2016届高三第四次学情调研数学试卷

2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．49．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．310．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．11．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，a=且bsin（+C）﹣csin（+B）=a，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．16．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 3=7，且a 2，a 4，a 9成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{b n }满足b n =（），设其前n 项和为S n ，求证：≤S n ＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅱ） 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望附： =， =﹣， =6， =146，x i y i =4420，x i 2=182．19．梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，EF=DE=BD ，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE ⊥BC ．（Ⅰ） 求证：DE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ） 求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系中，已知A 1（﹣2，0），A 2（2，0），B 1（x ，2），B 2（x ，﹣2），P（x ，y ），若实数λ使得λ2•=•（O 为坐标原点）．（Ⅰ） 求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=x2﹣bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）＞﹣；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣5x+6＜0}，B={x||x|≤2}，则∁R A∩B=（）A．A B．C R A C．B D．C R B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A补集与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得：2＜x＜3，即A=（2，3），∴∁R A=（﹣∞，2]∪[3，+∞），由B中不等式解得：﹣2≤x≤2，即B=[﹣2，2]，则∁R A∩B=[﹣2，2]=B，故选：C．2．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z等于﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），从而得出结论．【解答】解：∵复数===﹣1﹣3i，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，﹣3），故复数对应的点位于在第三象限，故选C．3．抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．（﹣，0）B．（﹣1，0）C．（0，﹣）D．（0，﹣）【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y=﹣2x2的方程化为：．即可得出．【解答】解：抛物线y=﹣2x2的方程化为：．∴焦点坐标为．故选：C．4．若变量x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z达到最大值2．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（1，1），C（3，1）．设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，观察直线在x轴上的截距变化，可得当l经点A时，目标函数z达到最大值，=F（2，0）=3．∴z最大值故选：C5．已知lga+lgb=0，函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．【解答】解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣log b x=log a x，f（x）=a x与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d【考点】简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．7．已知实数x∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于121的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于121得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于121的概率．【解答】解：经过第一次循环得到x=3x+1，n=2，经过第二循环得到x=3（3x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=3[3（3x+1）+1]+1，n=3此时输出x，输出的值为27x+13，令27x+13≥121，得x≥4，由几何概型得到输出的x不小于121的概率为：．故选：B．8．下列命题正确的个数是（）①对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大；②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为；④“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据独立性检验的进行判断，②根据相关关系相关指数为R22，的意义进行判断，③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：①根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k2越大，判断“X 与Y有关系”的把握程度越大，故①错误，②在相关关系中，若用y1=c1e拟合时的相关指数为R12，用y2=bx+a拟合时的相关指数为R22，且R12＞R22，则y1的拟合效果好；正确③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，由3a﹣1＞0得a＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率P==；故③正确，④当“a＞0，b＞0”时“+≥2成立，当a＜0，b＜0时， +≥2也成立，则“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分不必要条件，故④错误，故正确的是②③，故选：B．9．已知A（x1，y1）是单位圆O上任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转，与单位圆O交于点B（x2，y2），若x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2，则m的值为（）A．1 B．2 C．2D．3【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+），整理后利用辅助角公式化积，再由x=my1﹣2y2（m＞0）的最大值为2列关于m的等式求得m的值．【解答】解：A（x1，y1）是单位圆上任一点，设A（cosα，sinα），则B（cos（α+），sin（α+）），即y1=sinα，y2=sin（α+），则my1﹣2y2=msinα﹣2sin（α+）=msinα﹣2（）=（m﹣1）sinα﹣cosα=sin（α+β），∵m＞0，my1﹣2y2的最大值为2，∴，解得m=2．故选：B．10．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B ．11．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，a=且bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】由已知化简整理求得sin （B ﹣C ）=1，结合角的范围得到B ，C 的值，再利用正弦定理求得b ，代入三角形面积公式求得答案．【解答】解：由bsin （+C ）﹣csin （+B ）=a ，A=，得：sinBsin （）﹣sinCsin （）=sinA ．sinB （+）﹣sinC （sinB +cosB ）=， 整理得sinBcosC ﹣cosBsinC=1， 即sin （B ﹣C ）=1，∵A=，∴B +C=，①即0＜B ＜，0＜C ＜，∴﹣＜﹣C ＜0，则﹣＜B ﹣C ＜，从而B ﹣C=．②联立①②解得B=，C=．sin =，sin =．由，得=．∴．故选：C．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x ∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】导数的运算．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得2﹣a≥a，由此解得a的范围．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，故选：B．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N 的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．二项式（x2+）6展开式中的常数项为3．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，【解答】解：二项式（x2+）6展开式的通项公式为T r+1=•（x2）6﹣r•x﹣r=（）6﹣r••x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为（）2•=3，故答案为：3．15．已知四边形ABCD中，•=0，||=1，||=2，•=0，则||的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，•=0，•=0，可得AB⊥BC，AD⊥DC．因此四边形ABCD内接于圆O．可得||的最大值为直径AC．【解答】解：如图所示，∵•=0，•=0，∴AB⊥BC，AD⊥DC．∴四边形ABCD内接于圆O．可得⊙O的直径AC==．则||的最大值为直径．故答案为：．16．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，从而得到四面体ABCD的体积的最大值即可．【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=（），设其前n项和为S n，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．可得a1+2d=7，=（a1+d）（a1+8d），联立解得即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．再利用等比数列的前n项和公式、数列的单调性即可得出．【解答】（I）解：设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．∴a1+2d=7，=a2•a9，即=（a1+d）（a1+8d），联立解得d=3，a1=1．∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：b n=（）==4×．∴S n==∈．∴≤S n＜．18．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出（Ⅰ）若某天售出箱水，求预计收益是多少元？（Ⅱ）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201﹣500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为．（1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望附：=，=﹣，=6，=146，x i y i=4420，x i2=182．【考点】线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）求出、，从而求出回归方程，将x=8代入求出即可；（Ⅱ）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，求出概率即可；（Ⅲ）计算对应的P（X）的值，求出其分布列和期望值即可．【解答】解：（Ⅰ）===20…=﹣x=146﹣20×6=26…∴=20x=26，当x=8时，=20×8+26=186（元）即某天售出8箱水的预计收益是186元…（Ⅱ）（1）设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则P===，即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为…（2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000P（X=0）=×=，P（X=300）=××=，P（X=500）=××=，P（X=600）==，P（X=800）=××=，P（X=1000）==，XX的数学期望E（X）=0×+300×+500×+600×+800×+1000×=600（元）…19．梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE=BD，BD=BC=CD=AB=AD=2，DE⊥BC．（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而DE ⊥AC，再由DE⊥BC，能证明DE⊥平面ABCD．（Ⅱ）分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD．…解：（Ⅱ）∵EF∥BD，EF=BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，…分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），=（），设平面AEF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），…设平面CEF的法向量，则，取a=1，得=（1，0，﹣），…∴cos＜＞===．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为．…20．在平面直角坐标系中，已知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（x，2），B2（x，﹣2），P（x，y），若实数λ使得λ2•=•（O为坐标原点）．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并讨论点P的轨迹类型；（Ⅱ）当λ=时，是否存在过点B（0，2）的直线l与（Ⅰ）中点P的轨迹C相交于不同的两点E，F （E在B，F之间），且＜＜1？若存在，求出该直线的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）由题设条件，知（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2），由此进行分类讨论能得到P点的轨迹类型．（Ⅱ）当λ=时，点P的轨迹C的方程为=1．S△OBE：S△OBF=|x1|：|x2|，由＜＜1，即＜＜1．设直线EF直线方程为y=kx+2，联立方程可得，：（1+2k2）x2+8kx+4=0，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由λ2•=•得：λ2（x2﹣4）=x2﹣4+y2，即（1﹣λ2）x2+y2=4（1﹣λ2）为点P的轨迹C的方程…①λ=±1时方程为y=0轨迹为一条直线，…②λ=0时方程为x2+y2=4轨迹为圆，…③λ∈（﹣1，0）∪（0，1）时方程为+=1轨迹为椭圆，…④λ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时方程为﹣=1轨迹为双曲线 …（Ⅱ）当λ=时，点P 的轨迹C 的方程为=1 …设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），∴S △OBE ：S △OBF =|x 1|：|x 2|由＜＜1，即＜＜1，由题意可得x 1，x 2同号，∴＜＜1… 由题意得直线EF 的斜率存在，设其方程为y=kx +2代入椭圆方程得：（1+2k 2）x 2+8kx +4=0∵△=64k 2﹣16（1+2k 2）＞0，∴k 2＞，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=…设，则，∴，∴，，∵，∴即，∴，∴k ∈（，）∪（，）为所求…21．设函数f （x ）=x 2﹣bx +alnx ．（Ⅰ） 若b=2，函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求实数a 的取值范围；（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，证明：f （x 2）＞﹣；（Ⅲ） 若对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，结合二次函数的性质求出a 的范围即可；（Ⅱ）求出f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），得到F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，根据函数的单调性求出F （t ）＞F （），从而证出结论； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，得到在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，通过讨论a 的范围，求出函数的单调性，从而确定a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，b=2时，f （x ）=x 2﹣2x +alnx ，f （x ）的定义域为（0，+∞），求导数得：f ′（x ）=，∵f （x ）有两个极值点x 1，x 2，f ′（x ）=0有两个不同的正根x 1，x 2，故2x 2﹣2x +a=0的判别式△=4﹣8a ＞0，即a ＜，且x 1+x 2=1，x 1•x 2=＞0，所以a 的取值范围为（0，）；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＜x 2＜1且f ′（x 2）=0，得a=2x 2﹣2，∴f （x 2）=﹣2x 2+（2x 2﹣2）lnx 2，令F （t ）=t 2﹣2t +（2t ﹣2t 2）lnt ，（＜t ＜1），则F （t ）=2（1﹣2t ）lnt ，当t ∈（，1）时，F ′（t ）＞0，∴F （t ）在（，1）上是增函数∴F （t ）＞F （）=，∴f （x 2）＞﹣； （Ⅲ）令g （b ）=﹣xb +x 2+alnx ，b ∈[1，2]，由于x ∈（1，e ），所以g （b ）为关于b 的递减的一次函数，根据题意，对任意b ∈[1，2]，都存在x ∈（1，e ）（e 为自然对数的底数），使得f （x ）＜0成立，则x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （1）=﹣x +x 2+alnx ＜0有解，令h （x ）=﹣x +x 2+alnx ，则只需存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜0即可，由于h ′（x ）=，令ω（x ）=2x 2﹣x +a ，x ∈（1，e ），ω′（x ）=4x ﹣1＞0， ∴ω（x ）在（1，e ）上单调递增，∴ω（x ）＞ω（1）=1+a ，①当1+a ≥0，即a ≥﹣1时，ω（x ）＞0，∴h ′（x ）＞0，∴h （x ）在（1，e ）上是增函数，∴h （x ）＞h （1）=0，不符合题意，②当1+a ＜0，即a ＜﹣1时，ω（1）=1+a ＜0，ω（e ）=2e 2﹣e +a ，（ⅰ）若ω（e ）＜0，即a ≤2e 2﹣e ＜﹣1时，在x ∈（1，e ）上ω（x ）＞0恒成立 即h ′（x ）＜0恒成立，∴h （x ）在（1，e ）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立∴h（x）在（1，e）上单调递减，∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合题意，综上所述，当a＜﹣1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）＜0成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，FE：FD=4：3．（Ⅰ）求证：AF=DF；（Ⅱ）求∠AED的余弦值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）欲证AF=DF，可以证明△AEF≌△DEF得出；（Ⅱ）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可以求出．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC．∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE．∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE．∴EA=ED．∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°．∴AF=DF．…解：（Ⅱ）连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°．∵FE：FD=4：3，∴可设FE=4x，则FD=3x．由勾股定理，得DE=5x．∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AF•AD=AM•AE∴3x（3x+3x）=AM•5x∴AM=3.6x∴ME=AE﹣AM=5x﹣3.6x=1.4x在Rt△DME中，cos∠AED==．…[选修4-4坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3…直线l的普通方程为x﹣y=0 …（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年8月23日。

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABCCCBDDBACA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．13 ;14．7- ;15. 14π;16. 112221n n ++--（或11121n +--）三、解答题 17解答（Ⅰ）因为3,26,a b ==2B A =，所以在ABC∆中，由正弦定理得326sin sin 2A A=，-----------------------------------------------------2分所以2s i nc os 26sin3A AA=，故6cos 3A =.------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6c o s3A =。

所以23s i n 1c os3A A =-= --------------------------------------------5分又因为2B A=，所以21c os 2c3B A =-=--------------------------------------------------------7分所以222sin 1cos 3B B =-=。

-----------------------------------------------------------------------8分在ABC∆中，s i n s i n ()s C A B A c o c BA B=+=+ 539=。

------------------------10分所以s i n5s i na C c A ==。

（也可用余弦定理求解此问，从略。

）-------------------------------------12分 18解答.(Ⅰ) 因为a 有3种取法，b 有4种取法，则对应的函数有3×4＝12个 ------------------------------2分因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2ba对称，若事件A 发生，则a ＞0且2ba≤1------------------------3分数对(a ，b )的取值为(1，－1)，(2，－1)，(2，1)，共3种． -------------------------------------5分所以P (A )=31124= -------------------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)集合(){},40,0,0a b a b a b +-≤>>对应的平面区域为Rt△AOB ，如图．其中点A (4，0)，B (0,4)，则△AOB 的面积为12×4⨯4=8----------------------------------8分 若事件B 发生，则f (1)<0，即a －4b ＋2<0.--------------------------------------------------------9分所以事件B 对应的平面区域为△BCD .由40420a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为146(,)55D ．又1(0,)2C ，则△BCD 的面积为12×1(4)2-×145＝4910. -----11分所以P (B )＝S △BCD S △AOB ＝4980-------------------------12分19解答 (Ⅰ)证明：PA ⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，PA CD ∴⊥ ----------------------------------------2分又,AD CD ⊥PA AD A =。

2016年四川省内江市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.1．集合A={x|x∈N，0＜x＜4}的子集个数为（）A．8 B．7 C．4 D．32．复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i3．已知函数f（x）=，则f[f（2）]=（）A．B．C．2 D．44．给出下列四个结论：①如果，那么在方向上的投影相等②已知平面α和互不相同的三条直线m、n、l，若l、m是异面直线，m∥α，l∥α、且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直④设回归直线方程为，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．6．已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a ﹣b，b﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y，（x，y∈R），则x+y=（）A．0 B．1 C．5D．8．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种9．F为双曲线的右焦点，点P在双曲线右支上，△POF（O为坐标原点）满足OF=OP=5，，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．10．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，且∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2sin2x，则以下大小关系一定不正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.请把答案填在答题卡上的相应横线上.）11．若，则a1+a2+…+a9的值为______．12．若实数x，y满足不等式组，则z=|x|+3y的最大值是______．13．如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为______．14．执行如图所示的程序框图，则输出的i=______．15．已知函数，g（x）=﹣4x+m•2x+1+m2+2m﹣1，若M={x|f（g（x））＞e}=R，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15度，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是2个红球，即为中奖．（1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由；（2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为ξ，求ξ的期望．17．已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的频率和初相；（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若，，c=2，求△ABC的面积．18．已知正项数列{a n}的前n项的和是S n，且任意n∈N，都有．+（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=|a n﹣20|，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD=60°，PB=2，PA=ED=2AE=2．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）若二面角F﹣BE﹣C为30°，设=λ，求λ的值．20．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，M为短轴端点，且S△MF1F2=4，离心率为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作两条射线，与椭圆C分别交于A，B两点，且满足，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．21．已知函数f（x）=s﹣ke﹣x的图象在x=0处的切线方程为y=x．（1）求s，k的值；（2）若正项数列{a n}满足，，证明：数列{a n}是递减数列；（3）若，当a＞1时，讨论函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象公共点的个数．2016年四川省内江市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.1．集合A={x|x∈N，0＜x＜4}的子集个数为（）A．8 B．7 C．4 D．3【考点】子集与真子集．【分析】根据题意，易得集合A中有3个元素，由集合的元素数目与其子集数目的关系，可得答案【解答】解：集合A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，则其子集有23=8个，故选：A．2．复数z=，则（）A．|z|=2 B．z的实部为1C．z的虚部为﹣i D．z的共轭复数为﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可．【解答】解：复数z====﹣1﹣i．显然A、B、C都不正确，z的共轭复数为﹣1+i．正确．故选：D．3．已知函数f（x）=，则f[f（2）]=（）A．B．C．2 D．4【考点】分段函数的应用．【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数在即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=﹣f[f（2）]=f（﹣）===．故选：A．4．给出下列四个结论：①如果，那么在方向上的投影相等②已知平面α和互不相同的三条直线m、n、l，若l、m是异面直线，m∥α，l∥α、且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直④设回归直线方程为，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据向量的数量积以及向量投影的定义进行判断．②根据线面垂直的判定定理以及异面直线的性质进行判断．③根据面面垂直的判定定理进行判断．④根据线性回归直线方程的性质进行判断．【解答】解：①如果，则||||cos＜，＞=||||cos＜，＞，即||cos＜，＞=||cos＜，＞，那么在方向上的投影相等，故①正确，②∵l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，∴l、m在平面α内的射影是两条相交直线，且n垂直于平面α内的这两条射影，故n⊥α成立，故②正确．③可过斜线与平面α的交点作一条垂直于平面α的直线，则斜线与垂线所确定的平面即与平面α垂直，这样的平面有且只有一个．故③正确．④设回归直线方程为，当变量x增加一个单位时，平均减少2.5个单位，故④错误，故正确是①②③，故选：C5．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【考点】茎叶图；古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．6．已知a，b，c，d成等比数列，则下列三个数列：①a+b，b+c，c+d；②ab，bc，cd；③a ﹣b，b﹣c，c﹣d中，必成等比数列的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】等比关系的确定．【分析】根据题意，当已知条件的等比数列公比为﹣1时，①中的三个数不能成等比数列；而公比为1时②中的三个数不能成等比数列；而②中的三个数利用等比数列的定义加以证明，可得必定成等比数列．由此可得本题答案．【解答】解：对于①，当a，b，c，d成公比等于﹣1的等比数列时，a+b、b+c、c+d都是0，不能构成等比数列；对于②，由于===q（公比），所以=q2，且=q2，可得=q2，得ab，bc，cd成等比数列；对于③，当a，b，c，d成公比等于1的等比数列时，a﹣b、b﹣c、c﹣d都是0，不能构成等比数列综上所述，只有②中的三项能成等比数列，故选：B7．如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y，（x，y∈R），则x+y=（）A ．0B ．1C ．5D ．【考点】向量的三角形法则．【分析】根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可．【解答】解：将向量，，放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），∵=x +y ，∴（3，4）=x （1，2）+y （2，﹣1），即，解得，则x +y=，故选：D ．8．4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有=36， 根据分类计数原理，共有24+36=60（种）故选D ．9．F 为双曲线的右焦点，点P 在双曲线右支上，△POF （O 为坐标原点）满足OF=OP=5，，则双曲线的离心率为 （ ）A ．B ．C ．2D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得cos ∠OFP ，求得sin ∠OFP ，求得P 的坐标，代入双曲线方程，结合a ，b ，c 的关系，求得a ，再由离心率公式，计算即可得到．【解答】解：由余弦定理可得cos ∠OFP==，则sin ∠OFP==，可设P 为第一象限的点，即有P（3，4），代入双曲线方程，可得，又a2+b2=25，解得a=，b=2，则离心率为e=．故选：B．10．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，且∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=2sin2x，则以下大小关系一定不正确的是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣sin2x，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，结合函数的单调性解不等式即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣sin2x，∵f（﹣x）+f（x）=2sin2x，∴g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）+f（x）﹣2sin2x=2sin2x﹣2sin2x=0，即g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）为奇函数．∵在（0，+∞）上f′（x）＜sin2x，∴在（0，+∞）上g′（x）=f′（x）﹣sin2x′（x）＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，即g（）＞g（π）；即f（）﹣＞f（π）﹣0；即有f（）＞f（π），所以B不成立，故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.请把答案填在答题卡上的相应横线上.）11．若，则a1+a2+…+a9的值为﹣2．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件求得a0=1，再令x=1，可得a0+a1+a2+…+a9=﹣1，从而求得a1+a2+…+a9的值．【解答】解：若，则a0=1，令x=1，可得a0+a1+a2+…+a9=﹣1，∴a1+a2+…+a9=﹣2，故答案为：﹣2．12．若实数x，y满足不等式组，则z=|x|+3y的最大值是19．【考点】简单线性规划．【分析】根据题意先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，由z=|x|+3y，进一步求出目标函数z=|x|+3y的最大值．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图所示：z=|x|+3y表示一条折线（图中虚线），由得A（﹣4，5）代入z=|x|+3y得z=|﹣4|+3×5=19，当x=﹣4，y=5时，|x|+3y有最大值19．故答案为：19．13．如图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的表面积为80+4π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，利用底面边长高求解即可．【解答】解：空间几何体正四棱住内挖空了一个圆柱，底面边长为4，高为3的长方体，圆柱的底面半径为1，这个几何体的表面积为2×4×4﹣2π×12+4×4×3+2π×1×3=32﹣2π+48+6π=80+4π故答案为：80+4π14．执行如图所示的程序框图，则输出的i=11．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S≥2016时，退出循环，记录输出i的值即可．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1，顺序执行语句，S=2×0+1=1，i=2；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×1+2=4，i=3；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×4+3=11，i=4；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×11+4=26，i=5；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×26+5=57，i=6；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×57+6=120，i=7；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×120+7=247，i=8；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×247+8=502，i=9；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×502+9=1013，i=10；满足条件S＜2016，执行循环体，S=2×1013+10=2026，i=11；不满足条件S＜2016，退出循环，输出i=11．故答案为：11．15．已知函数，g（x）=﹣4x+m•2x+1+m2+2m﹣1，若M={x|f（g（x））＞e}=R，则实数m的取值范围是[﹣2，0] ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据函数单调性的性质将不等式进行转化不等式恒成立问题，构造函数，利用换元法转化为一元二次函数恒成立进行求解即可．【解答】解：对于函数，当x≥0时，f（x）=，∵f′（x）=，在[0，1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，且f（x）＞0．当x＜0时，f（x）=﹣，∵f′（x）=＜0，故函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．故函数f（x）的增区间为[0，1]，减区间为（﹣∞，0）、（1，+∞）．故函数f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=＜e，由于f（﹣1）=e，故当x＞﹣1时，f（x）＜e，故f（x）的单调性示意图，如图所示：∴不等式f（g（x））＞e，即为f（g（x））＞f（﹣1），即g（x）＜﹣1．M={x|f（g（x））＞e}=R，等价于g（x）＜﹣1恒成立，即﹣4x+m•2x+1+m2+2m﹣1＜﹣1恒成立，即﹣4x+m•2x+1+m2+2m＜0恒成立．设t=2x，则t＞0，则不等式等价为﹣t2+2mt+m2+2m＜0恒成立，即t2﹣2mt﹣m2﹣2m＞0，在（0，+∞）上恒成立，设h（t）=t2﹣2mt﹣m2﹣2m，故有①，或②．解①可得，即﹣2≤m≤0；解②可得，即m无解．综上可得，﹣2≤m≤0，故答案为：[﹣2，0]．三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15度，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球（这些球除颜色外完全相同），如果摸到的是2个红球，即为中奖．（1）试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由；（2）记在乙商场购买该商品的顾客摸到红球的个数为ξ，求ξ的期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，利用几何概型求出顾客去甲商场中奖的概率；设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B，利用等可能事件概率计算公式求出顾客去乙商场中奖的概率，由此能求出顾客在乙商场中奖的可能性大．（2）由题意知ξ的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设顾客去甲商场转动圆盘，指针指向阴影部分为事件A，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πr2（r为圆盘的半径），阴影区域的面积为．所以，．…3分设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件B，则一切等可能的结果有种，其中摸到的2个球都是红球有种．所以，P（B）=．…5分因为P（A）＜P（B），所以，顾客在乙商场中奖的可能性大．…6分（2）由题意知ξ的取值为0，1，2 …7分∴，，…10分ξ的数学期望…12分．17．已知函数，x∈R．（1）求函数f（x）的频率和初相；（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若，，c=2，求△ABC的面积．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到函数的频率和初相．（2）由题意得到，由正弦定理得到，由三角形面积公式得到答案．【解答】解：（1）∵，=2sin cos+（2cos2﹣1），=sin+cos=2sin（+），∴函数的频率，初相为，（2）∵在△ABC中，，∴，∴，∵0＜A＜π，∴，，，∴，又由正弦定理得，解得，∴．18．已知正项数列{a n}的前n项的和是S n，且任意n∈N+，都有．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=|a n﹣20|，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式求得首项，再由2a n=2S n﹣2S n﹣1整理得到a n﹣a n﹣1=1，可得数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列，则数列{a n}的通项公式可求；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=|a n﹣20|，然后对n分类讨论求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由题意知：当n=1时，2S1=，∴，得a1=1（a n＞0）；当n≥2时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列，∴a n=n；（2）由（1）知a n=n，∴b n=|n﹣20|，当n≤20时，T n=|1﹣20|+|2﹣20|+…+|n﹣20|=20n﹣（1+2+…+n）=；当n＞20时，T n=|1﹣20|+|2﹣20|+…+|20﹣20|+|21﹣20|+…+|n﹣20|=190+1+2+…+（n﹣20）==．综上：．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD上一点，F为PC上一点，四边形BCDE为矩形，∠PAD=60°，PB=2，PA=ED=2AE=2．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）若二面角F﹣BE﹣C为30°，设=λ，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PE⊥AD．利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABCD即可；（2）以E为原点建立空间直角坐标系如图所示，求出相关点的坐标，平面BEF的法向量，平面BEC的法向量，利用空间向量的数量积列出方程，即可求解结果．【解答】解：（1）证明：因为AP=2，AE=1，∠PAD=60°，所以．所以PE⊥AD．…2分又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD；…4分（2）由（1）及已知可得：PE、EA、EB两两垂直，EB=3，…5分∴以E为原点建立空间直角坐标系如图所示，则E（0，0，0）、B（0，3，0）、C（﹣2，3，0）、P（0，0，），设F（x，y，z），∵=λ∴（x，y，z﹣）=﹣λ（x+2，y﹣3，z），解得：，，∴=（，，），=（0，3，0），…8分设平面BEF的法向量为=（x0，y0，z0），则•=0，•=0，∴解得：∴平面BEF的法向量为=（，0，1）…10分又平面BEC的法向量为=（0，0，1）∵二面角F﹣BE﹣C为30°，∴|•|=||•||cos30°，即解得．…12分．20．已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，M为短轴端点，且S△MF1F2=4，离心率为，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点O作两条射线，与椭圆C分别交于A，B两点，且满足，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．F2=4，离心率为，列出方程组求出a，b，【分析】（1）由M为椭圆短轴端点，且S△MF1由此能求出椭圆C的方程．（2）推导出两条射线OA、OB互相垂直，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为，原点与直线AB的距离，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出弦AB的长度的最小值．F2=4，【解答】解：（1）∵椭圆，M为短轴端点，且S△MF1离心率为，∴由题意得，，a2=b2+c2，…2分解得a=2，b=2，…3分∴椭圆C的方程为．…4分（2）证明：∵，∴，即两条射线OA、OB互相垂直． (5)分当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为，此时原点与直线AB的距离，…6分当直线AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，解方程组，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，∴，…8分+km（x1+x2）+m2=+m2=，∴x1x2+y1y2=0，∴=0，∴3m2﹣8k2﹣8=0，∴…9分∴O到直线AB的距离=综上：O到直线AB的距离为定值．…10分∵OA⊥OB，∴AB2=OA2+OB2≥2OA•OB，当且仅当OA=OB时取“=”号．∴，…11分又d•AB=OA•OB，∴，∴，∴弦AB的长度的最小值是．…13分．21．已知函数f（x）=s﹣ke﹣x的图象在x=0处的切线方程为y=x．（1）求s，k的值；（2）若正项数列{a n}满足，，证明：数列{a n}是递减数列；（3）若，当a＞1时，讨论函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象公共点的个数．【考点】数列与函数的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得s，k；（2）运用分析法证明，即证，令t（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），求得导数，单调性，即可得证；（3）即讨论的零点的个数，求得h（x）的导数，求出单调区间和最小值，讨论0＜t＜1，t=1，t＞1，求得h（x）的最小值与0的大小，即可得到零点的个数．【解答】解：（1）由题意得f（0）=0，f′（0）=1，函数f（x）=s﹣ke﹣x的导数为f′（x）=ke﹣x，则，解得s=1，k=1；（2）证明：∵f（x）=1﹣e﹣x，正项数列{a n}满足，，∴，数列{a n}是递减数列，＜a n，可得a n+1即，可得，即有，令t（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），∵t'（x）=e x﹣1＞0（x＞0）∴t（x）是（0，+∞）上的增函数，∴t（x）＞t（0）=0，即e x＞x+1，故，∴{a n}是递减数列．（3）即讨论的零点的个数，对h（x）求导得，易知h'（x）在（0，+∞）上是增函数，∵h'（0）=1﹣a＜0，，∴，使h'（t）=0，即，∴h（x）在（0，t）递减，在（t，+∞）递增，∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（x）min=（1﹣t）（e t+t2+t+1），①当0＜t＜1即时，h（x）min＞0，此时h（x）在（0，+∞）内无零点；②当t=1即时，h（x）min=0，此时h（x）在（0，+∞）内有一个零点；③当t＞1即时，h（x）min＜0，又h（0）=2＞0，x→+∞时，h（x）→+∞所以h（x）在（0，+∞）内有两个零点；综上：当时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象无公共点；当时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象有一个公共点；当时，函数f（﹣x）﹣2与g（x）的图象有两个公共点．2016年10月6日第21页（共21页）。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22|20,|log ,A x x x B x x m =--<=>若A B ⊆,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]0,4B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C考点：1、不等式的解法；2、集合间的关系．2.已知复数z 满足()()353210z i i i +-=,则复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得1010(2)3324322(2)(2)i i i z i i i i i i i i -=-=-=+-=+++-，其在复平面上对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选A ．考点：复数的几何意义及运算．3.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,242,14a S == , 则6S 等于 （ ） A ．32 B ．39 C ．42 D ．45 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得112434142a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⋅=⎪⎩，解得113a d =-⎧⎨=⎩，所以6656(1)3392S ⨯=⨯-+⨯=，故选B ．考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式． 【一题多解】因为144234()2()142a a S a a +==+=，所以35a =，所以3d =，所以1666()2a a S +=＝3433()3(2)39a a a d +=+=，故选B ． 4.已知直线20x +=过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点, 且与双曲线的一条渐近线垂直, 则双曲线的实轴长为（ ）A ．2 B．．．4 【答案】A考点：1、双曲线的几何性质；2、直线与直线间的位置关系． 5.已知()20,,sin cos 324x x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan x 等于 （ ） A ．12 B ．2- C【答案】D 【解析】试题分析：由已知，得cos()12sin cos cos sin 332x x x π++ππ-=，即111sin sin 222x x x -=--+，所以cos x =．因为()0,x π∈，所以tan x =故选D ．考点：1、两角差的正弦公式；2、倍角公式；3、同角三角函数间的基本关系；4、诱导公式． 6.已知()()()()52501251211...1x a a x a x a x -=+++++++,则01234a a a a a ++++等于（ ）A.31- B ．0 C ．33 D ．34 【答案】C 【解析】试题分析：令0x =，得0123451a a a a a a +++++=．因为()5512[32(1)]x x -=-+，所以55232a =-=-，所以012345133a a a a a a ++++=-=，故选C ．考点：二项式定理．7.执行如图所示的程序框图, 已知命题[]:4,6p k ∀∈,输出S 的值为30:命题():4,5q k ∃∈,则输出S 的值为14,则下列命题正确的是（ ）A ．qB ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝ 【答案】D考点：1、复合命题真假的判定；2、程序框图． 8.已知函数()()2sin 212f x x πϕϕ⎛⎫=++<⎪⎝⎭, 若()1f x <对,312x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭恒成立, 则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．1- D．1 【答案】B 【解析】试题分析：当,312x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，22,36x ππϕϕϕ⎛⎫+∈-+-+ ⎪⎝⎭．因为2πϕ<，()1f x <，所以063ϕϕπ⎧-+≤⎪⎪⎨2π⎪-+≥-π⎪⎩，所以36ϕππ-≤≤，则22[,]63x ππϕ+∈，所以4f π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为2，故选B ．考点：正弦函数的性质．9.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有()()1212f x f x x x -<-,且()34f -=-，则不等式1122log 31log 311x x f ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．()()0,11,2D ． ()(),00,2-∞【答案】D考点：1、函数的单调性；2、不等式的解法．10.一个几何体的三视图如图所示, 在该几何体的体积为（ ）A ．4B ．5C ．112D ．6 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是由两个相同的直三棱柱AOD EFG -和BOF CDG -组合而成的，其直观图如图所示，所以该几何体的体积为1212242⨯⨯⨯⨯=，故选A ．考点：1、空间几何体的三视图；2、棱柱的体积．【方法点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法，柱体的体积为V Sh =，区别锥体的体积13V Sh =2，正六边形的面积为26． 11.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,点A 是椭圆M 与圆()2224:9C x y m +-=在第一象限的交点, 且点A 到2F 的距离等于13m .若椭圆M 上一动点到点1F 与到点C 的距离之差的最大值为2a m -,则椭圆M 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D 【答案】B考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的几何性质．【技巧点睛】求椭圆的离心率问题：一、通过基本量运算求出,a c ,从而求出离心率．二、只需给出一个条件列出关于,,a b c 三个量的一个等量关系，并将222b ac =-代入消去b ，从而得到关于,a c 的二次齐次方程，然后将方程两边同时除以2a 得到关于ac即e 的一元二次方程求解即可．12.已知函数()33f x x x a =-++是奇函数, 且函数()()1g x f x k =--有两个零点, 则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞- B ．()1,+∞ C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),34,-∞-+∞【答案】C考点：1、函数的奇偶性；2、函数零点；3、函数极值与导数的关系．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如果实数,x y 满足条件022010x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则12z y x =-的最大值为 ．【答案】12- 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设2z x y '=-+，由图知，当2z x y '=-+经过点(1,0)A 时取得最小值2-，经过点22(,)33B 时取得最大值23-，所以2[2,]3z '∈--，所以max 12z =-．考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：①是准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．14.甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试, 根据平时训练的经验, 甲、乙、丙三人能达标的达标的概率分别为323,,435,则三人中有人达标但没有全部达标的概率为 ． 【答案】23【解析】试题分析：三人中有人达标但没有全部达标，即为三人中有一人或两人达标，其概率为323112214354353-⨯⨯-⨯⨯=．考点：对立事件的概率． 15.在ABC∆中,90,3,1C AB AC ∠=︒==, 若2AC BD CB=-,则CD CB = ．【答案】12考点：1、向量加减运算；2、向量数量积的运算．16.已知正项数列{}n a 的前n 项为n S ,当2n ≥时,()211n n n n a S S S ---=, 且11a =,设12log 3n n a b +=，则12...n b b b +++= ． 【答案】2n n - 【解析】试题分析：由题意，得()2112n n n n S S S S ---=，即2211540n n n n S S S S ---+=，亦即()11(4)0n n n n S S S S ----=，所以1(4)0n n n a S S --=．因为0n a >，所以140n n S S --=，即14nn S S -=，所以数列{}n S 是首项为1，公式为4的等比数列，所以14n n S -=．当2n ≥时，2134n n n n a S S --=-=⨯，所以112234log log 33n n n a b -+⨯==＝22n -，所以12...n b b b +++=2(022)2n n n n +-=-．考点：1、等比数列的定义及通项公式；2、等差数列的前n 和公式；3、对数的运算． 【知识点睛】应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用1n na q a +=(常数)恒成立，也可用212n n n a a a ++=恒成立，若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3sin sin b A C =.（1）若3A C π+=,求sin B 的值；（2）若3,c ABC =∆的面积为求a .【答案】（1（2）3a a ==或考点：1、正弦定理与余弦定理；2、倍角公式；3、同角三角形函数间的基本关系；4、面积公式．【方法点睛】利用正弦定理与余弦定理来研究三角形问题时，正弦定理可以用来将边的比和对应角的正弦值的比互化，而余弦定理则多用来将余弦值转化为边的关系，而涉及解三角形问题，往往把三角三角恒等变换公式加以交汇与综合，利用公式的变换达到解决问题的目的． 18.（本小题满分12分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段, 长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康, 某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位: 小时), 分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查, 将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字, 叶表示个位数字), 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时, 则称为“过度熬夜”.（1）请根据样本数据, 估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； （2）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据, 求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率； （3）从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取2名学生的数据, 记“过度熬夜”的学生人数为X ,写X 的分布列和数学期望()E X .【答案】（1）甲班、乙班学生每周平均熬夜时间分别为19、22小时；（2）49；(3)分布列解析，()53E X =． (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.()()2211221143423433222266662260,12575C C C C C C C C P X P X C C C C +======, ()2222111123434233226631275C C C C C C C C P X C C ++===,()()2111122223342323222266661113,47575C C C C C C C C P X P X C C C C +======. X 的分布列是：()0123425757575753E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：1、茎叶图；2、用样本估计总体；3、古典概型；4、离散型随机变量的分布列与数学期望．19.（本小题满分12分）如图, 在四棱锥P ABCD -中,ABD ∆ 是边长为2的正三角形,PC ⊥ 底面,,ABCD AB BP BC ⊥=.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若PC BC =,求二面角A BP D --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）5． 则2,,tan 33AB BC BC BAC ⊥=∴∠=,即30,60,90BAC ABD AOB ∠=︒∠=︒∴∠=︒,即,,AC BD PC BD BD ⊥⊥∴⊥平面,ACP PA BD ∴⊥.考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的垂直关系进行转化，转化时要正确运用相关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解．20.（本小题满分12分）焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上有一动点P ,且点P 抛物线C 的准线与点()0,2D（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,1Q 作直线交抛物线C 于不同()1,2R 的两点,A B ,若直线,AR BR 分别交直线:22l y x =+于,M N 两点, 求MN 最小值时直线AB 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）同理点N 的横坐标22N x y =-；211222M N y y MN x y y -==∴=-=+===,令1,0m t t -=≠,则1m t =+,MN ∴==,MN ∴=即当2t =-时, 即1m =-时,MN 此时直线AB 的方程为20x y +-=. 考点：1、抛物线的定义及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、直线与直线的位置关系．21.（本小题满分12分）已知函数(),0ln xf x ax a x=->. （1）若()y f x =在()1,+∞上是减函数, 求实数a 的最小值；（2）若存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦,使()114f x ≤成立, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14；（2）21124a e≥-．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数最值与导数的关系；3、不等式恒成立问题．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 已知AB 为圆O 的直径,C 为圆O 上一点, 连接AC 并延长使AC CP =,连接PB 并延长交圆O 于点D ,过点P 作圆O 的切线, 切点为E .（1）证明：2AB DP EP =；（2）若AB EP ==求BC 的长度. 【答案】（1）见解析；（2）2BC =． 【解析】试题分析：（1）连接BC ，然后由直径的性质结合已知条件推出AB BP =，从而可利用切割线定理证明得结果；（2）首先利用切割线定理求得AC 的长，从而利用勾股定理求得BC 的长． 试题解析：（1）连接BC ,AB 为圆O 的直径,90,,BCA AC CP AB BP ∴∠=︒=∴=.EP 是圆O 的切线, PBD 是圆O 的割线,22,.BP DP EP AB DP EP ∴=∴=（2）EP 是圆O 的切线,PCA 是圆O 的割线,22,,232,4AP CP EP AC CP AC AC EP AC ∴==∴==∴=.22220164BC AB AC ∴=-=-=,得2BC =.考点：1、直径的性质；2、切割线定理．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合, 设点O 为坐标原点, 直线:22x tl y t=⎧⎨=+⎩(参数t R ∈)与曲线C 的极坐标方程为2c o s 2s i n ρθθ=.（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点, 证明：0OA OB =. 【答案】（1）l ：22y x =+，C ：22x y =；（2）见解析．考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与普通方程的互化；3、直线与抛物线的位置关系；4、向量数量积．【方法点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()21,f x x g x x a =+=+. （1）当0a =时, 解不等式()()f x g x ≥；（2）若存在x R ∈,使得()()f x g x ≤成立, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(]1,1,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭；（2）12a ≥-．考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题．。

绝密★启用前【学易大联考】2016年第四次全国大联考【江苏版】数学试卷考试时间：理150分钟，文120分钟第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．已知全集U {1,2,3,4},=集合{1,2},{2,4}A B ==，则集合()U A B U ð等于_______. 2. 已知复数z满足(1i)i z -=（i 是虚数单位），则z 的模为_______.3. 已知一组数据：8,10,,12,11a 的方差为2，那么相对应的另一组数据：17,21,21,25,23a +的方差为_______.4. 运行如图所示的伪代码，其运行后输出的结果为____.5. 袋中有形状、大小都相同的五只球，其中2只红球，3只白球，从中一次随机摸出2只球，则至少有1只白球的概 率为_______.6. 已知sin 2cosαα+，那么tan 2α的值为_______.7. 已知正三棱柱的各条棱长均为1，圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，那么这个正三棱柱与圆锥的体积比是_______.8. 在ABD ∆中，13112,,343AB AD AE AD BC BD BE AC ====⋅= ，，则BAD ∠的值为_______.9. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足243n n S S +=+，且30S <，则 2a 的值为_______. 10. 已知正数,,a b c 满足42250a b c -+=，则lg lg 2lg a c b +-的最大值为_______.11.设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，垂线交另一条渐近线于B 点，若向量BF 与FA同向，且3AB OA OB =+，则双曲线的离心率为_______.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆221x y +=交x 轴于,A B 两点，且点A 在点B 左边，若直线0x m +=上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围为_______.13.扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧 AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是_______.14.已知函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩， 31(),()ln 4f x x ax g x x =++=-，若()0h x =在(0,)+∞上有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为_______.二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

吉林市普通中学2016-2017学年度高中毕业班第四次调研测试数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABCCCBDDBACA二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．13 ；14．7- ;15. 14π;16. 112221n n ++--（或11121n +--)三、解答题 17解答（Ⅰ）因为3,26,a b ==2B A =,所以在ABC ∆中，由正弦定理得326sin A =， --———--—-—----—————---—-——-—--—-—-——-——-—--—---——-—-—2分所以2sin cos 26sin A A A =,故6cos A =。

-——-—--———-—-————-—-—--—————--——-—--——-——————-——--——-—4分 (Ⅱ）由（Ⅰ）知6cos A =。

所以23sin 1cos .A A =-= ————------——-———--—-—------—------———--—-——-5分又因为2B A =，所以21cos 2cos 1.3B A =-= —-—--—--———--——---------——-—-——————-——--——--——————-—-——-7分所以222sin 1cos 3B B =-=。

--———--—-———---———-—-——--——---—----————--—---—--—-—-----—--——-———-—---—8分在ABC ∆中，sin sin()sin cos sin C A B AcocB A B =+=+ 539=。

—--—-———-———-————----———10分所以sin 5sin a Cc A==。

（也可用余弦定理求解此问，从略。

） ————-—————------—--——--————---——-—-—-12分 18解答.(Ⅰ） 因为a 有3种取法,b 有4种取法,则对应的函数有3×4＝12个 —-—----—--------—---——---—---—2分因为函数f (x )的图象关于直线x ＝错误!对称,若事件A 发生，则a ＞0且错误!≤1 ----——--——-——-—--——-—---3分数对（a ，b ）的取值为(1，－1），（2，－1)，(2，1），共3种． ——-—---—---—-——--—-—-—-———-————------5分所以P （A ）=31124= ———-—————---------——-——-----————----—-—-———--——----—--—-———--——--—-———--—6分 （Ⅱ）集合(){},40,0,0a b a b a b +-≤>>对应的平面区域为Rt△AOB ,如图．其中点A (4,0),B (0,4),则△AOB 的面积为12×4⨯4=8--——-——-——————----———-———-——-——---8分若事件B 发生，则f （1)<0，即a －4b ＋2<0。

理科数学 第1页 共4页 理科数学 第2页 共4页绝密★启用前2016年第四次全国大联考【山东卷】理科数学试卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i)(1i)2z （++=，则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ． 第一象限 B． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 2. 已知全集U R =,集合2xxA {x |24}-=>，集合B {x ||x 2|1}=-<，则U (C A )B =（ ） A ．[1,2]- B ．(1,2] C ．(2,3) D ．(,1)(1,) -∞-+∞ 3. “点A 的坐标是(,0),k k π∈Z ”是“tan y x =关于点A 对称”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的外接球的体积是 （ ）A ．43πB ．83πC ．6D 5. 若6n (x +的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则a 2a(x -+=⎰ （ ）A ．5B ．1253C ．2502532π+D ．250253+π6. 定义在R 上的偶函数y f (x)=，对任意的x R ∈，都有f (6x)f (x)f (3)+=+，且函数()f x 在[0,3]上为减函数，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x)0≥ B ． f (1)f (14)>C ．y f (x)=的解析式可能为2y 2cos x 6π= D ．若22x y 9+=与y f (x)=有且仅有三个交点，则在[0,3]上将 y f (x)=的图象沿y 轴旋转一周得到的几何体的体积为9π7. 在如右图所示的程序框图中输入m 4,n 10==时的输出结果为a ．若变量x ，y 满足105a 51-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩x y x y y ，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 2B. 5C. 8D.118.已知函数a f (x)log |x |(a 0,a 1)=>≠且与g(x)x a ln x =-，那么y f (x)=与y g (x)'=在同一直角坐标系下的图象可能是（ ）9. 已知函数()x 21,x 2,f x3,x 2,x 1⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x a 0-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)10. 设1F ,2F 分别为椭圆1C ：()2222x y 1ab 0a b +=>>与双曲线2C ：222211x y 1a b -=()11a b 0>>的公共焦点,它们在第一象限内交于点M ,12FMF 90∠=,若椭圆的离心率3e 4⎡∈⎢⎣⎦,则双曲线2C 的离心率1e 的取值范围为（ ）A ．⎣⎦B ．⎣C ．⎦D ．)+∞⎣第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.如右图所示为某次百人调查数据的频率分布直方图，但因 保管不善图像严重缺损，目前只能测算得中间的小长方形 的高度是其他几个小长方形高度和的14，据此可以推断此 次调查分组中人数最多的一组的数量是 ．12. 设0.2a log 3=，23b log 2=，c |m |= ，其中理科数学 第3页 共4页 理科数学 第4页 共4页16m (0.2= ，把这三个数a,b,c 按从小到大的顺序排列是 .13. 已知A(0)2，,()B a,0，点()P 2,1在直线AB 上，函数y sin a x =p 的最小正周期为μ，若变量X 服从正态分布2N(,a )μ，则X 落在区间4.5,8.5（）内的概率为_________. （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）14. 直线l ：x ya b+=将圆22(1)(2)8x y -+-=分成面积相等的两部分，则l 与两坐标轴围 成的三角形面积的最小值为 . 15.阅读下面几个命题：①我们称(n)y f (x)=为y f (x)=的n 阶导数.那么：若一个函数y f (x)=在0x x =处具有二阶 导数且()0f 'x 0=，()0f ''x 0≠，那么当()0f ''x 0<时，函数f(x)在0x x =处取得极大值；当()0f ''x 0>时，函数f(x)在0x x =处取得极小值；②我们把方程()f x x =的根称为函数y f (x)=的不动点.那么：已知()f x ax b(a 0)=+≠，p 是其一个不动点，数列n {a }满足n 1n a f (a )+=，则n {a p}-为等比数列；③把实数d c b a ,,,排成形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 的形式，称之为二行二列矩阵．定义矩阵的一种运算a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点()y x ,在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a的作用下变 换成点()dy cx by ax ++,.那么：曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>在矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2C ，则曲线1C 与曲线2C 有共同的渐近线.上述命题中正确的是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.（本小题满分12分）将函数y cos(x x 6π=+的图象向右平移6π个单位得y f (x)=的图象.（I ）当x [0,2π∈时，求函数f (x)的值域；（II ）在A B C ∆中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若1f(A )4=,a =sin B 2sin C =，求ABC ∆的面积.17.（本小题满分12分）2016年年初不合格疫苗事件震惊全国，事件发生后，涉事地的某防疫组 织迅速行动，对现存有的六类涉事疫苗进行抽样调查，从中共随机抽取了50支疫苗进行达标检n 项和为n T ，求2n T ．对任意的n N ∈恒成立，。

2016届高三第四次调研考试理科数学试卷满分:150分 考试时间:120分钟 命题人:汪虽营 校对人:彭涛一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合},21{},{<<=<=x x B a x x A 且R B C A R =)( ，则实数a 的取值范围是( )A.1≤aB.1<aC.2≥aD.2>a 2.复数i iiz (1+=是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是 ( ) A.)1,1( B.)1,1(- C.)1,1(- D.)1,1(--3.设b a ,是实数，命题“,0>∀ab 都有0,0>>b a ”的否定是 ( ) A.0≤∃ab ,使得0,0≤≤b a B. 0≤∃ab ,使得0≤a 或0≤b C.0>∃ab ,使得0,0≤≤b a D. 0>∃ab ,使得0≤a 或0≤b4.已知函数x x f ωsin )(=在]6,3[ππ-上是增函数，则实数ω的取值范围是 ( ) A.]3,0()0,23[ - B.]2,0( C.]23,0( D.]3,0(5.已知△ABC 中，,2,3=++==AC AB ，则=⋅ ( ) A.21 B.52 C.31 D.41 6．等差数列}{n a 中，23,171-==a a ，若数列}1{1+n n a a 的前n 项和为5514-，则n ＝（ ） A.14 B.15 C.16 D.18 7.已知α是三角形的内角，54)3sin(=+πα，则=-)125cos(απ( ) A.102B.102-C.1027-D.1027 8.命题p :定积分=-⎰-11)1|(|dx x 1；命题q :若数列}{n a 是等比数列,则数列1{}n n a a ++也一定是等比数列.则下列命题: (1)q p ∨,(2)q p ∧,(3)q p ∧⌝,(4)q p ⌝∧,(5)q p ⌝∧⌝中是真命题个数是 ( )A.1B.2C.3D.49.设x e x f x21)1ln()(-+=,)23(),3(log ),7((log 214-===f c f b f a ,则 （ ） A.c ＜a ＜b B. a ＜c ＜b C. a ＜b ＜c D. b ＜c ＜a 10.在△ABC 中，角A,B,C 成等差数列，ABa b cos cos 1-=，点M 是△ABC 外一点， )0(πθθ<<=∠AMB ，且MA ＝2MB ＝2，则四边形AMBC 面积的最大值为 ( )A.1435+ B.23435+ C.2435+ D.25435+ 11.若)0()(2<++=a c bx ax x f 定义域为G,设G n m ∈,,动点P ))(,(n f m 的轨迹围成的图形是正方形,则a 值为A ．－1 B.－2 C.－3 D.－412.已知直线=y a 分别与曲线=y 53,ln 2+=+x y x x 交于点A,B ，则|AB |的最小值为( )A.3B.223 C.253 D. 2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.数列n a {}是公差不为零的等差数列，若431,,a a a 成等比数列，则公比=q _______. 14.若函数x y 2sin =的图像向右平移φ()0>φ个单位，得到的图像恰好关于直线6π=x 对称，则φ的最小值是________.15.下列结论正确的是___________________. (1)函数)(x f x sin =在第一象限是增函数；(2)△ABC 中，“A ＞B ”是“cosA ＜cosB ”的充要条件；(3) 设,是非零向量，命题|,|||||=⋅“若则R t ∈∃，使得t =”的否命题和逆否命题都是真命题；(4) 函数f(x )＝2x 3－3x 2,x ∈[－2,t ](－2＜t ＜1)的最大值为0.16.已知函数||)(a x x x f -=在区间)1,1(-单调递增,则实数a 的取值范围是______.三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每小题12分，共70分17（本小题满分10分）已知定义在R 上的函数)(x f 的图像关于原点对称，,当0<x 时,79)(2++=xa x x f .若“1)(),,0[+<+∞∈∃a x f x ”是假命题,求实数a 的取值范围.18（本小题满分12分）已知}{n a 是公差为正的等差数列,且16,557263=+=a a a a . （1）求数列{a n }的通项公式； （2）已知n a +++=53321b b b …*)(12N n n b n ∈-+，求数列}{n b 的前n 项和S n .19（本小题满分12分）已知ABC ∆外接圆半径为33，)2C A B ∠+∠=∠（，θ=∠BAC ， 记f ⋅=)(θ.（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）求)(θf 的值域及单调区间..20．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12,,++n n n S S S 成等差数列，*)(22N n a a n n ∈=，若n n a b 241log 32=+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）设数列{}n c 满足n n n b a c 2=，求{}n c 的前n 项和n S ．21.（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,, 向量)sin sin ,(),,(sin B C c a q c b A p --=+=,满足||||q p q p -=+.(1) 求角B 的大小； (2)设n m k A k n C m ⋅>=+=),1)(2cos ,2(),21),3(sin(π有最大值为27，求k 的值. （3）设△ABC 为锐角三角形，1=b ，求△ABC 周长p 的取值范围.22.（本小题12分）设直线l :2+-=k kx y 与曲线)0)(1ln(2)(2>+++-=a x b bx ax x f 相切于点))0(,0(f P ． （1）求k b ,的值；（2）若直线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值．理科数学参考答案一．选择题：CADCC ADABC DD二．填空题：13.21 14.125π 15. （2）（3） 16. ),2[}0{]2,(+∞--∞ 三．解答题17解：若“1)(),,0[+<+∞∈∃a x f x ”是假命题, 则若“1)(),,0[+≥+∞∈∀a x f x ”是真命题,由已知函数)(x f 是奇函数 ∴110)0(-≤⇒+≥=a a f∵当0<x 时, 79)(2++=xa x x f ∴当0>x 时，79)(,02+--=-<-x a x x f x ∵)(x f y =是奇函数，∴79)()(2-+=--=xa x x f x f 3(767||679)(2ax a a x a x x f -=--=-≥-+=当时等号成立） 78176-≤⇒+≥--a a a 综上所述：78-≤a 18.解（1）∵}{n a 是公差为正的等差数列, ∴由16,556363=+=a a a a 解得 5,1111,56363====a a a a 或（舍去） ∴2,11==d a ，21n a n =-（2）∵n a +++=53321b b b …*)(12N n n b n ∈-+ ∴1-n a +++=53321b b b …)2(321≥-+-n n b n 相减得)2(24212≥-=⇒=-n n b n b n n当1=n 时111==a b ，∴⎩⎨⎧≥-==2,241,1n n n b n∴2≥n 时+++=1061n S (122))44)(1(1242-=+-+=-+n n n n1=n 时11=S综上所述：221n S n =-19解（1）∵π=∠+∠+∠C B A ，)2C A B ∠+∠=∠（∴32π=∠B 由正弦定理有：3322)3sin(||sin ||==-=R AB BC θπθ，∴||BC θ=，)3sin(32||θπ-=AB ；∴f ⋅=)(θ21)3sin(sin 34⋅-⋅=θπθ θθθsin )sin 21cos 23(32⋅-=)30(61)62sin(31πθπθ<<-+=………7分（2）∵)65,6(62)3,0(πππθπθ∈+⇒∈，∴)(θf 的值域为]61,0( 当)6,0()2,6(62πθπππθ∈⇒∈+时)(θf 是增函数，当)3,6()65,2(62ππθπππθ∈⇒∈+时)(θf 是增函数， ∴)(θf 的递增区间是)6,0(π，递减区间是)3,6(ππ20.解：（Ⅰ）∵12,,++n n n S S S 成等差数列，∴212112212-=⇒-=⇒-=-+++++q a a S S S S n n n n n n 又*)(22N n a a n n ∈=，∴211212-=⇒=a a a∴nn a )21(-=*)(N n ∈（Ⅱ）∵2log 3241-=n n a b ， ∴232)41(log 321-=-=n b n n*)(31N n b b n n ∈=-+，11=b∴数列}{n b 是首项1，公差3的等差数列.（Ⅲ）由（Ⅰ）知，nn a )41(2=，23-=n b n （n *N ∈） ∴)(,)41()23(*N n n c n n ∈⨯-=.∴n n n n n S )41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ①于是1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②两式①-②相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S=1)41()23(21+⨯+-n n ∴ )()41(32332*N n n S nn ∈⨯+-=21.解：(Ⅰ)由条件|p +q |=| p －q |，两边平方得p·q ＝0，又 p =(sinA,b+c),q =(a －c,sinC －sinB),代入得（a －c ）sinA ＋（b+c ）（sinC －sinB ）＝0， 根据正弦定理，可化为a(a －c)+(b+c)(c －b)=0, 即222a c b ac +-=，又由余弦定理222a c b +-＝2ac cosB,所以cosB ＝12，B ＝060. (Ⅱ)m =(sin(C+3π),12),n =(2k,cos2A) (k>1),m·n =2ksin(C+3π)+12cos2A=2ksin(C+B) +12cos2A＝－2sin A +2ksinA+12=－22(sin )A k k -++12(k>1).而0<A<23π,sinA ∈(0,1],故当sinA ＝1时，m·n 取最大值为227212=⇒=-k k .（3）由正弦定理332sin sin sin ===C c B b A a 得)3sin(332sin 332,sin 332π+===A C c A a ∴△ABC 周长)3sin(332sin 33211π+++=++=A A c a p )6sin(21π++=A∵△ABC 为锐角三角形，∴)32,3(6),2,6(πππππ∈+∈A A∴]1,23()6sin(∈+πA ，△ABC 周长]3,31(+∈p 22.解(1)由已知1122)(,2)0(++-='-==x b ax x f k b f ∴k b f =+-='12)0(， 联立解得3,1=-=k b(2)由已知方程ax 2＋2x －1＋ln(x ＋1)＝3x －1即ax 2－x ＋ln(x ＋1)＝0只有一根， 设g(x )＝ax 2－x ＋ln(x ＋1),定义域(－1,＋∞)，显然x ＝0是方程的一根. 1)122(1112)(+-+=++-='x a ax x x ax x g ,令0)(='x g 得121,021-==ax x ， 当a ＝1/2时,x 1＝x 2＝0 ,g 丿(x )＞0,g(x )在(－1,＋∞)递增,g(x )＝0有唯一解x ＝0； 当0＜a ＜1/2时,x 1＜x 2,在∈x (－1,0),(x 2,＋∞) 时g 丿(x )＞0,g(x )递增, 在(0,x 2), 时g 丿(x )＜0,g(x )递减，g(x 2)＜g(0)＝0，x →＋∞时g(x)→＋∞ g(x)在(x 2,＋∞)必有一根，不合题意。

福州八中2016—2017学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分 2016.12.19第Ⅰ卷(60分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若集合}3121|{≤+≤-=x x A ，}02|{≤-=xx x B ，则=B A A ．}01|{<≤-x x B ．}10|{≤<x xC ．}20|{≤≤x xD ．}10|{≤≤x x2．复数312i i iz +-=（i 为虚数单位）的共轭复数为 A ．i 21+B ．1-iC ．i -1D ．i 21-3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.2B.32C.4D.4.已知命题p ：R x ∈∀，0312>+x ，命题q ：20<<x 是1log 2<x 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A ．p ⌝B ．q p ∧C ．)(q p ⌝∧D ．q p ∨⌝5.已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝A ． －7B ．－7或－1C ．－1D ．7或16.若实数y x ,满足20,0,0,x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩若y x z 2-=的最小值是A ．2-B ．1-C ．0D ．27. 直线l 过抛物线C:x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43B.2C.838.若两个正实数y x ,满足141=+yx ，且不等式m m yx 342-<+有解，则实数m 的取值范围是 A ．),4()1,(+∞⋃--∞ B ．),3()0,(+∞⋃-∞ C ．)1,4(-D ．)4,1(-9.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示,32)2(-=πf ,则)0(f 等于A.23-B. 12- C. 23D.1210.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为A ．(2＋1，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(1，3)D ．(1，2＋1)11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=93),3cos(30|,log |)(3x x x x x f π，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当4321x x x x <<<时，满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，则4321x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是A ．)429,7( B ．)4135,21( C ．)30,27[ D ．)4135,27(12.已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g -+=的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是A ．),(+∞-eB ．),1(e e -C ．)1,(e e -D ．),1(+∞-e第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量1(,(1,0)2a b ==r r，则b r 在a r 上的投影等于______________.14.已知圆x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2+6x-8y-11=0相交,则实数m 的取值范围是15.已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos )sin 22n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前12项和为16.已知边长为32的菱形ABCD 中，060=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角为0120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(本小题满分12分）等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1， 且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求证：121113()4n n N S S S *+++<∈18.(本小题满分12分）已知函数(),f x m n =⋅且()sin cos ,m x x x ωωω=+()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-，其中0ω>，若函数()f x 相邻两条对称轴的距离大于等于2π. （1）求ω的取值范围；（2）在锐角ABC 中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边，当ω最大时，()1f A =，且a =bc +的取值范围.19.(本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，//AD BC ，//CE BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ,222=====BG AD CE CD BC .（Ⅰ）证明：AG //平面BDE;（Ⅱ）求平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．A B 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线(0)y kx k =>与椭圆相交于E F 、两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．21.(本小题满分12分） 设函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f .（1）若函数)(x f 在e x =处的切线与y 轴相交于点)2,0(e -，求a 的值； （2）当21<<x 时，求证：)2ln(1ln 112x x x -+>-.请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

【学易大联考】2016年第四次全国大联考【新课标Ⅱ卷】理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1}--D ．{1,,0,1}-2．如果复数1(1)i()a a a a-+∈R 为纯虚数，则=a （ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．23．已知命题:1xp e >，命题2:log 0q x <，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图,输出的s 值为（ ）A.10-B.3-C.4D.55．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若1362,4,16a a a +++成等比数列，则10a =（ ）A ．19B ．20C ．21D ．226. 已知非负实数,a b 满足2a b +?，则22a b ++的取值范围为（ ）A ．[1,5]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[3,6]7．25(32)x x x-+展开式中常数项为（ ） A ．252 B ．－240 C ．160 D ．－1608．若直线810(0,0)ax by a b +-=>>经过曲线1sin(3)1(0)42y x x p =p ++<<的对称中心，则ab 的最大值是（ ）A ．14B ．18C ．4D ．8 9．如图所示，网格纸中每个小网格代表边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体三视图，则该几何体的体积为（ ）A ． 113pB ．83pC ．73pD ．103p 10．设抛物线方程为22(0)x py p =>，过焦点F 且倾斜角为a 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），且2AF BF =，则cos 2a =（ ）AB ．35C ．79 D11．四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的表面上，底面ABCD为矩形，AB =， 4BC =且BC AP ^，3APBp ?，则球O 的表面积为（ ） A ．173p B ．15p C ．20p D ．172p 12．已知函数()()()222ln ,0e e 2,e x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨+->⎪⎩，存在123x x x <<，()()()123f x f x f x ==，则()3212f x x x 的最大值为（ ）AB C ．1e D ．21e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_______．14．已知(1,2)a =，(1)x,b =，若//()-a a b ，则+=a b ________.15．设函数x x x f sin )(=在0x x =处取极值，则0220cos )1(x x ⋅+= ．16.平面直角坐标系中有两定点(0,0),(3,0)O A ，动点M 满足=2MA MO ，则点M 到直线10x y ++=的距离不大于1的概率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）在ABC △中，用C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 函数()2cos cos()cos ()f x x x A A x =--∈R 的图象关于6x π=对称． （I ）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，再纵坐标不变横坐标缩短到原来的12后得到函数()g x 的图象，求函数()y g x =的解析式．（II ）若7=a 且13=+c b ,求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）为了迎接班级组织的体育兴趣小组间的投篮比赛，体育课上某小组内甲、乙两位同学进行投篮训练，甲投了2次，乙投了3次.甲和乙投篮命中率分别为23、12，每次投篮是否命中互不影响，在这5次投篮中：（I ）求甲都命中且乙命中2次的概率；（II ）求该小组内甲乙投篮命中总次数ξ的分布列与期望.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ^平面ABC ，1A B BC ^， 12AA AB ==.C 1B 1A 1C B A（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB ；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6,求锐二面角1A AC B --的大小. 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12， 左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上，且120MF MF ?，1MF F △的面积为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()1,0的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NA NB 为定值？如果有，求出点N 的坐标及定值；如果没有，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数()(2)ln(1)x f x x x =++． （I ）当0x >时，证明：1()2f x <； （II ）当1x >-，且0x ≠时，不等式(1)(2)()1kx x f x x ++>+成立，求实数k 的值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分） 选修41-：几何证明选讲如图，在ABC ∆中，AD BE 2=，ADC ∆的外接圆交BC 于点E ，AC AB 2=.(I)求证：CD 是ACB ∠的角平分线；(II)当6,3==EC AC ，求AD 的长.E DC BA23. （本题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0α≤<π），射线θϕ=，4θϕπ=+，4θϕπ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（I ）求证：|||||OB OC OA +=； （II ）当512ϕπ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值． 24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知()212f x x ax =-++．（I ）当1a =时，解不等式()4f x ≤；（II ）若函数()f x 有最小值，求实数a 的取值范围．：。