选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结

数学高考复习

1 坐标系与参数方程 知识点

(一)坐标系

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点(,)Pxy是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)xxyy的作用下,点(,)Pxy对应到点(,)Pxy,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作(,)M.

一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.

特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)xy,极坐数学高考复习

2 标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M 直角坐标(,)xy 极坐标(,)

互化公式 cossinxy 222tan(0)xyyxx

在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为r的圆

(02)r

圆心为(,0)r,半径为r的圆

2cos()22r

圆心为(,)2r,半径为r的圆

2sin(0)r

圆心为(,)2r,半径为r的圆

2sin(0)r

过极点,倾斜角为的直线

(1)()()RR或

(2)(0)(0)和

过点(,0)a,与极轴垂直的直线

cos()22a

过点(,)2a,与极轴平行的直线

sin(0)a

数学高考复习

3 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)44M可以表示为5(,2)(,2),444444或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44的极坐标满足方程.

5.圆与直线一般极坐标方程

（1）圆的极坐标方程

若圆的圆心为 00(,)M，半径为r，求圆的极坐标方程。

设(,)P为圆上任意一点，由余弦定理，得

PM2 = OM2 +OP2 −2OM·OPcos∠POM，

则圆的极坐标方程是：

2220002cos r

（2）直线的极坐标方程

若直线l经过点00(,)M，且极轴到此直线的角为α ，求直线l的极坐标方程。

设直线l上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得：

OPsin∠OMP = OMsin∠OPM

整理得直线l的极坐标方程为

00sin sin

6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为)0(a：

⑴a ⑵cos2a ⑶cos2a

⑷sin2a ⑸ sin2a ⑹)cos(2a

M P

ρ ρ0

θ0 θ

O x

x O P(ρ，θ)

M(ρ0，θ0) l

α θ θ0 ρ

ρ0 数学高考复习

4

6、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：

⑴0 ⑵cosa ⑶cosa

⑷sina ⑸sina ⑹)cos(a

cos2aaxOM图2sin2aaxOM图4sin2aaxOM图5cos2aaxOM图3aaxOM图1),(a)cos(2aaxOM图600xOM图1（ ， ）cosaaOM图2cosaaOM图3sinaOM图4asinaOM图5a),(a)cos(aOMpN图6（ ， ）a数学高考复习

5 （二）、参数方程

1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,xy都是某个变数t的函数()()xftygt①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)Mxy都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,xy的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)如果知道变数,xy中的一个与参数t的关系,例如()xft,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()ygt,那么()()xftygt就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,xy的取值范围保持一致.

注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数

如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设(,)Mxy，则cos()sinxryr为参数。

这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。

圆心为(,)ab，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，

它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。

4．椭圆的参数方程

以坐标原点O为中心，

①焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角； 数学高考复习

6 ②焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数

其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。

注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02时，相应地也有02，在其他象限内类似。

5．双曲线的参数方程

以坐标原点O为中心，

①焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中3[0,2),.22且

②焦点在y轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),yxabab其参数方程为cot((0,2).cscxbeya为参数，其中且

以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。

6．抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)ypxp的参数方程为22().2xpttypt为参数

7．直线的参数方程

经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。

注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点(,)Mxy为终点的有向线段0MM的数量，当点M在0M上方时，t＞0；当点M在0M下方时，t＜0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长数学高考复习

7 度与原直角坐标系中的单位长度相同。

其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．

根据t的几何意义，有以下结论．

○1．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则AB＝ABtt＝BAABtttt4)(2．

○2．线段AB的中点所对应的参数值等于2BAtt．

三）例题鉴赏例1（2012湖北）(23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程

在直角坐标xOy中，圆221:4Cxy，圆222:(2)4Cxy。

(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,CC的极坐标方程，并求出圆12,CC的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求出12CC与的公共弦的参数方程。

例2（坐标系与参数方程）直线2cos1与圆2cos相交的弦长为 3