高一年级数学上册教学质量检测试题卷

2022-2023学年北京市海淀区二十中学高一上学期阶段性检测（12月月考）数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】利用集合交集的定义求解.【详解】由||2x <结合绝对值的几何意义解得22x -<<， 所以{|22}A x x =-<<， 所以A B ={}1,0,1-， 故选:B.2．已知0.36a =，ln0.3b =，60.3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】A【分析】与“0”，“1”比较大小即可解决. 【详解】由题知, 300.616>==a ，ln0.3ln10=<=b ，60.3c =，因为060033.0.<<，所以01c <<所以01b c a <<<<， 故选：A3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．1y x=B ．e x y =C ．lg y x =D ．y x =【答案】D【分析】根据具体函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，因为1y x =，当0x >时，1y x =，显然1y x=在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为()e xy f x ==，所以()11e1e f -==-，()1e f =，即存在x ∈R ，使得()()f x f x -≠，所以()f x 不是偶函数，故B 错误；对于C ，因为()lg y g x x ==，所以11lg 111010g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()10lg101g ==，即()11010g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上并不单调递增，故C 错误； 对于D ，因为y h x x ，易得()h x 的定义域为R ，即()h x 的定义域关于原点对称，又hx x xh x ，所以()h x 是在R 上的偶函数，当0x >时，()h x x =，显然()h x 在()0,∞+上单调递增，故D 正确. 故选：D.4．已知0a b >>，则下列各选项正确的是（ ） A ．110->a bB ．11022a b⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．log 2log 20a b -<D ．ln ln 0a b +>【答案】B【分析】每个选项依次考查，判断一个命题是假命题只需举一个反例.. 【详解】0,a b >>A ：不妨取3,2a b ==，1111032a b ∴-=-<，A 错；B ：()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，()()11,022a bf a f b ⎛⎫⎛⎫∴<∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 对；C ：取12,2a b ==，212log 2log 2log 2log 220a b -=-=>，C 错；D ：取11,,ln ln 0,23a b a b ==∴+<D 错；故选：B5．已知函数()26log f x x x=-．在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】C【分析】根据零点存在性定理解决即可. 【详解】由题知，函数在定义域内单调递减，且 2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，2(3)2log 30f =->， 231(4)log 4022f =-=-<， 26(5)log 505=-<f ， 所以()f x 零点的区间是()3,4, 故选：C6．在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据幂函数的图象与性质，分0a >和a<0讨论，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若0a >时，函数a y x =在(0,)+∞递增，此时1y ax a=+递增，排除D ；纵轴上截距为正数，排除C ，即0a >时，不合题意；若a<0时，函数a y x =在(0,)+∞递减，又由1y ax a=+递减可排除A ，故选B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）1010 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-， 则10.11010110100.81.25910V --===≈≈. 故选：C.8．函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．已知函数()()e e 0x xf x a b ab -=+≠，则“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据0a b +=可得()f x ，由奇偶性定义可知充分性成立；由()f x 为奇函数可知()()f x f x -=-，由此可构造方程求得0a b +=，知必要性成立，由此可得结论.【详解】当0a b +=时，()e e x x f x a a -=-，()()e e x xf x a a f x -∴-=-=-，f x 为奇函数，充分性成立；当()f x 为奇函数时，由()()f x f x -=-得：e e e e x x x x a b a b --+=--，a b ∴=-，即0a b +=，必要性成立；∴“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C.10．已知函数()e 11e 2x xf x =-+．下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数 B ．函数()f x 在R 上是增函数 C ．函数()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．存在实数a ，使得关于x 的方程()0f x a -=有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】根据奇函数的性质、指数函数的性质，结合函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】解：对于A ，函数()e 11e 2x x f x =-+的定义域为R ， 00e 1(0)01e 2f =-=+，且()()e 111e 11e 11e 21e 21e 221e x x xx x x xf x f x ---=-=-=--=-=-++++， ∴函数()f x 是奇函数，A 选项正确；对于B ，函数()e 1111111e 21e 221e x x x xf x =-=--=-+++， 令12x x <，()()()()()()()1212121212121e 1e 1111e e 21e 21e 1e 1e 1e 1e x x x x x x x x x x f x f x ++--+==+-+=+-+-++，12x x <，12120e e e e x x x x ∴<⇒-<，而111e x +>，211e x +>，()()()()121212e e 01e 1e x x x x f x f x -∴++=<-，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数，B 选项正确； 对于C ，函数()1121ex f x =-+，11e x +>， 1011e x∴<<+，则1101e x -<-<+，1111221e 2x ∴-<-<+，即()1122f x -<<， 所以函数()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 选项正确；对于D ，由B 可知函数()f x 在R 上是增函数，因此关于x 的方程()0f x a -=不可能有两个不相等的实数根，D 选项错误； 故选：D.二、填空题 11．函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是___________． 【答案】()()0,11,+∞【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】因为()1ln 1f x x x =+-， 所以010x x >⎧⎨-≠⎩，则0x >且1x ≠，故()1ln 1f x x x =+-的定义域是()()0,11,+∞.故答案为：()()0,11,+∞.12．函数()121x f x -=-的零点为___________．【答案】1【分析】直接解方程即可.【详解】()112210,21,1log 10, 1.x x f x x x --=-=∴=∴-==∴=故答案为：113．函数()()log 231a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点_________. 【答案】()2,1【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式，即可得出函数()y f x =的图象所过定点的坐标.【详解】令231x -=，得2x =，且()2log 111a f =+=. 因此，函数()y f x =的图象过定点()2,1.故答案为()2,1.【点睛】本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为1求出自变量的值，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知函数()3xf x =，()2(R)g x x a a =+-∈．若函数()()y g f x =存在两个零点，则a 的取值范围是___________． 【答案】(),2-∞-【分析】先分类讨论0a ≥时，不符合题意；当a<0时，写成分段函数的形式，判断其单调性，利用零点存在定理得出有两个零点的条件即可求解.【详解】因为()3xf x =，()2(R)g x x a a =+-∈， 所以()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，()()32xa g f x =+-在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；当a<0时，()()()()3332,log 3232,log x xx a x a g f x a a x a ⎧+-≥-⎪=+-=⎨---<-⎪⎩，则()()g f x 在()()3,log a -∞-单调递减，在()()3log ,a -+∞单调递增，易知()()()3mi lo n g 32220a a a a g f x -+-=-+-=-<=，当()3log x a ≥-时，因为3x y =可取得无穷大值，故不管a 的取值如何，在()()3log ,a -+∞必存在一点1x ，使得()()10g f x >，所以()()g f x 在()()()()133log ,log ,a x a -⊆-+∞上必存在唯一零点， 因为函数()()y g f x =存在两个零点，所以当()3log x a <-时，()()g f x 在()()3,log a -∞-上也必须存在一个零点，即在()()3,log a -∞-必存在一点2x ，使得()()20g f x >，即2320x a --->， 所以223x a -->在()()3,log a -∞-上能成立，因为指数函数30x y =>恒成立，且当x →-∞时，30x y =→， 所以只需20a -->即可，得2a <-，即a 的取值范围为(),2-∞-. 故答案为：(),2-∞-.15．已知函数()()()1,121,1x a x f x a x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，其中0a >且1a ≠．给出下列四个结论：①若2a ≠，则函数()f x 的零点是0；②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为()0,1；③若2a >，则()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增；④若关于x 的方程()2f x a =-恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为()2,3，且123x x x ++的取值范围为(),2-∞．其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④【分析】令()0f x =可确定①正确；由函数无最小值可知当1x >时，()f x 单调递减，得②错误；分别判断两段函数的单调性，根据严格单调递增的要求知③错误；讨论可知2a >时存在有三个不等实根的情况，采用数形结合的方式可得a 的范围，分别求得123,,x x x ，进而得到123x x x ++的范围，知④正确.【详解】对于①，令10xa -=，解得：0x =；令()()210a x --=，解得：1x =（舍）；∴若2a ≠，则函数()f x 的零点是0x =，①正确；对于②，当1x ≤时，()1xf x a =-，此时()()min 00f x f ==；若()f x 无最小值，则需当1x >时，()f x 单调递减，即20a -<，解得：2a <， 又0a >且1a ≠，a ∴的取值范围为()()0,11,2，②错误；对于③，当2a >时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,1，()1,+∞上分别单调递增； 若需()f x 在()0,∞+上单调递增，则10a -≤，解得：1a =（舍）， f x 在()0,∞+上并非严格单调递增，③错误；对于④，当2a =时，()0f x =在1x >时有无数解，不满足题意；当01a <<或12a <<时，20a -<，则当1x ≤时，方程()2f x a =-无解；当1x >时，()2f x a =-有唯一解2x =；不满足方程有三个不等实根； 当2a >时，()f x 大致图象如下图所示，若()2f x a =-有三个不等实根，则021a <-<，解得：23a <<； 设123x x x <<，令()()212a x a --=-，解得：2x =，即32x =；令12xa a -=-，解得：()1log 3a x a =-，()2log 1a x a =-，()()()212log 31log 43a a x x a a a a ∴+=--=-+-；23a <<，()2430,1a a ∴-+-∈，()12,0x x ∴+∈-∞，()123,2x x x ∴++∈-∞，④正确. 故答案为：①④【点睛】思路点睛：本题考查分段函数零点、最值、单调性和方程根的分布的问题；求解方程根的分布的基本思路是能够将问题转化为曲线与平行于x 轴的直线交点个数问题，通过数形结合的方式，利用函数图象来进行分析和讨论，由此确定根的分布情况.三、解答题16．计算下列各式的值．(1)123024318(15)(9)27-⎛⎫++- ⎪⎝⎭(2)2log 355151log 352lg 10log log 14250+++ 【答案】(1)5 (2)7【分析】根据指数、对数的运算规律化简求解即可.【详解】（1）解：原式()113333131341335⎛⎫-⨯--⎪-⎝⎭+=+=++-=.（2）解：原式()()()112555log 572lg10log 252log 273-=⨯+-⨯-⨯+()55551log 712log 2log 2log 73=++-----+11237=+++=.17．已知对数函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）． (1)若对数函数()f x 的图像经过点()8,3，求a 的值；(2)若对数函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【答案】(1)2a =(2)a =【分析】（1）已知对数函数()f x 的图像经过点()8,3，将此点代入函数即可求出a 的值；（2）对数函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大2，分类讨论1a >，01a <<时函数的单调性，并求出最大值与最小值，列出方程即可求出a 的值.【详解】（1）解：若对数函数()f x 的图像经过点()8,3，则()8log 83a f ==， 38a ∴=，即2a =.（2）解：当1a >时，()log a f x x =在[],2a a 上是增函数，()()max 2log 2log 21a a f x f a a ∴===+，min ()()log 1a f x f a a ===，因为最大值比最小值大2，所以log 211log 22a a +-==，解得a = 当01a <<时，()log a f x x =在[],2a a 上是减函数，()()max 1f x f a ∴==，()()min 2log 21a f x f a ==+，则()1log 21log 22a a -+=-=，212a a ∴=⇒，综上a =2. 18．已知函数()()()12f x ax x =--．(1)若1a =-，求不等式()0f x >的解集；(2)已知0a >，求不等式()0f x >的解集．【答案】(1){}12x x -<<(2)答案见解析【分析】（1）当1a =-时，直接由一元二次不等式的解法可得出所求的答案；（2）分类讨论: 102a <<，12a =和12a >，分别根据一元二次不等式的解法即可得出相应的解集. 【详解】（1）解：当1a =-时，()(1)(2)f x x x =---，所以不等式()0f x >可化为：(1)(2)0x x --->，解得12x -<<，即不等式()0f x >的解集为：{}12x x -<<.（2）解：因为(1)(2)0ax x -->， 当12a >，即102a <<时，解得2x <或1x a >； 当12a =，即12a =时，解得2x ≠； 当12a <，即12a >时，解得1x a<或2x >； 综上所述，当102a <<时，不等式()0f x >的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，不等式()0f x >的解集为()(),22,-∞+∞； 当12a >时，不等式()0f x >的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 19．已知函数()332x xf x --=． (1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明；(3)若120f ax f x 对任意(],2a ∈-∞恒成立，求x 的取值范围． 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)单调递增，证明见解析；(3)(]1,0-.【分析】（1）根据证明函数的奇偶性步骤解决即可；（2）根据单调性定义法证明即可；（3）根据奇偶性，单调性转化解不等式即可.【详解】（1）()332x xf x --=为奇函数，理由如下 易知函数的定义域为(),-∞+∞，关于原点对称， 因为33()()2---==-x xf x f x ， 所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在()0,∞+上的单调递增，证明如下因为()332x xf x --=，()0,x ∈+∞， 设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以()()()()121211221233333333222----------==-x x x x x x x x f x f x ()()121212121233133331333322⎛⎫-⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==x x x x x x x x x x 因为12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，所以1212330,330-<>x x x x ，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上的单调递增.（3）由（1）知()f x 为奇函数，由（2）知()f x 在()0,∞+上的单调递增，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，因为120f ax f x 对任意(],2a ∈-∞恒成立， 所以(1)(2)(2)->--=-f ax f x f x ，所以12ax x 对任意(],2a ∈-∞恒成立，令()()10g a xa x =+->，(],2a ∈-∞则只需0(2)2(1)0x g x x ≤⎧⎨=+->⎩，解得10-<≤x ，所以x 的取值范围为(]1,0-.20．有一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减(1)求两年后，这种放射性元素的质量；(2)求t 年后，这种放射性元素的质量w （单位为：g ）与时间t 的函数表达式；(3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期）．（精确到0.1年，已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】(1)405g(2)5000.9t w =⨯(3)6.6年.【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解.【详解】（1）经过一年后，这种放射性元素的质量为500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，即两年后，这种放射性元素的质量为405g（2）由于经过一年后，这种放射性元素的质量为1500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，……所以经过t 年后，这种放射性元素的质量5000.9t w =⨯.（3）由题可知5000.9250t ⨯=，即0.9lg 0.5lg 2log 0.5 6.6lg 0.92lg31t -===≈-年. 21．对于正整数集合A ，记{}{},A a x x A x a -=∈≠，记集合X 所有元素之和为()S X ，()0S ∅=．若x A ∃∈，存在非空集合1A 、2A ，满足：①12A A =∅；②{}12A A A x =-；③()()12S A S A =，则称A 存在“双拆”．若x A ∀∈，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．(1)判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；(2){}12345,,,,A a a a a a =，证明：A 不能“任意双拆”；(3)若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，利用反证法，通过讨论集合A 中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立；（3）分析可知集合A 中每个元素均为奇数，且集合A 中所有元素都为奇数，分析可知7n ≥，当7n =时，{}1,3,5,7,9,11,13A =，根据“任意分拆”的定义可判断集合A 可“任意分拆”，即可得出结论.【详解】（1）解：对于集合{}1,2,3,4，{}{}{}1,2,3,441,2,3-=，且123+=，所以，集合{}1,2,3,4可双拆，若在集合中去掉元素1，因为234+≠，243+≠，342+≠，故集合{}1,2,3,4不可“任意分拆”； 若集合{}1,3,5,7,9,11可以“双拆”，则在集合{}1,3,5,7,9,11去除任意一个元素形成新集合B ， 若存在集合1B 、2B 使得12B B =∅，12B B B =，()()12S B S B =，则()()()()1212S B S B S B S B =+=， 即集合B 中所有元素之和为偶数，事实上，集合B 中的元素为5个奇数，这5个奇数的和为奇数，不合乎题意，故集合{}1,3,5,7,9,11不可“双拆”.（2）证明：不妨设12345a a a a a <<<<.反证法：如果集合A 可以“任意双拆”，若去掉的元素为1a ，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+，①，或5234a a a a =++，②，若去掉的元素为2a ，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有1534a a a a +=+，③，或5134a a a a =++，④，由①-③可得12a a =，矛盾；由②-③可得12a a =-，矛盾；由①-④可得12a a =-，矛盾；由②-④可得12a a =，矛盾.因此，当5n =时，集合A 一定不能“任意双拆”.（3）解：设集合{}12,,,n A a a a =. 由题意可知()()1,2,,i S A a i n -=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数.如果()S A 为奇数，则()1,2,,i a i n =也均为奇数，由于()12n S A a a a =+++，则n 为奇数； 如果()S A 为偶数，则()1,2,,i a i n =也均为偶数. 此时设2i i a b =，则{}12,,,n b b b 也是可“任意分拆”的，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数，则集合A 中元素个数n 为奇数，综上所述，集合A 中的元素个数为奇数，当3n =时，显然集合{}123,,A a a a =不可“任意分拆”；当5n =时，由（2）可知，{}12345,,,,A a a a a a =不可“任意分拆”，故7n ≥.当7n =时，取集合{}1,3,5,7,9,11,13A =，因为35791113+++=+，19135711++=++，1351171313711913+++=++++=+，， 19113513++=++，3791513++=++，1359711+++=+，则集合A 可“任意分拆”，所以，集合A 中元素个数n 的最小值为7.【点睛】方法点睛：处理集合有关的新定义问题时，关键在于审清题意，合理将所给定义转化为元素与集合、集合与集合之间的关系来处理，本题在证明（2）中的结论时，要充分利用题中定义，结合反证法推出矛盾，进而得出结论成立.。

2023年沈阳市高中一年级教学质量监测数学答案一、选择题1.B2.D3.C4.D5.B6.A7.C8.C9.ABD 10.BC 11.BCD 12.ABD 解析2.【解析】由21x <得11x −<<，由21x<得0x <.3.【解析】(2,2)x +=+a b ，2(4,1)x −=−a b ，若+a b 与2−a b 平行，则282x x +=−，得2x =.4.【解析】有三件正品（用1,2,3表示）和一件次品（用0表示）的产品中任取两件的样本空间{(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)}Ω=，恰有一件次品{(0,1),(0,2),(0,3)}A =，由古典概型得，31()62m P A n ===. 5.【解析】12x ，所以213x +，即2213x −，所以322x.6.【解析】由23BC BA BP +=，得2()3PC PB PA PB PB −+−=−，所以2PC PA +=0.7.【解析】由()f x 过点1(,4)2得，221()f x xx−==，由幂函数的性质得，()f x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，由(1)(3)f t f +<得，|1||3|t +>，所以13t +<−，或13t +>，解得4t <−，或2t >.也可直接带入得2211(1)3t <+，即2(1)9t +>，得到2280t t +−>，解得4t <−，或2t >. 8.【解析】由题意得21ax bx x =+的三个解满足1230x x x <<<，方程可化为21ax b x=+，则有12122211ax b x ax bx ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，且由0a <，得12ax b ax b +>+，所以221211x x >，即22120x x −<，所以120x x +>，12121212110x x y y x x x x ++=+=<. 9.【解析】450.10550.15650.20750.30850.15950.1070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.10.【解析】若25x +=，则3x =，此时249123x x −=−=−，故舍去，若245x x −=，则1x =−，或5x =. 12.【解析】法一：显然0x ≠，且1x ≠，原方程变形得22(1)x k x +=−，即2410x x k −+−=， 若0x =，此时1k =，方程的解集为{4}，若1x =，此时2k =−，方程的解集为{3}， 若0∆=，此时3k =−，方程的解集为{2}.14.【解析】由431a b +=，得144(3)(3)39121523627b a ab a b ab++=++++=，当且仅当49ab ab =，即19a =，6b =时等号成立，又13m b a <+恒成立，故27m <. 16.【解析】由ln a 是方程22410x x ++=的根，则22(ln )4ln 10a a ++=，所以21(ln )2ln 2a a +=−，即221(ln )ln 2a a +=−，又由ln a ，lnb 是方程22410x x ++= 的两个根，所以ln ln 2a b +=−，即ln()2ab =−，221e eab −==，所以22211(ln )ln 2ea a ab ++=−+.三、解答题解：（1）（方法一）方程两边同乘(1)(2)(3)(4)x x x x ++++得(2)(3)(4)(1)(3)(4)(1)(2)(4)(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x +++−+++=+++−+++，即(3)(4)(1)(2)x x x x ++=++，所以71232x x +=+，得52x =−，则解集为5{}2−. …………………………… 5分 （方法二）原方程可化为11111423x x x x +=+++++，即2525(1)(4)(2)(3)x x x x x x ++=++++ 即11(25)[]0(1)(4)(2)(3)x x x x x +−=++++，因为110(1)(4)(2)(3)x x x x −≠++++，所以250x +=，得52x =−，则解集为5{}2−. …………………………… 5分 （2）原不等式可化为(1)()0x x a −−， …………………………… 7分当1a =时，解集为{1}； …………………………… 8分 当1a <时，解集为[,1]a ； …………………………… 9分 当1a >时，解集为[1,]a .…………………………… 10分18．（12分）证明：（1）任取12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，则120x x −<， …………………… 1分121212121212()(4)44()()(5)(5)x x x x f x f x x x x x x x −−−=+−−+−=， ……………… 3分 因为122x x <<，所以120x x −<，且1240x x −>， ………………………… 5分 所以12()()0f x f x −<，即12()()f x f x <，则函数()f x 在(2,)+∞上单调递增.………………………… 6分 解：（2） 当0k <时，0个；………………………… 7分 当0k =或1k >时，2个； ………………………… 9分 当1k =时，3个； ………………………… 11分 当01k <<时，4个.………………………… 12分19．（12分）解：（1）设此汽车使用n 年的总利润为y 元，则2225.25(0.250.25)90.25590.25(2036)y n n n n n n n =−+−=−+−=−−+，*n ∈N ，且18n ，………………………… 2分由0y >，得20.25(2036)0n n −−+>，解得218n <<，………………………… 4分 所以从第3年开始盈利.………………………… 6分（2）设此汽车使用n 年的平均利润为z 万元，则20.25(2036)360.25(20)n n z n n n−−+==−+− ………………………… 8分20)2−=，………………………… 10分当且仅当36n n=，即6n =时等号成立，即此汽车使用6年报废最合算.………………………… 12分20．（12分）解：（1）由CA =a ，CB =b ，D 为AB 的中点，得1122CD =+a b ，…………… 2分 又由2ED EC =，得111366CE CD ==+a b ， ………………………… 4分 所以5166AE CE CA =−=−+a b . ………………………… 6分（2）（方法一）设AF AE λ=，则5166AF λλ=−+a b ，……①设CF CB μ=，则AF CF CA μ=−=−+a b ……② ………………………… 10分因为,a b 不共线，由①②得51616λλμ⎧−=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得6515λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以15AF =−+a b . ……… 12分（方法二）过点D 作DGAF 交CB 于点G ，由D 为AB 的中点，得FG GB =，由2ED EC =，得2FG CF =，所以15CF CB =，即15CF CB =， …………… 10分 则1155AF CF CA CB CA =−=−=−b a .………………………… 12分（其他解法酌情给分）21．（12分）解：（1）2A s <2B s ；（A 地区数据更集中，方差更小） ………………………… 2分（2）设B 地区的20个数据由小到大依次为1220,,,b b b ，由2085%17⨯=，得85%分位数等于171883918722b b ++==. ………………… 6分 （3）设事件i A （1,2,3i =）分别表示抽取A 地区1名球迷的满意度为i 级，则i A 两两互斥，设事件j B （1,2,3j =）分别表示抽取B 地区1名球迷的满意度为j 级，则j B 两两互斥，且有i A 与j B 相互独立，由题意得11()5P A =，23()5P A =，31()5P A =，19()20P B =，22()5P B =，33()20P B =，…………………… 9分又有323121C A B A B A B =++，且323121,,A B A B A B 互斥，故323121323121()()()()()P C P A B A B A B P A B P A B P A B =++=++323121()()()()()()0.44P A P B P A P B P A P B =++=. ………………… 12分22．（12分）解：（1）由题意得，0a >，0b >，则0b a a b >，所以log 0a b <，所以(1)(1)0a b −−<，即10ab a b −−+<，所以1ab a b +<+. …………………… 4分（2）由已知可得222log 0bb b +=，（方法一）○1假设12bb>，则21log b b >，即2log 0b b +>，由12b b>，所以2212b b b b b >⋅=，则2222log log b b b b b +>+，所以222log 0b b b +>，与已知矛盾，故假设不成立；○2假设12b b<，同理可得222log 0b b b +<，与已知矛盾，假设不成立； 由○1○2可得：12bb=. …………………… 8分（方法二）设22()2log x p x x x =+，则b 是()p x 的零点，∵在(0,)+∞上，220,0x x >>，且222,,log x y y x y x ===都递增，可证得()p x 递增，∴()p x 有唯一的零点b ，设1()2xq x x =−，()q x 在(0,)+∞单调递增，由函数零点存在性定理知()q x 在1(,1)2存在唯一的零点，该零点满足120x x −=，从而12xx =，从而21log x x=，从而2log x x −=，从而22212log ()()x x x x x x+=+−，即()0p x =，所以()q x 的零点为()p x 的零点b ，所以1()20bq b b =−=，所以12b b=. ……………………… 8分 （方法三）两边除以b 可得：212log b b b b =−，变形得：22112log 2log b bb b =，因为2()log f x x x =在(1,)+∞上单调递增，且1(2)()bf f b=，由（1）知，01b <<，所以121,1b b >>，所以12bb=. …………………… 8分（注：法三也可变形得：21log 2122log bbb b=，取()2x f x x =，因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，且21()(log )f b f b=，所以21log b b=，所以12bb =.）（3）设1()2xg x x =−，易得()g x 在(0,1)上单调递增，且2323()232g =−，由2332()2>得2()03g >，由（2）得1()20b g b b=−=，所以2()()3g g b >，故23b >；由指数函数2x y =在区间[0,]t 上的平均变化率，随t 的增大而增大，所以指数函数2x y =在区间[0,]b 上的平均变化率小于在区间[0,1]上的平均变化率，即0102222010b b −−<−−，化简得21b b <+，所以11b b <+，解得12b −>；所以12()()023b b −−<，所以(212)0b b +−<. ………………… 12分（解题思路分析：待证不等式12b −>可能是一个不等式的解集，比如一元二次不等式。

2021-2022学年江苏省邳州市高一上学期第二次学情检测数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）．{0,1,2}A ={22,}B x x x Z =-<<∈∣A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{0,1}{1,0,1}-{1,0,1,2}-{2,1,0,1,2}--【答案】C【解析】先化简集合的元素再求.B A B ⋃【详解】由，所以{}{}22,1,0,1B x x x z =-<<∈=-A B ⋃={1,0,1,2}-故选：C【点睛】易错点点晴：要注意集合中的条件.B x z ∈2．设x ∈R ，则x >2的一个必要条件是（ ）A ．x >1B ．x <1C ．x >3D ．x <3【答案】A【分析】根据必要条件的概念即可判断．【详解】因为，一定有；而，不一定有，2x >1x >1x >2x >故是的必要不充分条件．1x >2x >故选：A ．3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）x 2680kx kx k -++≥x ∈R k A ．B ．01k ≤≤01k <≤C ．或D ．或0k <1k >0k ≤1k ≥【答案】A【分析】对进行分类讨论，当时不等式恒成立，时不等式恒成立，需要时且k 0k =0k ≠0k >，可求得的范围．0∆≤k 【详解】当时，不等式化为恒成立，0k =2680kx kx k -++≥80≥当时，要使不等式恒成立，需，解得，0k ≠2680kx kx k -++≥220Δ364(8)0k k k k >⎧⎨=-+≤⎩01k <≤综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是．2680kx kx k -++≥x ∈R k []0,1故选：A ．4．计算log 225·log 3·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5D．6【答案】D【详解】原式＝＝6.3lg 2lg 25lg 92lg 52lg 32lg 2lg 5lg 2lg 3lg 5=⋅⋅5．与为同一函数的是（）y x=A ．B ．2y =log a xy a=C ．D ．,(0),(0)x x yx x >⎧=⎨-<⎩y =【答案】D【分析】要先看定义域是否相同，再看在定义域内化简后的式子是否相同，两者全同，函数才是同一个函数．【详解】对于，函数，与的定义域不同，不是同一函数；A ()20y x =≥()R y x x =∈对于，函数，与定义域不同，不是同一函数．B log (0)a xy ax =>()R y x x =∈对于，函数，与的定义域不同，不是同一函数；C ()(0)0(0)x x y x x x x >⎧==≠⎨-<⎩，，()Ry x x =∈对于，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；D ()R y x x ==∈()R y x x =∈故选：．D 6．已知过定点，则点的坐标为（ ）()223x f x a +=-P P A ．B ．C ．D ．()2,3--()0,1-()2,1--()0,3-【答案】C【解析】根据指数函数恒过定点，即可求得的坐标.(0,1)P 【详解】解：令，20x +=解得：，2x =-，0(2)211f a -=⨯-=恒过定点.()f x ∴()2,1--故选：C.7．小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）A ．B ．C ．D ．3radπ-6radπ-rad6πrad3π【答案】B【解析】先判断每个刻钟之间相隔，，再结合旋转方向定正负即可.6πrad 【详解】时钟上一圈的弧度是，共12个刻钟，每个刻钟相隔，2πrad 2126ππ=rad 现在时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，小亮需要将时针顺时针旋转，6πrad 针顺时针旋转为负角，故他需要将时钟的时针旋转.6radπ-故选：B.8．已知，则（ ）1cos 62πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 12-12【答案】B【解析】利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案.【详解】由题意得：，1sin()sin (+)cos(+)32662ππππααα⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦故选：B.二、多选题9．已知角终边上一点，且，则可能的值为（ ）α(P x cos α=sin αA B ．C ．D ．01【答案】AD【分析】由，解出，然后再根据定义计算正弦即可．cos x α==x【详解】根据三角形函数定义可知，，，解得：或r =cos x rα===0x =，23x =当时，，0x =r ==sin 1α==当时，，23x =r ==sin α==故选：AD ．10．下列说法错误的是（ ）A ．若角，则角为第二象限角2rad α=αB ．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角C ．若角为第一象限角，则角也是第一象限角α2αD ．若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为3cm 23 c m 2π【答案】CD【解析】利用负角的定义、象限角的定义和扇形面积公式对选项逐一判断正误即可.【详解】选项A 中，，故角为第二象限角，正确；2,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α选项B 中，以零时为起始位置，则钟表的分针是顺时针旋转，故所形成的角为负角，正确；选项C 中，角为第一象限角，例如，则不是第一象限角，故错误；α361α=︒180.52α=︒选项D 中，扇形的圆心角为30°，即，半径为，故扇形面积为，故rad6π3cm 21326S π=⨯⨯=3 4π2cm 错误.故选：CD.11．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（ ）ay x =A ．当时函数在其定义域上是减函数1a =-B ．当时函数图像是一条直线0a =C ．当时函数是偶函数2a =D ．当时函数有一个零点3a =0【答案】CD【分析】根据幂函数的图像与性质，判断选项中的命题是否正确即可．【详解】对于A 选项，，函数在和上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项1y x =(,0)-∞(0,)+∞错误；对于B 选项，，函数定义域为，图像是直线并且除掉点，故B 选项错误；y x ={}0x x ≠1y =(0,1)对于C 选项，，函数定义域为，函数图像关于轴对称，是偶函数，所以C 选项正确；2y x =R y 对于D 选项，，函数为单调递增的奇函数，只有一个零点0，所以D 选项正确．3y x =故选：CD ．12．设函数，对于任意的，下列命题正确的是（ ）()2xf x =()1212,x x x x ≠A ．B ．()()()1212f x x f x f x +=()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．D ．()()1212f x f x x x ->-()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】根据指数运算法则可知A 正确，利用反例可知B 错误；根据指数函数单调性可知C 正确；结合基本不等式可确定D 正确.【详解】对于A ，，A 正确；()()()12121212222x x x x f x f x f x x +=⋅==+对于B ，令，，则，，，11x =22x =()()1224f x x f ==()12f x =()24f x =，B 错误；()()()1212f x x f x f x ∴≠+对于C ，为定义在上的增函数，，C 正确；()f x R ()()1212f x f x x x -∴->对于D ，，()()1212122222x x x x f x f x f +⎛⎫+=+>== ⎪⎝⎭ ，D 正确.()()121222f x f x x x f æö++ç÷\<ç÷èø故选：ACD.三、填空题13．已知函数的定义域为，函数，则的定义域为________．()f x []2,1-()g x =()g x 【答案】1,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】根据定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域．()f x 【详解】由题意得，即定义域为2111{22102x x x -≤-≤∴<≤->1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题．14．若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是()f x ()42，()()21f a f a ->-a __________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解()f x 集．【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得；()y f x xα==()42，42α=12α=∴，函数定义域为，在上单调递增，()12f x x ==[)0,∞+[)0,∞+不等式等价于，解得；()()21f a f a ->-210a a ->-≥312a ≤<则实数的取值范围是.a 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．是第四象限角，化简_______.αcos sin +=【答案】0【分析】利用同角的三角函数的基本关系式化简即可，注意终边的位置对符号的影响.αsin ,cos αα【详解】原式，1sin 1cos cos sin sin cos cos sin αααααααα--=+--因为是第四象限角，所以，αsin 0,cos 0αα<>所以原式()1sin 1cos cos sin cos sin cos sin αααααααα--=+---，()()()1sin 1cos cos sin 0αααα=-----=故填0.【点睛】同角三角函数的基本关系式有平方关系和商数关系，平方关系式，它是22sin cos 1αα+=一个恒等式，体现了三角函数式中二次与常数的转化，我们常利用这个性质来化简与三角函数相关、）.sin cos x x=-sin cos x x=+16．设，，是方程的两根，则_________.,(0,)αβπ∈cos αcos β26320x x -=-sin sin αβ=【解析】由韦达定理得，由平方后化为，然后凑配成cos cos ,cos cos αβαβ+sin sin αβcos ,cos αβ的代数式，再代入求值．cos cos ,cos cos αβαβ+【详解】由，是方程的两根cos αcos β26320x x -=-所以，11cos cos ,cos cos 23αβαβ+==-从而()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--22221cos cos cos cos αβαβ=--+222212cos cos cos cos (cos 2cos cos cos )αβαβααββ=++-++.22(1cos cos )(cos cos )αβαβ=+-+22114171329436⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由知，从而,(0,)αβπ∈sin sin 0αβ>sin sin αβ=【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的平方关系，考查韦达定理，解题关键是利用平方关系化正弦为余弦，解答本题的关键是将化为()()222(sin sin )1cos 1cos αβαβ=--的形式，属于中档题.22(1cos cos )(cos cos )αβαβ+-+四、解答题17．已知，并且是第二象限的角.4cos 5α=-α（1）求和的值；sin αtan α（2）求.2sin 3cos cos sin αααα+-【答案】（1），；（2）3sin 5α=3tan 4α=-67【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式，求解；（2）上下同时除以，化简求值.cos α【详解】（1）是第二象限角，，α 4cos 5α=-可得，3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==-，.∴3sin 5α=3tan 4α=-（2）原式上、下同时除以得，cos α.2sin 3cos 2tan 36cos sin 1tan 7αααααα++==--18．已知集合，2{|60}A x x x =+-≤{|35}B x m x m =-≤≤+（1）若，求的范围A B A = m （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的范围x B ∈x A ∈m 【答案】（1）；（2）．6m ≥(,1)-∞-【解析】（1）解不等式得集合，由交集结论得，由子集定义得出结论；A A B ⊆（2）问题等价于，这时需讨论的情形．B A ⊆B =∅【详解】（1）由题意，若，则，∴，解得；{|32}A x x =-≤≤A B A = A B ⊆3352m m -≤-⎧⎨+≥⎩6m ≥（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，x B ∈x A ∈B A ⊆若即时，，53m m +<-1m <-B A =∅⊆若，则，解得．1m ≥-3352m m -≥-⎧⎨+≤⎩m ∈∅综上的取值范围是．m (,1)-∞-【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数范围，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；p q qp （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；p q p q（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；p q p q（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．p qq p 19．已知函数．2()3f x x x a =-+(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；()0f x >x R ∈a (2)若在上恒成立，求实数的取值范围．()0f x <()1,2x ∈-a 【答案】(1)9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)(],4-∞-【分析】（1）计算函数的最小值为，根据题意得到，解得答案.()min 94f x a =-904a ->（2）计算函数在在上的最大值为，根据题意得到，得到答案.[]1,2-()max 4f x a =+40a +≤【详解】（1），则，2239()324f x x x a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()min 3924f x f a ⎛⎫==-⎪⎝⎭在上恒成立，即，故.()0f x >x R ∈()min 904f x a =->94a >（2），2239()324f x x x a x a ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭在上的最大值为，[]1,2-()2max39(1)1424f x f a a⎛⎫=-=--+-=+ ⎪⎝⎭故在上满足，故，即.()f x ()1,2x ∈-()4f x a<+40a +≤4a ≤-20．已知一扇形的中心角为，所在圆的半径为．αR （1）若，求该扇形的弧长．,6cm3R απ== l （2）若扇形的周长为，问当多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积．12cm α【答案】（1）； （2），扇形的最大面积为.2π2α=29cm 【分析】（1）由扇形的弧长公式，即可求得该扇形的弧长；（2）由扇形的周长为，求得，再由扇形的面积公式，可得,结合二次12cm 122l R =-26S R R =-+函数性质，即可求解面积的最大值，以及对应的的值.α【详解】（1）由扇形的弧长公式，可得该扇形的弧长为；623l R παπ==⨯=（2）由题意，扇形的周长为，所以，可得，12cm 212R l +=122l R =-又由扇形的面积公式，可得,2211(122)6(3)922S lR R R R R R ==-=-+=--+当时，扇形的面积取得最大值，此时最大面积为，3R =29S cm =此时，即，解得.1226l R =-=36R αα=⨯=2α=【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．已知.sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（1）化简，并求；()f α3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，求的值；tan 2α=224sin 3sin cos 5cos αααα--（3）求函数的值域.2()2()12g x f x f x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭【答案】（1），；（2）；（3）.()cos f αα=π132f æöç÷=ç÷èø1250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由诱导公式化简可得，进而可得；()cos f αα=3f π⎛⎫⎪⎝⎭（2）由平方关系和商数关系可转化条件为，即可得解；224tan 3tan 5tan 1ααα--+（3）转化条件为，结合二次函数的性质即可得解.()21252sin 48g x x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭【详解】（1）由题意可得，sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅故；1cos 332f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭（2）∵，tan 2α=故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+；224tan 3tan 51tan 1ααα--==+（3）因为，()cos f αα=所以，22()2cos cos 12cos sin 12g x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为，sin [1,1]x ∈-所以当时，，当时，1sin 4x =max 25()8g x =sin 1x =-min ()0g x =所以的值域为.()g x 250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.22．设函数是定义在上的奇函数，且．()21ax bf x x +=+()1,1-()11f =（1）求函数的解析式；()f x （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；()f x ()1,1-（3）解不等式.()()()210f t f t f -+<【答案】（1），；（2）增函数，证明见解析；（3）．()221x f x x =+()1,1x ∈-⎛ ⎝【解析】（1）利用奇函数的定义可求得，再由可求得的值，由此可得出函数的0b =()11f =a ()f x 解析式；（2）任取、且，通过作差、因式分解、判断差值符号，由此可证1x ()21,1x ∈-12x x <()()12f x f x -明出函数在上的单调性；()f x ()1,1-（3）将所求不等式变形为，利用函数的定义域和单调性可得出关于实数的()()21f t f t <-()f x t 不等式组，由此可解得实数的取值范围.t 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，()21ax bf x x +=+()1,1-则，所以，，可得，，()()f x f x -=-()2211ax bax b x x -++=-++-0b =()21axf x x ∴=+而，解得，()112af ==2a =因此，，；()221xf x x =+()1,1x ∈-（2）函数在上为增函数.()221xf x x =+()1,1-证明如下：任意、且，1x ()21,1x ∈-12x x <则()()()()()()()()()()22221221121212121222222212121221212222111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+--=-==++++++，()()()()()()()()12121212122222121222211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++，，，1211x x -<<< 120x x ∴-<1210x x ->所以，，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <因此，函数在上为增函数；()f x ()1,1-（3）由题意，不等式可化为，()()()210f t f t f -+<()()210f t f t -+<即解不等式，()()()211f t f t f t <--=-所以，解得，22111111t t t t ⎧-<<⎪-<-<⎨⎪<-⎩0t <<所以不等式的解集为．()()()210f t f t f -+<⎛ ⎝【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；1x 2x 12x x <（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符()()12f x f x -号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；()()12f x f x -（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值作差变形定号下结论.→→→→。

2022-2023学年北京市昌平区高一上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{}2,1,0,2,{2}A B x x =--=<∣A B = A ．B ．C ．D ．{}1-{}1,0-{}2,1,0--{}2,1,0,2--【答案】B【分析】根据公式法解绝对值得即可解决.{22}B xx =-<<∣【详解】由题知，，{}2,1,0,2,{2}A B x x =--=<∣因为，即，2x <22x -<<所以，{22}B xx =-<<∣所以.{}1,0A B ⋂=-故选：B2．命题“”的否定为（ ）,e 0x x ∀∈>R A ．B ．,e 0xx ∃∈≤R ,e 0xx ∃∈<R C ．D ．,e 0xx ∀∈≤R ,e 0xx ∀∈<R 【答案】A【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“”的否定为“”.,e 0xx ∀∈>R ,e 0x x ∃∈≤R 故选：A3．如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（ ）ABCD ,AC BD OA ．AB CD=B ．AC BD=C ．12AO CA= D ．()12AO AB AD=+ 【答案】D【分析】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.【详解】由图知：，故A 错误；不相等，即，故B 错误；AB DC CD ==-,AC BD AC BD ≠ ，故C 错误；，故D 正确.1122AO AC CA ==-()12AO AB AD=+ 故选：D4．为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲､乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．甲得分的极差比乙得分的极差小B ．甲得分的平均数比乙得分的平均数小C ．甲得分的方差比乙得分的方差大D ．甲得分的分位数比乙得分的分位数大25%25%【答案】C【分析】根据茎叶图求出甲，乙两位同学得分的极差，平均分，方差，百分位数即可解决.【详解】由题知，甲同学6场比赛得分分别为14,16,23,27,32,38，极差为，381424-=平均数，141623273238256x +++++==方差，22222221192271371.36s +++++=≈因为，所以得分的25%分位数为16，13642⨯=乙同学6场比赛得分分别为13,22,24,26,28,37，极差为，371324-=平均数，132224262837256x +++++==方差，222221231131251.36s +++++=≈因为，所以得分的25%分位数为22，13642⨯=所以ABD 错误；故选：C5．已知，则的大小关系正确的是（ ）12212log 3,log 3,3a b c -===,,a b c A ．B ．a b c >>a c b >>C ．D ．c a b >>c b a>>【答案】B【分析】根据指对数的性质判断的大小关系.,,a b c 【详解】由，121122022lo 31g 3log 10l 3log 23og -<==<<=<所以.a c b >>故选：B6．已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲､乙两人是0.80.9否击中靶心互不影响.若甲､乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．0.980.80.720.26【答案】A【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.【详解】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，A B 则，，()0.8P A =()0.9P B =因为与相互独立，所以与也相互独立，A B A B 则甲、乙都不击中靶心的概率为，(P A B ⋅()()(()1()1()P A P B P A P B ==--(10.8)(10.9)0.02=--=所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为.10.020.98-=故选：A7．“”是“”成立的（ ）01x <<ln 0x <A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由对数函数的性质判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义确定答案.【详解】当时，则有成立，充分性成立；01x <<ln 0x <当时，则有成立，必要性成立.ln 0x <01x <<故“”是“”成立的充分必要条件.01x <<ln 0x <故选：C 8．已知函数，则下列函数为奇函数的是（ ）()1xf x x =-A ．B ．()11f x ++()11f x +-C ．D ．()11f x -+()11f x --【答案】B【分析】利用题意先得到，，然后利用奇函数的定义进行判断即可()11x f x x ++=()112x f x x --=-【详解】由可得，，()1xf x x =-()11x f x x ++=()112x f x x --=-对于A ，令，定义域为，()()121111x x g x f x x x ++=++=+={}0x x ≠因为，所以不是奇函数，故A 错误；()()2121x x g x g x x x -++-=≠-=--()11f x ++对于B ，令，定义域为，()()11111x h x f x x x +=+-=-={}0x x ≠因为，所以是奇函数，故B 正确；()()11h x h x x x -==-=--()11f x +-对于C ，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故C ()1111,2x f x x --+=+-{}2x x ≠错误；对于D ，由于，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D ()1111,2x f x x ---=--{}2x x ≠错误；故选：B9．某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与()v x 飞行时间（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”（单位：米/分钟）为无人机x ()u x在这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）[]0,x ()u xA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据图像分析，即可得到答案【详解】由题图知,当时, 无人机做匀加速运动,,“速度差函数”;[]0,6x ∈()40803v x x =+()403x u x =当时, 无人机做匀减速运动,速度从160开始下降,一直降到80,“速度差函数”;[]6,10x ∈()v x ()80u x =当时, 无人机做匀减速运动,从80开始下降, ,“速度差函数”[]10,12x ∈()v x ()18010v x x=-;()()160180101020u x x x =--=-当时无人机做匀加速运动,“速度差函数”.[]12,15x ∈()16060100u x =-=所以函数在和两个区间上都是常数.()u x[]6,10[]12,15故选：C10．已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：,A B *N ,A B ,A B ①对于任意，若，则；,x y A ∈x y ≠xy B ∈②对于任意，若，则.,x y B ∈x y <yAx ∈若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（ ）A A B ⋃A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】令且，，根据已知条件确定可能元素，进而写出{,,,}A a b c d =*,,,N a b c d ∈a b c d <<<B 且时的可能元素，讨论、，结合确定的关系，即可,x y B ∈x y <{}y x bc ad ≠bc ad =y Ax ∈a b c d ,,,得集合A 、B 并求出并集中元素个数.【详解】令且，，如下表行列分别表示，{,,,}A a b c d =*,,,N a b c d ∈a b c d <<<,x y 集合可能元素如下：B xya b cda -abacadb --bc bdc---cdd ----则，min{,}max{,}ab ac bc ad bc ad bd cd <<<<<若，不妨令，下表行列分别表示，bc ad ≠ab ac bc ad bd cd <<<<<,y x y xabac bc ad bd cdab -c b c ad b d acd ab ac --b a dc bd acd a bc ---ad bc d c d bad ----b ac a bd-----c bcd------由，而，且，yAx ∈min{,}max{,}min{,}max{,}c b c b c d c d d d b a b a a c a c b a <<<<<ad d bd d cd bc c ac a ab <<<<显然中元素超过4个，不合题设；{}y x 若，则，下表行列分别表示，bc ad =ab ac bc ad bd cd <<=<<,y x y xabac bc bd cdab -c b c ad a22()()cd c d ab a b ==ac --b a 22()()bd b d ac a c ==d abc ---d b c a=d c b a =bd----c bcd-----由，而，且，yAx ∈min{,}max{,}c b c b c d b a b a a a <<<222min{(,}max{(,}()b b c b c c a a a a a a <<<要使中元素不超过4个，只需，{}y x 2b ac bc ad⎧=⎨=⎩此时，222()min{(),}max{(,}c b b c cd c db aa a a a a a =<=<<显然，即，则，即且，故，2(c d a a ≠2c ad ≠c ba b a ==2b a =3c ab a ==4d a =所以，即，34567ab a ac a bc ad a bd a cd a =<=<==<=<=34567{,,,,}B a a a a a =而，故，共7个元素.234{,,,}A a a a a =234567{,,,,,,}a a a a a a A B a = 故选：C【点睛】关键点点睛：令且，，结合已知写出可能元素，由{,,,}A a b c d =*,,,N a b c d ∈a b c d <<<B 且时的可能元素且研究的关系.,x y B ∈x y <{}y x yAx ∈a b c d ,,,二、填空题11．某学校有教师志愿者80人，其中小学部有24人，初中部有32人，高中部有24人.现采用分层抽样的方法从全校教师志愿者中抽出20人参加周末社区服务活动，那么应从初中部抽出的人数为__________.【分析】利用分层抽样直接求解.【详解】从80人中抽取20人，抽样比为，所以应从初中部抽出的人数为.201804=13284⨯=故答案为：8.12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则,a b__________.43a b -=【分析】由图知，应用向量数量积的运算律求得，即可得||1,||,45a b a b ==<>=︒24310a b -= 结果.【详解】由图知：，则，||1,||,45a b a b ==<>=︒ 1cos 451a b ⋅=︒=又，则.222431624916241810a b b b a a ⋅-=-=-++= 43a b -=13．已知函数的定义域为，满足，且在上是减函()f x ()(),00,∞-+∞ ()()f x f x -=()f x ()0,∞+数，则符合条件的函数的解析式可以是__________.（写出一个即可）()f x =【答案】（答案不唯一）2x -【分析】根据幂函数的性质可得.【详解】的定义域为，想到作分母，()f x ()(),00,∞-+∞ x ，说明函数为偶函数，所以的指数为偶数，()()f x f x -= x 所以想到幂函数，验证在单调递减成立.()2f x x -=()0,∞+故答案为：（答案不唯一）2x -14．已知函数，则__________；的最小值为__________.()211,,221log ,2x x f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩()2f -=()f x 【答案】 4 -1【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.【详解】，()21242f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭在区间内单调递减，故在上无最小值，且()11,22xx f x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭()f x 12x<1212⎛⎫ ⎪⎝⎭在区间内单调递增，故，()21,log 2x f x x≥=()2min 11log 122f x f ⎛⎫===-< ⎪⎝⎭故答案为：-115．某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照分成5组，制成[)[)[)[)[]0,5,5,10,10,15,15,20,20,25了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量a 不少于10本的人数为__________.【答案】 ## 0.033100150【分析】由频率和为1列方程求参数a ，由图知数量不少于10本的频率为，(0.030.0140.006)5++⨯进而求人数.【详解】由直方图知：，(0.080.070.0140.006)5(0.17)51a a ++++⨯=+⨯=所以，0.03a =则高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本为人.(0.030.0140.006)5600150++⨯⨯=故答案为：，0.0315016．已知定义在上的函数，则的零点是__________；若关于的方程()0,∞+()45f x x x =+-()f x x 有四个不等实根，则__________.()()0f x m m =>1234,,,x x x x 1234x x x x =【答案】 和 1x =4x =16【分析】令结合即可求出零点，将转化为与有四个()0f x =,()0x ∈+∞()()0f x m m =>()f x 0y m =>不同交点，画出函数图象并令，易知、分别是、1234x x x x <<<14,x x 23,x x 2(5)40x m x -++=的两个根，进而求.2(5)40x m x +-+=1234x x x x 【详解】令，则，即，可得或，()0f x =45x x +=254(1)(4)0x x x x -+=--=1x =4x =又，故的零点是和；,()0x ∈+∞()f x 1x =4x =由有四个不等实根，即且与有四个不同交点，()()0f x m m =>1234,,,x x x x ()f x ,()0x ∈+∞0y m =>因为，当且仅当时等号成立，4551y x x =+-≥-=-2x =结合对勾函数性质，在上递减，在上递增，y (0,2)x ∈(2,)x ∈+∞综上，和上，上，(0,1)(4,)+∞0y >(1,4)0y <则、上递减，、上递增，(0,1)(2,4)()||f x y =(1,2)(4,)+∞()||fx y =所以函数图象如下，由图知：，()f x 01m <<又，则，解得451y x x =+-=2640x x -+=3x =若，则1234x x x x <<<123431243x x x x <<<<<<<<故，，1414445x x m x x +=+=+2323445x x mx x +=+=-所以是的两个根，是的两个根，14,x x 2(5)40x m x -++=23,x x 2(5)40x m x +-+=则，故.14234x x x x ==123416x x x x =故答案为：和，1x =4x =16四、解答题17．如图，在中，.设.ABC 11,32AM AB BN BC==,AB a AC b ==(1)用表示；,a b,BC MN (2)若为内部一点，且.求证：三点共线.P ABC 51124AP a b=+ ,,M P N 【答案】(1)，BC b a =- 1126b MN a=+(2)证明见解析【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；,AC AB ,BC MN（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.,a b AM AN +AM AP AN λμ=+ 1λμ+=【详解】（1）由题图，，BC AC AB b a =-=-.121211()232326BN BM BC AB b a a b aMN =-=+=-+=+ （2）由，1111151()3323262AM AN AB AC CN AB AC BC a b b a a b+=++=+-=+--=+ 又，所以，故三点共线.51124AP a b=+1122AM AP AN =+ ,,M P N18．已知集合.{}2560A x x x =-+>∣(1)求；A R(2)若集合，且，求实数的取值范围.{2}B x a x a =<<∣B A ⊆a 【答案】(1){|23}A x x =≤≤R (2)13a a ≤≥或【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求补集；（2）由可分类讨论与时画图分析即可.B A ⊆B φ=B φ≠【详解】（1）∵2{|560}{|23}A x x x x x x =-+>=<>或∴{|23}A x x =≤≤R （2）∵B A⊆∴①当时，，解得：，B =∅2a a ≥0a ≤②当时，即：，B ≠∅0a >∴或022a a >⎧⎨≤⎩03a a >⎧⎨≥⎩∴013a a <≤≥或∴综述：.13a a ≤≥或19．为了践行“节能减排，绿色低碳”的发展理念，某企业加大了对生活垃圾处理项目的研发力度.经测算，企业每月平均处理生活垃圾的增量y （单位：吨）与每月投入的研发费用（单位：万元）x 之间的函数关系式为.2600010400xy x x =++(1)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则每月投入的研发费用应该在什么范围？(2)当每月投入的研发费用为多少时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值？最大值是多少？x 【答案】(1)每月投入的研发费用的范围是万元[]10,40(2)每月投入的研发费用为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨.【分析】（1）根据题意得到，然后解不等式即可求解；2600010010400xy x x =≥++（2）利用基本不等式即可求解【详解】（1）根据题意，，2600010010400xy x x =≥++因为()22104005400250,x x x ++=++->所以不等式转化为化简可得，解得26000100(10400),x x x ≥++2504000x x -+≤1040.x ≤≤所以每月投入的研发费用的范围是万元[]10,40（2）因为，所以，0x >2600060004001040010x y x x x x ==++++因为，当且仅当，即时，取等号，40040x x +≥=400x x =20x =所以当且仅当时，取得最大值.20x =y 60001201040=+所以每月投入的研发费用为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨.20．2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”.下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长.名称发射时间飞行时长神舟一号1999年11月20日21小时11分神舟二号2001年1月10日6天18小时22分神舟三号2002年3月25日6天18小时39分神舟四号2002年12月30日6天18小时36分神舟五号2003年10月15日21小时28分神舟六号2005年10月12日4天19小时32分神舟七号2008年9月25日2天20小时30分神舟八号2011年11月1日16天神舟九号2012年6月16日13天神舟十号2013年6月11日15天神舟十一号2016年10月17日32天神舟十二号2021年6月17日3个月神舟十三号2021年10月16日6个月神舟十四号2022年6月5日6个月神舟十五号2022年11月29日预计6个月为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画､海报､数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”.(1)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；(2)海报组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，求选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）均为6个月的概率；(3)数据统计组成员在2022年5月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为年12月30日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为.试判断0.2022μ1μ和的大小.（结论不要求证明）0μ1μ【答案】(1)415(2)310(3)01μμ<【分析】（1）设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件列举出满足事件的样本点，即,A A 可算出概率；（2）列举基本事件，根据古典概型公式求解即可（3）比较和新加入的数，即可得到结论0μ【详解】（1）记名称为神舟第号飞船为，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘”的样本空i i a 间为，共15个样本点.{}1123456789101112131415Ω,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a =设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件,A 则，共4个样本点，所以{}561113,,,A a a a a =4()15P A =（2）“从飞行时长（包括预计飞行时长）大于30天的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为,共10{211121113111411151213Ω(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a =}12141215131413151415(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a a a a 个样本点.设“选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月”为事件B ，则，共3个样本点，{}131413151415(,),(,),(,)B a a a a a a =所以3()10P B =（3）易得2022年5月计算神舟一号到神舟十三号的平均数小于6个月，0μ年12月30日又计算了一遍，新加入神舟十四号和神舟十五号的数据，一定会比要大，故20220μ会拉高平均数，所以01μμ<21．设有限集合，对于集合，给出两个性质：{}1,2,3,,E N = {}123,,,,，m A E A x x x x ⊆= ①对于集合A 中任意一个元素，当时，在集合A 中存在元素，使得k x 1k x ≠()i j x x i j ≤，，则称A 为的封闭子集；k i jx x x =+E ②对于集合A 中任意两个元素，都有，则称A 为的开放子集.()，i j x x i j ≠i j x x A+∉E (1)若，集合，判断集合为的封闭20N ={}{}*1,2,4,6,8,1031,6,A B x x k k k ===+≤∈N ，∣A B ，E 子集还是开放子集；（直接写出结论）(2)若，且集合A 为的封闭子集，求的最小值；1001100，，N A A =∈∈E m (3)若，且为奇数，集合A 为的开放子集，求的最大值.*N ∈N N E m 【答案】(1)A 为的封闭子集，B 为E 的开放子集E (2)9(3)12N +【分析】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案；对于（2），，设.{}2311100,,,,,m A x x x -= 2311100m x x x -<<<<< 因集合A 中任意一个元素，当时，在集合A 中存在元素，使得，则k x 1k x ≠()i j x x i j ≤，k i j x x x =+，其中.据此可得，得，后排除1112n n n x x x --+≤≤2，Nn m n *≤≤∈7764100x ≤≤<7m >8，再说明9符合题意即可；m =m =对于（3），因，且为奇数，当时，得；*N ∈N N 1N =1m =当，将里面的奇数组成集合A ，说明集合A 为E 开放子集，且3N ≥{}1,2,3,,E N = 为最大值即可.12N m +=【详解】（1）对于A ，因，2114226248261028，，，，=+=+=+=+=+且，则A 为E 的封闭子集；A E ⊆对于B ，由题可得，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B 中，任意元素{}4,7,10,13,16,19B =也不是其他两个元素之和，且，故B 为E 的开放子集；B E ⊆（2）由题：，{}2311100,,,,,m A x x x -= 设.2311100m x x x -<<<<< 因集合A 中任意一个元素，当时，在集合A 中存在元素，使得，则k x 1k x ≠()i j x x i j ≤，k i j x x x =+，其中.1112n n n x x x --+≤≤2,,，N n n m n x *⎡⎤∈∈⎣⎦得，，，22x =34538164， 4， 5x x x ≤≤≤≤≤≤6632x ≤≤.因，则.7764x ≤≤7764100x ≤≤<7m >若，则，则在A 中存在元素，使它们的和为.8m =8100x =()i j x x i j ≤，100又，则当时，，2311100m x x x -<<<<< i j <6796100i j x x x x ≤+≤<+得，则在A 中存在元素，使它们的和为.877250x x x =⇒=()i j x x i j ≤，50又当时，，得，则在A 中存在元素，i j <654850i j x x x x ≤≤<++766225x x x =⇒=()i j x x i j ≤，使它们的和为.注意到奇数，且，故不存在元素，使2525452425i j x x x x ≤≤<++()i j x x i j ≤，，这与集合A 为的封闭子集矛盾，故.6i jx x x =+E 8m ≠当，取，易得其符合的封闭子集的定义，故的最小值为9m ={}124816326496100,,,,,,,,A =E m 9；（3）因，且为奇数，当时，得；*N ∈N N 1N =1m =当，将里面的奇数组成集合A ，则，3N ≥{}1,2,3,,E N = {}1357,,,,A N = 因A 中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且，则A 为E 开放子集，此时集A E ⊆合A 元素个数为.下面说明为最大值.12N +12N +m时，显然成立；当，若，则中至少有一个属于的偶数，1N =3N ≥12N m +>A {}1,2,3,,E N = 设为，则，得为属于集合中的奇数，这与E 开放子集的t a 21t a N ≤≤-1t a +{}1357,,,,,t N a 定义矛盾，故.12N m +≤综上：的最大值为.m 12N +【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大.（1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到，得，继7764100x ≤≤<7m >而结合定义分析出；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A.8m ≠。

高一年级数学上册教学质量检测试题卷〔必修1、2模块〕考生须知:1. 本卷总分值120分, 考试时间90分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试完毕, 只需上交答题卷.一．选择题 : 本大题共10小题, 每题3分, 共30分. 在每题给出的四个选项中, 有且只有一项为哪一项符合题目要求的 . 1. 以下是增函数且是奇函数的是〔A 〕1-=x y 〔B 〕21x y = 〔C 〕3x y = 〔D 〕2x y = 2. 直线023=+-y x 与05=-+y ax 平行, 那么a 的值为 (A) 3- (B) 33-(C)33 (D) 33. 向量(56)=-，a ，(65)=，b ，那么a 与b (A) 平行且同向 (B) 平行且反向 (C) 不平行也不垂直 (D) 垂直 4. 设全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，}7,4,3,1{=M ，}7,6,4,2{=N ，那么图中阴影局部所表示的集合是〔A 〕}6,2{ 〔B 〕}3,1{ 〔C 〕}8,5,3,1{ 〔D 〕}7,6,4,2{5. 函数)2(cos 3π+=x y 的图象可由函数x y 2cos =的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是(A) 向左平移6π (B) 向右平移6π (C)向左平移3π (D)向右平移3π 6. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S , 假设1854=+a a ，那么8S 的值是 〔A 〕18 〔B 〕36 〔C 〕54 〔D 〕727. 直线l 过点)0,1(-，且与圆1)1(22=+-y x 相切，假设切点在第一象限〔如图〕，那么l 的斜率是(第4题)(A) 1 (B) 21 (C) 33(D) 38．设βα、是两个不同的平面，n m 、是两条不同的直线，那么以下结论不正确的选项是〔A 〕βα//，α⊥m ，那么β⊥m 〔B 〕n m //，α⊥m ，那么α⊥n 〔C 〕α//n ，β⊥n ，那么β⊥a 〔D 〕n m ⊥，α⊥m ，那么α//n9．如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 210．设O 为坐标原点,给定一个定点A (4,3), 而点)0,(x B 在x 正半轴上移动,)(x l 表示AB 的长,那么△OAB 中两边长的比值)(x l x的最大值为 (A) 34 (B) 35 (C) 45 (D) 54二．填空题：本大题有5小题, 每题4分, 共20分. 请将答案填写在答题卷中的横线上. 11. α是第四象限角，1312cos =α，那么sin α= ______ . 12. 不等式x x <2的解集是 _______________ .13. 两点)5,7(),5,3(--N M , 那么线段MN 的垂直平分线的方程为 _______ . 14. 如图，底面是正方形的长方体1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，那么异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为________ .15. 关于函数21()lg (0),x f x x x+=≠有以下命题：① 其图像关于y 轴对称；② ()f x 的最小值是lg 2；③()f x 的递增区间是)0,1(-；④ ()f x 没有最大值．其中正确是__ __ __ __ __ __〔将正确的命题序号都填上〕．(第7题)(第14题)1A1D1C1BDBCA三．解答题：本大题有5小题, 共50分. 解容许写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16．(本小题总分值10分)某几何体的正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是矩形，尺寸如下图． (1) 写出这个几何体的两条几何特征; (2) 求该几何体的体积V ； (3) 求该几何体的全面积S ．17．(本小题总分值10分)各项均为正数的等比数列}3(}{≥n a n 中, 38,83211=++=a a a a . (1) 求数列}{n a 的通项n a ;(2) 设n S 为数列}{n a 前n 项的和, 求满足64>n S 成立的最小的正整数n .18. (本小题总分值10分) 函数.2cos 32cos 2sin)(2x x x x f += 〔1〕求)(x f 的周期；〔2〕当],0[π∈x 时，求)(x f 的零点；〔3〕在给出的坐标系中作出)(x f 在一个周期上的简图．(第16题)俯视图19. (本小题总分值10分)圆C 的圆心坐标为〔3，4〕，直线l :02=+y x 与圆C 相切于1P ． 〔1〕求圆C 的方程;〔2〕过1P 作斜率为2的直线交x 轴为)0,(11x Q ，过1Q 作x 轴的垂线交l 于2P ，过2P 作斜率为4的直线交x 轴为)0,(22x Q ，……，如此下去．一般地，过n P 作斜率为n2的直线交x 轴为)0,(n n x Q , 再过n Q 作x 轴的垂线交l 于1+n P , …… ① 求点1P 和2P 的坐标; ② 求1+n x 与n x 的关系.20. (本小题总分值10分)某农产品去年各季度的市场价格如下表：今年某公司方案按去年各季度市场价的“最正确近似售价值m 〞〔m 是与上表中各售价差的平方和取最小值时的售价值〕收购该种农产品，并按每100元纳税10元〔又称征税率为10个百分点〕，方案可收购50万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将税率降低x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． 〔1〕求m 的值(单位: 元/担)；〔2〕写出税收y 〔万元〕与x 的函数关系式；〔3〕假设要使此项税收在税率调节后不少于原方案税收的83.2%，试确定x 的取值范围．2021年杭州市高一年级教学质量检测数学评分标准一．选择题 : 〔 每题3分, 共30分〕二．填空题：〔 每题4分, 共20分〕11. 135- 12. }10|{<<x x 13. 02=+-y x 14. 54 15. ①, ②, ③, ④ (少1个扣1分)三．解答题：本大题有5小题, 共50分. 解容许写出文字说明, 证明过程或演算步骤.16．(本小题总分值10分)(1) 该几何体是一个底面面积为矩形，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥;--- 3分(2) 体积()1864643V =⨯⨯⨯=; --- 3分 (3) 该四棱锥有两个侧面VBC VAD ,是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为1h == 另两个侧面VCD VAB ,也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为25h ==,因此全面积2248886)582124621(2+=⨯+⨯⨯+⨯⨯=S . --- 4分17．(本小题总分值10分)(1) 由条件, 设数列的公比为q , 解方程38)1(82=++q q , --- 3分得252231,-==q q (舍去), 所以数列的通项为)()(8*123N n a n n ∈⋅=- --- 3分 (2) 因为]1)[(1623-=n n S , 解不等式64]1)[(1623>-n , 得3>n , 所以满足条件的最小正整数4=n . --- 4分18. (本小题总分值10分) 〔1〕)cos 1(23sin 212cos 32cos 2sin)(2x x x x x x f ++=+=23)3sin(++=πx , 所以周期π2=T ; --- 4分 〔2〕令23)3sin(,023)3sin(,0)(-=+=++=ππx x x f 也就是即, 因为],0[π∈x ，所以π=x ．所以f (x )的零点是π=x ; --- 3分 〔3〕图象如右. --- 3分19. (本小题总分值10分) 〔1〕圆心到直线l 的距离525|10|==d ，那么圆C 的方程为20)4()3(22=-+-y x ;--- 3分 〔2〕① )4,2(),0,2(),2,1(211---P Q P ; --- 3分 ② 设)0,(n n x Q ，那么)2,(1n n n x x P -+，)0,(11++n n x Q ，那么11++n n P Q 的斜率为12+n ,即11202++=---n n n n x x x ，∴n n n x x )211(1+=+. --- 4分20. (本小题总分值10分)(1) 按题意, 令2222)5.199()5.204()5.200()5.195(-+-+-+-=m m m m y +-=2)200(4m所以y 取最小值时有200=m ; --- 3分 (2) 降低税率后的税率为)%10(x -，农产品的收购量为%)21(50x +⋅万担，收购总金 额为%)21(50200x +⨯⨯． 依题意，)10)(2100(5010000200)%10(%)21(50200x x x x y -+⨯⨯=-⋅+⨯⨯=)100(),10)(2100(50501<<-+⨯⨯=x x x ． --- 4分 (3〕依题意，得%2.835020)10)(2100(50501⨯⨯≥-+⨯⨯x x ， 即.20,100.242,084402≤<∴<<≤≤-≤-+x x x x x 又解得答：x 的取值范围是.20≤<x --- 3分。

2021-2022学年吉林省松原市高一上学期第三次质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}1,3,5,7A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = A ．{1,3} B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【详解】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.【解析】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.2．已知四边形ABCD 的两条对角线分别为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用菱形的判定定理和性质定理即可判断二者间的逻辑关系. 【详解】四边形ABCD 的两条对角线分别为AC ，BD ，若四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥；若AC BD ⊥，则四边形ABCD 不一定为菱形. 则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的充分不必要条件 故选：A3．命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是（ ）A ．20,0x x x ∃>-≤B ．20,0x x x ∃>->C ．20,0x x x ∀>->D ．20,0x x x ∀≤->【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定为：“20,0x x x ∃>->”. 故选：B.4．若0,0,2a b a b >>+=，则41y a b=+的最小值为（ ） A ．72B ．92C ．5D ．4【答案】B【分析】利用题设中的等式，把y 的表达式转化成()()241a b a b++展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．【详解】解：2a b +=， ∴12a b+= ∴41415259()()222222a b b ay a b a b a b +=+=+=+++=（当且仅当2b a =时等号成立） 故选：B ．5．已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图像上，则m n -=（ ）A ．19B ．18C ．8D ．9【答案】A【解析】根据幂函数的系数为1可求得m 的值，再将点(),8m 的坐标代入函数()f x 的解析式，求出n 的值，进而可求得m n -的值.【详解】由于函数()()1n f x m x =-为幂函数，则11m -=，解得2m =，则()nf x x =，由已知条件可得()228n f ==，得3n =，因此，2139m n --==. 故选：A.6．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1） B ．（-1,0） C ．（0,1） D ．（1,2）【答案】B【详解】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 【解析】本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．7．函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为（ ）A ．52，⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．()2-∞，【答案】B【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果. 【详解】由题意，2560x x -+>，解得：3x >或2x <，即函数212log (56)y x x =-+的定义域为：(2)(3)-∞⋃+∞，，， 因为函数212log (56)y x x =-+由12log y t =与256t x x =-+复合而成， 外函数12log y t=显然单调递减，要求212log (56)y x x =-+的单调减区间，只需256t x x =-+单调递增，又256t x x =-+是开口向上，对称轴为52x =的二次函数， 所以256t x x =-+在3()x ∈+∞，上单调递增， 即函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为3()x ∈+∞，. 故选：B.【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，属于基础题型.8．若()()35,12,1a x x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0∞- B ．()0,3 C ．(]0,2 D ．()0,2【答案】C【分析】根据()f x 为R 上的减函数列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】()f x 为R 上的减函数， 1x ∴≤时， ()f x 递减，即30a -<，①， 1x >时， ()f x 递减，即0a >，②且()23151aa -⨯+≥ ，③ 联立①②③解得， 02a <≤. 故选：C.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.二、多选题9．若函数1()3(02xf x a a a ⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，且1a ≠）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）A ．8a =B ．(0)3f =-C ．12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4a =【答案】AC【分析】根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断．【详解】解：因为函数()f x 是指数函数，所以1312a -=，所以8a =，所以()8xf x =，所以()01f =，12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭B 、D 错误，A ．C 正确． 故选AC【点睛】本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题． 10．（多选）有下列说法，其中错误的是 A ．终边相同的角的同名三角函数值相等 B ．同名三角函数值相等的角也相等C ．终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等D ．不相等的角，同名三角函数值也不相等 【答案】BCD【分析】根据三角函数的定义即可得出选项． 【详解】对于A ，由诱导公式一可知正确； 对于B ，1sin 30sin1502==，但30150≠，所以B 错误； 对于C ，如60α=，120β=的终边不相同，但3sin 60sin1202==，所以C 错误； 对于D ，由C 中的例子可知D 错误.【点睛】本题考查三角函数的定义，除了掌握住对角的扩充，还要理解三角函数的定义． 11．下列与3cos π-2θ⎛⎫⎪⎝⎭的值相等的是 （ ）A ．()sin πθ-B ．()sin πθ+C ．πcos 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据诱导公式化简，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为3cos π-sin 2θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，()sin πsin θθ-=； 对于B ，()sin πsin θθ+=-；对于C ，πcos sin 2θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；对于D ，πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭故选:BD.12．已知函数()21([2,2])f x x x =-+∈-，2()2([0,3])g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．[2,2]x ∀∈-，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞- B ．[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,3)-∞- C ．[0,3]x ∃∈，()g x a =，则a 的取值范围是[1,3]- D ．[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t = 【答案】AC【分析】利用函数的单调性讨论最值，再根据恒成立问题或能成立求解即可. 【详解】对于A ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以min ()3f x =-， 又因为()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-，故A 正确； 对于B ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以max ()5f x =， 又[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,5)-∞，故B 错误； 对于C ，2()2([0,3])g x x x x =-∈在[]0,1单调递减，(]1,3单调递增， 所以min max ()(1)1,()(3)3,g x g g x g ==-== 所以()[1,3]g x ∈-，因为[0,3]x ∃∈，()g x a =，所以a 的取值范围是[1,3]-，故C 正确； 对于D ，由上述过程可知[]()3,5f x ∈-，()[1,3]g x ∈-， 则不能保证[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =，例如：当2x =-时，不存在[0,3]t ∈，()()f x g t =，故D 错误. 故选:AC.三、填空题133⨯=__________.【答案】8【分析】由已知代数式有意义确定x 的范围，结合根式的运算性质化简目标式求其值.310x -≥且30x -≤，故133x ≤≤，()3313331338x x x x ⨯=-+-=-+-=，故答案为：8.14．函数()()log 21(0a f x x a =-+>且1)a ≠的图象恒过的定点是_____________. 【答案】(3,1)【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为()()3log 3211a f =-+=， 所以该函数的图象恒过的定点是(3,1)， 故答案为：(3,1) 15．已知弧度数为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________. 【答案】23π 【分析】设圆的半径为r ，根据圆心角与弦长、半径关系求r ，再由弧长公式求圆心角所对的弧长. 【详解】若圆的半径为r ，则11sin 62r π==，可得2r =， ∴圆心角所对的弧长2233l r ππθ==⨯=. 故答案为：23π 16．已知函数()22log 1a a f x x x x =-+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒小于零，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题意得出()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，然后对底数a 分1a >和01a <<两种情况讨论，结合图象找出关键点得出关于a 的不等式（组）求解，可得出实数a 的取值范围. 【详解】()()()()2222log 2log log 11log 11aa a a a f x x x x x a x x x x =-+=-+--=----， 则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1a >时，312x <<，则1012x <-<，此时()1log 1log log 102a a a x -<<=，则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不成立；当01a <<时，如下图所示：由图象可知，若不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则20113log 122aa <<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1116a ≤<. 因此，实数a 的取值范围是1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查对数不等式恒成立问题，解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论，并利用数形结合思想得出一些关键点列不等式（组）求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.四、解答题17．已知tan 2.α=求： (1)2sin cos sin 2cos αααα-+；(2)224sin 3sin cos 5cos .αααα--【答案】(1)34(2)1【分析】（1）分子分母同时除以cos α，化为2tan 1tan 2αα-+可得答案.（2）将目标表达式视为分母为22sin cos αα+的分式，再分子分母同时除以2cos α，化为224tan 3tan 5tan 1ααα--+，可得答案.【详解】（1）2sin 12sin cos 2tan 1cos sin sin 2cos tan 22cos αααααααααα---==+++又tan 2α=，所以2tan 12213,tan 2224αα-⨯-==++故2tan 13tan 24αα-=+；（2）222222224sin 3sin cos 5cos 4tan 3tan 54sin 3sin cos 5cos sin cos tan 1ααααααααααααα------==++， 因为tan 2α=，所以22443254sin 3sin cos 5cos 141αααα⨯-⨯---==+， 所以224sin 3sin cos 5cos 1αααα--=. 18．已知函数4()log (41)x f x =- （1）求函数()f x 的定义域； （2）若122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的值域. 【答案】（1）()0,∞+；（2）[]40,log 15.【分析】（1）根据对数函数的真数大于零，得到不等式，解得；（2）令41x t =-根据122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出t 的取值范围，即可求出函数()f x 的值域. 【详解】解：（1）4()log (41)x f x =-410x ∴->解得0x >故函数()f x 的定义域为()0,∞+. （2）令41x t =-，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]115t ∴∈，[]44()log 0,log 15f t t ∴=∈ []4()0,log 15f x ∴∈即函数()f x 的值域为[]40,log 15【点睛】本题考查对数函数的定义域值域的计算问题，属于基础题.19．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()210100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，()100005014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润=总收入-成本）(1)求年利润y （万元）关于年产量x （百件)的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】(1)2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ (2)当年产量为100百件时，获利最大.【分析】（1）根据“利润=总收入-成本”求得y 关于x 的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量.【详解】（1）依题意，2500101002500,0301000050050145002500,30x x x x y x x x x ⎧---≤<⎪=⎨--+-≥⎪⎩ 2104002500,030100002000,30x x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当030x ≤<时，当()40020210x =-=⨯-时，y 取得最大值为210204002025001500-⨯+⨯-=万元.当30x ≥时，10000200020001800x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭万元， 当且仅当10000,100x x x==百件时等号成立. 综上所述，当年产量为100百件时，获利最大. 20．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1)求()f x 的解析式(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数 (3)解不等式()()10f t f t -+< 【答案】(1)()21xf x x =+ (2)证明见解析(3)102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可； （2）不妨假设()1212,1,1,x x x x ∈-＜ ，判断()()12f x f x - 的符号即可；（3）根据()f x 是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t 的范围. 【详解】（1）由函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，得()00f =，即0b =，又∵2112225112af ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21xf x x =+； （2）设1x ∀，()21,1x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212*********x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴()f x 在()1,1-上是增函数；（3）由()f x 为()1,1-上的奇函数，如()()10f t f t -+<等价于()()1f t f t -<-．则由()f x 在()1,1-上是增函数，可得111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得102t <<， 即不等式()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；综上，()21xf x x =+，()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.21．已知角α是第三象限角，且cos cos(2)tan()2()tan()sin()f παπααπααππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=----. （1）化简()f α；（2）若1sin()5απ-=，求()f α的值； （3）若2310α=-︒，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-；（2；（3【解析】（1）利用三角函数诱导公式化简()f α即可.（2）首先根据1sin()5απ-=得到1sin 5α=-，从而得到cos α=()f α的值. （3）首先计算cos cos150α︒==()f α的值. 【详解】（1）cos cos(2)tan()2()tan()sin()f παπααπααππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=---- sin cos tan cos tan sin αααααα⋅⋅==--⋅. （2）∵1sin()5απ-=，∴1sin 5α=-， ∵α是第三象限角，∴cos α=，∴()cos f αα=-=. （3）∵()231012180150α︒︒︒=-=-⨯+，∴cos cos150α︒==，∴()cos f αα=-=22．已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围；（3）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a .【答案】（1）()20,log 3；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩. 【分析】（1）当2a =时，可得出()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，解出2x 的取值范围，进而可求得原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为221x a <+，求得当0x <时，()211,2x +∈，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4x t =∈，()221g t t at a =-++，则问题可等价转化为函数()g t 在[]2,4t ∈上的最小值，然后对实数a 的取值分类讨论，分析出函数()g t 在[]2,4t ∈上的单调性，由此可得出()h a 关于a 的表达式.【详解】（1）当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--， 由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<， 因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；（2）因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<， 0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，当0x <时，()211,2x +∈，21a ∴≤，解得12a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； （3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4x t =∈，则()221f x t at a =-++，令()221g t t at a =-++，则二次函数()g t 的图象开口向上，该函数的对称轴为t a =.当2a ≤时，()g t 在[]2,4上单调递增，()()min 253g t g a ==-；当24a <<时，()g t 在[]2,a 上单调递减，()g t 在[],4a 上单调递增，()()2min 1g t g a a a ==-++；当4a ≥时，()g t 在[]2,4上单调递减，则()()min 4177g t g a ==-.综上可得：()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。

高中一年级数学上期教学质量监测试卷考生注意： 1. 本试卷满分100分，考试时间100分钟。

2. 选择题的答案应填入选择题答题栏内。

3. 请写好密封线内的所有项目。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求。

1. 设集合A=}{a a -,2，则实数a ≠（ ） A. 0B. -1C. 2D.2.不等式3|1|≤-x 的最小整数解为（ ） A.-2B. -4C. 2D. 03. 已知02:,2|43:|2>-->-x x q x p ，则p 是q 的（ ）条件 A.充公不必要B.必要不充公C.充要D. 既不充公也不必要4. 的等差中项是与)23lg()23lg(+-（ ）A ．0B.C. )625lg(+D.15. 已知函数xe xf =)(的图象与函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称,则有（ ） A. )()(R x ex f x∈=-B. )0(ln )(>-=x x x fC. )()(R x e x f x∈-=D. )0(ln )(>=x x x f6. 函数12)(-=xx f 的值域是（ ） A. ),1[+∞-B. ),1(+∞-C. ),0[+∞D. ),0(+∞7. n s 是等差数列{}n a 的前n 项之和,且===++66531,9,9s a a a a 则( ) A. 12B.24C.36D.488. 设=∈++++++=+-)(),(22222)(*1032374n f N n n f n n 则 ( ) A.)18(72-nB.)18(721-+n C.)18(723-+n D.)18(724-+n 9. 设函数)(x f y =的定义域是),0(+∞，且对定义域内的任意两个值21,x x ,都有)()()(2121x f x f x x f +=∙成立,若3)8(=f ,则=)2(f （ ）A.1B. 21-C.21 D.41 10. 已知函数的取值范围是则实数上的减函数在a x ax y a ,]1,0[)2(log ∈-=( ) A. ( 0, 1 )B. ( 0 , 2 )C. ( 1 , 2 )D. ),2[+∞-二、填空题（每小题4分，共16分） 11. 函数34log )(23-=-x x f x 的定义域是______________________________________.12. 等比数列{}n a 中, 384,3103==a a 则数列{}n a 的通项公式为:__________________.13. 函数⎩⎨⎧<+≥-=)4)(3()4(4)(x x f x x x f 则=-)1(f __________________.14.下列命题:①原命题的逆命题与否命题同真假;②将函数)12(+=x f y 的图象向右平移1个单位得函数)12(-=x f y 的图象 ③式子21)1(--a 有意义,则a 的范围是),1[+∞④1=ab是a=b 的充要条件; ⑤任意两个非0实数都有两个互为相反数的等比中项; ⑥任意一条垂直于x 轴的直线与函数)(x f y=的图象有且只有一个交点;其中正确命题的序号是________________________.南充市～上期高中一年级教学质量监测答题卷一．选择题（每小题4分，共40分）二．填空题（每小题4分，共16分）11． ． 12． ． 13． ． 14.___________________________ 三、解答题（共48分） 15.（12分）完成下列各小题 ①在等差数列{}n a 中,已知651=a ,公差61-=d ,前n 项的和5-=n s ,写出通项公式并求项数n.②求函数)01(112≤≤---=x x y 的反函数;16.（7分）指出函数x y -=的单调区间和单调性,并用单调性的定义加以证明;17.（7分）成等差数列的三个正数的和为15,并且这三个数分别加上1,3,9后又成等比数列,求这三个数;18.（8分）已知函数)(x f y =是定义在[0 ,1)上的增函数若0)4()2(2<---a f a f ,求实数a 的取值范围.19.(10分) 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ,前n 项之和为n s ,且0)12(21020103010=++-s s s ①求}{n a 的通项公式; ②求数列}{n ns 的前项的和n T .。

北京市朝阳区2019-2020学年高一（上）期末数学试卷选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1 3．下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则4．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π5．已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝6．已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2 8．已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4} 9．已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c10．已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的．（横线上填“上方”或者“下方”）14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a的取值范围是．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是，从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B （x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值2019-2020学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知命题p：∀x＜﹣1，x2＞1，则￢p是（）A．∃x＜﹣1，x2≤1B．∀x≥﹣1，x2＞1C．∀x＜﹣1，x2＞1D．∃x≤﹣1，x2≤1【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：∃x＜﹣1，x2≤1，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则【分析】利用不等式的基本性质，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，若a＞b＞0，则ac2＞bc2，c＝0时，A不成立；对于B，若a＞b，则a2＞b2，反例a＝0，b＝﹣2，所以B不成立；对于C，若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2，反例a＝﹣4，b＝﹣1，所以C不成立；对于D，若a＜b＜0，则，成立；故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，不等式的基本性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用二倍角的余弦公式求得y＝cos2x，再根据y＝A cos（ωx+φ）的周期等于T ＝，可得结论．【解答】解：∵函数y＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，∴函数的周期为T＝＝π，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的余弦公式，利用了y＝A sin （ωx+φ）的周期等于T＝，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）在区间（0，+∞）上的函数值不恒为正，则在下列函数中，f（x）只可能是（）A．f（x）＝xB．f（x）＝sin x+2C．f（x）＝ln（x2﹣x+1）D．f（x）＝【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断．【解答】解：∵x＞0，根据幂函数的性质可知，y＝＞0，不符合题意，∵﹣1≤sin x≤1，∴2+sin x＞0恒成立，故选项B不符合题意，C：∵x2﹣x+1＝，而f（x）＝ln（x2﹣x+1），故值域中不恒为正数，符合题意，D：当x＞0时，f（x）＝2x﹣1＞0恒成立，不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再讨论充要性．【解答】解：由a，b，c∈R，知：∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，∴“a＝b＝c”⇒“a2+b2+c2＝ab+ac+bc”，“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”⇒“a，b，c不全相等”．“a＝b＝c”是“a2+b2+c2＞ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）通过科学研究发现：地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为E1，E2，则E1和E2的关系为（）A．E1＝32E2B．E1＝64E2C．E1＝1000E2D．E1＝1024E2【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：根据题意得：lgE1＝4.8+1.5×9 ①，lgE2＝4.8+1.5×7 ②，①﹣②得lgE1﹣lgE2＝3，lg（）＝3，所以，即E1＝1000E2，故选：C．【点评】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）＝x+﹣a（a∈R），g（x）＝﹣x2+4x+3，在同一平面直角坐标系里，函数f（x）与g（x）的图象在y轴右侧有两个交点，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜﹣3}B．{a|a＞﹣3}C．{a|a＝﹣3}D．{a|﹣3＜a＜4}【分析】作出函数f（x）与函数g（x）的图象，数形结合即可判断出a的取值范围【解答】解：在同一坐标系中作出函数f（x）与g（x）的示意图如图：因为f（x）＝x+﹣a≥2﹣a＝4﹣a（x＞0），当且仅当x＝2时取等号，而g（x）的对称轴为x＝2，最大值为7，根据条件可知0＜4﹣a＜7，解得﹣3＜a＜4，故选：D．【点评】本题考查函数图象交点问题，涉及对勾函数图象在第一象限的画法，二次函数最值等知识点，属于中档题．9．（5分）已知大于1的三个实数a，b，c满足（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，则a，b，c 的大小关系不可能是（）A．a＝b＝c B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】因为三个实数a，b，c都大于1，所以lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，原等式可化为lgalg+lgblg＝0，分别分析选项的a，b，c的大小关系即可判断出结果．【解答】解：∵三个实数a，b，c都大于1，∴lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，∵（lga）2﹣2lgalgb+lgblgc＝0，∴（lga）2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb＝0，∴lga（lga﹣lgb）+lgb（lgc﹣lga）＝0，∴lgalg+lgblg＝0，对于A选项：若a＝b＝c，则lg＝0，lg＝0，满足题意；对于B选项：若a＞b＞c，则，0＜＜1，∴lg＞0，lg＜0，满足题意；对于C选项：若b＞c＞a，则0＜＜1，＞1，∴lg＜0，lg＞0，满足题意；对于D选项：若b＞a＞c，则0＜＜1，0＜＜1，∴lg＜0，lg＜0，∴lgalg+lgblg ＜0，不满足题意；故选：D．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是中档题．10．（5分）已知正整数x1，x2，…，x10满足当i＜j（i，j∈N*）时，x i＜x j，且x12+x22+…+x102≤2020，则x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为（）A．19B．20C．21D．22【分析】要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，结合题意，则需前8项最小，第9项最大，则第10项为第9项加1，由此建立不等式，求出第9项的最大值，进而得解．【解答】解：依题意，要使x9﹣（x1+x2+x3+x4）取得最大值，则x i＝i（i＝1，2，3，4，5，6，7，8），且x10＝x9+1，故，即，又2×292+2×29﹣1815＝﹣75＜0，2×302+2×30﹣1815＝45＞0，故x9的最大值为29，∴x9﹣（x1+x2+x3+x4）的最大值为29﹣（1+2+3+4）＝19．故选：A．【点评】本题考查代数式最大值的求法，考查逻辑推理能力及创新意识，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每空5分，共30分.11．（5分）计算sin330°＝﹣．【分析】所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin330°＝sin（360°﹣30°）＝﹣sin30°＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）若集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．【分析】根据集合A的意义，利用△≤0求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣ax+2＜0}＝∅，则不等式x2﹣ax+2＜0无解，所以△＝（﹣a）2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，所以实数a的取值范围是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝log2x，在x轴上取两点A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），设线段AB的中点为C，过A，B，C作x轴的垂线，与函数f（x）的图象分别交于A1，B1，C1，则点C1在线段A1B1中点M的上方．（横线上填“上方”或者“下方”）【分析】求出点C1，M的纵坐标，作差后利用基本不等式即可比较大小，进而得出结论．【解答】解：依题意，A1（x1，log2x1），B1（x2，log2x2），则，则＝，故点C1在线段A1B1中点M的上方．故答案为：上方．【点评】本题考查对数运算及基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．14．（5分）给出下列命题：①函数是偶函数；②函数f（x）＝tan2x在上单调递增；③直线x＝是函数图象的一条对称轴；④将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos2x的图象．其中所有正确的命题的序号是①②③．【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解．【解答】解：在①中，函数＝cos2x是偶函数，故①正确；在②中，∵y＝tan x在（﹣，）上单调递增，∴函数f（x）＝tan2x在上单调递增，故②正确；在③中，函数图象的对称轴方程为：2x+＝kπ+，k∈Z，即x＝，k＝0时，x＝，∴直线x＝是函数图象的一条对称轴，故③正确；在④中，将函数的图象向左平移单位，得到函数y＝cos（2x+）的图象，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）．若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，则实数a 的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．【分析】先求出对称点的坐标，再求出第二问的对立面，即可求解．【解答】解：因为点A（1，1）关于y轴的对称点A'的坐标是（﹣1，1）；A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组，其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组，可得：且⇒a＜0且﹣1＜a＜2⇒﹣1＜a＜0故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}．故答案为：（﹣1，1），{a|a≥0或a≤﹣1}．【点评】本题主要考查对称点的求法以及二元一次不等式组和平面区域之间的关系，属于基础题．16．（5分）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin（ωx+φ），x∈[0，+∞）表示，其中A＞0，ω＞0．如图，平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，r为半径作圆，A为圆周上的一点，以Ox为始边，OA为终边的角为α，则点A的坐标是A（r cosα，r sinα），从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t 秒转动到点B（x，y），动点B在y轴上的投影C作简谐运动，则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．【分析】由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），根据题意∠BOx＝ωt+α，进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式．【解答】解：由任意角三角函数的定义，A（r cosα，r sinα），若从A点出发，以恒定的角速度ω转动，经过t秒转动到点B（x，y），则∠BOx＝ωt+α，点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝r sin（ωt+α）．故答案为：A（r cosα，r sinα），y＝r sin（ωt+α）．【点评】本题考查任意角三角函数的定义，三角函数解析式，属于中档题．三.解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1，m∈R}．（Ⅰ）求集合∁R A；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数m的取值范围；【分析】（Ⅰ）容易求出A＝{x|﹣1≤x≤6}，然后进行补集的运算即可；（Ⅱ）根据A∪B＝A可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，解出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|﹣1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x＜﹣1或x＞6}，（Ⅱ）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴①B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；②B≠∅时，，解得，∴实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集、补集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（18分）已知函数f（x）＝sin2x﹣2．（Ⅰ）若点在角α的终边上，求tan2α和f（α）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若，求函数f（x）的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅲ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值．【解答】解：（Ⅰ）若点在角α的终边上，所以，，故，所以tan2α＝＝＝．f（α）＝＝2．（Ⅱ）由于函数f（x）＝sin2x﹣2＝．所以函数的最小正周期为．（Ⅲ）由于，所以，所以当x＝时，函数的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．（18分）已知函数f（x）＝（x≠a）．（Ⅰ）若2f（1）＝﹣f（﹣1），求a的值；（Ⅱ）若a＝2，用函数单调性定义证明f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ）设g（x）＝xf（x）﹣3，若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由已知，建立关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）将a＝2代入，利用取值，作差，变形，判号，作结论的步骤证明即可；（Ⅲ）问题转化为h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点，由二次函数的零点分布问题解决．【解答】解：（Ⅰ）由2f（1）＝﹣f（﹣1）得，，解得a＝﹣3；（Ⅱ）当a＝2时，，设x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，则，∵x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（2，+∞）上单调递减；（Ⅲ），若函数g（x）在（0，1）上有唯一零点，即h（x）＝2x2﹣3x+3a在（0，1）上有唯一零点（x＝a不是函数h（x）的零点），且二次函数h（x）＝2x2﹣3x+3a的对称轴为，若函数h（x）在（0，1）上有唯一零点，依题意，①当h（0）h（1）＜0时，3a（3a﹣1）＜0，解得；②当△＝0时，9﹣24a＝0，解得，则方程h（x）＝0的根为，符合题意；③当h（1）＝0时，解得，则此时h（x）＝2x2﹣3x+1的两个零点为，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查函数单调性的证明及二次函数的零点分布问题，考查推理论证及运算求解能力，属于中档题．20．（20分）已知函数f（x）＝log2（x+a）（a＞0）．当点M（x，y）在函数y＝g（x）图象上运动时，对应的点M'（3x，2y）在函数y＝f（x）图象上运动，则称函数y＝g（x）是函数y＝f（x）的相关函数．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＜1；（Ⅱ）对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），x∈（0，1）．当a＝1时，求|F（x）|的最大值【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质可得，解出即可；（Ⅱ）根据题意，求得，依题意，在（0，1）上恒成立，由此得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ）可知，，则只需求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，则，解得﹣a＜x＜2﹣a，∴所求不等式的解集为（﹣a，2﹣a）；（Ⅱ）由题意，2y＝log2（3x+a），即f（x）的相关函数为，∵对任意的x∈（0，1），f（x）的图象总在其相关函数图象的下方，∴当x∈（0，1）时，恒成立，由x+a＞0，3x+a＞0，a＞0得，∴在此条件下，即x∈（0，1）时，恒成立，即（x+a）2＜3x+a，即x2+（2a﹣3）x+a2﹣a＜0在（0，1）上恒成立，∴，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）当a＝1时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上，f（x）＜g（x），∴，令，则，令μ＝3x+1（1＜μ＜4），则，∴，当且仅当“”时取等号，∴|F（x）|的最大值为．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查换元思想的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。

2022-2023学年江苏省淮安市涟水县第一中学高一上学期第二次阶段检测数学试题一、单选题1．已知集合，集合，则（ ）{|ln(1)}P x y x ==+{}1|2x Q y y +==A ．P =Q B ．C ．D ．Q P ⊆P Q ∅⋂=P Q⊆【答案】B【分析】化简集合即得解.,P Q 【详解】解：由题得，.{|ln(1)}(1,)P x y x ==+=-+∞(0,)Q =+∞所以选项A,C,D 错误.只有选项B 正确.故选：B 2．命题是命题的（ ）()():820p x x ++=:2q x =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】C 【分析】判断是否成立，验证充分性；()()8202x x x ++=⇒=判断是否成立验证必要性.()()2820x x x =⇒++=【详解】若则或者，所以得不到，即充分性不成立.()()820x x ++=8x =-2x =-2x =当时则所以必要性不成立.2x =()()()()8228220x x ++=++≠故选：C3．下列结论正确的是（ ）A ．B ．若，则C ．D ．若，ln(ln )0e =10lg x =10x =lg(lg1)0=ln e x =则2x e=【答案】A【分析】运用常见对数运算，可以判断AC 选项，利用指对互换ln 1,ln10,lg10e ===可以判断BD 选项.log ,n a b n a b ==【详解】选项A 中，所以正确；选项B 中，所以不正确；选项C 中ln 1,ln10e ==1010lg ,10x x ==所以该式无意义，不正确；选项D 中，所以不正确.lg10=ln ,e e x x e ==故选：A.4．已知，则的值为（ ）()2146f x x -=+()5f A ．26B ．20C ．18D ．16【答案】C【分析】先由得，再将代入，从而求得的值.215x -=3x =3x =()f x ()5f 【详解】由得，215x -=3x =所以当时，.3x =()()21543618f x f -==⨯+=故选：C.5．已知角的终边经过点，则（ ）α(M -cos α=ABC ．D ．【答案】D【分析】根据余弦函数的定义即可求解.【详解】因为角的终边经过点，α(M -所以，cos xrα=====故选：D.6．若函数则（ ）()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，， ()2f f -=⎡⎤⎣⎦A ．B ．2C ．D ．32-3-【答案】D 【分析】首先计算，再计算的值.()2f -()2f f -⎡⎤⎣⎦【详解】，.()()22(2)228f -=--⨯-=()()228log 83f f f ⎡⎤-===⎣⎦故选：D.7．设，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）0.80.10.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】D【分析】结合指数函数、对数函数的性质确定正确答案.【详解】，0.83b =在上递增，所以，即.3x y =R 0.10.8133<<1a b <<在上递减，所以，0.7log y x =()0,∞+0.70.7log 0.8log 0.71<=所以.c<a<b 故选：D 8．函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，均有()f x R [0,)+∞[]0,1x t ∈-，则实数t 的最大值是（ ）()()2f x t f x -≥A ．B ．C ．D ．3543252【答案】B【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可2x t x-≥得解.【详解】因为，所以，则，[]0,1x t ∈-10t ->1t >因为函数是定义在上的偶函数，所以，()f x R ()()f x f x =则由得，()()2f x t f x -≥()()2f x t f x -≥又因为在上是增函数，所以，()f x [0,)+∞2x t x-≥两边平方化简得在恒成立，22320x tx t +-≤[]0,1x t ∈-令，则，22()32g x x tx t =+-()max 0g x ≤又因为开口向上，对称轴为，()g x 03tx =-<所以在单调递增，22()32g x x tx t =+-[]0,1x t ∈-则，解得，2max ()(1)4830g x g t t t =-=-+≤1322≤≤t 又因为，所以，1t >312t <≤所以的最大值为.t 32故选：B.二、多选题9．已知角与角的终边相同，则角可以是（ ）θ5π3-θA ．B ．C ．D ．11π3-π34π313π3【答案】ABD【分析】根据终边相同角的特征即可求解.【详解】角的终边相同的角的集合为,5π3-5π2π,Z 3k k θθ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭当时，，1,1,3k =-θ=-11ππ13π，，333故选：ABD10．函数y 的值可能为( )sin cos tan sin cos tan x x xx x x=++A ．﹣3B ．3C ．1D ．﹣1【答案】BD【分析】按照角x 所在的象限进行分类讨论即可得到答案．【详解】当x 是第一象限角时：1＋1＋1＝3，sin cos tan sin cos tan x x xy x x x=++=当x 是第二象限角时：1﹣1﹣1＝﹣1，sin cos tan sin cos tan x x xy x x x=++=当x 是第三象限角时：1﹣1＋1＝﹣1，sin cos tan sin cos tan x x xy x x x =++=-当x 是第四象限角时：1＋1﹣1＝﹣1，sin cos tan sin cos tan x x xy x x x=++=-∴y 的可能值为：﹣1，3．故选：BD ．11．设a 与b 为实数，，且，已知函数的图像如图所示，则下列结论0a >1a ≠()()log a f x x b =+正确的是（ ）A ．B．a =3b =C ．函数的定义域为D ．函数在为增函数()0,∞+()()log a f x x b =+()0,∞+【答案】ABD【分析】由图像求出函数解析式为，则可求其定义域，判断单调性.())3f x x =+【详解】解：有题意可知，()()()0log 22log 20a a f b f b ⎧==⎪⎨-=-+=⎪⎩即，解得，AB 选项正确，2210a bb a ⎧=⎪-+=⎨⎪>⎩3a b ⎧⎪⎨=⎪⎩，则，()()3f x x ∴=+303x x +>⇒>-函数的定义域为，C 选项错误；()3,-+∞，函数在为增函数，D 选项正确；1a > ()0,∞+故选：ABD.12．关于函数，以下命题错误的是（ ）2()(2)f x x x x =+≥A ．的图象关于轴对称B ．的图象关于原点对称()f x y ()f x C ．无最大值D ．的最小值为()f x ()fx 【答案】ABD【分析】先由函数定义域不关于原点对称，得到函数为非奇非偶函数，判断AB 选项；再由对勾函数的性质得到函数的单调性和最值情况，判断CD 选项.【详解】的定义域不关于原点对称，故函数图象不关于轴对称，也不关于原点2()(2)f x x x x =+≥y 对称，AB 说法错误；由对勾函数的性质，可知在上单调递增，2()f x x x =+2x ≥故，无最大值，C 说法正确，D 说法错误.min ()(2)213f x f ==+=故选：ABD三、填空题13．本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了_____弧度【答案】4π-【分析】由角度制和弧度制之间互化可得答案.【详解】本次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了，720-即.4π-故答案为：.4π-14．若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为______．【答案】32【分析】根据扇形面积公式和圆心角的弧度数公式，即可得到答案；【详解】， 331232l l r l r =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，∴3||2l r α==故答案为：3215．函数，则()21e 1x f x =++______()()()()()()()()()432101234f f f f f f f f f -+-+-+-+++++=【答案】18【分析】证明为一个定值，从而可得出答案.()()f x f x +-【详解】解：因为，()()2222e 224e 1e 1e 1e 1xx x x x f x f x -+-=++=++=++++令，()()()()()()()()()432101234S f f f f f f f f f =-+-+-+-+++++则，()()()()()()()()()432101234S f f f f f f f f f =+++++-+-+-+-所以，24936S =⨯=所以.()()()()()()()()()43210123418f f f f f f f f f -+-+-+-+++++=故答案为：18.四、双空题16．函数（且）的图像过定点P ,则P 的坐标为__________;当幂函数()log (1)8a f x x =-+0a >1a ≠过点P 时,的解析式为__________;()g x ()g x 【答案】 (2,8)3()g x x=【分析】(1)根据对数函数恒过定点,求出P 点坐标;(1,0)(2)根据幂函数的定义,用待定系数法求出解析式方程.【详解】(1)解:因为对数函数恒过定点,令点坐标为;(1,0)11,2,()8,-=∴==∴x x f x P (2,8)(2)由于为幂函数,不妨设,()g x ()ag x x =由于过点P ,代入可得,()g x (2,8)()g x 28,3=∴=a a 故.3()g x x =故答案为:;.(2,8)3()g x x =五、解答题17．已知集合.求.{}{}{}|10,|||6,|12U x x A x x B x x =>-=<=->,(),()U U A B A B A B【答案】(][)(3,6),()10 ,6,()6,U U A A B A B B ==--=+∞ 【分析】先求得，，再根据集合的交集，并集，补集运算即可.(6,6)A =-(3,)B =+∞【详解】解：由，得，6x <66x -<<所以，(6,6)A =-由，得，12x ->3x >所以，(3,)B =+∞所以，(3,6)A B = ()6,A B =-+∞ 所以，()(]10,6U A B =-- 因为，(][)10,66,U A =--+∞ 所以，()[)6,U A B =+∞18．计算下列各式(1)1363470.001168-⎛⎫-++⎪⎝⎭(2)7log 23log lg 25lg 47+-【答案】(1)89(2)14-【分析】（1）利用指数运算性质，即可解出；（2）利用对数运算性质，即可解出．【详解】（1）原式()111366343324(10)122310187289-⨯⨯-=-++⨯=-++=（2）原式．1431log 3lg10024-=+-=-19．已知的解集为．2(1)460a x x --+>{}31x x -<<(1)求实数的值；a (2)若恒成立，求实数的取值范围．230ax bx ++≥b 【答案】(1)3a =(2)[]6,6-【分析】（1）由题意知：，且，1是方程的两根，利用韦达定理得出10a -<3-2(1)460a x x --+=a 的值；（2）不等式恒成立，即恒成立，则，解不等式即可．2330x bx ++≥Δ0<【详解】（1）因为的解集为，2(1)460a x x --+>{}31x x -<<所以而且的两根为和1，10a -<2(1)460a x x --+=3-所以，所以．()1043116311a a a ⎧⎪-<⎪⎪-+=⎨-⎪⎪-⨯=⎪-⎩3a =（2）因为恒成立，即恒成立，230ax bx ++≥2330x bx ++≥所以，解得，2360b ∆=-≤66b -≤≤所以实数b 的取值范围为．即.66b -≤≤[]6,6-20．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分312m 3元3/m超过的部分但不超过的部分312m 318m 6元3/m 超过的部分318m 9元3/m(1)甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；310m (2)乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．【答案】(1)30元(2).315/m 【分析】(1)直接根据图表数据求解;(2)建立分段函数模型可求解.【详解】（1）甲用户该月需要缴纳的水费：元.10330⨯=（2）设用水量为，需要缴纳的水费为，x ()f x 由题可知，3,12()=3×12+6(12),12<183×12+6×6+9(18),>18x x f x x x x x ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩整理得，3,12()=636,12<18990,>18x x f x x x x x ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩当时，，12x ≤()36f x ≤当时，，1218x <≤36()72f x <≤当时，，18x >()72f x >所以令，63654x -=解得，因此乙用户该月的用水量为.15x =315/m 21．（1）当且时，求函数的最小值.0,0,x y >>111x y +=2x y +（2）当时，求函数的最大值.32x <823y x x =+-【答案】(1)3+52-【分析】(1)利用“1”的妙用和基本不等式求解；(2)利用基本不等式求解.【详解】(1) ,()11332223x x y x y y x y x y ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭++≥+=+当且仅当即即.2y x x y =111x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以的最小值为2x y +3+(2) ,()()()818318323232322322232y x x x x x x ⎡⎤=+=-++=---++⎢⎥----⎣⎦因为，所以，32x <()230,230x x -<-->所以，()()18234223x x --+≥=--所以，()()18234223x x ⎡⎤---+≤-⎢⎥--⎣⎦所以，()()183********x x ⎡⎤---++≤-⎢⎥--⎣⎦即，85232y x x =+≤--当且仅当，解得时取得等号，()()1823223x x --=--12x =-所以函数的最大值为.823y x x =+-52-22．已知函数是定义在R 上的奇函数，且()21ax bf x x +=+()112f =(1)确定函数的解析式；()f x (2)用定义证明在上单调递减;()f x ()1,+∞(3)求函数在的值域.()f x []5,2--【答案】(1)；()21xf x x =+(2)证明见解析；(3).25,526⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数的奇偶性得到方程，求出，再根据求出a ，即得到解析式；0b =()112f =（2）利用定义法证明函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论；（3）根据奇函数的性质可得为在为减函数，利用单调性求值域.()f x (),1-∞-【详解】（1）因为函数是奇函数，()21ax bf x x +=+则，即，()()f x f x -=-2211ax b ax b xx -++=-++整理得，即，20=b 0b =所以，()21axf x x =+又因为，解得，()1122a f ==1a =所以.()21x f x x =+（2）对，且，()12,1,x x ∀∈+∞12x x <则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++∵，则，121x x <<112222120,10,010,1x x x x x x -<-<>+>+∴，即，()()120f x f x ->()()12f x f x >故在上单调递减.()f x ()1,+∞（3）∵函数为奇函数且在为减函数，则函数为在为减函数，()f x ()1,+∞()f x (),1-∞-∴函数在为减函数，且，()f x []5,2--()()5252265f f -=--=-故函数在的值域为.()f x []5,2--25,526⎡⎤--⎢⎥⎣⎦。

2022-2023学年江苏省苏州市高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题一、单选题1．已知角，那么的终边在（ ）563α=︒αA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限．α203︒α【详解】因为，又，所以的终边在第三象限．563=360+203α=︒︒︒180203270︒<︒<︒α故选：C ．2．命题“”的否定为（ ）22,4x x ∀≥≥A ．“”B ．“”22,4x x ∀≤≥2002,4x x ∃<<C ．“”D ．“”22,4x x ∀≥<20024x x ∃≥<,【答案】D【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，主要是否定结论而不是否定条件，故的否定为22,4x x ∀≥≥20024x x ∃≥<,故选：D3．已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）ππA ．B ．C ．2D ．12π2π【答案】B【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，r α则，解得.21π2πr r αα⎧=⎪⎨⎪=⎩π2,2r α==故选：B4．已知，，则“”是“”成立的（ ）αR β∈αβ=sin sin αβ=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】若“”，则“”必成立；αβ=sin sin αβ=但是“”，未必有“”，例如.sin sin αβ=αβ=0,αβπ==所以“”是“”成立的充分不必要条件.αβ=sin sin αβ=故选：A.5．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）ππ,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．sin y x =|sin |y x =cos 2y x =tan y x=【答案】B【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.【详解】的最小正周期是，不符合题意.sin y x =2π在区间上单调递增，不符合题意.tan y x =π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭对于，，cos 2y x =ππ,π22π2x x <<<<所以在区间上单调递增，不符合题意.cos 2y x =π,π2⎛⎫⎪⎝⎭对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，sin y x=sin y x=π且在区间上单调递减，B 选项正确.π,π2⎛⎫⎪⎝⎭故选：B6．已知A ，集合，若，则实数a 的取值范围()f x ={12}B x ax =∈<<R ∣B A ⊆是（ ）A ．B ．C ．D ．[2,1]-[1,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】A ，()f x =所以，210x -≥所以或，1x ≥1x ≤-①当时，,0a ={102}B x x =∈<<=∅R ∣满足，B A ⊆所以符合题意；0a =②当时，0a >，12{}B x x a a =∈<<R ∣所以若，B A ⊆则有或，11a ≥21a ≤-所以或（舍）01a <≤2a ≤-③当时，0<a ，21{}B x x a a =∈<<R ∣所以若，B A ⊆则有或（舍），11a ≤-21a ≥，10a -≤<综上所述，，[1,1]a ∈-故选：B.7．三个数， 之间的大小关系为（ ）220.81log 1.41a b ==，0.312c =A ．B ．b a c <<a b c <<C ．D ．a c b <<b<c<a【答案】A【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可.1,12【详解】由题意，即，220.810.80.640.5a =>=>112a <<，即，221log 1.41log 2b =<=102b <<，0.310221c =>=综上：c a b >>故选：A8．已知函数，若函数有两个零点，则实数a 的取值范1221,()log (1),1x x a f x x x a⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩()()2g x f x =-围是（ ）A ．B ．C ．D ．21log 3a -<≤21log 3a -≤<23log 34a -≤<23log 34a -<≤【答案】D 【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数()211x y x =->-()()12log 11y x x =+>-2y =有两个零点求得的取值范围.()()2g x f x =-a 【详解】函数有两个零点，()()2g x f x =-即有两个不相等的实数根，()2f x =即与的图象有两个交点.()y f x =2y =画出、和的图象如下图所示，()211x y x =->-()()12log 11y x x =+>-2y =由解得，设.212x-=2log 3x =()2log 3,2B 由解得，设.()12log 12x +=34x =-3,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭对于函数，1221,()log (1),1x x a f x x x a⎧-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩要使与的图象有两个交点，结合图象可知，.()y f x =2y =23log 34a -<≤故选：D二、多选题9．设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的一个函数{}*2,A x x k k ==∈N ∣*B =N 的有（ ）A ．B ．C ．D ．12y x =2log y x =2xy =2y x =【答案】ACD【分析】根据函数的定义一一判断求解.【详解】对于A ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N∣*1,2y x k k ==∈N 即任意，都有唯一的与之对应，所以A 正确；x A ∈y B ∈对于B ，存在，，所以B 错误；6x A =∈2log 6y B =∉对于C ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N ∣2xy B =∈即任意，都有唯一的与之对应，所以C 正确；x A ∈y B ∈对于D ，任意，，{}*2,x A x x k k ∈==∈N ∣2y xB =∈即任意，都有唯一的与之对应，所以D 正确；x A ∈y B ∈故选:ACD.10．已知函数，则下列结论中正确的有（ ）π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．B ．的定义域为7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．在区间上单调递增D ．若，则的最小值为()f x ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭()()1212,f x f x x x =≠12x x -π【答案】BC【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.【详解】已知函数,函数的定义域为,π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ2π,Z 32x k k -≠+∈即函数的定义域为,故选项正确;()f x π5π,Z 212k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣B 7π7πππ=tan tan 12412343π3ππ7ππ=tan tan tan 42366f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则,故选项错误;7π3π244f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 当,则在区间上单调递增, 故选项正确;πππππ,,2,123323x x ⎛⎫⎛⎫∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ππ,123⎛⎫- ⎪⎝⎭C 因为的周期,π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2T =所以若，则的最小值为,故选项错误;()()1212,f x f x x x =≠12x x -π2D 故选: .BC 11．若a ，b 均为正数，且满足，则（ ）24a b +=A ．的最大值为2B ．的最小值为4ab 11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．的最小值是6D ．的最小值为4aa b +22a b +165【答案】AD【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，，211222222a b ab a b +⎛⎫=⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭当且仅当时等号成立，A 选项正确.22a b ==B 选项，111b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，但由解得，不满足，4≥=1b a ab ab a b ===1a b ==24a b +=所以等号不成立，所以B 选项错误.C 选项，，42224a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+=当且仅当时等号成立，所以C 选项错误.4,3b a a b a b ===D 选项，，()222224251616a a a a ab =+-=-++所以当，时，168255a -=-=⨯16442455b a =-=-=取得最小值，D 选项正确.22a b +64816516162555⨯-⨯+=故选：AD12．已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，x y a =0a >1a ≠log a y x =0a >1a ≠它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ）e 2x x +=ln 2x x +=1x 2x A ．B ．C ．D ．122x x +=211x x ->1122e ln x x x x =1212ln e x x x x =【答案】ABC【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合2y x =-+e xy =ln y x =1x 2x 图像即可判断各选项.【详解】由方程和可化为和，e 2xx +=ln 2x x +=e 2x x =-+ln 2x x =-+即直线与两函数和的交点横坐标分别为、，2y x =-+e xy =ln y x =1x 2x 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称，e xy =ln y x =y x =如图所示，点、关于点对称，，且，A B C 12012x x <<<<()1,1C 所以，故A 正确；122x x +=因为，所以，1213e 222>-+=110x 2<<又，所以，故B 正确；212x x =-211112221x x x x x -=--=->由和它们的图像关于直线对称，所以，，e x y =ln y x =y x =12e xx =21ln x x =所以，故C 正确；1122e ln x x x x =对于D ，由，则，即，与矛盾，故D 错误.1212ln e x x x x =2211x x x x =12x x =12012x x <<<<故选：ABC.三、填空题13．求值：__________．22351lg 2lg 2822-⎛⎫+-+=⎪⎝⎭【答案】1【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.【详解】()22222333515lg 2lg 28lg lg 222222-⎛⎫+-+=+-+ ⎪⎝⎭()2335lg 442lg 5244lg1012⨯⎛⎫=⨯-+=⨯-+== ⎪⎝⎭故答案为：114．已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数()f x (0,)+∞__________．()=f x 【答案】(答案不唯一)2x -【分析】根据幂函数的性质即得.【详解】因为幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，2()f x x -=(0,)+∞所以函数满足题意.2()f x x -=故答案为：.2x -15．已知，则__________．1sin cos ,(0,π)5ααα+=∈(sin 1)(cos 1)αα-+=【答案】225-【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结sin cos αα⋅sin cos αα-果.【详解】由得：1sin cos 5αα+=，()2221sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα+=++=+=解得：；12sin cos 25αα⋅=-由得：12sin cos 25αα=-()22249sin cos sin 2sin cos cos 12sin cos 25αααααααα-=-+=-=又因为,且,所以即(0,π)α∈12sin cos 25αα⋅=-sin 0,cos 0αα><sin cos 0αα->所以7sin cos 5αα-=则(sin 1)(cos 1)sin co 1272sin cos 1521255s αααααα-+=⋅+=-+-=---故答案为：.225-四、双空题16．我们知道，设函数的定义域为I ，如果对任意，都有，且()f x x I ∈,a x I a x I +∈-∈，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数()()2f a x f a x b ++-=()y f x =(,)P a b 的图象关于点成中心对称图形，则实数c 的值为__________；若3()2e 1x cf x x =-++(0,1)，则实数t 的取值范围是__________．()2(56)2f t f t -++>【答案】 2()(),16,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据题意可得即可求出c 的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，()()2f x f x +-=并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.()2(56)2f t f t -++>【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形，3()2e 1x cf x x =-++(0,1)所以，()()2f x f x +-=即，33222e 1e 1x x c c x x --+++=++即，所以，(e 1)2e 1x xc +=+2c =所以在定义域上单调递减，32()2e 1xf x x =-++R 令，32()()121e 1x g x f x x =-=-+-+因为函数的图象关于点成中心对称，()f x (0,1)所以的图象关于对称，()g x (0,0)且单调递减，32()()121e 1x g xf x x =-=-+-+因为，即，()2(56)2f t f t -++>()21(56)1f t f t -->-++即，也即，2()(56)g t g t ->-+2()(56)g t g t ->--所以则解得或，256t t -<--2560t t -++<1t <-6t >故实数t 的取值范围是.()(),16,-∞-⋃+∞五、解答题17．设集合．{}22216,05x x A x M B x x -⎧⎫=∈≤≤=<⎨⎬-⎩⎭∣∣(1)若，；M =N A B ⋂(2)若，．M =R (),A B A B R 【答案】(1){}3,4A B = (2){}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.,A B A B ⋂（2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.【详解】（1），所以，所以.422162x ≤≤=14x ≤≤{}14A x M x =∈≤≤∣，解得，所以.()()202505x x x x -<⇔--<-25x <<{}|25B x x =<<若，则，所以.M =N {}1,2,3,4A ={}3,4A B = （2）或，{|2B x x =≤R }5x ≥若，则，M =R {}|14A x x =≤≤所以.{}(){}5|12|1,A B x x A B x x =≤⋃=≤<≤R18．已知．πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭(1)若角的终边过点，求；α(12,5)P -()f α(2)若，分别求和的值．()2f α=sin cos sin cos αααα-+24sin 3sin cos ααα-【答案】(1)512(2)，sin cos 3sin cos αααα-=+2224sin 3sin cos 5ααα-=【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.()f x ()f α（2）根据齐次式的知识求得正确答案.【详解】（1）πsin(π)cos(π)cos 2()3πcos(2π)sin sin(π)2f ααααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+--- ⎪⎝⎭，()()()sin cos sin tan cos cos sin ααααααα⨯-⨯-==-⨯-⨯若角的终边过点，则，α(12,5)P -5tan 12α=-所以.()5tan 12f αα=-=（2）若，()tan 2,tan 2f ααα=-==-所以；sin cos tan 133sin cos tan 11αααααα---===++-22224sin 3sin cos 4sin 3sin cos sin cos αααααααα--=+.224tan 3tan 16622tan 1415ααα-+===++19．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y （单位：万元）是销售利润x （单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元；③销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：A ．；B ．；C ．．(0)y kx b k =+> 1.5(0)xy k b k =⋅+>2log 2(0)15⎛⎫=++> ⎪⎝⎭x y k n k (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；(2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？②总奖金能否超过销售利润的五分之一？【答案】(1)模型C,理由见解析(2)①210万元; ②不会.【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；（2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象23log 23915x y ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭23log 23155x x ⎛⎫+-≥⎪⎝⎭的增长速度解释.【详解】（1）模型A ．，因为，所以匀速增长，(0)y kx b k =+>0k >模型B ．，因为，先慢后快增长，1.5(0)xy k b k =⋅+>0k >模型C ．，因为，先快后慢增长，2log 2(0)15⎛⎫=++> ⎪⎝⎭x y k n k 0k >所以模型C 最符合题意.（2）因为销售利润x 为0万元时，总奖金y 为0万元，所以，即，2log 20k n +=0k n +=又因为销售利润x 为30万元时，总奖金y 为3万元，所以，即，2log 43k n +=23k n +=由解得，所以，023k n k n +=⎧⎨+=⎩33k n =⎧⎨=-⎩23log 2315⎛⎫=+- ⎪⎝⎭x y ①如果总奖金不少于9万元，即，23log 23915x y ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭即，即，解得，2log 2415x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭21615x +≥210x ≥所以至少应完成销售利润210万元.②设，即，23log 23155x x ⎛⎫+-≥⎪⎝⎭2log 211515x x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭因为与有交点，2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+()0,1且增长速度比慢，2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+所以当时，恒在的下方，0x >2log 215x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭115x y =+所以无解，2log 211515x x⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.20．已知函数的图象经过点．()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<5π,38⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求在区间上的最大值和最小值；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)记关于x 的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭25π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x n 的值，并求的值．1231222n n x x x x x -+++++【答案】(1)最大值为，最小值为3(2)，.4n =12π【分析】（1）将代入，求出函数的解析式，5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<()3sin(2)4f x x π=+根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦24x π+（2）由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n 的值和π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 3x =的值.123422x x x x +++【详解】（1）将代入，5π,38⎛⎫- ⎪⎝⎭()3sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<得，即，533sin 4πϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭53242k ππϕπ+=+解得，，因为，所以，24k ϕπ=+π0πϕ<<4πϕ=所以，()3sin(2)4f x x π=+当时，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52444x πππ≤+≤所以，所以，sin(2)14x π≤+≤3sin(234x π≤+≤所以在区间上的最大值为，最小值为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦3（2）因为，所以，π282x f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3sin 22824x π⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即，，2sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 3x =由余弦函数性质可知，在上有4个解，2cos 3x =25π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即，，，4n =122x x π+=234x x π+=346x x π+=累加可得，.12342212x x x x π+++=21．已知为奇函数．24()1x af x x +=+(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；()f x (0,)+∞(2)若关于x 的方程有8个不同的解，求实数m 的取值范围．22()(21)|()|0f x m f x m -++=【答案】(1)在单调递增，在上单调递减；证明见解析.()f x (0,1)(1,)+∞(2)11(0,(,2)22 【分析】(1)根据奇函数的性质可求得的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性.(0)0f =a (2)将已知方程因式分解得，，作出的图像，数形结合即可得到的()()(2()1)0f x m f x --=()f x m 取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为，则，解得，所以24()1x a f x x +=+R (0)01af ==0a =，24()1xf x x =+当时，，，所以函数为奇函数.0a =24()1x f x x =+24()()1x f x f x x --==-+24()1xf x x =+则在单调递增，在上单调递减.24()1xf x x =+(0,1)(1,)+∞证明如下：，且12,(0,)x x ∀∈+∞12x x <，()22121212121222221212444444()()111(1)x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++，()()()()()()()()1221211221222212124411111x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-----⎣⎦==++++当时，，，，所以，即12,(0,1)x x ∈1210x x -<210x x ->()22121(1)0x x ++>12())0(f x f x -<，所以函数在上单调递增；12()()f x f x <24()1xf x x =+(0,1)当时，，，，所以，即12,(1,)x x ∈+∞1210x x ->210x x ->()22121(1)0x x ++>12())0(f x f x ->，所以函数在上单调递减.12()()f x f x >24()1xf x x =+(1,)+∞（2）因为，则，即22()(21)|()|0f x m f x m -++=22()(21)|()|0f x m f x m -++=，()()(2()1)0f x m f x --=解得或，因为有4个解，1()2f x =()f x m=1()2f x =要使关于x 的方程有8个不同的解，则有4个不同的解，22()(21)|()|0f x m f x m -++=()f x m =如图所示，根据第一问函数单调性可知，当时，，所以的取值范围是且0x >max ()(1)2f x f ==m 02m <<，综上，的取值范围是.12m ≠m 11(0,(,2)22 22．已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．()f x ()g x R ()()2xf xg x +=(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)若函数在上的值域为，求正实数a 的值；2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅R [1,)-+∞(3)证明：对任意实数k ，曲线与曲线总存在公共点．()()f x y g x =12y kx =+【答案】(1)，()222x xf x --=()222x x g x -+=(2)2a =(3)证明见详解【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式.（2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值.a （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1），分别为定义在上的奇函数和偶函数()f x ()g x R 所以，又因为①，()()()(),f x f x g x g x -=--=()()2xf xg x +=所以②，()()()()2xf xg x f x g x --+-=-+=有①②可知， ，.()222x x g x -+=()222x xf x --=（2）令，由（1）知，，()(2)()g x a F x f x -⋅=()()()22222222x x x xa F x --+--⋅=又因为，令，所以x ∈R 22x xt -=-Rt ∈所以，()()222222222222222x x xx t at t at a --+-+-+-⋅=-=函数在上的值域为，2()log [(2)()]h x g x a f x =-⋅R [1,)-+∞所以，故,()1,2F x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭[)221,t at -+∈+∞当时，得，又因为，所以2a t =2214a -+=0a >2a =（3）由（1）知，所以2222()4121()4141x x x xx x xf x yg x ---====-+-++与曲线总存在公共点，()()f x y g x =12y kx =+即在有实数根，令，210412x kx +-=+(),-∞+∞()21412x k G x x +=-+当时，易知为函数的零点，0k =4log 3x =()G x 当时，易知函数在单调递减，0k <()21412xk G x x +=-+(),-∞+∞又因为，，由零点存在性定理可知:()1002G =>()11010G k =-<,使得成立.()00,1x ∃∈()00G x =当时，，0k >()2113241222x kx G x kx kx +-<+-=++=又因为，，所以.()1002G =>223122G k k k ⎛⎫⎛⎫-<⋅-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20G k ⎛⎫-< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知:,使得成立.12,0x k ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭()10G x =故对任意实数函数在有零点.k ()21412x k G x x +=-+(),-∞+∞即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.k ()()f x y g x =12y kx =+。