高考达标检测(二十三) 等差数列的3考点——求项、求和和判定

新高考数学（理）数列03 等差数列（等差数列的和与性质）一、具体目标：等差数列 （1） 理解等差数列的概念.（2） 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题. 二、知识概述： 一）等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；()d m n a a m n-+=.说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 4.等差数列的前和的求和公式：. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+【考点讲解】它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 二）方法规律：1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+； 四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++. 这对已知和,求数列各项,运算很方便.4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式：若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ， 公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 三）等差数列的性质： 1.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 四）方法规律：1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和 灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 五）等差数列的和1. 等差数列的前n 项和公式{}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶{}n a若已知首项1a 和末项n a ，则1()2n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+. 2．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．六）求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =L 依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- n a n a 【真题分析】【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【答案】A2.【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ． 【答案】B3.【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．8【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【答案】A4.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【答案】C5.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 【答案】1006.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【答案】47.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n的最小值为___________．【解析】法一：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.法二：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,可得()()22224n a a n d n n =+-=-+-=-，()()()12818222n n a a n n n S n n +-===-，所以结合题意可知，n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【答案】 0，10-.8.【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________．【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【答案】169.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。

高中数学数列的求和公式及相关题目解析在高中数学中，数列是一个非常重要的概念，它是数学中的一种序列，由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的求和是数学中常见的问题之一，本文将介绍数列的求和公式及相关题目解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、等差数列的求和公式及相关题目解析1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

对于等差数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中，n为项数，a1为首项，d为公差。

2. 题目解析例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求前10项的和。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=3，d=4，n=10，可以得到：S10 = (10/2)[2*3 + (10-1)*4] = 5[6 + 9*4] = 5[6 + 36] = 5*42 = 210因此，前10项的和为210。

例题2：已知等差数列的首项为-2，公差为5，前n项和为100，求n的值。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=-2，d=5，Sn=100，可以得到：100 = (n/2)[2*(-2) + (n-1)*5] = (n/2)[-4 + 5n - 5] = (n/2)(5n - 9)化简得到5n^2 - 9n - 200 = 0，解这个二次方程可以得到n≈13.2或n≈-3.8。

由于n必须是正整数，所以n≈13.2不符合题意。

因此，n≈-3.8也不符合题意。

综上所述，n的值为13。

二、等比数列的求和公式及相关题目解析1. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

对于等比数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则等比数列的求和公式为：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)其中，n为项数，a1为首项，r为公比。

等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。

其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。

本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。

一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。

通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。

二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。

这种方法适用于数列项数较多的情况。

2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。

这种方法适用于数列项数较少的情况。

三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。

考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。

根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。

因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。

考点21等差数列及其前n 项和【命题趋势】等差数列是高考考查的重点，是必考点，常考查等差数列的基本量的计算，必须熟练掌握.（1）理解等差数列的概念.（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.（3）了解等差数列与一次函数的关系.【重要考向】一、等差数列的判定与证明二、等差数列中基本量的求解三、求解等差数列的通项及前n 项和四、等差数列的性质的应用等差数列的判定与证明由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可得1()n a dn a d =+-．令p d =，1q a d =-，则n a pn q =+，其中p ，q 为常数．（1）当0p ≠时，(,)n n a 在一次函数y px q =+的图象上，数列{}n a 的图象是直线y px q =+上均匀分布的一群孤立的点，且当0d >时数列{}n a 为递增数列，当0d <时数列{}n a 为递减数列．（2）当0p =时，n a q =，等差数列为常数列，数列{}n a 的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均匀分布的一群孤立的点．【巧学妙记】1.已知数列{}n a 中，12a =，122nn n a a +=++，证明数列{}2nn a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；【答案】22(1)nn a n =+-因为()()11222n n n n a a++---=，且1120a -=，所以数列{}2n n a -为首项为0，公差为2的等差数列.所以202(1)nn a n -=+-，即22(1)nn a n =+-.2.在正项数列{}n a 中，已知11121n n n na a a a a ++=-=+,且22n n a b =-.证明：数列{}n b 是等差数列；【答案】证明见解析【解析】∵112n n n na a a a ++-=+∴2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 是公差为2的等差数列.∵11a =∴()2211121n a a n ==+-，，∴221n a n =-，∴22n n a b =-，∴22n n b a =+，∴21n b n =+，∴()123211n n b b n n +-=+-+=，∴数列{}n b 是等差数列.3.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，(,1)n a S = ，1(1,22)n n b a +=-+ ，a b ⊥ .求证：{}2n n a 为等差数列；【解析】证明： a b ⊥ ，∴1220n n n a b S a +⋅=-++= ，可得：122n n n S a +=+，1n =时，14a =-．2n 时，11122(22)n n n n n n n a S S a a +--=-=+-+，122n n n a a -∴-=-，可得11122n n n n a a ---=-．∴{}2nn a 为等差数列，公差为1-，首项为2-．等差数列中基本量的求解1．等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即1n n a a d +-=，d 为常数．2．等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=．3．等差数列的通项公式及其变形以1a 为首项，d 为公差的等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-．公式的变形：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ．【巧学妙记】4.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于()A ．－12B ．－10C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得33a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 9＝27，则a 20等于()A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】B【解析】由等差数列的前n 项和公式可知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3，又由d ＝a 7－a 57－5＝5－32＝1，所以由等差数列的通项公式可得a 20＝a 5＋15d ＝3＋15×1＝18，故选B.6.若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于()A ．－2B ．－12C.12D ．2【答案】B【解析】由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，则a 1＝1.又由a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，解得d ＝－12.故选B.求解等差数列的通项及前n 项和1．等差数列的前n 项和首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)==22n n n a a n n S na d +-+．令2d p =，12d q a =-，可得2n S pn qn =+，我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n 项和的相关问题．2．用前n 项和公式法判定等差数列等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，那么当且仅当0c =时，数列{}n a 是以a b +为首项，2a 为公差的等差数列；当0c ≠时，数列{}n a 不是等差数列．【巧学妙记】7.在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【解析】n ＝a 1＋(n －1)d ，n ＝na 1＋n (n －1)2d ，1＋2(n －1)＝11，1＋n (n －1)2×2＝35，＝5，1＝3＝7，1＝－1.8.在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．【解析】方法一∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12，d ＝2.∴a 1<a 2<…<a 6<a 7＝0<a 8<a 9<….∴当n ＝6或n ＝7时，S n 取到最小值．易求S 6＝S 7＝－42，∴(S n )min ＝－42.方法二∵a n ＝2n －14，∴a 1＝－12.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－13n －1694.∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最小，且(S n )min ＝－42.9.若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .【解析】∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2)＝56＋2n 2－15n .∴T n n －2n 2，n ≤4，n ∈N *，n 2－15n ＋56，n ≥5，n ∈N *.等差数列的性质的应用1．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ．（2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ．特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*N ；②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*N ．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=L L （3）下标成等差数列的项2,,,k k m k m a a a ++L 组成以md 为公差的等差数列．（4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列．（6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=．2．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质：设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，（1）数列{}n S n 是等差数列，首项为1a ，公差为12d ．（2）232(1),,,,,k k k k k mk m k S S S S S S S ----L L 构成公差为2k d 的等差数列．（3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，1nn S a S a +=奇偶．（4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，(,1n S nS na S n ==-奇奇偶(1))n S n a =-偶．（5）2121n n n n S a T b --=，21212121m mn nS a m T n b ---=⋅-．【巧学妙记】10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于()A ．35B ．42C ．49D ．63【答案】B【解析】在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7,14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.11.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2018，S 20192019－S20132013＝6，则S 2020＝.【答案】2020【解析】设其公差为d ，则S 20192019－S 20132013＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 20202020＝S11＋2019d ＝－2018＋2019＝1，∴S 2020＝1×2020＝2020.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=。

等差数列及其前n 项和【考点梳理】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －d 2＝n a 1＋a n2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 【考点突破】考点一、等差数列的基本运算【例1】(1)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A ．172B ．192C ．10D ．12(2)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8[答案] (1) B (2) C [解析] (1)∵公差为1， ∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，①6a 1＋15d ＝48，② 解得d ＝4. 【类题通法】1．等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法． 【对点训练】1．在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10C ．52D ．54[答案] C[解析] 由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×（10－1）2×12＝52.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. [答案] 30[解析] 法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，即S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.考点二、等差数列的判定与证明【例2】若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.[解析] (1)当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【类题通法】等差数列的证明方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 【对点训练】已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解析] (1)因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52， 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.考点三、等差数列的性质及应用【例3】(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 9＝16，则S 11＝( ) A ．88B ．48C ．96D ．176(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 [答案] (1) A (2) B [解析] (1)依题意得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11（a 3＋a 9）2＝11×162＝88.(2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列. 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45. 【类题通法】等差数列的常用性质和结论(1)在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a k.(2)在等差数列{a n}中，数列S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列.【对点训练】1．在等差数列{a n}中，a3＋a9＝27－a6，S n表示数列{a n}的前n项和，则S11＝( ) A．18 B．99C．198 D．297[答案] B[解析] 因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝10，S10＝30，则S15＝( )A．60 B．70C．90 D．40[答案] A[解析] 因为数列{a n}为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列，设S15＝x，则10，20，x－30成等差数列，所以2×20＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60.考点四、等差数列的性质及应用【例4】等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝13，S3＝S11，当S n最大时，n的值是( ) A．5 B．6 C．7 D．8[答案] C[解析] 法一由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时S n最大.法二由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故S n＝13n－n(n －1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时S n最大.【类题通法】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【对点训练】已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________. [答案] 110[解析] 因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.。

高考数学等差数列求和公式知识点总结
高考数学等差数列求和公式知识点总结
在平时的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点也可以通俗的'理解为重要的内容。

掌握知识点是我们提高成绩的关键！以下是店铺精心整理的高考数学等差数列求和公式知识点总结，仅供参考，大家一起来看看吧。

公式 Sn=（a1+an）n/2
Sn=na1+n（n—1）d/2；（d为公差）
Sn=An2+Bn；A=d/2，B=a1—（d/2）
和为 Sn
首项 a1
末项 an
公差d
项数n
通项
首项=2和项数—末项
末项=2和项数—首项
末项=首项+（项数—1）公差
项数=（末项—首项）（除以）/公差+1
公差=如：1+3+5+7+99 公差就是3—1
d=an—a
性质：
若m、n、p、qN
①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq
②若m+n=2q，则am+an=2aq
注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。

【高考数学等差数列求和公式知识点总结】。

等差数列求和公式及答题技巧1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。

2、Sn=na(n+1)/2n为奇数sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数3.如果等差数列中有奇数项，其和等于中项乘以项数；如果有偶数项，其和等于中间两项之和乘以项数的一半，即为项之和。

4、公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。

将求和公式代入即可。

当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。

等差数列求和解题技巧一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

等差数列的通项求和及性质7大题型【考点分析】考点一：等差数列的基本概念及公式①等差数列的定义：1－-=n n a a d （或者d a a n n =-+1）*()2，∈≥n N n ．②等差数列的通项公式：1(1)=+-n a a n d ，通项公式的推广：()d m n a a m n -+=③等差中项：若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有=2+a bA （A b a A -=-）．④等差数列的前n 项和公式：()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=d n n na a a n S n n 21211考点二：等差数列的性质①通项下标和性质：在等差数列{}n a 中，当+=+m n p q 时，则q p n m a a a a +=+．特别地，当t n m 2=+时，则t n m a a a 2=+．②等差数列通项的性质：()d a dn d n a a n -+=-+=111，所以当0≠d 时，等差数列的通项为关于n 的一次函数，即b kn a n +=．③等差数列前n 项和的常用性质：()n d a n d d n n a S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=2221121，所以当0≠d 时，等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数且没有常数项，即Bn An S n +=2因为n d a n d S n ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2212当0>d 时，开口向上，n S 有最小值；当0<d 时，开口向下，n S 有最大值；【题型目录】题型一：等差数列通项求和公式运用题型二：等差中项及性质问题题型三：等差数列前n 项和的性质题型四：等差数列前n 项和的最值题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题题型六：等差数列新文化试题题型七：对于含绝对值的数列求和问题【典型例题】题型一：等差数列通项求和公式运用【例1】（2022·江西省万载中学高一阶段练习（文））在数列{}n a 中，11a =，13n n a a +-=，若2020n a =，则n =（）A ．671B ．672C ．673D ．674【答案】D【分析】分析得到数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列，利用等差数列通项即得解.【详解】∵11a =，13n n a a +-=，∴13n n a a +-=∴数列{}n a 是以1为首项，3为公差的等差数列，∴()()111312020n a a n d n =+-=+-=，解得674n =.故选：D.【例2】（2022·全国·高三专题练习）数列{an }满足()1122n n n a a a n -+=+≥，且26a =-，66a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）A ．43S S <B ．43S S =C ．43S S >D ．41S S =【答案】B【分析】根据递推公式得到数列{}n a 是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出134,,S S S ，得到答案.【详解】数列{}n a 满足()1122n n n a a a n -+=+≥，则数列{}n a 是等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d .因为266,6a a =-=，所以6246612d a a =-=+=，即3d =.所以()632312n a n n =-+-=-，所以119S a ==-，396318S =---=-，4963018S =---+=-，所以41S S <，43S S =.故选：B【例3】（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k kk 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【解析】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D【例4】（2022·北京石景山·高二期末）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，已知211a =-，47a =-，则（）A ．n S 有最小值，n T 有最小值B ．n S 有最大值，n T 有最大值C ．n S 有最小值，n T 有最大值D ．n S 有最大值，n T 有最小值【答案】C【详解】依题意1111113,221537n a d a d a n a d +=-⎧⇒=-=⇒=-⎨+=-⎩，由0n a ≤解得152n ≤，*N n ∈，所以等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：7S 最小，无最大值.1234567813,11,9,7,5,3,1,1,a a a a a a a a =-=-=-=-=-=-=-=…123456713,143,1287,9009,45045,135135,135135,T T T T T T T =-==-==-==-…当8n ≥时：0n T <，且为递减数列，故n T 有最大值135135，没有最小值.故选：C【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}{},n n a b 均为等差数列，若1122333,7,13a b a b a b ===，则44a b =（）A ．19B ．21C ．23D ．27【答案】B【分析】设,n n a an b b cn d =+=+，得出2()n n a b acn bc ad n bd =+++，令n n n c a b =，可得1n n n d c c +=-构成一个等差数列，求得公差，即可求得4c 的值.【详解】由题意，设,n n a an b b cn d =+=+，则()()2()n n a b an b cn d acn bc ad n bd =++=+++，令n n n c a b =，可得12()n n n d c c acn ac ad bc +=-=+++构成一个等差数列，所以由已给出的113a b =227a b =，3313a b =，121734d c c =-=-=，2321376d c c =-=-=，所以4434138d c c c =-=-=解得：421c =，即4421a b =.故选：B【例6】（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若452a S +=，714S =，则10a =（）A ．18B ．16C ．14D ．12【例7】（2021·福建省华安县第一中学高三期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12m S -=-，0m S =，13m S +=，则m 等于（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【详解】{}n a 是等差数列，()102m m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-，又113m m m a S S ++=-=，∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选：D ．【题型专练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知等差数列{}n a 中，1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则10S =（）A ．115B ．110C ．110-D ．115-【答案】D【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则由734a a =得264(22)d d +=+，解得3d =-，101(1)10910102(3)11522n n S a d -⨯=+=⨯+⨯-=-．故选：D ．2．（2022全国高二专题练习）在等差数列{}n a 中，138a a +=，且2429a a a =⋅（1）求数列{}n a 的首项､公差；（2）设()()1218n n n a a b -+=，若13mm m bb b +++=，求正整数m 的值.【答案】（1）数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6.【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可；（2）由（1）求出数列{}n a 的通项，然后再求出n b ，再根据13m m m b b b +++=求出m .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，由已知可得：1121112284(3)()(8)0a d a a d a d a d d ⎧+==⎧⇒⎨⎨+=++=⎩⎩或113a d =⎧⎨=⎩，即数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3.（2）由（1）可知4n a =或13(1)32n a n n =+-=-不满足题意；3．（2022·山西吕梁·高二期末）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板．【答案】1458【详解】设第n 圈的石板为n a ，由条件可知数列{}n a 是等差数列，且上层的第一圈为19a =，且9d =，所以()21199222n n n S na d n n -=+=+，上层的石板数为9405S =，下层的石板数为27181863S S -=.所以下层比上层多186********-=块石板.故答案为：14584．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆O 的半径为5，4OP =，过点P 的n 条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为1a ，最长弦长为n a ，且公差2,13d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则n 的取值可能是（）A ．5B ．6C ．7D ．85．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 为递增数列，若22110101a a +=，5611a a +=，则数列{}n a 的公差d 的值为______．题型二：等差中项及性质问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知m 和2n 的等差中项是4，2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是（）A ．8B ．6C ．4.5D ．3【例2】（2022·辽宁·高三开学考试）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若67891020,a a a a a ++++=则15S =（）A ．150B ．120C ．75D ．60【答案】D【例3】（2022·全国·高三专题练习（理））数列{an }满足122n n n a a a ++=+，且4a ，4040a 是函数2()83f x x x =-+的两个零点，则2022a 的值为（）A ．4B ．－4C ．4040D ．－4040【答案】A【分析】由题设可得4a +4040a ＝8，根据已知条件易知{an }是等差数列，应用等差中项的性质求2022a .【详解】由4a ，4040a 是2()83f x x x =-+的两个零点，即4a ，4040a 是x 2－8x ＋3＝0的两个根，∴4a +4040a ＝8，又122n n n a a a ++=+，即数列{an }是等差数列，∴4a +4040a ＝20222a =8，故2022a ＝4.故选：A.【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，求项数n 的值．【例5】（2022·河南焦作·一模（文））设{}n a 和{}n b 都是等差数列，前n 项和分别为n S 和n T ，若17136a a a ++=，1391112b b b b +++=，则1311S T =（）A ．2633B ．23C ．1322D ．1311【答案】A【详解】由等差数列的性质可得1713736a a a a ++==，所以72a =；因为139********b b b b b b +++=+=，所以63b =．由等差数列的前n 项和公式可得()113137131322262a a a S ⨯==+=，()111611*********b b b T +⨯===，所以13112633S T =．故选：A【例6】（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列{}n a 满足()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且38132πa a a ++=，则()79cos a a +=（）A．B ．12-C ．12D ．2【题型专练】1．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知一个等差数列{}n a 的前四项和为21，末四项和为67，前n 项和为77，则项数n 的值为___________.【答案】7【分析】先利用等差数列的性质结合已知条件可求出1n a a +的值，再利用等差数列的求和公式列方程可求出项数n 的值.2.（2022·全国·高三专题练习）下列选项中，为“数列{}n a 是等差数列”的一个充分不必要条件的是（）A ．()1122n n n a a a n +-=+≥B ．()2112n n n a a a n +-=⋅≥C ．数列{}n a 的通项公式为23n a n =-D ．()2112n n n n a a a a n ++--=-≥【答案】C【分析】根据等差数列的中项性质以及通项公式，结合充分必要条件的概念逐项分析即可.【详解】对于A ：数列{}n a 是等差数列()1122n n n a n a a +-⇔=+≥，∴A 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个充要条件，故A 错误；对于B ：易知B 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ：∵23n a n =-，∴()121321n a n n +=+-=-，∴12n n a a +-=，∴数列{}n a 是等差数列，反之若{}n a 为等差数列，则1n n a a d +-=，此时d 不一定为2，所以必要性不成立，∴C 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个充分不必要条件，故C 正确；对于D ：若数列{}n a 是等差数列，则211n n n n a a a a ++--=-，∴211n n n n a a a a ++--=-成立，反之当11a =，22a =，34a =，45a =时，满足211n n n n a a a a ++--=-，但{}n a 不是等差数列，∴D 选项为“数列{}n a 是等差数列”的一个必要不充分条件，故D 错误．故选：C ．3．（2022·全国·高二单元测试）在等差数列{}n a 中，已知13518a a a ++=，42108n n n a a a --++=，420n S =，则n =______．4.（2022·浙江宁波·高一期末）设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且()()2023331202311a a -+-=，()()2023202020201202311a a -+-=-，则下列结论正确的是（）A ．2022320202022S a a =->，B ．2022320202022S a a =-<，C ．2022320202022S a a =>，D ．2022320202022S a a =<，【答案】C【详解】令函数2023()2023f x x x =+，R x ∈，2023()()2023()()f x x x f x -=-+-=-，则()f x 是R 上的单调递增的奇函数，由()()2023331202311a a -+-=得3(1)1f a -=，由()()2023202020201202311a a -+-=-得2020(1)1f a -=-，于是得32020(1)(1)f a f a -=-，且3202011a a ->-，即320202a a +=，且32020a a >，所以等差数列{}n a 前2022项1202232020202220222022202222a a a a S ++=⨯=⨯=，且32020a a >.故选：C5．（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1001a ，1020a 满足10011020OA a OB a OC =+，其中A 为OBC 边BC 上任意一点，则2020S =（）A ．2020B ．1020C ．1010D ．2【答案】C【详解】由题设知：10011021200201a a a a =+=+，而1202020202020()10102a a S ⨯+==.故选：C6．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知等差数列{}n a 中，2a 、8a 是221610x x --=的两根，则()2375a a a +-=（）A ．248B ．60C ．12D ．4题型三：等差数列前n 项和的性质【例1】（2022·广东·金山中学高三阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，621S =，则9S =（）．A ．27B ．45C ．18D ．36【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和的性质可得3S ，63S S -，96S S -成等差数列，从而可列方程可求出结果.【详解】由已知3S ，63S S -，96S S -，即6，15，921S -成等差数列，所以()9215621S ⨯=+-，所以945S =，故选：B ．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若20181-=a ，62013201920132019=-S S ，则2020S 等于（）A ．﹣4040B ．﹣2020C ．2020D ．4040【例3】（2022·全国·高二多选题）下列结论中正确的有（）A ．若{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列B ．若{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，则数列n S ，2n S ，3n S ， 也是等差数列C ．若等差数列{}n a 的项数为()21n n >，它的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇，则1S n Sn +=奇偶D ．若等差数列{}n a 的项数为()211n n +>，它的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇，则1S n S n+=奇偶【例4】（2023·全国·高三专题练习）两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且3n n T n =+，则220715a ab b ++等于（）A ．10724B ．724C ．14912D ．149【例5】（2021·江苏·高二单元测试）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为Sn 和Tn ，且n n T =3n ++，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010=S ，6020=S ，则40S 等于（）A ．110B ．150C ．210D ．280【答案】D【分析】根据在等差数列中，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等差数列即可得解.【详解】因为等差数列{an }的前n 项和为Sn ，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列．故(S 30－S 20)＋S 10＝2(S 20－S 10)，所以S 30＝150，又因为(S 20－S 10)＋(S 40－S 30)＝2(S 30－S 20)，所以S 40＝280.故选：D.2.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和．若20232023S =，且2021202001202120S S -=，则1a 等于（）A ．-2021B ．-2020C ．-2019D ．-20183.（2022·山西·忻州一中高三阶段练习）设等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别是,n n S T ，且75n n T n +=-，则39a ab +=__________.4.（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别是n S 和n T ，且21n n na b n =+，则1111S T =（）A ．1221B ．1123C ．613D ．1223【答案】C5.（2021·全国·高二单元测试）已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且,3n n T n =+若nn a b λ≥对任意的*n ∈N 恒成立，则实数λ的最大值为（）A ．52B ．0C ．-2D ．26.（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()()1723n n n S n T +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5题型四：等差数列前n 项和的最值【例1】（2022·四川省武胜烈面中学校高二开学考试（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且122a =，716S S =，则n S 取最大值时n 的值为（）A ．12B ．12或11C ．11或10D ．10【答案】B【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由122a =，716S S =可解出d 值为－2，从而可知数列{}n a 前11项为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以n S 取得最大值时n 的值可确定.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由716S S =，得1172116120a d a d +=+，即1110a d +=，又122a =，所以2d =-，所以()2221242n a n n =--=-，令0n a =，可得12n =，所以数列{}n a 满足：当11n ≤时，0n a >；当12n =时，0n a =；当13n ≥时，0n a <，所以n S 取得最大值时，n 的取值为11或12.【例2】（2022·四川乐山·高一期末）已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，若满足15160,0=<S S ，给出下列说法：①0d <；②80a =；③96S S >；④当且仅当7n =时，n S 取得最大值．其中正确说法的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】（2023·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n n S +的最小值为______．【例4】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若111210>>S S S ，则满足0n S >的最大的正整数n 的值为__________．【例5】（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则在11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的是（）A ．1S a B ．8S a C ．9S a D ．15S a 【题型专练】1.（2022·河北·石家庄二中高二期末多选题）等差数列{}n a 中，6778,S S S S <>，则下列命题中为真命题的是（）A ．公差0d <B ．96S S <C ．7a 是各项中最大的项D ．7S 是n S 中最大的值【答案】ABD【分析】由6778,S S S S <>得：780,0a a ><，进而再等差数列的性质逐个判断即可【详解】由6778,S S S S <>得：780,0a a ><，所以870d a a =-<，且各项中最大的项为1a ，故A 正确，C 错误；96987830S S a a a a -=++=<，所以96S S <，故B 正确；因为780,0a a ><，等差数列{}n a 递减，所以7S 最大，故D 正确；故选：ABD2．（2023·全国·高三专题练习）等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项3．（2022·四川眉山·高一期末（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3518a a +=-，972S =-，n S 取最小值时，n 的值为（）A ．11或12B ．12C ．13D ．12或13【答案】D【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令0n a ≤，求出n 的范围，从而可得出答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3518a a +=-，972S =-，则有11261893672a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1121a d =-⎧⎨=⎩，所以13n a n =-，令130n a n =-≤，则13n ≤，又130a =，所以当12n =或13时，n S 取最小值.故选：D.4．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））数列{}n a 是递增的整数数列，若12a ≥，12300n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A ．25B ．22C ．24D ．23【答案】D【分析】数列{}n a 是递增的整数数列，n 要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数，所以，可得{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.要取最大值，则递增幅度要尽可能为小的整数题型五：等差数列通项公共项及奇偶项和问题【例1】（2022·重庆市实验中学高二期末）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()1212n n n a a ++=-+，则1819a a =（）A ．3B ．113C ．213D ．219【答案】D【详解】当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 中的奇数项依次构成首项为1，公差为2的等差数列，所以，()191101219a =+-⨯=，当n 为偶数时，22n n a a ++=，则422n n a a +++=，两式相减得40n n a a +-=，所以，1844222a a a ⨯+===，故1819219a a =，故选：D.【例2】（2022全国高二单元测试）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在(]1,2021的整数中，把被4除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n a ，则数列{}n a 的项数为（）A ．101B ．100C ．99D ．98【答案】A【分析】将数列{}n a 中的项由小到大列举出来，可知数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得n a ，然后解不等式12021n a <≤，即可得解.【详解】由题意可知，数列{}n a 中的项由小到大排列依次为21、41、61、81、L ，可知数列{}n a 是以21为首项，以20为公差的等差数列，则()21201201n a n n =+-=+，由12021n a <≤可得12012021n <+≤，解得0101n <≤，n N *∈ ，则{}1,2,3,,101n ∈ ，因此，数列{}n a 的项数为101.故选：A.【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足：()213nn n a a ++-=，11a =，22a =.(1)记21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求30S .【答案】(1)32n b n =-，(2)353【分析】（1）令n 取21n -代入已知条件可以得到13n n b b +-=，从而求出数列{}n b 的通项公式（2）先分奇偶求出数列{}n a 的表达式，分别求奇数项的和与偶数项的和，相加得到30S （1）因为()213nn n a a ++-=，令n 取21n -，则21213n n a a +--=，即13n n b b +-=，111b a ==，所以数列{}n b 是以1为首项，3为公差的等差数列，所以32n b n =-（2）令n 取2n ，则2223n n a a ++=，所以()()3013292430S a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，由（1）可知，132********a a a b b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=；()()242246283022123n a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++=+=；所以3033023353S =+=【例4】（2022·四川·成都七中高一期末）已知数列{}n a 的通项公式为2cos 3π=n n a n ，Sn 为数列{}n a 的前n 项和，则2022S 的值为（）A ．672B ．1011C ．2022D ．6066【答案】B【解析】因为2cos 3n y π=的周期为2323ππ=，由2cos 3π=n n a n ，可得121cos132a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，2412cos 232a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，33cos 231a π==⨯，4814cos 432a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，51015cos 532a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，6126cos 613a π==⨯，71417cos732a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，81618cos 832a π⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，9189cos 913a π==⨯，……，因为20226743=⨯，所以202211[147(16733)][258(26733)]22S =-⨯+++⋅⋅⋅⋅++⨯-⨯+++⋅⋅⋅++⨯[3693674]1++++⋅⋅⋅+⨯⨯1674(116733)1674(226733)674(33674)22222⨯++⨯⨯++⨯⨯+⨯=-⨯-⨯+1674202116742023674202522222⨯⨯⨯=-⨯-⨯+674202120232025222⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭()6742022202510112=-⨯-=故选：B 【题型专练】1.（2022·全国·高二课时练习）在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{}n a ，则50a 等于（）A ．289B ．295C ．301D ．307【答案】B【分析】根据题意，得到能被2除余1满足21n -，被3除余1的数满足32n -，进而求得数列{}n a 的通项公式65n a n =-，即可求解.【详解】由题意，在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1满足21n -，被3除余1的数满足32n -，所以在1，2，3，…，2021这2021个自然数中，能被2除余1，且被3除余1的数，按从小到大的次序排成一列，可得构成的数列{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列，则数列{}n a 的通项公式65n a n =-，所以506505295a =⨯-=.故选：B.2.（2022·海南中学高三）已知数列{}n a 满足()1121nn n a a n ++-=+，则13599a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．50B ．75C ．100D ．150【答案】A【详解】解：∵()1121nn n a a n ++-=+，∴21241n n a a n ++=+，22141n n a a n --=-.两式相减得21212n n a a +-+=.则312a a +=，752a a +=，…，99972a a +=，∴1359925250a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=，故选：A.3.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为（）A ．28B ．29C ．30D ．31【答案】B【分析】本题可设等差数列{}n a 共有21n +项，然后通过S S -奇偶即可得出结果.【详解】设等差数列{}n a 共有21n +项，则13521n S a a a a +=++++ 奇，2462n S a a a a =++++ 偶，中间项为1n a +，故()()()13254212n n S S a a a a a a a +-=+-+-++- 奇偶111n a d d d a nd a +=++++=+= ，131929029n a S S +=-=-=奇偶，故选：B.4.（2022·重庆·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()1*1π1sin4n n n n a a n +++-=∈N ，则2022S =（）A ．2B ．0C ．2D 【答案】C【解析】当n 为奇数时有1sin4+π+=n n n a a ，函数()*sin 4π=∈N n y n 的周期为8，故有981++++=+n n n n a a a a ，21sin 42π+==a a ，433sin 42π+==a a ，655sin 42π+==-a a ，L，按此规律下去循环重复下去，80S =，故有202225202222=⨯++-=S .故选：C.题型六：等差数列新文化试题【例1】（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）斐波那契数列（Fibonacci Sequence ）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多，斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，现从数列的前2022项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（）A ．5052022B ．2522022C ．5042022D ．14【答案】A【详解】根据斐波那契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…，余数数列是周期数列，周期为8，202225286=⨯+，所以数列的前2022项中能被3整除的项有25221505⨯+=，所求概率为5052022P =，故选A ．【例2】（2022·全国·高三专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（）A ．4.5寸B ．3.5寸C ．2.5寸D ．1.5寸【答案】B【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列{}n a ，由题意得：1474331.5a a a a ++==，则410.5a =，()19959985.52a a S a +===，则59.5a =，所以公差为541d a a =-=-，所以114710.57 3.5a a d =+=-=，故选：B【例3】（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（）A ．16钱B ．13-钱C ．23钱D ．13钱【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习（理））斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+.，记121ni n i a a a a ==+++∑ ，则下列结论不正确的是（）A ．1055a =B ．223(3)n n n a a a n -+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C【详解】依题意，数列{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即1055a =，所以A 正确；当3n ≥时，122121223n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a -----+-+=+=+++=++=+，，所以B 正确；由12211,n n n a a a a a ++===+，可得321432202120202019,,,a a a a a a a a a -=-=-= ，累加得20212122019a a a a a -=+++ 则122019202122021220211a a a a a a a a +++=-=-=-，即2019202111i i a a ==-∑，所以C 错误；由2212122312321,()a a a a a a a a a a a ==-=-，233423432(),a a a a a a a a =-=- ，220212021202220202021202220212020()a a a a a a a a =-=-，所以22212202120212022a a a a a +++=⋅ ，所以D 正确.2．（2022·全国·高二课时练习）2021年是中国共产党建党100周年，《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长1a 、2a 、3a 、4a 、5a （单位：cm ）成等差数列，对应的宽为1b 、2b 、3b 、4b 、5b （单位：cm ），且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b =（）A ．124B ．126C ．128D ．130题型七：对于含绝对值的数列求和问题【例1】（2022·辽宁·高二期中）已知在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，42222a a -=，3102S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前20项和20T ．【例2】（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列{}n a 为等差数列，且280a a +=，26log 1a =.(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T .【题型专练】1.（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足()21*20N .n n n a a a n ++-+=∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n S a a a =++⋯+，求n S ．2.（2022·全国·高三专题练习（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1170,2S a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求1001k k a =∑的值．【解析】(1)设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，由题意可知：111711155062S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12=10d a =⎧⎨-⎩所以()1021212n a n n =-+-=-(2)由（1）知：当6,n n N ≤∈时，0n a ≥，当15,n n N ≤≤∈时，0n a <所以()()()()100123456781001=k k a a a a a a a a a a =-+-+-+-+-+++++∑L ()()()()1210012345=2a a a a a a a a ++++-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦L ()()10051009954=2=1001022510222S S ⨯⨯⎡⎤-⨯-+⨯-⨯⨯-+⨯⎢⎥⎣⎦=-1000990060=8960++。

(6)项数为偶数2n的等差数列{a n}，有S2n＝n(a1＋a2n)＝n(a2＋a2n－1)＝…＝n(a n＋a n＋1)(a n与a n＋1为中间的两项)，S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝a n a n＋1.(7)项数为奇数2n－1的等差数列{a n}，有S2n－1＝(2n－1)a n(a n为中间项)，S奇－S偶＝a n，S奇S偶＝nn－1.3．等差数列的前n项和(1)公式：若已知首项a1和末项a n，则S n＝n a1＋a n2，或等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为S n＝na1＋n n－12d.(2)等差数列的前n项和公式与函数的关系：S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－d2n，数列{a n}是等差数列的充要条件是S n＝An2＋Bn(A，B为常数)．(3)最值问题：在等差数列{a n}中，a1＞0，d＜0，则S n存在，若a1＜0，d＞0，则S n存在最小值．【高考命题】等差数列高考考查考查等差数列的通项公式，前n项和公式，等差数列的性质等相关内容．对等差数列的定义，性质及等差中项的考查，以填空为主，难度较小．通项公式与前n项和相结合的题目，多出现在解答题中，难度中等．等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证a n＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证S n＝An2＋Bn.注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．【小测】1.已知等差数列的公差d＜0，前n项和记为S n，满足S20＞0，S21＜0，则当n＝________时，S n达到最大值．解析∵S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＞0，S21＝21a11＜0，∴a10＞0，a11＜0，∴n＝10时，S n最大．2．(2012·南通第一学期期末考试)已知数列{a n}的前n项和为S n＝－2n2＋3n，则数列{a n}的通项公式为________．a n＝5－4n(n∈N*)．3．(2012·南京二模)设S n是等差数列{a n}的前n项和．若S3S7＝13，则S6S7＝________.解析由S3＝3a2，S7＝7a4，S3S7＝13，得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，所以a3＝8d，a4＝9d，从而S6＝3(a3＋a4)a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q＝q n －11－q (q 3－1)， a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，即2a n ＝a n ＋3＋a n ＋6，n ∈N *.所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项【考点3】等差数列前n 项和及综合应用【例3】 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.(2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25，∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令⎩⎨⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a 7|＝a 7＝4×7－25＝3.(2)令b n ＝S n n ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18. 解得⎩⎨⎧ a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)． (2)由b n ＝S n n ＋c ＝n 1＋4n －32n ＋c ＝2n ⎝⎛⎭⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设c n ＝(2) b n ，试问数列{c n }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．(1)证明 因为b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝ 22⎝⎛⎭⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(n ∈N *)，且b 1＝22×1－1＝2所以，数列{b n }以2为首项，2为公差的是等差数列．(2)解 由(1)得c n ＝(2)b n ＝2n ，假设{c n }中存在三项c m ，c n ，c p (其中m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则2·2n ＝2m ＋2p ， 所以2n ＋1＝2m ＋2p,2n －m ＋1＝1＋2p －m .。