线性代数习题

1 线性代数习题一

1.计算下列行列式:

(1)11nnnn;(2)cossinsincos;(3)1loglog1baab;(4)222111ccbbaa;(5)571823534;

(6)812278543; (7)243352123; (8)cossinsinsincos0coscoscossinsincossincoscosrrrrr.

2.利用行列式的性质证明下列各式:

(1) acbbaccbacbbaacaccbbabaaccb2; (2) )8()1(324224232;

(3) 3))(3(axxaxaaaaxaaaaxaaaax.

3.已知行列式11111234141020Dabcd,求元素ba,的代数余子式的值.

4.运用行列式的降阶算法计算下列行列式:

(1)1111111111111111; (2)2164729541732152; (3)3938833191731629142152413;

(4)2362739444742253; (5)6588577535434253; (6)1035412777221161153131073254321.

5.设

13884125794856cbaD,

行列式D的代数余子式记为)4,3,2,1,(jiAji,求下列各式的值:

(1) 242322212579AAAA; (2) 343332312579AAAA;

(3) 42322212324AAAA; (4) 43332313324AAAA.

6.用克莱姆法则解方程组 12341234123412345242235232110xxxxxxxxxxxxxxxx

7.已知齐次线性方程组 01314)7(01617)311(01011)215(321321321xxxaxxxaxxxa 有非零解,问a应取什么值?

8.选择题

(1) 5阶行列式的全面展开式共有多少项 ( ) 2 (A) 10项 (B) 25项 (C) 60项 (D) 120项

(2) 设行列式D的元素都是正整数，则D的值是 ( )

(A) 正整数 (B) 整数,即还可能是负整数或0

(C) 有理数,即还可能是分数 (D) 实数,即还可能是无理数

(3) 已知1112132122233132333aaaDaaaaaa,则111213313233212223222222222aaaaaaaaa ( )

(A) 6 (B) 6 (C) 24 (D) 24

(4) 设1112223332abcDabcabc,则111122223333243243243aabcaabcaabc ( )

(A) 6 (B) 2 (C) 12 (D) 48

(5) 下列哪个行列式的值一定为零

( )

(A) 3434121200000000aabbccdd (B) 1214340000000000aabcdd (C) 1234121212000000aaaabbccdd (D) 3412000000000000abcd

(6) 行列式314503221中元素2的代数余子式等于 ( )

(A) 29 (B)29 (C)58 (D)58

(7) 已知000100102010011a=1,则a= ( )

(A) 0.5 (B) 0.5 (C) 2 (D) 2

(8) 设n阶行列式D=ija,ijA是ija的代数余子式,则231nkkkaA ( )

(A) D (B)0 (C)1D (D)难以确定其值

(9) 已知11221abab,则方程组111212122200axbxcaxbxc 的解是 ( )

(A) 1111122222,cbacxxcbac (B) 1111122222,accbxxaccb

(C) 1111122222,cbacxxcbac (D) 1111122222,accbxxaccb

(10) 在下列何种情况下,齐次线性方程组1231212320200kxxxxkxxxx仅有零解 ( )

(A) 2K (B) 3K (C) 2K或3K (D) 2K且3K

线性代数习题二

1. 1. 设 3 121221211234A, 101012121234B,

(1)求 BA23; (2)已知 OXBXA)(2)(3,求X.

2.已知A是5阶矩阵,k是常数,问下列哪个等式是正确的?

(1)AAkk; (2)AAkk; (3)AA5kk; (4)AA5kk.

3.计算矩阵的乘积:

(1)1111,3,2;(2)1,3,2111;(3)132175321234;(4)231521652352143231

(5)200006000050000340000300002000013; (6)30001300112023123000320012101301;

(7)20413121013143110412; (8)20510103010102050101301213.

4. 设

253142321A,

计算矩阵多项式EAAA523)(2f.

5.试将以下两个线性变换方程组写成矩阵形式,

3213321221124232xxxyxxxyxxy ,321332123211432222yyyzyyyzyyyz,

并由此求出321,,zzz与321,,xxx之间的线性变换关系式.

6.设BA,都是n阶矩阵.举例说明以下问题:

(1)OBOA,,但可能有OAB;

(2)如果OA且AA2,则OEAA)(,但未必有EA;

(3)AYAX且OA时,不一定有YX;

(4)2222)(BABABA和22))((BABABA是否一定成立?

7.设BA,均为n阶方阵,且EBA2(E是单位矩阵).证明:AA2的充分必要条件是EB2.

8.设A是nm矩阵,证明TAA和AAT都是对称矩阵.

9.设

212321A,110012301B.

试通过计算验证TTTBAAB)(.

10.利用伴随矩阵,求下列矩阵的逆矩阵:

(1)9553; (2)3421; (3)baabbaba2232

11. 设A是n阶矩阵,且OEAA422(E是单位矩阵).证明矩阵EA可逆,且EAEA3)(1.

12.已知A是可逆的对称矩阵,证明:(1)1A也是对称矩阵;(2)X与A是同阶矩阵时,AXXT是对称矩阵.

13.已知AA2,试用反证法证明:若A不是单位矩阵,则A必为奇异矩阵. 4 14.已知BA,都是n阶非奇异矩阵,证明:BA,可交换的充分必要条件是 222)(BAAB.

15.求下列矩阵的逆矩阵:

(1)285421122; (2)343122321; (3)2000040000300001;

(4)1000210032107531; (5)1111111111111111; (6)2152327300210011

16.设OBAOX,其中3512A,3254B,O是零矩阵.利用分块矩阵的乘法规则求1X.

17. 选择题

(1) 下列四种矩阵中，哪一种不一定是方阵 （ ）

(A) 对称矩阵 (B) 对角矩阵 (C) 单位矩阵 (D) 零矩阵

(2) 设A是km矩阵，B是nk矩阵，C是mn矩阵，则下列运算中无意义的是 （ ）

(A) ABC (B) BCA (C) BCA (D) BCAT

(3) 已知22BABABA，则矩阵A、B必定满足 （ ）

(A) AB (B) ABBA (C) AB是对称矩阵 (D) A、B都是对角矩阵

(4) 设A、B、C是同阶的非零矩阵，则ABAC是BC的 （ ）

(A)充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D)非充分非必要条件

(5) 设A、B、C都是n阶矩阵，下面4个等式中必定成立的有几个 （ ）