天津市和平区2018年九年级中考数学压轴题综合训练

天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 32．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连结AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．8. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．9. 已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，求菱形的面积．10. 如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°.(1)试判断四边形EFGH的类型，并证明你的结论；(2)求四边形EFGH的面积．11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF 的值．12. 已知正方形的对角线AC ，BD 相交于点O .(1)如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F .若DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ；(2)如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH ，交CE 于点F ，交OC 于点G .若OE ＝OG .①求证：∠ODG ＝∠OCE ； ②当AB ＝1时，求HC 的长．答案与解析： 1. A 2. B【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，根据勾股定理求出AC ＝32＋42＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B. 3. C4. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB ，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝∠BFE5. 解：小敏走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100，则AG ＋GE ＝1600 m ，小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．连结CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG ＝∠CDG＝45°，AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD ＝90°，∴四边形GECF 是矩形，∴CG ＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE ＝GE ，∴小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(GE ＋AG)＝3000＋1600＝4600 m6. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC 的度数；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，即∠BOC ＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证． 7. 解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF ＝∠DCF，∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE，∠OFC ＝∠DCF，∴∠OEC ＝∠OCE，∠OFC ＝∠OCF，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF ；∵∠OCE＋∠BCE ＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5(2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 连结AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，证出OE ＝OC ＝OF ，∠ECF ＝90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．8. 解：(1)∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△CDF (2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE.又BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高为2×sin60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2 39. 解：四边形ABCD 是菱形，AC ＋BD ＝6，∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO＝12BD ，∴AO ＋BO ＝3，∴AO 2＋BO 2＝AB 2，(AO ＋BO)2＝9，即AO 2＋BO 2＝5，AO 2＋2AO·BO＋BO 2＝9，∴2AO ·BO ＝4，∴菱形的面积是12AC·BD＝2AO·BO＝4【解析】根据菱形对角线互相垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．10. 解：(1)连结AC ，BD ，相交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是菱形四边上的中点，∴EH ＝12BD ＝FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB＝3，∴AC ＝6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝33，∴BD ＝63，∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝33，EF ＝3，∴矩形EFGH 的面积＝EF·FG＝9 3cm 211. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°，∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∵∠CBG ＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GF GD ，∴GF ＝55，∵AB ∥CG ，∴△ABH ∽△CGH ，∴AB CG ＝BH HG ＝21，∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，从而知CG ＝CE ＝1，由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，易证△ABH∽△CGH，所以BHHG＝2，从而可求出HG 的长度，进而求出HGGF 的值．12. 解：(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COE＝90°，∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°.∵DF ⊥CE ，∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°，∴∠ODG ＝∠OCE.∴△ODG ≌△OCE(ASA)，∴OE ＝OG(2)①∵OD ＝OC ，∠DOG ＝∠COE＝90°，又OE ＝OG ，∴DOG ≌COE(SAS)，∴∠ODG ＝∠OCE②设CH ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴BH ＝1－x ，∠DBC ＝∠BDC＝∠ACB ＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH ＝∠EBH＝45°.∴EH ＝BH ＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC －∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC ＝∠HCD＝90°.∴△CHE ∽△DCH.∴EH HC ＝HCCD. ∴HC 2＝EH·CD，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－12。

天津市和平区普通中学2019届初三数学中考复习 图形的旋转与中心对称 专项练习1．下列图形中是中心对称图形的有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( A )3．将含有30°角的直角三角板OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，若OA ＝2，将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A ′的坐标为( C )A ．(3，－1)B ．(1，－3)C ．(2，－2)D ．(－2，2)4．如图，在平面直角坐标系中，点B ，C ，E 在y 轴上，Rt △ABC 经过变换得到Rt △ODE .若点C 的坐标为(0，1)，AC ＝2，则这种变换可以是( A )A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移35．如图，将等边△ABC 绕点C 顺时针旋转120°得到△EDC ，连接AD ，BD .则下列结论： ①AC ＝AD ；②BD ⊥AC ；③四边形ACED 是菱形．其中正确的个数是( D )A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形AB ′C ′D ′位置，此时AC ′的中点恰好与D 点重合，AB ′交CD 于点E .若AB ＝3，则△AEC 的面积为( D )A ．3B ．1.5C ．2 3 D. 37. 如图，在平面直角坐标系中，A(－8，－1)，B(－6，－9)，C(－2，－9)，D(－4，－1)．先将四边形ABCD 沿x 轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A 1B 1C 1D 1，最后将四边形A 1B 1C 1D 1，绕着点A 1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x 轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为( D )A ．(4，0)B ．(5，0) C.(4，0)或(－4，0) D ．(5，0)或(－5，0)8. 如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到△DGH ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG .则下列结论：①四边形AEGF 是菱形；②△AED ≌△GED ；③∠DFG ＝112.5°；④BC ＋FG ＝1.5， 其中正确的结论是__①②③__．9.若点(a ，1)与(－2，b )关于原点对称，则a b ＝__12__． 10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△A ′B ′C ′由△ABC 绕点P 旋转得到，则点P 的坐标为__(1，－1)．11．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K .若正方形ABCD 的边长为3，则AK ＝．12．如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转“星形”(阴影部分)，若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是－6__．13．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)，B (－4，0)，C (0，0)(1)画出将△ABC 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)画出将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到△A 2B 2O ；(3)在x 轴上存在一点P ，满足点P 到A 1与点A 2距离之和最小，请直接写出P 点的坐标．解：(1)图略 (2)图略 (3)P (165，0) 14．如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A ，B 和D 的距离分别为1，22，10，△ADP 绕点A 旋转到△ABP′，连接PP′，并延长AP 与BC 相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ 的大小；(3)求CQ 的长．解：(1)由旋转得，AP ′＝AP ，∠BAP ′＝∠DAP，∴∠PAP ′＝∠PAB＋∠BAP′＝∠PAB＋∠DAP＝∠BAD＝90°，∴△APP ′是等腰直角三角形(2)在Rt △APP ′中，∵AP ＝1，∴PP ′2＝12＋12＝2，又BP′＝DP ＝10，BP ＝22，∴PP ′2＋BP 2＝BP′2，∴△BPP ′是直角三角形，∴∠P ′PB ＝90°，又∠APP′＝45°，∴∠BPQ ＝180°－∠P′PB－∠APP′＝45° (3)过点B 作BM⊥AQ 于M.∵∠BPQ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形，由BP ＝22，可求BM ＝PM ＝2，∴AM ＝AP ＋PM ＝1＋2＝3，在Rt △ABM中，AB ＝AM 2＋BM 2＝32＋22＝13，易证△ABM∽△AQB，∴AM AB ＝AB AQ ，∴AQ ＝AB 2AM ＝133，在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2－AB 2＝（133）2－（13）2＝2133，∴QC ＝BC －BQ ＝13－2133＝13315．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，过点D 作DE⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F.(1)如图①，连接AC 分别交DE ，DF 于点M ，N ，求证：MN ＝13AC ； (2)如图②，将∠EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边DE′，DF ′分别与直线AB ，BC 相交于点G ，P ，连接GP ，当△DGP 的面积等于33时，求旋转角的大小并指明旋转方向．,图1),图2)解：(1)连接BD ，交AC 于O ，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝AB ，∴△ABD 为等边三角形，∵DE ⊥AB ，∴AE ＝EB ，∵AB ∥DC ，∴AM MC ＝AE DC ＝12， 同理可得CN AN ＝12，∴MN ＝13AC (2)∵AB∥DC，∠BAD ＝60°，∴∠ADC ＝120°，又∠ADE＝∠CDF＝30°，∴∠EDF ＝60°，当∠EDF 顺时针旋转时，由旋转知∠EDG＝∠FDP，∠GDP ＝∠EDF＝60°， 又∵DE＝DF ＝3，∠DEG ＝∠DFP＝90°，可证△DEG≌△DFP(AAS )，∴DG ＝DP ，∴△DGP 为等边三角形，∴△DGP 的面积＝34DG 2＝33，∴DG ＝23， 则cos ∠EDG ＝DE DG ＝12，∴∠EDG ＝60°， ∴当顺时针旋转60°时，△DGP 的面积等于33，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP 的面积也等于33，综上所述，将△EDF 以点D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP 的面积等于3 3。

天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习 图形 专题综合练习题1. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是( )A ．(2014，0)B ．(2015，－1)C ．(2015，1)D ．(2016，0) 2. 在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A ，B ，C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2015的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)3. 如图，在数轴上，点A 表示1，现将点A 沿数轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A 1，第二次将点A 1向右移动6个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点A 3，按照这种移动规律移动下去，第n 次移动到点A n ，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是____．4. 已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O ，以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系，以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2D 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点A n 的坐标为__________．5. 如图，将一条长度为1的线段三等分，然后取走其中的一份，称为第一次操作；再将余下的每一条线段三等分，然后取走其中一份，称为第二次操作；…如此重复操作，当第n次操作结束时，被取走的所有线段长度之和为________．6. 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为_______.7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，在△ABC中截出一个正方形A1B1C1D1，使点A1，D1分别在AC，BC边上，边B1C1在AB边上；在△BC1D1在截出第二个正方形A2B2C2D2，使点A2，D2分别在BC1，D1C1边上，边B2C2在BD1边上；…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长为_______．8. 如图，正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015＝________．9. 如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A 1，A 2，A 3，…，A n －1为OA 的n 等分点，B 1，B 2，B 3，…，B n －1为CB 的n 等分点，连接A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3，…，A n －1B n －1，分别交y ＝1n x 2(x≥0)于点C 1，C 2，C 3，…，C n －1，当B 25C 25＝8C 25A 25时，则n ＝____．10. 如图，正方形ABCD 的边长为a ，在AB ，BC ，CD ，DA 边上分别取点A 1，B 1，C 1，D 1，使AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝13a ，在边A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1上分别取点A 2，B 2，C 2，D 2，使A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2＝D 1D 2＝13A 1B 1，….依此规律继续下去，则正方形A nB nC nD n 的面积为_______．11. 谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯(如图)．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是____．12. 如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2；…如此操作下去，得到菱形I n，则I n的面积是________.13. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n－1的面积为_______．14. 在直角坐标系中，直线y＝x＋1与y轴交于点A1，按如图方式作正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，A1，A2，A3，…在直线y＝x＋1上，点C1，C2，C3，…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S n 的值为_________．(用含n的代数式表示，n为正整数)15. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y ＝12x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(27，9)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则第4个正方形的边长是______，S 3的值为________．参考答案： 1. B 2. A 3. 13 4. (3n －1，0) 5. 1－2n3n6. (2)n －17. (23)na8. 2(3)2014 9. 75 10. 5n 9n a 211.8125612. (12)2n ＋1ab13. 5n22n －114. 22n －315. 272 656132。

天津市和平区2018年九年级中考数学综合训练题 二1.下列运算：sin30°,0-2==ππ-，24.其中运算结果正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.12.顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形必定是( )A.邻边不等的平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形3.某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图. 依据图中信息，得出下列结论：（1）接受这次调查的家长人数为200人； （2）在扇形统计图中，“不赞同”的家长部分所对应的扇形圆心角大小为162°； （3）表示“无所谓”的家长人数为40人； （4）随机抽查一名接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是110. 其中正确的结论个数为( ) A.4 B.3C.2D.14.如图,公路AC ，BC 互相垂直,公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开,若测得AM 的长为1.2km,则M ，C 两点间的距离为( )A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km 5.已知不等式组⎩⎨⎧<>a x x 2的解集中共有5个整数，则a 的取值范围为（ ） A.7＜a ≤8 B.6＜a ≤7 C.7≤a ＜8 D.7≤a ≤8 6.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )B.2C.217.如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆AB.当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之自动地沿直线OB 向左滑动.如果滑动杆从图中AB 处滑动到A'B'处，那么滑动杆的中点C 所经过的路径是( ) A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分8.如图,在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1y x =-、2y x=的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为( )A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变9.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB ，BC ，CA ，OA ，OB ，OC 组成。

2018年九年级数学中考考前突破训练题一、选择题：1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.2013年12月2日，“嫦娥三号”从西昌卫星发射中心发射升空，并于12月14日在月球上成功实施软着陆．月球距离地球平均为38万公里，将数38万用科学计数法表示，其结果（）A．3.8×104B．38×104C．3.8×105D．3.8×1063.下列说法中正确的是（）．4.下列说法中正确的是( )A．0不是单项式B．是单项式C．πx2y的次数是4 D．x﹣是整式5.把方程3x＋＝3－去分母，正确的是 ( )A．B．C．D．6.下列各组数中①②③④是方程的解的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个7.下列四个生产生活现象，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（）A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上B．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线C．从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设D．打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一条直线上8.在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5）B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）9.如图，直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF交CD于点G．若∠1=36°，则∠2的大小是（）A．68°B．70°C．71°D．72°10.若反比例函数y=-x-1 的图象经过点A（3，m），则m的值是( )A．﹣3 B．3 C．D．二、填空题：11.对于一个锐角三角形，甲测得边长分别是5cm，6cm，11cm，乙测得三个内角分别为33°，49°，78°，丙测得三个内角分别为33°，59°，88°，其中只有一个人测得结果是正确的，此人是．12.若关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围为．13.如图，已知BD=CE，∠B=∠C，若AB=8，AD=3，则DC= ．14.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=56°，CD=CB，则∠ABD= °．15.已知△ABC的三边长a,b,c满足+|b﹣2|+(c﹣2)2=0，则△ABC一定是三角形．16.计算： .17.数据a，4，2，5，3的中位数为b，且a和b是方程x2﹣10x+24=0的两个根，则b是．18.如图，在3×3的方格中,A．B、C、D、E、F分别位于格点上,从C、D、E、F四点中任取一点,与点A．B为顶点作三角形,则所作三角形为等腰三角形的概率是．19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A．B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为20.圆锥的母线长为6cm，底面圆半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为 cm2．三、解答题：21.解方程组:22.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元.请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售？23.如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？24.如图，抛物线F：y=ax2+bx+c（a＞0）与y轴相交于点C，直线L经过点C且平行于x轴，1将L1向上平移t（t＞0）个单位得到直线L2．设L1与抛物线F的交点为C、D，L2与抛物线F的交点为A．B，连结AC、BC．（1）当a=0.5，b=﹣1.5，c=1，t=2时，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若△ABC为直角三角形，求t的值；（用含a的式子表示）（3）在（2）的条件下，若点A关于y轴的对称点A′恰好在抛物线F的对称轴上，连结A′C，BD，若四边形A′CDB的面积为2，求a的值．参考答案1.D2.C3.D4.A5.B6.C7.D8.D9.C10.C.11.答案为：丙12.答案为：m≤0．13.答案为：5．14.答案为：17°．15.答案为：等腰直角16.答案为：1；17.答案为：4．18.答案为：0.75．19.答案为：620.案为：24π．21.答案为:x=-1,y=-1;22.（1）解：设每千克核桃应降价x元．根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），．答：该店应按原售价的九折出售．23.24.。

天津市和平区2018年九年级中考数学综合训练题 五1.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转．如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是( ) A.74 B.94 C.92 D. 2.市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，出租车费为15.5元，那么x 的最大值是（ ）A ．11B ．8C ．7D ．5 3.下列命题中，真命题的个数是( ) ①若112x -<<-，则121x-<<-；②若12x -≤≤，则214x ≤≤； ③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB ．A.4B.3C.2D.14.如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 在BC 边上，连接DE ，DF ，EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△FCE 与△EDF 全等（ ）．A.∠A=∠DFEB.BF=CFC.DF ∥A CD.∠C=∠EDF5.如图,在△ABC 中,∠CAB=65°．将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB C ''的位置，使得CC '∥AB ，则旋转角的度数为( )A.35°B.40°C.50°D.65°6.如图，直线y=x-2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，与反比例函数ky x=的图象在第一象限交于点A,连接OA ，若S △AOB :S △BOC =1:2，则k 的值为（ ）A.2B.3C.4D.67.如图,在矩形ABCD 中,AB=8，BC=12,点E 是BC 的中点,连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠,点B 落在点F 处,连接FC,则sin ∠ECF =（ ）A.43 B.34 C.53 D.548.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高．得到下面四个结论： ①OA=OD ；②AD ⊥EF ；③当∠A=90°时，四边形AEDF 是正方形；④2222AE DF AF DE +=+． 上述结论中正确的是( )199.甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论：① A ，B 两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，t =45或415． 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.如图，平面直角坐标系中，A 点坐标为（2，2），点P （m ，n ）在直线2y x =-+上运动，设△APO 的面积为S ，则下面能够反映S 与m 的函数关系的图象是11.如图,在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,AB=BC.点D 是线段AB 上的一点，连结CD ，过点B 作BG ⊥CD,分别交CD 、CA 于点E 、F,与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G,连结DF ．给出以下四个结论：①AG AF ABFC=；②若点D 是AB 的中点，则AB ；③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF=DB ；④若12DB AD=，则9ABC BDF S S ∆∆=．其中正确的结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④12.在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1 、D 1E 1E 2B 2 、A 2B 2C 2D 2 、D 2E 3E 4B 3 、A 3B 3C 3D 3……按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1 的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……则正方形A 2015B 2015C 2015D 2015的边长是（ ）A ．201421）（ B ．201521）（ C ．201533）（ D ．201433）（13.分解因式：=-+-+2)(9)(124y x y x 14.若分式方程a x ax =+-1无解，则a 的值为．15.已知2a =，2b =则2222()a b ab b a a a --÷-=16.在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6﹒计算这组数据的方差为_______．17.如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为．18.如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50º，观测旗杆底部B 的仰角为45º，则旗杆的高度约为________m ．(结果精确到0.1m ．参考数据：sin50º≈0.77，cos50º≈0.64，tan50º≈1.19)19.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为．20.如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为1的等边三角形，点A 在x 轴上，点O ，B 1，B 2，B 3，…都在直线l 上，则点A 2015的坐标是21.为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一校一球队、一级一专项、一人一技能”活动计划．某校决定对学生感兴趣的球类项目（A ：足球， B ：篮球， C ：排球，D ：羽毛球，E ：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）将统计图补充完整； （2）求出该班学生人数；（3）若该校共有学生3500名，请估计有多少人选修足球？（4）该班班委5人中，1人选修篮球，3人选修足球，1人选修排球，李老师要从这5人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．22.如图是函数x y 3=与函数x y 6=在第一象限内的图象，点P 是xy 6=的图象上一动点，x PA ⊥轴于点A ，交x y 3=的图象于点C ，PB y ⊥轴于点B ，交xy 3=的图象于点D ．（1）求证：D 是BP 的中点；（2）求出四边形ODPC 的面积．23.如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断 ABC的形状：______________；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于 AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．24.已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．25.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线．（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．26.市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x=60时,y=80；x=50时,y=100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）（3分）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （2）（3分）求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式． （3）（4分）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？27.（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点， 90DPC A B ∠=∠=∠=︒． 求证：AD ·BC=AP ·BP ．（2）探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当DPC A B θ∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． （3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5， 点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠CPD=∠A ．设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．28.如图，抛物线经过A （2,0-），B （1,02-），C （0,2）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC 下方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求点D 的坐标；（3）设点M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H 满足90AMH ︒∠=？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．29.已知抛物线 y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0）、B(β，0)，且112+=-．αβ（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l对称点为E．是否存在 x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．。

2018年九年级数学中考专题复习--压轴题培优练习卷1.如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值(3)当0m 时，探索是否存在点P，使得PCO△为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．2.正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O、P、A三点坐标；②求抛物线L的解析式；（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．3.已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点（，﹣），点P（t，0）是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式，及顶点D的坐标；（2）求|PC﹣PD|的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q（0，2t）是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2﹣2a|x|+c的图象只有一个公共点，求t的取值．4.如图，在平面直角坐标系中，边长为32的等边ABC 随着顶点A 在抛物线y=x 2-32x 上运动而运动，且始终有BC//x 轴.（1）当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛物线上？（2）△ABC 在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1:8（即S 上部分：S 下部分=1:8）时，求顶点A 的坐标；（3）△ABC 在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写出顶点C 的坐标.5.已知：抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点C（0，3），交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），其对称轴为x=1，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）若⊙P经过A，B，C三点，求圆心P的坐标；（3）求△BDC的面积S△DCB；并探究抛物线上是否存在点M，使S△MCB=S△DCB？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣0.25x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．7.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点,与y轴相交于（0,），点A坐标为（﹣1,2），点B是点A关于y轴的对称点,点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点,过F作FE⊥x轴,FG⊥y轴,垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时,求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移,记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,当点E和点C重合时停止运动,设平移的距离为t,正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形？若存在,求t的值；若不存在请说明理由．8.已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，时，求tan∠BPC．9.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（Ⅰ）在运动过程中，请你用t表示P、Q两点间的距离，并求出P、Q两点间的距离的最大值；（Ⅱ）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式．10.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．11.如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？12.（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB 向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．13.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F．（1）求抛物线所对应函数的表达式；（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图,在直角坐标系中,Rt△OAB的直角顶点A在x轴上,OA=4,AB=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB 向终点B移动.当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时,解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式；当x为何值时,S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形？若存在,求出x的值；若不存在,请说明理由．15.如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．参考答案1.(1)设(4)y ax x =-，A 点坐标代入得1a =-，函数为24y x x =-+．(2)03m <<，23PC PD CD m m =-=-+()23294m =--+，当()32,0D 时，max 94PC =．(3)当03m <<时，仅有OC=PC ，此时，23m m -+=，解得3m =(3P +；当3m ≥时，23PC CD PD m m =-=-，，222222(4)OP OD DP m m m =+=+-．①当OC= PC 时，23m m -=．解得3m =，(3P -；②②当OC= OP 时，2222)(4)m m m =+-，解得m 1=5，m 2=3（舍去），(5,5)P -； ③当PC=OP 时，22222(3)(4)m m m m m -=+-，解得4m =，(4,0)P ．2.解：（1）以O 点为原点，线段OA 所在的直线为x 轴，线段OC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，∴点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（4，0），点P 的坐标为（2，2）．②设抛物线L 的解析式为y=ax 2+bx+c ，∵抛物线L 经过O 、P 、A 三点，∴有，解得：，∴抛物线L 的解析式为y=﹣+2x ．（2）∵点E 是正方形内的抛物线上的动点，∴设点E 的坐标为（m ，﹣+2m ）（0＜m ＜4），∴S △OAE +S OCE =OA •y E +OC •x E =﹣m 2+4m+2m=﹣（m ﹣3）2+9，∴当m=3时，△OAE 与△OCE 面积之和最大，最大值为9．3.解：（1）∵y=ax2﹣2ax+c的对称轴为：x=﹣=1，∴抛物线过（1，4）和（，﹣）两点，代入解析式得：，解得：a=﹣1，c=3，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）∵C、D两点的坐标为（0，3）、（1，4）；由三角形两边之差小于第三边可知：|PC﹣PD|≤|CD|，∴P、C、D三点共线时|PC﹣PD|取得最大值，此时最大值为|CD|=，由于CD所在的直线解析式为y=x+3，将P（t，0）代入得t=﹣3，∴此时对应的点P为（﹣3，0）；（3）y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化为：y=设线段PQ所在的直线解析式为y=kx+b，将P（t，0），Q（0，2t）代入得：线段PQ所在的直线解析式：y=﹣2x+2t，∴①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，线段PQ与函数y=有一个公共点，此时t=，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，t=3，此时线段PQ与y=有两个公共点，所以当≤t＜3时，线段PQ与y=有一个公共点，②将y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：﹣x2+2x+3=﹣2x+2t，﹣x2+4x+3﹣2t=0，令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，t=＞0，所以当t=时，线段PQ与y=也有一个公共点，③当线段PQ过点（﹣3，0），即点P与点（﹣3，0）重合时，线段PQ只与y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一个公共点，此时t=﹣3，所以当t≤﹣3时，线段PQ与y=也有一个公共点，综上所述，t的取值是≤t＜3或t=或t≤﹣3．4.（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．∵BC∥x轴，BC=AC=23,∴CD=3,AD=3．∴C点的坐标为(3,-3).∵当x＝3时，y=-3.∴当顶点A运动至与原点重合时，顶点C在抛物线上．（2）过点A作AD⊥BC于点D，设点A的坐标为（x，x2-23x).∵BC∥x轴，∴x轴上部分的三角形∽△ABC．∵S上部分：S下部分=1：8，∴S上部分：S△ABC=1：9，∴AD＝3(x2-23x).5.6.解：（1）把A （0，8），B （﹣4，0）代入y=﹣0.25x 2+bx+c 得，解得， 所以抛物线的解析式为y=﹣0.25x 2+x+8；当y=0时，﹣0.25 x 2+x+8=0，解得x 1=﹣4，x 2=8，所以C 点坐标为（8，0）；（2）①连结OF ，如图，设F （t ，﹣0.25 t 2+t+8），∵S 四边形OCFD =S △CDF +S △OCD =S △ODF +S △OCF ，∴S △CDF =S △ODF +S △OCF ﹣S △OCD =0.5•4•t+0.5•8•（﹣0.25t 2+t+8）﹣0. 5•4•8=﹣t 2+6t+16=﹣（t ﹣3）2+25，当t=3时，△CDF 的面积有最大值，最大值为25，∵四边形CDEF 为平行四边形，∴S 的最大值为50；②∵四边形CDEF 为平行四边形，∴CD ∥EF ，CD=EF ，∵点C 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D ，∴点F 向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E ，即E （t ﹣8，﹣0.25 t 2+t+12），∵E （t ﹣8，﹣0.25 t 2+t+12）在抛物线上，∴﹣0.25（t ﹣8）2+t ﹣8+8=﹣0.25t 2+t+12，解得t=7，当t=7时，S △CDF =﹣（7﹣3）2+25=9，∴此时S=2S △CDF =18．7.解：（1）∵点B 是点A 关于y 轴的对称点，∴抛物线的对称轴为y 轴，∴抛物线的顶点为（0，），故抛物线的解析式可设为y=ax 2+．∵A （﹣1，2）在抛物线y=ax 2+上，∴a+=2，解得a=﹣，∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x 2+；（2）①当点F 在第一象限时，如图1，令y=0得，﹣x 2+=0，解得：x 1=3，x 2=﹣3，∴点C 的坐标为（3，0）．设直线AC 的解析式为y=mx+n ，则有，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣x+．设正方形OEFG 的边长为p ，则F （p ，p ）．∵点F （p ，p ）在直线y=﹣x+上，∴﹣p+=p ，解得p=1，∴点F 的坐标为（1，1）．②当点F 在第二象限时，同理可得：点F的坐标为（﹣3，3），此时点F不在线段AC上，故舍去．综上所述：点F的坐标为（1，1）；（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，则OD=t，OE=t+1．∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1．在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=，∴MN2=12+（）2=．①当DN=DM时，（﹣t+）2=t2﹣t+2，解得t=；②当ND=NM时，﹣t+==，解得t=3﹣；③当MN=MD时，=t2﹣t+2，解得t1=1，t2=3．∵0≤t≤2，∴t=1．综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣或1．8.解：（1）过D作DE∥CO交AC于E，∵D为OA中点，∴AE=CE=，，∵点C为OB中点，∴BC=CO，，∴，∴PC==，∴=2；（2）过点D作DE∥BO交AC于E，∵，∴==，∵点C为OB中点，∴，∴，∴PC==，过D作DF⊥AC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，∵OA=OB，点C为OB中点，∴CO=2a，在Rt△ACO中，AC===2 a，又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，∴，∴AF=，DF=，PF=AC﹣AF﹣PC=2 a﹣﹣=，tan∠BPC=tan∠FPD==．9.解：（Ⅰ）分两种情况考虑：当Q在AB边上时，过Q作QE⊥AC，交AC于点E，连接PQ，如图1所示：∵∠C=90°，∴QE∥BC，∴△ABC∽△AQE，∴==，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，根据勾股定理得：AB=10，∵AQ=2t，AP=t，∴==，整理得：PE=t，QE=t，根据勾股定理得：PQ2=QE2+PE2，整理得：PQ=t；当Q在BC边上时，连接PQ，如图2所示：由AB+BQ=2t，AB=10，得到BQ=2t﹣10，CQ=BC﹣BQ=6﹣（2t﹣10）=16﹣2t，由AP=t，AC=8，得到PC=8﹣t，根据勾股定理得：PQ==，当Q与B重合时，PQ的值最大，则当t=5时，PQ最大值为3；（Ⅱ）分两种情况考虑：当Q在AB边上时，如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP=此时S=AP•QE=t•t=t2（0＜t≤5）；当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP，此时S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40（5＜t≤8）．综上，经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式为10.解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．（2）∵y=x2﹣x+2=（x﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．11.解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．BE==3．∴CE=2．∴E点坐标为（2，4）．在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD．∴（4﹣OD）2+22=OD2．解得：OD=2.5．∴D点坐标为（0，2.5）．（2）如图②∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴，又知AP=t，ED=2.5，AE=5，PM=0.5t×2.5=0.5t，又∵PE=5﹣t．而显然四边形PMNE为矩形．S矩形PMNE=PM•PE=0.5t×（5﹣t）=﹣0.5t2+2.5t；∴S四边形PMNE=﹣0.5（t﹣2.5）2+，又∵0＜2.5＜5．∴当t=2.5时，S矩形PMNE有最大值．（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME=MA（如图①）在Rt△AED中，ME=MA，∵PM⊥AE，∴P为AE的中点，∴t=AP=0.5AE=2.5．又∵PM∥ED，∴M为AD的中点．过点M作MF⊥OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，∴MF=0.5OD=1.25，OF=0.5OA=2.5，∴当t=2.5时，（0＜2.5＜5），△AME为等腰三角形．此时M点坐标为（2.5，1.25）．（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM=AE=5（如图②）在Rt△AOD中，AD===．过点M作MF⊥OA，垂足为F．∵PM∥ED，∴△APM∽△AED．∴．∴t=AP===2，∴PM=t=．∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，∴当t=2时，（0＜2＜5），此时M点坐标为（5﹣2，）．综合（i）（ii）可知，t=2.5或t=2时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（2.5，1.25）或（5﹣2，）．12.（1）证明：如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP •BP；（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD=BD=10，AB=12，∴AE=BE=6∴DE==8，∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=8，∴BC=10﹣8=2，∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，又∵AP=t，BP=12﹣t，∴t（12﹣t）=10×2，∴t=2或t=10，∴t的值为2秒或10秒．13.解：（1）∵矩形OABC，∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，∵tan∠ACB=2，∴AB:BC=2∴OC:OA=2，则OC=2，∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，∴OF=2，则有A（﹣1，0）C（0，2）F（2，0）∵抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入得a-b+c=0,4a+2b+c=0,c=2∴解得a=-1,b=1,c=2∴函数表达式为y=﹣x2+x+2，（2）存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO∴此时有DM:DO=DO:DE.∴DM2=0.5,∴点M坐标为（0.5，1），设经过点M的反比例函数表达式为y=kx-1，把点M代入解得k=0.5∴经过M点的反比例函数的表达式为y=0.5x-1，（3）存在符合条件的点P，Q．∵S矩形ABCD=2×1=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，∵OF=2，∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，∵点P在抛物线上，设点P坐标为（m，2），∴﹣m2+m+2=2，解得m1=0，m2=1，∴点P坐标为P1（0，2），P2（1，2）∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，∴PQ∥OF，PQ=OF=2．∴当点P坐标为P1（0，1）时，点Q的坐标分别为Q1（2，2），Q2（﹣2，2）；当点P坐标为P2（1，2）时，点Q的坐标分别为Q3（3，2），Q4（﹣1，2）；（4）若使得HA﹣HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A（﹣1，0），点C（0，2）代入得-k+b=0,b=2解得k=2,b=2∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，∵抛物线函数表达式为y=﹣x2+x+2，∴对称轴为x=0.5∴把x=0.5代入y=2x+2 解得y=3∴点H的坐标为（0.5，3）14.解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=0.5OM•PN=0.5（4﹣x）•=﹣x2+1.x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+1.x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+1.5，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是1.5；（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．15.。

天津市和平区2018-2019年九年级中考数学综合训练题 一1.已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程035122=+-x x 的根,则该三角形的周长是（ ）A.14B.12C.12或14D.以上都不对2.在四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上,∠AED=60°,则一定有( )A.∠ADE=20°B.∠ADE=30°C.∠ADE= 1 2∠ADCD.∠ADE= 1 3∠ADC 3.如图,□ABCD 中,点E 是边A D 的中点,EC 交对角线BD 于点F,则EF:FC 等于（ ）A.3:2B.3:1C.1:1D.1:24.如图,矩形ABCD 中,AB=8,BC=4,点E 在边AB 上,点F 在边CD 上,点G 、H 在对角线AC 上.若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长( ) A.2 5 B.3 5 C.5 D.65.若一元二次方程x 2- 2x - m = 0无实数根，则一次函数y = (m+1)x + m - 1的图像不经过第（ ）象限。

A ．四B ．三C ．二D ．一 6.如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3。

则折痕CE 的长为（ ） A.32 B.323 C.3 D.67.如图为二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象，则下列说法：①a>0；②2a+b=0；③a+b+c>0；④当-1<x<3时,y>0.其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.若实数a 、b 、c 满足a+b+c=0,且a ＜b ＜c,则函数y=cx+a 的图象可能是（ ）9.如图,一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点,则函数y=ax 2+(b-1)x+c 的图象可能是（ ）10.与4＋5最接近的整数是11.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<->+x x x 4103160103的最小整数解是 ． 12.已知12-=x ，则分式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-÷-+2824222x x x x x x = . 13.如图,点A 、B 、C 在半径为9的⊙O 上,AB ⌒的长为π2,则∠ACB 的大小是 ．14.如图,在□ABCD 中,AD=2,AB=4,∠A=300,以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E,连接CE,则阴影部分的面积是_________（结果保留π）．15.如图,正方形ABCD 的边长为4,E 为BC 上的一点,BE=1,F 为AB 上的一点,AF=2,P 为AC 上一个动点,则PF+PE 的最小值为 ．16.如图,E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上的一点,且BE=BA,P 是CE 上任意一点,PQ ⊥BC 于点Q,PR ⊥BE 于点R.则（1）DE= ；（2）PQ ＋PR= ．17.已知实数a 、b 、c 满足a ＋b=ab =c ，有下列结论：①若c ≠0，则 1 a + 1 b=1；②若a=3，则b ＋c=9； ③若a=b=c ，则abc=0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a+b+c=8．18.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(3＝1.7)．19.A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．(1)求两次传球后，球恰在B手中的概率；(2)求三次传球后，球恰在A手中的概率．20.某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图。

天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习几何作图专项复习练习1．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是( A )A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等2．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形，其中作法错误的是( A )3．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是( B )A．勾股定理 B．直径所对的圆心角是直角C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径4．如图所示，已知△ABC(AC＜AB＜BC)，用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( D )5．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N ；第二步，连接MN ，分别交AB ，AC 于点E ，F ；第三步，连接DE ，DF.若BD ＝6，AF ＝4，CD ＝3，则BE 的长是( D )A ．2B ．4C ．6D ．86．已知平面内两点A ，B ，用直尺和圆规求作一个圆，使它经过A ，B 两点，根据如图所示的作图痕迹判断直线MN 与线段AB 的位置关系是( C )A ．MN 垂直AB 但不平分AB B ．MN 平分AB 但不垂直ABC ．MN 垂直平分ABD ．不能确定7．如图，以∠AOB 的顶点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB于点D.再分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点E ，过点E 作射线OE ，连接CD.则下列说法错误的是( D )A ．射线OE 是∠AOB 的平分线 B ．△COD 是等腰三角形C ．C ，D 两点关于OE 所在直线对称 D ．O ，E 两点关于CD 所在直线对称8．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，与AC ，BC 分别交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE＝__90°__；(2)AE__＝__EC ；(填“＞”“＜”或“＝”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长＝__7__．9．如图所示，已知线段a ，c 和∠α，求作：△ABC，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠ABC ＝∠α，根据作图把下面空格填上适当的文字或字母．(1)如图①所示，作∠MBN＝__∠α__；(2)如图②所示，在射线BM 上截取BC ＝__a__，在射线BN 上截取BA ＝__c__；(3)连接AC ，如图③所示，△ABC 就是__所求作的三角形__．10．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第一条线段AA 1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝__9__．11．如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．(在题目的原图中完成作图)解：因为点E到B，D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上，首先以点D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E.如图所示，点E即为所求，BE＝DE12．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.(1)用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.(1)解：如图所示，DE 就是要求作的AB 边上的垂直平分线(2)证明：∵DE 是AB 边上的垂直平分线，∠A ＝30°，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝30°，∵∠C ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∴∠CBD ＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°，∴∠ABD ＝∠CBD，∴BD 平分∠CBA13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)．(1)用直尺和圆规作出AB ︵所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法)(2)若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求AB ︵所在圆的半径．解：(1)作图如图所示(2)连接OB ，OC ，OC 交AB 于点D.∵AB＝80，C 为的中点，∴OC ⊥AB.∴AD ＝BD ＝40，CD ＝20.设OB ＝r ，则OD ＝r －20.在Rt △OBD 中，∵OB 2＝OD 2＋BD 2，∴r 2＝(r －20)2＋402，解得：r ＝50.∴AB ︵所在圆的半径是50 m。