第一类切比雪夫多项式

第一类切比雪夫多项式第一种的切比雪夫多项式是一组正交多项式定义解决方案切比雪夫微分方程和表示。

他们是作为一个近似最小二乘适合,的一个特例盖根堡多项式与。

他们用三角也密切相关多角度的公式。

第一类切比雪夫多项式表示和实现Wolfram语言作为ChebyshevT[n x]。

归一化,这样。

最初几个多项式上面和,2,…5。

第一种的切比雪夫多项式可以定义的围道积分(1)轮廓包含原点和遍历在逆时针方向(Arfken 1985,p . 1985)。

最初几个第一类切比雪夫多项式(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)命令从最小到最大的权力时,三角形的非零系数是1;1;,2;4,18;5、16岁……(OEIS A008310).一个美丽的情节可以通过策划径向,增加每个值的半径,并填写曲线之间的区域(Trott 1999,pp。

10和84年)。

切比雪夫多项式的第一种定义的身份(9)切比雪夫多项式的第一种可以获得的生成函数(10)(11)和(12)(13)为和(分为et al . 1972,15项)。

(密切相关生成函数的定义的基础吗第二类切比雪夫多项式.)一种是直接表示(14)中定义的多项式也可以总结(15)(16)(17)在哪里是一个二项式系数和是层功能,或产品(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。

也满足好奇行列式方程(19)(1986年纳什)。

第一种的切比雪夫多项式的一个特例雅可比多项式与 ,(20)(21)在哪里是一个超几何函数(Koekoek 和Swarttouw 1998)。

0时(22)为2……。

极值出现的(23)在哪里。

在最大,,至少, .切比雪夫多项式是正交多项式关于权重函数(24)在哪里是克罗内克符号。

第一类切比雪夫多项式满足额外的离散的身份(25)在哪里为 , ...,是0的 .他们也满足递归关系(26)(27)为,以及(28)(29) (沃特金斯和蔡Rivlin 1993;1990年,p . 5)。

切比雪夫和切比雪夫多项式的故事述职报告切比雪夫是俄国现代数学的开创者之一，他是优秀的纯粹数学家，也是名副其实的应用数学家。

他创建的彼得堡学派具有鲜明的理论联系实际的特色。

著名的切比雪夫多项式就是从连杆设计中升华出来的理论精华。

19世纪前，俄国数学在欧洲一直处于落后地位，切比雪夫（Pafnuty Chebyshev，1821—1894）的出现从根本上改变了这种格局。

作为一流的数学家和力学家，切比雪夫在多个领域都有所建树，比如在数论方面推进了素数分布问题的研究，在概率论方面用初等方法证明了大数定律，在函数逼近论中建立了切比雪夫多项式，在积分方面证明了微分二项式可积性条件定理等。

他注重培养学生，团结有共同志趣的人士，创建了俄国最早的数学学派——彼得堡学派。

一个富末代的童年切比雪夫出生于俄国卡卢加省博罗夫斯克的奥卡多沃。

他的家庭是名副其实的贵族家庭，祖辈有很多人立过战功。

父亲列夫·切比雪夫（Lev Pavlovich Chebyshev）是沙皇时代的一名军官。

列夫和妻子一共育有9个孩子，切比雪夫排行第二。

切比雪夫身体残疾，从小就要借助一根拐棍行走，无法与其他的孩子一样自由自在地玩耍，大多时候自得其乐，偶尔会用小刀子制作心爱的玩具。

不过，这种身体的局限反而给了他心灵上更大的自由，他可以在独处中多一些畅想，对他以后走上独立的研究道路不无益处。

19世纪初的俄国还不太强大，当时的俄国人对欧洲其他国家既害怕又羡慕。

一些无知的人主张闭关锁国来抵御地域和文化侵略，而另一些受过良好教育的人了解欧洲的文化、文学和科学，主张俄国应该更加开放和西化。

幸运的是，切比雪夫的父母是后者，持开明的态度，使他从小受到了良好的教育，也有助于他开放思想与博大胸襟的养成。

他在家里启蒙，母亲和一位聪慧的表姐为他授课。

母亲教他读书写字，表姐教他法语、算术和唱歌，这为他以后了解法国乃至世界数学的研究进展创造了条件。

1832年，他们举家搬到俄国的科学和文化中心莫斯科。

切比雪夫多项式零点证明切比雪夫多项式（Chebyshev polynomial）是一类在数学中具有重要应用的特殊多项式。

在实分析和数值计算中，切比雪夫多项式的零点分布具有独特的性质，可以用于插值、逼近和优化等领域。

本文将详细介绍切比雪夫多项式的零点证明。

首先，我们来定义切比雪夫多项式。

切比雪夫多项式可以用递归的方式定义，如下：T0(x) = 1T1(x) = xTn(x) = 2xTn-1(x) - Tn-2(x) (n ≥ 2)切比雪夫多项式的零点通常被称为切比雪夫节点。

切比雪夫多项式的第n个零点可以表示为：xk = cos(π(k + 0.5)/n) (0 ≤ k < n)为了证明这一结论，我们可以通过数学归纳法来进行证明。

首先，我们可以验证n=1和n=2的情况，这是基本情况。

当n=1时，切比雪夫多项式为T1(x) = x，其零点为x0 = 0，与结论一致。

当n=2时，切比雪夫多项式为T2(x) = 2x^2 - 1，其零点为x0 = -1/√2 和x1 = 1/√2，也与结论一致。

接下来，我们假设对于任意的n≥2，切比雪夫多项式的零点公式成立。

我们要证明对于n+1的情况，也能得到相应的结论。

假设切比雪夫多项式Tn(x)的零点为x0, x1, ..., xn-1。

我们定义新的多项式Un(x) = Tn(x) - λ，其中λ为待确定的常数。

根据切比雪夫多项式的递推关系，我们有：Un+1(x) = 2xUn(x) - Un-1(x)假设Un(x)有m个零点，我们用y0, y1, ..., ym-1来表示。

因为Un(x) = Tn(x) - λ，所以Un(x)的零点与Tn(x)的零点相同。

我们还可以得到：Un+1(yi) = 2yiUn(yi) - Un-1(yi) = 0现在，我们来确定λ的值，使得Un+1(x)的零点为切比雪夫多项式Tn+1(x)的零点。

我们假设Un(x)的零点在[-1,1]之间，因为切比雪夫多项式的定义域为[-1,1]。

方法一：余弦倍角公式是由余弦的幂整系数线性组合来表示倍角的余弦．这样就产生余弦的n 倍角能否用余弦的幂次的整系数线性组合表示等问题．通过研究，发现cos n α都是关于2cos α的首项系数为1的、次数等于α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式，还进一步得到cos n α的一些性质．应用此性质，可以得到一些求和公式及解决许多数学问题．进一步研究，发现此多项式可以转化为切比雪夫多项式．在初等数学中，三角函数是一个十分有用的工具，余弦cos n α是众所周知的偶函数，它的倍角公式如：2cos 22cos 1αα=- ，(1)3cos34cos 3cos ααα=-． (2)它们都是由余弦cos α的幂整系数线性组合来表倍角的余弦．这样就自然产生了余弦的n 倍角能否用余弦cos α的幂次的整系数线性组合表示问题，稍作计算可以得42cos 48cos 8cos 1ααα=-+ ，(3)53cos516cos 20cos 5cos αααα=-+ ．(4)观察公式(1—4)，可以发现．如果公式两端同乘以2，则公式右边都是关于2cos α的首系数为1的、次数等于公式左边α的倍数的、系数符号正负相间的整系数多项式．由此猜测2cos n α也具有这一性质，下面用数学归纳法加以证明．猜想2,02cos (1)(2cos )m n m n m m n a αα-==-∑，(;n N m N +∈∈) (5)(5)式可改写为：n/312112cos (2cos )(1)(2cos )ent n mm n m n m m n n C mααα----==+-∑ ，(9) (9)式称为n 倍角余弦公式．12424cos 2(cos )(cos )(cos )n n n n n n n αααααα-----=-++…，其中i α为正整数． 因为余弦cos α在[]0,απ∈上单调，对应值为1降到1-，即cos α[]1,1∈-，[]0,απ∈ ．因此存在反函数，若令cos x α=，则arccos x α=，[]1,1x ∈-，[]0,απ∈．因此，在余弦n 倍角公式中令arccos x α=，[]0,απ∈，[]1,1x ∈-，则倍角公式为于是cos(arccos )n x 首项系数为12n -的多项式，各项系数是整数，符号依次变化，x 的幂依次递减2次，若递减到最后，幂次为负，则该项取零．若记cos(arccos )n x =()n T x ，则()n T x 满足，12()2()()n n n T x xT x T x --=-，()n T x 称为切比雪夫多项式．从递推关系可以得到：第一类切比雪夫多项式有许多良好的性质，例如：1．(cos )cos(),,n T n R n N θθθ=∈∈．(分析：令cos x θ=，arccos x θ=) 2．()(1)()n n n T x T x -=-，,x C n N ∈∈．这表明()n T x 当n 为奇(偶)数时是奇(偶)函数．3．()1,,1n T x x R x ≤∈≤．4．21(0)0m T +=，2(0)(1),m m T m N =-∈．5．函数列{}()n T x 的生成函数为（分析：生成函数又叫母函数，在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息．使用母函数解决问题的方法称为母函数方法．母函数的思想就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造．母函数是解决组合计数问题的有效工具之一，其思想方法是把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂的相加对应起来．）6．函数列{}()n T x 满足2阶递推关系（分析：由三角恒等式cos(1)cos(1)2cos cos n n n θθθθ++-=）最小偏差切比雪夫在1857年提出这样一个问题：在最高项系数为1的n 次多项式中，寻求在区间[]1,1-上与零的偏差最小的多项式．换句话说，就是寻求[]1,1n x C ∈-在1n H -中的最佳一致逼近多项式1()n P x *-，这里定理 在区间[]1,1-上所有最高项系数为1的多项式中，与零的偏差最小，其偏差为112n -． ()n U x 称为第n 个第二类切比雪夫多项式，前7个第二类切比雪夫多项式为： 第二类切比雪夫多项式也有许多良好的性质，例如：1．()(1)(),,n n n U x U x x C n N -=-∈∈．即当以为奇(偶)数时是奇(偶)函数． 2．21(0)0m U +=，2(0)(1)m m U =-，(1)1n U n =+,(1)(1)(1)n n U n -=-+，m N ∈．3．函数列{}()n U x 的生成函数为4．()1,,1n U x n x R x ≤+∈≤．5．函数列{}()n U x 满足2阶递推关系两类切比雪夫多项式的关系定理1设()n T x 和()n U x 分别为第一类和第二类切比雪夫多项式，0n ≥为整数，则证明 由两类切比雪夫多项式的定义得而则比较式在子两边n t 项的系数，即有4切比雪夫多项式的应用4.1切比雪夫多项式插值切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用．这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值．相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近． 切比雪夫多项式插值法：定理：设01,,x x …,n x 为区间[],a b 上1n +个互不相同的点，[]1(),n f x C a b +∈，则对任何[],x a b ∈,存在[]01,,,x n x x x ξ∈，使得拉格朗日插值余()()()n R x f x L x =-，满足其中插值多项式的余项极小化：要使拉格朗日插值多项式()n L x 尽量逼近()f x ，就要使余项()n R x 尽量小．在 ()n R x 中，()f x 是固定的，而 x ξ又是未知数，所以要减小()n R x ，只有恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大值为极小值．为了应用切比雪夫多项式，首先应将插值区间[],a b ,通过简单变换归一化到区间[−1,1],做变换()12k k z b a x b a =-++⎡⎤⎣⎦ 所以插值节点应取为()121cos 222k k z b a b a n π+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦. 其中0,1,2,,1k n =-，所以下面我们只需要讨论区间[−1,1]上的函数的切比雪夫插值法： 当取定第一类切比雪夫点21cos ,0,1,2,,22k k x k n n π+==+后，令()1111max n n x M f x ++-≤≤=，则有()()11max 1max (1)!2(1)!n n n n x R x M M n n ++=≤++∏，故切比雪夫插值法可以使得余项的最大值极小化，得到较佳逼近多项式.。

十二、切比雪夫多项式（上）前面我们已经看到，作为指数型母函数，1)(-x e x生成了伯努利数B n ；+++++=-n n x n•B x •B x B B x e x!!21)(2210，1)()(-x e tx xe 生成了伯努利多项式)(t n β：+++++=-n n x n•t x •t x t t x e tx xe !)(!2)()()(1)()(2210ββββ，伯努利数和伯努利多项式在数学分析中有许多作用，前面讲到的求自然数方幂和的公式只是其中之一.数学中有不少重要的特殊函数可以通过相应的母函数产生，这是母函数的一个重要作用. 本节介绍的切比雪夫多项式就是这些重要的特殊函数中的一个.我们来研究把函数22444xtx x +-- （117）作为普通母函数（不是指数型母函数）所生成的函数列. 这里分子是一个x 的多项式；如果把分母中的t 看作常数，则也是x 的多项式. 我们设法把它展开成x 形式幂级数.因为分子分母都是x 的二次多项式，故先把它写成22244481444xtx tx xtx x +--+-=+--， （118）右边第二项分子是x 的一次多项式，分母是x 的二次多项式，因而是个真分式，故可把它写成部分分式（把t 看成常数）.为了便于讨论，我们令θθθsin cos ,cos i •z •t +==.这里1-=i 是虚数单位. 于是,sin cos )sin )(cos sin (cos sin cos sin cos 11••i ••i i i ••i z θθθθθθθθθθ-=-+-=+=所以 t zz 2cos 21==+θ. 这样一来，（118）右边第二项的分母便可写成,2112141244422••x z x z ••••••••••x x z z x tx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-于是,211121121121244482•x zx z ••••••••••x z x z txx tx tx-+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-- 代入（118），便得（117）的部分分式展式：x zx z x tx x 2111211144422-+-+-=+-- . （119） 注意到,2221100∑∑∞=∞==⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n nn nx z x z x z ,2121211100∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n nnx z x z x z代入（119）得)120(.1211212144410022•••••••••••••x z z ••••••••••x zx z x tx x n n n n nnn nnnn nn⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++-=+--∑∑∑∞=∞=∞=根据棣莫佛公式：)122(,sin cos )sin (cos 1)121(,sin cos )sin (cos ••••••••••••n i n i z••••••••••••n i n i z nnn n θθθθθθθθ-=-=+=+=由此得θn zz nn cos 21=+. （123）代入（120）有n n n x n x tx x ∑∞=-+=+--11222cos 1444θ，而t ••t•cos arc ,cos ==θθ，所以n n n x t n x tx x ∑∞=-+=+--11222)(arccos cos 1444.记),2,1(,)(arccos cos 21)(,1)(10 ••••n •••t n t ••T •t T n n ===- （124）这就是由母函数（117）所生成的函数列，称它们为切比雪夫多项式何以见得（124）是t 的多项式呢？仍用t arccos =θ代回，并注意到（121），（122），（123），就得,])1()1[(21])sin (cos )sin [(cos 21121cos 21)(arccos cos 21)(2211••t i t t i t ••••i i ••••z z t n t T n n nnn nn n n n n n --+-+=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+===--θθθθθ利用二项式定理：,)1()1()1(,)1()1(202202•t i t C t i t ••t i t C t i t kn k k k k n k nn k nk k k n k n n--=---=-+∑∑=-=-于是∑=--+-=nk k k kk n k n nn t i t C t T 02])1(1[)1(21)(， （125）当k 取奇数值时，0)1(1=-+k ，故和式中只有k 取偶数值的那些项. 这样一来，（125）便可写成)126(.)1()1(21)1(221)(]2[02221]2[022222••••••••t t C ••••t i t C t T n r rn r r n r n n r rr r n r n nn ∑∑=--=---=-=这就证明了)(t T n 确实是个多项式，而且是n 次多项式，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n 如前所说是表示2n的整数部分，例如当n =8时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n =[4]=4，当n =9时，4]5.4[292==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n .。

切比雪夫多项式定理切比雪夫多项式定理（Chebyshev Polynomial Theorem）是一个数学定理，由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）首先提出。

它是关于多项式的定理，描述了多项式在有界域内的行为。

该定理可以用来证明许多关于多项式的性质，也可以用来解决许多多项式问题。

定理的形式如下：给定函数f(x)在区间[a,b]上单调，其中a<b，假设函数f(x)具有n次可导的连续导数，并且f(x)的n-1次导数在[a,b]上单调。

如果f(x)可以由n 次切比雪夫多项式Pn(x)表示，则有：f(x)=Pn(x)+Rn(x)其中，Pn(x)是n次切比雪夫多项式，Rn(x)是n次余项，称为切比雪夫多项式定理。

从定理可以看出，如果f(x)在[a,b]上可以由n次切比雪夫多项式表示，那么f(x)可以被分解为两部分，一部分是切比雪夫多项式Pn(x)，另一部分是余项Rn(x)。

该定理的重要性在于它提供了一种精确的方法来表示函数f(x)的行为，而不必使用近似解法。

此外，该定理也显示了函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小。

根据切比雪夫多项式定理，可以得出一些有用的结论，如：（1）在[a,b]上，所有可导的函数f(x)都可以表示为一组切比雪夫多项式的和；（2）在[a,b]上，函数f(x)的收敛性，即当n越大时，Pn(x)越接近f(x)，Rn(x)越小；（3）在[a,b]上，f(x)的最大值和最小值可以由切比雪夫多项式的绝对值来确定，即f max=max{|Pn(x)|}， f min=min{|Pn(x)|}（4）在[a,b]上，有f'(x)=P'n(x)+R'n(x)其中，P'n(x)是n次切比雪夫多项式的导数，R'n(x)是n次余项的导数。

切比雪夫多项式定理的应用非常广泛，在许多领域都有着广泛的应用，如量子力学、量子物理、量子化学、量子计算机、光电子学、电磁学、可编程逻辑控制器、信号处理、机器人学、计算机图形学、计算几何学、数值分析、系统工程、模式识别等等。

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。

通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。

切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。

这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。

相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程和相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。

这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定也可以用母函数表示第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出此时母函数为从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。

用显式来表示尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有类似，第二类切比雪夫多项式满足以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:归递公式两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替xTn(x) − (1 − x2)Un(x)正交性Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.第一类切比雪夫多项式带权即:可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).基本性质对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。

山西省太原市（新版）2024高考数学人教版测试(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知互异的复数满足，集合={,},则= （ ）A．2B．1C．0D．第(2)题原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假第(3)题已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（）A．B．C．D．的大小关系与有关第(4)题设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定有（）A．B．C．D．第(5)题已知实数x、y满足约束条件，则的最大值是( )A．B．2C．D．4第(6)题一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（）A．18B．C．D．12第(7)题函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．B．函数的最小正周期为C．函数在上单调递减D ．函数的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴对称第(8)题某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为A．，B．，C．，D．，二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（）A．B．当时，C．D．第(2)题已知全集U，集合A，B是U的子集，且，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．第(3)题数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，探究上述多项式，下列选项正确的是（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则______.第(2)题已知角的终边经过点，则的值等于______．第(3)题已知函数为偶函数，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知向量，当时，，且函数．（1）求的解析式与最小正周期；（2）求在区间上的值域．第(2)题在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆交于，两点，为圆上不同于，的动点，若满足面积为的点恰有两个，求的取值范围．第(3)题已知函数．求函数的单调递增区间；在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求的面积．第(4)题已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求的取值范围.第(5)题为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：.0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828。