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导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
本文将介绍导数的定义和计算方法。
一、导数的定义在数学中，导数可以通过极限的方法来定义。
设函数y=f(x)，若函数在点x处的导数存在且有限，则导数表示为f'(x)，它表示函数f(x)在点x处的变化率。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。
通过导数，我们可以研究函数的变化趋势、拐点、极值等重要性质。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面将介绍一些常见的计算方法。
1. 函数可导情况下的基本运算法则（1）常数法则：若c为常数，则导数(常数)=0。
（2）幂函数法则：若f(x)=x^n，其中n为常数，则导数f'(x)=nx^(n-1)。
（3）指数函数法则：若f(x)=a^x，其中a为常数，则导数f'(x)=a^x*ln(a)。
（4）对数函数法则：若f(x)=log_a(x)，其中a为常数，则导数f'(x)=1/(x*ln(a))。
（5）三角函数法则：若f(x)=sin(x)，则导数f'(x)=cos(x)。
2. 导数的基本运算法则（1）和差法则：若f(x)=u(x)+v(x)，则导数f'(x)=u'(x)+v'(x)。
（2）积法则：若f(x)=u(x)v(x)，则导数f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
（3）商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则导数f'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。
（4）复合函数法则：若f(x)=g(h(x))，则导数f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
3. 使用导数计算函数的极值为了找到函数的极值点，我们可以先求得函数的导数，然后解方程f'(x)=0。
解得的x值即为函数的极值点。
三、导数的应用导数是微积分的基本工具，它在许多实际问题中具有广泛的应用。
导数的概念及计算一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作y ′|x =x 0 ＝f ′(x 0) ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)值就是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).二.基本初等函数的导数公式三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.考向一 利用公式及运算法则求导【例2】求下列函数的导数2311(1)()y x x x x =++ （2） （3） ()234(21)x y x =+ (5)sin2xy e x -= 【举一反三】1．下列求导运算正确的是（ ）A ．(3x )′=x •3x−1B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）C ．(x 2+1x )′=2x +1x 2 D ．(x cosx)′=cosx−xsinx cos 2x2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9√x ； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n ⋅lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1x 3；考向二 复合函数求导【例3】求下列函数导数（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =； （2）2()5log 21y x =+.（3）sin()eax b y +=；（提示：设e uy =，sin u v =，v ax b =+，x u v xy y u v ''''=⋅⋅）（4）2(πsin 2)3y x =+； 考向三 利用导数求值【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ . 2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '= 。
常用导数公式及运算法则导数的概念导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点处的变化率。
在数学中，导数表示函数在无限小的变化量情况下的变化率，通常表示为函数的斜率或切线的倾斜程度。
导数在许多领域中都有着广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域都扮演着重要的角色。
常用导数公式下面列出了一些常用的导数公式：1.常数函数的导数–若f(f)=f，其中f为常数，则f′(f)=0。
2.幂函数的导数–若f(f)=f f，其中f为常数，则f′(f)= ff f−1。
3.指数函数的导数–若f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则$f'(x)=a^x\\ln(a)$。
4.对数函数的导数–若$f(x) = \\log_a(x)$，其中f为常数且f>0且f ff1，则$f'(x)=\\frac{1}{x\\ln(a)}$。
5.三角函数的导数–若$f(x) = \\sin(x)$，则$f'(x)=\\cos(x)$。
–若$f(x) = \\cos(x)$，则$f'(x)=-\\sin(x)$。
–若$f(x) = \\tan(x)$，则$f'(x)=\\sec^2(x)$。
导数运算法则在求导数时，有一些常用的导数运算法则可以帮助简化计算：1.和差法则–$(f(x) \\pm g(x))' = f'(x) \\pm g'(x)$2.常数倍法则–(ff(f))′=ff′(f)，其中f为常数。
3.乘法法则–$(f(x) \\cdot g(x))' = f'(x) \\cdot g(x) + f(x) \\cdot g'(x)$4.商法则–$\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right)' = \\frac{f'(x) \\cdot g(x) - f(x) \\cdot g'(x)}{(g(x))^2}$5.复合函数求导–若有函数f(f)=f(f(f))，则$F'(x) = f'(g(x)) \\cdot g'(x)$总结通过对常用导数公式和运算法则的了解，可以帮助我们更快更准确地计算函数的导数。
导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
§3.1 导数的概念及运算考点自主回扣[知识梳理]1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的 (瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为 .(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝ 为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝ ；(2)[f (x )·g (x )]′＝ ；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝ (g (x )≠0)．[知识感悟]1．辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．2．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商(及其复合运算)的形式，再利用运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．[知识自测]1．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( ) A ．14 m/s 2 B ．4 m/s 2 C ．10 m/s 2 D ．－4 m/s 22．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A ．2B ．1 C.12 D ．03.已知函数f (x )=ax ln x ，x ∈(0,+∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3，则a 的值为 .考向互动探究题型一 导数的计算(基础保分题，自主练透)例1 (1)求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x ；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；方法感悟导数计算的方法1．连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；2．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；3．对数形式：先化为和、差的形式，再求导；4．根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；5．三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.提醒：求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．【针对补偿】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x e x ；题型二 导数运算的应用(重点保分题，共同探讨)例2 (1)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94(2)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)的值为________.方法感悟在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．【针对补偿】1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．02．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 018)＋2 018ln x ，则f ′(2 018)＝________. 题型三 导数的几何意义(高频考点题，多角突破)考向一 求切线方程1．已知f (x )＝2e x sin x ，则曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．y ＝－2x 考向二 求切点坐标2．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 考向三 求参数值3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2 【针对补偿】已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.考向四 切线方程的应用4．已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016的值为________．方法感悟导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【针对补偿】1．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫3π4，π B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π4 3．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278B ．－2C ．2D ．－278【参考答案】考点自主回扣[知识梳理]1．导数的概念(2)导数的几何意义切线的斜率 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)(3)函数f (x )的导函数lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx2．基本初等函数的导数公式0 nx n －1 －sin x e x 1x ln a 1x3．导数的运算法则(1) f ′(x )±g ′(x )(2) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3) f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 [知识自测]1．A【解析】由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，当t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14.2．A【解析】根据图象知，函数y =f （x ）的图象与在点P 处的切线交于点P ，f (5)=-5+8=3, f ′(5)为函数y =f (x )的图象在点P 处的切线的斜率，∴f ′(5)=-1;∴f (5)+ f ′(5)=2.故选A.3.3【解析】 f ′(x )=a (1+ln x )，∴f ′(1)=a =3.考向互动探究题型一 导数的计算(基础保分题，自主练透)例1 解：(1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x －x ＝12x －－12x ， ∴y ′＝(12x －)－(12x )′＝－1232x －－1212x －. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x.(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.【针对补偿】解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x. 题型二 导数运算的应用(重点保分题，共同探讨)例2 (1)C (2)4 096【解析】(1)因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x， 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94. (2)因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.又数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝4 096.【针对补偿】1．B【解析】∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx .又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2.2．－2 019【解析】由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 018)＋2 018x， 所以f ′(2 018)＝2 018＋2f ′(2 018)＋2 0182 018， 即f ′(2 018)＝－(2 018＋1)＝－2 019.题型三 导数的几何意义(高频考点题，多角突破)考向一 求切线方程1．B【解析】因为f (x )＝2e x sin x ，所以f (0)＝0，f ′(x )＝2e x ·(sin x ＋cos x )，所以f ′(0)＝2，所以曲线f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .考向二 求切点坐标2．(－ln 2,2)【解析】设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x ，所以y ′＝－e －x ，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2，所以y 0＝e ln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2,2)．考向三 求参数值3．D【解析】∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， 于是解得m ＝－2，故选D.【针对补偿】8【解析】因为y ′＝1＋1x，所以y ′|x ＝1＝2， 故切线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，由Δ＝0，得a ＝8. 考向四 切线方程的应用4．－1【解析】f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1， ∴x 1·x 2·…·x 2 016＝12×23×34×…×2 0152 016×2 0162 017＝12 017， 则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016＝log 2 017(x 1x 2…x 2 016)＝－1.【针对补偿】1．C【解析】f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．2．A【解析】求导可得y ′＝－4e x ＋e －x ＋2，∵e x ＋e －x ＋2≥2e x ×e －x ＋2＝4 ∴y ′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)，∵0<α<π，∴3π4≤α＜π. 3．A【解析】设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝f ′(t )＝3t 2－a ，① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )·(x －t )．②将点(1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ， 由题意得它们互为相反数得a ＝278.故选A.。
导数的基本公式与运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点附近的变化率。
在计算导数时，有一些基本公式和运算法则可以帮助我们简化计算过程。
一、基本公式1.常数函数的导数公式对于常数函数f(x)=C，其中C是一个常数，其导数为f'(x)=0。
这是因为常数函数在任何点处的斜率都为0，所以其导数为0。
2.幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，其导数为f'(x) =nx^(n-1)。
这个公式可以通过使用极限定义来证明。
3.指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = ln(a) * a^x。
这个公式可以通过使用极限定义和指数函数的性质来证明。
4.对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这个公式可以通过使用极限定义和对数函数的性质来证明。
5.三角函数的导数公式对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)以及它们的反函数，它们的导数公式如下：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)cot'(x) = -csc^2(x)sec'(x) = sec(x) * tan(x)csc'(x) = -csc(x) * cot(x)这些公式可以通过使用极限定义和三角函数的性质来证明。
二、运算法则1.和差法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的和（或差）的导数等于它们的导数之和（或差）：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)2.积法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)3.商法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，那么它们的商的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^24.复合函数的导数如果函数f(x)和g(x)都可导，那么复合函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)这些基本公式和运算法则是在计算导数时非常有用的工具，它们能够帮助我们简化计算过程并得到准确的结果。
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
导数的概念及运算一、知识梳理1．导数的概念(1)函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率 函数 f(x)从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.(2)f(x)在x ＝x 0处的导数函数 y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0ΔyΔx，称其为函数 y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或 ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx － f x 0Δx.(3)导函数当x 变化时， f ′(x)称为 f(x)的导函数，则 f ′(x)＝y ′＝lim Δx →0f x ＋Δx － f x Δx.问题探究1：f ′(x)与f ′(x0)有何区别？提示：f ′(x)是一个函数，而f ′(x0)是常数， f ′(x0)是函数f ′(x)在x ＝x0处的函数值．2．导数的几何意义函数y ＝f(x)在x ＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y0＝f_′(x0)(x －x0)． 3．基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)＝c f_′(x)＝0 f(x)＝xn(n ∈Q*) f_′(x)＝nxn －1 f(x)＝sinx f_′(x)＝cosx f(x)＝cosx f_′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0且a ≠1)f_′(x)＝axlna(a>0且a ≠1)f(x)＝ex f_′(x)＝ex原函数导函数f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)f ′(x)＝1xlna(a>0，且a ≠1)f(x)＝lnxf ′(x)＝1x4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f_′(x)±g ′(x)；(2)[ f(x)·g(x)]′＝f_′(x)g(x)＋__f(x)g ′(x)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ f x g x ′＝f ′x g x － f x g ′x [g x ]2(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f[g(x)]的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y ′x ＝f_′(u)u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的积．问题探究2：过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f(x)图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？提示：不一定．还有可能有2个或3个或无数多个公共点．二、自主检测1．(2010年全国新课标卷)曲线y ＝x3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2 解析：∵点(1,0)在曲线y ＝x3－2x ＋1上，且y ′＝3x2－2，∴过点(1,0)的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1，由点斜式得切线方程为y －0＝1·(x －1)，即y ＝x －1. 答案：A2．设f(x)＝xlnx ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln2解析：由已知有f ′(x)＝lnx ＋x ·1x ＝lnx ＋1，所以f ′(x 0)＝2⇒lnx 0＋1＝2⇒x 0＝e.故选B.3．下列求导过程中①(1x )′＝－1x 2；②(x)′＝12x ；③(log a x)′＝(lnx lna )′＝1xlna ；④(a x )′＝(elna x )′＝(exlna)′＝exlnalna ＝a xlna其中正确求导过程的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2010年江西高考)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c ，满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：f ′(x)＝4ax3＋2bx ，∵f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2， ∴f ′(－1)＝－(4a ＋2b)＝－2. 答案：B5．某物体作匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b(v 是平均速度)，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．解析：由已知任何时刻t 的瞬时速度为s ′＝(vt ＋b)′＝v ， ∴相等． 答案：相等6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝______________；li m Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝____________.(用数字作答)解析：f(0)＝4，f(4)＝2，∴f[f(0)]＝2，lim Δx →0f 1＋Δx －f 1Δx＝f ′(1)＝－2.三、考向指导考点1 利用导数的定义求函数的导数1.根据导数的定义求函数 y ＝f(x)在点x 0处导数的方法：(1)求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；(3)得导数 f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx，简记作：一差、二比、三极限． 2．函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．例1 用导数的定义求函数y ＝1x在x ＝1处的导数． 【解】 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx1＋1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋1＋Δx 1＋Δx，∴Δy Δx ＝－11＋1＋Δx 1＋Δx.∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝－12.课堂过手练习：若函数y ＝f(x)在x ＝a 处的导数为A ，则lim Δx →0f a ＋Δx －f a －Δx Δx为( )A ．AB ．2A C.A2D ．0解析：由于Δy ＝f(a ＋Δx)－f(a －Δx)，其改变量对应2Δx ， ∴lim Δx →0 f a ＋Δx －f a －Δx Δx＝2lim Δx →0f a ＋Δx －f a －Δx 2Δx＝2f ′(a)＝2A ，故选B.考点2 求简单函数的导数求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程烦琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．例2 若f(x)＝x2－2x －4lnx ，则f ′(x)>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)【解析】 f ′(x)＝2x －2－4x ＝2x 2－x －2x＝2x ＋1x －2x(x>0)，∵x>0，∴x ＋1>0.∴f ′(x)>0⇔x －2>0⇔x>2. ∴f ′(x)>0的解集为(2，＋∞)．课堂过手练习：求下列函数的导数． (1)y ＝2x 3＋x －6；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝11－x ＋11＋x. 解：(1)y ′＝6x 2＋1. (2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝12sinx ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinx ′＝12(sinx)′＝12cosx. (4)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x1－x 1＋x ＝21－x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x 2.考点3 求复合函数的导数求由初等函数复合而成的复合函数的导数，要仔细分析解析式的结构特征，将函数分成几个初等函数的结构从而便于求导．例3 求下列复合函数的导数．(1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2(2x ＋π3)．【解】 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5， 由y ＝u5与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u)·u ′(x)＝(u5)′(2x －3)′＝5u4·2 ＝10u4＝10(2x －3)4.由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．熟悉复合函数的求导过程后，不必再设出中间变量．课堂过手练习：求下列函数的导数：(1)y ＝x2sin2x ；(2)y ＝2xsin(2x ＋5)；(3)y ＝ln(2x ＋5)．解：(1)y ′＝2xsin2x ＋2x 2cos2x.(2)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4xcos(2x ＋5)． (3)设y ＝lnu ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.考点4 导数的几何意义1.函数 y ＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数 f ′(x0)表示函数 y ＝f(x)在x ＝x0处的瞬时变化率，导数 f ′(x0)的几何意义就是函数 y ＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y －y0＝ f ′(x0)(x －x0)．2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数 y ＝f(x)在点x0处的导数 f ′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程 y －y0＝ f ′(x0)(x －x0)．例4 已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)【解析】 解法一：∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x＋12.令e x＋1＝t ，则e x＝t －1且t>1， ∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t . 再令1t＝m ，则0<m<1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.解法二：y ′＝－4e x＋1ex ＋2，∵e x＋1e x ≥2，∴0<4e x＋1ex ＋2≤1，∴－1≤y ′<0.即1≤tan α<0，∴α∈[34π，π)．课堂过手练习：已知函数f(x)＝13x 3－x 2＋ax ＋b 的图象在点P(0, f(0))处的切线方程为y ＝3x －2.求实数a ，b 的值．解：f ′(x)＝x 2－2x ＋a ， ∴f ′(0)＝a ＝3，即a ＝3，又P(0, f(0))既在曲线f(x)上，又在切线y ＝3x －2上，∴f(0)＝13×03－02＋a ×0＋b＝3×0－2，即b ＝－2.∴a ＝3，b ＝－2.易错点 混淆“过某点”与“在某点”而致误典例：求抛物线y ＝x2过点P(1,0)的切线方程． 【错解】 ∵y ′＝2x ，∴过点P(1,0)的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2， ∴所求切线方程为y －0＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0. 【错因分析】 本题的错误在于把求过点P 的切线方程，当作在P 点的切线方程问题处理了． 【正确解答】 设抛物线y ＝x2与过点P(1,0)的切线切于点A(x0，y0)，则切线斜率k ＝2x0， ∴切线方程为y －x ＝2x0(x －x0)，∵点P(1,0)在切线上，∴0－x ＝2x0(1－x0)， 即x －2x0＝0，解得x0＝0或x0＝2，故所求的切线方程为y ＝0或4x －y －4＝0.(1)利用导数的几何意义求切线方程时，应注意题目的叙述过程：若“求在曲线上某一点处的切线方程”，则表明该点在曲线上，并且该点即为切点；若“求过某点的曲线的切线方程”，则该点不一定为切点，也不一定在曲线上，采用的方法也有别于第一种情况．(2)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线；同样，直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上公共点．纠错课堂练习：已知曲线方程为y ＝x2，(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程； (2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程． 解：(1)∵A 在曲线y ＝x2上，∴过A 与曲线y ＝x2相切的直线只有一条，且A 为切点． 由y ＝x2，得y ′＝2x ，∴y ′|x ＝2＝4， 因此所求直线的方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)解法一：设过B(3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k(x －3)，即y ＝kx ＋5－3k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k ，y ＝x 2得x 2－kx ＋3k －5＝0，Δ＝k 2－4(3k －5)＝0. 整理得：(k －2)(k －10)＝0，∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 2得y ′＝2x ，∴y ′|x ＝x 0＝2x 0， 由已知k PA ＝2x 0，即5－y 03－x 0＝2x 0.又y 0＝x 20代入上式整理得：x 0＝1或x 0＝5， ∴切点坐标为(1,1)，(5,25)，∴所求直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意 f ′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f ′(x0)代表函数 f(x)在x ＝x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 3．复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决． (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；(4)复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程．。
