(2x2－3x＋1)＞g(x2＋2x－5)，求x的取值范围．

【解析】(1)设指数函数为：f(x)＝ax，

因为指数函数f(x)的图象过点(3，8)，

所以8＝a3，所以a＝2，

所求指数函数为f(x)＝2x；

因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝2－x.

(2)由(1)得g(x)为减函数，

因为g(2x2－3x＋1)＞g(x2＋2x－5)，

所以2x2－3x＋1＜x2＋2x－5，解得x∈(2，3)，

所以x的取值范围为(2，3). 6 20．(12分)若点(2 ，2)在幂函数f(x)的图象上，点2，12 在幂函数g(x)的图象上．

(1)求f(x)和g(x)的解析式．

(2)定义h(x)＝f（x），f（x）≤g（x），g（x），f（x）>g（x）， 求函数h(x)的最大值及单调区间．

【解析】(1)设f(x)＝xα，因为点(2 ，2)在幂函数f(x)的图象上，所以(2 )α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.

设g(x)＝xβ，因为点2，12 在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝12 ，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.

(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示．

由题意及图象可知h(x)＝x－1，x<0或x>1，x2，0

21．(12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(3－x)(a>0，a≠1).

(1)当a>1时，若h(x)＝f(x)＋g(x)的最大值为2，求a的值．

(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．

【解析】(1)因为1＋x>0，3－x>0， 所以－11，所以当x＝1时，h(x)取最大值loga4，因此loga4＝2，a＝2.

(2)因为f(x)－g(x)>0，所以loga(1＋x)>loga(3－x)，当a>1时，1＋x>3－x>0，1

当01时，解集为(1，3).

22．(12分)已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x3 －2x.

(1)求f(x)的解析式；