1.6三角函数模型的简单应用(教、学案)

1.6三角函数模型的简单应用（1）一、教材分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。

本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活，又服务于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题和数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。

本节教材通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用：1、根据图象建立解析式；2、根据解析式作出图象；3、将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；4、利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型。

在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用。

通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力，培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。

二、学情分析本节课是学生在学完三角函数基础知识后的一堂综合应用可，学生在这之前已经系统地学习了三角函数的定义、图象和性质，对三角函数有一定的知识基础，同时学生也熟练掌握了使用计算器，可以给角求值，也可以在给出已知三角函数值时求对应的角度，为本课的顺利开展作好了一定的铺垫作用。

学生在必修1已经学习过“函数模型的应用实例”，学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数等描述现实世界变化规律的函数模型，已经体会到解决实际问题中建立函数模型的过程，这为本节课的学习奠定了又一基础。

依据学生的认知规律和水平，本课时教学中将教材中的例1与例2调整了顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图到由图认数，既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法，复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决课本例1打下一个良好的基础和准备工作。

1.6 三角函数模型的简单应用一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2、过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

3、情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

三、课时分配:2课时四、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.四、教学设想：三角函数模型的简单应用（一）一、导入新课我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.例2 2007全国高考 函数y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(4π-,4π) B.(4π,43π) C.(π,23π) D.(23π,2π) 例3 如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值. 如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?四、课堂小结五、作业三角函数模型的简单应用（二）一、导入新课回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用二、推进新课、新知探究、提出问题三、应用示例例1 货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?例2 图9,是一个单摆的振动图象,据图象回答下列问题:(1)单摆振幅多大；(2)振动频率多高；(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置；(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置；(5)若当g＝9.86 m/s2J,求摆线长.四、课堂小结五、作业。

1.6三角函数模型的简单应用教学目的：1、通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象求解析式的方法；2、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；3、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

教学重点、难点重点：精确模型的应用——即由图象求解析式，由解析式研究图象及性质。

难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。

教学过程：一、复习引入：简单介绍大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间的关系”、“声音的传播”等等，说明这些现象都蕴含着三角函数知识二、讲授新课：例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω．（1）求这一天6～14（2）写出这段曲线的函数解析式． 解：（1（2）从图可以看出：从6～14是b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象，∴86142=-=T ∴16=T ∵ωπ2=T ，∴8πω=又∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=20210301021030b A ∴⎩⎨⎧==2010b A ∴20)8sin(10++=ϕπx y将点)10,6(代入得：1)43sin(-=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,23243ππϕπ， ∴Z k k ∈+=,432ππϕ，取43πϕ=， ∴)146(,20)438sin(10≤≤++=x x y ππ。

例2．画出函数x y sin =的图象并观察其周期．分析与简解：如何画图？法1：去绝对值，化为分段函数（体现转化与化归！）；从图中可以看出，函数x y sin =是以π为周期的波浪形曲线．例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是δϕθ--=ο90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬ο40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？分析与简解：与学生一起学习并理解教材解法（地理课中已学习过），指出该实际问题用到了三角函数的有关知识．例4. 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++．（１） 求这一天的最大温差；（２） 写出这段曲线的函数解析式．答案：解：象，所以 (12A = 12b =θφφ-δδ太阳光∵121462ω=-g π， ∴8ω=π． 将6x =，10y =代入上式，解得34ϕ=π． 综上，所求解析式为310sin 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ，[]6,14x ∈． 四、课堂练习：课本第73页练习第1、2、3题五、课堂小结六、作业：课本第73页习题A 组第1、2、3、4题。

1.6 三角函数模型的简单应用学习目标：1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝|sin x ＋12|的周期为π.( )(2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s ，振幅为5 cm ，则该振子在2 s 内通过的路程为50 cm.( )(3)电流强度I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为52A ．( )[解析] (1)错误．函数y ＝|sin x ＋12|的周期为2π.(2)错误．一个周期通过路程为20 cm ，所以2 s 内通过的路程为20×20.4＝100(cm)．(3)正确．[答案] (1)× (2)× (3)√2．如图1­6­1为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往返一次．图1­6­10．8 [观察图象可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次．]3．如图1­6­2所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．图1­6­2y ＝－6sin π6x [设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)则A ＝6， T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .][合 作 探 究·攻 重 难](1)A B C D (2)作出函数y ＝|cos x |的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.【导学号：84352127】[思路探究] (1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断．(2)依据y ＝|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，cos x ≥0－cos x ，cos x ＜0画图，并判断此函数的性质．(1)C [(1)y ＝x ＋sin|x |是非奇非偶函数，图象既不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故选C. (2)y ＝|cos x |图象如图所示．由图象可知：T ＝π；y ＝|cos x |是偶函数；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z ， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .][规律方法]一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如：①由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝|f x的图象，只需将y ＝f x 的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”.②由函数y ＝f x 的图象要得到y ＝fx 的图象，应保留y ＝f x 位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”.[跟踪训练] 1．函数f (x )＝2sin x(x ∈[－π，π])的图象大致为( )A B C D A [f (－π)＝2sin(－π)＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2－1＝0.5，f (0)＝2sin 0＝20＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin π2＝2，f (π)＝2sin π＝20＝1.由此知选项A 符合要求．]t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 【导学号：84352128】[思路探究] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数A ，ω，φ的物理意义是解题关键． [解] 列表如下：(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [规律方法] 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y ＝Aωx ＋φ表示物体振动的位移y 随时间x 的变化规律，A 为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T ＝2πω为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f ＝1T为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.[跟踪训练]2．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图．(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？【导学号：84352129】[思路探究] (1)根据y 的最大值和最小值求A ，b ，定周期求ω. (2)解不等式y ＞1，确定有多少时间可供冲浪者活动．[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，∴ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，∴A ＋b ＝1.5；t＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)∵y ＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y ＝12cos π6t ＋1＞1，cos π6t ＞0,2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3，(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9＜t ＜15.母题探究：1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ [解] 由y ＝12cos π6t ＋1＞1.25得cos π6t ＞12，2k π－π3＜π6t ＜2k π＋π3，k ∈Z ，即12k －2＜t ＜12k ＋2，k ∈Z .又0≤t ≤24，所以0≤t ＜2或10＜t ＜14或22＜t ≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动， 即10＜t ＜14.2．若本例中海滨浴场某区域的水深y (米)与时间t (时)的数据如下表：[解] 函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13， ∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤提醒：关注实际意义求准定义域．[当 堂 达 标·固 双 基]1．与图1­6­3中曲线对应的函数解析式是( )图1­6­3A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |C [注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.]2．在两个弹簧上各有一个质量分别为M 1和M 2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t (s)离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝10cos 2t 确定，则当t ＝2π3s 时，s 1与s 2的大小关系是( )【导学号：84352130】A ．s 1＞s 2B ．s 1＜s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定C [当t ＝2π3时，s 1＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝5sin 3π2＝－5，当t ＝2π3时，s 2＝10cos 4π3＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－5，故s 1＝s 2.]3．如图1­6­4表示电流强度I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内的图象，则该函数解析式为()图1­6­4A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π3 C [A ＝300，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1150＋1300＝150，ω＝2πT ＝100π，I ＝300sin(100πt ＋φ)．代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300，0，得100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1300＋φ＝0，得φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3.]4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式为s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l ＝________cm.g4π2[由已知得2πgl＝1，所以g l ＝2π，g l ＝4π2，l ＝g 4π2.] 5．如图1­6­5，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．图1­6­5(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式；(其中t 以年初以来的月为计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量.【导学号：84352131】[解] (1)设种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，∴900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1， ∴sin φ＝－1， ∴取φ＝－π2，∴y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.。

1.6 三角函数模型的简单应用问题导学一、与函数图象有关的问题 活动与探究1已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)如图所示的是I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？迁移与应用已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎛⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的周期为2π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．正确运用三角函数的图象与性质以及数形结合的数学思想，还要综合应用相关学科的知识来帮助理解具体问题．二、函数解析式的应用 活动与探究2一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，点P 在摩天轮最低点开始计时，t 分钟后P 点距地面高度为h (米)，设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是( )A ．A ＝8B ．ω＝π6C ．φ＝π2D ．B ＝10迁移与应用设y ＝f (t )是某港口水的深度y (m)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，下表是该港面的函数中，最能近似表示表中数据的对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]解决该类题目的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用．解决这类题目的通法如下：当堂检测1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200 s 时，电流I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A2．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时振动速度为零3．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为__________．4．振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(φ＞0)的初相和频率分别为－π和32，则它的相位是__________．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)根据图中提供的数据求T ，进而得出ω，根据图象过⎝ ⎛⎭⎪⎫1180，0得出φ，从而得出函数解析式． (2)由题意得出周期T 不超过1150是关键． 解：(1)由图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175．∴ω＝2πT＝150π． 又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0． 而|φ|＜π2，∴φ＝π6．故所求的解析式为I ＝300sin ⎝⎛⎭⎪⎫150πt ＋π6． (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω＞0)，∴ω≥300π＞942．又ω∈N *，故所求最小正整数ω＝943．迁移与应用 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2π．由T ＝2πω得ω＝1．又3,1,B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得2,1,A B =⎧⎨=⎩令ω·5π6＋φ＝π2＋2k π，即5π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|＜π2，解得φ＝－π3．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1．(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3．令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3．如图，sin t ＝s 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上有两个不同的解的条件是s ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1，∴方程f (kx )＝m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时恰好有两个不同的解的条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．活动与探究2 思路分析：将题目中出现的量与三角函数解析式中A ，ω，φ，B 相联系，从而解决问题．C 解析：由摩天轮最低点距地面2米，最高点距地面18米，得18,2,A B A B +=⎧⎨-+=⎩解得8,10,A B =⎧⎨=⎩因此A ，D 都正确；又由摩天轮每12分钟旋转一周，得T ＝12，而T ＝2πω，所以ω＝π6，则B 正确；又由P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，得8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×0＋φ＋10＝2，所以sin φ＝－1，而φ∈[0,2π)，所以φ＝3π2，所以C 错误．迁移与应用 A 解析：∵y ＝f (x )的图象可以近似地看成y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象，∴y ＝f (x )具有周期性．当t ＝3,15时，y 取得最大值，∴T ＝15－3＝12，则ω＝2πT ＝2π12＝π6，∴排除C 、D ．下面将点(3,15.1)的坐标分别代入A 、B 验证．将t ＝3代入A ，得y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＝15；代入B ，得y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＋π＝9，与15.1相差太多．∴应选A ． 【当堂检测】1．B 解析：将t ＝1200代入I ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3得I ＝2.5 A ． 2．B 解析：由图知该质点振动的周期要大于0.7 s ，振幅为5 cm ，在0.1和0.5时振动速度为0，在0.3 s 和0.7 s 时振动速度为最大．故选B ．3．1 s 解析：由题易知，单摆来回摆动一次所需的时间恰好为一个周期，即T ＝2π2π＝1 s ．4．3πx －π 解析：由题知φ＝－π，f ＝1T ＝32＝ω2π，∴ω＝3π．∴y ＝2sin(3πx －π)．相位是3πx －π．。

1.6 三角函数模型的简单应用1.知识与技能(1)能根据图象建立解析式.(2)能根据解析式作出图象.(3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(4)能利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行函数拟合,从而得到函数模型.2.过程与方法通过学习三角函数模型的实际应用,使学生学会把实际问题抽象为数学问题,即建立数学模型的思想方法.3.情感、态度与价值观本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力;培养他们的探索精神和应用意识.重点:用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点:将某些实际问题抽象为三角函数模型.1.如图为弹簧振子的振动图象.(1)振动的振幅是 cm,频率是;(2)如果从A点计算起,那么到点止,质点做了一次全振动.解析:∵振动距离最大为2 cm,∴振幅为2 cm,周期T=0.8 s.∴频率为.∵点A到E点为一个周期.∴A到E,质点做了一次全振动.答案:(1)2(2)E2.如图所示,设单摆小球偏离铅锤方向的角为α(rad),并规定小球在铅锤方向右侧时α为正角,左侧时α为负角.α作为时间t(s)的函数,近似满足关系α=A sin,其中ω>0.已知小球在初始位置(即t=0)时,α=,且每经过π s小球回到初始位置,那么A=;α作为时间t的函数解析式是.解析:∵t=0时,α=,∴=A sin ,∴A=.又∵周期T=π,∴=π,解得ω=2.∴函数解析式是α=sin(t∈[0,+∞)).答案:α=sin,t∈[0,+∞)精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

1.6三角函数模型的简单应用自主学习知识梳理1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．自主探究结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是____________________________________________________________________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点讲练知识点一从实际问题中提炼三角函数模型例1如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．变式训练1 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.知识点二 三角函数模型在物理学科中的应用例2 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．回顾归纳 三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．变式训练2 如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三 三角函数模型在实际问题中的应用t 小时＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳 确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B ，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.变式训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题8. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 自主探究(1)π (2)π (3)π (4)π|ω| (5)2π|ω| (6)π|ω|对点讲练 例1 解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．综上所述，h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)． 变式训练1 解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10 sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 例2 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得最大值．变式训练2 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式训练3 A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]课时作业 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.]4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 6．80解析 T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。

1.6 三角函数模型的简单应用教材：高中数学人教A版必修4第一章第六节第一课时一、教学目标知识目标：从实际问题中发现周期性变化的规律，并把发现的规律抽象为恰当的三角模型，进而解决相关实际问题。

能力目标：能够正确转化函数的图像模型和解析式模型来解决实际问题；能从实际问题中抽象出恰当的数学模型来解决问题。

体会形结合思想、类比学习思想及数学建模数的思想方法。

情感目标：在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。

二、教学重点与难点重点：运用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

难点：如何从实际问题中抽象出三角函数模型，并用相关知识解决实际问题。

三、教学方法与手段教学方法：三段六步法教学。

学习方法：自主探究、观察发现、合作探究、归纳总结。

教学手段：运用多媒体辅助教学。

四、教学基本流程步骤师生活动作图观察得：函数y=|x-1|的图象是将y=x-1的图象_______________________________而得到。

２）画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。

作图观察得：函数y=|sinx|的图象是将y=sinx的图象______________而得到。

由图像知函数y=|sinx|的周期是_________ 验证：由于|sin( x+___)| =|sinx|, 所以函数y=|sinx|的周期是_______通过分级分难度的设置问题，降低了解决问题的难度，使学生通过动手动脑很快解决问题。

培养学生用类比学习的方法来解决问题。

让学生到黑板上画图并解答这两个问题，老师适当引导，适时给予鼓励与肯定，激发学生学习和探索新知的兴趣和热情。

三、释疑：问题（1）属于根据________模型求解_________模型问题。

问题（2）属于根据_________模型求解______模型，并根据______认识性质。

提高概括能力,体会数学中式和形两种不同数学模型互相转化解决问题的思想方法，提升对三角函数模型应用问题的认识和解决能力。

4-1.6三角函数模型的简单应用【知识与技能】1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型. 【过程与方法】例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数x y sin =与正弦函数有紧密的联系.例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。

应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。

关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。

补充例题例题：一根为Lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是),0[,6sin 3+∞∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=t t l g s π，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s 2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l 应当是多少？ 解：（1）lg f g l T l g ππωπω21,22===∴=Θ；（2）cm g l T 8.24412≈==π，即若. 【情态与价值】 一、选择题1. 初速度v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式为（ ）A.t v y 0=B.2021sin t g t v y ⋅-⋅⋅=θ C.t v y ⋅⋅=θsin 0 D.t v y ⋅⋅=θcos 0 2. 当两人提重为G 的书包时，夹角为θ，用力为F ，则θ为____时，F 最小（ ）A ．2π B.0 C.π D.π32 3.某人向正东方向走x 千米后向右转ο150，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为 （ ）A ．3 B.32 C.332或 D.3二、填空题4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为045，从甲楼顶望乙楼顶俯角为ο30，则甲、乙两楼的高度分别为_______5.一树干被台风吹断折成ο60角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____. 三、解答题6. 三个力321..F F F 同时作用于O 点且处于平衡，已知ο13521的夹角为与F F ，牛顿，的夹角为与2120232=F F F ο，求31F F 和7、有一长为α的斜坡，它的倾斜角为θ，现在要倾斜角改为2θ，则坡底要伸长多少?三角函数小结和复习【知识与技能】理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。

1.6《三角函数模型的简单应用》教学案教学教法分析●三维目标1．知识与技能(1)能根据图象建立解析式．(2)能根据解析式作出图象．(3)能将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(4)能利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．2．过程与方法通过学习三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，即建立数学模型的思想方法．3．情感、态度与价值观本节引导学生通过解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科知识解决问题的能力；培养他们的探索精神和应用意识．●重点、难点重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型．教学方案设计●教学建议1．本节学习的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，教学中注意引导学生学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．2．从实际问题中抽象出三角函数模型的过程中，由于陌生的背景、复杂的数据处理等，学生会感到困难．教学中应当注意帮助学生分析问题中的数量关系，通过作散点图等，引导学生从图的特点来发现各个量之间的关系或它们的变化规律．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此条件允许的话要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图、根据散点图进行函数拟合等．课前自主导学课标解读1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)2．实际问题抽象为三角函数模型.知识三角函数的实际应用1.2．y ＝|sin x |是以π为周期的波浪形曲线． 3．解三角函数应用题的基本步骤(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．课堂互动探究类型1三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I 与时间t 的关系为I ＝A sin (ωt ＋φ)．图1－6－1(1)如图所示的是I ＝A sin (ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求I ＝A sin (ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin (ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【思路探究】 (1)根据图中提供的数据求T ，进而得到ω，根据图象过(1180，0)得出φ，从而得出函数解析式．(2)由题意得出周期T 不超过1150是关键．【自主解答】(1)由题图知A ＝300，设t 1＝－1900，t 2＝1180，则周期T ＝2(t 2－t 1)＝2(1180＋1900)＝175. ∴ω＝2πT ＝150π.又当t ＝1180时，I ＝0，即sin (150π·1180＋φ)＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的解析式为I ＝300sin (150πt ＋π6)． (2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150(ω>0)． ∴ω≥300π>942，又ω∈N *， 故所求最小正整数ω＝943.规律方法1．题中的函数模型类型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式，其中求ω是利用半周期为[1180－(－1900)]．2．此类问题解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中读图、识图、用图是数形结合的有效途径．变式训练弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm )随时间t (s )的变化曲线(如图所示)是一个三角函数的图象．图1－6－2(1)经过多长时间，小球往复振动一次？ (2)求这条曲线的函数解析式；(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？ 【解】 (1)由题图可知，周期T ＝2(7π12－π12)＝π. 所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14s . (2)由图可设该曲线的函数解析式为： s ＝A sin (ωt ＋φ)，t ∈[0，＋∞)． 从图中可以看出A ＝4，又2πω＝π， ∴ω＝2.从而s ＝4sin (2t ＋φ)． 将t ＝π12，s ＝4代入上式，得 sin (π6＋φ)＝1，∴φ＝π3. 故所求函数的解析式为s ＝4sin (2t ＋π3)，t ∈[0，＋∞)． (3)当t ＝0时，s ＝4sin π3＝23(cm )．故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 3 cm .类型2 三角函数模型简单的实际应用例2 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中O A与地面垂直，以O A为始边，逆时针转动θ角到O B，设B点与地面距离为h.图1－6－3(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从O A开始转动，经过t秒后到达O B，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？【思路探究】分析题目→列出函数解析式→应用求解【自主解答】(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox 为始边，O B 为终边的角为θ－π2. 故B 点坐标为(4.8cos (θ－π2)，4.8sin (θ－π2))． ∴h ＝5.6＋4.8sin (θ－π2)，θ∈[0，＋∞)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ， ∴h ＝5.6＋4.8sin (π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h ＝10.4 m .由sin (π30t －π2)＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30. ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．规律方法1．本例中，在审题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”这个过程就是数学建模过程．2．能够迅速地建立数学模型是解决实际问题的一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，在解题中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．变式训练如图游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12 min ，其中心O 距离地面40.5 m ，半径为40 m ．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：图1－6－4(1)求出你与地面的距离y (m )与时间t (min )的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5 m 时，用了多长时间？【解】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12 min 可知当t ＝6时摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0 min 时距地面60.5 m ，由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8，所以t ＝8(min )时，第2次距地面60.5 m ，故第4次距离地面60.5 m 时，用了12＋8＝20(m in )．类型3数据拟合问题例3 的数据：t (h ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m )10.013.09.9 7.0 10.013.0 10.17.0 10.0 sinωt ＋b 的图象．(1)试根据以上数据，求出y ＝A sin ωt ＋b 的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)？图1－6－5【思路探究】(1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 的周期；由t ＝0时的函数值，t ＝3时取得的最大值，进而可求得ω、A 、b 的值．(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m )的时段．【自主解答】(1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h )，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13. ∴b ＝10，A ＝13－10＝3.∴所求函数的表达式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7＋4.5＝11.5(m )．令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，可得sin π6t ≥12.∴2kπ＋π6≤π6t ≤2kπ＋5π6(k ∈Z )， ∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．取k ＝0，则1≤t ≤5，取k ＝1，则13≤t ≤17； 而取k ＝2时，25≤t ≤29(不合题意)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h .规律方法1．本题中没有明显函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线．2．此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断．由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系．变式训练某风景美丽的海滩的浪高y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日浪高的数据：(1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似表达式；(2)一般情况下，浪高在1.25 m ～2 m 之间可以允许冲浪爱好者开展冲浪运动(认为是安全的)，试求一天内的上午8：00至晚上20：00之间有多少时间可供冲浪者安全地进行冲浪运动？【解】 (1)由表中数据，知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝3.5，得A ＋b ＝3.5. 由t ＝3，y ＝2.0，得b ＝2.0. ∴A ＝1.5.∴y ＝1.5cos π6t ＋2(0≤t ≤24)．(2)由题知，当1.25≤y ≤2.0时才可对冲浪者开放，∴1.25≤1.5cos π6t ＋2≤2 ∴－12≤cos π6t ≤0∴2kπ＋π2≤π6t ≤2kπ＋2π3或2kπ＋4π3≤π6t ≤2kπ＋3π2(k ∈Z )． 即12k ＋3≤t ≤12k ＋4或12k ＋8≤t ≤12k ＋9(k ∈Z )． ∵0≤t ≤24，故可令k 分别为0，1，得3≤t ≤4或8≤t ≤9， 或15≤t ≤16或20≤t ≤21.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，故有2个小时的时间可供冲浪者运动：分别是上午8：00至9：00与下午15：00至16：00.思想方法技巧转化与化归思想在三角函数模型问题中的应用典例(12分)下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏)．(1)描出散点图．(2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A .(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①y A ＝cos (πx 6)； ②y －46A ＝cos (πx 6)； ③y －46－A ＝cos (πx 6)； ④y －26A ＝sin (πx 6)．【思路点拨】(1)(2)建立直角坐标系即可；(3)找出气温的最大值和最小值的月份，作差，可求得T2；(4)找出气温的最大值和最小值，作差，求出2A ；(5)将表中数据代入检验．【规范解答】(1)(2)如图所示．....................4分(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12....................6分 (4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A ＝25.8............................................................8分 (5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0，代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，∴①差距明显； 代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，∴②差距明显； 代入④，得y －26A ＝0≠sin π6；∵④差距明显，不适合；代入③，得y －46－A ＝26－46－25.8≈0.78，与cos π6较接近，拟合性更好，∴③相对最适合这些数据.........................12分思维启迪三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意以下几点： (1)反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质．(2)充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量．(3)结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论．1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)中有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象；(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合；(3)利用三角函数模型解决实际问题；(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．当堂双基达标1．电流强度I (A )随时间t (s )变化的关系式是I ＝5sin (100πt ＋π3)，则当t ＝1200 s 时，电流强度I 为( )A ．5 AB ．2.5 AC ．2 AD ．－5 A 【解析】 当t ＝1200时， I ＝5sin (π2＋π3)＝5cos π3＝2.5. 【答案】 B2．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【解析】 ∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80. 【答案】 C3. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为：s ＝6sin (2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )图1－6－6A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s【解析】 T ＝2πω＝2π2π＝1，故单摆来回摆动一次所需时间为1 s . 【答案】 D4. (2013·延安高一检测)如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数图象．图1－6－7(1)求这一段时间的最大温差． (2)写出这段曲线的解析式．【解】 (1)由图易知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)设所求解析式为：y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b .则分析图形易知从6时到14时的图象是所求函数半个周期的图象．所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＝30－102，b ＝30＋102，6ω＋φ＝－π2＋2k πk ∈Z ，10ω＋φ＝0＋2k πk ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝10，b ＝20，ω＝π8，φ＝－54π＋2k πk ∈Z .∴y ＝10sin (π8x －54π)＋20.即y ＝10sin (π8x －54π)＋20(x ∈[6，14])即为所求的函数解析式．课后知能检测一、选择题1．(2013·南阳高一检测)一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y 与时间x (秒)满足函数关系式y ＝A sin (ωx ＋φ)＋7，则( )A ．ω＝2π15，A ＝10B ．ω＝152π，A ＝10 C ．ω＝2π15，A ＝17D ．ω＝152π，A ＝17【解析】 T ＝604＝15，ω＝2π15，A ＝10. 【答案】 A2．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm )与时间t (s )的函数关系式是s ＝3cos (g l t ＋π3)，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )A .g πB .g2π C .gπ2D .g 4π2 【解析】 ∵T ＝2πg l，∴g l ＝2πT ＝2π，∴l ＝g4π2. 【答案】 D图1－6－83．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】 因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期． 【答案】 C4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin (ωx＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin (π4x －π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝9sin (π4x －π4)(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) D ．f (x )＝2sin (π4x ＋π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)【解析】 由题意知x ＝3时，f (x )max ＝9，排除C 、D ，x ＝7时f (x )min ＝5，排除B ，故选A .【答案】 A 5.图1－6－9(2013·石河子高一检测)如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上逆时针旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦A P 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )【解析】 由于d ＝f (l )＝2sin l2，l ∈[0，2π]，故选C . 【答案】 C 二、填空题6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos [π6(x－6)](x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.【解析】 由题意可知A ＝28－182＝5， a ＝28＋182＝23.从而y ＝5cos [π6(x －6)]＋23，故10月份的平均气温值为y ＝5cos (π6×4)＋23＝20.5. 【答案】 20.57．某时钟的秒针端点A 到中心的距离为5 cm ，秒针均匀地绕O 点旋转到B 点，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点重合，将A 、B 两点间的距离d (cm )表示成t (s )的函数，则d ＝________，其中，t ∈[0，60]．【解析】 由题意易知d ＝2r ·sin ω2t ，r ＝5，ω＝π30. ∴d ＝10sin π60t . 【答案】 10sin π60t8．已知某游乐园内摩天轮的中心点O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin (π6t －π2)＋50(单位：m )，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续________分钟．【解析】 依题意，知40sin (π6t －π2)＋50≥70， 即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为 2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8， 即持续时间为4分钟． 【答案】 4 三、解答题9．交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 【解】 (1)当t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏． (2)电压的最大值为2203伏，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得这个最大值． 10．如图所示，图1－6－10某地一天从0～10时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b ，其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0.(1)求这一天0～10时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．【解】 (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期， 则周期T ＝2(9－1)＝16， 所以2πω＝16，解得ω＝π8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝20，－A ＋b ＝0，得A ＝10，b ＝10，则有y ＝10sin (π8x ＋φ)＋10， 又点(1，0)在曲线上，即满足函数的解析式， 则0＝10sin (π8＋φ)＋10，所以sin (π8＋φ)＝－1. 又－π＜φ＜0，则φ＝－58π，综上，所求解析式为y ＝10sin (π8x －58π)＋10，x ∈[0，10]．11．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sinωx (A >0，ω>0)，x ∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°，求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．图1－6－11【解】 依题意，有A ＝23，T4＝3， 又T ＝2πω，∴ω＝π6， ∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0，4]． ∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3. ∴M (4，3)．又P (8，0)， ∴MP ＝8－42＋0－32＝42＋32＝5(km )．即M 、P 两点间的距离为5 km . 【教师备课资源】1．三角函数与几何知识的综合应用典例如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f (θ)．求：(1)θ的取值范围； (2)f (θ)的解析式； (3)f (θ)的值域．【思路探究】连接BD ，过D 作D E 垂直于地面于E ，在△BD E 中，先求f (θ)的表达式，再求值域．【规范解答】(1)BC 与地面所成的角，就是直线与平面所成的角，显然角θ的范围为[0，π2]．(2)如图，连接BD ，则∠DBC ＝π6，过D 作地面的垂线，垂足为E ，在Rt △B E D 中，∠D B E ＝θ＋π6，DB ＝2，∴f (θ)＝2sin (θ＋π6)(0≤θ≤π2)．(3)f (θ)＝2sin (θ＋π6)(0≤θ≤π2)，π6≤θ＋π6≤2π3， ∴12≤sin (θ＋π6)≤1，即f (θ)的值域为[1，2]．规律方法1．解决本题的关键是准确的作出辅助线BD 、D E ，在△BD E 中求出f (θ)的解析式． 2．解决三角函数与几何知识的综合问题，首先应弄清问题的实际背景，然后结合平面几何知识求解，应注意实际问题中对角的范围的限制．变式训练如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为2°(若β很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC 的值约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m【解】 在Rt △ADC 中，CD ＝3 m ，sin β＝CDAC ，∴AC ＝CDsin β.① ∵β很小，∴sin β≈β.又∵1°＝π180 rad ，∴sin β≈β＝π180 rad .②在Rt △ABC 中，sin ∠CAB ＝sin 30°＝BCAC ，③∴由①②③得BC ≈86 m . 【答案】 B2．知识拓展利用基本三角函数的图象研究两类含有绝对值函数的函数的图象与性质 一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到．例如：(1)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝|f (x )|的图象，只需将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，x 轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”．(2)由函数y ＝f (x )的图象要得到y ＝f (|x |)的图象，应保留y ＝f (x )位于y 轴右侧的图象，去掉y 轴左侧的图象，再由y 轴右侧的图象翻折得到y 轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”．例如，作出函数y ＝|sin x |的图象，根据图象判断其周期并写出单调区间．【解】 函数y ＝sin x 位于x 轴上方的图象不动，位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方即可得到函数y ＝|sin x |的图象，如下图所示：根据图象可知，函数y ＝|sin x |的周期是π，函数在区间[kπ，kπ＋π2]，k ∈Z 上递增；在区间[kπ－π2，kπ]，k ∈Z 上递减.章末归纳提升 第一章 三角函数知识网络构建专题归纳提升专题1 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．例1 (2013·珠海高一检测)函数y ＝lg (2sinx －1)＋1－2cos x 的定义域为________．【思路点拨】先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解．【规范解答】要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12.解得⎩⎪⎨⎪⎧π6＋2k π<x <56π＋2k π，π3＋2k π≤x ≤53π＋2k π，(k ∈Z )∴π3＋2kπ≤x <5π6＋2kπ(k ∈Z )．故所求函数的定义域为[π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k ∈Z )． 【答案】 [π3＋2kπ，5π6＋2kπ)(k ∈Z )变式训练求函数f (x )＝－sin x ＋tan x －1的定义域． 【解】 函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ≥0，tan x －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≥1.如图所示，结合三角函数线知 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π≤x ≤2k π＋2πk ∈Z ，k π＋π4≤x <k π＋π2k ∈Z .∴2kπ＋5π4≤x <2kπ＋3π2(k ∈Z )．故f (x )的定义域为[2kπ＋5π4，2kπ＋3π2)(k ∈Z ).专题2同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．例2 已知f (α)＝sin2π－α·cos 2π－α·tan －π＋αsin －π＋α·tan －α＋3π. (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－474π，求f (α)的值．【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求解．【规范解答】 (1)f (α)＝sin 2 α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α. (2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2 α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34， 又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－474π＝－6×2π＋π4， ∴f (－474π)＝cos (－474π)·sin (－474π) ＝cos (－6×2π＋π4)·sin (－6×2π＋π4) ＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.变式训练若cos θ＝74，求f (θ)＝sin θ－5π·cos －π2－θ·cos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－4π的值． 【解】 f (θ)＝sin θ－π·cos π2＋θ·cos －θsin θ＋π2·sin －θ ＝－sin π－θ·－sin θ·cos θcos θ·－sin θ＝－sin θ. ∵cos θ＝74，且sin 2θ＝1－cos 2θ＝916.当θ为第一象限角时，f (θ)＝－34， 当θ为第四象限角时，f (θ)＝34.专题3三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．例3 如图1－1是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象．图1－1(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【思路点拨】(1)先确定A 、k ，再根据周期求ω，最后确定φ.(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移．【规范解答】 (1)由图象知A ＝－12－－322＝12， k ＝－12＋－322＝－1，T ＝2×(2π3－π6)＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin (2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin (2x ＋π6)－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin (x ＋π6)，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin (2x ＋π6)，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin (2x ＋π6)，最后把函数y ＝12sin (2x ＋π6)的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin (2x ＋π6)－1的图象．变式训练f (x )＝sin (2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 【解】 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin (2×π8＋φ)＝±1，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由y ＝sin (2x －3π4)知专题4 三角函数的性质奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)应引起重视．例4 已知函数f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值． (3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．【思路点拨】 (1)将2x ＋π6看成一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间求解． (2)先求x ∈[0，π2]时2x ＋π6的范围，再根据最值求a 的值． (3)先求f (x )取最大值时2x ＋π6的值，再求x 的值．【规范解答】(1)由－π2＋2kπ≤2x ＋π6≤π2＋2kπ，k ∈Z ，解得－π3＋kπ≤x ≤π6＋kπ，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，由π2＋2kπ≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋kπ≤x ≤2π3＋kπ，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋kπ，2π3＋kπ](k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin (2x ＋π6)≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1， (3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2kπ， ∴2x ＝π3＋2kπ，∴x ＝π6＋kπ，k ∈Z .∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是{x |x ＝π6＋kπ，k ∈Z }．变式训练已知函数f (x )＝2sin (2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值． 【解】 (1)∵f (x )＝2sin (2x －π4)， ∴T ＝2πω＝2π2＝π.故函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵f (x )＝2sin (2x －π4)在区间[π8，3π8]上是增函数． 在区间[3π8，3π4]上是减函数．∴函数f (x )在x ＝3π8处取得最大值，在两端点之一处取得最小值． 又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝2sin (3π2－π4)＝－2cos π4＝－1.故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y ＝A sin (ωx ＋φ)化归为简单的y ＝sin x 来研究．这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法．例5 已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π2＋α)＋2si n 2(α－π) 的值．【思路点拨】先求tan x 的值，再将待求的关系式化简，变为切函数求解．【规范解答】 由已知得1＋tan α1－tan α＝3＋22， ∴tan α＝2＋224＋22＝1＋22＋2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin (3π2＋α)cos (π2＋α)＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋(－cos α)(－sin α)＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α ＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α ＝1＋22＋11＋12＝4＋23.变式训练函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1，1]B ．[－54，－1] C ．[－54，1]D ．[－1，54]【解析】 y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1，1]，画出函数图象如图所示．从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y mi n ＝－54，y max ＝1.综合检测(一) 第一章 三角函数(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是( )A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【解析】 ∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°， ∴①②③均是第二象限角．又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角． 【答案】 C2．点P 从(1，0)点出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为( )A ．(12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) 【解析】 设∠POQ ＝θ，则θ＝π3.又设Q (x ，y )，则x ＝cos π3＝12，y ＝sin π3＝32. 【答案】 A3．已知角α的终边经过点(3a ，－4a )(a <0)，则sin α＋cos α等于( ) A .15 B .75 C ．－15 D ．－75 【解析】 r ＝3a2＋－4a2＝－5a .∴sin α＝－4a －5a ＝45，cos α＝3a －5a ＝－35， ∴sin α＋cos α＝45－35＝15.4．(2013·郑州高一检测)对于函数y ＝sin (132π－x )，下列说法中正确的是( ) A ．函数是最小正周期为π的奇函数 B ．函数是最小正周期为π的偶函数 C ．函数是最小正周期为2π的奇函数 D ．函数是最小正周期为2π的偶函数【解析】 y ＝sin (132π－x )＝sin (π2－x )＝cos x ，故D 项正确． 【答案】 D5．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数，但是若f (x )＝cos (x ＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】 A 6.图1(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1所示，则( )A ．ω＝2，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝1，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图可知T ＝4(712π－π3)＝π. 又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin (2x ＋φ)， 代入点(π3，1)，得sin (23π＋φ)＝1，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π6. 【答案】 D7．(2012·衡水高一检测)函数y ＝2cos (2x －π3)＋1在区间[－π4，π4]上的值域为( ) A ．[1－3，1＋3] B ．[1－3，3] C ．[－1，3] D ．[－1，1＋3]【解析】 ∵－π4≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π3≤π6， ∴－32≤cos (2x －π3)≤1，∴1－3≤2cos (2x －π3)＋1≤3，故选B . 【答案】 B8．已知sin (α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24 D .24【解析】 由sin (α＋π2)＝13， 得cos α＝13，又α∈(－π2，0)． ∴sin α＝－ 1－cos 2α＝－223.故tan α＝sin αcos α＝－2 2. 【答案】 A9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错． y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数． ∴y ＝－cos 2x 满足条件． 【答案】 D10．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A .13 B ．1 C .53 D ．2【解析】 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω(x －π4)，将(3π4，0)代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2013·上海春季高考)函数f (x )＝sin (2x ＋π4)的最小正周期为________． 【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin (2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π. 【答案】 π12．sin (－120°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝______. 【解析】 原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－co s θ的值为________．【解析】 由sin θcos θ＝－18＜0知π2＜θ＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×(－18)＝54.又sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝52. 【答案】 5214．设f (x )＝2sin ωx ，(0<ω<1)在闭区间[0，π3]上的最大值为2，则ω的值为__________．【解析】 ∵0<ω<1，∴T ＝2πω，∴T 4＝π2ω>π2. ∴f (x )＝2sin ωx 在[0，π3]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (π3)＝2sin π3ω＝ 2. ∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34. 【答案】 34三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin (π－x )－sin (π2＋x )的值； (2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0，2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2kπ＋π3，k ∈Z }.16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos α＝－45，且α为第三象限角，求sin α的值；(2)已知tan α＝3，计算4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值． 【解】 (1)∵cos 2α＋sin 2α＝1，α为第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－－452＝－35.(2)显然cos α≠0，∴4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin α－2cos αcos α5cos α＋3sin αcos α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57.17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin (2x ＋π6)＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x ＋π6≤2kπ＋π2(k ∈Z )，知kπ－π3≤x ≤kπ＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2xh 错误!y ＝sin [2(x ＋错误!)]错误!y ＝sin (2x ＋错误!)＋错误!.18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．【解】 (1)由最低点为M (2π3，－2)，得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2， 得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M (2π3，－2)在图象上得2sin (2×2π3＋φ)＝－2， 即sin (4π3＋φ)＝－1， 故4π3＋φ＝2kπ－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2kπ－11π6(k ∈Z )． 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin (2x ＋π6)． (2)∵x ∈[π12，π2]， ∴2x ＋π6∈[π3，7π6]，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1， 故f (x )的值域为[－1，2]．。