专题1.1 集合的概念及其基本运算(测)-2019年高考数学(理)一轮复习讲练测(原卷版)

1}，专题1.1集合的概念及其基本运算（讲）【辭析】由已知得^ = {1,4}.当口 = ＜时.A = [3],则討二〔12*卜・4厂直=0,当也=1时,J = ；L3j ; 则JU5 = {1.3r 4} p = 当a = 4时.^ = {4.3}, = （1,3.4}, -40-8={4}.当疽产1,戊戸吳。

否4时…儿丘二卩”丸好，JO^ =0,综上所述，当a = 3时—儿P = {1S4齐AClB^Qi 当应"时，血JH"4}, /仃丘二{1»当*4时,则加UE 二口34、“5={4}f 当口工1, 口产3, a 芦4时I dl-再三卜 B =0.2.【2015高考天津，理1】已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A 2,3,5,6，集合B 1,3,4,6,7则集合AI ejB （） (A )2,5( B )3,6 (C ) 2,5,6 ( D ) 2,3,5,6,8【答案】A【赭斤】^5 = （2,5,8}_所以二冷5},故选九3. 【云南省玉溪一中 2015届高三上学期第一次月考试卷】设集合B {(x, y) y 3x }，则A B 的子集的个数是( )A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A1.【课本典型习题，P12第3题】设集合Ax(x a)(x 3) 0,a R , Bx(x 4)(x 1) 0 ,AUB , AI B .【答案】当a 3时，AU B 1,3,4 , AI B ;当a 1 时，AU B1,3,4,AI B 1 ;当 a时，贝U AU B 1,3,4 , AIB 4 ;当 a 1 ,a 3, a 4时， AU B1,3,4, a , AI B【课前小测摸底细】求4{(“)話【解析】篥會話为橢區|兰+匸=1上的昌集合卫为扌無心煎i' = 丁上的点，由于指纹函数恒过点(Q1)・16 -4* 斗由于点121在椭圆兰十二“曲内部，因此扌旨数函数与椭圆有2个交点.，的子篥的个数次F =4个，16 4故答累为扎4. 【基础经典试题】集合M ={y | y= x2—1, x R}，集合N={x|y= 9 x2, x R}，则MIN等于( )A. {t|0 t 3} B . {t|—1 t 3} C . {(- . 2,1),( .2,1) D •【答案】B【鱷析】■・」=/—in —h 二対=[—h +工)・又丫)=嗣-》匸9 - ? > 0 +/■[- 3,3]. ■- M A -V = [-l(3].5. 【改编自2012年江西卷理科】若集合A={— 1,1}, B= 0,2，则集合{z|z= x+ y, x A, y B}中的元素的非空子集个数为()A. 7 B . 6 C . 5 D . 4【答案】A【鋒析】由已知得，集台V尸K+F送用ye ^={-1.1.3}-所以其非空子集个数冷2为二7,故选【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识•纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算•解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素•二是考查抽象集合的关系判断以及运算•【经典例题精析】考点1集合的概念K【1-1 】若a, b R，集合{1 , a b, a 0,-,b，求b a的值_____________________ .a【答案】2iy【解析】由d d+方卫｝=0—血可知“山则只能卄庄0,则有以下对应关爲CJ - b = 0.b—=c ab = 1.Jl_2【1-2】已知集合A=｛x|x+ m好4 = 0｝为空集，则实数m的取值范围是()A. ( —4, 4) B . [ —4, 4] C . ( —2, 2) D . [ —2, 2]【答案】A【解析】依题意知一元二次方程F十ww十4二0无解，^flzA A= w;_16 < 0(解得一4€楞羔4.故选A.【1-3】已知A=｛a+ 2, (a+ 1)2, a2+ 3a+ 3｝，若1€ A,则实数a构成的集合B的元素个数是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3【答案】B丽析】若口则1,代入集合」」得川=｛1"1｝,与集合元责的互异性若S+1F=1,帶住=0或一2,代入集合4帰/=匸切｝或去｛0二1｝,后■看与集合的互异性矛盾，故尸0 符合要求J若/+3卄3=1,则尸—诫-拿代人黑皆出得沪｛山1｝或看•戶｛轴助都与集合的互异性相矛盾, 無上可如只有口二。

第1讲 集合及其运算集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算理解命题的概念.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题， 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.理解全称量词和存在量词的意义. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法A B(或B A )判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A ＝{x |y ＝x 2}，B ＝{y |y ＝x 2}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ，B ，C 表示同一个集合．( )(2)若a 在集合A 中，则可用符号表示为a ⊆A .( ) (3)若A B ，则A ⊆B 且A ≠B .( )(4)N*N Z .( )(5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D答案：B(教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( )A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}解析：选C.因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即实数a的值为1.答案：1(教材习题改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁R A)∩B＝________．解析：因为∁R A＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．答案：{x|2<x<3或7≤x<10}集合的概念[典例引领](1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．6 D．9(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．【解析】(1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)C (2)－32[通关练习]1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3∉A ，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2<1，（3－a ）2≥1 即⎩⎪⎨⎪⎧1<a <3，a ≤2或a ≥4，所以1<a ≤2.答案：1<a ≤2集合间的基本关系[典例引领](1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由题意知A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，则B A . (2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)B (2)(－∞，3]1.在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.2.若将本例(2)中的集合A 改为：A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？ 解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．[通关练习]1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述m 的范围为m ≤1. 答案：m ≤1集合的基本运算集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下两个命题角度：(1)集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．[典例引领]角度一 集合间的交、并、补运算(1)(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}(2)(2018·南昌市第一次模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0，1] C ．(0，1)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)A ∪B ＝{1，2，4，6}，(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}，选项B 符合．(2)由题知，A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}＝(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x ＋1}＝{y |y ≥1}＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0，＋∞)∩(－∞，1)＝(0，1)． 【答案】 (1)B (2)C角度二 已知集合的运算结果求参数的值(范围)(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1，0} C ．{1，3}D ．{1，5}(2)(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{x ∈R |12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[12，1]C ．[23，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 (1)因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}，选择C. (2)因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.【答案】 (1)C (2)A(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．③根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．(2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．[通关练习]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}解析：选 C.由已知可得B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.2．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}解析：选D.依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.3．(2018·河北衡水中学第七次调研)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是( )A．(0，1] B．[1，＋∞)C．(0，2] D．[2，＋∞)解析：选 D.A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以c≥2，所以c∈[2，＋∞)，故选D.集合中的创新问题[典例引领](1)定义集合的商集运算为AB ＝{x |x ＝m n，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】 (1)由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B. (2)由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}． 【答案】 (1)B (2){0，6}解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．[通关练习]1．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．解析：由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)． 答案：{0}∪[2，＋∞)2．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“单一元”，给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个． 答案：6集合运算的性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅. (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A .(4)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .(5)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.(6)若集合A 中含有n 个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.易错防范(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．1．(2017·高考北京卷)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >2}，则∁U A ＝( ) A ．(－2，2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C.由已知可得，集合A 的补集∁U A ＝[－2，2]．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析：选A.集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A. 3．已知集合A ＝{x ∈R |x －1x＝0}，则满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选C.解方程x －1x＝0，得x ＝1或x ＝－1，所以A ＝{1，－1}，又A ∪B ＝{－1，0，1}，所以B ＝{0}或{0，1}或{0，－1}或{0，1，－1}，集合B 共有4个．4．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x ＝n ，n ∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：选C.由题意，得B ＝{0，1，2，3，2}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，所以A ∩B 的真子集个数为23－1＝7.故选C.5．(2018·云南省第一次统一检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与集合B 的关系是( ) A ．B ⊆A B ．B ⊇A C ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A.因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝{x |x >52}，所以B ⊆A ，故选A.6．(2018·陕西西安模拟)已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( ) A ．M ＝N B ．M ∩N ＝N C ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅解析：选B.因为集合M ＝{－1，0，1}．N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1，0}，所以集合M ∩N ＝N .故选B.7．(2018·河南百校联盟联考)若集合A ＝{x |y ＝lg(3x －x 2)}，B ＝{y |y ＝1＋4x ＋1，x ∈A }，则A ∩∁R B 等于( )A ．(0，2]B ．(2，3)C ．(3，5)D ．(－2，－1)解析：选A.因为A ＝(0，3)，所以B ＝(2，5)，所以A ∩∁R B ＝(0，2]．故选A.8．(2018·湖北武昌模拟)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0，1}B ．{1，2}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，5}解析：选 D.因为 A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}＝{x |2<x <5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，所以A －B ＝{0，1，2，5}．故选D.9．(2018·长沙市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数 ，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅.故a 的值为2，选B.10．(2018·安徽省两校阶段性测试)设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，32)B ．(1，32)C ．[1，32)D ．(32，3]解析：选B.A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝{x |1<x <32}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{x |1<x <32}．故选B.11．(2018·安徽淮北第二次模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋2a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若集合M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，那么a 的取值为( ) A ．a ＝12B ．a ≤12C ．a ＝－12D ．a ≥12解析：选C.因为log 2(x －1)<1，所以x －1>0且x －1<2，即1<x <3，则N ＝{x |1<x <3}，因为U ＝R ，所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，又因为M ＝{x |x ＋2a ≥0}＝{x |x ≥－2a }，M ∩∁U N ＝{x |x＝1或x ≥3}，所以－2a ＝1，得a ＝－12.故选C.12．(2018·豫北名校联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝{0，－12，12}，该集合中共有3个元素，所以选B.13．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝________．解析：由于A ∪B ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，结合数轴，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． 答案：{x |0<x <1}14．设全集S ＝{1，2，3，4}，且A ＝{x ∈S |x 2－5x ＋m ＝0}，若∁S A ＝{2，3}，则m ＝________．解析：因为S ＝{1，2，3，4}，∁S A ＝{2，3}, 所以A ＝{1，4}，即1，4是方程x 2－5x ＋m ＝0的两根，由根与系数的关系可得m ＝1×4＝4. 答案：415．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________．解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}． 答案：{1}16．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)1．(2018·山东烟台调研)已知集合M ＝{x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z }，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：选B.由题意可知，M ＝{x |x ＝（2k ＋4）8π－π4，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝{x |x ＝2k π8－π4或x ＝（2k －1）8π－π4，k ∈Z }，所以M ⊆N ，故选B.2．(2018·宁夏银川二中考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．[1，＋∞) C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选 B.法一：由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.法二：因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，取c ＝1，则B ＝(0，1)，所以A ⊆B 成立，可排除C ，D ；取c ＝2，则B ＝(0，2)，所以A ⊆B 成立，可排除A.3．设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)． 答案：(－∞，－1]∪(0，1) 4．若集合A 具有以下性质：(1)0∈A ，1∈A ；(2)x ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A ，则称集合A 是“完美集”，给出以下结论：①集合B ＝{－1，0，1}是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”；③设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则x ＋y ∈A ； ④设集合A 是“完美集”，若x ，y ∈A ，则xy ∈A ；⑤对任意的一个“完美集”A ，若x ，y ∈A ，且x ≠0，则y x∈A . 其中正确结论的序号是________．解析：①－1∈B ，1∈B ，但是－1－1＝－2∉B ，B 不是“完美集”； ②有理数集满足“完美集”的定义；③0∈A ，x ，y ∈A ，0－y ＝－y ∈A ，那么x －(－y )＝x ＋y ∈A ；④对任意一个“完美集”A ，任取x ，y ∈A ，若x ，y 中有0或1时，显然xy ∈A ，若x ，y 均不为0，1，而1xy＝12xy ＋12xy ＝1（x ＋y ）2－x 2－y 2＋1（x ＋y ）2－x 2－y2，x ，x －1∈A ，那么1x －1－1x ＝1x （x －1）∈A ，所以x (x －1)∈A ，进而x (x －1)＋x ＝x 2∈A .结合前面的算式，知xy ∈A ；⑤x ，y ∈A ，若x ≠0，那么1x ∈A ，那么由④得yx∈A .故填②③④⑤. 答案：②③④⑤5．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋c ×3＋15＝0，c ＝－8， 所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3，5}， 又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3，5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝{x |－52≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝{x |－52≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1，0，1}．6．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

第一章会合与常用逻辑用语§1.1 会合与会合的运算考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 20171.1. 认识会合的含义、元素与会合的属于关系.集2. 能用自然语言、图形语言、会合语言( 列举法合或描绘法 ) 描绘不一样的详细问题 .及理解3. 理解会合之间包括与相等的含义, 能辨别给定其会合的子集 .关4. 在详细情境中 , 认识全集与空集的含义 .系2.1. 理解两个会合的并集与交集的含义, 会求两个2,5 1,5 1,5 1,5集简单的会合的并集与交集 . 分分分分合1,42. 理解在给定会合中一个子集的补集的含义, 会理解1( 文1( 文1( 文1( 文的分求给定子集的补集 . ), ), ), ), 运3. 能使用韦恩 (Venn) 图表示会合的关系及运算 . 5 分 5 分 5 分 5 分算剖析解读 1. 本节内容是高考的必考内容, 在复习时要掌握会合的表示方法, 能判断元素与会合的属于关系、会合与会合之间的包括关系, 能判断会合能否相等. 娴熟掌握会合的交、并、补运算和性质, 会用分类议论和数形联合的数学思想研究会合的运算问题. 如 2016 浙江第 1 题 ;2017 浙江第 1 题 .2. 估计 2019 年高考试题中 , 考察会合的运算的可能性很大 .五年高考考点一会合及其关系1.(2016 四川 ,1,5 分) 设会合 A={x|-2 ≤ x≤ 2},Z 为整数集 , 则会合 A∩ Z 中元素的个数是 ( )A.3B.4C.5D.6答案 C2.(2015 重庆 ,1,5 分) 已知会合 A={1,2,3},B={2,3}, 则 ( )A.A=BB.A ∩ B=?C.A? BD.B? A答案 D2+y 2≤ 1,x,y ∈ Z},B={(x,y)||x|3.(2015 湖北 ,9,5 分) 已知会合 A={(x,y)|x ≤ 2,|y| ≤ 2,x,y ∈ Z}, 定义会合A⊕ B={(x 1+x2,y 1+y2)|(x 1,y 1) ∈ A,(x 2,y 2) ∈ B}, 则 A⊕ B 中元素的个数为 ( )A.77B.49C.45D.30答案 C课标全国Ⅰ ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x 2-2x>0},B={x|-4.(2013 <x< }, 则 ()A.A∩ B=?B.A∪ B=RC.B? AD.A? B答案 B5.(2013 山东 ,2,5 分) 已知会合 A={0,1,2}, 则会合 B={x-y|x ∈ A,y ∈ A} 中元素的个数是 ( )A.1B.3C.5D.9答案 C2 +3}. 若 A∩B={1}, 则实数 a 的值为6.(2017 江苏 ,1,5 分) 已知会合 A={1,2},B={a,a .答案 17.(2013 江苏 ,4,5 分) 会合 {-1,0,1} 共有个子集 .答案 8 考点二会合的运算1.(2017 浙江 ,1,4 分) 已知会合 P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2}, 则 P ∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)答案 A会合 P={1,3,5},Q={1,2,4},则(? P) ∪Q=()2.(2016浙江文 ,1,5 分 ) 已知全集 U={1,2,3,4,5,6},UA.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5} 答案 C分) 已知会合 P={x ∈R|1 ≤ x ≤3},Q={x ∈ R|x 2≥ 4}, 则 P ∪ ( ?R Q)=() 3.(2016 浙江 ,1,5 A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞ ,-2] ∪ [1,+ ∞ ) 答案 B24.(2015 浙江 ,1,5 分) 已知会合 P={x|x -2x ≥ 0},Q={x|1<x R )≤2}, 则( ? P)∩Q=( A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]答案 C5.(2015 浙江文 ,1,5 分 ) 已知会合 P={x|x 2-2x ≥ 3},Q={x|2<x<4}, 则 P ∩ Q=( )A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]答案 A26.(2014 浙江 ,1,5 分) 设全集U)U={x ∈ N|x ≥ 2}, 会合 A={x ∈N|x ≥ 5}, 则 ? A=(A. ?B.{2}C.{5}D.{2,5} 答案 B 7.(2014 浙江文 ,1,5 分 ) 设会合 S={x|x ≥ 2},T={x|x ≤ 5}, 则 S ∩ T=( ) A.(- ∞ ,5] B.[2,+ ∞ ) C.(2,5) D.[2,5] 答案 D2+3x-4 ≤ 0}, 则 ( ?R S)∪ T=(8.(2013 浙江 ,2,5 分) 设会合 S={x|x>-2},T={x|x)A.(-2,1]B.(- ∞,-4]C.(- ∞ ,1]D.[1,+ ∞ ) 答案 C9.(2017 课标全国Ⅰ文 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则 ( )A.A ∩ B=B.A ∩ B=?C.A ∪ B=D.A ∪ B=R答案 A x <1},10.(2017 课标全国Ⅰ理 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x|x<1},B={x|3 则( ) A.A ∩ B={x|x<0} B.A ∪ B=R C.A ∪ B={x|x>1} D.A ∩ B=? 答案 A 2-4x+m=0}. 若 A ∩ B={1},11.(2017 课标全国Ⅱ理 ,2,5 分 ) 设会合 A={1,2,4},B={x|x则B=() A.{1,-3} B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C12.(2017课标全国Ⅲ理,1,5分)已知会合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩ B中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0答案 B13.(2017北京理,1,5分)若会合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩ B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A14.(2017 山东理 ,1,5 分 ) 设函数 y= 的定义域为 A, 函数 y=ln(1-x) 的定义域为 B, 则 A∩ B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案 D15.(2016 课标全国Ⅲ ,1,5 分) 设会合 S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0}, 则 S∩T=()A.[2,3]B.(- ∞ ,2] ∪ [3,+ ∞ )C.[3,+ ∞ )D.(0,2] ∪[3,+ ∞)答案 D16.(2016 课标全国Ⅱ ,2,5 分) 已知会合 A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x ∈Z}, 则 A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案 C17.(2016 天津 ,1,5 分 ) 已知会合 A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x ∈ A}, 则 A∩ B=( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D分 ) 设会合 A={y|y=2 x ,x ∈ R},B={x|x 2-1<0},18.(2016 山东 ,2,5 则 A∪ B=( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+ ∞ )D.(0,+ ∞ )答案 C19.(2015 课标Ⅱ ,1,5 分 ) 已知会合 A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0}, 则 A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案 A分 ) 设会合 M={x|x 2=x},N={x|lgx ≤ 0},20.(2015 陕西 ,1,5 则 M∪ N=( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(- ∞ ,1]答案 A分 ) 已知会合 A={x|x 2-2x-3 ≥0},B={x|-221.(2014 课标Ⅰ ,1,5 ≤ x<2}, 则 A∩ B=( )A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案 A22.(2014 辽宁 ,1,5 分 ) 已知全集 U=R,A={x|x ≤ 0},B={x|x ≥ 1}, 则会合 ?U(A ∪ B)=( )A.{x|x ≥ 0}B.{x|x ≤ 1}C.{x|0 ≤ x≤ 1}D.{x|0<x<1}答案 D23.(2016 江苏 ,1,5 分 ) 已知会合 A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3}, 则 A∩B= .答案{-1,2}教师用书专用(24 — 42)24.(2017 课标全国Ⅱ文 ,1,5 分 ) 设会合 A={1,2,3},B={2,3,4}, 则 A∪ B=( )A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}答案 A25.(2017 课标全国Ⅲ文 ,1,5 分 ) 已知会合 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8}, 则 A∩B 中元素的个数为 ()D.4答案 B26.(2017 北京文 ,1,5 分 ) 已知全集 U=R,会合 A={x|x<-2 或 x>2}, 则 ?U A=( )A.(-2,2)B.(- ∞,-2) ∪ (2,+ ∞ )C.[-2,2]D.(- ∞,-2] ∪ [2,+ ∞ )答案 C27.(2017 天津文 ,1,5 分 ) 设会合 A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}, 则(A ∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}答案 B28.(2017 山东文 ,1,5 分 ) 设会合 M={x||x-1|<1},N={x|x<2}, 则 M∩N=( )A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)答案 C29.(2013 浙江文 ,1,5 分 ) 设会合 S={x|x>-2},T={x|-4 ≤ x≤ 1}, 则 S∩ T=( )A.[-4,+ ∞ )B.(-2,+ ∞ )C.[-4,1]D.(-2,1]答案 D30.(2016 北京 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3}, 则 A∩ B=( )A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案 C31.(2015山东,1,5分)已知会合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩ B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案 C32.(2014四川,1,5分)已知会合A={x|x 2-x-2 ≤ 0}, 会合 B 为整数集 , 则 A∩ B=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}答案 A33.(2014陕西,1,5分)设会合M={x|x≥ 0,x∈ R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)答案 B34.(2016课标全国Ⅰ ,1,5分)设会合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩ B=()A. B.C. D.答案 D35.(2015 广东 ,1,5 分 ) 若会合 M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0}, 则 M∩ N=( ) A.{1,4} B.{-1,-4}C.{0}D. ?答案 D2-3x+236.(2014 课标Ⅱ ,1,5 分 ) 设会合 M={0,1,2},N={x|x ≤0}, 则 M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案 D37.(2014广东,1,5分)已知会合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪ N=()A.{0,1}B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}答案 C纲领全国 ,2,5 分 ) 设会合 M={x|x 2-3x-4<0},N={x|038.(2014 ≤ x≤ 5}, 则 M∩ N=( )A.(0,4]B.[0,4)C.[-1,0)D.(-1,0]答案 B39.(2013 天津 ,1,5 分 ) 已知会合 A={x ∈ R||x| ≤ 2},B={x ∈ R|x ≤ 1}, 则 A∩ B=( )A.(- ∞ ,2]B.[1,2]C.[-2,2]D.[-2,1]答案 D2<4,x ∈ R},N={-1,0,1,2,3},40.(2013 课标全国Ⅱ ,1,5 分) 已知会合 M={x|(x-1) 则 M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}答案 A41.(2014 江苏 ,1,5 分 ) 已知会合 A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3}, 则 A∩B= .答案 {-1,3}42.(2014 重庆 ,11,5 分 ) 设全集 U={n ∈N|1 ≤ n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9}, 则( ?U A) ∩B= .答案{7,9}三年模拟A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一会合及其关系1.(2018浙江杭州地域要点中学第一学期期中,2) 已知会合 {x|mx 2-2x+1=0}={n},则m+n=()A.0 或 1B.C.2D.或2答案 D2.(2017浙江镇海中学模拟( 六 ),1) 已知会合A={x|x 2+x=0,x ∈R}, 则知足 A∪ B={0,-1,1}的会合B的个数是()A.2B.3C.4D.8答案 C3.(2016浙江名校(柯桥中学)沟通卷四,1)已知会合A={-1,0,1,2},会合B={x∈ Z||x|≤ a},则知足A? B的实数 a 的一个值为 ()A.0B.1C.2D.答案 C4.(2016 浙江名校 ( 衢州二中 ) 沟通卷五 ,9) 设非空会合A={x|m-1 ≤ x≤ 2m+1,m∈R},B={x|-4≤ x≤ 2},若m=2, 则 A∩ B=; 若 A? A∩B, 则 m的取值范围是.答案[1,2];考点二会合的运算5.(2018浙江镇海中学期中,1) 若会合 M=,N={x|x<1},则M∪ N=()A.(0,1)B.(0,2)C.(- ∞ ,2)D.(0,+ ∞ )答案 C6.(2018 浙江 9+1 高中结盟期中 ,1) 已知会合 P={x|x>0},Q={x|-1<x<1}, 那么 ( ?R P) ∩ Q=()A.(-1,+ ∞ )B.(0,1)C.(-1,0]D.(-1,1) 答案 C7.(2018 浙江浙东北结盟期中 ,1) 已知会合 a若 A ∩B= , 则 A ∪B=( )A={1,2 },B={a,b}, A. B. C. D.答案 D28.(2017 浙江杭州二模 (4 月 ),1) 设 U={-1,0,1,2},会合 A={x|x U )<1,x ∈U}, 则? A=(A.{0,1,2}B.{-1,1,2}C.{-1,0,2}D.{-1,0,1} 答案 B9.(2017 浙江温州十校期末联考 ,1) 已知会合 P={x|y= },Q={x|y=ln(x+1)}, 则 P ∩Q=()A.{x|-1 ≤ x ≤ 2}B.{x|-1 ≤ x<2}C.{x|-1<x ≤ 2}D.{x|-1<x<2}答案 CB 组 2016— 2018 年模拟·提高题组一、选择题1.(2018 浙江温州适应性测试,1) 已知会合 A={x|x 2-3x+2<0},B={x|x ≥1}, 则 A ∩ B=( )A.(1,2)B.(2,+∞ )C.(1,+ ∞ )D.? 答案 Ax>1}, 则 A ∩ ( ?R B)=(2.(2018 浙江萧山九中 12 月月考 ,2) 已知 A={x|-2<x<1},B={x|2 )A.(-2,1)B.(- ∞,1)C.(0,1)D.(-2,0] 答案 D3.(2018 浙江“七彩阳光” 结盟期中 ,2) 已知会合 M= ,N={x|y=lg(-x2+2x+3)}, 则 M ∩N=()A.{x|0<x<3}B.{x|-1<x<3}C.{x|0<x<4}D.{x|-1<x<4}答案 A,1) 已知会合 M={x|x 2-x-2 ≤ 0},N={y|y=3x 2+1}, 则 M ∩N=(4.(2018 浙江高考模拟训练冲刺卷一 )A. ?B.{x|1 ≤ x ≤ 2}C.{x|-1 ≤ x ≤ 2}D.{1} 答案 B x ≥ 1}, 则 M ∩ N=(5.(2017 浙江高考模拟训练冲刺卷一 ,1) 若会合 M={x||x| ≤ 2},N={x|e )A.[0,+ ∞ )B.[0,2]C.[0,1]D.[1,2] 答案 B6.(2017 浙江测试卷 ,1) 已知会合 P={x|0 ≤ x ≤ 4,x ∈ R},Q={x||x|<3,x∈ R}, 则 P ∪ Q=()A.[3,4]B.(-3,4]C.(- ∞ ,4]D.(-3,+ ∞ )答案 B已知全集 U=R,会合 A={x|x 2≥ 3},B={x|1<x<3},7.(2017 浙江“七彩阳光” 新高考研究结盟测试,1) 则 A ∪(?B)=()RA.RB.{x|x ≤ - 或 x ≥ }C.{x|x ≤ 1 或 x ≥ }D.{x|x ≤ - 或 x ≥ 3}答案 C8.(2017 浙江温州模拟 ,1) 设会合 A={x||x-2| ≤1},B={x|0<x ≤ 1}, 则 A∪ B=()A.(0,3]B.(0,1]C.(- ∞ ,3]D.{1}答案 A,10) 若会合 A={(m,n)|(m+1)+(m+2)+ , +(m+n)=10 2015,m∈ N,n ∈ N* }, 则会合 A 9.(2017 浙江名校协作体测试中的元素个数是 ()A.2016B.2017C.2018D.2019答案 A二、填空题10.(2017 浙江温州十校期末联考,16) 设有序会合对 (A,B) 知足 :A ∪B={1,2,3,4,5,6,7,8},A ∩B=? , 记card(A),card(B) 分别表示会合A,B 的元素个数 , 则切合条件 card(A) ?A,card(B) ?B 的会合对 (A,B) 的对数是.答案44C 组 2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1 会合的观点和基本关系的解题策略1. 设会合 A={x|x 2+4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}, 若 B? A, 则实数 a 的取值范围是.答案a≤ -1 或 a=12. 已知会合 A= , 试用列举法表示会合 A.分析由题意知6-x 是 8 的正约数 , 当 6-x=1 时 ,x=5; 当 6-x=2 时 ,x=4; 当 6-x=4 时 ,x=2; 当 6-x=8 时 ,x=-2, 而 x≥ 0, ∴x=2,4,5, 即 A={2,4,5}.方法 2 会合的基本运算的解题策略3.设I 为全集 ,S 1、 S2、 S3是 I 的三个非空子集 , 且 S1∪ S2∪ S3=I, 则以下结论正确的选项是( )A.( ?I S1) ∩ (S 2∪ S3)= ?B.S1? [( ?I S2) ∩ ( ?I S3)]C.( ? S)∩(? S)∩(? S)=?I 1 I 2 I 3D.S1? [( ?I S2) ∪ ( ?I S3)]答案 C方法 3 与会合相关的新观点问题的解题策略4.(2016 浙江诸暨质量检测(5 月卷 ),8) 设 A1,A 2,A 3, , ,A n是会合 {1,2,3, , ,n} 的 n 个非空子集 (n ≥ 2). 定义a ij = 此中 i,j=1,2, , ,n, 这样获得的 n2个数之和记为 S(A1,A 2,A 3, , ,A n), 简记为 S. 以下三种说法 :① S 与 n 的奇偶性同样 ; ② S是 n 的倍数 ; ③ S 的最小值为 n, 最大值为 n2. 此中正确的选项是 ( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ③答案 B5.(2016 浙江五校第一次联考 ,12) 若三个非零且互不相等的实数a,b,c 知足 + = , 则称 a,b,c 是调解的 ; 若知足 a+c=2b, 则称 a,b,c 是等差的 . 若会合 P中元素 a,b,c 既是调解的 , 又是等差的 , 则称会合 P 为“好集”, 若会合 M={x||x| ≤ 2014,x ∈Z}, 会合 P={a,b,c} ? M,则“好集” P 中的元素最大值为, “好集” P 的个数为.答案2012;1006。

第01节 集合的概念及其基本运算【考纲解读】【知识清单】1．元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集及其符号表示对点练习：【2018课标II 理2】已知集合(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z ，则中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．4 【答案】A【考点】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别． 2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为个，真子集个数为21n -． 对点练习：【2018山东实验中学二模】若集合， 则下列结论中正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合B ，然后逐一考查所给选项是否正确即可． 详解：求解二次不等式可得：，则．据此可知：，选项A 错误；，选项B 错误；且集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误．本题选择C 选项．【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 3．集合的运算（1）三种基本运算的概念及表示（2）三种运算的常见性质A A A =， A ∅=∅， AB B A =， A A A =， A A ∅=， A B B A =．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆，A B A B A =⇔⊆，()U U U C A B C A C B =，()U U U C AB C A C B =．对点练习：【2018课标III 理1】已知集合{}10A x x =-≥，{}012B =,,，则A B =（ ） A ．B ．C ．{}12,D ．{}012,,【答案】C【解析】试题分析：由题意先解出集合A ，进而得到结果． 试题解析：由集合A 得{}1,12x A B ≥∴=,，故选C ． 【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题． 【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【重点难点突破】考点1 集合的概念【1-1】【2018山西高三一模】已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则（ ） A ．0 B ．-4 C ．-4或1 D ．-4或0 【答案】D【解析】由于只有一个元素，故判别式为零，即()222440,0,4a a a a a +-=+===-，故选D ．【1-2】【2018豫南九校联考一】已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D ． 【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】【变式一】【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】已知集合，若，则非零实数的数值是_________．【答案】 【解析】由题，若则此时B 集合不符合元素互异性，故若则符合题意；若则不符合题意．故答案为2．【变式二】【2018江西二模】设集合，，，则中的元素个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可．详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：观察可得：，据此可知中的元素个数为．本题选择C选项．【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．考点2 集合间的基本关系【2-1】【2018福建莆田模拟】已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇．【2-2】【2018安徽江南十校二模】设集合，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由指数函数与对数函数的性质求出集合A 、B ，再验证各选择支结论是否成立． 详解：由题意，，∴，只有C 正确．故选C ．【名师点睛】集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合．本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键．【2-3】【2018豫南九校联考二】已知集合{|12}A x k x k =+≤≤，{|14}B x x =≤≤，则能使A B A =成立的实数的取值范围是__________．【答案】(],2-∞【领悟技法】1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【触类旁通】【变式1】设集合10{|}P m m <<＝－，24{4|0Q m mx mx <＝＋－对任意实数x 恒成立，且}m R ∈，则下列关系中成立的是( )A ．P Q ⊂≠B ．Q P ⊂≠C ．P Q ＝D ．PQ ∅＝【答案】A【解析】10{|}P m m <<＝－，20,:16160,m Q m m <⎧⎨∆=+<⎩或0m ＝．∴10m <≤－．∴10{|}Q m m <≤＝－．∴P Q ⊂≠．【变式2】已知集合,44k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,84k N x x k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则( )A ．M N =∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M N N =【答案】B【解析】(22)2,,8484k n M x x k Z x x k Z ππππ⎧+⎫⎧⎫==-∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，284k N x x ππ⎧==-⎨⎩或(21),84k k Z ππ-⎫-∈⎬⎭，所以M N ⊆． 考点3 集合的基本运算本考点是高考的热点，主要有以下两个命题角度： 命题角度一 集合的交、并、补运算 【3-1】【2018河南郑州调研】设集合，，则的真子集的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】C【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合． 命题角度二 利用集合的运算求参数值或取值范围【3-2】【2017课标II 】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C ．【3-3】已知集合27{|}A x x =-≤≤，121{|}B x m x m =+<<- ，且B ≠∅，若A B A =，则实数的取值范围是( )A ．34m -≤≤B ．34m -<<C ．24m <<D ．24m <≤ 【答案】D【解析】由于A B A =，所以B A ⊆，又因为B ≠，所以有12,217,121,m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩解得24m <≤，故选D ． 【领悟技法】1．集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用．2．涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． 【触类旁通】【变式一】【2018河南洛阳三模】设集合，，则的子集个数为（）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】C【解析】分析：求出集合A ，B ，得到，可求的子集个数．详解：，的子集个数为故选C ．【名师点睛】本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题． 【变式2】【2018福建三明二模】设全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合．【易混易错】易错典例1：设集合{|}1||A x x a x R <∈＝－，，1{}5|B x x x R <<∈＝，，若A B ⊂≠，则的取值范围为________． 易错分析：忽视端点．正确解析：由||1x a <－得11x a <<－－，∴11a x a <<－＋，由A B ⊂≠得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴24a <<．又当2a ＝时，{}13|x x <<＝满足A B ⊂≠，4a ＝时，{}35|A x x <<＝也满足A B ⊂≠，∴24a ≤≤．温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．易错典例2：设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A =，则实数的取值范围是_______．易错分析：遗忘空集． 正确解析：由AB A =⇔A B ⊆，所以当A =∅时，满足A B ⊆，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A ≠∅即0a >时，{}|,0A x a a =<>，由A B ⊆可知204a ≤⇒<≤，综上可知实数的取值范围是4a ≤．温馨提示：在A B AB B A B A A B ⊆===∅,,,中容易忽视集合A ≠∅这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．【学科素养提升之思想方法篇】 化抽象为具体——数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：（1）利用Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系． （2）利用Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．（3）借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．【典例】已知集合{}23A x x =∈+<R ，集合()(){}20B x x m x =∈--<R ，且()1,A B n =-，则m =________，________．【答案】 1【解析】 由题意，知{}51A x x =-<<．()1,A B n =-，()(){}20B x x m x =∈--<R ，结合数轴（如图），得1,1m n =-=．。

第一章集合与常用逻辑用语命题探究§1.1集合的概念及运算考纲解读分析解读 1.理解、掌握集合的表示方法,能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系.2.能够正确处理含有字母的讨论问题,掌握集合的交、并、补运算和性质.3.要求具备数形结合的思想意识,会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题.4.命题以集合的运算为主,其中基本知识和基本技能是高考的热点.5.本节在高考中分值为5分左右,属于中低档题.五年高考考点一集合的含义与表示1.(2017课标全国Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案C2.(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案C3.(2013山东,2,5分)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9答案C4.(2017江苏,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为. 答案1考点二集合间的基本关系1.(2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案D2.(2013江苏,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8考点三集合的基本运算1.(2017课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀答案A2.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0答案B3.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案B4.(2016课标全国Ⅰ,1,5分)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()A. B. C. D.答案D5.(2016课标全国Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案C6.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案D7.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案A教师用书专用(8—24)8.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案A9.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)答案A10.(2017山东,1,5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D11.(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)答案D12.(2016北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案C13.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案B14.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案C15.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案A16.(2015天津,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B=()A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案A17.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于()A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.⌀答案C18.(2015四川,1,5分)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案A19.(2015广东,1,5分)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N=()A.{1,4}B.{-1,-4}C.{0}D.⌀答案D20.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案D21.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案D22.(2014浙江,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.⌀B.{2}C.{5}D.{2,5}答案B23.(2015江苏,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.答案524.(2016江苏,1,5分)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.答案{-1,2}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一集合的含义与表示1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B=()A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案D2.(2017河北冀州第二次阶段考试,1)若集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则集合B=中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4答案D考点二集合间的基本关系3.(2018四川成都龙泉一中月考,2)已知集合A=,B={x|ax+1=0},且B⊆A,则a的取值组成的集合为()A.{-3,2}B.{-3,0,2}C.{3,-2}D.{3,0,-2}答案D4.(2017河南南阳、信阳等六市一模,1)已知集合A={(x,y)|y-=0},B={(x,y)|x2+y2=1},C=A∩B,则C的子集的个数是()A.0B.1C.2D.4答案C考点三集合的基本运算5.(2018豫南豫北第二次联考,1)已知集合A={y|y=2x},B={x|y=},则A∩B=()A.{y|y>1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0}答案B6.(2018江西重点中学第一次联考,1)已知集合M=,则∁R M=()A.{x|-1<x<1}B.{x|-1<x≤1}C.{x|x<-1或x≥1}D.{x|x≤-1或x≥1}答案C7.(2017广东惠州第三次调研,1)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{0,1,2}B.{0,1}C.{1,2}D.{1}答案D8.(2017河南濮阳第二次检测,13)已知集合A={-1,a},B={3a,b},若A∪B={-1,0,1},则a=.答案0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018广东茂名化州二模,1)若集合A={0,1},B={y|y=2x,x∈A},则(∁R A)∩B=()A.{0}B.{2}C.{2,4}D.{0,1,2}答案B2.(2018吉林榆树第一高级中学第三次模拟,1)设全集U={1,3,5,6,9},A={3,6,9},则图中阴影部分表示的集合是()A.{1,3,5}B.{1,5,6}C.{6,9}D.{1,5}答案D3.(2018四川南充一诊,2)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=1},则A∩B中的元素有()A.1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上答案C4.(2017湖南永州二模,2)已知集合P={x|-1≤x≤1},M={a},若P∩M=⌀,则a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案D5.(2017河北唐山摸底,1)已知集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},则满足条件的集合A的个数为()A.2B.4C.8D.16答案B6.(2016江西南昌十所省重点中学二模,2)设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是()A.1B.2C.3D.4答案A二、填空题(共5分)7.(2017江西九江地区七校联考,14)设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知M={y|y=-x2+2x,0<x<2},N={y|y=2x-1,x>0},则M⊗N=.答案∪(1,+∞)C组2016—2018年模拟·方法题组方法1与集合元素有关问题的解题方略1.(2016湖南衡阳八中一模,1)已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则集合B的子集个数为()A.3B.4C.7D.8答案D方法2集合间的基本关系的解题方法2.(2017河北衡水中学七调,1)已知集合A={x|log2x<1},B={x|0<x<c},若A∪B=B,则c的取值范围是()A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,2]D.[2,+∞)答案D3.(2018河北衡水中学模拟,13)已知含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2017+b2017等于.答案-1方法3集合的基本运算的解题方法4.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},那么a的取值为()A.a=B.a≤C.a=-D.a≥答案C5.(人教A必1,一,1-1A,7,变式)设全集U={x∈N|x≤8},集合A={1,3,7},B={2,3,8},则(∁U A)∩(∁U B)=()A.{1,2,7,8}B.{4,5,6}C.{0,4,5,6}D.{0,3,4,5,6}答案C方法4求解集合新定义问题的技巧6.(2018陕西西安长安质检,2)若x∈A,且∈A,则称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A.31B.7C.3D.1答案B7.(2017湖北武昌一模,1)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=()A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案D。

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算1．元素与集合(1)集合元素的特性：__确定性__、__互异性__、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作__a∈A__；若b不属于集合A，记作__b ∉A__.(3)集合的表示方法：__列举法__、__描述法___、图示法．(4)常见数集及其符号表示2．集合间的基本关系3．集合的基本运算(1)三种基本运算的概念及表示图A∪B＝A∩B＝(2)三种运算的常见性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝__A__，A∩∅＝__∅__.③A∪A＝__A__，A∪∅＝__A__.④A∩∁U A＝__∅__，A∪∁U A＝__U__，∁U(∁U A)＝__A__.⑤A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)集合{x 2＋x,0}中，实数x 可取任意值．( × ) (2)任何集合都至少有两个子集．( × )(3)集合{x |y ＝x －1}与集合{y |y ＝x －1}是同一个集合．( × ) (4)若A ＝{0,1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1}，则A ⊆B .( × )解析 (1)错误．由元素的互异性知x 2＋x ≠0，即x ≠0且x ≠－1． (2)错误．∅只有一个子集．(3)错误．{x |y ＝x －1}＝{x |x ≥1}，{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}． (4)错误．集合A 是数集，集合B 是点集．2．(2017·浙江卷)已知集合P ＝{x |－1<x <1}，Q ＝{x |0<x <2}，那么P ∪Q ＝( A ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( A ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅解析 集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}， ∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A ．4．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( B )A ．3B ．2C ．1D ．0解析联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝22，y ＝22或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－22，则A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，有2个元素． 5．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，则∁R (A ∪B )＝__{x |x ≤2或x ≥10}__. 解析 ∵A ∪B ＝{x |2<x <10}，∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2或x ≥10}．一 集合的基本概念集合元素性质的应用警示(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( C ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D ) A ．92B ．98C ．0D ．0或98解析 (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B 中有5个元素．(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.二 集合的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【例2】 (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( C ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为__(－∞，3]__.解析 (1)因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C ．(2)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．三 集合的基本运算集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到等号的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解． 【例3】 (1)(2018·广东汕头期末)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( C )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤12，1 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1 D ．⎝⎛⎦⎤－12，0 (2)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}(3)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( B ) A ．0或3 B ．0或3 C ．1或3D ．1或3解析 (1)因为A ＝{x |y ＝ln (1－2x )}＝{x |1－2x >0}＝⎝⎛⎭⎫－∞，12，B ＝{x |x (x －1)≤0}＝[0,1]，所以U ＝A ∪B ＝(－∞，1]，又A ∩B ＝⎣⎡⎭⎫0，12，所以∁U (A ∩B )＝(－∞，0)∪⎣⎡⎦⎤12，1，故选C ．(2)∵2x (x－2)<1，∴x (x －2)<0，∴0<x <2，即A ＝{x |0<x <2}．又∵y ＝ln (1－x )， ∴1－x >0，∴x <1，即B ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}． 图中阴影部分表示∁A (A ∩B )， ∴∁A (A ∩B )＝{x |1≤x <2}，故选B ． (3)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴m ∈A ，∴m ＝3或m ＝m ，解得m ＝0或3，故选B ．四集合中的创新题集合定义新情景的解决方法解决集合的新情景问题，应从以下两点入手：(1)正确理解创新定义，这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质是破解新定义型集合问题的关键，在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．【例4】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y ∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(C)A．77B．49C．45D．30解析A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(－1，0)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(0，－1)}，B ＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1，0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点．当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1,0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点．故A⊕B共有2×5＋5×7＝45(个)元素．1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(C)A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3}D．{1,5}解析因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故选C．2．(2017·北京卷)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(A) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}，故选A．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为(D)A ．1B ．2C ．3D ．4解析 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∵A ⊆C ⊆B ，∴满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个，故选D ．4．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝__{0}∪[2，＋∞)__.解析 A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}， 则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)．易错点1 不注意检验集合元素的互异性错因分析：对于含字母参数的集合，根据条件求出字母的值后，容易忽略检验是否满足集合元素的互异性及其他条件．【例1】 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，求实数a 的值．解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a 2＋5a ，12，6a －1，且－3∈A ，∴①当2a 2＋5a ＝－3时，2a 2＋5a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－32，其中a ＝－1时，2a 2＋5a ＝6a －1＝－3，与集合元素的互异性矛盾，舍去； a ＝－32时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，12，－125满足题意．②当6a －1＝－3时，a ＝－1，由①知应舍去．综上，a 的值为－32.【跟踪训练1】 已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B .解析 由A ∩B ＝{－3}知，－3∈B .又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B (－3，－2,1)， A ∩B ＝(1，－3)，故a ＝0舍去． ②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝(－4，－3,2)，满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}．易错点2 忽略空集错因分析：空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B 是空集的情形：①B ⊆A ；②B A (A 非空)；③B ∩A ＝B ；④B ∪A ＝A .【例2】 设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________.解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1． 综上所述，所求实数a 的取值范围是{a |a ≤－1或a ＝1}． 答案 (－∞，－1]∪{1}【跟踪训练2】 (2018·江西临川一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值集合． 解析 (1)∵3≤32≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3， ∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，当C 为空集时，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1<a ≤3. 综上所述，a ≤3.课时达标 第1讲[解密考纲]本考点考查集合中元素的性质、集合之间的关系、集合的运算(一般以不等式、函数、方程为载体)，一般以选择题、填空题的形式呈现，排在靠前的位置，题目难度不大．一、选择题1．(2018·河南郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( A )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A ．2．(2017·天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( B )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}，(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选B ． 3．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( A ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析 ∵M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0<x ≤1}， ∴M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}，故选A ．4．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( A ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析 由题知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C ．5．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( C )A ．5B ．4C ．3D ．2解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3，故集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }＝{－1,1,3}中的元素个数为3，故选C ．6．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由题意可知a 1，a 2∈M 且a 3∉M ，所以M ＝{a 1，a 2}或M ＝{a 1，a 2，a 4}．故选B ． 二、填空题7．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <12，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝ ⎣⎡⎭⎫0，12 . 解析 因为N ＝[0,1]，所以M ∩N ＝⎣⎡⎭⎫0，12. 8．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝__1__.解析 由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1．9．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6<0}，B ＝{x |y ＝lg (x －a )}，且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__(－∞，－3]__.解析 因为A ＝(－3,2)，B ＝(a ，＋∞)，A ⊆B ，所以a ≤－3. 三、解答题10．(2018·湖北武汉模拟)设集合A ＝{x |x 2－x －6<0}，B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x <3}成立？若存在，求出a 的值及对应的A ∪B ；若不存在，说明理由．解析 A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≥a }． (1)如图，若A ∩B ＝∅，则a ≥3，所以a 的取值范围是[3，＋∞)．(2)存在，如图，a ＝0时，A ∩B ＝{x |0≤x <3}， 此时A ∪B ＝{x |x >－2}．11．已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解析 (1)m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．①当B ＝∅，即m ≥1＋3m 时，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A .②当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <1＋3m ，1＋3m ≤－1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． 12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x －1<8，C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}(m ∈R )．(1)求A ∪B ；(2)若(A ∪B )⊆C ，求实数m 的取值范围．解析 (1)A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧x |12<2x －1<8＝{x |0＜x <4}，则A ∪B ＝(－1,4)． (2)C ＝{x |2x 2＋mx －m 2<0}＝{x |(2x －m )(x ＋m )<0}．①当m >0时，C ＝⎝⎛⎭⎫－m ，m 2， 由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≤－1，m 2≥4，解得m ≥8； ②当m ＝0时，C ＝∅，不合题意；③当m <0时，C ＝⎝⎛⎭⎫m 2，－m ，由(A ∪B )⊆C 得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥4，m 2≤－1解得m ≤－4；综上所述，m ∈(－∞，－4]∪[8，＋∞)．。