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导数的概念、几何意义及其运算
导数是微积分中一个重要的概念，它描述函数在某一点处变化的速率。
它也被称为微分系数或变化率。
一般来说，导数用来表示函数在特定点处发生变化的速率或斜率。
从几何意义上讲，导数可以看作是函数图像的斜率，即函数在某一点的切线的斜率。
例如，当函数y=f(x)的图像在某一点x=x_0时的斜率是k，那么在x=x_0处的导数就是k。
在运算上，导数可以用导数定义式来求解，该定义式如下：
$$f'(x)=\lim_{h \to 0}{\frac {f(x+h)-
f(x)}{h}}$$
此外，还有一种常用的求导法叫做链式法则，其可以把复杂的函数表达式分解成多个简单的函数，然后把每个简单函数分别求导，最后再把每个简单函数的导数相加。
更具体地说，对于函数$f(x)=g(h(x))$，链式法则表明：
$$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$$。
导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，xy ∆∆有极限。
如果xy ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x'=; ⑧()1l g log a a o x ex'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。
具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。
导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。
上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。
比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。
另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。
二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。
1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。
具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。
2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。
如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。
导数的概念与运算
导数（Derivative）是微积分中的一个重要概念，用于描述一
个函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数可以用来描述一个变量相对于另一个变量的变化情况，例如速度、加速度、温度、利润等。
导数的定义是函数在某一点处的变化率与自变量变化量之比，通常表示为 f'(x) 或 df(x)/dx。
如果函数在某一点处可导，那么
它在该点处存在切线，并且 f'(x) 就是在该点处的切线斜率。
导数的运算包括求导和求偏导数。
求导是指求一个函数关于某个自变量的导数，例如 f(x) 对 x 求导就是 f'(x)。
求偏导数是指求一个多元函数的某个变量的导数，例如 f(x,y) 对 x 求偏导就
是 f'x(x,y)。
在具体计算中，导数可以通过极限的概念来计算，即 f'(x) = limit [f(x + dx) - f(x)]/dx，其中 dx 是一个无穷小的量。
此外，
导数还可以通过各种求导法则进行计算，例如链式法则、乘法法则、复合法则等。
导数在微积分中有着广泛的应用，它可以用于求解函数的极值、曲线的切线、函数的形态、变化率等，是现代科学研究和工程应用中非常重要的数学工具之一。
求导数公式及运算法则求导数公式及运算法则导数是微积分中非常重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率。
在实际应用中，求导数可以帮助我们确定函数的最大值、最小值、驻点等，因此对求导数的理解和掌握是非常重要的。
本文将介绍一些常见的求导数公式及运算法则。
一、求导数的定义假设函数f(x)在区间[a,b]内可导，则函数在某一点x的导数表示为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示极限，h表示x自变量的增量。
二、求导数常用的公式1. 常数函数的导数：若c是常数，则f(x)=c的导数为0。
2. 幂函数的导数：对于任意实数n，f(x)=x^n的导数为：f'(x) = nx^(n-1)特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1。
3. 指数函数的导数：f(x)=e^x的导数为：f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x)=log_a(x)的导数为：f'(x) = 1/(x*log_a)其中a为常数，且a>0且a≠1。
5. 三角函数的导数：sin(x)' = cos(x)cos(x)' = -sin(x)tan(x)' = sec^2(x)这里的sec(x)表示secant（正割）函数。
三、四则运算法则求导数不仅可以针对单个函数进行，还可以对多个函数之间进行四则运算。
下面介绍求导数的四则运算法则。
1. 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x)-g(x)]' = f'(x) - g'(x)即求和或求差的导数等于各自的导数之和或差。
2. 乘法法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)即求两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第二个函数的导数乘以第一个函数。
导数的概念与运算一、基础知识1．导数的概念一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim→Δ0x ΔyΔx＝lim→Δ0xf(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim→Δ0x ΔyΔx＝lim→Δ0xf(x0＋Δx)－f(x0)Δx.f′(x)与f′(x0)的区别与联系f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指以P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝lim→Δ0x f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．4．导数的运算(1)几种常见函数的导数①(C)′＝0(C为常数)；②(x n)′＝nx n－1(n∈Q*)；③(sin x)′＝cos_x；④(cos x)′＝－sin_x；⑤(e x)′＝e x；⑥(a x)′＝a x ln_a(a>0，a≠1)；⑦(ln x)′＝1 x；⑧(log a x )′＝1x ln a (a >0，a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )； ②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤u (x )v (x )′＝u ′(x )v (x )－u (x )v ′(x )[v (x )]2(v (x )≠0)．熟记以下结论： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )；(4)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．考点一 导数的运算[典例] 求下列函数的导数． (1)y ＝ln x ＋1x ； (2)y ＝(2x ＋1)·e x ； (3)y ＝1＋x5x2； (4)y ＝x －sin x 2cos x2.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2. (2)y ′＝[(2x ＋1)·e x ]′＝(2x ＋1)′·e x ＋(2x ＋1)·(e x )′＝2e x ＋(2x ＋1)·e x ＝(2x ＋3)·e x .(3)∵1＋x 5x2＝x 35＋x -25，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x 5x 2′＝(x 35)′＋(x -25)′＝35x -25－25x -75. (4)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝1－12cos x .[专题训练]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ， 得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .所以f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 2．求下列函数的导数． (1)y ＝cos x －sin x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln xx 2＋1. 解：(1)y ′＝(cos x )′－(sin x )′＝－sin x －cos x . (2)∵y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y′＝(ln x)′(x2＋1)－ln x(x2＋1)′(x2＋1)2＝1x(x2＋1)－2x·ln x(x2＋1)2＝x2(1－2ln x)＋1x(x2＋1)2.考点二导数的几何意义考法(一)求曲线的切线方程[典例](优质试题·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x[解析]∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.[答案] D[解题技法]若已知曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程的方法(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．考法(二)求切点坐标[典例]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)[解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.[答案] C[解题技法]求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法(三)求参数的值(范围)[典例]函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．[解析]函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝1x＋a，即1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，a＝2－1x在(0，＋∞)上有解，因为x>0，所以2－1x<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．[答案](－∞，2)[解题技法]1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[专题训练]1.曲线y＝e x在点A处的切线与直线x－y＋3＝0平行，则点A的坐标为()A．(－1，e－1) B．(0,1)C．(1，e) D．(0,2)解析：选B∵y′＝e x，令e x＝1，得x＝0.当x＝0时，y＝1，∴点A的坐标为(0,1)．2.设曲线y＝a(x－1)－ln x在点(1,0)处的切线方程为y＝2x－2，则a＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D∵y＝a(x－1)－ln x，∴y′＝a－1 x，∴y′|x＝1＝a－1.又∵曲线在点(1,0)处的切线方程为y＝2x－2，∴a－1＝2，解得a＝3.3.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0解析：选B因为点(0，－1)不在曲线y＝f(x)上，所以设切点坐标为(x0，y0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.所以切点坐标为(1,0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．设f (x )＝x e x 的导函数为f ′(x )，则f ′(1)的值为( ) A ．e B ．e ＋1 C ．2eD ．e ＋2解析：选C 由题意知f (x )＝x e x ，所以f ′(x )＝e x ＋x e x ，所以f ′(1)＝e ＋e ＝2e.2．曲线y ＝sin x ＋e x 在x ＝0处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ′＝cos x ＋e x ，∴当x ＝0时，y ′＝2.又∵当x ＝0时，y ＝1，∴所求切线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0.3．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.4．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝ax ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.5．(优质试题·合肥第一次教学质量检测)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A.12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B 由题意知y ′＝a e x ＋1，令a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选D 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0＝－1.又因为切点P 的坐标为(x 0，－x 0)，所以x 30＋ax 20＝－x 0.联立两式得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 30＋ax 20＝－x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1.所以点P 的坐标为(－1,1)或(1，－1)． 7．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x 图象的切线，则实数a ＝________.。
