《线性代数》课程习题

《高等代数》课程习题

第1章行列式

习 题 1.1

1． 计算下列二阶行列式：

（1）2345 （2）2163 （3）xxxxcossinsincos （4）11123xxxx

（5）2232abbaa （6）cossincossin （7）3loglog1abba

2． 计算下列三阶行列式：

（1）341123312 （2）00000dcba （3）dceba0000 （4）zyyxx00002121

（5）369528741 （6）011101110

3． 用定义计算行列式：

（1）41067050330200100 （2）1014300211321221

（3）5000000004000300020001000 (4)

dcba100110011001.

4.用方程组求解公式解下列方程组:

(1)

0520322321321321xxxxxxxxx (2)232120321321321xxxxxxxxx

习 题 1.2

1． 计算下列行列式： （1）123112101 (2)15810644372 （3）3610285140 （4）655565556

2.计算行列式

（1）2341341241231234（2）121140351212734201 （3）524222425aaa

（4）322131399298203123 （5）0532004140013202527102135

3.用行列式的性质证明：

（1）322)(11122babbaababa（2）3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba

4.试求下列方程的根：

（1）022223356（2）0913251323221321122xx

5.计算下列行列式

（1）8364213131524273 （2）efcfbfdecdbdaeacab

（3）2123548677595133634424355 （4）111110000000002211nnaaaaaa （5）xaaaxaaax （6）abbababa000000000000

习 题 1.3

1． 解下列方程组

（1）1024305222325321321321xxxxxxxxx（2）01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx

2． k取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：

(1)

0200321321321xxxxkxxkxxx (2)

0300321321321xxxxkxxxxkx

习 题 五1.4

1．计算下列行列式

（1）3010002113005004， （2）0113352063410201 （3）222111cbacba

（4）3351110243152113， （5）nnnnnbaaaaabaaaaD21211211111

2．用克莱姆法则解线性方程

（1）114231124342321321321xxxxxxxxx (2)3322212543143214321321xxxxxxxxxxxxxx

3．当λ为何值时，方程组

0020321321321xxxxxxxxx

可能存在非零解？ 4.证明下列各等式

(1) 222)(11122babbaababa

(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222cbacabcccbbbaaa

(3)

))()()()()()((111144442222dcbadcdbcbdacabadcbadcbadcba

5.试求一个2次多项式)(xf,满足1)2(,1)1(,0)1(fff.

第2章矩阵

习 题 2.2

1．设

530142A， 502131B， 313210C，

求3A-2B+C。

2．已知

010322131203122X

求矩阵X。

3．计算下列矩阵

（1）231312， （2）231312 ，（3）973412100010001

（4）22013121013143113412，（5）231112312

4．设

111111111A，

212131121B

求（1）AB―3B； （2）AB―BA； （3）（A―B）（A+B）；（4）A2―B2

5．已知

011213112A

设 f（x）=x2―2x―1，求f（A）。

6．如果)(21EBA，证明A2=A的充要条件是B2=E。

7．设020213121A

137325751B

(1)计算行列式|(2A―B)T+B|的值.

(2)求行列式|A3―A|.

8.证明：(ABC)T=CTBTAT.

习 题 2.3

用分块矩阵的乘法计算下列各题

11010012100012000001000021A

1112312110201010001000001B

求AB.

2.

200000000002A

200000000002B

求ABA.

习 题 2.5

1.用||*1AAA求矩阵的逆矩阵 (1),dcbaA其中ad―bc≠0; (2)100210321A

(3)113111321A (3)

0031020100A

2.用矩阵的初等变换求逆矩阵

(1)213541702A (2)1000210032107531

(3)1111111111111111 (4)1210232112201023

3.设Ak=0,其中A为方阵,k为大于1的某个正整数,证明

(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1.

4.解下列矩阵方程

(1)12643152X (2)412011111011220111X

(3)021102341010100001100001010X

5.若A为非退化矩阵,并且AB=BA,试证： A-1B=BA-1。

习 题 2.6

1.求下列矩阵的秩

(1)443112112013 (2)815073131223123 (3)14011313021512012211 (4)1101001100001100001100101

2.问能否适当选取矩阵

kA24293633121

中的k的值,使(1) r(A)=1,(2) r(A)=2,(3) r(A)=3.

3.试证明：

)()(BrArBOOAr.

习 题 2.7

1.设yxA4321,5231vuB,2312twC,且A+B=C,求x，y，u，v，w，t。

2．计算（1）3001001；（2）n100010011 （n>0）

3.求逆矩阵:

(1)323513123 (2)1210232112201023

4.求矩阵的秩:

(1)443112112013; (2)14011313021512012211

5.已知矩阵

321011324A

(1)设AX-2A+5E=0,求X.

(2)设AX=A+2X,求X. 6.已知AP=PB,其中

100210321,100000001PB,求A与A100.

7.设A为3阶方阵,A*为A的伴随矩阵,AT为A的转置矩阵,A-1为A的逆矩阵,若行列式|A|=4,

(1)求行列式|)*3()21(|1AAT的值.

(2)求行列式|)*21(|A.

8.设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,A+E是可逆矩阵,且f (A)=(E-A)(E+A)-1,求f (f (A)).

9.证明

22222222222222222000000000000dcbadcbadcbadcbaabcdbadccdabdcba

10.设A为n阶满秩方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n－2A.

第3章线性方程组

习 题 3.1

1、判断下列方程组是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解。

（1）8311102322421321321xxxxxxxx （2）12222412432143214321xxxxxxxxxxxx

（3）69413283542432321321321321xxxxxxxxxxxx （4）2534432312432143214321xxxxxxxxxxxx