浙江省宁波市南三县2020届九年级上学期期末考试数学考试试题

浙江省宁波市2020版九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018八上·抚顺期末) 以下图标是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+3=0有两相异实根，则k的取值范围是（）A . k＜B . k＜且k≠1C . 0<k＜D . k≠13. （2分）反比例函数y= 的图象的两个分支分别位于（）象限．A . 一、二B . 一、三C . 二、四D . 一、四4. （2分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A . 10米B . 15米C . 25米D . 30米5. （2分）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（-1，0）、（3，0）．下列说法正确的个数是（）①ac＜0②a+b+c＞0③方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3④当x＞1时，y随着x的增大而增大．A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）一个不透明的袋子中装有2个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该实验多次，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则可判断袋子中黑球的个数为（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个7. （2分） (2020九上·洛宁期末) 对于二次函数 ,下列说法正确的是（）A . 当x>0，y随x的增大而增大B . 当x=2时，y有最大值－3C . 图像的顶点坐标为（－2，－7）D . 图像与x轴有两个交点8. （2分）(2017·盘锦模拟) 如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，过AB的中点E有一动弦CD（点C只在弦AB所对的劣弧上运动，且不与A、B重合），设CE=x，ED=y，下列图象中能够表示y与x之间函数关系的是（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·镇海模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为（）A .B .C . 2πD .10. （2分） (2016九上·石景山期末) 将抛物线y=﹣（x+1）2向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（）A . （﹣2，0）B . （0，0）C . （﹣1，﹣1）D . （﹣2，﹣1）二、填空题 (共8题；共9分)11. （1分）(2011·梧州) 一元二次方程x2+5x+6=0的根是________．12. （1分） (2018九上·衢州期中) 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是，在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是________m．13. （1分）(2017·北区模拟) 两个实数的和为4，积为﹣7，则这两个实数为________．14. （1分）(2017·崇左) 若一次函数的图象经过反比例函数图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次函数的解析式是________．15. （1分）如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置，已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连结AM，则AM=________cm．16. （1分） (2020九上·石城期末) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是________。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．对于二次函数y ＝－(x ＋1)2＋3，下列结论：①其图象开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③其图象的顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由抛物线解析式可确定其开口方向、对称轴、顶点坐标，可判断①②③，再利用增减性可判断④，可求得答案．【详解】∵2(1)3y x =-++，∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=−1,顶点坐标为(−1,3)，故②不正确，①③正确，∵抛物线开口向上，且对称轴为x=−1，∴当x>−1时，y 随x 的增大而增大，∴当x>1时，y 随x 的增大而增大，故④正确，∴正确的结论有3个，故选:C.【点睛】考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标的求解方法是解题的关键.2．一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D 【分析】利用方程根的定义可求得21131x x ∴=-，再利用根与系数的关系即可求解．【详解】1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a=是解题的关键． 3．若()2723my m x -=-+是二次函数，且开口向下，则m 的值是（ ） A ．3±B ．3C ．3-D ．2- 【答案】C【分析】根据二次函数的定义和开口方向得到关于m 的关系式，求m 即可．【详解】解：∵()2723my m x -=-+是二次函数，且开口向下，∴272,20m m -=-＜，∴3,2m m =±＜，∴3m =-．故选：C【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义和性质是解题关键． 4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( ) A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得解．【详解】A 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项错误B 、是中心对称图形，也是轴对称图形，此项错误C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项错误D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项正确故选：D ．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）A．25°B．40°C．45°D．50°【答案】B【分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P ＝90°﹣50°＝40°．【详解】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．6．反比例函数y=1mx在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【答案】D【解析】∵在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，∴m＋1＜0，∴m＜－1．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4【答案】C【分析】根据题意，易证△DEF∽△CBF，同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解答．【详解】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方．8．方程2x x=的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=1 D．x=0或x=-1【答案】C【分析】根据因式分解法，可得答案．=，【详解】解：2x x方程整理，得，x2-x=0因式分解得，x（x-1）=0，于是，得，x=0或x-1=0，解得x1=0，x2=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解法是解题关键．9．如图，已知点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，把△EFO放大为原来的2倍，则E点的对应点坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）【答案】B【分析】E（﹣4，1）以O为位似中心，按比例尺1：1，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是E （﹣4，1）的坐标同时乘以1或﹣1．【详解】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，1）的坐标同时乘以1或﹣1．所以点E′的坐标为（8，﹣4）或（﹣8，4）．故选：B．【点睛】本题主要考查根据位似比求对应点的坐标，分情况讨论是解题的关键．10．若n ＜n+1，则整数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B的大小，从而得出整数n 的值．【详解】∵23，∴3＜4，∴整数n 为3；故选：B ．【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，理解算术平方根的定义，是解题的关键.11．抛物线的顶点为(1,4)-，与y 轴交于点(0,3)-，则该抛物线的解析式为（ ）A ．223y x x =--B ．223y x x =+-C ．223y x x =-+D ．2233y x x =--【答案】A【分析】设出抛物线顶点式，然后将点(0,3)-代入求解即可.【详解】解：设抛物线解析式为2(1)4y a x =--， 将点(0,3)-代入得：23(01)4a -=--，解得：a=1，故该抛物线的解析式为：223y x x =--，故选：A.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．12．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡（倾斜角为30°）笔直滑下，滑下的距离为24米，则此人下滑的高度为（ ）A ．24B ．123C ．12D ．6【答案】C 【分析】由题意运用解直角三角形的方法根据特殊三角函数进行分析求解即可.【详解】解：因为斜坡（倾斜角为30°），滑下的距离即斜坡长度为24米， 所以下滑的高度为0124sin 3024122⨯=⨯=米. 故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形相关，结合特殊三角函数进行求解是解题的关键，也可利用含30°的直角三角形，其斜边是30°角所对直角边的2倍进行分析求解.二、填空题（本题包括8个小题）13．观察下列各式： 2(1)(1)1x x x -+=-； 23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-； 4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-则2019201820172222...221++++++=_______________________.【答案】202021-【分析】由所给式子可知，（1x -）（122...1n n n x x x x x --++++++）=11n x +-，根据此规律解答即可.【详解】由题意知（21-）（2019201820172222...221++++++）=202021-，∴20192018201722020222...22121++++++=-.故答案为202021-.【点睛】本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．14．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．【答案】25 4【分析】设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF的最大值，求出DF的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴ABEC＝BECF，∴55x-＝xy，∴y＝﹣15x2+x＝﹣15（x﹣52）2+54，∵﹣15＜0，∴x＝52时，y有最大值54，∴CF的最大值为54，∴DF的最小值为5﹣54＝154，∴AF22AD DF+221554⎛⎫+ ⎪⎝⎭254，故答案为254．【点睛】本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF 的最小值．15．抛物线y=x 2-2x+3，当-2≤x≤3时，y 的取值范围是__________【答案】211y ≤≤【分析】先把一般式化为顶点式，根据二次函数的最值，以及对称性，即可求出y 的最大值和最小值，即可得到取值范围.【详解】解：∵2223(1)2y x x x =-+=-+，又∵10a =>，∴当1x =时，抛物线有最小值y=2；∵抛物线的对称轴为：1x =，∴当2x =-时，抛物线取到最大值，最大值为：2(21)211y =--+=；∴y 的取值范围是：211y ≤≤；故答案为：211y ≤≤.【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．如图，有一张直径（BC ）为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯A 距地面2米，圆桌的影子是DE ，AD 和AE 是光线，建立图示的平面直角坐标系，其中点D 的坐标是（2，0）．那么点E 的坐标是____．【答案】（4，0）【分析】如图延长CB 交y 轴于F ，由桌面与x 轴平行△AFB ∽△AOD ，求FB=1.2，由△AFC ∽△AOE ，可求OE 即可．【详解】如图，延长CB 交y 轴于F ，∵桌面与x 轴平行即BF ∥OD ，∴△AFB ∽△AOD ，∵OF=0.8，∴AF=AO-OF=2-0.8=1.2，∵OA=OD=2，则AF=FB=1.2，BC =1.2，FC=FB+BC=1.2+1.2=2.4，∵FC ∥x 轴，∴△AFC ∽△AOE ， ∴AF FC =AO OE， ∴AO FC 2 2.4OE==AF 1.2⨯=4， E （4，0）．故答案为：（4，0）．．【点睛】本题考查平行线截三角形与原三角形相似，利用相似比来解，关键是延长CB 与y 轴相交，找到了已知与未知的比例关系从而解决问题．17．计算211a a a ---的结果是_______. 【答案】11a - 【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减.【详解】解：原式=()211a a a -+- =()()21111a a a a a -+--- =2211a a a -+- =11a -.故答案为：11a -. 【点睛】 本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序. 18．已知123112113114,,,...,1232323438345415a a a =+==+==+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯依据上述规律，则 99a =________．【答案】1009999. 【解析】试题解析：等号右边第一式子的第一个加数的分母是从1开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数的分子是1，分母是2，结果的分子是2，分母是1×3=3； 等号右边第二个式子的第一个加数的分母是从2开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数的分子是1，分母是3，结果的分子是3，分母是2×4=8；等号右边第三个式子的第一个加数的分母是从3开始，三个连续的数的积，分子是1；第二个加数的分子是1，分母是4，结果的分子是4，分母是3×5=1．所以a 99=991100991019999+=⨯. 考点：规律型：数字的变化类．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，二次函数y ＝﹣34x 2+94x+3的图象与x 轴交于点A 、B （B 在A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．【答案】（1）点A 的坐标为(﹣1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 的坐标为(0，3)；（2）152 【分析】（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A 、B 、C 的坐标；（2）根据（1）中点A 、点B 、点C 的坐标可以求得△ABC 的面积．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝34-x 2+94x+3＝34-（x ﹣4）（x+1）， ∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x 1＝4，x 2＝﹣1，即点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，3）；（2）∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，3），∴AB＝5，OC＝3，∴△ABC的面积是：·5322AB OC⨯=＝152，即△ABC的面积是152．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，分别令x、y为0，即可求出函数与坐标轴的交点，进而求解三角形的面积．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C；(2) 请画出△ABC关于原点对称的△A B C；(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.【答案】（1）图形见解析；（2）图形见解析；（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）【分析】(1)按题目的要求平移就可以了关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可(3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．【详解】（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）【点睛】1、图形的平移；2、中心对称；3、轴对称的应用21．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD．EG＝15里，HG经过点A，则FH等于多少里？请你根据上述题意，求出FH的长度．【答案】1.1里【分析】通过证明△HFA∽△AEG，然后利用相似比求出FH即可．【详解】∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，∴∠HFA＝∠DAB＝∠AEG＝90°，∴FA∥EG．∴∠HAF＝∠G．∴△HFA∽△AEG，∴FHAF ＝AFEG，即4.5FH＝3.515，解得FH＝1.1．答：FH等于1.1里．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长度．22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90º后得到△A1OB1．（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为；（3）点A1的坐标为；（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为．【答案】（1）见解析；（2）（-3，-2）；（3）（-2，3）；（4）5【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据关于O点中心对称的点的坐标的特点直接写出答案即可；（3）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；（4）利用勾股定理列式求出OB，再根据弧长公式列式计算即可得解．【详解】（1）△A1OB1如图所示；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为（-3，-2）；（3）点A1的坐标为（﹣2，3）；（4）由勾股定理得，OB=223110+=，弧BB1的长为：9010101802ππ⋅=．考点：1．作图-旋转变换；2．弧长的计算．23．已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；（2）若AB=4，求AE•DE的值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行，可得出∠1=∠2，结合∠AED=∠B即可证明两三角形都得相似．（2）根据（1）的结论可得出AE ABDA DE=，进而代入可得出AE•DE的值．试题解析：（1）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠1=∠2. 又∵∠B=∠AED，∴△ABE∽△DEA．（2）∵△ABE∽△DEA，∴AE ABDA DE=.∴AE•DE=AB•DA．∵四边形ABCD是菱形，AB=1，∴AB=DA=1．∴AE•DE=AB2=2．考点：1.菱形的性质；2.相似三角形的判定和性质．24．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．【答案】 (1)见解析 (2) 8m【详解】试题分析：（1）利用太阳光线为平行光线作图：连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．试题解析：（1）连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；（2）∵AF∥CE，∴∠AFB=∠CED，而∠ABF=∠CDE=90°，∴△ABF∽△CDE，∴AB BF CDDE=，即1.620.4AB=，∴AB=8（m）,答：旗杆AB的高为8m．25．如图，在ABC∆中，点D，E分别在AB，AC上，DE BC∥，:2:5AD AB=，4ADES∆=.求四边形BCED的面积.【答案】21.【分析】利用平行判定ADE ABC∆∆∽，然后利用相似三角形的性质求得425ADEABCSS∆∆=，从而求得25ABCS∆=，使问题得解.【详解】解：∵DE BC∥，∴ADE B∠=∠，AED C∠=∠.∴ADE ABC∆∆∽.∵25ADAB=，∴425ADEABCSS∆∆=.∵4ADES∆=，∴25ABC S ∆=.∴=21BCED S 四边形.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是本题的解题关键. 26．如图，点A 在y 轴正半轴上，点()4,2B 是反比例函数图象上的一点，且tan 1OAB ∠=.过点A 作AC y ⊥轴交反比例函数图象于点C .（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C 的坐标.【答案】（1）8y x =；（2）4,63⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设反比例函数的表达式为k y x=，将点B 的坐标代入即可； （2）过点B 作BD AO ⊥于点D ，根据点B 的坐标即可得出4BD =，2DO =,然后根据tan 1OAB ∠=，即可求出AD ，从而求出AO 的长即点C 的纵坐标，代入解析式，即可求出点C 的坐标.【详解】解：（1）设反比例函数的表达式为k y x =， ∵点()4,2B 在反比例函数图象上， ∴24k =. 解得8k . ∴反比例函数的表达式为8y x =. （2）过点B 作BD AO ⊥于点D .∵点B 的坐标为()4,2，∴4BD =，2DO =.在Rt ABD △中，tan 1BD OAB AD ∠==， ∴4AD BD ==.∴6AO AD DO =+=.∵AC y ⊥轴，∴点C 的纵坐标为6.将6y =代入8y x =，得43x =. ∴点C 的纵坐标为4,63⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】此题考查的是反比例函数与图形的综合题，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.27．已知布袋中有红、黄、蓝色小球各一个，用画树状图或列表的方法求下列事件的概率.（1）如果摸出第一个球后，不放回，再摸出第二球，求摸出的球颜色是“一黄一蓝”的概率.（2）随机从中摸出一个小球，记录下球的颜色后，把球放回，然后再摸出一个球，记录下球的颜色，求得到的球颜色是“一黄一蓝”的概率.【答案】（1）13；（2）29 【分析】运用画树状图或列表的方法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比解答即可.【详解】解：（1）画树状图如图所示.共有6种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，因此球颜色是“一黄一蓝”的概率为13. （2）画树状图如图所示.共有9种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，因此球颜色是“一黄一蓝”的概率为2 9 .【点睛】本题主要考查的是用画树状图法或列表法求概率.着重考查了用画树状图法或列表法列举随机事件出现的所有情况，并求出某事件的概率，应注意认真审题，注意不放回再摸和放回再摸的区别.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC 相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=23，则线段CD的长是（）A．2 B．3C．32D．332【答案】B【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=23，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD 可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【详解】连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，3，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥CB，∴AD AOCD OB＝2342，∴3故选B．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺.同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60︒的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50︒的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（）A．B地在C地的北偏西40︒方向上B．A地在B地的南偏西30方向上C．3cos2BAC∠=D．50∠=°ACB【答案】C【分析】先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可．【详解】解：如图所示，由题意可知，∠4=50°，∴∠5=∠4=50°，即B地在C地的北偏西50°方向上，故A错误；∵∠1=∠2=60°，∴A地在B地的南偏西60°方向上，故B错误；∵∠1=∠2=60°，∴∠BAC=30°，∴3cos BAC∠=C正确；∵∠6=90°−∠5=40°，即∠ACB=40°，故D错误．故选C．【点睛】本题考查的是方向角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．2．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（）A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1【答案】C【分析】根据二次函数y ＝x 2﹣2x+c 的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y ＝x 2﹣2x+c 的图象与x 轴只有一个公共点或者与x 轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c 的值即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝x 2﹣2x+c 的图象与坐标轴只有两个公共点，∴二次函数y ＝x 2﹣2x+c 的图象与x 轴只有一个公共点或者与x 轴有两个公共点，其中一个为原点， 当二次函数y ＝x 2﹣2x+c 的图象与x 轴只有一个公共点时， (﹣2)2﹣4×1×c ＝0，得c ＝1；当二次函数y ＝x 2﹣2x+c 的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时， 则c ＝0，y ＝x 2﹣2x ＝x(x ﹣2)，与x 轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)； 由上可得，c 的值是1或0， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键． 3．下列方程中不是一元二次方程的是（ ） A ．2449x = B ．2523x x -=C ．()()21819123y y y +=-+ D ．20.012t t =【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义进行排除选择即可，一元二次方程的关键是 方程中只包含一个未知数，且未知数的指数为2.【详解】根据一元二次方程的定义可知含有一个未知数且未知数的指数是2的方程为一元二次方程，所以A ，B ，D 均符合一元二次方程的定义，C 选项展开移项整理后不含有未知数，不符合一元二次方程的定义，所以错误，故选C. 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知此定义是解题的关键. 4．如图，在O 中，点C 为弧AB 的中点，若ADC α∠=（α为锐角），则APB ∠=（ ）A ．180α︒-B ．1802α︒-C ．75α︒+D ．3α【答案】B【分析】连接BD ，如图，由于点C 为弧AB 的中点，根据圆周角定理得到∠BDC=∠ADC=α，然后根据圆内接四边形的对角互补可用α表示出∠APB ． 【详解】解：连接BD ，如图，∵点C为弧AB的中点，∴弧AC=弧BC，∴∠BDC=∠ADC=α，∴∠ADB=2α，∵∠APB+∠ADB=180°，∴∠APB=180°-2α．故选：B．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键．5．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（）A．310B．925C．920D．35【答案】A【分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率：【详解】列表如下：红红红绿绿红﹣﹣﹣（红，红）（红，红）（绿，红）（绿，绿）红（红，红）﹣﹣﹣（红，红）（绿，红）（绿，红）红（红，红）（红，红）﹣﹣﹣（绿，红）（绿，红）绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）﹣﹣﹣（绿，绿）绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）﹣﹣﹣∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴63P 2010==两次红， 故选A.6．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确 【答案】A【分析】过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF ，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP 平分∠AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点C 作CF ⊥BO 与点F ，由题意得CE ⊥AO ，∵两把完全相同的长方形直尺， ∴CE=CF ，∴OP 平分∠AOB （角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定7．如图，从半径为5的⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA ，PB （A ，B 为切点），若∠APB ＝60°，则四边形OAPB 的周长等于（ ）A ．30B ．40C ．10(31)-D ．10(31)+【答案】D【分析】连接OP ，根据切线长定理得到PA ＝PB ，再得出∠OPA ＝∠OPB ＝30°，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理求出PB ，计算即可． 【详解】解：连接OP ， ∵PA ，PB 是圆的两条切线， ∴PA ＝PB ，OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，又OA=OB ，OP=OP ，∴△OAP ≌△OBP （SSS ）， ∴∠OPA ＝∠OPB ＝30°， ∴OP=2OB=10，∴PB ＝22OP OB -=53＝PA ，∴四边形OAPB 的周长＝5+5+53+53＝10（3+1）， 故选：D ．【点睛】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理以及全等三角形的性质等知识，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．8．已知⊙O 的半径为13，弦AB//CD ，AB ＝24，CD ＝10，则AB 、CD 之间的距离为 A ．17 B ．7C ．12D ．7或17【答案】D【解析】①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图1，∵AB=24cm，CD=10cm ，∴AE=12cm，CF=5cm ，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm ，∴EF=12﹣5=7cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图2，∵AB=24cm，CD=10cm ，∴AE=12cm，CF=5cm ，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm ，∴EF=OF+OE=17cm，∴AB 与CD 之间的距离为7cm 或17cm ．点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．9．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ） A ．a //b B ．a -2b =0C ．b =12a D ．2ab =【答案】B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误. 故选B.10．下列实数中，介于23与32之间的是( ) A ．2 B ．3C ．157D ．π【答案】A【解析】估算无理数的大小问题可解．【详解】解：由已知23≈0.67,3=2 1.5,∵因为2 1.414≈,3 1.732≈,152.1437≈,π>3 ∴2介于23与32之间故选：A ． 【点睛】本题考查了无理数大小的估算，解题关键是对无理数大小进行估算．11．如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 交于点P ，PB ＝1cm ，AP ＝5cm ，∠APC ＝30°，则弦CD 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．22D ．42【答案】D【分析】作OH ⊥CD 于H ，连接OC ，如图，先计算出OB ＝3，OP ＝2，再在Rt △OPH 中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH＝1，则可根据勾股定理计算出CH，然后根据垂径定理得到CH＝DH，从而得到CD的长．【详解】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，∵PB＝1，AP＝5，∴OB＝3，OP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴OH＝12OP＝1，在Rt△OCH中，CH＝223122-=，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝22，∴CD＝2CH＝42．故选：D．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．12．两个相似三角形对应高之比为1:2，那么它们的对应中线之比为（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:8【答案】A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．【详解】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，∴它们的相似比是1:2，∴它们对应中线之比为1:2.故选A.【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，BA是⊙C的切线，A为切点，AC=1，AB=2，点D是⊙C上的一个动点，连结BD并延长，交AC的延长线于E，则EC的最大值为_______．【答案】53【分析】连接BC ，过C 作CF BD ⊥于点F ，由图易知，当CF r =，即BD 与圆相切时，CE 最大，设EC最大值为x ，根据相似三角形的性质得到CE BECF AB=，代入求值即可； 【详解】连接BC ，过C 作CF BD ⊥于点F ，由图易知，当CF r =，即BD 与圆相切时，CE 最大，设EC 最大值为x ， ∵△△CDE BAE ，∴CE BECF AB =， ∴12CEBE=，∴2BE CE =，即()22122x x ++=，解得53x =； 故答案是53．【点睛】本题主要考查了相似三角形对应线段成比例和圆的切线性质，准确计算是解题的关键． 14．如图，在Rt ABC 中，390,2,,4ACB AC tanB CD ∠=︒==平分ACB ∠交AB 于点,D DE BC ⊥，垂足为点E ，则DE =__________．【答案】87【分析】首先解直角三角形得出BC ，然后根据DE BC ⊥判定DE ∥AC ，再根据平行线分线段成比例即可得出BE DEBC AC=，再利用角平分线的性质，得出CE=DE ，然后构建方程，即可得出DE. 【详解】∵390,2,,4ACB AC tanB ∠=︒==∴382,43AC BC tanB ==÷= 又∵DE BC ⊥ ∴DE ∥AC ∴BE DE BC AC= 又∵CD 平分ACB ∠ ∴∠ACD=∠BCD=∠CDE=45° ∴CE=DE∴BC DE DEBC AC -=∴87DE =故答案为87.【点睛】此题主要考查利用平行线分线段成比例的性质构建方程，即可解题.15．在矩形ABCD 中，24AB AD ==，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，连接AE ，则图中阴影部分的面积为：__________．【答案】8233π-【分析】首先利用三角函数求的∠DAE 的度数，然后根据S 阴影=S 扇形AEF −S △ADE 即可求解． 【详解】解：∵24AB AD ==，AE=AB ， ∴22AE AD -3∴Rt △ADE 中，cos ∠DAE=DA AE =12， ∴∠DAE=60°，则S△ADE=12AD⋅DE=12×2×23=23，S扇形AEF=2604360⨯π=83π，则S阴影=S扇形AEF−S△ADE=83π-23．故答案为823 3π-．【点睛】本题考查了扇形的面积公式和三角函数，求的∠DAE的度数是关键．16．小北同学掷两面质地均匀硬币，抛5次，4次正面朝上，则掷硬币出现正面概率为_____．【答案】1 2【分析】根据抛掷一枚硬币，要么正面朝上，要么反面朝上，可以求得相应的概率．【详解】无论哪一次掷硬币，都有两种可能，即正面朝上与反面朝上，则掷硬币出现正面概率为：12；故答案为：12．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝mn．17．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距10m的D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度约为__________m．(结果取整数．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)【答案】1【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可．【详解】解：由题意，CD=10，∠BDC=45°，∠ADC=51°，在Rt△BCD中，tan∠BDC=BC CD，则BC=CD•tan45°=10，在Rt△ACD中，tan∠ADC=AC CD，则AC=CD•tan∠ADC≈10×1.11=11.1，∴AB=AC-BC=1.1≈1（m），故答案为：1．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．18．已知234x y z x z y+===，则_______ 【答案】2 【分析】设234x y z k ===，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】解：根据题意，设234x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴2423x z k k y k++==； 故答案为：2.【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k 来表示x 、y 、z.三、解答题（本题包括8个小题）19．一段路的“拥堵延时指数”计算公式为：拥堵延时指数=高峰时段通过该路段的时间平峰时段通过该路段的时间，指数越大，道路越堵。

浙江宁波南三县初三上期末数学考试卷（解析版）（初三）期末考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx 题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】若2a=3b，则=（）A． B ． C ． D ．【答案】B【解析】试题分析：根据等式的性质，两边都除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．解：两边都除以2b，得=，故选：B．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质是解题关键．【题文】抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为（）A．（4，0） B．（0，4） C．（4，2） D．（4，﹣2）【答案】B【解析】试题分析：形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．解：抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为（0，4）．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．【题文】已知粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：让黄色粉笔的支数除以粉笔的总支数即为所求的概率．解：∵粉笔盒里只有2支黄色粉笔和3支红色粉笔共有2+3=5支粉笔，其中黄色粉笔有2支，∴从中任取一支粉笔，取出黄色粉笔的概率是=．故选B．【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．【题文】河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A．5米 B．10米 C．15米 D．10米【答案】A【解析】试题分析：Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．解：Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=5米；故选A．【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．【题文】把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3 【答案】D【解析】试题分析：利用二次函数平移的性质．解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的关系问题．【题文】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】试题分析：根据AH=2，HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．解：∵AH=2，HB=1，∴AB=3，∵l1∥l2∥l3，∴==，故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．【题文】如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a=b B．a=2b C．a=2b D．a=4b【答案】B【解析】试题分析：根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴=，∴a=2b．故选B．【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．【题文】若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】C【解析】试题分析：先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点A离直线x=3最远，点C离直线x=3最近，而抛物线开口向下，∴y3＞y2＞y1；故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．【题文】与图中的三角形相似的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故选项A错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故选项B正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项C错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故选项D错误．故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形三边对应成比例的两个三角形相似这一判定方法的运用．【题文】如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的负半轴交于点A，B（点A在点B的右边），与y轴的正半轴交于点C，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）A．a+b=1 B．b＜2a C．a﹣b=﹣1 D．ac＜0【答案】C【解析】试题分析：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标（0，1）以及A的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．解：A不正确：由图象可知，直线AC：y=x+1，当x=1时，a+b+1＞1+1，即a+b＞1；B不正确：由图象可知，﹣＜﹣1，解得b＞2a；C正确：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因为OC=OA=1，所以C（0，1），A（﹣1，0），把它代入y=ax2+bx+c，即a•（﹣1）2+b•（﹣1）+1=0，即a﹣b+1=0，所以a﹣b=﹣1．D不正确：由图象可知，抛物线开口向上，所以a＞0；又因为c=1，所以ac＞0．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是了解各系数对函数的图象的影响．【题文】将一副三角板按如图方法摆放在一起，连接AC，则tan∠DAC值为（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：先过点C作CE⊥AD于E，设CD=a，在Rt△BDC中，利用三角函数，可求BD，在Rt△DBA中，利用三角函数，可求AD，易证△CED是等腰直角三角形，从而利用三角函数可求CE、DE，于是在Rt△CAE中，可求tan∠EAC==，即tan∠DAC的值．解：如图所示，过点C作CE⊥AD于E，设CD=a，在Rt△BDC中，∠DBC=30°，则BD=cot30°×CD=a，在Rt△DBA中，AD=sin45°×BD=a，又∵CE⊥AD，∠BDA=45°，∴DE=CE=sin45°×a=a，∴在Rt△CAE中，tan∠EAC====．即tan∠DAC=．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的性质、特殊三角函数值．解本题最关键的是作辅助线CE，构造直角三角形．【题文】如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=60，AB=100，a，b，c…是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a的一边长是72，则这样的矩形a、b、c…的个数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】试题分析：根据勾股定理可以求出每阶台阶的宽，依据BC的长，即可解答．易证△BDE≌△EFG≌△GKH≌△HLM，可得BD=EF=GK=HL=BC﹣DC=﹣72=8．根据此规律，共有80÷8﹣1=9个这样的矩形．故选C．【点评】本题将勾股定理和规律的探索与实际问题相结合，有一定的难度，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【题文】若sinα=，α是锐角，则α=度．【答案】30°【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值解答．解：∵sinα=，α是锐角，∴α=30°．【点评】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．【题文】线段a、b的长度分别是2cm和8cm，则a、b的比例中项长为 cm．【答案】4．【解析】试题分析：比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方l∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=125°，故答案为：125．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【题文】将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是度．【答案】72．试题分析：由于以A为顶点的一个周角是360°，根据∠BAD=360°﹣正五边形的一个角的度数﹣矩形的一个内角的度数×2作答．解：∵一个无盖的直五棱柱的侧面是矩形，∴每一个内角都是90°，又∵正五边形的每个角的度数为，∴∠BAD=360°﹣108°﹣90°×2=72°．故答案为：72．【点评】本题主要考查根据多边形的内角和计算公式求正五边形的内角．【题文】为美化校园，学校决定将花园边墙上的矩形门ABCD改为以AC为直径的圆弧形门，如图所示，量得矩形门宽为1m，对角线AC的长为2m，则要打掉墙体的面积为 m2．【答案】﹣【解析】试题分析：要打掉墙体的面积是圆的面积减矩形面积减弓形BC的面积．解：在Rt△ABC中，∵AC=2m，BC=1m．∴∠BAC=30°，BC=1m，AB=m．∴∠BCO=60°，即△OBC是等边三角形．∠BOC所对的弧与弦BC所围成的弓形的面积S1=﹣=﹣{{7l【解析】试题分析：连接MN，根据中位线定理，可得出MN=DE=5cm；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm，这三个三角形的高之和是从A点到BC的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积．解：连接MN，则MN是△ABC的中位线，因此MN=BC=5cm；过点A作AF⊥BC于F，则AF==12cm．∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm；因此S阴影=×5×12=30cm2．故答案为：30．【点评】本题主要考查了中位线定理、等腰三角形的性质等知识，综合性较强．【题文】计算：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°．【答案】【解析】试题分析：此题涉及有理数的乘方、特殊角的三角函数值的求法，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果即可．解：（sin30°﹣1）2﹣×sin45°+tan60°×cos30°=1﹣×+×=1﹣1+=【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握有理数的乘方、特殊角的三角函数值的运算．【题文】已知二次函数的图象经过点（0，﹣3），且顶点坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求△ABC的面积．【答案】（1）函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）6【解析】试题分析：（1）先设所求函数解析式是y=a（x+1）2﹣4，再把（0，﹣3）代入，即可求a，进而可得函数解析式；（2）令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标；（3）△ABC的面积等于AB×OC的一半．解：（1）设y=a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入得：a=1，∴函数解析式y=（x+1）2﹣4或y=x2+2x﹣3；（2）∵x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴△ABC的面积=．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点、三角形的面积，解题的关键是先求出函数解析式．【题文】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．【答案】（1）见解析（2）9【解析】试题分析：（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．【题文】A、B两地相距20km，B在A的北偏东45°方向上，一森林保护中心P在A的北偏东30°和B的正西方向上，现计划修建的一条高速公路将经过AB（线段），已知森林保护区的范围在以点P为圆心，半径为4km的圆形区域内，请问这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（sin15°=0.259，cos15°=0.966，tan15°=0.268）【答案】不会【解析】试题分析：过P作PM⊥AB于M，延长BP作BC⊥AC于C．在直角△APC中，运用三角函数用求出AC，BC的长．在直角△PCA中，运用三角函数求出PC的长，从而得到PB的长．在直角△PMB中，运用三角函数求出PM，比较PM与4km的大小关系即可．解：延长BP作BC⊥AC于C，过P作PM⊥AB于M．因为B在A的北偏东45°方向上，所以A在B的南偏西45°方向．在Rt△ABC中，∵∠CBA=∠CAB=45°，∴AC=BC=10．在直角△PCA中，∠PAC=30°，则PC=，∴PB=10﹣，在直角△PMB中，PM=（10﹣）×=10﹣≈4.226．∵4.226＞4，∴这条高速铁路不会穿越保护区．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据三角函数求出PM的长是解决本题的关键．【题文】有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A、B．②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平．【答案】见解析【解析】试题分析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．转盘B的数字转盘A的数字 4 5 61（1，4）（1，5）（1，6）2（2，4）（2，5）（2，6）3（3，4）（3，5）（3，6）解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：表格中共有9种等可能的结果，则数字之积为3的倍数的有五种，其概率为；数字之积为5的倍数的有三种，其概率为=．（2）这个游戏对双方不公平．∵小亮平均每次得分为（分），小芸平均每次得分为（分），∵，∴游戏对双方不公平．修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【题文】某商品公司为指导某种应季商品的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查基础上，对今年这种商品的市场售价和生产成本进行了预测并提供了两个方面的信息：如图（1）（2）．注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份一件商品的售价和成本，生产成本6月份最高；图（1）的图象是线段，图（2）的图象是抛物线．（1）在3月份出售这种商品，一件商品的利润是多少？（2）设t月份出售这种商品，一件商品的成本Q（元），求Q关于t的函数解析式．（3）设t月份出售这种商品，一件商品的利润W（元），求W关于t的函数解析式．（4）问哪个月出售这种商品，一件商品的利润最大？简单说明理由．【答案】（1）5元；（2）Q=﹣（t﹣6）2+4=﹣t2+4t﹣8（3）W=（t﹣5）2+（4）元【解析】试题分析：（1）从图易知3月份每件商品售价6元，成本1元，易求利润；（2）根据图象特征设解析式为顶点式易求解析式；（3）根据利润的计算方法，显然需求直线解析式，再求差，（4）运用函数性质计算利润．解：（1）每件商品在3月份出售时的利润为5元；（2）∵抛物线的顶点坐标为（6，4）∴设抛物线的解析式为Q=a（t﹣6）2+4∵抛物线过（3，1）点∴1=a（3﹣6）2+4解得：a=﹣∴Q=﹣（t﹣6）2+4=﹣t2+4t﹣8，其中t=3、4、5、6、7；（3）设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M=kt+b∵线段过（3，6）、（6，8）两点∴3k+b=6 6k+b=8解得：k=，b=4∴M=t+4，其中t=3、4、5、6、7；（4）每件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为W=M﹣Q=（t+4）﹣（﹣t2+4t﹣8）=t2﹣t+12∴W=（t﹣5）2+，其中t=3、4、5、6、7∴当t=3或7时，W的最大值为元．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解本题的关键是读懂题意，难度在第3个问题：表示利润．运用二次函数的性质求最值常用配方法或公式法．【题文】基本模型：如图1，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC=90°，易得△AFE～△BCF．（1）模型拓展：如图2，点A，F，B在同一直线上，若∠A=∠B=∠EFC，求证：△AFE～△BCF；（2）拓展应用：如图3，AB是半圆⊙O的直径，弦长AC=BC=4，E，F分别是AC，AB上的一点，若∠CFE=45°，若设AE=y，BF=x，求y与x的函数关系式．【答案】（1）见解析（2）y=﹣x2+x（0≤x≤8）【解析】试题分析：（1）利用已知得出∠E=∠CFB，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；（2）利用（1）得出△AFE∽△BCF，则=，进而求出y与x的函数关系式．解：（1）证明：如图2，∵∠A=∠EFC，∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，∴∠E=∠CFB，∵∠A=∠B，∴△AFE∽△BCF；（2）解：如图3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==8，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠A=∠B=∠CFE=45°，由（1）可得△AFE∽△BCF，∴，即，∴y=﹣x2+x（0≤x≤8），【点评】此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及二次函数最值等知识，根据题意熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．【题文】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG，设E点移动距离为x（x＞0）．（1）△EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式；（3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值．【答案】（1）x，D点；（2）y=x2；（3）当x=时，y最大=．【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D 重合；（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．解：（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，∴BF=2BE=2x，∴EF=BF﹣BE=2x﹣x=x，∴△EFG的边长是x；过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC﹣AD=3，∴DH=CH•tan30°=3×当x=2时，BE=EF=2，∵△EFG是等边三角形，且DH⊥BC交点H，∴EH=HF=1∴DE=DF==2，∴△DEF是等边三角形，∴点G的位置在D点．故答案为x，D点；（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=x2；②分两种情况：Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x﹣6，∴GM=（3x﹣6），由勾股定理得：MN=（3x﹣6），∴S△GMN=×GM×MN=×（3x﹣6）×（3x﹣6）=（3x﹣6）2，所以，此时y=x2﹣（3x﹣6）2=﹣；Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，∵EC=6﹣x，∴y=（6﹣x）2=x2﹣x+，（3）当0＜x≤2时，∵y=x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大=；当2＜x＜3时，∵y=﹣在x=时，y最大=；当3≤x≤6时，∵y=，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大=．综上所述：当x=时，y最大=．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了梯形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，图形的面积，解本题的关键是画出图形，是一道动态题，难度较大，注意不同的情况，能够熟练求得二次函数的最值．。

2020-2021宁波市九年级数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )A ．MB ．PC ．QD ．R2．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m ，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m 2，设扩大后的正方形绿地边长为xm ，下面所列方程正确的是( )A ．x(x-20)=300B ．x(x+20)=300C ．60(x+20)=300D ．60(x-20)=3003．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞44．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59B ．49C ．56D ．135．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π- B ．8433π- C ．8233π- D ．843π- 7．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根 8．若a 是方程22x x 30--=的一个解，则26a 3a -的值为( ) A ．3B ．3-C ．9D ．9-9．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A ．确定事件 B ．必然事件 C ．不可能事件 D ．不确定事件 10．下列判断中正确的是（ ） A ．长度相等的弧是等弧B ．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C ．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D ．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦11．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc>0；②a+b+c>0；③a+c>b ；④2a+b=0；⑤∆=b 2-4ac<0中，成立的式子有( )A ．②④⑤B ．②③⑤C ．①②④D ．①③④12．关于y=2（x ﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（ ）A ．顶点坐标为（﹣3，2）B ．对称轴为直线y=3C ．当x≥3时，y 随x 增大而增大D ．当x≥3时，y 随x 增大而减小二、填空题13．关于x 的230x ax a --=的一个根是2x =-，则它的另一个根是___．14．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为______．15．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____． 16．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．17．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.18．已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：_____．19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为_______．20．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s ＝60t﹣1.5t2，飞机着陆后滑行_____米才能停下来．三、解答题21．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt∆ABC和Rt∆BED的边长，已知2ax cx b二次方++=AE c，这时我们把关于x的形如220=程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”220ax cx b，必有实数根；+=(3)若x=-1是“勾系一元二次方程” 220ax cx b的一个根，且四边形ACDE的++=周长是2，求∆ABC的面积．22．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？23．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．24．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O 相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接P A，PB，PC，且满足∠PCA ＝∠ABC（1）求证：P A＝PC；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若BC＝8，32ABDF，求DE的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．A解析：A【解析】【分析】设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据“扩大后的绿地面积比原来增加300m2”建立方程即可．【详解】设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得x（x-20）=300，故选A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．3．D解析：D【解析】【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．4．B解析：B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49．【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．5．D解析：D【解析】【分析】连接AO、BO、CO，根据中心角度数＝360°÷边数n，分别计算出∠AOC、∠BOC的度数，根据角的和差则有∠AOB＝30°，根据边数n＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO、BO、CO，∵AC是⊙O内接正四边形的一边，∴∠AOC＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．6．C解析：C 【解析】 【分析】连接OD ，根据勾股定理求出CD ，根据直角三角形的性质求出∠AOD ，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】 解：连接OD ， 在Rt △OCD 中，OC ＝12OD ＝2， ∴∠ODC ＝30°，CD ＝2223OD OC += ∴∠COD ＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=2336023π⨯-⨯⨯π- ， 故选：C ．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．7．C解析：C 【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2ba-=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误； ∵对称轴x=2ba-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确； ∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误， 故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2ba-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．8．C解析：C 【解析】由题意得：2a 2-a-3=0，所以2a 2-a=3，所以6a 2-3a=3(2a 2-a)=3×3=9， 故选C.9．D解析：D 【解析】试题分析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件， 故选D ． 考点：随机事件．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据等弧概念对A 进行判断,根据垂径定理对B 、C 、D 选项进行逐一判断即可． 本题解析. 【详解】A.能够互相重合的弧,叫等弧,不但长度相等而且半径相等.故本选项错误.B. 由垂径定理可知平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的两条弧，而不是直线,也未注明被平分的弦不是直径，故选项B 错误；C. 由垂径定理可知弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧，故选项C 正确D.由垂径定理可知平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦,而不是直线.故本选项错误. 故选C.11．D解析：D【解析】【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可.【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故②错误，∵x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，∴a+c＞b，故③正确，∵对称轴x=1，∴-b2a=1，∴2a+b=0，故④正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故⑤错误，故选D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．12．C解析：C【解析】∵ y=2（x﹣3）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（3，2），对称轴为直线x=3，∴当3x 时，y随x的增大而增大.∴选项A、B、D中的说法都是错误的，只有选项C中的说法是正确的.故选C.二、填空题13．6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0解得a＝4∴原方程化为x2－4x－12＝0∵x1＋（－2）＝4∴x1＝6故答案为6点睛：本题考查了一元二解析：6【解析】【分析】【详解】解：设方程另一根为x1，把x＝－2代入方程得（－2）2＋2a－3a＝0，解得a＝4，∴原方程化为x2－4x－12＝0，∵x1＋（－2）＝4，∴x1＝6．故答案为6．点睛：本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋ x2＝ba，x1·x2＝ca．也考查了一元二次方程的解．14．4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE即可求解【详解】令y＝0则：x＝±1令x＝0则y＝2则：OB＝1BD＝2OB＝2S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝解析：4【解析】【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．【详解】令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．故：答案为4．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．15．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长解析：12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 16．【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过ABC三点的外接圆从而得出答案如图分别作ABBC的中垂线两直线的交点为O以O为圆心OA为半径作圆则⊙O即为过ABC三点的外接圆由图可知⊙O还经过点DEFGH这5解析：【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为5．考点：圆的有关性质.17．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点EME与抛物线交于点P′由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值即可得出当点P运动到点P′时△PMF周长取最小值【详解】解解析：5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.18．4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0再由开口的大小由a的绝对值决定可求得a的取值范围【详解】解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上∴a＞0又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小∴|a|＞3解析：4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0，再由开口的大小由a的绝对值决定，可求得a的取值范围．【详解】解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，∴a＞0，又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，∴|a|＞3，∴a＞3，取a＝4即符合题意【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解题的关键，即|a|越大，抛物线开口越小．19．(-101010102)【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标求得直线A1A2为y=x+2联立方程求得A2的坐标即可求得A3的坐标同理求得A4的坐标即可求得A5的坐标根据坐标的变化找出变解析：(-1010,10102)【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．【详解】∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y=x，A1（-1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y=x+2，解22y x y x +⎧⎨⎩＝＝得11xy-⎧⎨⎩＝＝或24xy⎧⎨⎩＝＝，∴A2（2，4），∴A3（-2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y=x+6，解26y x y x +⎧⎨⎩＝＝得24xy-⎧⎨⎩＝＝或39xy⎧⎨⎩＝＝，∴A4（3，9），∴A5（-3，9）…，∴A2019（-1010，10102），故答案为（-1010，10102）．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．20．600【解析】【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得【详解】∵s＝60t﹣15t2＝﹣t2+60t＝﹣（t﹣20）2+600∴当t＝20时s取得最大值600即飞机着陆后滑行600米才能解析：600【解析】【分析】将函数解析式配方成顶点式求出s的最大值即可得．【详解】∵s＝60t﹣1.5t2，＝﹣32t2+60t，＝﹣32（t﹣20）2+600，∴当t＝20时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600．【点睛】此题考查二次函数解析式的配方法，利用配方法将函数解析式化为顶点式由此得到函数的最值是一种很重要的解题方法.三、解答题21．（1）2340x++=(答案不唯一)（2）见解析（3）1.【解析】【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）根据根的判别式即可求解；（3）根据方程的解代入求出a,b,c 的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.【详解】（1）当a=3,b=4,c=5时，勾系一元二次方程为2340x ++=；（2）依题意得△=）2-4ab=2c 2-4ab,∵a 2+b 2=c 2,∴2c 2-4ab=2（a 2+b 2）-4ab=2（a-b ）2≥0，即△≥0，故方程必有实数根；（3）把x=-1代入得c∵四边形 ACDE 的周长是，即，故得到c=2，∴a 2+b 2=4，∵(a+b)2= a 2+b 2+2ab∴ab=2,故∆ABC 的面积为12ab=1. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.22．（1）0.24R m =；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.【解析】【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．【详解】（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得： 100307045k b k b+⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y=-2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．23．（1）（20+2x ），（40﹣x ）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【解析】【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．【详解】(1)、设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，故答案为（20+2x ），（40-x ）；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：121020x x ==，，即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000， 230x 6000x -+=，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．24．13【解析】【分析】分别用字母A ，B ，C 代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A ，B ，C 代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝8．【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出P A＝PC；（2）由PC＝P A得出∠P AC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠P AC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．【详解】（1）证明∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PD是AC的垂直平分线，∴P A＝PC，（2）证明：由（1）知：P A＝PC，∴∠P AC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠P AC＝90°，即AB⊥P A，∴P A是⊙O的切线；（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，∴OD∥BC，OD＝12BC＝182＝4，∵32 ABDF，设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，∴DE＝3a﹣2a＝a，∴OD＝4＝32a﹣a，a＝8，∴DE＝8．【点睛】本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.。

2019-2020学年浙江省宁波市奉化区等南三县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（4分）正五边形的每个内角度数为( ) A ．36︒B ．72︒C ．108︒D ．120︒2．（4分）在同一平面上，O 外有一定点P 到圆上的距离最长为10，最短为2，则O 的半径是( ) A ．5B ．3C ．6D ．43．（4分）由抛物线2y x =平移得到抛物线2(3)y x =+，则下列平移方式可行的是( ) A ．向上平移3个单位长度 B ．向下平移3个单位长度C ．向左平移3个单位长度D ．向右平移3个单位长度4．（4分）一个不透明的盒子装有m 个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m 的值约为( ) A ．8B ．10C ．20D ．405．（4分）二次函数2y ax bx c =++部分图象如图所示，有以下结论：①0abc >；②240b ac ->；③30a b -=，其中正确的是( )A ．①②③B ．②③C ．①②D ．①③6．（4分）如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且//DE BC ，//EF AB ，若3AB BD =，则:ADE EFC S S ∆∆的值为( )A ．4:1B ．3:2C ．2:1D ．3:17．（4分）已知点1(1,)A y ，(22B ，2)y ，3(4,)C y 在一次函数26y x x c =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．213y y y <<B ．123y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<8．（4分）在圆内接四边形ABCD 中，ADC 与ABC 的比为3:2，则B ∠的度数为( ) A ．36︒B ．72︒C ．108︒D ．216︒9．（4分）如图，在菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，以AC 为直径的O 与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为( )A ．43π+B ．23π+C ．4233π+D ．4433π+10．（4分）如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交与点E ，CPD A B ∠=∠=∠，BC 交PD 与点F ，AD 交PC 于点G ，则下列结论中错误的是( )A ．CGE CBP ∆∆∽B ．APD PGD ∆∆∽C ．APG BFP ∆∆∽D ．PCF BCP ∆∆∽11．（4分）如图，小江同学把三角尺含有60︒角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有45︒角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为2cm ，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为( )A ．2233cm B ．23cm C ．223cm D ．2(23)cm +12．（4分）如图，平行四边形HEFG 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上．//NE AD ，分别交DC ，HG ，AB 于点N ，M ，E ，且CG MN =．要求得平行四边形HEFG 的面积，只需知道一条线段的长度．这条线段可以是( )A ．EHB ．AEC ．EBD ．DH二、填空题（每小题4分，共24分） 13．（4分）若53a b =，则332a ba b--的值为 ． 14．（4分）从1-，0，π，2，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是 ． 15．（4分）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，//BC AD ，迎水坡AB 长26米，且斜坡AB 的坡度为125，则河堤的高BE 为 米．16．（4分）如图，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且3CE cm =，7DE cm =，则弦AB = cm ．17．（4分）如图，已知点(,)M a b 是函数22y x x =-++图象上的一个动点．若||1a <，则b 的取值范围是 ．18．（4分）如图，已知等边ABC ∆的边长为4，BD AB ⊥，且233BD =．连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为 ．三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22-24题各10分，第踮5题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：22sin 30cos60cos 45︒+︒-︒20．（8分）小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用X ，Y 表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为187781752X Y （手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍． （1）求X Y +的值；（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率．21．（8分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，30AD BD DE cm ===，40CE cm =，车杆AB 与BC 所成的53ABC ∠=︒，图1中B 、E 、C 三点共线，图2中的座板DE 与地面保持平行．问变形前后两轴心BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：4sin 535︒≈，3cos535︒≈，4tan 53)3︒≈22．（10分）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4PN m=时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．23．（10分）如图，二次函数的图象与x轴交于(3,0)A-和(1,0)B两点，交y轴于点(0,3)C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求ADE∆的面积．24．（10分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个)与销售单价x（元)有如下关系：60(3060)y x x=-+．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？25．（12分）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．（1）如图1，在对半四边形ABCD中，1()2A B C D∠+∠=∠+∠，求A∠与B∠的度数之和；（2）如图2，O为锐角ABC∆的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，30OAB∠=︒，求证：四边形ABED是对半四边形；（3）如图3，在ABC∆中，D，E分别是AC，BC上一点，3CD CE==，3CE EB=，F 为DE的中点，120AFB∠=︒，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知M的半径为5，圆心M的坐标为(3,0)，M交x轴于点D，交y轴于A，B两点，点C是ADB上的一点（不与点A、D、B重合），连结AC并延长，连结BC，CD，AD．（1）求点A的坐标；（2）当点C在AD上时．①求证：BCD HCD∠=∠；②如图2，在CB上取一点G，使CA CG=，连结AG．求证：~ABG ADC∆∆；（3）如图3，当点C在BD上运动的过程中，试探究||AC BCCD-的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）正五边形的每个内角度数为( ) A ．36︒B ．72︒C ．108︒D ．120︒解：正五边形的每个外角360725︒==︒， ∴正五边形的每个内角18072108=︒-︒=︒，故选：C ．2．（4分）在同一平面上，O 外有一定点P 到圆上的距离最长为10，最短为2，则O 的半径是( ) A ．5B ．3C ．6D ．4解：如图，PA 的长是P 到O 的最长距离，PB 的长是P 到O 的最短距离，圆外一点P 到O 的最长距离为10，最短距离为2， ∴圆的直径是1028-=，∴圆的半径是4，． 故选：D ．3．（4分）由抛物线2y x =平移得到抛物线2(3)y x =+，则下列平移方式可行的是( ) A ．向上平移3个单位长度 B ．向下平移3个单位长度C ．向左平移3个单位长度D ．向右平移3个单位长度解：抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0)，抛物线2(3)y x =+的顶点坐标为(3,0)-， 因为点(0,0)向左平移3个单位长度后得到(3,0)-，所以把抛物线2y x =向左平移3个单位得到抛物线2(3)y x =+． 故选：C ．4．（4分）一个不透明的盒子装有m 个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球．每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m 的值约为( ) A ．8B ．10C ．20D ．40解：根据题意得： 40.2m=， 解得：20m =，经检验：20m =是分式方程的解， 答：m 的值约为20； 故选：C ．5．（4分）二次函数2y ax bx c =++部分图象如图所示，有以下结论：①0abc >；②240b ac ->；③30a b -=，其中正确的是( )A ．①②③B ．②③C ．①②D ．①③解：①0c >，0ab >，故①正确，符合题意；②函数与x 轴有两个交点，故240b ac ->，正确，符合题意； ③函数的对称轴为：322b x a =-=-，故3b a =，故③正确，符合题意； 故选：A ．6．（4分）如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且//DE BC ，//EF AB ，若3AB BD =，则:ADE EFC S S ∆∆的值为( )A ．4:1B ．3:2C ．2:1D ．3:1解：3AB BD =，2AD BD ∴=，//DE BC ，//EF AB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形，BD EF ∴=， 2AD EF ∴=，//DE BC ，//EF AB ， AED C ∴∠=∠，FEC A ∠=∠， ADE EFC ∴∆∆∽，:ADE EFC S S ∆∆∴的2()4:1AD EF==， 故选：A ．7．（4分）已知点1(1,)A y ，(22B ，2)y ，3(4,)C y 在一次函数26y x x c =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( )A ．213y y y <<B ．123y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<解：二次函数26y x x c =-+中10a =>， ∴抛物线开口向上，有最小值．32bx a=-=， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，由二次函数图象的对称性可知3224331-<-<-， 231y y y ∴<<．故选：D ．8．（4分）在圆内接四边形ABCD 中，ADC 与ABC 的比为3:2，则B ∠的度数为( )A．36︒B．72︒C．108︒D．216︒解：ADC与ABC的比为3:2，:3:2B D∴∠∠=，设B∠、D∠分别为3x、2x，四边形ABCD是圆内接四边形，180B D∴∠+∠=︒，即32180x x+=︒，解得，36x=︒，则3108B x∠==︒，故选：C．9．（4分）如图，在菱形ABCD中，已知4AB=，60B∠=︒，以AC为直径的O与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为()A．43π+B．23π+C．4233π+D．4433π+解：在菱形ABCD中，已知4AB=，60B∠=︒，以AC为直径的O与菱形ABCD相交，60EAO∴∠=︒，60OCF∠=︒，2OA OE OF OC OG OH======，60EOF FOC COG GOH HOA AOE∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴阴影部分的面积为：222sin606024424323603ππ⨯︒⨯+⨯=+，故选：D．10．（4分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，CPD A B∠=∠=∠，BC交PD 与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是()A ．CGE CBP ∆∆∽B ．APD PGD ∆∆∽C ．APG BFP ∆∆∽D ．PCF BCP ∆∆∽ 解：CPD A B ∠=∠=∠，且APD B PFB APC CPD ∠=∠+∠=∠+∠，APC BFP ∴∠=∠，且A B ∠=∠，APG BFP ∴∆∆∽，故选项C 不合题意，A CPD ∠=∠，D D ∠=∠，APD PGD ∴∆∆∽，故选项B 不合题意，B CPD ∠=∠，C C ∠=∠，PCF BCP ∴∆∆∽，故选项D 不合题意，由条件无法证明CGE CBP ∆∆∽，故选项A 符合题意，故选：A ．11．（4分）如图，小江同学把三角尺含有60︒角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有45︒角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为2cm ，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为( )A 223B 23cmC ．223cmD ．2(23)cm + 解：由题意可知当三角尺穿过孔洞部分为等边三角形时，面积最大，孔洞的最长边为2cm ，∴三角尺穿过孔洞部分的最大面积22323()cm ==； 故选：B ．12．（4分）如图，平行四边形HEFG 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上．//NE AD ，分别交DC ，HG ，AB 于点N ，M ，E ，且CG MN =．要求得平行四边形HEFG 的面积，只需知道一条线段的长度．这条线段可以是( )A ．EHB ．AEC ．EBD ．DH 解：四边形ABCD 是正方形，CD BC ∴=，//CD AB ，//NE AD ，NE AD BC ∴==，CG MN =，DG EM ∴=，连接EG ，FM ，过M 作MP BC ⊥于P ，四边形EFGH 是平行四边形，GH EF ∴=，//GH EF ，EGH FEG ∴∠=∠，//DC AB ，DGE BEG ∴∠=∠，DGH BEF ∴∠=∠，在GDH ∆和EBF ∆中，90D B DGH BEF GH EF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GDH EBF AAS ∴∆≅∆，DG BE ∴=，EM BE ∴=，∴四边形MEBP 是正方形， 1122EFM GHEF MEBP S S S ∆∴==正方形， GHEF MEBP S S ∴=正方形，∴求得平行四边形HEFG 的面积，只需知道BE 即可；故选：C ．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）若53a b =，则332a b a b --的值为 43 ． 解：设53a b k ==，则5a k =，3b k =， 所以31531243215693a b k k k a b k k k --===--． 故答案为43． 14．（4分）从1-，0，π，2，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是25 ． 解：在所列的5个数中，无理数是π和2，∴随机取一个数，取到无理数的概率是25， 故答案为：25． 15．（4分）如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，//BC AD ，迎水坡AB 长26米，且斜坡AB 的坡度为125，则河堤的高BE 为 24 米．解：由已知斜坡AB 的坡度125，得： :12:5BE AE =， 设5AE x =，则12BE x =，在直角三角形AEB 中，根据勾股定理得：222265(12)x x =+，即2169676x =，解得：2x =或2x =-（舍去），510x =，1224x =即河堤高BE 等于24米．故答案为：24．16．（4分）如图，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且3CE cm =，7DE cm =，则弦AB = 221 cm ．解：连接OA ，如图，3CE =，7DE =，10CD ∴=，5OC OA ∴==，2OE =， AB CD ⊥， AE BE ∴=， 在Rt AOE ∆中，225221AE =-=，2221()AB AE cm ∴==．故答案为221．17．（4分）如图，已知点(,)M a b 是函数22y x x =-++图象上的一个动点．若||1a <，则b 的取值范围是 904b < ．解：函数22y x x =-++中，令0y =，则220x x -++=，解得1x =-或2，∴抛物线与x 轴的交点为(1,0)-，(2,0)，点(,)M a b 是函数22y x x =-++图象上的一个动点．||1a <，11a ∴-<<，22192()24y x x x =-++=--+， ∴当12x =时，有最大值94， b ∴的取值范围是904b<， 故答案为904b <． 18．（4分）如图，已知等边ABC ∆的边长为4，BD AB ⊥，且233BD =．连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为 1 ．解：如图，作CT AB ⊥于T ．ABC ∆是等边三角形，CT AB ⊥，60CBT ∴∠=︒，2BT AT ==，sin 6023CT BC ∴=︒=DB AB ⊥，//DB CT ∴，EBD ETC ∴∆∆∽， ∴BD BE CT ET=，∴2BE BE =+， 1BE ∴=，故答案为1．三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22-24题各10分，第踮5题12分，第26题14分，共78分）19．（6分）计算：22sin 30cos60cos 45︒+︒-︒解：2211112sin 30cos60cos 452112222︒+︒-︒=⨯+-=+-= 20．（8分）小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用X ，Y 表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为187781752X Y （手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍．（1）求X Y +的值；（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率．解：（1）设这11个数字之和是20的a 倍，根据题意，得187********X Y a ++++++++++=，即2046X Y a +=-，018X Y +，0204618a ∴-，解得2.3 3.2a ， a 是整数，3a ∴=，2046604614X Y a ∴+=-=-=；（2）X 、Y 的可能值为9和5，8和6，7和7，6和8，5和9，小王一次拨对小李手机号码的概率15． 21．（8分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，30AD BD DE cm ===，40CE cm =，车杆AB 与BC 所成的53ABC ∠=︒，图1中B 、E 、C 三点共线，图2中的座板DE 与地面保持平行．问变形前后两轴心BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：4sin 535︒≈，3cos535︒≈，4tan 53)3︒≈解：如图1，过点D 作DF BE ⊥于点F ，由题意知30BD DE cm ==，3cos 3018()5BF BD ABC cm ∴=∠=⨯=， 236BE BF cm ∴==， 则76BC BE CE cm =+=，如图2，过点D 作DM BC ⊥于M ，过点E 作EN BC ⊥于点N ，由题意知四边形DENM 是矩形，30MN DE cm ∴==，在Rt DBM ∆中，3cos 3018()5BM BD ABC cm =∠=⨯=，4sin 3024()5EN DM BD ABC cm ==∠=⨯=， 在Rt CEN ∆中，40CE cm =，∴由勾股定理可得32CN cm =，则18303280()BC cm =++=，答：BC 的长度发生了改变，增加了4cm ．22．（10分）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4PN m =时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．解：设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA 、OA '，设半径为x 米，则OA OA OP ='=，由垂径定理可知AM BM =，A N B N '='，60AB =米，30AM ∴=米，且(18)OM OP PM x =-=-米，在Rt AOM ∆中，由勾股定理可得222AO OM AM =+，即222(18)30x x =-+，解得34x =，34430ON OP PN ∴=-=-=（米)，在Rt △A ON '中，由勾股定理可得2222343016A N OA ON '='-=-=（米)， 32A B ∴''=米30>米，∴不需要采取紧急措施．23．（10分）如图，二次函数的图象与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，交y 轴于点(0,3)C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求ADE ∆的面积．解：（1）设二次函数解析式为2y ax bx c =++，220(3)(3)0113a b c a b cc ⎧=⨯-+⨯-+⎪=⨯+⨯+⎨⎪=⎩， 解得，1a =-，2b =-，3c =，即二次函数的解析式是223y x x =--+；（2）223y x x =--+，∴该函数的对称轴是直线1x =-，点(0,3)C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，∴点(2,3)D -，∴一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是2x <-或1x >；（3）点(3,0)A -、点(2,3)D -、点(1,0)B ，设直线DE 的解析式为y kx m =+，则230k m k m -+=⎧⎨+=⎩，解得，11k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线DE 的解析式为1y x =-+，当0x =时，1y =，∴点E 的坐标为(0,1)，设直线AE 的解析式为y cx d =+，则301c d d -+=⎧⎨=⎩，得131c d ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AE 的解析式为113y x =+，当2x=-时，11 (2)133y=⨯-+=，ADE∴∆的面积是：1(3)|3|342-⨯-=．24．（10分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个)与销售单价x（元)有如下关系：60(3060)y x x=-+．设这种双肩包每天的销售利润为w 元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？解：（1）(30)w x y=-(60)(30)x x=-+-230601800x x x=-++-2901800x x=-+-，w与x之间的函数解析式2901800w x x=-+-；（2）根据题意得：22901800(45)225w x x x=-+-=--+，10-<，当45x=时，w有最大值，最大值是225．（3）当200w=时，2901800200x x-+-=，解得140x=，250x=，5042>，250x=不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．25．（12分）定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线．（1）如图1，在对半四边形ABCD中，1()2A B C D∠+∠=∠+∠，求A∠与B∠的度数之和；（2）如图2，O为锐角ABC∆的外心，过点O的直线交AC，BC于点D，E，30OAB∠=︒，求证：四边形ABED是对半四边形；（3）如图3，在ABC∆中，D，E分别是AC，BC上一点，3CD CE==，3CE EB=，F 为DE的中点，120AFB∠=︒，当AB为对半四边形ABED的对半线时，求AC的长．解：（1）由四边形内角和为360︒，可得360A B C D∠+∠+∠+∠=︒，则2()360A B A B∠+∠+∠+∠=︒，120A B∴∠+∠=︒；（2）如图2，连结OC，由三角形外心的性质可得，OA OB OC==，30OAB OBA∴∠=∠=︒，OCA OAC∠=∠，OCE OBC∠=∠，(1803030)260ACB∴∠=︒-︒-︒÷=︒，则120CAB CBA∠+∠=︒，在四边形ABED中，120CAB CBA∠+∠=︒，则另两个内角之和为240︒，∴四边形ABED为对半四边形；（3）若AB为对半线，则120CAB CBA∠+∠=︒，60C∴∠=︒，又CD CE=，CDE ∴∆为等边三角形，60CDE CED ∠==︒，3DE DC ==，120ADF FEB ∴∠=∠=︒，120AFB =︒，60DFA EFB ∴∠+∠=︒，又60DAF DFA ∠+∠=︒，DAF EFB ∴∠=∠，ADF FEB ∴∆∆∽， ∴AD DF FE EB =， 3CEDE ==，3CE BE =，F 是DE 的中点，1BE ∴=，32DF EF ==， ∴32312AD =， 94AD ∴=， 921344CA CD AD ∴=+=+=．26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，已知M的半径为5，圆心M的坐标为(3,0)，M交x轴于点D，交y轴于A，B两点，点C是ADB上的一点（不与点A、D、B重合），连结AC并延长，连结BC，CD，AD．（1）求点A的坐标；（2）当点C在AD上时．①求证：BCD HCD∠=∠；②如图2，在CB上取一点G，使CA CG=，连结AG．求证：~ABG ADC∆∆；（3）如图3，当点C在BD上运动的过程中，试探究||AC BCCD-的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由．解：（1）如图1，连结MA，在Rt OMA∆中，AM为圆的半径5，3OM=，224OA AM OM∴=-=，∴点A的坐标为(0,4)；（2）①如图21-，连接BD，由圆的对称性可得AD BD=，则BAD DBA∠=∠，180ACD DBA∠+∠=︒，180ACD HCD∠+∠=︒，DBA HCD∴∠=∠，又BAD BCD ∠=∠，BCD HCD ∴∠=∠；②在图22-中，AC CG =，CAG CGA ∴∠=∠，AGC CAG HCB ∠+∠=∠，且由（2）得HCD BCD ∠=∠AGC HCD ∴∠=∠，180180AGC HCD ∴︒-∠=︒-∠，即AGB ACD ∠=∠，AC AC =，ABG ADC ∴∠=∠，~AGB ACD ∴∆∆，（3）当点C 在BD 上运动的过程中，||AC BC CD-，理由如下： 如图31-，当点C 在BD 上时，在AC 上截取AN ，使AN BC =，连接BD ，DN ， 由圆的对称性可得AD BD =， 又DC DC =，DAN DBC ∴∠=∠，()DAN DBC SAS ∴∆≅∆，DN DC ∴=，ADN BDC ∠=∠，ADN NDB BDC NDB ∴∠+∠=∠+∠，即ADB NDC ∠=∠，1AD ND BD CD==， ADB NDC ∴∆∆∽， ∴NC AB DC BD=， 4AO BO ==，8OD OM DM =+=，BD ∴==∴825545NC ABDC BD===，NC AC AN AC BC =-=-，∴255AC BCCD-=，∴||AC BCCD-的值不发生变化，为255．。

浙江省宁波市南三县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题一、选择题：1.正五边形的每个内角度数为（ ）A. 36°B. 72°C. 108°D. 120° 【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式：()1802n ︒⨯-，得出正五边形的内角和，再根据正五边形的性质：五个角的角度都相等，即可得出每个内角的度数.【详解】解：()180525=108︒⨯-÷︒故选：C【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式以及正五边形的性质，掌握这两个知识点是解题的关键. 2.在同一平面上，O e 外有一定点P 到圆上的距离最长为10，最短为2，则O e 的半径是（ ）A. 5B. 3C. 6D. 4 【答案】D【解析】【分析】由点P 在圆外，易得到圆的直径为10-2，然后计算圆的半径即可.【详解】解：∵点P 在圆外∴圆的直径为10-2=8∴圆的半径为4故答案为D.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.3.若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2(3)y x =+，则下列平移方法中，正确的是（ ）A. 向左平移3个单位B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移3个单位【答案】A【解析】【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4.一个不透明的盒子装有m个除颜色外完全相同的球，其中有4个白球.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，则m的值约为（）A. 8B. 10C. 20D. 40【答案】C【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】由题意可得，4m＝0.2，解得，m＝20，经检验m=20是所列方程的根且符合实际意义，故选：C．【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．5.二次函数2y ax bx c =++部分图象如图所示，有以下结论：①0abc >；②240b ac -<；③30a b -=，其中正确的是（ ）A. ①②③B. ②③C. ①②D. ①③【答案】D【解析】【分析】 根据函数图像即可得出a 、b 、c 与0的大小关系，从图中可以看出函数与x 轴有2个交点，所以当y=0时，一元二次方程有两个根，对称轴为32x =-，代入对称轴公式即可得出结果. 【详解】解：根据图像可知：ab ＞0，c ＞0，所以abc ＞0，故①正确；函数与x 轴有2个交点，故240b ac -＞，故②错误； 对称轴为32x =-，所以322b a -=-，30a b -=，故③正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查的是二次函数图像与系数的关系，熟练的掌握函数的基本性质，函数与坐标轴的交点以及对称轴是解题的关键.6.如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且//DE BC ，//EF AB ，若3AB BD =，则:ADE EFC S S ∆∆的值为（ ）A. 4:1B. 3:2C. 2:1D. 3:1【答案】A【解析】【分析】 根据3AB BD =，//DE BC 得到AC=3EC ，则AE=2EC ，再根据//DE BC ，//EF AB 得到△ADE△△EFC ，再根据面积之比等于相似比的平方即可求解.【详解】△//DE BC ，∴AB ：BD=AC ：EC ，又△3AB BD =△AC=3EC ，△AE=2EC ，△//DE BC ，//EF AB△△AED=△C ，△ADE=△B=△EFC ，△△ADE△△EFC又AE=2EC△:ADE EFC S S ∆∆=（2：1）2=4:1故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.已知点()11A y ，，()2B y ，()34C y ，在二次函数26y x x c =-+的图象上，则123y y y ，，的大小关系是（ ）A. 213y y y <<B. 123y y y <<C. 312y y y <<D. 231y y y <<【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的解析式，能得出二次函数的图形开口向上，通过对称轴公式得出二次函数的对称轴为x=3，由此可知离对称轴水平距离越远，函数值越大即可求解.【详解】解：∵二次函数26y x x c =-+中a ＞0∴抛物线开口向上，有最小值. ∵32b x a=-= ∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，∵由二次函数图像的对称性可知x=4对称点x=2∴231y y y <<故选：D.【点睛】本题主要考查的是二次函数图像上点的坐标特点，解此题的关键是掌握二次函数图像的性质. 8.在圆内接四边形ABCD 中，¼ADC 与¼ABC 的比为3:2，则B Ð的度数为（ ）A. 36︒B. 72︒C. 108︒D. 216︒ 【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质即可求得．【详解】△在圆内接四边形ABCD 中，¼ADC ：¼ABC ＝3：2，△△B ：△D ＝3：2，△△B ＋△D ＝180°，△△B ＝180°×35＝108︒． 故选C.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．9.如图，在菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，以AC 为直径的O e 与菱形ABCD 相交，则图中阴影部分的面积为（ ）A. πB. πC. 43πD. 43π 【答案】D【解析】【分析】 根据菱形与的圆的对称性到△AOE 为等边三角形，故可利用扇形AOE 的面积减去△AOE 的面积得到需要割补的面积，再利用圆的面积减去4倍的需要割去的面积即可求解.【详解】∵菱形ABCD 中，已知4AB =，60ABC ∠=︒，连接AO,BO ，∴△ABO=30°，∠AOB=90°，∴△BAO=60°，又AO=EO,∴△AOE 为等边三角形,故AE=EO=12AB=2 ∴r=2△S 扇形AOE =2126π⨯⨯=23πS △AOE 2a 22∴图中阴影部分的面积=π×22-4（23π）=43π 故选D.【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．10.如图，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交与点E ，CPD A B ∠=∠=∠，BC 交PD 与点F ，AD 交PC 与点G ，则下列结论中错误的是（ ）A. CGE CBP ∆∆:B. APD PGD ∆∆:C. APG BFP ∆∆:D. PCF BCP ∆∆:【答案】A【解析】【分析】 先根据条件证明△PCF ∽△BCP ，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD ∽△PGD ，进而证明△APG ∽△BFP 再证明时注意图形中隐含的相等的角，故可进行判断.【详解】∵∠CPD=∠B ，∠C=∠C ，∴△PCF ∽△BCP.∵∠CPD=∠A ，∠D=∠D ，∴△APD ∽△PGD.∵∠CPD=∠A=∠B ，∠APG=∠B+∠C ，∠BFP=∠CPD+∠C∴∠APG=∠BFP ，∴△APG ∽△BFP.故结论中错误的是A ，故选A.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.11.如图，小江同学把三角尺含有60︒角的一端以不同的方向穿入进另一把三角尺（含有45︒角）的孔洞中，已知孔洞的最长边为2cm ，则三角尺穿过孔洞部分的最大面积为（ ）A. 2B. 2C. 2D. (22cm 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，故可求解.【详解】根据题意可知当穿过孔洞三角尺为等边三角形时，面积最大，∵孔洞的最长边为2cm=∴2a=224故选B.【点睛】此题主要考查等边三角形的面积求解，解题的关键是根据题意得到当穿过孔洞三角尺为等边三角形时面积最大.NE AD，分别交DC，HG，12.如图，平行四边形HEFG的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上.//=.要求得平行四边形HEFG的面积，只需知道一条线段的长度.这条AB于点N，M，E，且CG MN线段可以是（）A. EHB. AEC. EBD. DH【答案】C【解析】【分析】根据图形证明△AOE△△COG，作KM△AD，证明四边形DKMN为正方形，再证明Rt△AEH△Rt△CGF，Rt△DHG△Rt△BFE，设正方形ABCD边长为a，CG=MN=x，根据正方形的性质列出平行四边形HEFG的面积的代数式，再化简整理，即可判断.【详解】连接AC,EG，交于O点，∵四边形HEFG是平行四边形，四边形ABCD是正方形，∴GO=EO,AO=CO,又△AOE=△COG△△AOE△△COG，∴GC=AE,△NE△AD，∴四边形AEND为矩形，△AE=DN,△DN=GC=MN作KM△AD ，△四边形DKMN 为正方形，在Rt△AEH 和Rt△CGF 中，AE CG HE FG =⎧⎨=⎩∴Rt△AEH△Rt△CGF ，△AH=CF,△AD -AH=BC -CF△DH=BF,同理Rt△DHG△Rt△BFE ，设CG=MN=x ，设正方形ABCD 边长为a则S △HDG =12DH×x+12DG×x=S △FBE S △HAE =12AH×x =S △GCF S 平行四边形EFGH =a 2-2S △HDG -2S △HAE = a 2-(DH+DG+AH)×x,∵DG=a -x△S 平行四边形EFGH = a 2-(a+a -x)×x= a 2-2ax+x 2= (a -x)2故只需要知道a -x 就可以求出面积BE=a -x ，故选C.【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是根据题意设出字母，表示出面积进行求解.二、填空题:13.若53a b =，则332a b a b--的值为__________．【答案】43【解析】【分析】 直接利用已知得出53b a =，代入332a b a b --进而得出答案． 【详解】∵53a b = ∴53b a = ∴332a b a b --=552b b b b --=43故填：43. 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．14.从1-，0，π，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是__________． 【答案】25【解析】【分析】由题意可得共有5种等可能的结果，其中无理数有：π共2种情况，则可利用概率公式求解．【详解】∵共有5种等可能的结果，无理数有：π共2种情况，∴取到无理数概率是：25． 故答案为：25． 【点睛】此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15.如图，某河堤的横截面是梯形ABCD ，BC AD ∥，迎水面AB 长26m ，且斜坡AB 的坡比（即BE AE ）为12:5，则河堤的高BE 为__________．【答案】24cm 的【解析】【分析】 根据坡比（即BE AE）为12:5，设BE=12x ，AE=5x ，因为AB=26cm ，根据勾股定理列出方程即可求解. 【详解】解：设BE=12x ，AE=5x ，∵AB=26cm ，222AE BE AB +=∴()()22212526x x += 2x =∴BE=2×12=24cm故答案为：24cm.【点睛】本题主要考查的是坡比以及勾股定理，找出图中的直角三角形在根据勾股定理列出方程即可求解.16.如图，O e 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且3cm CE =，7cm DE =，则弦AB =__________cm ．【答案】【解析】【分析】先根据题意得出⊙O 的半径，再根据勾股定理求出BE 的长，进而可得出结论．【详解】连接OB ，∵3cm CE =，7cm DE =，∴OC ＝OB ＝12（CE ＋DE ）＝5， ∵CE ＝3，∴OE ＝5−3＝2，∵CD ⊥AB ，∴BE =∴AB ＝2BE ＝故答案为：【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．17.如图，已知点(),M a b 是函数22y x x =-++图象上的一个动点.若1a <，则b 的取值范围是__________.【答案】904b <≤【解析】【分析】 根据1a <得-1＜a ＜1，再根据二次函数的解析式求出对称轴，再根据函数的图像与性质即可求解. 【详解】∵1a <∴-1＜a ＜1，∵函数22y x x =-++对称轴x=221b a = ∴当a=12，y 有最大值94 当a=-1时，2(1)120y =---+=∴则b 的取值范围是904b <≤故填：904b <≤. 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意函数图像进行求解.18.如图，已知等边ABC ∆的边长为4，BD AB ⊥，且3BD =.连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为__________.【答案】1【解析】【分析】作CF ⊥AB ，根据等边三角形的性质求出CF ，再由BD ⊥AB ，由CF ∥BD ，得到△BDE ∽△FCE ，设BE 为x ，再根据对应线段成比例即可求解.【详解】作CF ⊥AB ，垂足为F ，∵△ABC 为等边三角形，∴AF=12AB=2, ∴CF==又∵BD ⊥AB ，∴CF ∥BD ，∴△BDE ∽△FCE ，设BE 为x ， ∴EF EB CF DB =,3= 解得x=1故填：1.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是根据题意构造相似三角形进行求解.三、解答题：19.计算：22sin30cos60cos 45︒+︒-︒；【答案】1【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可求解.【详解】22sin30cos60cos 45︒+︒-︒211222=⨯+-⎝⎭ 11122=+- 1=【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.20.小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用X ，Y 表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为187781752X Y （手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍.（1）求X Y +值；（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率.【答案】（1）14；（2）15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出11个数字之和，再根据和是20的整数倍进行求解；（2）先求出X 、Y 的可能值，再根据概率公式进行求解.【详解】（1）11个数字之和为187781752X Y ++++++++++=46+X Y +=20n ，∵这11个数字之和是20的整数倍，2＜X Y +＜18∴当n=3时，14X Y +=即14X Y +=；（2）∵14X Y +=X 、Y 的可能值为9和5，8和6，7和7，6和8，5和9， 的∴小王一次拨对小李手机号码的概率15 【点睛】此题主要考查概率求解，解题的关键是熟知概率公式.21.某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，30cm AD BD DE ===，40cm CE =，车杆AB 与BC 所成的53ABC ∠=︒，图1中B 、E 、C 三点共线，图2中的座板DE 与地面保持平行.问变形前后两轴心BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC 的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈） 【答案】BC 的长度发生了改变，减少了4cm .【解析】【分析】 根据图形的特点构造直角三角形利用三角函数求出变化前BC 与变化后的BC 长度即可求解.【详解】图1：作DF ⊥BC 于F 点，△30cm BD DE ==∴BF=EF=BDcos ABC ∠≈30×35=18 ∴BC=2BF+CE 18184076cm ≈++=图2：作DF ⊥BC 于F 点，由图1可知△DE’F=53°，∴△DE’C=180°-△DE’F=127°∵DE ∥BC ，△△E’DE=△DE’F=53°根据题意可知DE’=DE,CE’=CE,连接CD ，△△DCE ≌△DCE’∴△DEC=△DE’C=127°∴△ECB=360°-△DEC -△DE’C -△E’DE=53°，作EG ⊥BC 于G 点∴BC=BF+FG+GC= BDcos ABC ∠+DE+CE cos △ECB ≈30×35+30+40×35=18302472cm ++= 的76-72=4cm ，答：BC 的长度发生了改变，减少了4cm .【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的运用.22.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB 为60m ，拱高PM 为18m ，当洪水泛滥到跨度只有30m 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m ，即4m PN =时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【答案】不需要采取紧急措施，理由详见解析.【解析】【分析】连接OA ′，OA ．设圆的半径是R ，则ON ＝R−4，OM ＝R−18．根据垂径定理求得AM 的长，在直角三角形AOM 中，根据勾股定理求得R 的值，在直角三角形A ′ON 中，根据勾股定理求得A ′N 的值，再根据垂径定理求得A ′B ′的长，从而作出判断．【详解】设圆弧所在圆的圆心为O ，连结OA ，OA '，如图所示设半径为()m x 则()m OA OA OP x '===由垂径定理可知AM BM =，A N B N ''=△60m AB =，△30m AM =，且()18m OM OP PM x =-=-在Rt AOM ∆中，由勾股定理可得222AO OM AM =+即()2221830x x =-+，解得34x =△()34430m ON OP PN =-=-=在A ON '∆中，由勾股定理可得()16m A N '===△32m 30m A B ''=>△不需要采取紧急措施.【点睛】此类题综合运用了勾股定理和垂径定理，解题的关键是熟知垂径定理的应用.23.如图二次函数的图象与x 轴交于点()30A -,和()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B 、D（1）求二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线BD 与y 轴的交点为E 点，连结AD 、AE ，求ADE ∆的面积；【答案】（1）()()31y x x =-+-；（2）2x <-或1x >；（3）4.【解析】【分析】（1）直接将已知点代入函数解析式求出即可；（2）利用函数图象结合交点坐标得出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）分别得出EO ，AB 的长，进而得出面积．【详解】（1）△二次函数与x 轴的交点为()30A -,和()10B ,△设二次函数的解析式为：()()31y a x x =+-△()0,3C 在抛物线上，△3=a(0+3)(0-1)，解得a=-1，所以解析式为：()()31y x x =-+-；（2）()()31y x x =-+-=−x 2−2x ＋3，△二次函数的对称轴为直线1x =-；△点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点；()0,3C△()2,3D -；△使一次函数大于二次函数的x 的取值范围为2x <-或1x >；（3）设直线BD ：y ＝mx ＋n ，代入B （1，0），D （−2，3）得023m n m n ⎧⎨-⎩＋＝＋＝， 解得：11m n -⎧⎨⎩＝＝， 故直线BD 的解析式为：y ＝−x ＋1，把x ＝0代入()()31y x x =-+-得，y=3，所以E （0，1），△OE ＝1，又△AB ＝4，△S △ADE ＝12×4×3−12×4×1＝4． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．24.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少.【答案】（1）w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）当x＝45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【解析】【分析】（1）每天的销售利润=每天的销售量×每件产品的利润；（2）根据配方法，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】（1）w＝（x﹣30）•y＝（﹣x+60）（x﹣30）＝﹣x2+30x+60x﹣1800＝﹣x2+90x﹣1800，w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x＝45时，w有最大值，最大值是225．（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，解得x1＝40，x2＝50，∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.25.定义：有两个相邻内角和等于另两个内角和的一半的四边形称为半四边形，这两个角的夹边称为对半线.（1）如图1，在对半四边形ABCD 中，()12A B C D ∠+∠=∠+∠，求A ∠与B Ð的度数之和； （2）如图2，O 为锐角ABC ∆的外心，过点O 的直线交AC ，BC 于点D ，E ，30OAB ∠=︒，求证：四边形ABED 是对半四边形；（3）如图3，在ABC ∆中，D ，E 分别是AC ，BC 上一点，3CD CE ==，3CE EB =，F 为DE 的中点，120AFB ∠=︒，当AB 为对半四边形ABED 的对半线时，求AC 的长.【答案】（1）120A B ∠+∠=︒；（2）详见解析；（3）5.25.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和与对半四边形的定义即可求解；（2）根据三角形外心的性质得OA OB OC ==，得到30OAB OBA ==︒∠∠，从而求出ACB ∠=60°，再得到120CAB CBA ∠+∠=︒，根据对半四边形的定义即可证明；（3）先根据AB 为对半四边形ABED 对半线得到120CAB CBA ∠+∠=︒，故可证明CDE ∆为等边三角形，再根据一线三等角得到DAF EFB ∠=∠，故FDA BEF ∆∆:，列出比例式即可求出AD ，故可求解AC 的长.【详解】（1）∵四边形内角和为360︒∴360A B C D ∠+∠+∠+∠=， ∵()12A B C D ∠+∠=∠+∠ ∴C D ∠+∠=()2A B ∠+∠则()2360A B A B ∠+∠+∠+∠=，∴120A B ∠+∠=︒（2）连结OC ，由三角形外心的性质可得OA OB OC ==，所以30OAB OBA ==︒∠∠，OCA OAC ∠=∠，OCE OBC ∠=∠所以()1803030260ACB ∠=︒-︒-︒÷=︒，的则120CAB CBA ∠+∠=︒在四边形ABED 中，120CAB CBA ∠+∠=︒，则另两个内角之和为240︒，所以四边形ABED 为对半四边形；（3）若AB 为对半线，则120CAB CBA ∠+∠=︒，△60C ∠=°所以CDE ∆为等边三角形△120AFB ∠=︒∴60AFD BFE ∠+∠=︒又60AFD DAF ∠+∠=︒△DAF EFB ∠=∠∵120ADF FEB ∠=∠=︒△FDA BEF ∆∆:， ∴DF AD BE EF= ∵F 为DE 中点，3CE EB = 故1.51 1.5AD = ∴2.25AD =△ 2.253 5.25CA =+=【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知根据题意弄懂对半四边形，利用相似三角形的性质进行求解.26.如图1，在平面直角坐标系中，已知M e 的半径为5，圆心M 的坐标为()3,0，M e 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是¼ADB 上的一点（不与点A 、D 、B 重合），连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD .（1）求点A 的坐标；（2）当点C 在»AD 上时.△△△△BCD HCD ∠=∠；△△△2，在CB 上取一点G ，使CA CG =，连结AG .求证：ABG ADC ∆∆:；（3）如图3，当点C 在»BD 上运动的过程中，试探究AC BC CD-的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若变化，请说明理由.【答案】（1）（0，4）；（2）①详见解析；②详见解析；（3. 【解析】【分析】 （1）连结MA ，在Rt OMA ∆中，AM 为圆的半径5，3OM =，由勾股定理得4OA =（2）△根据圆的基本性质及圆周角定理即可证明；△根据等腰三角形的性质得到CAG CGA ∠=∠，根据三角形的外角定理得到AGC CAG HCB ∠+∠=∠，由△证明HCD BCD ∠=∠得到AGB ACD ∠=∠，即可根据相似三角形的判定进行求解；（3）分别求出点C 在B 点时和点C 为直径AC 时，AC BC CD-的值，即可比较求解. 【详解】（1）连结MA ，在Rt OMA ∆中，AM =5，3OM =，△4OA =△A （0,4）.（2）连结AB ，BD故AD BD =，则BAD DBA ∠=∠∵∠ABD+∠ACD=180°，∠HCD+∠ACD=180°，∴ABD HCD ∠=∠∵BAD ∠与BCD ∠是弧BD 所对的圆周角∴BAD ∠=BCD ∠又BAD DBA ∠=∠△BCD BAD ABD HCD ∠=∠=∠=∠即BCD HCD ∠=∠△△AC CG =△CAG CGA ∠=∠△AGC CAG HCB ∠+∠=∠，且由（2）得HCD BCD ∠=∠△AGC BCD ∠=∠△AGB ACD ∠=∠AGB ∆与ACD ∆中ABG ADC AGB ACI ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩△AGB ACD ∆∆:（3）△点C 在B 点时，如图，AC=2AO=8,BC=0,==△AC BCCD-； 当点C 为直径AC 与圆的交点时，如图△AC=2r=10△O,M 分别是AB 、AC 中点，△BC=2OM=6，△C （6，-4）△D （8,0）=△AC BC CD-故AC BC CD. 【点睛】此题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟知圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定.。

2019学年第一学期期末抽测九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（每题4分，共48分） 二、填空题（每题4分，共24分）13.34 14. 5215. 24 16. 212 17. 0＜b ≤4918. 1三、解答题（第19题6分，第20、21题各8分，第22～24题各10分，第25题12分， 第26题14分，共78分）19.（本题6分） ︒-︒+︒45cos 60cos 30sin 22=2×21+21-2)22( --------------------4分 = 1+ 21-21--------------------5分=1 --------------------6分 20.（本题8分）（1）14=+Y X --------------------3分（2）X 、Y 的可能值为9和5,8和6,7和7,6和8,5和9，-------------------5-分 小王一次拨对小李手机号码的概率51------- -- ---------8分 21.（本题8分）图1：BC ≈18+18+40=76cm------------------2分图2：BC ≈18+30+32=80 cm ------------------5分 答：BC 的长度发生了改变，增加了4cm-------------------8分 22.（本题10分）设圆弧所在圆的圆心为O ，连结OA,OA’，如图所示 设半径为x （m ）则OA=OA ’=OP=x （m ） 由垂径定理可知AM=BM,A ’N=B ’NAB=60m ，∴AM=30m ，且OM=OP-PM=（x-18）m -------------------4分 在Rt AOM ∆中，由勾股定理可得222AM OM AO += 即22230)18(+-=x x ，解得x=34-------------------7分∴)(30434m PN OP ON =-=-=在ON A '∆中，由勾股定理可得)(1630342222''m ON OA N A =-=-=∴A ’B ’=32m>30m -------------------10分 ∴不需要采取紧急措施。

九年级（上）期末数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 若抛物线y=ax（a≠0）过点（-1，3），则a等于（）A.3B.−3C.−13D.192.由等积式3x=4y能得到比例式（）A.xy=34B.yx=34C.x4=3yD.3x=y43.狗年春节快到了，小明制作了5张大小相同的卡片，在每张卡片上分别写上“金”、“狗”、“踏”、“春”、“来”五个字，并随机放入一个不透明的信封中，然后让小芳从信封中摸出一张卡片，小芳摸出的卡片是“狗”字的概率是（）A.12B.13C.14D.154.关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（）A.①③B.②③C.①④D.②④5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=（x+1）向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线解析式是（）A.y=(x−2)2−4B.y=(x−1)2−4C.y=(x−2)2−3D.y=(x−1)2−36.如图，A，B，C是⊙O上的三点，其中点B是弧AC的三等分点，且弧AB大于弧BC，若∠A=50°，则∠ABC的度数是（）A. B. C. D.100∘110∘120∘130∘7.已△知ABC△∽DEF，AB=1，BC=3，EF=5，△则ABC与△DEF的面积比是（）A.1：9B.1：25C.9：25D.3：58.已知：点（-1，y），（0，y），（4，y）都在抛物线y=ax-2ax+5（a＞0）上，123则y，y，y的大小关系是（）123A.y1>y2>y3B.y3>y1>y2C.y2>y1>y3D.y2>y3>y19. 已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜22，②c osα＜sinα，③sin2α=2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个10. 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，且A D⊥BD，∠ABD=∠C，AD=1，BC=4，则AB的长是（）A.2B.3C.2D.511. 如图，在正三角形网格中，菱形M 经过旋转变换能得到菱形N，下列四个点中能作为旋转中心的是（）A. B. C. D.点A点B点C点D22212. 如图，l ∥l ∥l ∥l ∥l ，且 l ，l ，l ，l ，l 1 2 3 4 512345中相邻两条直线之间的距离相等 △，ABC 的顶点 A ，B ，C 分别在 l ，l ，l 上，AB 交 l 于 点 D ，BC 交 l 4 于点 E ，AC 交 l 2 于点 F ， △若DEF 的面积是 1，则 △ABC 的面积是（ ）A.3.5B.4C.4.5D.5二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分） 13. tan60°=______．14. △ABC 的三边分别是 3，4，5， △则ABC 的外接圆的半径是______．15. 有两辆车按 1-2 编号，李、张两位同学可任意选坐一辆车，则两位同学同坐1 号车的概率是______． 16. 如图 △，ABC 的顶点在 1×3 的正方形网格的格点上，在 图中画出一个 △与ABC 相似但不全等 △的DEF △（DEF的顶点在格点上）， △则DEF 的三边长分别是______ ． 17. 如图，在半圆 O 中，AB 是直径，AB =13，点 C 是半圆 O 上一点，AC=12，弦 AD 平分 ∠BAC ，则 sin ∠DAB =______．18. 如图，已知四边形 ABCD 的边 AD =4，连结 AC ，∠DAC =30°，若 AC +BC =8，则四边形 ABCD 的面积的最大值是______ ．三、计算题（本大题共 4 小题，共 38.0 分）19. 已知非零实数 a ，b ，c 满足 a5=b12=c13，且 a +b =34，求 c 的值．20. 如图，抛物线 y=ax +c 与直线 y =3 相交于点 A ，B ，与 y 轴相交于点 C （0，-1），其中点 A 的横坐标为-4．（1）计算 a ，c 的值；（2）求出抛物线 y =ax +c 与 x 轴的交点坐标； （3）利用图象，当 0≤ax +c ≤3 时，直接写出自变量 x 的取 值范围．1 3 52 22 221. 如图，有两面夹角为 45°的墙体（∠ABC =45°），且墙 AB =32 米，墙 BC =10 米，小张利用 8 米长的篱笆围成一个四边形菜园，如图，四边形 BDEF ，DE ∥BC ，∠E =90°， （靠墙部分不使用篱笆）设 EF =x ，四边形 BDEF 的面积为 S ．（1）用含 x 的代数式表示 BD ，DE 的长；（2）求出 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）求 S 的最大值．22. 已知：抛物线 C1：y =-（x+m ） +m （m ＞0），抛物线C ：y =（x -n ） +n （n ＞0）， 2称抛物线 C ，C 互为派对抛物线，例如抛物线 C ：y =-（x +1） 1 2 1 +1 与抛物线 C ：2y =（x -2） +2 是派对抛物线，已知派对抛物线 C ，C 的顶点分别为 A ，B ，抛物线 C 的对称轴交抛物线 C 于 C ，抛物线 C 的对称轴交抛物线 C 与 D ． 12 21 （1）已知抛物线①y =-x -2x ，②y=（x -3） +3，③y =（x -2） +2，④y =x -x +12， 则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是______（请在横线上填写抛物线的数字 序号）；（2）如图 1，当 m =1，n =2 时，证明 AC =BD ；（3）如图 2，连接 AB ，CD 交于点 F ，延长 BA 交 x 轴的负半轴于点 E ，记 BD 交 x 轴于 G ，CD 交 x 轴于点 H ，∠BEO =∠BDC ． ①求证：四边形 ACBD 是菱形；②若已知抛物线 C ：y =（x -2） +4，请求出 m 的值． 22 2 2 2 2 21 2 22 222四、解答题（本大题共4小题，共40.0分）23. 有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着-1，0，2；乙盒子中装有2张卡片，卡片上分别写着-2，3，所有卡片的形状、大小都完全相同，现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，现将甲盒中的卡片数字作为M点的横坐标，将乙盒中的卡片数字最为M点的纵坐标．（1）请用树状图或列表的方法求出M点落在第一象限的概率；（2）以A（0，0）为圆心，3为半径画⊙A，求M点落在⊙A外的概率．24. 如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求证：AB=EF；（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．25. 如图，△在ABC中，AB=BC，AC=4，以AB为直径画⊙O，⊙O交AC于D，交BC于E，连接OD．（1）证明：OD∥BC；（2）设CE=x，AO=r，求r关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当r=x时，求出图中阴影部分面积．26. 如图1，在△R t ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB边上一点，且BD=92．（1）判断∠BAC与∠BCD的大小关系，并说明理由；（2）△将BCD绕点B顺时针旋转α（0＜α＜180）度得△到BC′D′，直线C′D′交AB 边于点E．①如图2，当C′落在AB的延长线上时，求ED′D′C′的值；②如图3，当E与C重合时，求ED′的长．1.【答案】A 【解析】解：∵抛物线y=ax答案和解析（a≠0）过点（-1，3），∴3=a（-1），解得a=3，故选：A．把已知点的坐标代入函数解析式可得到关于a的方程，即可求得a的值．本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵3x=4y，∴故选：B．根据等式的性质即可求出答案．本题考查等式的性质，解题的关键是正确理解等式的性质，本题属于基础题型．3.【答案】D【解析】解：由于共有5张卡片，其中摸出的卡片是“狗”字的只有1张，∴摸出的卡片是“狗”字的概率为，故选：D．根据概率公式求解可得．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= 4.【答案】C【解析】解：垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；．2 2在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确．故选：C．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；在同圆或等圆中，利用一条弦对两条弧可对③进行判断；根据圆周角定理对④进行判断．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．5.【答案】B【解析】2解：∵抛物线y=（x+1）的顶点坐标为（-1，0），∴平移后抛物线的顶点坐标为（1，-4），∴平移后抛物线的解析式为y=（x-1）2-4．故选：B．找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：连接OB，取的中点D，连接OD，在优弧AC上取点E，连接AE、CE，如图，∵OA-OB，∴∠A=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∵点B是弧AC的三等分点，∴∠BOC=∠AOD=∠BOD=40°，∴∠BOC=120°，∴∠E=60°，∴∠ABC=180°-∠E=120°， 故选：C ．连接 OB ，取的中点 D ，连接 OD ，在优弧 AC 上取点 E ，连接 AE 、CE ，由圆的性质可求得∠AOC 的度数，根据圆周角定理可求得∠AEC ，利用圆内接四 边形的性质可求得∠ABC 的大小．本题主要考查圆周角定理，利用条件构造圆内接四边形是解题的关键． 7.【答案】C【解析】解 ∵△：ABC △∽DEF ，AB=1，BC=3，EF=5，∴= ，∴△ABC 与△DEF 的面积比是：9：25．故选：C ．直接利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键． 8.【答案】B【解析】解：∵抛物线 y=ax -2ax+5=a （x-1） -a+5（a ＞0），∴当 x ＞1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而减小，∵点（-1，y 1），（0，y ），（4，y ）都在抛物线 y=ax -2ax+5（a ＞0）上， 2 3∴y ＞y ＞y ，312故选：B ．根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用 二次函数的性质解答．9.【答案】B【解析】解：由 0＜α＜45°，得0＜sin α＜，故①正确；2 2 2cosα＞sinα，故②错误；sin2α=2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．本题考查了锐角函数的增减性，熟记锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数是解题关键．10.【答案】D【解析】解：∵AD⊥B D，∴∠ADB=90°，∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°，∵∠ABD=∠C，∴△ADB△∽DBC，∴即，，解得：BD=2，在Rt△ADB中，AB=，故选：D．根据相似三角形的判定得出△ADB△∽BDC，再利用相似三角形的性质解答即可．此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定得出△ADB∽△BDC．11.【答案】D【解析】解：如图所示：菱形M绕点D经过顺时针旋转60°变换能得到菱形N，故选：D．直接利用旋转的性质结合等边三角形的性质进而分析得出答案此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质，正确把握旋转的性质是解题关键．12.【答案】B【解析】解：如图，∵每相邻两条直线之间的距离为 1 △，DEF 的面积为 2，∴ ×DF×2=1，∴DF=1， ∵DF ∥BG ， ∴== ，∴BG=2，∴S=S +S = ×2×2+ ×2×2=4，故选：B ．每相邻两条直线之间的距离为 1 △，DEF 的面积为 1，即可得到 DF=1，再根据 DF ∥BG ，即可得出 BG=2，即可求 △得ABC 的面积．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．13.【答案】3【解析】解：tan60°的值为．故答案为：．根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题 的关键．14.【答案】52【解析】解：∵3 +4 =25，5 =25， ∴3 +4 =5 ，∴△ABC 是直角三角形，∴△ABC 的外接圆的半径为 ，故答案为： ．△ABC △ABG △BCG 2 2 2 2 2 2根据勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，根据圆周角定理解答．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．15.【答案】14【解析】解：列表如下：1 21（1，1）（1，2）2（2，1）（2，2）所有等可能的情况有4种，其中两位同学同坐1号车的情况有1种，则P=．故答案为：．列表得出所有等可能的情况数，找出两位同学同坐1号车的情况数，即可求出所求的概率．此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16.【答案】2，2，10【解析】解：如图所示：△ABC △∽△D EF，DE=，ED=2，EF=．故答案为：，2，．直接利用网格结合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案．此题主要考查了相似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．17.【答案】2626【解析】解：连接BC、OD，BC与OD交于点E，BC与AD交于F，∵在半圆O中，AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB=2∠BAD，∵AB=13，点C是半圆O上一点，AC=12，∴BC=5，∵弦AD平分∠BAC，∴∠CAB=2∠B AD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴AC∥OD，∵AO=BO，∴OE=AC=6，∴∠OEB=∠ACB，∴∠OEB=90°，，∴BE=CE=∵DE∥AC，∴△ACF△∽DEF，∴，∵OE=6，OD=，∴DE=，∴=24，∴CF=24EF，∵CE=，∴CF=CE=×=，∴AF==，∠DAB=sin∠CAF===．∴sin故答案为：．作辅助线，构建直△角ACF，先求BC和CE的长，利用平行相似证明△ACF△∽DEF，可得CF的长，从而计算AF的长，根据三角函数定义可得结论．本题考查圆周角定理，三角函数，勾股定理以及三角形相似的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用圆周角定理解答．18.【答案】252【解析】解：设BC=x，则AC=8-x，△S ACD△ABC∴四边形ABCD的面积=+S=AC•AD•sin30°+AC•BC•sin∠ACB第12 页，共20 页= ×（8-x ）×4× + （8-x ）•x•sin ∠ACB ，∵当∠ACD=90°时， （8-x ）•x •sin ∠ACB 的值最大，∴四边形 ABCD 的面积= ×（8-x ）×4× + （8-x ）•x=- （x-3） 2+，∴四边形 ABCD 的面积的最大值是，故答案为：．设 BC=x ，则 AC=8-x ，根据三角形的面积公式得到二次函数的解析式，根据二 次函数的性质即可得到结论．本题考查了三角形的面积，二次函数的最值，知道当∠ACD=90°时，三角形 ACB 的面积最大是解题的关键．19.【答案】解：设 a5=b12=c13=k （k ≠0），则 a =5k ，b =12k ，c =13k ， ∵a +b =34，∴5k +12k =34，解得 k =2，所以，c =13k =13×2=26． 【解析】设比值为 k （k ≠0），用 k 表示出 a 、b 、c ，然后代入等式求出 k 的值，再求解即可． 本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设 k 法”求解更简便．20.【答案】解：（1）把 A （-4，3），C （0，-1）代入 y =ax +c 得 16a+c=3c=−1，解得 a=14c=−1；（2）抛物线解析式为 y =14x -1， 当 y =0 时，14x -1=0，解得 x =2，x =-2，∴抛物线 y=ax +c 与 x 轴的交点坐标为（2，0），（-2，0）； （3）∵点 A 与点 B 关于 y 轴对称，∴B （4，3），∴当-4≤x ≤-2 或 2≤x ≤4 时，0≤ax +c ≤3． 【解析】（1）把 A 点和 C 点坐标分别代入 y =ax +c 得 a 、c 的方程组，然后解方程组即可；（2）通过解方程 x -1=0 可得抛物线 y=ax +c与 x 轴的交点坐标；（3）先利用对称性确定 B （4，3），然后观察函数图象，写出抛物线在 x 轴上方 且在直线 y=3 的下方所对应的自变量的范围即可．22 2 1 2 2 2 22 2本题考查了二次函数与不等式（ 组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函 数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与 x 轴的交点．21.【答案】解：（1）过点 D 作 DG ⊥BC 于点 G ，∵DE ∥BC ，∠E =90°， ∴∠EFG =90°，∴四边形 DEFG 是矩形， ∴DG=EF=x ， ∵∠ABC =45°，∴BG =x ，BD =2x ， 则 DE =8-x ；（2）S =(DE+BF)⋅EF2=(8−x+x+8−x)⋅x2=-12x +8x ， ∵2x ≤32， ∴0＜x ≤3．（3）∵S =-12x +8x =-12（x -8） +32，∴当 x ＜8 时，S 随 x 的增大而增大， ∵0＜x ≤3，∴当 x =3 时，S 取得最大值，最大值为 392． 【解析】（1）作 DG ⊥BC ，证四边形 DEFG 是矩形得 DG=EF=x ，由∠ABC=45°知 BG=x 、 BD=x ，从而得出 DE=8-x ；（2）根据梯形的面积公式可得；（3）将所得函数解析式配方成顶点式，结合 x 的取值范围，利用二次函数的性 质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及梯形的面积公式、二次函数的性质等知识点． 22.【答案】①与③；①与④【解析】2 2 2（1）解：①y =-x -2x=-（x+1） +1 ，②y =（x-3） +3=（x-3） +（） ，③y =（x-）2+（） ，④y =x -x+ =（x- ） +（ ） ，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线； 故答案为①与③；①与④；（2）证明：当 m=1，n=2 时，抛物线 C ：y =-（x+1） +1，抛物线 C ：y =（x-2） +4，12∴A （-1，1），B （2，4），∵AC ∥BD ∥y 轴，∴点 C 的横坐标为-1，点 D 的横坐标为 2，当 x=-1 时，y=（x-2） +4=13，则 C （-1，13）；当 x=2 时，y=-（x+1） +1=-8，则 D （2，-8）， ∴AC=13-1=12，BD=4-（-8）=12， ∴AC=BD ；（3）①抛物线 C ：y=-（x+m ） +m （m＞0），则 A （-m ，m ）；抛物线 C ：y =（x-n ）2+n （n ＞0），则B （n ，n ）；当 x=-m 时，y=（x-n ） +n =m +2mn+2n ，则 C （-m ，m +2mn+2n ）；当 x=n 时，y=-（x+m ） +m =-2mn-n ，则 D （n ，-2mn-n ）；∴AC=m +2mn+2n -m =2mn+2n ，BD=n -（-2mn-n ）=2mn+2n ， ∴AC=BD ；∴四边形 ACBD 为平行四边形，∵∠BEO=∠BDC ， 而∠EHF=∠DHG ， ∴∠EFH=∠D GH=90°， ∴AB ⊥CD ，∴四边形 ACBD 是菱形；2 2 2 22 2 2 2 2 222 2212 22 2 2 2 2222222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2②∵抛物线 C 2 ：y =（x-2） +4，则 B （2，4），∴n=2，∴AC=BD=2mn+2n =4m+8，而 A （-m ，m ），∴C （-m ，m +4m+8），∴BC =（-m-2） +（m2+4m+8-4） =（m+2） +（m+2） ， ∵四边形 ACBD 是菱形，∴BC=BD ，∴（m+2）+（m+2） =（4m+8） ，即（m+2） =15（m+2） ， ∵m ＞0，∴（m+2）2=15，∴m+2= ， ∴m= -2．（1）先把四个解析式配成顶点式，然后根据派对抛物线的定义进行判断；（2）利用抛物线 C ：y =-（x+1） +1，抛物线 C ：y =（x-2） +4 得到 A （-1，1），B （2，124），再计算出 C （-1，13），D （2，-8），则 AC=12，BD=12，于是可判断 AC=BD ；（3）①先表示出 A （-m ，m ）；B （n ，n ），再表示出 C （-m ，m +2mn+2n ），D （n ，-2mn-n ），接着可计算出 AC=BD=2mn+2n ，则可判断四边形 A CBD 为平行四边形，然后利用三角形内角和，由∠BEO=∠BDC 得到∠EFH=∠DGH=90°，从而 可判断四边形 ACBD 是菱形；②由抛物线 C2：y =（x-2） +4 得到 B （2，4），即 n=2，则 AC=BD=4m+8，再利用A （-m ，m ）可表示出 C （-m ，m +4m+8），所以 BC =（m+2） +（m+2） ，然后利用 BC=BD 得（m+2） +（m +2） =（4m+8） ，最后利用 m ＞0 可求出 m 的值．本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次22 2 2 2 2 2 2 42 4 2 4 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 42 4 2函数的性质和菱形的判定方法；会利用乘法公式进行代数式的变形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．23.【答案】解：（1）根据题意画树状图如下：∵共有6种等可能的结果，M点落在第一象限的有1种情况，∴M点落在第一象限的概率为16；（2）（-1，-2），（0，-2），（2，-2）（-1，3），（0，3），（2，3）到原点的距离分别是5，2，22，10，3，13，∵⊙A的半径为3，∴M点落在⊙A外的概率是13．【解析】（1）根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和M点落在第一象限的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）先求出M点到原点的距离，根据⊙A的半径和概率公式即可得出答案．此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：（1）∵正五边形ABCDE，∴AB=AE，∠BAE=108°，∴∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，∴∠FAE=∠AFE=72°，∴AE=EF，∴AB=EF；（2）设AB=x，由（1）知；∠BAF=∠AEB，∵∠ABF=∠ABE，∴△ABF△∽EBA，∴ABEB=BFBA，即x2+x=2x，解得：x1=1+5，x2=1−5（舍去），∴五边形ABCDE的边长为1+5．【解析】（1）根据正多边形的性质解答即可；第17 页，共20 页（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查正多边形的问题，关键是根据正多边形的性质解答． 25.【答案】（1）证明：连接 BD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =90°， ∵AB =BC ， ∴AD =CD ， ∵AO =BO ， ∴OD ∥BC ；（2）解：连接 DE ，∵四边形 ABED 内接于⊙O ， ∴∠CDE =∠ABC ， ∵OD ∥BC ，∴∠AOD =∠ABC ， ∴∠AOD =∠CDE ， ∵∠A =∠C ，∴△CDE ∽△AOD ， ∴CEAD=CDAO ，∵AD =CD =2，CE =x ，AO =r ， ∴x2=2r ， ∴r =4x ；（3）解：连接 OE ，由（2）知： 当 r =x 时，r =x =2，∵OB =OE ，∠ABC =60°， ∴△BOE 是等边三角形， ∴∠BOE =60°∴S =60×π×22360-34×2 =23π-3． 【解析】（1）根据三角形的中位线定理可得：OD ∥BC ；（2）根据两角相等证明△CDE △∽AOD ，列比例式为：，可得 r 关于 x的函数关系式；（3）由图形可知，阴影部分的面积为扇形 OBE 的面积-等边△OBE 的面积，先 求 r=2，根据扇形面积公式和三角形面积公式可得结论．本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的中位线定理，扇形的面积公式，圆的内接四边形的性质以及等边三角形的性质等知识，难度适中，第二问熟练利用圆的有关性质证明三角形相似是关 键．阴 226.【答案】解：（1）如图1中，∵AB=8，BC=6，BD=92，∴ABBC=BCBD=43，∵∠DBC=∠CBA，∴△DBC△∽CBA，∴∠BAC=∠BCD．（2）①如图2中，作EF⊥AC于F．∵∠A=∠C′，∴EA=EC′，∵EF⊥AC′，∴AF=FC′=AC′2=8+62=7，∴FB=AB-AF=1，∵∠EFC′=∠D′BC′，∴EF∥BD′，∴ED′D′C′=BFBC′=16．②如图3中，作BG⊥CC′于G．∵BC=BC′=6，∴CG=CG′，∵BC′=6，BD′=92，∴C′D′=152，∴BG=BD′×BC′CD′=185，∴C′G=CG=245，GD′=2710，∴ED′=2110．【解析】（1）只要证明△DBC∽△C BA即可解决问题；，可得（2）①如图2中，作EF⊥AC于F．首先证明AF=FC=7，再根据EF∥BD′==．②如图3中，作B G⊥CC′于G．由面积法可得：B G==，由此即可解决问题；本题考查相似三角形综合题、旋转变换、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和3个绿球，从袋子中随机摸出一个小球，记下颜色后，不放回再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率为( ) A ．12B ．716C ．14D ．38【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的结果数为6， 所以两次摸出的小球恰好是一个红球和一个绿球的概率=612=12． 故选A ． 【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.2．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，若∠ADC ＝33°，则∠ACO 的大小为（ ）A ．57°B ．66°C ．67°D ．44°【答案】A【分析】由圆周角定理定理得出∠AOC ，再由等腰三角形的性质得到答案. 【详解】解：∵∠AOC 与∠ADC 分别是弧AC 对的圆心角和圆周角， ∴∠AOC =2∠ADC =66°， 在△CAO 中，AO=CO, ∴∠ACO=∠OAC =1806126)57(︒-︒=︒， 故选：A 【点睛】本题考查了圆周角定理，此题难度不大，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，注意数形结合思想的应用．3．如图所示，∆ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosB=( )A．12B．2C．2D．5【答案】C【分析】先设小正方形的边长为1，再建构直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可；【详解】解：如图，过A作AD⊥CB于D，设小正方形的边长为1，则BD=AD=3，223332+=∴cos∠B=BDBC=22；故选C.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键. 4．某旅游景点8月份共接待游客16万人次，10月份共接待游客36万人次，设游客每月的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．16（1+x2）＝36 B．16x+16x（x+1）＝36C．16（1+x）+16（1+x）2＝36 D．16x（x+1）＝36【答案】A【分析】设游客每月的平均增长率为x，根据该旅游景点8月份及10月份接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设游客每月的平均增长率为x，依题意，得：16（1+x ）2＝1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．方程5x 2=6x ﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．5、6、﹣8 B ．5，﹣6，﹣8 C ．5，﹣6，8 D ．6，5，﹣8 【答案】C【解析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.【详解】5x 2=6x ﹣8化成一元二次方程一般形式是5x 2﹣6x+8=0， 它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8， 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 6．若反比例函数ky x=的图像经过点(3,2)-，则下列各点在该函数图像上的为（ ） A ．(2,3) B ．(6,1)C ．(1,6)-D ．(2,3)--【答案】C【分析】将点(3,2)-代入ky x =求出反比例函数的解析式，再对各项进行判断即可． 【详解】将点(3,2)-代入k y x=得 23k -=解得6k =-∴6y x-=只有点(1,6)-在该函数图象上 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质以及应用是解题的关键．7．如图，小颖为测量学校旗杆AB 的高度，她在E 处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B ．已知小颖的眼睛D 离地面的高度CD ＝1.5m ，她离镜子的水平距离CE ＝0.5m ，镜子E 离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m【答案】D【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，∵△ABC∽△EDC，∴DC CE AB AE=，即1.50.52 AB=，解得：AB＝6，故选D．【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．8．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【答案】B【解析】连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.【详解】连接FB，则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°， ∴∠FEB ＝12∠FOB=70°， ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°， ∵EF ＝EB ，∴∠EFB ＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°， ∴∠EFO ＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°， 故选B. 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 9．关于抛物线221y x x =-+，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．与x 轴有唯一交点C ．对称轴是直线1x =D ．当1x >时，y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的性质即可判断A 、C 、D 三项，令y=0，解关于x 的方程即可判断B 项，进而可得答案.【详解】解：()22211y x x x =-+=-；A 、∵a=1>0，∴抛物线的开口向上，说法正确，所以本选项不符合题意；B 、令y=0，则()210x -=，该方程有两个相等的实数根121x x ==，所以抛物线与x 轴有唯一交点，说法正确，所以本选项不符合题意；C 、抛物线的对称轴是直线1x =，说法正确，所以本选项不符合题意；D 、当1x >时，y 随x 的增大而减小，说法错误，应该是当1x >时，y 随x 的增大而增大，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数的性质和抛物线与x 轴的交点问题，属于基本题型，熟练掌握抛物线的性质是解题关键.10．把两个大小相同的正方形拼成如图所示的图案.如果可以随意在图中取点.则这个点取在阴影部分的慨率是（ ）A ．13B ．12C ．37D ．38【答案】C【分析】先设图中阴影部分小正方形的面积为x ，则整个阴影部分的面积为3x ，而整个图形的面积为7x.再根据几何概率的求法即可得出答案.【详解】解：设图中阴影部分小正方形的面积为x ，，则整个阴影部分的面积为3x ，而整个图形的面积为7x,∴这个点取在阴影部分的慨率是3377x x = 故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是事件的概率问题，解题的关键是根据已给图形找出图中阴影部分的面积与整个图形的面积.11．抛物线243y x x =++的对称轴是（ ） A ．直线1x = B ．直线1x =- C ．直线2x =- D ．直线2x =【答案】C【解析】用对称轴公式2bx a=-即可得出答案． 【详解】抛物线243y x x =++的对称轴4==2221=---⨯b x a ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，熟记对称轴公式是解题的关键. 12．下列等式从左到右变形中，属于因式分解的是（ ）A ．(x y)ax ay a +=+B ．221(2)1x x x x -+=-+C ．2(1)(1)1x x x +-=-D ．21(1)(1)x x x -=+-【答案】D【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．【详解】A. (x y)ax ay a +=+，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误； B. 221(2)1x x x x -+=-+，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项错误； C. 2(1)(1)1x x x +-=-，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误； D. 21(1)(1)x x x -=+-），属于因式分解，符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．二、填空题（本题包括8个小题）13．若函数21y x a =-+是正比例函数，则a =__________． 【答案】1【分析】根据正比例函数的定义即可得出答案. 【详解】∵函数21y x a =-+是正比例函数 ∴-a+1=0 解得：a=1 故答案为1. 【点睛】本题考查的是正比例函数，属于基础题型，正比例函数的表达式为：y=kx(其中k≠0).14．如图，为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到的A 、B 的点E 处，取AE 、BE 延长线上的C 、D 两点，使得CD ∥AB ，若测得CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED ＝3m ，则A 、B 两点间的距离为_____m ．【答案】20m 【详解】∵CD ∥AB ，∴△ABE∽△DCE，∴AB AECD DE=，∵AD=15m，ED=3m，∴AE=AD-ED=12m，又∵CD=5m,∴12 53 AB=，∴3AB=60，∴AB=20m.故答案为20m.15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为_____．【答案】5【分析】设线段AB＝x，根据黄金分割点的定义可知AD 35AB，BC35AB，再根据CD＝AB﹣AD﹣BC可列关于x的方程，解方程即可【详解】∵线段AB＝x，点C、D是AB黄金分割点，∴较小线段AD＝BC＝352x -，则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣2×352x-＝1，解得：x＝5故答案为：5【点睛】本题考查黄金分割的知识，解题的关键是掌握黄金分割中，较短的线段＝原线段的352倍．16．如图，抛物线y＝﹣13（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则PF AF的最大值为_______．【答案】81 40【分析】根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据待定系数法求得直线BC的解析式，作PN⊥BC，垂足为N．先证明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性质可知PN=310PE，然后再证明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式，从而可求得PFAF的最大值．【详解】∵抛物线y=﹣13(x+1)(x﹣9)与坐标轴交于A、B、C三点，∴A(﹣1，0)，B(9，0)，令x=0，则y=1，∴C(0，1)，∴BC222293310OB OC=+=+=，设直线BC的解析式为y=kx+b．∵将B、C的坐标代入得：903k bb+=⎧⎨=⎩，解得k=﹣13，b=1，∴直线BC的解析式为y=﹣13x+1．设点P的横坐标为m，则纵坐标为﹣13(m+1)(m﹣9)，点E(m，﹣13m+1)，∴PE=﹣13(m+1)(m﹣9)﹣(﹣13m+1)=﹣13m2+1m．作PN⊥BC，垂足为N．∵PE∥y轴，PN⊥BC，∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴PN PE =OB BC=． ∴PN-13m 2+1m )． ∵AB 2=(9+1)2=100，AC 2=12+12=10，BC 2=90， ∴AC 2+BC 2=AB 2． ∴∠BCA =90°， 又∵∠PFN =∠CFA ， ∴△PFN ∽△AFC ．∴PF AF =PN AC213)m m -+﹣110m 2+910m =﹣110(m ﹣92)2+8140． ∵1010a =-<， ∴当m 92=时，PF AF 的最大值为8140．故答案为：8140．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的证明与性质，求得PFAF与m 的函数关系式是解题的关键．17．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，则动力F （单位：N ）关于动力臂l （单位：m ）的函数解析式为______． 【答案】600F l=【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N 和0.5m ，∴动力F （单位：N ）关于动力臂l （单位：m ）的函数解析式为：1200×0.5=Fl ， 则600F l=． 故答案为：600F l=． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键．18．如图，在菱形c 中，,,E P Q 分别是边AB ，对角线BD 与边AD 上的动点，连接,EP PQ ，若60,6ABC AB ∠=︒=，则EP PQ +的最小值是___．【答案】33 【分析】作点Q 关于BD 对称的对称点Q’，连接PQ ，根据两平行线之间垂线段最短，即有当E 、P 、Q’在同一直线上且'EQ AB ⊥ 时，'EP PQ +的值最小，再利用菱形的面积公式，求出EP PQ +的最小值．【详解】作点Q 关于BD 对称的对称点Q’，连接PQ ．∵四边形ABCD 为菱形∴'PQ PQ = ，//AB CD∴'EP PQ EP PQ +=+当E 、P 、Q’在同一直线上时，'EP PQ +的值最小∵ 两平行线之间垂线段最短∴当'EQ AB ⊥ 时，'EP PQ +的值最小∵60,6ABC AB ∠=︒=∴6AC = ，2cos306=63BD =⨯︒⨯∴11832S ABCD AC BD =⨯= ∵'6'S ABCD AB EQ EQ =⨯=∴6'183EQ =解得'33EQ =∴EP PQ +的最小值是33 ． 故答案为：33．【点睛】本题考查了菱形的综合应用题，掌握菱形的面积公式以及两平行线之间垂线段最短是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．先化简，再求值:22222 2111x x xx x x x⎛⎫--+÷⎪-+--⎝⎭，其中1245302x cos sin=︒-︒.【答案】1,x+原式=74.【分析】先把分式进行化简，得到最简代数式，然后根据特殊角的三角函数值，求出x的值，把x代入计算，即可得到答案.【详解】解：原式()()()()21112121x x x xx xx⎡⎤-+-=-⋅⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()()112112x xxx x x+-⎛⎫=-⋅⎪---⎝⎭()()11221x xxxx+-⋅---=1x=+；当1211324530222224x cos sin=︒-︒=⨯-⨯=时，原式371144x=+=+=.【点睛】本题考查了特殊值的三角函数值，分式的化简求值，以及分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行运算.20．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图（1），在ABC∆中，点O在线段BC上，30BAO∠=︒，75OAC∠=︒，3AO=:1:3BO CO=，求AB的长．经过社团成员讨论发现：过点B作//BD AC，交AO的延长线于点D，通过构造ABD∆就可以解决问题，如图（2）．请回答：ADB=∠______︒．（2）求AB的长．（3）请参考以上解决思路，解决问题：如图（3），在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC AD⊥，3AO=75ABC ACB∠=∠=︒，:1:3BO OD=，求DC的长．【答案】（1）75°；（243（3413．【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°；（2）结合∠BOD=∠COA 可得出△BOD ∽△COA ，利用相似三角形的性质可求出OD 的值，进而可得出AD 的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB ，由等角对等边可得出AB 的长；（3）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，同（1）可得出AE 的长．在Rt △AEB 中，利用勾股定理可求出BE 的长度，再在Rt △CAD 中，利用勾股定理可求出DC 的长，此题得解．【详解】（1）∵BD ∥AC ，∴∠ADB=∠OAC=75°．（2）∵∠BOD=∠COA ，∠ADB=∠OAC ，∴△BOD ∽△COA ， ∴13OD OB OA OC ==．又∵AO =∴OD 13=AO =，∴ ∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°﹣∠BAD ﹣∠ADB=75°=∠ADB ，∴ （3）过点B 作BE ∥AD 交AC 于点E ，如图所示．∵AC ⊥AD ，BE ∥AD ，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB ，∴△AOD ∽△EOB ， ∴BO EO BE DO AO DA==． ∵BO ：OD=1：3， ∴13EO BE AO DA ==．∵∴EO =，∴． ∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC ，∴AB=2BE ．在Rt △AEB 中，BE 2+AE 2=AB 2，即(433)2+BE 2=(2BE)2， 解得：BE=43， ∴AB=AC=83，AD=1． 在Rt △CAD 中，AC 2+AD 2=CD 2，即2228()43CD +=， 解得：CD=4133．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解答本题的关键是：（2）利用相似三角形的性质求出OD 的值；（3）利用勾股定理求出BE 、CD 的长度． 21．如图，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，点B 在双曲线4-y x =（x ＜0）上，点D 在双曲线k y x=（x ＞0）上，点D 的坐标是 （3，3） （1）求k 的值；（2）求点A 和点C 的坐标．【答案】（1）k=9,（2）A （1,0）, C （0,5）.【分析】（1）根据反比例函数过点D,将坐标代入即可求值,（2）利用全等三角形的性质,计算AM,AN,CH 的长即可解题.【详解】解：将点D 代入(0)k y x x=>中, 解得：k=9,（2）过点B 作BN⊥x 轴于N, 过点D 作DM ⊥x 轴于M ,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵∠BAN+∠ABN=90°,∴∠BAN=∠ADM,∴△ABN ≌△DAM （AAS ）,∴DM=AN=3,设A （a,0）,∴N （a-3,0）,∵B 在4(0)y x x =-< 上， ∴BN=43a --=AM, ∵OM=a 43a --=3,整理得：a 2-6a+5=0, 解得：a=1或a =5（舍去）,经检验,a=1是原方程的根,∴A （1,0）,过点D 作DH⊥Y 轴于H,同理可证明△DHC ≌△DMA,∴CH=AM=2,∴C （0,5）,综上, A （1,0）, C （0,5）.【点睛】本题考查了反比例函数的性质,三角形的全等,难度较大,作辅助线,通过全等得到长度是解题关键. 22．如图，AG 是∠PAQ 的平分线，点E 在AQ 上，以AE 为直径的⊙0交AG 于点D ，过点D 作AP 的垂线，垂足为点C ，交AQ 于点B ．（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为6，AC=2CD ，求BD 的长【答案】（1）证明见详解；（2）8.【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2））在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=5a，证明△ACD∽△ADE，表示a=45r，由平行线分线段成比例定理得：BD ODBC AC=，代入可得结论．【详解】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=5a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴AD ACAE AD=,55aa=，∴45ra=，由（1）知：OD∥AC，=,2=BD OD BD rBC AC BD a a+即，解得BD=4468.33r=⨯=【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质列方程解决问题是关键．23．已知：二次函数y=x2+bx+c经过原点，且当x=2时函数有最小值；直线AC解析式为y=kx-4，且与抛物线相交于B、C．（1）求二次函数解析式；（2）若S△AOB∶S△BOC=1：3，求直线AC的解析式；（3）在（2）的条件下，点E为线段BC上一动点（不与B、C重合），过E作x轴的垂线交抛物线于F、交x轴于G，是否存在点E，使△BEF和△CGE相似？若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2-4x；（2）直线AC的解析式为y=x-4；（1）存在，E点坐标为E(1．-1)或E(2，-2 ) ．【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c经过原点可知c=0，当x=2时函数有最小值可知对称轴是x=2，故可求出b，即可求解；（2）连接OB，OC，过点C作CD⊥y轴于D，过点B作BE⊥y轴于E，根据13AOBCOBSS=得到13ABBC=，14ABAC=，由EB∥DC，对应线段成比例得到14BE ABCD AC==，再联立y=kx-4与y=x2-4x得到方程kx-4=x2-4x，即x2-（k+4）x+4=0，求出x1,x2，根据x1,x2之间的关系得到关于k的方程即可求解；（1）根据（1）（2）求出A,B,C的坐标，设E（m，m-4）（1＜m＜4）则G（m，0）、F（m，m2-4m），根据题意分∠EFB=90°和∠EBF=90°，分别找到图形特点进行列式求解．【详解】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c经过原点，∴c=0∵当x=2时函数有最小值 ∴221b -=⨯， ∴b=-4，c=0， ∴y=x 2-4x ；（2）如图，连接OB ，OC ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，过点B 作BE ⊥y 轴于E ，∵13AOB COB S S = ∴13AB BC = ∴14AB AC = ∵EB ∥DC ∴14BE AB CD AC == ∵y=kx-4交y=x 2-4x 于B 、C∴kx-4=x 2-4x ，即x 2-（k+4）x+4=0∴2482k k k x +++=，或2482k k k x +-+=∵x B ＜x C∴EB=x B 248k k k +-+DC=x C 248k k k +++∴248k k k +-+248k k k +++解得 k=-9（不符题意，舍去）或k=1∴k=1∴直线AC 的解析式为y=x-4；（1）存在．理由如下：由题意得∠EGC=90°，∵直线AC的解析式为y=x-4 ∴A(0，-4 ) ，C（4，0）联立两函数得244y x xy x⎧=-⎨=-⎩，解得4xy=⎧⎨=⎩或13xy=⎧⎨=-⎩∴B（1，-1）设E（m，m-4）（1＜m＜4）则G（m，0）、F（m，m2-4m）①如图，当∠EFB=90°，即CG//BF时，△BFE∽△CGE．此时F点纵坐标与B点纵坐标相等．∴F（m，-1）即m2-4m=-1解得m=1（舍去）或m=1∴F（1，-1）故此时E（1，-1）②如图当∠EBF=90°，△FBE∽△CGE∵C（4，0），A(0 ，4 )∴OA=OC∴∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE过B点做BH⊥EF，则H（m,-1）∴BH=m-1又∵∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE∴△BEF是等腰直角三角形，又BH⊥EF∴EH=HF，EF=2BH∴(m-4)- (m2-4m) =2(m-1)解得m1=1（舍去）m2=2∴E(2,-2)综上，E点坐标为E(1.-1)或E(2,-2)．【点睛】此题主要考查二次函数的图像及几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例、相似三角形及等腰三角形的性质．24．如图，12310...A A A A 是半径为1的O 的内接正十边形，2A P 平分21OA A ∠（1）求证：21211A A A P OA =⋅；（2）求证：1251A A -= 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据题意得出角相等得出△A 1A 2P ∽△A 1OA 2，再根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）设A 1A 2＝x ，得出OP ＝PA 2＝A 1A 2＝x ，A 1 P ＝1－x ，再代入21211A A A P OA =⋅中即可求出答案．【详解】证明：（1）∵A 1A 2A 3…A 10是半径为1的⊙O 的内接正十边形，A 2P 平分∠OA 2A 1∴∠A 1OA 2＝36°，∠A 1＝∠OA 2A 1＝72°，∠A 1A 2P ＝∠O ＝36°∴∠A 1 P A 2＝72°，OP ＝PA 2，∴△A 1A 2P ∽△A 1OA 2，121112A A A P OA A A = ∴A 1A 22＝A 1P•O A 1（2）设A 1A 2＝x ，则OP ＝PA 2＝A 1A 2＝x ，∴A 1 P ＝1－x ，由（1）得A 1A 22＝A 1P•O A 1∴21x x =－，∴210x x +－＝，解得，()2114115x=2-±-±－－＝（负值舍去） ∴512x =－， 即1251A A =－ 【点睛】本题考查了正十边形的性质及相似三角形的判定及性质定理，能够根据正十边形的性质得出角的度数是解题的关键．25．如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙0与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝3OD ，AB ＝12，求CD 的长．【答案】CD ＝3【分析】由切线的性质得出AC ⊥OD ，求出∠A ＝30°，证出∠ODB ＝∠CBD ，得出OD ∥BC ，得出∠C ＝∠ADO ＝90°，由直角三角形的性质得出∠ABC ＝60°，BC ＝12AB ＝6，得出∠CBD ＝30°，再由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°，∵AD 3OD ， ∴tanA ＝OD AD 3 ∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，∴BC ＝12AB ＝6， ∴∠CBD ＝12∠ABC ＝30°， ∴CD ＝3BC ＝3×6＝23． 【点睛】本题考查了圆的切线问题，掌握圆的切线的性质以及直角三角形的性质是解题的关键．26．如图，已知反比例函数11k y x=（k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C. 若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC ＝2 .（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值.【答案】（1）12y x=；21y x =+；（2）B 点的坐标为（－2，－1）；当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2. 【分析】（1）根据tan ∠AOC ＝AC OC＝2，△OAC 的面积为1，确定点A 的坐标，把点A 的坐标分别代入两个解析式即可求解； （2）根据两个解析式求得交点B 的坐标，观察图象，得到当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值．【详解】解：（1）在Rt △OAC 中，设OC ＝m ．∵tan ∠AOC ＝AC OC ＝2，∴AC ＝2×OC ＝2m ． ∵S △OAC ＝12×OC×AC ＝12×m×2m ＝1，∴m 2＝1．∴m ＝1（负值舍去）．∴A 点的坐标为（1，2）．把A 点的坐标代入11k y x=中，得k 1＝2． ∴反比例函数的表达式为12y x =． 把A 点的坐标代入221y k x =+中，得k 2＋1＝2，∴k 2＝1．∴一次函数的表达式21y x =+．（2）B 点的坐标为（－2，－1）．当0＜x ＜1和x ＜－2时，y 1＞y 2．【点睛】本题考查反比例及一次函数的的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函数的性质是本题的解题关键．27．已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+1；（2）点P （﹣2，1）在这个二次函数的图象上，【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）代入x=-2求出y 值，将其与1比较后即可得出结论．【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+1；∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），（2，﹣5），则有：933428a b a b -=-⎧⎨+=-⎩解得；12a b =-⎧⎨=-⎩∴y=﹣x 2﹣2x+1．（2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+1=﹣4+4+1=1，∴点P （﹣2，1）在这个二次函数的图象上，【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列函数中，y 关于x 的二次函数是( )A ．y ＝ax 2+bx+cB ．y ＝x(x ﹣1)C ．y=21xD ．y ＝(x ﹣1)2﹣x 2 【答案】B【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.【详解】A.当a=0时， y=ax 2+bx+c= bx+c ，不是二次函数，故不符合题意； B. y=x （x ﹣1）=x 2-x ，是二次函数，故符合题意；C. 21y x = 的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意； D. y=（x ﹣1）2﹣x 2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；故选B.【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.2．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（ ）A ．43B ．23C ．33D ．322【答案】C【分析】根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1，利用勾股定理可求出该内接正三角形的边长为3，高为32，从而可得出面积． 【详解】解：由题意可得出圆的半径为1，∵△ABC 为正三角形，AO=1，AD BC ⊥，BD=CD ，AO=BO ，∴1DO 2=，32AD =， ∴223BD 2OB OD =-=，∴BC =∴13224ABC S =⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是正多边形的性质以及解直角三角形，根据圆内接正多边形的边长求出圆的半径是解此题的关键．3．若点()()()1233,,1,,1,A y B y C y --在反比例函数3y x =的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y << 【答案】B【分析】将横坐标代入反比例函数求出纵坐标，即可比较大小关系.【详解】当x=−3时,y 1=−1，当x=−1时,y 2=−3，当x=1时,y 3=3，∴y 2<y 1<y 3故选：B.【点睛】本题考查反比例函数值的大小比较，将横坐标代入函数解析式求出纵坐标是解题的关键.4．关于x 的一元二次方程2(3)(2)0x x p ---=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．不确定【答案】A【分析】将方程化简，再根据24b ac ∆=-判断方程的根的情况.【详解】解：原方程可化为22560x x p -+-=， 222(5)4(6)10p p ∴∆=---=+>所以原方程有两个不相等的实数根.故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，灵活利用∆的正负进行判断是解题的关键.当>0∆时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个不相等的实数根；当∆<0时，方程5．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（）A．12B．13C．14D．19【答案】B【解析】由小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，∴小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为：13．故选：B．【点睛】本题考查概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．从数据12-，﹣6，1.2，π，2-中任取一数，则该数为无理数的概率为（）A．15B．25C．35D．45【答案】B【分析】从题中可以知道，共有5个数，只需求出5个数中为无理数的个数就可以得到答案．【详解】从12-，-6，1.2，π，2-中可以知道π和2-为无理数．其余都为有理数．故从数据12-，-6，1.2，π，2-中任取一数，则该数为无理数的概率为25，故选：B．【点睛】此题考查概率的计算方法，无理数的识别．解题关键在于掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．7．一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（）A．B．C．D．【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3， 则符合题意的是D ；故选D ．考点：1．由三视图判断几何体；2．作图-三视图．8．一元二次方程()22110a x ax a +++-=有一根为零，则a 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．1-或0D ．1-或1【答案】B 【分析】把0x =代入一元二次方程，求出a 的值，然后结合一元二次方程的定义，即可得到答案.【详解】解：∵一元二次方程()22110a x ax a +++-=有一根为零， ∴把0x =代入一元二次方程，则210a -=，解得：1a =±，∵10a +≠，∴1a ≠-，∴1a =；故选：B.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，正确求出a 的值.9．下列事件不属于．．．随机事件的是（ ） A ．打开电视正在播放新闻联播B ．某人骑车经过十字路口时遇到红灯C ．抛掷一枚硬币，出现正面朝上D ．若今天星期一，则明天是星期二【答案】D【分析】不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此可判断出结论．【详解】A ． 打开电视正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意；B ． 某人骑车经过十字路口时遇到红灯，是随机事件，不符命题意；C ． 抛掷一枚硬币，出现正面朝上，是随机事件，不符合题意，D ． 若今天星期一，则明天是星期二，是必然事件，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．关键是理解不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10．方程x （x ﹣1）＝0的解是（ ）．A ．x ＝1B ．x ＝0C ．x 1＝1，x 2＝0D ．没有实数根【答案】C【解析】根据因式分解法解方程得到x=0或x ﹣1=0，解两个一元一次方程即可.【详解】解：x （x ﹣1）＝0x=0或x ﹣1=0∴x 1＝1，x 2＝0，故选C.【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是关键.11．如图，△ABO ∽△CDO ，若6BO =，3DO =，2CD =，则AB 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.【详解】解：∵△ABO ∽△CDO ∴OB AB OD CD= ∴632AB = 解得：AB=4 故答案为C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解. 12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，将Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转46°得到Rt △A′B′C ，点A 在边B′C 上，则∠ACB 的大小为（ ）A ．23°B ．44°C ．46°D ．54°【答案】C 【分析】根据题意：Rt △ABC 绕点C 按逆时针方向旋转46°得到Rt △A′B′C ，即旋转角为46°，则∠ACB=46°。