动态因子模型(课堂PPT)
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动态因子模型及其应用研究综述
A Survey of Dynamic Factor Model and its
Applications
作者： 高华川[1];张晓峒[2]
作者机构： [1]南开大学经济学院;[2]南开大学经济学院数量经济研究所
出版物刊名： 统计研究
页码： 101-109页
年卷期： 2015年 第12期
主题词： 动态因子模型;估计;经济活动监测预警;结构分析
摘要：动态因子模型（DFM）的基本职能是对高维数据进行降维处理，即从高维数据集中提取变量间的协同变动信息。
在理论上，本文系统梳理了DFM的模型形式设定、估计方法以及结构化建模技术的发展历程和研究前沿。
在应用方面，本文总结了DFM在预测、构建经济周期指标和通货膨胀指数、以及经济结构分析中的应用研究。
最后，归纳出了DFM计量分析的研究脉络和未来的发展方向。
流感动态模型讲解PPT课件
dS A(t) (t) S I [ (t) (t) k] S (t) R
dt
A(t) [(t) I (t) (t) k] S (t) R
[ (t) I (t) (t) k] S
9
dS(t) [(t) I (t) (t) k]dt S
2
2013年上半年爆发的H7N9禽流感是一种新型 禽流感，H7N9在中国的传播给人们带来了很大的 恐慌，那阵子人们都不敢在市场上买鸡和鸭。禽 流感给人类社会带来的总是恐慌，也给农业部门 带来了巨大的损失。还很清楚的记得当年H1N1流 感传播的时候每天进校门都要做体检。所以，流 感在我的印象中总是一个灰色的名词，它似乎总 是给人们带来负面的影响，这也就激起了我想更 详细的了解它的各方面知识。
这次的论文一是让我了解到更多流感的知识，二是让我能将专业 知识运用到论文中，三是锻炼了我的解决各种问题的能力。
14
15
dX A k X dt
M kX
dX
dt
M kX
12
X 1 [M exp(k(t C))] k
X 1 [M exp(k(t C))] k
这样我们就证明了模型的有界性。
13
在写这篇论文的过程中我收获了很多。以前觉得课本上的专业知识 终是无用武之地的，写完这篇论文后觉得自己以前的观点是错误的，在 本文中多次用到了常微分方程的知识，当然也有很多其他的知识。在论 文前期，在周老师指导和自己努力下查找资料，知道了怎样运用科学方 法搜集资料。论文中期的时候开始建立自己的模型并证明，在这过程中 一再用到自己大学里学过的专业知识。论文后期在周英告老师的指导下 检查论文的错误，并自己完善。论文后期过程也是以个很让我受益的地 方，在检查论文的时候能渐渐发现自己的问题，并逐个的改正。
dt
A(t) [(t) I (t) (t) k] S (t) R
[ (t) I (t) (t) k] S
9
dS(t) [(t) I (t) (t) k]dt S
2
2013年上半年爆发的H7N9禽流感是一种新型 禽流感，H7N9在中国的传播给人们带来了很大的 恐慌，那阵子人们都不敢在市场上买鸡和鸭。禽 流感给人类社会带来的总是恐慌，也给农业部门 带来了巨大的损失。还很清楚的记得当年H1N1流 感传播的时候每天进校门都要做体检。所以，流 感在我的印象中总是一个灰色的名词，它似乎总 是给人们带来负面的影响，这也就激起了我想更 详细的了解它的各方面知识。
这次的论文一是让我了解到更多流感的知识，二是让我能将专业 知识运用到论文中，三是锻炼了我的解决各种问题的能力。
14
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dX A k X dt
M kX
dX
dt
M kX
12
X 1 [M exp(k(t C))] k
X 1 [M exp(k(t C))] k
这样我们就证明了模型的有界性。
13
在写这篇论文的过程中我收获了很多。以前觉得课本上的专业知识 终是无用武之地的，写完这篇论文后觉得自己以前的观点是错误的，在 本文中多次用到了常微分方程的知识，当然也有很多其他的知识。在论 文前期，在周老师指导和自己努力下查找资料，知道了怎样运用科学方 法搜集资料。论文中期的时候开始建立自己的模型并证明，在这过程中 一再用到自己大学里学过的专业知识。论文后期在周英告老师的指导下 检查论文的错误，并自己完善。论文后期过程也是以个很让我受益的地 方，在检查论文的时候能渐渐发现自己的问题，并逐个的改正。
动态因子模型ppt课件
DFMs：
• 前提：
一些潜在的动态因子 ，联动于一个时间序列变量构成的高维向量 ，也被一个均值为零的特殊干扰向量 所影响。 这些特殊干扰是由测量误差和特定于单个序列的特殊性质所引起的（例 如，沙门氏菌恐慌对餐厅就业的影响）。 这些潜在的因子，遵循一定的时间序列过程，一般认为是一个向量自回 归过程（VAR）。
• 目的：在现有的DFMs著作中，所描述的在某种程度上具体足以用于使研究者
创新于此领域，关键的理论结果，应用和经验主义的发现。 Bai and Ng(2008)和Stock and Watson(2006)对这个作品提供了补充性的 调查。Bai and Ng(2008)比这个更有技术性，并且更专注于计量经济学的理论 和条件；Stock and Watson(2006)关注在DFM基础上的预测，它是在许多预测 者使用的其他方法背景下进行的。
第二阶段的关键结果是因子拓展空间的主成分估计量 是一致的，此外，如果N充分大，因子被精确的估计其精 确度足以使其作为后面回归的数据。
• 第三阶段：
运用因子的一致非参数估计量来估计第一阶 段中状态空间模型的参数，从而解决第一阶段模 型中相关的维度问题。
在状态空间模型中，许多参数未知的问题解决办法是 运用贝叶斯方法，即，用优先和整合取代最大化，一小部 分论文用到这种解决方法，它同时还用到第二和第三阶段 的（传统的）估计量。
因此，宏观经济学家面临的数据集：成百上千 个序列，但每个序列观察的数量相当少（例如20 至40年的季度数据）。
DFMs：
在过去几十年得到很大注意力，因为它能够模拟序列数量大于时间观 测数量的数据集的同时性和一致性。
• 背景：最初由Geweke(1977)提出，作为以前由横截面数据发展而来的因子模
数学模型中的因子分析法PPT课件
z0.044X 5 160.0 839X 42 40.3 106X 0357 0.565X410 4.959X 45 30.9 0.055X 0629
6
• Obs • • • • • • • • • • • • • • • •
Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 1 -0.38118 -0.32367 -0.04450 0.30363 0.00430 0.06437 2 0.57795 -0.35416 0.49279 0.55119 -0.18726 0.17414 3 0.69219 -0.21588 0.40557 0.40041 -0.10461 0.05393 4 0.22635 -0.39419 0.27521 0.63296 0.13851 -0.06481 5 -0.82981 -0.40293 0.47330 -0.42964 -0.55401 -0.35020 6 -1.19410 -0.40627 -0.36848 0.14000 0.02221 0.01063 7 -1.63568 -0.26394 -0.67179 -0.15189 0.01702 -0.03769 8 0.95195 -0.46156 1.61851 -0.92520 0.08394 0.25530 9 0.46501 -0.14888 0.19070 0.16273 -0.30327 0.20883 10 -1.45693 -0.18670 -0.55658 -0.17088 -0.10267 -0.00922 11 -0.29401 3.71727 -0.02727 -0.02382 -0.06419 0.03517 12 0.08041 0.22542 1.71694 0.12718 0.45539 -0.26668 13 -2.11628 -0.16312 -0.90179 -0.16784 0.14422 -0.03334 14 -0.94513 -0.31477 -0.39513 0.09760 0.11375 -0.03132 15 6.74015 -0.06989 -1.12895 -0.16618 0.04080 -0.11394 16 -0.88090 -0.23673 -1.07853 -0.38025 0.29589 0.10482
6
• Obs • • • • • • • • • • • • • • • •
Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 1 -0.38118 -0.32367 -0.04450 0.30363 0.00430 0.06437 2 0.57795 -0.35416 0.49279 0.55119 -0.18726 0.17414 3 0.69219 -0.21588 0.40557 0.40041 -0.10461 0.05393 4 0.22635 -0.39419 0.27521 0.63296 0.13851 -0.06481 5 -0.82981 -0.40293 0.47330 -0.42964 -0.55401 -0.35020 6 -1.19410 -0.40627 -0.36848 0.14000 0.02221 0.01063 7 -1.63568 -0.26394 -0.67179 -0.15189 0.01702 -0.03769 8 0.95195 -0.46156 1.61851 -0.92520 0.08394 0.25530 9 0.46501 -0.14888 0.19070 0.16273 -0.30327 0.20883 10 -1.45693 -0.18670 -0.55658 -0.17088 -0.10267 -0.00922 11 -0.29401 3.71727 -0.02727 -0.02382 -0.06419 0.03517 12 0.08041 0.22542 1.71694 0.12718 0.45539 -0.26668 13 -2.11628 -0.16312 -0.90179 -0.16784 0.14422 -0.03334 14 -0.94513 -0.31477 -0.39513 0.09760 0.11375 -0.03132 15 6.74015 -0.06989 -1.12895 -0.16618 0.04080 -0.11394 16 -0.88090 -0.23673 -1.07853 -0.38025 0.29589 0.10482
《因子分析数学模型》课件
总结与展望
因子分析数学模型是一种强大的数据分析工具，可以揭示变量间的潜在结构和关系，帮助决策者做出准确和可靠的 决策。 未来，随着数据科学和人工智能的发展，因子分析将在更多领域得到应用，成为决策支持和问题解决的重要手段。
参考文献
• 附录1：相关数学知识 • 附录2：实例数据和代码 • 附录3：常见因子分析软件介绍
3
最似然法（MLE）
MLE基于概率统计理论，通过最大化观测数 据与模型之间的似然函数来估计因子载荷。
主因子法（PAF）
PAF基于向量之间的相关系数，寻找具有最 大因子载荷的主要因子，从中提取对观测变 量具有最大解释力的因子。
因子分析的实例分析
数据准备及预 处理
根据特定问题的需求， 选择合适的数据集，并 对数据进行清理、转换 和标准化，以满足因子 分析的假设。
因子数的确定 和选择
根据特征值、解释度方 差贡献率、Scree图等 指标，确定最合适的因 子数，以提取最重要的 信息。
因子旋转和解 释度分析
使用旋转方法（如 Varimax、Promax等）， 优化因子结构，同时通 过解释度判断模型的质 量和合理性。
结果分析和解读
对提取的因子模式进行 解释，结合领域知识和 实际情境，解读因子的 含义和影响，提出相关 建议和决策。
特征值和特征向量
特征值用于衡量因子的重要性， 而特征向量表示因子的方向和 权重。
旋转和解释度
旋转可以优化因子的解释度， 使其更易理解和解释，用以提 高模型的可解释性和可靠度。
因子分析的模型方法
1
主成分分析法（PCA）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
PCA通过线性变换将观测变量转化为无关变
量的线性组合，从中提取主要特征，以解释
动态因子模型范文
动态因子模型范文动态因子模型（Dynamic factor model），是一种用于分析时间序列数据的统计模型。
它通过将观测数据转化为隐含因子和观测残差的组合，来捕捉数据背后的潜在动态结构和关联关系，进而能够用于预测、滤波和降维等多种应用场景。
本文将对动态因子模型的基本原理、模型设定、参数估计和应用进行讨论。
动态因子模型的基本原理是，观测数据可以被表示为多个隐含因子的线性组合加上观测残差的和。
这些隐含因子代表了一组影响观测数据的共同波动，它们对应于数据的动态结构和关联关系。
观测残差则捕捉了隐含因子无法解释的个别波动和误差项。
在动态因子模型中，观测数据被表示为以下形式：Y_t=ΛF_t+e_t其中，Y_t是一个n×1的观测数据向量，代表了t时刻的观测数据；Λ是一个n×k的系数矩阵，代表了观测数据与隐含因子的关系；F_t是一个k×1的隐含因子向量，代表了t时刻的隐含因子；e_t是一个n×1的观测残差向量，代表了t时刻的观测残差；n是观测数据的维度，k是隐含因子的个数。
需要注意的是，隐含因子和观测残差应满足一些统计性质，如独立同分布和零均值等。
为了获得动态因子模型的参数估计，常常使用最大似然估计法或贝叶斯估计法。
最大似然估计法通过最大化观测数据的似然函数，来求解模型的系数矩阵Λ、隐含因子F_t的条件分布和观测残差e_t的条件分布。
贝叶斯估计法则通过将参数估计问题转化为后验分布的计算问题，并借助先验分布和观测数据的条件分布，来获得参数的估计结果。
在实际应用中，还可以使用一些降维方法，如主成分分析等，来简化模型的计算过程。
动态因子模型在经济学和金融学等领域有广泛的应用。
在经济学中，它可以用于分析和预测宏观经济指标，如GDP增长率、通货膨胀率和失业率等。
通过对这些指标进行分解，可以揭示其背后的共同波动和动态结构，提供对经济形势进行短期和长期预测的依据。
在金融学中，动态因子模型可以用于分析和预测资产价格和回报率等金融变量。
数学建模 第二部分 动态模型 ppt课件
▪ 种群间的竞争：-bSH
数学建模 第二部分 动态模型
▪ 变量： ▪ H=硬材树种群（吨/亩） ▪ S=软材树种群（吨/亩） ▪ gH=硬材树的生长率（吨/英亩/年） ▪ gS=软材树的生长率（吨/英亩/年） ▪ cH=与软材树竞争的损失（吨/英亩/年） ▪ cs=与硬材树竞争的损失（吨/英亩/年）
数学建模 第二部分 动态模型
▪ 例 4.2 蓝鲸和长须鲸是生活在同一海域的 相似种群，因此认为他们之间存在竞争。 蓝鲸的内禀增长率每年估计为5%，长须鲸 为每年8%，环境承载力（环境能够支付的 鲸鱼的最大数量）估计蓝鲸为150000条， 长须鲸为400000条。鲸鱼竞争的程度是未 知的。在过去的100年剧烈的捕捞已经使鲸 鱼数量减少，蓝鲸大约为5000条，长须鲸 大约为70000条。蓝鲸是否会灭绝？
x1>0,x2>0.
数学建模 第二部分 动态模型
figure ezplot(x1alpha,[0 8*10^(-7)]), hold on grid on ezplot(x2alpha,[0 8*10^(-7)]), hold on title('Level of coexisting populations vs
数学建模 第二部分 动态模型
▪ H和S分别表示硬材树和软材树种群。生物学家习 惯使用的计量单位是每英亩上的木材吨数。
▪ 无限制生长(丰富的空间、阳光、水分、土壤养料 等）：rP
▪ 种群内的竞争：-aP2（小种群的增长率线性依赖 于种群的大小 ，即：-aP)
▪ 种群生长(率)函数：g(P)= rP -aP2，(r为内禀增长 率，a<<r是资源限制强度系数)
x2min)/M:x2max); dX1=0.05*X1.*(1-X1/150000) - alpha*X1.*X2; % x1-component dX2=0.08*X2.*(1-X2/400000) - alpha*X1.*X2; % x2-component quiver(X1,X2,dX1,dX2); % matlab routine axis([x1min x1max x2min x2max]); title('Direction field (the vectors may be rescaled!)'); hold on xlabel('Blue Whales'); ylabel('Fin Whales'); ezplot(f1,[0 900000 0 600000]), hold on ezplot(f2,[0 900000 0 600000])
数学建模 第二部分 动态模型
▪ 变量： ▪ H=硬材树种群（吨/亩） ▪ S=软材树种群（吨/亩） ▪ gH=硬材树的生长率（吨/英亩/年） ▪ gS=软材树的生长率（吨/英亩/年） ▪ cH=与软材树竞争的损失（吨/英亩/年） ▪ cs=与硬材树竞争的损失（吨/英亩/年）
数学建模 第二部分 动态模型
▪ 例 4.2 蓝鲸和长须鲸是生活在同一海域的 相似种群，因此认为他们之间存在竞争。 蓝鲸的内禀增长率每年估计为5%，长须鲸 为每年8%，环境承载力（环境能够支付的 鲸鱼的最大数量）估计蓝鲸为150000条， 长须鲸为400000条。鲸鱼竞争的程度是未 知的。在过去的100年剧烈的捕捞已经使鲸 鱼数量减少，蓝鲸大约为5000条，长须鲸 大约为70000条。蓝鲸是否会灭绝？
x1>0,x2>0.
数学建模 第二部分 动态模型
figure ezplot(x1alpha,[0 8*10^(-7)]), hold on grid on ezplot(x2alpha,[0 8*10^(-7)]), hold on title('Level of coexisting populations vs
数学建模 第二部分 动态模型
▪ H和S分别表示硬材树和软材树种群。生物学家习 惯使用的计量单位是每英亩上的木材吨数。
▪ 无限制生长(丰富的空间、阳光、水分、土壤养料 等）：rP
▪ 种群内的竞争：-aP2（小种群的增长率线性依赖 于种群的大小 ，即：-aP)
▪ 种群生长(率)函数：g(P)= rP -aP2，(r为内禀增长 率，a<<r是资源限制强度系数)
x2min)/M:x2max); dX1=0.05*X1.*(1-X1/150000) - alpha*X1.*X2; % x1-component dX2=0.08*X2.*(1-X2/400000) - alpha*X1.*X2; % x2-component quiver(X1,X2,dX1,dX2); % matlab routine axis([x1min x1max x2min x2max]); title('Direction field (the vectors may be rescaled!)'); hold on xlabel('Blue Whales'); ylabel('Fin Whales'); ezplot(f1,[0 900000 0 600000]), hold on ezplot(f2,[0 900000 0 600000])
UML第5章动态模型PPT课件
5.1.3 状态
• 状态是根据影响对象总的行为的性质，一系列 组合在一起是一个状态。
• 状态有持续性，它占有一个时间间隔。 • 在定义状态时，忽略那些不影响对象行为的属
性，并把对事件所有相同响应的属性值和链接 组合在一起，合并为一个状态。 • 一个状态能用不同的方法表示它的特征。图5-2 是钟的“闹铃”状态的各种特征表述。
• 提供事件层次结构时可以在模型的不同部位用 不同的抽象层次。
事件 时间
用户输入 设备
鼠标按钮 位置
鼠标按钮按下
鼠标按钮释放
键盘字符 字符
控制字符
图形字符
空格
图5-11
字母数字
标点符号
5.4 并发性
• 并发在对象模型中是一个很重要的概念，本节 就对它进行详细的介绍。
5.4.1 聚合并发性
• 聚合隐含着并发性，聚合状态对应于所有部分 状态图的状态组合。
• 图5-8表示了一个自动售货机的顶层模型。这个 图包含了分发物品的活动和选择物品的事件， 在嵌套状态图中作了更详细的扩充。
空闲
加入硬币(合计)/设定余额 取消/退还硬币
收银 加入硬币(合计)/添加余额
[物品空]
选取(物品) [找零<0]
do:识别物品并计算找零
[找零<0] do:分发物品
图5-8
5.3.1 平状态图问题
• 状态图因为明显缺乏表达能力和对大的问题不 适用而经常受到批评。这些问题对于平的、非 结构化的状态图来说，的确是一个问题。如图 5-7所示的状态图 。
图5-7
5.3.2 嵌套状态图
• 状态的活动能扩展成低层状态图，每个状态表 示该活动的一步。嵌套活动是单步的有输入输 出变迁的状态图，类似于子程序。
数学建模动态模型 优质课件
ii.降低s0 (s0 i0 r0 ) r0 群体免疫.
习题：
在SIR模型中，证明：
(1)若
s0
1
，则 i(t)
先增加，在
s 1
处达
到最大，然后减小并趋于0；s(t) 单调减
少至 s .
(2)若
s0
1
，则
i(t) 单调减少并趋于0，s(t)
单调减少至 s .
足
s0
i0
s
1
ln
s s0
0;
2.s0 1/ (P1) i(t)先升后降至0 传染病
蔓延；
3.s0 1/ (P2 ) i(t)单调降至0 传染病
不蔓延.
故 是阈值。
1
： 从而得预防传染病蔓延的手段
i.提高阈值1/ ( / ) , : (日接触率) 卫生水平 ； (日治愈率) 医疗水平 .
si i si
i0, s(0)
, s0
（8） （9）
方程（9）无法求出 s(t) 和 i(t) 的解析解，在相平面
s ~ i 上研究解的性质。
相轨线的定义域为
D {(s,i) | s 0,i 0, s i 1} （10）
在方程（9）中消去 dt并注意到 的定义，可得
• 按照传播过程的一般规律，用机理 分析方法建立模型
模型1 （SI模型）
模型假设：
• 健康人和病人在时刻t这两类人在总人数 中所占的比例分别记作和 s(t)和i(t).
• 每个病人每天有效接触（足以使人致病） 人数为 ， 称日接触率。
模型建立
习题：
在SIR模型中，证明：
(1)若
s0
1
，则 i(t)
先增加，在
s 1
处达
到最大，然后减小并趋于0；s(t) 单调减
少至 s .
(2)若
s0
1
，则
i(t) 单调减少并趋于0，s(t)
单调减少至 s .
足
s0
i0
s
1
ln
s s0
0;
2.s0 1/ (P1) i(t)先升后降至0 传染病
蔓延；
3.s0 1/ (P2 ) i(t)单调降至0 传染病
不蔓延.
故 是阈值。
1
： 从而得预防传染病蔓延的手段
i.提高阈值1/ ( / ) , : (日接触率) 卫生水平 ； (日治愈率) 医疗水平 .
si i si
i0, s(0)
, s0
（8） （9）
方程（9）无法求出 s(t) 和 i(t) 的解析解，在相平面
s ~ i 上研究解的性质。
相轨线的定义域为
D {(s,i) | s 0,i 0, s i 1} （10）
在方程（9）中消去 dt并注意到 的定义，可得
• 按照传播过程的一般规律，用机理 分析方法建立模型
模型1 （SI模型）
模型假设：
• 健康人和病人在时刻t这两类人在总人数 中所占的比例分别记作和 s(t)和i(t).
• 每个病人每天有效接触（足以使人致病） 人数为 ， 称日接触率。
模型建立
动态优化模型(完整版)ppt课件
Q
x(0) 0 Qk2T2/4k1
只有当生产任务Q 足够大 时才需要从 t=0开始生产.
O
Tt
?
若 Qk2T2/4k1,怎么办?
模型 解释
生产费用 f(x(t))k1x2(t)
df dx
~ 边际成本
贮存费用 g(x(t))k2x(t)
dg dx
k 2 ~边际贮存
最优生产计划 x(t)k2 t24k1Qk2T2t
J(u(t))t2F(t,x(t),u(t))dt x(t)f(t,x(t),u (t)) t1
I ( x ( t) ,u ( t) ) t2 [ F ( t,x ,u ) ( t) (f( t,x ,u ) x ) ] d t t 1
t2 (H x)dt t1
H ( t ,x ,u ) F ( t ,x ,u ) ( t ) f( t ,x ,u )
模型与求解
求x(t) (0, 0tT)使C(x(t))最小.
C (x(t))0 T[k1x2(t)k2x(t)]dt x(0)0,x(T)Q
欧拉方程
Fk1x2(t)k2x(t)
Fx
d dt
Fx
0
k22k1x(t)0
x(t)k2 t24k1Qk2T2t
4k1
4k1T
x
考察x(t)0 (0tT) 的条件
泛函条件极值
(t) fx (t, x, u )
哈密顿函数
fu (t, x,u ) 0
H1f(t,x,u) x ( t ) f ( t , x , u )
x (0 ) x0, x (T ) x1
求解最优控制函数u(t)和最优状态x(t).
简化模型 讨论函数f的具体、简化形式
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• 第5部分会讨论一些拓展。
8
二 因子估计
• Geweke(1977)和Sargent and Sims(1977)开创性的工 作是用频域分析方法来寻找动态因子结构的迹象 和预测因子的重要程度。
• 然而，那些方法不能够直接估计 ，因此也不能 用于预测。
• 后来的DFMs工作针对时域分析方法，这时 能 够直接被估计。
10
• 第二阶段：大N的非参数估计
运用横截面平均方法，主要是主成分和相关分析方法 。
第二阶段的关键结果是因子拓展空间的主成分估计量 是一致的，此外，如果N充分大，因子被精确的估计其精 确度足以使其作为后面回归的数据。
11
• 第三阶段：
运用因子的一致非参数估计量来估计第一阶 段中状态空间模型的参数，从而解决第一阶段模 型中相关的维度问题。
这里第三行根据等式(2)，最后一行根据(1)和精确的DFM假设。
于是，有效总体预测回归的维数不会随着系统变量的增加而增加。
7
• 计量经济学家将会考虑的第一个问题：估计因子（或更精 确的说，判断因子的跨越空间）和确定有多少因子。 ——第2和第3部分
• 一旦有了这些因子的可靠估计量，不仅仅是用来预测，而 且把它们作为工具变量，估计因子增广向量自回归（ FAVARs）和估计动态随机一般均衡模型（DSGEs）。 ——第4部分
• 背景：最初由Geweke(1977)提出，作为以前由横截面数据发展而来的因子模
型的一个时间序列扩展。 早期影响力作品中，Sargent and Sims(1977)，有两个动态因子能够解释
大部分美国重要的宏观经济季度变量的方差，例如产量，就业和价格。 Giannone,Reichlin,and Sala(2004) and Watson(2004),一个因子能够解释宏
4
DFMs：
• 前提：
一些潜在的动态因子 ，联动于一个时间序列变量构成的高维向量 ，也被一个均值为零的特殊干扰向量 所影响。
这些特殊干扰是由测量误差和特定于单个序列的特殊性质所引起的（例 如，沙门氏菌恐慌对餐厅就业的影响）。
这些潜在的因子，遵循一定的时间序列过程，一般认为是一个向量自回 归过程（VAR）。
动态因子模型
DFMs
James H.Stock； Mark W.Watson*
2010年1月； 2010年5月7日修订
1
目录
一 引言 二 因子的估计 三 因子数量的决定 四 被估计因子的应用 五 选择性拓展
2
宏观计量经济学家面临
：
一个特有的数据结构：
一方面，可靠和相关数据的年份 数量是有限制的，且不能很容易
。特殊干扰被假定与前后的创新因素是不相关的，即，对于所有的k，
。在所谓精确的动态因子模型中，特殊干扰被假定为在前后步中是不相关的，即
，对于所有的s，，
,如果i≠j。
6
DFMs：
• 考虑DFMs的一个重要的动机是：如果已知因子 ，且 是高斯的，我们 就能对一个单独的变量做出有效的预测，运用到滞后因素和变量滞后性的总 体回归。于是，预测者只运用q个因子就能从所有N变量中得到好处，这里q 远远小于N。 特别地，在方差损失下，第i个变量的最理想的向前一步预测为：
9
DFMs的时域估计研究分为三个阶段
• 第一阶段：低维（N很小）参数模型
运用高斯最大似然估计法（MLE）和卡尔曼滤波。 这种方法提供了在模型假设和参数下f的最佳估计量（ 和最佳预测值）。 然而，那些参数的估计必须包括非线性的优化，这种 优化有限制参数数量的作用，从而限制能够被处理，运用 的序列数量。
5
DFMs：
• 动态因子模型用方程式表示为：
这里有N个序列，所以 和 为N×1阶；有q个动态因子，所以 和 为q×1阶；
L为滞后算子，且滞后多项式矩阵λ(L)和Ψ(L)分别为N×q阶和q×q阶。
第i个滞后多项式 是第i个序列所加载的动态因子， 和
是第i个序列的主
成分。
我们假定(1)和(2)中所有的过程都是固定的（不固定的情况在本章最后部分讨论）
14
• 把DFM写成一个线性状态空间模型。令p作为滞后多项式矩阵λ(L)的维度
，
表示一个r×1维向量，令
,这里 为第i个滞后
矩阵λ(L)的N×q维系数矩阵。令Φ(L)为只包含1，0和Ψ(L)中元素的矩阵。
在状态空间模型中，许多参数未知的问题解决办法是 运用贝叶斯方法，即，用优先和整合取代最大化，一小部 分论文用到这种解决方法，它同时还用到第二和第三阶段 的（传统的）估计量。
12
• 注意：
这一部分中所有方法都假设数据已消除单位根和其趋 势。代表性地，通过区分所需的序列，然后标准化不同的 序列来完成；例如，一个典型的元素X可能为一个真实活 动预测量的某一阶段增长率，它被标准发现已被许多研究所证实。
• 目的：在现有的DFMs著作中，所描述的在某种程度上具体足以用于使研究者
创新于此领域，关键的理论结果，应用和经验主义的发现。 Bai and Ng(2008)和Stock and Watson(2006)对这个作品提供了补充性的
调查。Bai and Ng(2008)比这个更有技术性，并且更专注于计量经济学的理论 和条件；Stock and Watson(2006)关注在DFM基础上的预测，它是在许多预测 者使用的其他方法背景下进行的。
13
2.1 第一阶段：时域最大似然法，通过卡尔曼滤波
• Engle and Watson(1981,1983),Stock and Watson(1989),Sargent(1989),and Quah and Sargent(1993)： 早期的动态因子模型的时间域估计用卡尔曼滤波来估算高 斯似然，用最大似然法来估计参数，然后用卡尔曼滤波和 滤波器得到因子有效估计。
地增长。
另一方面，战后很长时间内，统 计局收集了很多相关数据，包括 宏观经济，金融，有关经济领域
内变量的月度和季度数据。
因此，宏观经济学家面临的数据集：成百上千 个序列，但每个序列观察的数量相当少（例如20 至40年的季度数据）。
3
DFMs：
在过去几十年得到很大注意力，因为它能够模拟序列数量大于时间观 测数量的数据集的同时性和一致性。
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二 因子估计
• Geweke(1977)和Sargent and Sims(1977)开创性的工 作是用频域分析方法来寻找动态因子结构的迹象 和预测因子的重要程度。
• 然而，那些方法不能够直接估计 ，因此也不能 用于预测。
• 后来的DFMs工作针对时域分析方法，这时 能 够直接被估计。
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• 第二阶段：大N的非参数估计
运用横截面平均方法，主要是主成分和相关分析方法 。
第二阶段的关键结果是因子拓展空间的主成分估计量 是一致的，此外，如果N充分大，因子被精确的估计其精 确度足以使其作为后面回归的数据。
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• 第三阶段：
运用因子的一致非参数估计量来估计第一阶 段中状态空间模型的参数，从而解决第一阶段模 型中相关的维度问题。
这里第三行根据等式(2)，最后一行根据(1)和精确的DFM假设。
于是，有效总体预测回归的维数不会随着系统变量的增加而增加。
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• 计量经济学家将会考虑的第一个问题：估计因子（或更精 确的说，判断因子的跨越空间）和确定有多少因子。 ——第2和第3部分
• 一旦有了这些因子的可靠估计量，不仅仅是用来预测，而 且把它们作为工具变量，估计因子增广向量自回归（ FAVARs）和估计动态随机一般均衡模型（DSGEs）。 ——第4部分
• 背景：最初由Geweke(1977)提出，作为以前由横截面数据发展而来的因子模
型的一个时间序列扩展。 早期影响力作品中，Sargent and Sims(1977)，有两个动态因子能够解释
大部分美国重要的宏观经济季度变量的方差，例如产量，就业和价格。 Giannone,Reichlin,and Sala(2004) and Watson(2004),一个因子能够解释宏
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DFMs：
• 前提：
一些潜在的动态因子 ，联动于一个时间序列变量构成的高维向量 ，也被一个均值为零的特殊干扰向量 所影响。
这些特殊干扰是由测量误差和特定于单个序列的特殊性质所引起的（例 如，沙门氏菌恐慌对餐厅就业的影响）。
这些潜在的因子，遵循一定的时间序列过程，一般认为是一个向量自回 归过程（VAR）。
动态因子模型
DFMs
James H.Stock； Mark W.Watson*
2010年1月； 2010年5月7日修订
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目录
一 引言 二 因子的估计 三 因子数量的决定 四 被估计因子的应用 五 选择性拓展
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宏观计量经济学家面临
：
一个特有的数据结构：
一方面，可靠和相关数据的年份 数量是有限制的，且不能很容易
。特殊干扰被假定与前后的创新因素是不相关的，即，对于所有的k，
。在所谓精确的动态因子模型中，特殊干扰被假定为在前后步中是不相关的，即
，对于所有的s，，
,如果i≠j。
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DFMs：
• 考虑DFMs的一个重要的动机是：如果已知因子 ，且 是高斯的，我们 就能对一个单独的变量做出有效的预测，运用到滞后因素和变量滞后性的总 体回归。于是，预测者只运用q个因子就能从所有N变量中得到好处，这里q 远远小于N。 特别地，在方差损失下，第i个变量的最理想的向前一步预测为：
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DFMs的时域估计研究分为三个阶段
• 第一阶段：低维（N很小）参数模型
运用高斯最大似然估计法（MLE）和卡尔曼滤波。 这种方法提供了在模型假设和参数下f的最佳估计量（ 和最佳预测值）。 然而，那些参数的估计必须包括非线性的优化，这种 优化有限制参数数量的作用，从而限制能够被处理，运用 的序列数量。
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DFMs：
• 动态因子模型用方程式表示为：
这里有N个序列，所以 和 为N×1阶；有q个动态因子，所以 和 为q×1阶；
L为滞后算子，且滞后多项式矩阵λ(L)和Ψ(L)分别为N×q阶和q×q阶。
第i个滞后多项式 是第i个序列所加载的动态因子， 和
是第i个序列的主
成分。
我们假定(1)和(2)中所有的过程都是固定的（不固定的情况在本章最后部分讨论）
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• 把DFM写成一个线性状态空间模型。令p作为滞后多项式矩阵λ(L)的维度
，
表示一个r×1维向量，令
,这里 为第i个滞后
矩阵λ(L)的N×q维系数矩阵。令Φ(L)为只包含1，0和Ψ(L)中元素的矩阵。
在状态空间模型中，许多参数未知的问题解决办法是 运用贝叶斯方法，即，用优先和整合取代最大化，一小部 分论文用到这种解决方法，它同时还用到第二和第三阶段 的（传统的）估计量。
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• 注意：
这一部分中所有方法都假设数据已消除单位根和其趋 势。代表性地，通过区分所需的序列，然后标准化不同的 序列来完成；例如，一个典型的元素X可能为一个真实活 动预测量的某一阶段增长率，它被标准发现已被许多研究所证实。
• 目的：在现有的DFMs著作中，所描述的在某种程度上具体足以用于使研究者
创新于此领域，关键的理论结果，应用和经验主义的发现。 Bai and Ng(2008)和Stock and Watson(2006)对这个作品提供了补充性的
调查。Bai and Ng(2008)比这个更有技术性，并且更专注于计量经济学的理论 和条件；Stock and Watson(2006)关注在DFM基础上的预测，它是在许多预测 者使用的其他方法背景下进行的。
13
2.1 第一阶段：时域最大似然法，通过卡尔曼滤波
• Engle and Watson(1981,1983),Stock and Watson(1989),Sargent(1989),and Quah and Sargent(1993)： 早期的动态因子模型的时间域估计用卡尔曼滤波来估算高 斯似然，用最大似然法来估计参数，然后用卡尔曼滤波和 滤波器得到因子有效估计。
地增长。
另一方面，战后很长时间内，统 计局收集了很多相关数据，包括 宏观经济，金融，有关经济领域
内变量的月度和季度数据。
因此，宏观经济学家面临的数据集：成百上千 个序列，但每个序列观察的数量相当少（例如20 至40年的季度数据）。
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DFMs：
在过去几十年得到很大注意力，因为它能够模拟序列数量大于时间观 测数量的数据集的同时性和一致性。