港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第7套：集合综合题(含答案)

2021年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本大题共12小题；每题5分。

在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．〔5分〕in225°=〔〕A．B．C．﹣D．2．〔5分〕设平面向量=〔﹣1，2〕，=〔3，﹣2〕，那么=〔〕A．〔1，0〕B．〔1，2〕C．〔2，4〕D．〔2，2〕3．〔5分〕设集合A⊆{1，2，3，4}，假设A至少有3个元素，那么这样的A共有〔〕A．2个B．4个C．5个D．7个4．〔5分〕设=f〔〕是=的反函数，那么f〔〕=〔〕A．4B．2C．D．5．〔5分〕设函数=og〔245〕在区间〔a，∞〕是减函数，那么a的最小值为〔〕A．2B．1C．﹣1D．﹣26．〔5分〕不等式|2|＜4的解集为〔〕A．{|＜1}B．{|﹣6＜＜1}C．{|＜4}D．{|＜0}7．〔5分〕函数=inω〔ω＞0〕的图象关于直线=对称，那么ω的最小值为〔〕A．2B．C．D．8．〔5分〕函数=co〔〕的图象按向量=〔﹣，0〕平移后，所得图象对应的函数为〔〕A．=co B．=﹣co C．=in D．=﹣in9．〔5分〕函数=〔inco1〕〔inco﹣1〕的最大值为〔〕A．1B．C．﹣D．﹣110．〔5分〕直线与椭圆=1相交于A，B两点，线段AB的中点为〔2，1〕，那么的斜率为〔〕A．B．﹣C．1D．﹣111．〔5分〕设等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公比为q，且|q|＜1，假设=﹣3，那么q=〔〕A．﹣B．﹣C．D．12．〔5分〕有5本数学书，3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每类都有1本的概率为〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题；每题5分。

13．〔5分〕点〔3，﹣1〕关于直线=0的对称点为．14．〔5分〕曲线=e在点〔0，0〕处的切线方程为．15．〔5分〕复数=的共轭复数=．16．〔5分〕A，B，C为球O的球面上三点，AB⊥AC，假设球O的外表积为64π，O到AB，AC 的距离均为3，那么O到平面ABC的距离为．17．〔5分〕在空间直角坐标系中，过原点作平面2﹣﹣2=0的垂线，垂足为．18．〔5分〕假设多项式a=﹣=﹣．应选：C．【点评】此题考查了三角函数的化简与最值问题，是根底题．10．〔5分〕直线与椭圆=1相交于A，B两点，线段AB的中点为〔2，1〕，那么的斜率为〔〕A．B．﹣C．1D．﹣1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4H：作差法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断AB的中点在椭圆内，设A〔1，1〕，B〔2，2〕，代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，可得所求值．【解答】解：线段AB的中点为〔2，1〕，由＜1，可得AB的中点在椭圆内，即直线AB与椭圆相交，设A〔1，1〕，B〔2，2〕，可得=1，=1，相减可得=0，又12=4，12=2，那么的斜率为==﹣=﹣=﹣1，应选：D．【点评】此题考查椭圆的方程和应用，考查点差法求直线的斜率，同时考查中点坐标公式和运算能力，属于中档题．11．〔5分〕设等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公比为q，且|q|＜1，假设=﹣3，那么q=〔〕A．﹣B．﹣C．D．【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】3A：极限思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．【分析】运用等比数列的求和公式和极限的运算性质，结合q n=0，〔|q|＜1〕，解方程可得公比q．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公比为q，且|q|＜1，可得S n==，===﹣3，解得q=，应选：C．【点评】此题考查等比数列的求和公式和数列极限的求法，考查运算能力，属于根底题．12．〔5分〕有5本数学书，3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，每类都有1本的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出根本领件总数n==22021求出每类都有1本包含的根本领件个数m=5×3×4=60，由此能求出每类都有1本的概率．【解答】解：有5本数学书，3本文学书和4本音乐书，从这三类书中随机抽取3本，根本领件总数n==22021每类都有1本包含的根本领件个数m=5×3×4=60，∴每类都有1本的概率为==．应选：B．【点评】此题考查概率的求法，考古典概型、排列组合等根底知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是根底题．二、填空题：本大题共6小题；每题5分。

澳门（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题椭圆与双曲线焦点相同，、分别为左焦点和右焦点，椭圆与双曲线在第一象限交点为，且，则当这两条曲线的离心率之积为时，双曲线的渐近线斜率是A．B．C．D．第(2)题函数的图像大致为（）A．B．C．D．第(3)题口袋中共有2个白球2个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．第(4)题设集合，则（）A．B．C．D．第(5)题班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有的可能答对问题，的可能答对问题，的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（）A．问题B．问题C．问题和都可以D．问题第(6)题函数的反函数（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则的子集个数为（）A．1B．2C．4D．8第(8)题已知集合，，，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在的展开式中（）A．二项式系数之和为B．第项的系数最大C．所有项系数之和为D．不含常数项第(2)题以下条件能够判断平面与平面平行的是（）A．平面内有两条直线与平面平行B．两不同平面，平行于同一个平面C．平面内的任意一条直线与平面无公共点D．夹在平面与平面间的两条平行线段相等第(3)题十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（）A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关C．M的值越大，椭圆的离心率越大D．M的值越大，椭圆的离心率越小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．第(2)题将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室分配2人，则恰好甲､乙两人打扫同一个办公室的概率为______.第(3)题已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，线段与圆相切于该线段的中点，且的面积为2.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，且，求的面积．第(2)题已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（I）求的解析式及单调递减区间；（II）是否存在常数，使得对于定义域内的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．第(3)题设函数.已知曲线在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求函数的极值点；（3）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.第(4)题国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．第(5)题“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．）(1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；(2)若拋掷一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且．（ⅰ）当时，求的值；（ⅱ）求证：．。

2024年华侨港澳台联考高考数学试卷一、单选题（本大题共12小题,共60.0分.在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项）1.设集合{}2{1,2,3,4,5},|A B x x A ==∈,则()A B ⋂=A.{1} B.{1,2}C.{1,4}D.φ2.已知21z ii+=+,则()z z +=A.12B.1C.32D.33.已知向量(2,1),(2,1)a x x x x b =++=--.若//a b ,则()A.22x = B.||2x = C.23x = D.||3x =4.不等式21230x x --<的解集是()A.1(1,0)0,3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭B.(3,0)(0,1)-⋃C.1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.(,3)(1,)-∞-⋃+∞5.以(1,0)为焦点,y 轴为准线的抛物线的方程是()A.212y x =-B.212y x =+C.221y x =- D.221y x =+6.底面积为2π,侧面积为6π的圆锥的体积是()A.8πB.83π C.2πD.43π7.设1x 和2x 是函数32()21f x x ax x =+++的两个极值点.若212x x -=,则2(a =)A.0B.1C.2D.38.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+.若1332f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则(ϕ=)A.2()2k k Z ππ+∈ B.2()3k k Z ππ+∈C.2()3k k Z ππ-∈ D.2()2k k Z ππ-∈9.函数12(0)xy x =>的反函数是()A.21(1)log y x x=> B.21log (1)y x x=>C.21(01)log y x x=<< D.21log (01)y x x=<<11.若双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条㨆直线与直线21y x =+垂直,則C 的名心率为()A.5C.54D.5212.在1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,则这3个数的和能被3整除的概概是()A.928B.13C.514D.25二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.曲线ln y x x =⋅在点(1,0)处的切线的方程为.14.已知O 为坐标原点,点P 在圆22(1)9x y ++=上,则||OP 的最小值为.15.若tan 3θ=,则tan 2θ=.16.设函数()(0xf x a a =>,且1)a ≠是增函数,若(1)(2)(2)(2f f f f ----,则a =.17.在正三棱柱111ABC A B C -中,121,2AB AA ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为.18.设()f x 是定义域为R 的奇函数,()g x 是定义域为R 的偶函数.若()()2xf xg x +=,则(2)g =.三、解答题（本大题共4小题,共60.0分。

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，√312√32π3π3A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，→→→→→A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．C．-D．-1对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）121212答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2A．2B．1C．D．A．2B．（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．12√2√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x答案：B 解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC故答案为：．√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→4√24（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）在一个工作日中，某工人至少使用甲、乙两仪器中的一个，该工人使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为0.5，且不同工作日使用仪器的情况相互独立．（1）求在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器的概率；（2）记X为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求E（X）．答案：（1）0.1；（2）50．解析：（1）利用概率的性质求解；（2）利用二项分布的期望公式求解．解答：解：（1）设事件A表示“在一个工作日中该工人既使用甲仪器也使用乙仪器”，则P（A）=0.6+0.5-1=0.1；（2）因为在一个工作日中该工人仅使用甲仪器的概率为0.6-0.1=0.5，A．{3}B．{0，1}C．{-2，-1，2}D．{-2，-1，0，1，2，3}A．1-2i B．1+2i C．-1-2i D．-1+2i A．1B．C．2D．-2则X～B（100，0.5），所以E（X）=100×0.5=50．（2024•香港）已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B=（ ）答案：C解析：结合交集的定义，即可求解．解答：解：A={-2，-1，0，1，2}，B={-2，-1，2，3}，则A∩B={-2，-1，2}．故选：C．（2024•香港）计算=（ ）3+4i 1-2i答案：D解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：===-1+2i ．故选：D．3+4i 1-2i （3+4i ）（1+2i ）（1-2i ）（1+2i ）-5+10i 5（2024•香港）函数y=sinx+cosx的最大值是（ ）√3√6答案：C 解析：利用两角和的正弦公式即可化为asinx+bcosx=sin（x+θ），进而利用正弦函数的单调性、最值即可得出．√+a 2b 2A．y=±3x B．y=±2x C．y =±x D．y =±x A．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的必要条件B．“x=1，y=-2”是“a ∥b ”的充分条件C．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的必要条件D．“x=1，y=-2”是“a ⊥b ”的充分条件解答：解：∵y=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）．∵-1≤sin（x+）≤1，∴当sin（x+）=1时，函数y取得最大值2．故选：C．√312√32π3π3π3（2024•香港）已知双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）x 2a 2y 2b 2√101312答案：A 解析：利用双曲线的离心率，得到a,b关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线C：-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，可得=，即=10，可得=3．双曲线C的渐近线方程为：y=±3x.故选：A．x 2a 2y 2b 2√10c a √10+a 2b 2a 2b a （2024•香港）已知平面向量a =（1，1），b =（x+1，y），则（ ）→→→→→→→→→→答案：D解析：根据已知条件，结合向量平行、垂直的性质，即可求解．A．f（x）是奇函数，不是增函数B．f（x）是增函数，不是奇函数C．f（x）既是奇函数，也是增函数D．f（x）既不是奇函数，也不是增函数A．1B．D．-1解答：解：对于A，若a ∥b ，则1•y=1•（x+1），即y=x+1，充分性不成立，错误，对于B，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a ∥b 不成立，错误，对于C，若a ⊥b ，则x+1+y=0，必要性不成立，故错误，对于D，当x=1，y=-2时，则b =（2，-2），a •b =2-2=0，a ⊥b ，充分性成立，故D正确．故选：D．→→→→→→→→→→→→（2024•香港）已知函数f （x ）=ln （+x ），则（ ）√+1x 2答案：C解析：结合基本初等函数及复合函数的单调性及函数奇偶性即可判断．解答：解：函数的定义域为R，f（-x）+f（x）=ln（-x）+ln（+x）=ln（1+x 2-x 2）=0，所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，B，D错误；当x≥0时，t=+x单调递增，根据奇函数的单调性可知，t=+x在R上单调递增，根据复合函数单调性可知，f（x）为增函数，A错误，C正确．故选：C．√1+x 2√1+x 2√1+x 2√1+x 2（2024•香港）若（a+x）4的展开式中x的系数是-，则a=（ ）1212C．-A．2x-3y+2=0B．3x+2y+2=0C．3x+2y-2=0D．2x-3y-2=0A．4B．2C．1D．12答案：C解析：根据二项式定理，建立方程，即可求解．解答：解：∵（a+x）4的展开式中x的系数是•=-，∴a=-．故选：C．C 41a 31212（2024•香港）圆x 2+（y+2）2=4与圆（x+2）2+（y-1）2=9交于A，B两点，则直线AB的方程为（ ）答案：D 解析：将两圆的方程相减，即可求解．解答：解：圆x 2+（y+2）2=4，即x 2+y 2+4y=0①，圆（x+2）2+（y-1）2=9，即x 2+4x+y 2-2y=4②，②-①可得，化简整理可得，2x-3y-2=0，故直线AB的方程为2x-3y-2=0．故选：D．（2024•香港）已知x =和x =都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，则ω的最小值是（ ）π4π212答案：A 解析：根据x=和x=都是函数f（x）的极值点，得出函数的周期T≤2×（-），由此求解即可．π4π2π2π4A．2B．1C．D．A．2B．解答：解：因为x=和x=都是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的极值点，所以周期为T≤2×（-）=，所以≤，所以ω≥4，即ω的最小值是4．故选：A．π4π2π2π4π22πωπ2（2024•香港）抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，则p=（ ）1214答案：A 解析：求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点到直线的距离公式，解得p,可得抛物线的方程；解答：解：抛物线C：y 2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，C上的点到F的距离等于到直线x=-1的距离，可得=1，解得p=2，故选：A．p 2p 2p 2（2024•香港）正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，则该正四棱柱的体积是（ ）12√2√223答案：B解析：根据题意可正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，再建立方程求出正四棱柱的，最后代入体积公式，即可求解．解答：解：∵正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为，∴正四棱柱的底面边长为1，设正四棱柱的高为h,则正四棱柱的体对角线即为其外接球的直径2R=2，∴（2R）2=12+12+h 2，即4=2+h 2，∴h=，12√2A．x 2+2xB．x 2-2x C．-x 2+2x D．-x 2-2x∴该正四棱柱的体积为1×1×=．故选：B．√2√2（2024•香港）已知偶函数f（x）的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f（x）=x 2+2x,则当2≤x≤3时，f（x）=（ ）答案：B解析：根据题意，分析可得f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，结合函数的解析式分析可得答案．解答：解：根据题意，f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又由f（x）的图像关于直线x=1对称，则f（-x）=f（2+x），则有f（x+2）=f（x），当2≤x≤3时，有0≤x-2≤1，则f（x-2）=（x-2）2+2（x-2）=x 2-2x,则有f（x）=f（x-2）=x 2-2x.故选：B．（2024•香港）用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 280个．答案：280．解析：根据排列数公式，先排个位，再排其余，即可求解．解答：解：∵1，2，…，9这9个数字中奇数共有5个，∴用1，2，…，9这9个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有•=280个．故答案为：280．A 51A 82（2024•香港）记等差数列{a n }的前n项和为S n ，若S 2=16，S 4=24，则a 8=-5．答案：-5．解析：根据等差数列的前n项和公式即可得．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d,由S 2=16，S 4=24，得，即，解得．所以等差数列{a n }的通项公式为a n =11-2n,a 8=11-16=-5．故答案为：-5．⎧⎨⎩2+d =164+d =24a 12×12a 14×32{2+d =162+3d =12a 1a 1{=9d =-2a 1．答案：[-2，]．23解析：将不等式两边同时平方，再结合一元二次不等式的解法，即可求解．解答：解：2|x|≤|x-2|，则4x 2≤x 2-4x+4，化简整理可得，（3x-2）（x+2）≤0，解得-2≤x ≤，故所求解集为[-2，]．故答案为：[-2，]．232323（2024•香港）函数f（x）=e x -2x的最小值为2-2ln2．答案：见试题解答内容解析：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．利用单调性即可得出．解答：解：f′（x）=e x -2，令f′（x）=e x -2=0，解得x=ln2．可得：函数f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．∴x=ln2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（ln2）=2-2ln2．故答案为：2-2ln2．（2024•香港）已知函数f（x）的定义域为R，若f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，则f（9）=11．答案：11．解析：利用函数的解析式，依次能求出f（3），f（5），f（7），f（9）的值．解答：解：函数f（x）的定义域为R，f（x-1）f（x+1）=x 2+4x+3，f（1）=3，∴f（1）f（3）=4+8+3=15，∴f（3）=5，f（3）f（5）=16+16+3=35，∴f（5）=7，f（5）（7）=36+24+3=63，∴f（7）=9，f（7）f（9）=64+32+3=99，则f（9）=11．故答案为：11．（2024•香港）已知二面角α-AB-β的大小为90°，正方形ABCD在α内，等边三角形ABF在β内，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为 ．√244解析：由题意建立空间直角坐标系，设正方形的边长，求出直线BF，AC的方向向量BF ，AC 的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的余弦值．→→解答：解：过F作FO⊥AB，在平面α过O作y轴⊥AB，因为二面角α-AB-β的大小为90°，所以FO⊥平面α，设正方形的边长为2，由题意OF=，可得F（0，0，），B（1，0，0），A（-1，0，0），C（1，2，0），则BF =（-1，0，），AC =（2，2，0），所以BF •AC =-1×2+0×2+×0=-2，|BF |==2，|AC |==2，所以cos＜BF ，AC ＞==所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为|cos＜BF ，AC√3√3→√3→→→√3→√（-1++（）202√3）2→√++222202√2→→BF •AC →→|BF |•|AC |→→4→→44（2024•香港）已知△ABC中，A =，AC=ABtanB．（1）求B；（2）求sinA+sinB+sinC．π3答案：（1）；（2）．π12+√3√62解析：（1）由题设及正弦定理，可得cosB=sinC，再根据诱导公式进行代换，即可求得角B；（2）根据角A，B，C的值，利用两角和的正弦公式即可求解．解答：解：（1）由AC=ABtanB，可得tanB =，由正弦定理，可得=，又B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=sinC，由诱导公式，可得cosB=sin（A+B）=cos[-（A +B ）]，所以B =-（A +B ）+2kπ或B =（A +B ）-+2kπ，k∈Z，又A =，所以B =+kπ，k∈Z，又B∈（0，π），故B=；（2）由（1）知，A =，B=，则C =，sin +sin =+sin （-）+sin （+）=+2sin cos2=．b csinB cosB sinB sinC π2π2π2π3π12π12ππ127π122π127π12√3πππ3π4√32π3π4222+√3√62（2024•香港）记数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1=4，=（-1）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．a n +14（n +1）2n -1S n -1S n 2n -1答案：（1）证明见解答；（2）a n =4n•3n-1，n∈N *．解析：（1）根据数列的和与项的转化关系，等比数列的定义，即可证明；（2）根据数列的和与项的转化关系，分类讨论，即可求解．解答：解：（1）证明：∵=（-1），∴-=（-1），∴（2n-1）S n+1-（2n-1）S n =4（n+1）S n -4（n+1），∴（2n-1）S n+1=（6n+3）S n -4（n+1），∴（2n-1）（S n+1-1）=（6n+3）S n -（6n+3），∴（2n-1）（S n+1-1）=3（2n+1）（S n -1），∴=3（），又=a 1-1=3，∴数列{}是以首项为3，公比为3的等比数列；（2）由（1）可得=，∴-1=（2n -1）×①，当n≥2时，-1=（2n -3）×②，①-②可得=（2n -1）×-（2n -3）×=4n•3n-1（n≥2），又a 1=4，也满足上式，∴a n =4n•3n-1，n∈N *．a n +14（n +1）2n -1S n S n +1S n 4（n +1）2n -1S n -1S n +12n +1-1S n 2n -1-1S 12×1-1-1S n 2n -1-1S n 2n -13n S n 3n S n -13n -1a n 3n 3n -1（2024•香港）已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F，点A（-a,0），B（0，b），过F的直线x-y+1=0交C于B，P两点．（1）求P的坐标；（2）若点R（-2，y 0）在直线AB上，证明：FR是∠PFA的角平分线．x 2a 2y 2b 2答案：（1）P（-，-）．（2）证明详情见解答．4313解析：（1）直线方程中x-y+1=0，分别令y,x为0，解得b,c,由a 2=b 2+c 2，解得a,即可得出椭圆的方程，联立直线x-y+1=0与椭圆的方程，即可得出答案．（2）由（1）知A（-，0），B（0，1），写出直线AB的方程，进而可得Q点坐标，推出tan2∠RFA=tan∠RFA，即可得出答案．√2解答：解：（1）因为直线x-y+1=0过焦点F和点B，所以令y=0，得x=-1，即-c=-1，则c=1，令x=0，得y=1，即b=1，又a 2=b 2+c 2=2，所以椭圆的方程为+y 2=1，联立，解得x=0或x=-，所以x P =-，y P =x P +1=（-）+1=-，所以P（-，-）．（2）证明：由（1）知A（-，0），B（0，1），令x=-2，得y=1-，所以R（-2，1-），tan∠RFA==-1，tan2∠RFA==因为直线x-y+1=0的斜率为1，所以tan∠RFA=1，所以tan2∠RFA=tan∠RFA，所以FR是∠PFA的角平分线．x 22{x -y +1=0+=1x 22y 2434343134313√2√2√2|1-|√2-1-（-2）√22tan ∠RFA 1-ta ∠n 2√2。

2021年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、选择题：本大题共12小题；每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．〔5分〕设集合2，周长为80m，旗杆高8m，那么旗杆顶端到菱形边的最短距离为〔〕A．6m B．8m C．10m D．12m12．〔5分〕函数f〔〕=的最大值为〔〕A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题；每题5分。

13．〔5分〕函数=tan〔3〕的最小正周期是．14．〔5分〕设双曲线经过点〔6，2〕，且其渐近线方程为2±3=0，那么该双曲线的标准方程为．15．〔5分〕点A，B在球O的球面上，平面AOB截该球面所得圆上的劣弧长为80，∠AOB=12021那么该球的半径为．16．〔5分〕假设f〔〕=，是R上的连续函数，那么a=．17．〔5分〕用1除多项式==7，由此能求出从中任取2把能将该锁翻开的概率．【解答】解：8把不同的钥匙中只有1把能翻开某锁，从中任取2把，根本领件总数n=，从中任取2把能将该锁翻开包含的根本领件个数m==7，∴从中任取2把能将该锁翻开的概率2，周长为80m，旗杆高8m，那么旗杆顶端到菱形边的最短距离为〔〕A．6m B．8m C．10m D．12m【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，求出底面菱形的对角线交点到边的距离，利用勾股定理求解即可．【解答】解：菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆，假设该菱形面积为240m2，周长为80m，可得AB=BC=CD=DA=2021．应选：C．【点评】此题考查空间几何体的点线面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．〔5分〕函数f〔〕=的最大值为〔〕A．B．C．D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】令﹣1=t，那么=t1，然后利用根本不等式即可求出最大值．【解答】解：要求最大值，显然﹣1必须大于0，∴令﹣1=t，那么=t1，t＞0，∴f〔〕===∵t2≥2=22，∴≤．当且仅当t=时等号成立．应选：D．【点评】此题考查了换元思想的运用，考查了根本不等式的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题；每题5分。

2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷A ．{1}C ．{1，4}D ．∅A ．12B ．1C ．32B ．|x|=2C ．x 2=3D ．|x|=3（2022•全国）设集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x 2∈A}，则A∩B=（ ）（2022•全国）已知z=2+i1+i，则z+z =（ ）【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：∵z=2+i 1+i =(2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=32−12i ，∴z+z =32−12i +32+12i =3．故选：D ．（2022•全国）已知向量a =（x+2，1+x ），b =（x-2，1-x ）．若a ∥b ，则（ ）→→→→【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【分析】由已知可得x+2）（1-x ）-（1+x ）（x-2）=0，计算即可．【解答】解：∵a ∥b ，a =（x+2，1+x ），b =（x-2，1-x ）．∴（x+2）（1-x ）-（1+x ）（x-2）=0，∴-2x 2+4=0，∴x 2=2．故选：A ．→→→→【专题】计算题；对应思想；定义法；集合；数学运算．（江南博哥）【分析】先求出集合B ，再利用交集运算求解即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，∴B={x|x 2∈A}={-1，-√2，-√3，-2，-√5，1，√2，√3，2，√5}，则A∩B={1，2}，故选：B ．A．（-1，0）∪（0，13）B．（-3，0）∪（0，1）D．（-∞，-3）∪（1，+∞）A．y2=x-12B．y2=x+12D．y2=2x+1 A．8πC．2πD．4π3（2022•全国）不等式1x2-2x-3＜0的解集是（ ）【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【分析】将分式不等式化简，求解即可．【解答】解：不等式1x2-2x-3＜0，即1-2x-3x2＜0，x≠0，即3x2+2x-1＞0，x≠0，解得x∈（-∞，-1）∪（13，+∞）．故选：C．（2022•全国）以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线的方程是（ ）【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得p的值，进而求出顶点的坐标，可得抛物线的方程．【解答】解：以（1，0）为焦点，y轴为准线的抛物线中p=1，所以顶点坐标为焦点与准线与x轴的交点的中点的横坐标为12，即该抛物线的方程为：y2=2（x-12）=2x-1，故选：C．（2022•全国）底面积为2π，侧面积为6π的圆锥的体积是（ ）【专题】对应思想；综合法；立体几何；数学运算．A．0B．1C．2A．2kπ+π2（k∈Z）B．2kπ+π3（k∈Z）C．2kπ-π3（k∈Z）【分析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由已知列式求得r与l,再由勾股定理求圆锥的高，然后代入圆锥体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意可得V Y WY Xπr2=2ππrl=6π，解得r=2，l=32，∴圆锥的高h=l2−r2=(32)2−(2)2=4．∴圆锥的体积是V=13×2π×4=8π3．故选：B．√√√√√√（2022•全国）设x1和x2是函数f（x）=x3+2ax2+x+1的两个极值点．若x2-x1=2，则a2=（ ）【专题】函数思想；配方法；构造法；导数的综合应用；数学运算．【分析】先求出f′（x）=3x2+4ax+1，又x1和x2是函数f（x）=x3+2ax2+x+1的两个极值点，则x1和x2是方程3x2+4ax+1=0的两根，再利用韦达定理可解．【解答】解：∵函数f（x）=x3+2ax2+x+1，∴f′（x）=3x2+4ax+1，又x1和x2是函数f（x）=x3+2ax2+x+1的两个极值点，则x1和x2是方程3x2+4ax+1=0的两根，故x1+x2=-4a3，x1•x2=13，又x2-x1=2，则(x1−x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4，即16a29−43=4，则a2=3，故选：D．（2022•全国）已知函数f（x）=sin（2x+φ）．若f（π3）=f（-π3）=12，则φ=（ ）B．y=log21x（x＞1）C．y=1log2x（0＜x＜1）D．y=log21x（0＜x＜1）A．12C．52D．72【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由题意，可得函数f（x）的一条对称轴为x=0，即φ=2kπ+π2（k∈Z）．或φ=2kπ-π2（k∈Z）．再检验选项，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），f（π3）=f（-π3）=12，∴函数f（x）的一条对称轴为x=0，即sinφ=1或sinφ=-1，故φ=2kπ+π2（k∈Z）．或φ=2kπ-π2（k∈Z）．∴sin（2π3+φ）=sin（-2π3+φ）=12①．不妨k=0时，φ=π2时，①不成立；当φ=-π2时，①成立，故φ=2kπ-π2（k∈Z），故选：D．（2022•全国）函数y=21x（x＞0）的反函数是（ ）【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】根据x的范围求出y的范围，再反解出x,然后根据反函数的定义即可求解．【解答】解：由y=21x（x＞0）可得：1x=log2y,因为x＞0，所以1x＞0，则y＞1，所以原函数的反函数为y=1log2x（x＞1）．故选：A．（2022•全国）设等比数列{a n}的首项为1，公比为q,前n项和为S n．令b n=S n+2，若{b n}也是等比数列，则q=（ ）【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．A．5B．5C．54A．928B．13D．25【分析】由题意可知，a1=1，a2=q,a3=q2，再结合等比数列的性质，即可求解．【解答】解：由题意可知，a1=1，a2=q,a3=q2，∵b n=S n+2，若{b n}也是等比数列，∴b22=b1b3，即（3+q）2=（1+2）（3+q+q2），即2q2-3q=0，解得q=32或q=0（舍去）．故选：B．（2022•全国）若双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线y=2x+1垂直，则C的离心率为（ ）√【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出a,b的关系，再求离心率的值．【解答】解：由双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的方程可得渐近线方程为y=±bax,由题意可得ba=12，所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=1+14=52，故选：D．√√√（2022•全国）在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的和能被3整除的概率是（ ）【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．【分析】基本事件总数n=C39=84，1，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除，若要使选取的三个数字和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果．【解答】在1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，基本事件总数n=C39=84，∵1，4，7被3除余1；2，5，8被3除余2；3，6，9刚好被3除，∴若要使选取的三个数字和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，∴这3个数的和能被3整除的不同情况有：C1 3C13C13+C13C33=30，∴这3个数的和能被3整除的概率为P=3084=5 14．故选：C．（2022•全国）曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线方程为x-y-1=0．【专题】导数的概念及应用．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=xlnx,得y′=lnx+x•1x=lnx+1，∴f′（1）=ln1+1=1，即曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，则曲线f（x）=xlnx在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），整理得：x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．（2022•全国）已知O为坐标原点，点P在圆（x+1）2+y2=9上，则|OP|的最小值为2．【专题】函数思想；转化法；直线与圆；坐标系和参数方程；数学运算．【分析】由圆的参数方程可得P的坐标，再由两点间的距离公式写出|OP|，结合三角函数求最值．【解答】解：如图，令x+1=3cosθ，y=3sinθ，得x=3cosθ-1，y=3sinθ，即P（3cosθ-1，3sinθ），∴|OP|=(3cosθ−1)2+(3sinθ)2=10−6cosθ，则当cosθ=1时，|OP|有最小值为2．故答案为：2．√√（2022•全国）若tanθ=3，则tan2θ=−34．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知直接利用二倍角的正切求解．【解答】解：由tanθ=3，得tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×31−32=−34．故答案为：−34．（2022•全国）设函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）是增函数，若f(1)−f(−1)f(2)−f(−2)=310，则a=3．【专题】计算题；对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】先利用指数幂的运算化简求出a,再利用指数函数的单调性求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1），∴f(1)−f(−1) f(2)−f(−2)=a−a−1a2−a−2=1a+a−1=310，∴3a2-10a+3=0，∴a=3或a=13，∵函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）是增函数，∴a=3，故答案为：3．（2022•全国）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AA1=22，则异面直线AB1与BC1所成角的大小为90°．√【专题】计算题；整体思想；综合法；空间角；数学运算．【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．【解答】解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1，两两垂直，建立空间直角坐标系．则A（32，0，0），B（0，12，0），B1（0，12，22），C1（0，-12，22）．√√√∴AB 1=（-32，12，22），BC 1=（0，-1，22），∴cos ＜AB 1，BC 1＞=0，∴异面直线AB 1与BC 1所成角的大小为90°．故答案为：90°．→√√→√→→（2022•全国）设f （x ）是定义域为R 的奇函数，g （x ）是定义域为R 的偶函数．若f （x ）+g （x ）=2x ，则g （2）=178．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【分析】由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．【解答】解：由f （x ）是定义域为R 的奇函数，可得f （-2）=-f （2）；由g （x ）是定义域为R 的偶函数，可得g （-2）=g （2）．若f （x ）+g （x ）=2x ，则f （2）+g （2）=4，①又f （-2）+g （-2）=-f （2）+g （2）=14．②①+②可得2g （2）=174，即有g （2）=178．故答案为：178．（2022•全国）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知sinA=3sinB ，C=π3，c=7．（1）求a ；（2）求sinA ．√【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．（2）根据（1）的结论，以及正弦定理，即可求解．【解答】解：（1）∵sinA=3sinB ，∴由正弦定理可得，a=3b,∴由余弦定理可得，c 2=a 2+b 2-2abcosC ，即7=9b 2+b 2-3b 2，解得b=1，∴a=3．（2）∵a=3，C=π3，c=7，∴sinA=asinCc =3×327=32114．√√√√（2022•全国）设{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a6成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）令b n=（-1）n a n，求数列{b n}的前n项和S n．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由已知条件可得：（1+d）2=1+5d,求得d=3，然后求通项公式即可；（2）由（1）可得：b n=(−1)n(3n−2)，则b2k−1+b2k=(−1)2k−1(6k−5)+（-1）2k（6k-2）=3，然后分两种情况讨论：①当n为偶数时，②当n为奇数时，然后求和即可．【解答】解：（1）已知{a n}是首项为1，公差d不为0的等差数列，又a1，a2，a6成等比数列，则（1+d）2=1+5d,即d2-3d=0，又d≠0，即d=3，则a n=1+3（n-1）=3n-2；（2）由（1）可得：b n=(−1)n(3n−2)，则b2k−1+b2k=(−1)2k−1(6k−5)+（-1）2k（6k-2）=3，则当n为偶数时，S n=3×n2=3n2，当n为奇数时，S n=S n-1+b n=3(n−1)2−(3n−2)=1−3n2，即S n=V Y Y YY Y WY Y Y Y Y X3n2，n为偶数1−3n2，n为奇数．（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为23，乙赢的概率为13．（1）求甲获胜的概率；（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；（2）由题意可知X 的取值为3，4，5，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．【解答】解：（1）由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为P 1=(23)3=827，比赛四局且甲获胜的概率为P 2=C 23(23)2×(1−23)×23=827，比赛五局且甲获胜的概率为P 3=C 24(23)2×(1−23)2×23=1681，所以甲获胜的概率为P =P 1+P 2+P 3=827+827+1681=6481．（2）随机变量X 的取值为3，4，5，则P (X =3)=(23)3+(13)3=13，P (X =4)=C 23(23)2×13×23+C 23(13)2×23×13=827+227=1027，P (X =5)=C 24(23)2×(13)2=827，所以随机变量X 的分布列为：X 345p （X ）131027827则随机变量X 的数学期望为E (X )=3×13+4×1027+5×827=10727．（2022•全国）已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1（-c,0），F 2（c,0），直线y=233x 交C 于A ，B 两点，|AB|=27，四边形AF 1BF 2的面积为43．（1）求c ；（2）求C 的方程．√√√【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【分析】（1）由对称性知|OA|=7，不妨取点A 在第一象限，先求得点A 的坐标，再利用四边形AF 1BF 2的面积为43，可得c 的值；（2）设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），代入点A 的坐标，并结合c=a2−b2，求得a 2，b 2的值，即可．√√√【解答】解：（1）由对称性知，|OA|=12|AB|=7，不妨取点A 在第一象限，设A （x,y ），则VY Y Y Y W Y Y Y YX y =233x |OA |=x 2+y 2=7，解得x=3，y=2，因为四边形AF 1BF 2的面积为43，所以2×12•y•|F 1F 2|=2•2c=43，√√√√√√√所以c=3．（2）设椭圆C 的方程为x2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），由（1）知，A （3，2），代入椭圆方程有3a 2+4b 2=1，又c=3=a 2−b 2，所以a 2=9，b 2=6，故椭圆C 的方程为x 29+y 26=1．√√√√。

绝密★启用前2014年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试数 学一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{(3)(2)0}P xx x =+-≥，{2}Q x x =>，则P Q =（ ）（A ）Q （B ）∅ （C ）{2}（D ）P（2）抛物线28y x =-的准线方程为（ ）（A ）2x =-（B ）1x =-（C ）1x =（D ）2x =（3）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2r =（ ）（A ）8（B ）5（C ）（D （4）若实数,a b 满足0ab <，则 （ ）（A ）a b a b +<- （B ）a b a b +>- （C ）a b a b -<+ （D ）a b a b ->+（5）函数4sin cos2y x x =+的值域为（ ）（A ）[]5,4- （B ）[]3,7 （C ）[]5,3-（D ）[]1,3-（6）使函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数ϕ= （ ）（A ）π（B ）2π（C ）4π（D ）8π（7）等比数列4,10,20x x x +++的公比为（ ）（A ）12（B ）43（C ）32（D ）53（8）9(x 的展开式中3x 的系数是（ ）（A ）336 （B ）168（C ）168- （D ）336-（9）8把不同的钥匙中只有1把能打开某锁，那么从中任取2把能将该锁打开的概率为 （ ）（A ）14（B ）17（C ）18（D ）116（10）平面10ax by z +++=与230x y z +-+=互相垂直，且其交线经过点(1,1,2)-，则a b +=（A ）23（B ）13（C ）13-（D ）23- （11）有一块草地为菱形，在菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆，若该菱形面积为2240m ，周长为80m ，旗杆高8m ，则旗杆顶端到菱形边的最短距离为 （ ）（A ）6m（B ）8m（C ）10m（D ）12m（12）函数21()1x f x x -=+的最大值为（ ） （A）2（B）14（C）4（D）12- 二、填空题：本大题共6小题；每题5分． （13）函数tan(3)18y x π=+的最小正周期是_____________．（14）设双曲线经过点，且其渐近线方程为230x y ±=，则该双曲线的标准方程为________． （15）已知点A 、B 在球O 的表面上，平面AOB 截该球面所得圆上的劣弧AB 长为80，=120AOB ∠，则该球的半径为_______________．（16）若211,()1,1x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩， 是R 上的连续函数，则a =______________．（17）用1x +除多项式()P x 的余式为2，用2x +除多项式()P x 的余式为1，则用232x x ++除多项式()P x 的余式为______________．（18）设函数213()log (443)f x x ax a =-+在(0,1)是增函数，则a 的取值范围____________．三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （19）甲、乙、丙各自独立投篮一次.已知乙投中的概率是23，甲投中并且丙投中的概率是38，乙投不中并且丙投不中的概率是16． （I ）求甲投中的概率；（II ）求甲、乙、丙3人中恰有2人投中的概率．（20）设椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，1F l ∉，求1F AB ∆重心的轨迹方程．（21）设曲线22y x ax =-与2y x x =-所围成的区域被直线1x =分成面积相等的两部分，求a ．（22）在数列{}n a 中，11a =，112(1)2n n a a n n +=+++，1,2,3,n =⋅⋅⋅． （I ）求2a ，3a ，4a ； （II ）求数列{}n a 的通项公式．2014年港澳台联考数学真题答案一、选择题1—12：BDBAC BDAAC CD 二、填空题13．3π 14．221188x y -= 15．120π 16．2 17．3x + 18．[2,4] 三、解答题19．解：（I ）设甲和丙投中的概率分别是P 甲、P 丙，则3=8P P ⋅甲丙，且21(1)(1)36P --=丙， 解得3=4P 甲，1=2P 丙． （II ）所求概率设为P ，则32132132111(1)(1)(1)43243243224P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=． 20．解：由已知条件可知，1(1,0)F -、2(1,0)F ，①当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为：1x =，则可得A、(1,B ，又1(1,0)F -，所以1F AB ∆重心坐标为1(,0)3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，因为1F l ∉，所以0k ≠，与椭圆的方程联立2212(1)y k x y x ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩，整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，则22412A B k x x k +=+，故22()212A B A Bky y k x x k k -+=+-=+ 所以1F AB ∆的重心坐标为222102(,)(,)1233(12)3(123)A B A B x x y y k kk k +-++--++=即222213(12)23(2))1k x k k y k ⎧-=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩重重，消去k 得，22129x y +=，因为0k ≠，所以130x y ⎧≠-⎪⎨⎪≠⎩故三角形的重心轨迹方程为22112()93x y x +=≠-．21．解：（1）令222y x ax x x =-=-可得0x =或212a x +=，故两曲线的交点为(0,0)和22114(,)24a a +-，显然由题意可得2112a +>，得12a >， 设区域被直线1x =分成左右两部分的面积分别为1S ，2S ，则122211002121=[(2)]()|236a S x x x ax dx x x a +---=-=-⎰， 21212223222112121211=[(2)]()|()23326a a a a S x x x ax dx x x a ++++---=-=-+⎰，由12S S =得，311211()6326a a a +-=-+，即328124290a a a +-+=，即2(23)(4123)0a a a -+-=，解得32a =，32a =-因为12a >，所以32a =．22．解：（1）由11a =，112(1)2n n a a n n +=+++，可得283a =，392a =，4325a =．（2）由112(1)2n n a a n n +=+++得121(1)(2)n n a a n n n n +=++++，即1112()112n n a a n n n n +-=-+++， 当2n ≥时，21112()2123a a -=-； 32112()3234a a -=-； ...；1112()11n n a a n n n n --=--+ 以上各式两边同时相加可得：11122()1211n a a n n n -=-=-++， 化简得，221n n a n =+．。