数学-新海高级中学2013届高三10月学情调研数学试卷(理科)

2012-2013学年江苏省连云港市新海高级中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、填空题：1．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③m∥n，m∥α?n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β；其中真命题的序号①④．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：①由已知利用线面垂直的性质可得n⊥α，因此正确；②利用两个平行平面内的两条直线平行或是异面直线即可判断出；③由已知和线面的位置关系m∥n，m∥α可得：n∥α或n?α，即可判断出；④利用线面垂直的性质m∥n，m⊥α可得n⊥α，再利用面面平行的性质α∥β，可得n⊥β即可．解答：解：①∵m∥n，m⊥α，由线面垂直的性质可得n⊥α，因此正确；②∵α∥β，可知两个平行平面内的两条直线平行或是异面直线，因此不一定平行，故不正确；③∵m∥n，m∥α?n∥α或n?α，故不正确；④∵m∥n，m⊥α?n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，故正确．综上可知：只有①④正确．故答案为①④．点评：正确理解线线、线面的位置关系、判定定理和性质定理是解题的关键．2．（5分）（2012?江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．3．（5分）（2013?烟台二模）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a= 3 ．考点：简单线性规划．分析：先根据约束条件（a为常数），画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求关于面积的等式求出a值即可．解答：解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B的坐标为（1，4），代入y=ax+1得a=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．4．（5分）（2010?盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．5．（5分）（2010?江苏二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①Ｄ1C∥平面A1ABB1②Ａ1D1与平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为①④．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：①，可由线面平行的定义判断；②，可由公理三判断；③，可由线面垂直的判定定理判断；④，可由面面垂直的判定定理判断．解答：解：对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C?平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1?平面BCD1，错误；对于③，只有AD⊥Ｄ1D，AD与平面BCD1内其他直线不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC?平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．点评：本题考查直线与平面的位置关系中的直线在平面内的判定、直线与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定，解题时要牢记这些判定定理的条件．6．（5分）存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是（﹣，2）．考点：绝对值不等式．专题：计算题．分析：本题利用纯代数讨论是很繁琐的，要用数形结合．原不等式x2＜2﹣|x﹣t|，即|x﹣t|＜2﹣x2，分别画出函数y1=|x﹣t|，y2=2﹣x2，这个很明确，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0使不等式|x﹣t|＜2﹣x2成立，则y1的图象应该在第二象限（x＜0）和y2的图象有交点，再分两种临界讲座情况，当t≤０时，y1的右半部分和y2在第二象限相切；当t＞0时，要使y1和y2在第二象限有交点，最后综上得出实数t的取值范围．解答：解：不等式x2＜2﹣|x﹣t|，即|x﹣t|＜2﹣x2，令y1=|x﹣t|，y1的图象是关于x=t对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；y2=2﹣x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x＜0，使不等式|x﹣t|＜2﹣x2成立，则y1的图象应该在第二象限和y2的图象有交点，两种临界情况，①当t≤０时，y1的右半部分和y2在第二象限相切：y1的右半部分即y1=x﹣t，联列方程y=x﹣t，y=2﹣x2，只有一个解；即x﹣t=2﹣x2，即x2+x﹣t﹣2=0，△=1+4t+8=0，得：t=﹣；此时y1恒大于等于y2，所以t=﹣取不到；所以﹣＜t≤0；②当t＞0时，要使y1和y2在第二象限有交点，即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可；y1=t﹣x与y轴的交点为（0，t），所以t＜2，又因为t＞0，所以0＜t＜2；综上，实数t的取值范围是：﹣＜t＜2；故答案为：（﹣，2）．点评：本小题主要考查函数图象的应用、二次函数、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．7．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 4 ．考点：函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：先判断a、c是整数，且ac=1，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．解答：解：由题意知，a，＞0，△=4﹣4ac=0，∴ac=1，c＞0，则=+++=（+）+（+）≥2+2=2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号．．∴的最小值为4．点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用．8．（5分）在□ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则的取值范围是[，1] ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先设，，则，，，然后讨论点P在BC上时与点P 在CD上时的取值范围，从而求出所求．解答：解：设，，则，，当点P在BC上时，设，λ∈[0，1]=（）（）=2﹣λ+﹣1=1﹣∈[，1]当点P在CD上时，设，λ∈[0，1]=（）（）=2λ﹣1+﹣λ=∈[﹣，] ∴点P在BC与CD上运动（包括端点），则的取值范围是[，1]故答案为：[，1]点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．9．（5分）（2010?武汉模拟）在实数数列{a n}中，已知a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1||，…，|a n|=|a n﹣1﹣1|则a1+a2+a3+a4的最大值为 2 ．考点：数列的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1||，…，|a n|=|a n﹣1﹣1|，枚举出所求可能，即可求出a1+a2+a3+a4的最大值．解答：解：枚举出a1，a2，a3，a4所有可能：0，1，0，10，1，0，﹣10，﹣1，2，10，﹣1，2，﹣10，﹣1，﹣2，30，﹣1，﹣2，﹣3所以最大是2，故答案为： 2点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．10．（5分）若关于x的不等式（2x﹣1）2≤ax2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由不等式可知a是大于0的，ax2≥（2x﹣1）2可变为ax2﹣（2x﹣1）2≥0，利用平方差分解因式得（x+2x﹣1）（x﹣2x+1）≥0，（x+2x﹣1）与（x﹣2x+1）同号得到a的解集，解集中的整数恰有2个，得到a的范围即可．解答：解：由题知，a＞0 则ax2≥（2x﹣1）2ax2﹣（2x﹣1）2≥0．（x+2x﹣1）（x﹣2x+1）≥０即[（+2）x﹣1][（﹣2）x+1]≥０由于+2＞0，而不等式的解答中恰有两个整数解，故必有﹣2＜0，即必有a ＜4所以不等式可变为[（+2）x﹣1][（2﹣）x﹣1]≤０解得≤x≤，又＜1，结合解集中恰有两个整数可得≥２且＜3，所以有2﹣≤且2﹣＞，解得＞a≥，所以a∈．故答案为：点评：本题主要考查学生解一元二次不等式，运用等价转化的能力．属于中档题．11．（5分）已知下列两个命题：p：?x∈R+，不等式恒成立；q：y=log a（x2﹣ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是a=2或a≤１．考点：复合命题的真假；全称命题；二次函数的性质；对数函数的值域与最值．专题：计算题．分析：根据函数恒成立的等价条件及基本不等式，我们可以求出P为真命题时，实数a的取值范围；根据复合函数单调性及指数函数单调性，对数函数的最值，我们可以求出Q 为真命题时，实数a的取值范围；根据两个命题中有且只有一个是真命题，我们分P 真Q假和P假Q真，两种情况讨论，即可得到实数a的取值范围．解答：解：p：?x∈R+，不等式恒成立；即a≤=恒成立；由于的最小值为2，故P为真命题时，a≤２q：y=log a（x2﹣ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．表示以a为底的对数函数为增函数，且x2﹣ax+1＞0恒成立即，解得1＜a＜2故Q为真命题时，1＜a＜2∵两个命题中有且只有一个是真命题，当P真Q假时，a=2或a≤１当P假Q真时，这样的a值不存在故实数a的取值范围是a=2或a≤１故答案为：a=2或a≤１点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，全称命题，二次函数的性质，对数函数的值域与最值，函数恒成立问题，基本不等式在求最值时的应用，其中分别求出命题P和命题Q为真命题时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．12．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，则该数列的前20项的和为2101 ．考点：数列的求和．专题：常规题型；压轴题．分析：先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可．解答：解：由题中条件知，a1=1，a2=2，a3=a1+1=2，a4=2a2+0=4，a5=a3+1=3，a6=2a4=8…即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前20项的和为（1+2+3+…+10）+（2+4+8+…+210）=2101．故答案为：2101．点评：本题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式．考查学生的运算能力．13．（5分）设x∈R，f（x）=，若不等式f（x）+f（2x）≤ｋ对于任意的x∈R 恒成立，则实数k的取值范围是k≥２．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数恒成立问题．专题：计算题．分析：根据指数函数的单调性及复合函数的单调性确定原则，我们可以分析出函数f（x）和函数f（2x）的单调性，进而分析出函数F（x）=f（x）+f（2x）的单调性，进而求出F（x）=f（x）+f（2x）的最大值后，即可得到实数k的取值范围．解答：解：∵f（x）=，∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，且函数f（2x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，令F（x）=f（x）+f（2x），根据函数单调性的性质可得F（x）=f（x）+f（2x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，故当x=0时，函数F（x）取最大值2，若不等式f（x）+f（2x）≤ｋ对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是k≥２故答案为：k≥２点评：本题以不等式恒成立问题为载体考查了函数的单调性及函数的最值，其中构造函数F （x）=f（x）+f（2x），并根据函数的单调性及复合函数的单调性确定原则，确定函数F（x）=f（x）+f（2x）的单调性及最值是解答的关键．14．（5分）（2013?长宁区一模）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）在[﹣，]上是增函数．其中正确的命题的序号①②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题．分析：本题为新定义问题，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究．解答：解：由题意x﹣{x}=x﹣m，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣m|，m=0时，﹣＜x≤，f（x）=|x|，m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|，m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|，由图象可知正确命题为①②③，故答案为：①②③．点评：本题是新定义问题，考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2011?日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：充分条件；命题的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件?q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0?1＜x＜3命题q：??2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件?q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0?（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤２点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．16．（14分）（2011?江西模拟）设a∈R，满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（Ⅰ）通过二倍角公式，以及，求出a的值，利用两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）利用余弦定理化简，通过正弦定理求出，推出B 的值，然后求f（x）在（0，B]上的值域．解答：解：（Ⅰ）f（x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=．由得，解得．因此．令得故函数f（x）=的单调递增区间（6分）（Ⅱ）由余弦定理知：即2acosB﹣ccosB=bcosC，又由正弦定理知：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA即，所以当时，，f（x）∈（﹣1，2]故f（x）在（0，B]上的值域为（﹣1，2]（12分）点评：本题考查余弦定理，两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，正弦定理个应用，考查转化思想与计算能力．17．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．考点：直线与平面平行的判定；集合的含义；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接AB1与A1B相交于M，由三角形中位线定理，我们易得B1C∥MD，结合线面平行的判定定理，易得B1C∥平面A1BD；（2）由于已知的几何体ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，结合AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，根据正方形的几何特征，我们易得到AB1⊥Ｂ1C1，BB1⊥Ｂ1C1，根据线面垂直的判定定理，即可得到B1C1⊥平面ABB1A1；（3）由图可知，当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，由已知易得DE∥AC1，结合AC1⊥平面AB1D，我们易得到DE⊥平面AB1D，进而根据面面垂直的判定定理得到结论．解答：解：（1）证明：连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点，连接MD，又D为AC的中点，∴Ｂ1C∥MD，又B1C?平面A1BD，∴Ｂ1C∥平面A1BD．（4分）（2）∵AB=BB1，∴四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥Ａ1B，又∵AC1⊥面A1BD，∴AC1⊥Ａ1B，∴Ａ1B⊥面AB1C1，∴Ａ1B⊥Ｂ1C1，又在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥Ｂ1C1，∴Ｂ1C1⊥平面ABB1A1．（8分）（3）当点E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面BDE，∵D、E分别为AC、CC1的中点，∴DE∥AC1，∵AC1⊥平面AB1D，∴DE⊥平面AB1D，又DE?平面BDE，∴平面AB1D⊥平面BDE．（14分）点评：本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面间平行和垂直的判定定理、性质定理、定义是解答此类问题的根本．18．（16分）（2009?温州二模）如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点，曲线C1的离心率为，若，．（Ⅰ）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程；（Ⅱ）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以=，因为，所以可求出a，再根据，求出C，就可得到b的值，求出椭圆方程．也就可得F2的坐标，再根据曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，求出抛物线方程．（Ⅱ）先设出B，E，C，D四点坐标，以及过F2作的与x轴不垂直的直线方程，分别代入椭圆方程和抛物线方程，求y1+y2，y1y2，y3+y4，y3y4，再代入，化简即可．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则2a=，得a=3所以椭圆方程为，抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线y=k（x﹣1），代入得：，即（8+9k2）y2+16ky﹣64k2=0则=﹣，y1y2=﹣同理，y=k（x﹣1），代入y2=4x得，ky2﹣4y﹣4k=0则y3+y4=，y3y4=﹣4∴==3点评：本题考查了椭圆，抛物线方程的求法，以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，做题时要细心．19．（16分）已知数列 {a n}和{b n}满足，{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a n}一定不是等差数列；（Ⅱ）当时，试判断{b n}是否为等比数列；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤Ｔn≤２对任意的n∈N*恒成立，求实数m的范围．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）把m=1代入a n+1=λa n+n，求出a1，a2和a3，假设是等差数列，推出矛盾，从而进行证明；（Ⅱ）把代入，对b n进行化简，对于首项要进行讨论，从而进行判断；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤Ｔn≤２对任意的n∈N*恒成立，求出T n的最大值和最小值即可，对于n的奇偶性要进行讨论，求出T n的范围，从而求解；解答解：（Ⅰ）…（2分）：即λ2﹣λ+1=0，△=﹣3＜0，方程无实根．故对于任意的实数λ，{a n}一定不是等差数列…（5分）（Ⅱ）=∴…（9分）…（10分）（Ⅲ），不成立…（11分）当时当n为奇数时，当n为偶数…（14分）∵1≤Ｔn≤２对任意的n∈N*恒成立，∴解得m=从而求得…（16分）点评：此题主要考查等差数列前n项和公式及其应用，第三问需要讨论n的奇偶性，有一定的难度，解题过程中用到了转化的思想，是一道中档题；20．（16分）已知函数（其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数，求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用f（0）=0即可求出a的值．（2）通过对a分类讨论和利用单调增函数的定义即可求出a的取值范围．（3）已知问题：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，等价于证明：对任意的t＞﹣2，方程在区间（﹣2，t）内有实数解，通过对t分类讨论即可．解答：解：（1）∵函数f（x）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0，∴1+a=0，解得a=﹣1．∴f（x）=e x﹣e﹣x，经验证函数f（x）是R上的奇函数．故a=﹣1适合题意．（2）a=0时，y=e x在区间[0，1]上单调递增，适合题意；当a≠０时，令t=e x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，e]．且t=e x单调递增，故在t∈[1，e]时递增．当a＞0时，函数y=在t∈[1，e]时单调递增，得，∴0＜a≤1．当a＜0时，在t∈[1，e]时单调递增恒成立，故?t∈[1，e]，．∴﹣1≤a＜0．综上可知：﹣1≤a≤1．（3）∵f（x）+f′（x）==2e x，∴φ（x）=（x2﹣3x+3）e x，∴=x2﹣x．要证明：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足．等价于证明：对任意的t＞﹣2，方程在区间（﹣2，t）内有实数解．令g（x）=，则g（﹣2）=6﹣=﹣，g（t）=．所以①当t＞4，或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）g（t）＜0，∴g（x）=0在（﹣2，t）内有解，且只有一解．②当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0，且g（t）＞0，但g（0）=＜0，∴g（x）=0在（﹣2，t）内有解，且由两解．③当t=1时，有且只有一个解x=0；当t=4时，有且只有一个解x=3．综上所述：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足．且当t≥４或﹣2＜≤１时，有唯一的x0适合题意；当1＜t＜4时，有两个不同的x0适合题意．点评：充分理解函数的单调性及分类讨论的思想方法是解题的关键．。

2012高二文科调研考试参考答案一、填空题 (本题共14小题，每题5分，共70分)二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．解 （1）因为{}n a 是等差数列，1d a =-，1(1)n a n a =+-，……………2分[12(1)][14(1)]45a a +-+-=，解得3a =或74a -=（舍去），……………5分 21n a n =-．……………7分（2）因为{}n a 是等比数列，q a =，1n n a a -=，2n n b a =．…………9分 当1a =时，1n b =，n S n =；…………11分当1a ≠时， 222(1)1n n a a S a -=-．………………………14分（2）111111()ABB A CBB C CAA C S g m S S S ==+-111[lg(1)lg ][lg(1)lg ][lg(1)lg(1)]2222m m m m m m =-++++--++⨯…8分 21lg2(1)(1)m S m m =-+………………12分 222111lg lg(1)2121m m m ==+--，………………14分 因为2m >时，S 单调递减，所以140lg 23S <<．………………16分19解（1） 设椭圆E 方程为22221x y a b+=，因为离心率63e =，所以223a b =，…2分所以椭圆E 方程为222213x y b b+=，又因为经过点(3,1)A ，则229113b b +=，…………4分 所以24b =，所以椭圆的方程为221124x y +=．…………………………………6分20．解（1）当1a =时，32()390f x x x x =-->，2(39)0x x x -->，解得33502x -<<或3352x +>．………………………2分 （2）由'2()12ln 69f x x ax a a =---得212ln 3a x x =-，令2()12ln 3m x x x =-，则'12()6m x x x=-，当'12()60m x x x =-=时，2x =．……………4分当[1,2)x ∈时，'()0m x >，此时()m x 递增；当(2,2]x ∈时，'()0m x <，此时()m x 递减；所以max ()(2)6(ln 21)m x g ==-，…………6分又因为(1)m =-，(2)12(ln 21)3m =-<-，所以当[1,2]x ∈时，'2()12ln 69m x x ax a a =---恰好有两个相异的实根实数a 的取值范围为36(ln 21)a -≤<-．……………8分附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：h ttp:///wxt/list.aspx?Cla ssID=3060。

江苏省新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷一．填空题1.函数)1(log 4)(22--=x x x f 的定义域为___),2(+∞___.2. 已知复数11z i =-，21z i =+,那么21zz =____i _____3. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是22c o s y x =4. 已知点(1,2)P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+-＝ 55.已知向量,a b 满足||3,||5,||7a b a b ==-=，则,a b 的夹角为 23π______ 6. .在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为 (-2,1) 。

7. 在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .138.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 __0.75__9. .已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =_____3____.10. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

上面命题中，正确命题的个数是 2 个11.△ABC 中，π2C =，1,2AC BC ==，则()2(1)f CA CB λλλ=+-的最小值是12. 已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相离，则以三条边长分别为|||,||,|c b a 所构成的三角形的形状是 钝角三角形 13. 曲线1:=+y x C 上的点到原点的距离的最小值为42. 14. 设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f(x)＝x+a 有且只有两相不等实数根，则实a 的取值范围为 [)3,4 .二．解答题15．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=． （1）求角B 的大小； （2）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==，试m n ⋅求的取值范围． （1）因为(2)cos cos a c B b C -=，所以(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即 2s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n (A B C B B C C B A=+=+= 而 s i n 0A >，所以1cos 2B =．故 60B =……………………6分 （2）因为 (s i n ,1),(3,c om A n A == 所以 223173sin cos 23sin 12sin 2(sin )48m n A A A A A ⋅=+=+-=--+．P A BCDE FN F EDCB A P MF EDCBAP由09060090A B C ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩得090012090A A ⎧<<⎪⎨<<⎪⎩- 所以 3090A <<……10分从而1sin (,1)2A ∈ 故m n ⋅的取值范围是17(2,]8．……………………14分16．在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面P AB ． 解：（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1， ∠BAC ＝60°，∴BCAC ＝2． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝AD ＝4．∴S ABCD ＝1122AB BC AC CD ⋅+⋅111222=⨯⨯⨯V＝123= （Ⅱ）∵P A ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点， ∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ． （Ⅲ）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥P A ． ∵EM ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，∴EM ∥平面P AB ． ……… 12分 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴MC ∥平面P AB ．∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面P AB ． ∵EC ⊂平面EMC ， ∴EC ∥平面P AB ． 证法二： 延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． ∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ， ∴C 为ND 的中点． ……12分 ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．……14分 ∵EC ⊄平面P AB ，PN ⊂平面P AB ，∴EC ∥平面P AB ．17．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数均成立（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.101001…D. 32. 已知函数f(x) = 2x - 1，那么f(2)的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 63. 下列命题中，正确的是（）A. 两个等差数列的和一定相等B. 两个等比数列的积一定相等C. 两个等差数列的公差相等D. 两个等比数列的公比相等4. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形5. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = √xD. f(x) = 1/x6. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，公差d=3，那么a10的值是（）A. 27B. 30C. 33D. 367. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，那么f(-1)的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 下列各式中，与x^2 - 2x + 1等价的是（）A. (x - 1)^2B. (x + 1)^2C. (x - 2)^2D. (x + 2)^29. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x10. 在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积是（）A. 6B. 8C. 10D. 1211. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √2B. πC. 0.101001…D. 312. 已知函数f(x) = 2x - 1，那么f(0)的值是（）A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，那么f(1)的值是______。

14. 下列各数中，属于有理数的是______。

实用文档A BCDD ABC 江苏省新海高级中学2013届高三理科数学月考试卷（2012.12.12） 一、填空题：1．已知两条直线m ，n ，两个平面βα,，给出下面四个命题： ①αα⊥⇒⊥n m n m ,//； ②n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα；③αα////,//n m n m ⇒； ④./,//,//βαβα⊥⇒⊥n m n m其中真命题．．．的序号 ．2．设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-(i 为虚数单位),则a b +的值为___ ． 3．在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为 ．4．已知函数)8(12cos 22cos 2sin tan 21)(2πf x x x x x f 则-+=的值为 ． 5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下四个结论：①1D C ∥平面11A ABB ；②11A D 与平面1BCD 相交；③AD ⊥平面1D DB ； ④平面1BCD ⊥平面11A ABB ．其中正确结论的序号是 ．6．存在0<x 使得不等式||22t x x --<成立，则实数t 的取值范围是 . 7．二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0，+∞)，则11a c c a+++的最小值为 ．8．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点实用文档P 在CD BC 与上运动（包括端点），则DM AP •的取值范围是 ． 9．在实数数列}{n a 中，已知|1|||,|,1||||,1|||,0123121-=-=-==-n n a a a a a a a 则4321a a a a +++的最大值为 。

10．若关于x 的不等式22(21)x ax -≤的解集中的整数恰有2个，则实数a 的取值范围是 。

高二理科数学参考答案 1.14x =-2.96 3 .(2,)2π5. 充分不必要6.45︒7. 08. （-2，3）9.0.41P ≤< 10. 0 11. 4 12. 13 13. 92 14. 3n15. 16.760 17解:M=1120⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………7分 1-M =121201⎡⎤⎢⎥-⎣⎦………………………………7分19解：（1）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A ，则1155210()C C P A C ==255459=,故所求概率为59.…………………6分 (2)解法1: ：ξ的所有取值为0，1，2.由题意可知，每位教师选择高二年级的概率均为31.所以 ()020********P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()11121241339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()20221212339P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;………………………..10分 随机变量ξ的分布列为：20解:（1）以D 为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立如图所示的直角坐标系,则)0,0,1(A ，1(,0,1)2E ，)0,1,1(B ，)1,21,1(F .………………………2分 12(0,,1)AF = 12(,1,1)BE =-- ,∴12cos(,15)AF BE == 分∴所求的锐二面角为6π ……………………………….9分(3)设(,,0)P x y （01,01x y ≤≤≤≤）1(,,1)2EP x y =-- ，由0EP n ⋅= 得1()2102x y -+-= 即322x y =-+，301,0212x y ≤≤∴≤-+≤ 1344y ∴≤≤||EP ∴==== ……………………………………………………………….12分1344y ≤≤ ∴当25y =时，min ||5EP ∴= 当34y =429=, 故EP的取值范围为54⎣⎦.………………..……14分(2) 直线l 的方程为y kx =,由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得A,(B -AB ∴==分CD 恰好被椭圆三等分,∴ 18233R ⨯=………….14分∴23=,∴k =∴直线l 的方程为y x =.………………………………………..……16分24解: (1)'()(1)x H x e e =--，令)('x H =0，)1ln(-=e x 当),( x x -∞∈时，)('x H <0，)(x H 在),( x -∞单调递减当),(+∞∈ x x 时，)('x H >0，)(x H 在),(+∞ x 单调递增故min 0()()(1)1x H x H x e e x ==--- 1(1)ln(1)1e e e =-----令t=e-1>1,函数()l n 1k t t t t =--,因为/()1l n 1l n k t t t =--=-<0, 所以函数()ln 1k t t t t =--在()1,+∞单调递减,故()(1)0k t k ≤=，又11>-e ，故()0H x < ，从而)(x H 有两个零点. ……………………………………………………………….……5分(2)① 因为1()()n n f a g a +=，即11(1)2n a n e e a ++=-+，所以)1(111--=+n a n e e a 下面用数学归纳法证明)1,0(∈n a。

高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、填空题：1．（5分）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；2．（5分）（2012•江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8 ．a+bi=3．（5分）（2013•烟台二模）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a= 3 ．（4．（5分）（2010•盐城三模）已知函数，则的值为．、=，（5．（5分）（2010•江苏二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下四个结论：①D1C∥平面A1ABB1②A1D1与平面BCD1相交③AD⊥平面D1DB④平面BCD1⊥平面A1ABB1．上面结论中，所有正确结论的序号为①④．6．（5分）存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是（﹣，2）．﹣取不到；＜t≤0；的取值范围是：﹣＜，7．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为 4 ．+++（）（+）≥2+2=2+2=48．（5分）在□ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则的取值范围是[，1] ．，，则，，上时，，则上时，设∈，上时，设（∈，]，9．（5分）（2010•武汉模拟）在实数数列{a n}中，已知a1=0，|a2|=|a1﹣1|，|a3|=|a2﹣1||，…，|a n|=|a n﹣1﹣1|则a1+a2+a3+a4的最大值为 2 ．10．（5分）若关于x的不等式（2x﹣1）2≤ax2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是．差分解因式得（x+2x+2+2+2﹣≤x≤≤＞＞a≥∈故答案为：11．（5分）已知下列两个命题：p：∀x∈R+，不等式恒成立；q：y=log a（x2﹣ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是a=2或a≤1．，不等式=恒成立；的最小值为12．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=，则该数列的前20项的和为2101 ．13．（5分）设x∈R，f（x）=，若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R 恒成立，则实数k的取值范围是k≥2．，14．（5分）（2013•长宁区一模）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）在[﹣，]上是增函数．其中正确的命题的序号①②③．时，﹣＜x≤，＜x≤1+＜x≤2+二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．：⇔，所以（2011•江西模拟）设a∈R，（14分）16．满足，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且，求f（x）在（0，B]上的值域．（Ⅰ）通过二倍角公式，以及利用余弦定理化简通过正弦定理求出．，解得．的单调递增区间（，所以时，17．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（3）设E是CC1上一点，试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由．18．（16分）（2009•温州二模）如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点，曲线C1的离心率为，若，．（Ⅰ）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程；（Ⅱ）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．，所以=，因为，所以可求出，求出，再代入，则，得，抛物线方程为代入，，19．（16分）已知数列 {a n}和{b n}满足，{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a n}一定不是等差数列；（Ⅱ）当时，试判断{b n}是否为等比数列；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若1≤T n≤2对任意的n∈N*恒成立，求实数m的范围．（Ⅱ）把代入（Ⅰ），不成立…（时为奇数时为偶数m=从而求得20．（16分）已知函数（其中e是自然对数的底数）（1）若f（x）是奇函数，求实数a的值；（2）若函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，试求实数a的取值范围；（3）设函数，求证：对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．y=时单调递增，得时，在，方程在区间（﹣=＜。

江苏省海头高级中学2012—2013学年第一学期高三十月考数学一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}1,2P =，{}2,3Q =，则)(Q p U C 等于________.2. 已知复数z 满足(3)10i z i +=(i 为虚数单位),则z 的模为________.3．已知510°角的始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点(,2)P m ，则m =________.4．已知(2,3),(4,5)A B -，则与向量AB方向相反的单位向量坐标为________. 5．已知2)4tan(=+απ，则=αtan ________.6.设a R ∈，则“1a =”是“直线210ax y +-=与直线(1)40x a y +++=平行”的________.（填充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）7. 已知函数()41xxf x ax =++是偶函数，则常数a 的值为________. 8. 已知log 2x y =，则y x -的取值范围为________. 9. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3c o s c o s5a B b A c -=，则t a n t a n AB=_______. 10.已知正三棱锥P ABC -，点,,,P A B C 都在半径为3的球面上，若,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为 .11.设,m n R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是 .12.已知32()(0)f x ax bx cx a =++≠有极大值5，其导函数()y f x '= 的图象如图所示，则()f x 的解析式为________.13. 设函数212log , 0()log (), 0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a的取值范围是________.14. 已知两条直线1:l y m =1l ：y =m 和28:(0)21l y m m =>+，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A 、B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C 、D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，ba的最小值为________.O 12xy二、解答题：本大题共6题，共90分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且5,3,sin 2sin a b C A ===． （1）求边c 的值； （2）求sin(2)3A π-的值．16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且2,1AB BC ==,,E F 分别为,AB PC 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面PDE .（第16题）A BCD EFP17．（本小题满分14分）已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ．（1）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当2CD =时，求直线CD 的方程；（2）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.18. （本小题满分16分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上.已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=.（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数,并写出定义域；（2）若sin cos 2θθ+=，求此时管道的长度L ；（3）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.19. （本小题满分16分） 已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．20．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[],a b D ⊆（其中a b <），使得当[],x a b ∈时，()f x 的取值范围恰为[],a b ，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[],a b 叫做等域区间．（1）已知12()f x x =是[)0,+∞上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是(),0-∞上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．江苏省海头高级中学2012—2013学年第一学期高三年级十月考数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1.}4{ 2.10 3. 23- 4. )1010,10103(- 5. 31 6. 充分不必要条件 7. 21- 8. ),0()0,41[∞+⋃- 9. 4 10. 3210.3311. 1 11.(),222222,⎤⎡-∞-⋃++∞⎦⎣ 12.x x x x f 1292)(23+-= 13. ),1()0,1(∞+⋃-14. 82二、解答题：本大题共6小题，计90分.15. （本小题满分14分） 解：（1）根据正弦定理，A a C c sin sin =，所以522sin sin ===a a ACc ………… 5分 （2）根据余弦定理，得5522cos 222=-+=bc a b c A ……………………… 7分 于是55cos 1sin 2=-=A A ……………………… 8分 从而54cos sin 22sin ==A A A ……… 10分，53sin cos 2cos 22=-=A A A 12分所以103343sin2cos 3cos2sin )32sin(-=-=-πππA A A …………………… 14分 16. （本小题满分14分）证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连结FM ，AM ．因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD ．因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD ．所以FM ∥EA ，且FM ＝EA ．所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM ． ……………… 5分 又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ……… 7分 方法二：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN ．AB CDEFPNABCDEFQ P因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE ．又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ．所以CE ＝NE ． 又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP ．………… 5分又NP ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． ……… 7分 方法三：取CD 的中点Q ，连结FQ ，EQ ．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ ． 所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD ．又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊄平面PAD ，所以EQ ∥平面PAD ． ………………2分 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以FQ ∥PD ．又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊄平面PAD ，所以FQ ∥平面PAD ．又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面PAD ．…………… 5分因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD ． ……………………………… 7分 （2）设AC ，DE 相交于G ．在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点.所以DA AE ＝CDDA＝2． 又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA ． 又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°．由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°．即DE ⊥AC ． ……………………… 9分因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， …………………………………… 12分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ………………………… 14分17. （本小题满分14分）（1）易知直线CD 的斜率k 存在，设直线CD 的方程为：1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=由题知圆心M 到直线CD 的距离为22， 所以221221k k --=+，解得，1k =-或17k =-，…4分 故所求直线CD 的方程为：30x y +-=或790x y +-=．………………………………………6分（2）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2mQ m +．因为PA 是圆M 的切线， 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22m mx m y m -+--=+-，……………………10分 化简，得 222(22)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式，故2220,220,x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得0,2,x y =⎧⎨=⎩或4,52.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或42(,)55．……………14分18. （本小题满分16分）解：（1）10cos EH θ=，10sin FH θ= θθcos sin 10=EF ………………………………4分由于10tan 103BE θ=⋅≤，10103tan AF θ=≤3tan 33θ≤≤，[,]63ππθ∈…………………5分101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅ ， [,]63ππθ∈. ……………… 6分(2) 2cos sin =+θθ时，21cos sin ==θθ, ……………………8分)12(20+=L ; ………………………………………10分（3）101010cos sin sin cos L θθθθ=++⋅=sin cos 110()sin cos θθθθ++⋅设sin cos t θθ+= 则21sin cos 2t θθ-⋅=……………………………12分 由于[,]63ππθ∈，所以31sin cos 2sin()[,2]42t πθθθ+=+=+∈ …………14分201L t =-在31[,2]2+内单调递减，于是当312t +=时,63ππθθ==时 L 的最大值20(31)+米. ………………………………………………15分答：当6πθ=或3πθ=时所铺设的管道最短，为20(31)+米. ……………16分19. （本小题满分16分） 解：（1）∵2()ln a f x x x =+，∴212()af x x x'=-．………………………………1分 ∵()f x 在[2,)+∞上是增函数，∴212()af x x x'=-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x 在[2,)+∞上恒成立．…………… 4分令()2xg x =，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞．∵()2xg x =在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g ==．∴1≤a ．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞． …………………………7分（2）由（1）得22()x af x x -'=，[1,]x e ∈．①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．所以()min(1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦，解得32a =（舍去）． ………………………………10分 ②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =．当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数．所以()()min2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦，解得22e a =（舍去）．…………………13分③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数． 所以()()min 213af x f e e ==+=⎡⎤⎣⎦，所以a e =．综上所述，a e =． ……………………………16分20. （本小题满分16分）解：（1）因为()f x x =是[)0 +∞，上的正函数，且()f x x =在[)0 +∞，上单调递增， 所以当[] x a b ∈，时，()() f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 即 a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，……………………………………………3分解得0 1a b ==，， 故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；………………………………5分 （2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数， 所以当[] x a b ∈，时，()() g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22 a m b b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，…………………………………………7分两式相减得22a b b a -=-，即()1b a =-+， ………………………………………9分 代入2a m b +=得210a a m +++=，由0a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， …………………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 2--，内有实数解，……………………13分记()21h a a a m =+++， 则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………16分。

江苏省东海高级中学高三理科数学阶段检测题（10.27)一、填空题（每小题5分，共70分） 1、设集合A ={}{}21,2,3,2,3B a a -=++，若{}3A B ⋂=，则实数a 的值为 .2、若α角与85π角终边相同，则在[0,2]π内终边与4α角终边相同的角是 .3、若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ，则它在A 点处的切线的斜率为 。

4、已知函数()()()2,125,1xax x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若()()20f f =，则实数a = .5、已知1sin sin 3x y +=，则2sin cosy x-的最大值为 。

6、已知2tan sin 3,02πααα⋅=-<<，则cos()6πα-的值是 。

7、已知集合(){}21,A x xa a x a R=+≤+∈，若A 中的所有的整数元素和为28,则a 的取值范围是 . 8、已知命题p:()f x =(]0,∞-∈x 上有意义,命题q ：函数2lg()y axx a =-+的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围 ．9、已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()0,()232f f ππ==，则实数ω的最小值为 .10、设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ,动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB的长为()f x ，则函数()f x 在[0,]2π上单调 ，在[,]2ππ上单调 .11、已知函数()()()[]2222,1,1xxf x a a x -=-++∈-。

关于x 的方程()22f x a =有解,则实数a 的取值范围是 _____ .12、 已知函数323y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1）,N （x 2， y 2),就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为______.13、已知函数()f x =最大值为 .14、已知函数()f x 定义在[](),2D m m m =->上且()0f x >，对于任意实数,,x y x y +,D ∈都有()()(),f x y f x f y +=且()11006f =，设函数()()()()()()21100611f x f x f x g x f x f x ++++=-+的最大值和最小值分别为M 和N ,则M N += 。

江苏省新海高级中学2012-2013学年高二10月学情调研测试数学试卷(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.）1．已知等差数列{}n a 的通项公式n a n 23-=，则它的公差d 为 ▲ ．2．在ABC ∆中，sin cos A Ba b=，则B ∠= ▲ ． 3．在等差数列}{n a 中，当294a a +=-时，它的前10项和10S = ▲ ．4．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c，若,23A a b π===，则ABC ∆的面积是 ▲ ．5．海上有B A ,两个小岛相距n 210mile ，从A 岛望C 岛和B 岛所成的视角为060，从B 岛望C 岛和A 岛所成的视角为075，则B 岛和C 岛之间的距离BC = ▲ n mile ．6．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且2nn S r =+,则5a = ▲ __.7.在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c，若222b c a +=，且ba=C ∠= ▲ ． 8．某厂生产某种电子产品，第一天生产100只，第二天生产200只，第三天生产400只，即每一天生产的只数是前一天的2倍，那么生产的电子产品的总数超过一万只至少需要 ▲ 天．9．等比数列{}n a 中，0n a >，1q ≠，且2a 、312a 、1a 成等差数列，则14171215a a a a ++=▲ ．10．在ABC ∆中，60,B AC ==o2AB BC +的最大值为 ▲ ．11．将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如下表，其中第i 行第j 个数表示为*(,)ij a i j N ∈，例如3216a =．若20122ij a =，则i j += ▲ ．12.如图在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB AD =,2AB =，2BC BD =，则sin C = ▲ ．13．已知4321,,,a a a a 是各项不为零的等差数列且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列，则da 1的值为 ▲ ． 14．对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212n n n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为向上凸数列（简称上凸数列）.现有数列{}n a 满足如下两个条件：（1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数n （*,101N n n ∈<≤），都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+.则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.）15．(本小题满分14分)已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，A 是锐角，且B a b sin 23=. (1)求A ；(2)若7a =，ABC ∆的面积为103，求b c +的值．16.(本小题满分14分)已知等差数列{n a },2a =2，5a =8，n ∈N *． (1)求数列{n a }的通项公式；(2)若n b =3n a ，求数列{n b }的前n 项的和．1 2 48 16 32 ……（第11题）12题图17.(本小题满分14分)已知向量2(2cos m x =u r ，(1,sin 2)n x =r ，函数()f x m n =⋅u r r ． (1)当x R ∈时,求函数)(x f 的最小值；(2)在∆ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，3)(=C f ，1=c ，23=∆ABC S ，且b a >，求b a ,的值．18．(本小题满分16分)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列． (1)求数列{}n a 的公比q ；(2)求证：3a ，9a ，6a 成等差数列；(3)当m a ，s a ，t a []()互不相等t s m t s m ,,,10,1,,∈成等差数列时，求t s m ++的值．19.(本小题满分16分)如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。

江苏连云港新海高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）一、填空题1．与2014︒终边相同的最小正角是 ． 【答案】0214 【解析】试题分析：因为与2014︒终边相同的角是2014360(),k k Z +⋅∈所以当6k =-时，与2014︒终边相同的最小正角是214.考点：与终边相同的角2．已知角α的终边经过点P(3，-4)，则sin α－2cos α的值是 ． 【答案】2- 【解析】试题分析：因为角α的终边经过点P(3，-4)，所以由三角函数定义得：43sin ,cos .55αα=-=46sin 2cos 2.55αα-=--=-考点：三角函数定义3．已知=（-3，2），=（-1，0），向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为 ． 【答案】17- 【解析】试题分析：因为a b λ+(31,2),λλ=--2a b -(1,2),=-所以由向量a b λ+与2a b -垂直得：13140,.7λλλ++==- 考点：向量垂直坐标表示4．已知正△ABC 的边长为1，则AB BC BC CA CA AB −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅+⋅+⋅= ． 【答案】32- 【解析】试题分析：由题意得题中三组向量的夹角皆为120,所以311c o s 12011c o s 12011c o s 122A B B C B C C A C A A B −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=- 考点：向量数量积5．若(sin )sin 3,f x x =则(cos 75)f = ．【解析】试题分析：因为由诱导公式有：cos 75sin15,=所以(c o s 7f =2(s i n 15)s i n45.2f == 考点：诱导公式6．已知1,2a b ==，若,a b 的夹角为060，则2a b += ． 【答案】23 【解析】试题分析：因为22224444412cos 6012,a ba b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=所以223.a b += 考点：向量的模7．一个正三棱锥的高和底面边长都为a ，则它的侧棱和底面所成角=． 【答案】060 【解析】试题分析：因为正三棱锥的底面边长为a ，,因此侧棱和底面3=即侧棱和底面所成角为060. 考点：三棱锥侧棱和底面所成角8．已知函数()ln 4y x =-则此函数的定义域为 ． 【答案】5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：根据对数中真数大于零，偶次根式被开方数非负，所以40,250,x x ->-≥即54,2x ≤<函数的定义域为5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 考点：函数定义域9．设ω>0,函数y=cos(ωx+6π)+1的图像向右平移23π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是 ． 【答案】3 【解析】试题分析：因为函数y=cos(ωx+6π)+1的图像向右平移23π个单位后得：2c o s [()]136y x ππω=-++，所以由题意得：22,(),3,3k k Z k πωπω-=∈=-因为ω>0,所以min 3.ω= 考点：函数图像变换10．函数22sin 2sin cos cos ()y x x x x x R =--∈的单调递增区间为 ． 【答案】()5,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：因为22sin 2sin cos cos sin 2cos 2),4y x x x x x x x π=--=--=+所以由题意得：35222,(),,24288k x k k Z k x k πππππππππ+≤+≤+∈+≤≤+即单调递增区间为()5,88k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦考点：三角函数性质11．已知tan 3β=，则332sin 5cos 2cos sin cos βββββ+-的值为 ．【答案】-11 【解析】 试题分析：332sin 5cos 2cos sin cos βββββ+-32232322sin 5cos (sin cos )tan 5(tan 1)275(91)11.2cos sin cos 2tan 29ββββββββββ++++++====---- 考点：弦化切 12．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ． 【答案】1916【解析】 试题分析：25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin sin sin()cos ()62666x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=--+--=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21119sin()1sin ()1.6641616x x ππ=++-+=+-=考点：三角函数求值13．如图，设G 、H 分别为△ABC 的重心、垂心，F 为线段GH 的中点，若△ABC 外接圆的半径为1，则222AF BF CF++= ．【答案】3 【解析】试题分析：设外心为,O 则,,O G H 三点共线，且2,HG GO =所以,HF FG GO ==2222||||||2||AF OF OA OA OF OA OF =-=-⋅+,同理可得222||||2||BF OB OF OB OF =-⋅+，222||||2||CF OC OF OC OF =-⋅+,因此222222||||||||||||2()A FB FC F O A O B O C O F O A O B ++=++-⋅+++ 2232(3)3||333|| 3.OF OG OF OF OF OF =-⋅+=-⋅+=考点：向量表示14．已知x ，y 均为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，()222222cos sin 174x y x y θθ+=+，则xy的值为 ． 【答案】12【解析】试题分析：因为sin cos x y θθ=，所以2222sin cos ,x y θθ=，而22sin cos 1,θθ+=所以22222222sin ,cos ,x y x y x y θθ==++由()222222cos sin 174x y x y θθ+=+得2222174y x x y +=，因此224y x =或2214y x =∵x 、y 为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴1,.2x y x y >=考点：同角三角函数关系，消参数二、解答题15．如图在单位圆中，已知αβ、是坐标平面内的任意两个角，且0αβπ≤-≤，请写出两角差的余弦公式并加以证明.【答案】cos )cos cos sin sin αβαβαβ-=+（ 【解析】试题分析：利用向量数量积两种表示形式，即1212||||cos ,a b x x y y a b θ⋅=+=列等量关系. 设()()12cos ,sin ,cos ,sin .P P ααββ则1OP −−→=()cos ,sin αα,2OP −−→=()cos ,sin ββ, 因为1OP −−→⋅2OP −−→=cos cos sin sin αβαβ+，又因为1OP −−→⋅2OP −−→=1OP −−→⋅()2cos OP αβ−−→⋅-11=⋅⋅()cos αβ-=()cos αβ- 所以cos )cos cos sin sin αβαβαβ-=+（ 解：两角差的余弦公式为：cos )cos cos sin sin αβαβαβ-=+（ 6分证明：设()()12cos ,sin ,cos ,sin .P P ααββ则1OP −−→=()cos ,sin αα,2OP −−→=()cos ,sin ββ, 因为1OP −−→⋅2OP −−→=cos cos sin sin αβαβ+，又因为1OP −−→⋅2OP −−→=1OP −−→⋅()2cos OP αβ−−→⋅-11=⋅⋅()cos αβ-=()cos αβ-.所以cos )cos cos sin sin αβαβαβ-=+（. 14分 考点：利用向量数量积证明两角差的余弦公式16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1.AD C D ⊥ （1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）如果点E 是11B C 的中点，求证：1A E //平面1ADC .【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，关键证明线线垂直.已知1,AD C D ⊥，所以还需再找一组线线垂直. 11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面∴AD ⊥平面11BCC B .（2）证明线面平行，关键证明线线平行.本题有中点条件，所以从中位线寻找平行条件. 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.A D B C ⊥从而D 是BC中点.连接1,//.D ED E A A ===则1.A A D E ∴四边形是平行四边形∴1A E //.AD 111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC .证：（1）11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面1,AD C D ⊥又111,CC C D C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B . 7分(2) 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥ 从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //.AD 111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC . 14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理17．已知向量a =(cos λθ,cos(5)λθ-),b =(sin(5)λθ-,sin λθ),,R λθ∈ （1）求22a b +的值; （2） 若a b ⊥,求θ; （3） 若10πθ=,求证//a b .【答案】（1）2，（2）,.5k k z πθ=∈，（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）22a b +2222cos cos (5)sin (5)sin 2,λθλθλθλθ=+-+-+=（2）因为a b ⊥，所以()()()cos sin 5cos 5sin sin 5sin50,λθλθλθλθλθλθθ⋅-+-⋅=-+==⎡⎤⎣⎦ 5,.k k z θπ∴=∈,.5k k z πθ∴=∈（3）要证明//a b ，只需证明1221x y x y =. 10πθ=时，a =()cos,cos 5,1010ππλλ⎛⎫- ⎪⎝⎭b ()sin 5,sin 1010ππλλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 1cossinsin,101025πππλλλ⋅=()()()1cos 5sin 5sin 5101025πππλλλ-⋅-=-=11sin sin 2525πππλλ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴//a b .解：（1）22a b +=2 4分（2）()()()cos sin 5cos 5sin sin 5sin50,λθλθλθλθλθλθθ⋅-+-⋅=-+==⎡⎤⎣⎦,.5k k z πθ∴=∈ 9分 (3) 10πθ=时，a =()cos,cos 5,1010ππλλ⎛⎫- ⎪⎝⎭b ()sin 5,sin 1010ππλλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 1cossinsin,101025πππλλλ⋅=()()()1cos 5sin 5sin 5101025πππλλλ-⋅-=-=11sin sin 2525πππλλ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∴//a b . 14分考点：向量垂直与平行18．已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1,2a b =⎧⎨=⎩，（2）单调递减，（3） 2.k <- 【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义有()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-42222222x x x xab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b a b a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，（2）利用函数单调性定义证明函数()f x 的单调性，利用复合函数单调性法则判断函数单调性. 因为()11212xf x =-++，所以()y f x=是单调递减的. 设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的.（3）解抽象函数或复杂函数不等式，常利用函数奇偶性及单调性进行化简变形，()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <-解： （1）()(),f x f x -=-112222x x x x a a b b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b a b a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分 （2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的. 证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分考点：函数奇偶性及单调性19．已知向量(cos ,1)m x ω=，(3,sin )n x ω=（0ω>），函数()f x m n =⋅，且()f x 图象上一个最高点为P (,2)12π，与P 最近的一个最低点的坐标为7(,2)12π-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设a 为常数，判断方程()f x a =在区间[0,]2π上的解的个数；（3）在锐角ABC ∆中，若cos()13B π-=，求()f A 的取值范围.【答案】（1）()2sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）2a =或a ≤<2a ≤<时，方程两解；2a >或a <.（3）(.【解析】 试题分析：（1）求三角函数解析式，就是利用待定系数法，分别求出振幅、周期及初相. 由()f x m n =⋅得()sin 2sin ,3f x x πφφω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭7,.212122T T ππππ=-=∴=又2, 2.T πωω=∴=∴()2sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）方程()f x a =在区间[0,]2π上的解的个数就是直线y a =与曲线段()2sin 2,[0,]32f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭交点的个数.由图像知：2a =或a ≤<时，2a ≤<时，方程两解；2a >或a <方程无解.（3）求()f A 的取值范围，关键在于确定角A 的取值范围. 因为c o s ()13B π-=，所以3B π=,,0,.2262A B A A ππππ+><<∴<<∴242,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴()(sin 2.3f A A π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭（1）()2sin ,3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭7,.212122T T ππππ=-=∴= 又2, 2.T πωω=∴=∴()2sin 2.3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 4分（2）()2sin 2,3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[0,]2x π∈，().f x ⎤∴∈⎦，故有图像知()f x a =，所以2a =或a ≤<2a <时，方程两解；2a >或a <. 10分（3）3B π=,,0,.2262A B A A ππππ+><<∴<<∴242,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴()(sin 2.3f A A π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ 16分考点：三角函数解析式，三角函数图像20．已知圆C 通过不同三点()()(),0, 2.0,0,1M m N R ，且直线CM 斜率为1-, （1）试求圆C 的方程；（2）若Q 是x 轴上的动点，,QA QB 分别切圆C 于,A B 两点， ①求证：直线AB 恒过一定点; ②求QA QB −−→−−→⋅的最小值.【答案】（1）22560.x y x y +++-=（2）①详见解析，②75.2【解析】 试题分析：（1）求圆的方程，基本方法为待定系数法.本题已知三点，宜设圆的一般式. 设圆C：22220(40),x y Dx Ey F D E F ++++=+->2210,420,,1,222E D m EF D F D m-+++=++=-==---，1,5,6, 3.D E F m ∴===-=-（2）（1）证明切点弦恒过定点，关键将用参数表示切点弦方程，设()0,0Q x ，则过,,Q A B 三点的圆是以QC 为直径的圆. 设为圆()1015:022C x x x y y ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①又因为圆C ：22560x y x y +++-= ②，②-①得：11560222x x x y ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，∴102156022x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩∴15,.22x y =-=∴恒过定点15,.22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）求QA QB −−→−−→⋅的最小值，关键建立QA QB −−→−−→⋅函数关系式.本题设角为因变量，较为方便. 设2,AQB θ∠=则2,sin QA QB θθ−−→−−→==则QA QB −−→−−→⋅()22222cos 12sin 25cos 25cos 22sin 2sin θθθθθθ⋅-=⋅=⋅=()()2221sin 12sin 252sin θθθ-⋅-⋅=222512sin 32sin θθ⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭，则2s i n ,0,,2t πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭Q AQ B −−→−−→⋅25123,2t t⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当t =()min 25753.22QA QB −−→−−→⋅== （1）设圆C ：22220(40),x y Dx Ey F D E F ++++=+->则10420222212E F D F D m E D m ++=⎧⎪++=⎪⎪+-=⎪⎨⎪-⎪=-⎪⎪--⎩，1,5,6, 3.D E F m ∴===-=-即圆C ：22560.x y x y +++-=（也可以写成221525.222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5分（2）（1）设()0,0Q x ，则过,,Q A B 三点的圆是以QC 为直径的圆. 设为圆()1015:022C x x x y y ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭① 又因为圆C ：22560x y x y +++-= ②②-①得：011560222x x x y ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，∴102156022x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩∴15,.22x y =-=∴恒过定点15,.22⎛⎫- ⎪⎝⎭10分设2,AQB θ∠=则2,sin QA QB θθ−−→−−→==则 QA QB −−→−−→⋅()22222cos 12sin 25cos 25cos 22sin 2sin θθθθθθ⋅-=⋅=⋅ =()()2221sin 12sin 252sin θθθ-⋅-⋅=222512sin 32sin θθ⎛⎫⋅+- ⎪⎝⎭， 则2sin ,0,,2t πθθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭QA QB−−→−−→⋅25123,2t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当2t =时，()m in 2752252.22QA QB −−→−−→⋅== 16分 考点：圆的一般方程，圆的切点弦。

2022-2023学年江苏省连云港市新海高级中学高一上学期10月学情调研考试数学试题一、单选题1．命题“1x ∀>，都有2220x x -+≤”的否定是（ ） A ．1x ∃>，使得2220x x -+> B ．1x ∀>，都有2220x x -+> C ．1x ∀≤，使得2220x x -+> D ．1x ∃≤，使得2220x x -+>【答案】A【分析】根据全称命题的否定得解.【详解】根据全程命题的否定得：命题“1x ∀>，都有2220x x -+≤”的否定是： 1x ∃>，使得2220x x -+>， 故选：A.2．集合{}32A x x m =+>，若1A -∉，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m <- B ．1m >-C ．1m ≥-D ．1m ≤-【答案】C【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可． 【详解】∵集合{}32A x x m =+>，1A -∉， ∴()312m ⨯-+≤，即1m ≥-， 故选：C3．在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a ，宽为b ，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为（ ）A ．22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2aC ．2bD ．ab【答案】A【分析】根据题意结合基本不等式计算可得.【详解】由题知矩形周长为定值()2a b +，所以面积2S 2a b a b +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭=，当且仅当a b =时取“=”.故选：A.4．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}21,1,4A a =-，{}2,3UA a =+，则a 的值为（ ）A ．2±B ．C ．2-D ．2【答案】D【分析】根据集合A 及其补集情况分情况讨论即可.【详解】由已知得{}21,2,4,1,3a a U -+=，所以21335a a ⎧-=⎨+=⎩或21533a a ⎧-=⎨+=⎩，解得2a =， 故选：D.5．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．若a ，b 都是正数，且2a b +=，则411a b++的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B【分析】把2a b +=化成(1)3a b ++=，利用常数1的代换，将411a b++化成[]141()(1)31⨯++++a b a b，再利用基本不等式求出其最小值. 【详解】2a b +=，(1)3∴++=a b ， 由 a ，b 都是正数，则(1)0,0+>>a b ，[]411411411()(1)(5)(54)3131313+∴+=⨯+++=⨯++≥⨯+=+++b a a b a b a b a b ， 当且仅当411b a a b+=+，即1a b ==时等号成立； 所以411a b++的最小值是3. 故选：B.7．若“x M ∃∈，2||x x <”为真命题，“x M ∀∈，2x <”为假命题，则集合M 可以是（ ） A ．{}0x x < B ．{}01x x ≤≤ C ．{}13x x << D ．{}1x x ≤【答案】C【分析】由“x M ∀∈，2x <”为假命题，可得“x M ∃∈”， 2x ≥，为真命题，可知A ，B ，D 不正确，即可得出答案.【详解】若“x M ∀∈，2x <”为假命题，所以“x M ∃∈”， 2x ≥，为真命题， 所以A ，B ，D 不正确 ，排除A ，B ，D ． 故选：C ．二、多选题8．若,,a b c ∈R ，0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11a b> B ．2ab b < C ．a c b c>D ．()()2211a c b c +<+【答案】AD【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可．【详解】对于A ：因为0a b <<，所以110b aa b ab --=>，则11a b >，故A 正确； 对于B ：因为0a b <<，所以2ab b >，故B 错误； 对于C ：当0c =时，||||a c b c =，故C 错误；对于D ：由210c +>，0a b <<，可得()()2211a c b c +<+，故D 正确；故选：AD ．9．使不等式22530x x --+<成立的一个充分条件是（ ） A ．(],4-∞- B ．(],3-∞-C ．[)1,+∞D ．[)4,+∞【答案】ACD【分析】解出不等式的解集，转化为求解集的子集即可得解. 【详解】由22530x x --+<可化为22530x x +->， 可得(3)(21)0x x +->，解得3x <-或12x >， 故使不等式22530x x --+<成立的一个充分条件是1(,3)(,)2-∞-+∞的子集，因为[)1(,3)(,)4,2+∞∞⊆--+∞，(],4-∞-1(,3)(,)2⊆-∞-+∞,[)1,+∞1(,3)(,)2⊆-∞-+∞， 所以(],4-∞-,[)1,+∞,[)4,+∞是使不等式22530x x --+<成立的一个充分条件. 故选：ACD10．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则a c b d ->- B ．若a b >，且11a b>，则0ab < C ．若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+ D ．若0a b <<，则a b b a> 【答案】BCD【分析】利用赋值法、作差比较法及不等式的性质即可求解.【详解】对A ：取21a b =>=，12c d =>=-，则a c b d -<-，故选项A 错误； 对B ：因为a b >，110b aa b ab--=>，所以0ab <，故选项B 正确； 对C ：因为0a b >>，0c >，所以()()0c a b b c b a c a a a c -+-=>++，故选项C 正确； 对D ：因为0a b <<，所以0ab >，22a b >，所以220a b a b b a ab--=>，故选项D 正确. 故选：BCD.11．不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D ，下列四个命题中真命题是（ ）A ．(,),22x y D x y ∀∈+≥-B ．(,),22x y D x y ∃∈+≥C ．(,),23x yD x y ∀∈+≤ D ．(,),21x y D x y ∃∈+≤-【答案】AB【解析】作出不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的表示的区域D ，对四个选项分别画出的平面区域与区域D 逐一分析即可,注意对全(特)称命题的理解. 【详解】作出图形如下：由图知，区域D 为直线1x y +=与24x y -=相交的上部角型区域，A ：区域D 在22x y +≥-区域的上方，故1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-成立；B ：在直线22x y +=的右上方和区域D 重叠的区域内，(,),22x y D x y ∃∈+≥，故2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥正确；C ：由图知，区域D 有部分在直线23x y +=的上方，因此3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤错误；D ：21x y +≤-的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D 下方，故4p ：(,),x y D ∃∈21x y +≤-错误；故选：AB ．【点睛】本题考查在不等式(组)表示平面区域背境下的全(特)称命题真假的判断. 全(特)称命题真假的判断方法：(1)全称命题:要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值0x x =，使0()p x 不成立即可.(2)特称命题:要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则这一特称命题就是假命题.12．设集合M 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对0a ∀>，x M ∃∈，且0x x ≠，使得0a x x >-成立，则称0x 为集合M 的核心点，则在下列集合中，以1为核心点的集合有（ ） A ．{}R,0x x x ∈≠B ．{}Z 0x x ∈≠C ．*1=,N x x n n ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．*=,N +1nx x n n ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】AD【分析】由集合的核心点的定义，逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合的核心点的定义，进而得到答案．【详解】对于A ，对0a ∀>，存在{}1|R,02a x x x ⎛⎫+∈∈≠ ⎪⎝⎭，且112a +≠，使得112a a ⎛⎫>+- ⎪⎝⎭，故1为集合{}|R,0x x x ∈≠的核心点；对于B ，对0.3a =，不存在{Z0}x x x ∈∈≠∣，且1x ≠，使得0.3>1x -即0.7 1.3x <<成立，故1不是集合{}Z|0x x ∈≠的核心点；对于C ，对0.01a =，不存在*1=,N x x x n n ∈∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭，且1x ≠，使得0.01>1x -即0.99 1.01x <<成立，故1不是集合*1=,N x x n n ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭的核心点；对于D ，对0a ∀>，存在11n a>-且*n ∈N ，使得1a x >-即1111n a n n >-=++成立，故1为集合{x *=,N +1nx x n n ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭的核心点， 故选：AD ．三、填空题13．能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 【答案】1?,1-（答案不唯一） 【详解】分析：举出一个反例即可． 详解：当11a b =>=-时，1111a b=<=-不成立， 即可填1,1-．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．14．若R x ∀∈，()()2214130k x k x -+-+>恒成立，则实数k 的取值范围是______．【答案】[)1,7【分析】构造函数()()22141()3k x k x f x -+-+=，利用函数的图象与x 轴交点情况，应用判别式即可求出实数k 的取值范围．【详解】设函数()()22141()3k x k x f x -+-+=，由题意知关于x 的不等式()()2214130kx k x -+-+>的解集为R ，所以对任意的x 属于R ，都有()0f x >；当1k ≠±时，函数()f x 是关于x 的抛物线，抛物线必开口向上，且与x 轴无交点；应满足22210Δ16(1)12(1)0k k k ⎧->⎨=---<⎩， 解得17k <<；当1k =时，()3f x =，满足()0f x >；当1k =-时，()83f x x =+，不满足()0f x >恒成立； 综上知，k 的取值范围是[)1,7． 故答案为：[)1,7．15．若不等式()0432<-+-b a x b a 的解集是{}1x x >，则不等式()4230a b x a b -+->的解集是______． 【答案】1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】根据题意得到1x =是方程()2340a b x a b -+-=的根，求得a b =且0a <，进而化简不等式()4230a b x a b -+->，即可求解.【详解】因为不等式()0432<-+-b a x b a 的解集是{}1x x >， 所以1x =是方程()2340a b x a b -+-=的根，且20a b -<， 即()21340a b a b -⨯+-=，且20a b -<，可得0a b =<， 则不等式()4230a b x a b -+->可化为30ax a +<， 因为0a <，解得13x >-，即不等式()4230a b x a b -+-<的解集为1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.16．若0a >，0b >，且点(),a b 在反比例函数1y x=的象上，则221116ab a b ab a b+++的最小值是______． 【答案】8【分析】由题意可得1ab =，代入化简得到原式为16+++a b a b，利用基本不等式求出结果.【详解】点(),a b 在反比例函数1y x=的象上，1b a∴=，即1ab =， 0a >，0b >，0a b ∴+>221116111616168+∴++=++=+=++≥++++ab a b a b a b ab a b a b a b ab a b a b， 当且仅当16+=+a b a b时取等号， 221116ab a b ab a b+++的最小值是8. 故答案为：8四、解答题17．已知集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}140,Z B x x x x =+-<∈． (1)求A B ；(2)列举A B 的所有子集． 【答案】(1){}0,1,2,3,4,5(2)∅，{}1，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，{}1,2,3【分析】（1）解不等式并用列举法表示集合B ，进而可得A B ； （2）根据集合A 与B ，写出A B ，进而可得其所以子集.【详解】(1)由()(){}{}140,Z 0,1,2,3B x x x x =+-<∈=，{}1,2,3,4,5A =， 所以{}0,1,2,3,4,5A B =； (2)由（1）得{}1,2,3A B =，所以A B 的子集有：∅，{}1，{}2，{}3，{}1,2，{}1,3，{}2,3，{}1,2,3.18．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=．(1)若方程无实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程有两个小于1-的实数根，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)(1,9)； (2)[9,)+∞.【分析】（1）一元二次方程无实根则判别式小于0即可得解；（2）若此方程有两个根均在(,1)-∞-，利用根的分布列出不等式组即求实数m 的取值范围．【详解】(1)因为方程()230x m x m +-+=无实数根，所以2(3)40m m ∆=--<，解得19m <<， 即实数m 的取值范围为(1,9).(2)设()()23f x x m x m =+-+,由题意则需2312Δ(3)40(1)0m m m f -⎧-<-⎪⎪=--≥⎨⎪->⎪⎩，解得9m ≥，故m 的取值范围为[9,)+∞.19．设全集U =R ，在下列三个条件中①A B A =；②“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；③RAB =∅任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合{}22210A x x ax a =-+-<，()(){}130B x x x =+-≤．(1)当2a =时，求A B ；(2)若______，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}|13x x -≤≤； (2)[]0,2.【分析】（1）化简集合A 与B 之后求并集；（2）选择①②③条件后，先判断集合A 与B 的关系，再根据集合的关系列出不等式组,求a 的取值范围.【详解】(1)当2a =时，集合{}2430A x x x =-+<={}|13x x ≤≤，{}|13B x x =-≤≤，所以{}|13A B x x ⋃=-≤≤；(2){}{}22210|11A x x ax a x a x a =-+-<=-≤≤+，若选择①A B A =，则A B ⊆， 因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅， 又{}|13B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2．若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ， 因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅， 又{}|13B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩且等号不同时成立，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2． 若选择③，RAB =∅，则A B ⊆因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅， 又{}|13B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,2．20．已知实数0x >，0y >，且满足0xy x y --=． (1)求xy 的最小值；(2)对任意的0x >，0y >，均有284a a x y -≤+成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)4 (2)19a -≤≤【分析】（1）由已知得xy x y =+，根据基本不等式计算得解；（2）对任意的0x >，0y >，均有284a a x y -≤+成立，只需()2min 84a a x y -≤+，由已知得111x y+=，根据“1”的代换求4x y +的最小值，继而得解. 【详解】(1)实数0x >，0y >，由0xy x y --=得xy x y =+，根据基本不等式得x y +≥xy ≥，所以4xy ≥，当且仅当2x y ==时取“=”，所以 xy 的最小值为4.(2)对任意的0x >，0y >，均有284a a x y -≤+成立，只需()2min 84a a x y -≤+，由0xy x y --=得xy x y =+，即111x y+=， ()11444414559x y x y x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当求4x y y x xy x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，即332x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时取“=”， 289a a -≤，解得19a -≤≤．21．某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用λ（万元）和病房与药物仓库的离x （千米）的关系为：()700391λ=+<≤+k x x x ．若距离为1千米时，隔离病房建造费用为90万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需18万元，铺设路面每千米成本为2万元，设y 为建造病房与修路费用之和．(1)求y 的表达式：(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用y 最小?并求出最小值．【答案】(1)200721891y x x =+++ (2)当隔离病房与药物仓库距离为49千米时，可使得总费用y 最小为90万元.【分析】（1）由已知得当1x =时，90λ=，代入可得k ，则218y x λ=++；（2）利用基本不等式求最值即可.【详解】(1)由已知得当1x =时，90λ=，代入可得90701911k =+⨯⨯+，解得200k =， 所以()200700391x x x λ=+<≤+， 所以总费用()20021872180391y x x x x λ=++=++<≤+；(2)由（1）得()20072180391y x x x =++<≤+，所以()20072810109091y x x =+++≥=+（万元）， 当且仅当20072891x x =++，即49x =时，等号成立， 所以当隔离病房与药物仓库距离为49千米时，可使得总费用y 最小为90万元. 22．已知二次函数()20y ax bx c a =++>，不等式()241x y x -≤≤-对x ∈R 恒成立． (1)求a b c -+的值；(2)若该二次函数图象与x 轴有且只有一个交点①求实数a ，b 的值；②解关于x 的不等式()214y m x x >+-．【答案】(1)4；(2)①1,2a b ==- ②见解析.【分析】（1）根据24(1)x x -=-求出1x =-，代入不等式即可得解；（2）①利用4x y -≤恒成立，可知判别式小于等于0，再由二次函数图象与x 轴有且只有一个交点知其判别式等于0，联立即可得解；②对m 分类讨论，当不等式为二次不等式时再结合对应函数的开口方向及判别式求解即可.【详解】(1)因为()241x y x -≤≤-对x ∈R 恒成立，令24(1)x x -=-，解得1x =-，所以当1x =-时，44a b c ≤-+≤，即4-+=a b c .(2)①因为4x y -≤恒成立，即()2(4)00ax b x c a +++≥>恒成立， 所以222(4)4()4()0b ac a c ac a c ∆=+-=+-=-≤，所以a c =，24b a =-，因为二次函数图象与x 轴有且只有一个交点，所以240b ac ∆=-=，即22(24)40a a --=，解得1a =，所以2b =-.②由①知，221y x x =-+，所以()214y m x x >+-即为2210mx x --<，当0m =时，不等式为210x --<，解得12x >-，当0m >时，440m ∆=+>恒成立，由2210mx x --=解得1x =2x =2210mx x --<的解为12x x x <<， 当0m <时，440m ∆=+>时，即10m -<<时，由2210mx x --=解得1x =2x = 所以2210mx x --<的解为2x x <或1x x >. 当440m ∆=+=时，即1m =-时，由2210mx x --=解得1x =-， 所以2210mx x --<的解为1x ≠-.当440m ∆=+<时，即1m <-时，2210mx x --=无解， 所以2210mx x --<的解为R x ∈.综上，0m =时，1(,)2x ∈-+∞，0m >时，x ∈⎝⎭，10m -<<时，11x m ⎛⎛⎫-+∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1m =-时，()(),11,x ∈-∞--+∞，1m <-时，R x ∈.。

2013届高三上册数学学情调研试卷(含答案)(鎬诲垎160鍒嗭紝鑰冭瘯鏃堕棿120鍒嗛挓) ч鍏?45鍒嗭紝璁?0鍒?. 1.宸茬煡鍏ㄩ泦,闆嗗悎, ,鍒?= 鈻?. 2.宸茬煡澶嶆暟鐨勫疄閮ㄤ负,铏氶儴涓?,鍒?( 涓鸿櫄鏁板崟浣?鐨勬ā涓?鈻?. 3.В璇ユ牎1200鍚嶇敺鐢熺殑鐧剧背鎴愮哗锛堝崟浣嶏細绉掞級锛岄殢鏈洪€夋嫨浜?0?50鍚嶅?鏍规嵁鏍锋湰??200?锛堝崟浣嶏細绉掞級鍐呯殑浜烘暟澶х害鏄?鈻?. 4.宸茬煡寮犲崱鐗囷紙澶у皬,鏈?, , , ,浠庝腑浠诲彇涓ゅ紶,у彿鐮佹槸3鐜?涓?鈻?. 5.?鍒欒緭鍑虹殑鈻?. 6.宸茬煡鍚戦噺, 鑻?,鍒欏疄鏁?= 鈻?. 7.宸茬煡鏁板垪?鍏跺墠椤瑰拰涓?,鑻?,鍒?鐨勪綑寮﹀€间负鈻?. 8.璁?涓轰袱鏉′笉閲嶅悎鐨勭洿绾匡紝鈶犺嫢,鍒?锛?鈶¤嫢锛屽垯锛?鈶㈣嫢鍒?锛?鈶ｈ嫢鍒?. 鍏朵腑,鎵€鏈夌湡鍛介鈻?. 9.宸茬煡鍑芥暟, 婊¤冻, , , ,鍒欏嚱鏁?鐨勫浘璞″湪澶勭殑鍒囩嚎鏂圭▼涓?鈻?. 10.鍦?涓? , ,鍒?鈻?. 11.鍜屽渾,鑻?涓婂瓨鍦ㄧ偣,浣垮緱杩囩偣寮曞渾鐨勪袱鏉″垏绾?鍒囩偣鍒嗗埆涓?,婊¤冻,鍒欐き鍦?鈻?. 12.璁?,鍏朵腑涓鸿繃鐐?鐨勭洿绾?鐨勫€炬枩瑙?鑻ュ綋鏈€澶ф椂,鐩寸嚎鎭板ソ涓庡渾鐩稿垏,鍒?鈻?. 13.宸茬煡鍑芥暟鎭版湁涓や釜涓嶅悓鐨勯浂鐐?鍒欏疄鏁?鐨勫彇鍊艰寖鍥存槸鈻?. 14.宸茬煡瀵逛簬浠绘剰鐨勫疄鏁?,鎭掓湁鈥滃綋鏃?閮藉瓨鍦?婊¤冻鏂圭▼鈥?鍒欏疄鏁?鐨勫彇鍊兼瀯鎴愮殑闆嗗悎涓?鈻?.浜屻€佽Вч?90鍒?瑙ｇ瓟搴斿啓鍑哄繀瑕啓鍦ㄧ瓟棰樼焊鐨勬寚瀹氬尯鍩熷唴. 15锛??4鍒? 宸茬煡瑙?銆?銆?鏄?鐨勫唴瑙掞紝瀵硅竟闀匡紝鍚戦噺锛?锛?. (1)鐨勫ぇ灏忥紱(2)鑻?,姹?鐨勯暱.16锛??4鍒? 濡傚浘锛屽湪鍥涢潰浣?涓? , 鏄?鐨勪腑鐐癸紟(1)姹傝瘉: 骞抽潰锛?(2)璁?涓?鐨勯噸蹇? ?涓婁竴鐐?涓?. 姹傝瘉: 骞抽潰. 17锛??4鍒? 濡傚浘,?鍧囧彲鐪嬫垚鐐?鍒嗗埆浣嶄簬涓夌偣澶? , 鍒扮嚎娈?鐨勮窛绂?, (鍙傝€冩暟鎹? ). 浠婅,涓烘柟渚胯繍杈?()涓? (1) 璁?,璇曞皢€?琛ㄧず涓?鐨勫嚱鏁?骞舵眰鐨勬渶灏忓€硷紱(2) 璁?,璇曞皢鍒颁笁涓琛?绀轰负鐨勫嚱鏁?骞剁‘瀹氬綋鍙栦綍鍊兼椂,鍙鏈€灏?18锛??6鍒? 濡傚浘, ?鐨勫乏銆佸彸椤剁偣,?,鍙冲噯绾?鐨勬柟绋嬩负. (1)姹傛き鍦嗘柟绋嬶紱(2)璁?き鍦?涓婂紓浜?鐨勪竴鐐?鐩寸嚎浜?浜庣偣,浠??. 鈶犺嫢?鐨勪笂椤剁偣,姹??鎵€寰楃殑寮﹂暱;涓庣洿绾?浜や簬鐐?,璇曡瘉鏄?鐩寸嚎涓?杞寸殑浜ょ偣涓哄畾鐐?骞舵眰璇ュ畾鐐圭殑鍧愭爣. 19锛??6鍒? 宸茬煡鏁板垪?鏁板垪??,閮芥湁. (1)鑻?4, 鍏?,姹傛暟鍒?鐨勫墠椤瑰拰; (2)鑻?. 鈶犳眰鏁板垪涓?; 鈶¤瘯鎺㈢┒:鏁板垪?瀹冨彲浠ヨ〃绀轰负璇ユ暟鍒椾腑鍏跺畠椤圭殑鍜岋紵鑻ュ瓨鍦?,璇疯20锛??6鍒? 宸茬煡鍑芥暟,鍏朵腑. (1) 褰?鏃?姹傚嚱鏁?鍦?澶勭殑鍒囩嚎鏂圭▼; (2) 鑻ュ嚱鏁?鍦ㄥ尯闂?1,2)?璇曟眰鐨勫彇鍊艰寖鍥? (3) 宸茬煡,濡傛灉瀛樺湪,浣垮緱鍑芥暟鍦?澶勫彇寰楁渶灏忓€?璇曟眰鐨勬渶澶у€? 楂樹笁骞寸骇瀛︽儏璋冪爺鑰冭瘯(鎬诲垎40鍒嗭紝鑰冭瘯鏃堕棿30鍒嗛挓) 21锛嶽閫夊仛棰榏鍦2棰?姣忓皬棰?0鍒?璁?0鍒?璇锋妸? A.锛堥€変慨4鈥?锛氬嚑浣曡瘉?鍦ㄧ洿瑙掍笁瑙掑舰涓? 鏄?杈逛笂鐨勯珮, , , 鍒嗗埆涓哄瀭瓒?姹傝瘉锛?.B锛庯紙閫変慨4鈥?锛氱煩闃典笌鍙樻崲锛?宸茬煡鏇茬嚎,鐜板皢鏇茬嚎缁曞潗鏍囧師鐐归€嗘椂閽堟棆杞?,姹傛墍寰楁洸绾?鐨勬柟绋? C锛庯紙閫変慨4鈥?锛氬潗鏍囩郴涓庡弬鏁版柟绋嬶級鍦ㄦ瀬鍧愭爣绯讳腑,宸茬煡鍦?鐨勫渾蹇冨潗鏍囦负,鍗婂緞涓?,璇曞啓鍑哄渾鐨勬瀬鍧愭爣鏂圭▼.D.锛堥€変慨4鈥??宸茬煡?. [蹇呭仛棰榏绗?2銆?3棰?姣忓皬棰?0鍒?璁?0鍒?哥殑鎸囧畾鍖哄煙鍐? 22.濡傚浘,鍦ㄥ洓妫遍敟涓? 鈯ュ簳闈?,搴曢潰褰? , , ,鐐?鍦ㄦ１涓?涓?锛?(1)姹傝瘉锛氬钩闈?鈯ュ钩闈?锛?(2)姹傚钩闈?鍜屽钩闈?鎵€鎴愰攼浜岄潰瑙掔殑浣欏鸡鍊硷紟23.宸茬煡鏁板垪婊¤冻,璇曡瘉鏄? (1)褰?鏃?鏈?锛?(2) . 2013灞婇珮涓夊勾绾у傝€冪瓟妗?鍙?锛?,鍒欑敱姝ｅ鸡瀹氱悊,寰?= ,鍗?4 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?16锛庤瘉鏄?(1)鐢?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?3鍒?鍚岀悊锛?,鍙堚埖, 骞抽潰,鈭?骞抽潰鈥︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?(2)杩炴帴AG骞跺欢闀夸氦CD浜庣偣O,杩炴帴EO.鍥犱负G涓?鐨勯噸蹇?鎵€浠?, 鍙?,鎵€浠?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?1鍒?鍙?, ,鎵€浠?骞抽潰鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?1鍒?鍥犱负,浠?,鍗?,浠庤€?, 褰?鏃? ;褰?鏃? . 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?鍙堢洿绾?鐨勬柟绋嬩负,鏁呭渾蹇冨埌鐩寸嚎鐨勮窛绂讳负鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?浠庤€??鎵€寰楃殑寮﹂暱涓?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?鈶¤瘉:璁?,鍒欑洿绾?鐨勬柟绋嬩负,鍒欑偣P鐨勫潗鏍囦负, 鍙堢洿绾?鐨勬枩鐜囦负,鑰?,鎵€浠?, 浠庤€岀洿绾?鐨勬柟绋嬩负鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?3鍒?浠?,寰楃偣R鐨勬í鍧愭爣涓?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?4鍒?鍙堢偣M 鍦ㄦき鍦嗕笂,鎵€浠?,鍗?,鏁?, 鎵€浠ョ洿绾?涓?杞寸殑浜ょ偣涓哄畾鐐?涓?璇ュ畾鐐圭殑鍧愭爣涓?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?19.瑙? (1)鍥犱负,鎵€浠ュ綋鏃? ,涓ゅ紡鐩稿噺,寰?, 鑰屽綋鏃? ,閫傚悎涓婂紡,浠庤€?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍙堝洜涓?4,?鐨勭瓑姣旀暟鍒?鍗?,鎵€浠?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?浠庤€屾暟鍒?鐨勫墠椤瑰拰鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?(2),鍒?,鎵€浠?, 璁?鐨勫叕姣斾负,鍒?瀵逛换鎰忕殑鎭掓垚绔?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍗?瀵逛换鎰忕殑鎭掓垚绔? 鍙?,鏁?,涓?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?浠庤€?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?1鍒?鈶″亣璁炬暟鍒?k椤瑰彲浠ヨ〃绀轰负璇ユ暟鍒椾腑鍏跺畠椤?鐨勫拰,鍗?,浠庤€?,鏄撶煡(*)鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€?3鍒?鍙?, 鎵€浠?,姝や笌(*)鐭涚浘,浠庤€岃繖鏍风殑椤逛笉瀛樺湪鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?20锛庤В:(1)褰?鏃? ,鍒?,鏁?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍙堝垏鐐逛负,鏁呮墍姹傚垏绾挎柟绋嬩负,鍗?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?(2), 鍦ㄥ尯闂?1,2)涓婃湁涓嶉噸澶嶇殑闆剁偣, 鐢?,寰?,鍥犱负,鎵€浠?鈥︹€︹€︹€︹€?鍒?浠?,鍒?,鏁?鍦ㄥ尯闂?1,2)涓婃槸澧炲嚱鏁? 鎵€浠ュ叾鍊煎煙涓?,浠庤€?鐨勫彇鍊艰寖鍥存槸鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?(3) , 鐢瀵?鎭掓垚绔?鍗?瀵?鎭掓垚绔?鍗?鎭掓垚绔?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?1鍒?褰?鏃?鈶犲紡鏄剧劧鎴愮珛; 褰?鏃?鈶?鈶? 浠?,?鎵€浠?鈥︹€︹€︹€︹€?3鍒?鍗?,鍏剁瓑浠蜂簬鈶?, 鍥犱负鈶㈠湪鏃舵湁瑙?鎵€浠?,瑙ｅ緱, 浠庤€?鐨勬渶澶у€间负鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?6鍒?闄勫姞棰?21锛庯紙A锛夎瘉鏄庯細涓虹洿瑙掍笁瑙掑舰, , 鈭?鈭?鈭?鈭?鈭?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?, , , , 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?0 鍒?B锛庤В锛氾紙1锛夌敱鏃嬭浆鍧愭爣鍏鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?寰楀彉鎹㈠叕寮忎负锛屼唬鍏ュ緱鏇茬嚎鐨勬柟绋嬩负鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?C 锛庤В涓婁换涓€鐐?鐢变綑寮﹀畾鐞?寰?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鏁寸悊寰楀渾鐨勬瀬鍧愭爣鏂圭▼涓?鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?D.璇佹槑锛?, 鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?鍚岀悊, , ,涓夊紡鐩稿姞锛屽緱鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?0鍒?23锛庤瘉鏄庯細(1) 褰?鏃? , 鎵€浠ヤ笉绛夊紡鎴愮珛鈥︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€︹€?鍒?(2)。

江苏省东海高级中学高三理科数学阶段检测题（10.27）一、填空题（每小题5分，共70分）1、设集合A ={}{}21,2,3,2,3B a a -=++，若{}3A B ⋂=,则实数a 的值为 . 2、若α角与85π角终边相同，则在[0,2]π内终边与4α角终边相同的角是 . 3、若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ,则它在A 点处的切线的斜率为 .4、已知函数()()()2,125,1x ax x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若()()20f f =，则实数a = . 5、已知1sin sin 3x y +=，则2sin cos y x -的最大值为 . 6、已知2tan sin 3,02πααα⋅=-<<，则cos()6πα-的值是 . 7、已知集合(){}21,A x x a a x a R =+≤+∈，若A 中的所有的整数元素和为28，则a 的取值范围是 .8、已知命题p：()f x =在(]0,∞-∈x 上有意义，命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围 ．9、已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()0,()232f f ππ==，则实数ω的最小值为 .10、设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 在[0,]2π上单调 ，在[,]2ππ上单调 . 11、已知函数()()()[]2222,1,1xxf x aa x -=-++∈-.关于x 的方程()22f x a =有解，则实数a 的取值范围是 _____ .12、 已知函数323y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为______. 13、已知函数()f x =，则其最大值为 .14、已知函数()f x 定义在[](),2D m m m =->上且()0f x >，对于任意实数,,x y x y +,D ∈都有()()(),fxy f x fy +=且()11006f =，设函数()()()()()()21100611f x f x f x g x f x f x ++++=-+的最大值和最小值分别为M 和N ,则M N += .二、解答题15、(本小题14分)已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.（1）求函数()f x 的表达式；（2）若2sin ()3f αα+=，求)141tan παα-++的值.16、（本小题14分）已知二次函数()()21,f x x mx m Z =++∈ 且关于x 的方程()=2f x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根.⑴求()f x 的解析式.⑵若[]2,x t ∈总有()52f x x -≤成立，求t 的最大值.17、（本小题14分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点(,)B B B x y ，设∠（1）用β表示α；α（2）如果4sin 5β=，求点(,)B B B x y 的坐标； （3）求B B x y -的最小值.18、（本小题16分）如图，在半径为R 、圆心角为3π的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF ，并且EP 与AOB ∠的平分线OC 平行，设POC θ∠=．（1）试写出用θ表示长方形EPQF 的面积()S θ的函数； （2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问 当矩形EPQF 的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组 成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．19、（本小题16分）设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈（1）设2n >，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间3,15⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）设n 为偶数，(1)1n f -≤，(1)1n f ≤，求c b +3的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|9f x f x -≤，求b 的取值范围；20、（本小题16分）设函数()(1)()()f x x x x a a R =--∈,()f x 的两个极值点为(,()),(,()A fB f ααββ, 线段AB 的中点为M .(1) 如果函数()f x 为奇函数,求实数a 的值;当2a =时，求函数()f x 图象的对称中心； (2) 如果M 点在第四象限,求实数a 的范围;(3) 证明:点M 也在函数()f x 的图象上,且M 为函数()f x 图象的对称中心.答案一、填空题1、1；2、29719,,,510510ππππ；3、41；4、1；5、49； 6、0； 7、[)8,7； 8、1(,](1,)2-∞+∞；9、3； 10、递减，递增； 11、(][)+∞⋃-∞-,22,； 12、2； 13、2； 14、2012.二、解答题15、解：（1）∵()f x 为偶函数， ∴sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，即2sin cos 0x ωϕ=恒成立，∴cos 0ϕ=，又∵0,2πϕπϕ≤≤∴=.………………………………5分又其图象上相邻对称轴之间的距离为,2,1,()cos T f x x ππω∴=∴=∴=.…………7分 （2）∵原式sin 2cos 212sin cos 1tan ααααα-+==+，又∵2s i n c o s3αα+=，∴412s i n c o s 9αα+=,即52sin cos 9αα=-，故原式=59- …………………………………14分 16、解：（1）由()=2f x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根，即()()2210g x f x x mx =-=+-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根，()301021322g g m ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩()3823m m Z ⇒<<∈ 2m ⇒= 从而()221f x x x =++ ………7分 （2） 由 ()52f x x -≤ ，得 21016028x x x -+≤⇒≤≤而当[]2,x t ∈总有()52f x x -≤成立，max 8t = ………14分 17 、解：(1)如图βπαβππα223,22-=∴-=-=∠AOB . ………………………………5分（2）由s i n Byrα=，又1=r ,得3sin sin(2)2B y παβ==-2571)54(21sin 22cos 22=-⋅=-=-=ββ. 由钝角α，知24cos ,25B x α==- )257,2524(-∴B (10)分（3）【法一】)4cos(2sin cos πααα+=-=-B B y x ， 又)45,43(4),,2(πππαππα∈+∈，⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+22,1)4cos(πα, B B y x -∴的最小值为2- (14)分【法二】α为钝角，1,0,022=+><∴B B B B y x y x ,)(B B B B y x y x +--=-，2)(2)(222=+≤+-B B B B y x y x ,2-≥-∴B B y x , B B y x -∴的最小值为2-. ……………………………………………………………………14分18、解：（1）由条件得sin ,cos cos sin tan6CP CP R EP R R θθθθπ==-=，从而()2sin (cos sin )S R R θθθθ=-.……………………………………4分 （2）由（1）得222()[sin 2cos 2)]2sin(2)3S R R πθθθθ=-=+-，所以当232ππθ+=时，即,()12S πθθ=取得最大值，为2(2R -.…………………7分此时2sin122EF R R π==，cos sin 12122EP R R ππ-=-=， 所以EPQF 为正方形，依题意知制成的圆柱底面应是由EF 围成的圆，从而由周长22r EF R π-==，得其半径为0.0844R R π≈.……………11分 另一方面，如图所示，设圆与OA 边切于点H ，连结GE GHGA 、、，EA OA OE =-=.设两小圆的半径为GH r =，则(2tan12r EH r π==+，且AH r >，从而(2,r r R ++<所以0.10r R <≈，因0.0840.10R R <，所以能作出满足条件的两个圆.此时圆柱的体积38R V π-=.……………16分19、解：（1）由2n >，1,1b c ==-，得()1n n f x x x =+-()'110n n f x nx -=+>对3,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，从而()1n n f x x x =+-在3,15⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，PGHAE又()110n f =>，233232055555n n f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()n f x 在区间3,15⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点. ………4分 （2）因为 (1)111102n f b c b c -≤⇒-≤-+≤⇒≤-≤ (1)120n f b c ≤⇒-≤+≤ 由线性规划max min (3)2,(3)4,b c b c +=+=-（或()()[]324,2b c b c b c +=-++∈-，max min (3)2,(3)4,b c b c +=+=-）………8分 （3）当2n =时，()22f x x bx c =++（Ⅰ）当2b ≥或2b ≤-时，即12b -≤-或12b-≥，此时 只需满足()()2299112922f f b b --=≤⇒-≤≤，从而99,22,22b ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（Ⅱ）当02b ≤<时，即102b-<-≤，此时 只需满足()2222119242b b b f f b c c ⎛⎫⎛⎫--=++--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24320b b +-≤解得：84b -≤≤， 从而[)0,2b ∈ （Ⅲ）当20b -<<时，即012b<-<，此时 只需满足()2222119242b b b f f b c c ⎛⎫⎛⎫---=-+--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24320b b --≤ 解得：48b -≤≤ 从而()2,0b ∈- 综上所述：99,22b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦………16分 20 、解：（1）【法一】因为()f x 为奇函数，所以(1)(1f f -=-, 得：1(11)(1)0a a -⋅----=⇒=-. 当1a =-时，2()(1)(1)(1)f x x x x x x =-+=-，有()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数. ………4分【法二】32()(1)f x x a x ax =-++,()()f x f x -=-恒成立，3232()(1)(1)x a x ax x a x ax --+-=-++-, 求得1a =-.当2a =时，()(1)(2)f x x x x =--，该图象可由奇函数()(1)(1)f x x x x =+-的图象向右平移一个单位得到， 可知函数()(1)(2)f x x x x =--图象的对称中心为（1，0）. ………4分 （2）'2()32(1)f x x a x a =-++,令'2()32(1)0f x x a x a =-++=，则βα,为232(1)0x a x a -++=两实根.2(1)3a αβ+∴+=,3aαβ⋅=. =+2)()(βαf f 32321(1)(1)2a a a a αααβββ⎡⎤-+++-++⎣⎦ =()[][]{})(2)()1(3)(2122βααββααββαβα++-++--++a a =32(1)(1)(1)(2)(21)27327a a a a a a +++---+=-, 点)2)()(,2(βαβαf f M ++在第四象限,得：0,10,(1)(21)(2)0,a a a a ∆>⎧⎪+>⎨⎪+-->⎩2a ⇒>或112a -<<. ……………10分 （3）由（2）得点1(1)(2)(21)(,)327a a a a M ++---， 又3213231311313131a a a a a a a a f -⋅-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-++=⎪⎭⎫⎝⎛+ =27)12)(2)(1(--+-a a a ，所以点M 也在函数()f x 的图象上. ……………12分【法一】设),(00y x P 为函数()f x 的图象上任意一点，),(00y x P 关于M 的对称点为)27)12)(2)(1(2,3)1(2(00y a a a x a Q ---+--+而)3)1(2()3)1(2)(1()3)1(2()3)1(2(020300x a a x a a x a x a f -++-++--+=-+ =3200002(1)(2)(21)2(1)(2)(21)(1)2727a a a a a a x a x ax y +--+----++-=--.即)27)12)(2)(1(2,3)1(2(00y a a a x a Q ---+--+在函数()(1)()f x x x x a =--的图像上.所以，M 为函数()f x 的对称中心. ………………………………………16分【法二】设1(1)(2)(21)()()327a a a a g x f x ++--=++111(1)(2)(21)()(1)()33327a a a a a a x x x a ++++--=++-+-+1212(1)(2)(21)()()()33327a a a a a a x x x +--+--=++++ 32121212212112()()333333333a a a a a a a a a x x x +--+---+-=++++⋅+⋅+⋅ 1212(1)(2)(21)33327a a a a a a +--+--+⋅⋅+ 321(1)3x a a x =--+. 1(1)(2)(21)()()327a a a a g x f x ++--∴=++为奇函数， 对称中心为(0,0)O . 把函数1(1)(2)(21)()()327a a a a g x f x ++--=++的图象按向量 1(1)(2)(21)(,)327a a a a OM ++--=-平移后得()f x 的图象， 1(1)(2)(21)(,)327a a a a M ++--∴- 为函数()f x 的对称中心. ……………16分。

江苏省新海高级中学2013-2014学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷命题人: 杨善安 霍小伟 2014.5.8一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.与2014︒终边相同的最小正角是 ▲ ．2.已知角α的终边经过点P (3，-4)，则sin α－2cos α的值是 ▲ ．3.已知=（-3，2），=（-1，0），向量a b λ+与2a b -垂直，则实数的值为 ▲ ． 4.已知正△ABC 的边长为1，则=⋅+⋅+⋅−→−−→−−→−−→−−→−−→−AB CA CA BC BC AB ▲ ． 5. 若(sin )sin 3,f x x =则(cos75)f = ▲ ．6. 已知2,1==b a ，若b a ,的夹角为060，则b a +2= ▲ ．7. 一个正三棱锥的高和底面边长都为a ，则它的侧棱和底面所成角= ▲ ． 8. 已知函数()524ln ---=x x y , 则此函数的定义域为 ▲ ． 9.设ω>0,函数y=cos(ωx+6π)+1的图像向右平移23π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是 ▲ ．10. 函数)(cos cos sin 2sin 22R x x x x x y ∈--=的单调递增区间为 ▲ ． 11.已知3tan =β，则332sin 5cos 2cos sin cos βββββ+-的值为 ▲ ． 12. 已知416sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 3sin 65sin 2ππ= ▲ ． 13.如图，设G 、H 分别为△ABC 的重心、垂心，F 为线段GH 的中点，若△ABC 外接圆的半径为1，则222AF BF CF ++= ▲ ．14. 已知x ，y 均为正数，⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，且满足y x θθcos sin =， ()222222417sin cos y x y x +=+θθ，则y x 的值为 ▲ ． λ（第13题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）如图在单位圆中，已知αβ、是坐标平面内的任意两个角，且0αβπ≤-≤， 请写出两角差的余弦公式并加以证明.16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在边BC 上，.1D C AD ⊥ （1）求证：AD ⊥平面11B BCC ；（2）如果点E 是11C B 的中点，求证：E A 1//平面1ADC .17. （本小题满分14分）已知向量a=(cos λθ,cos(5)λθ-),b=(sin(5)λθ-,sin λθ),,R λθ∈ (1) 求22a b+的值; (2) 若a b ⊥,求θ; (3) 若10πθ=,求证://a b .1AADE1C B 1B C第16题18. （本小题满分16分）已知定义域为R 的函数()bax f x x ++-=+122是奇函数，（1）求b a ,的值；( 2) 判断并证明函数()x f 的单调性；（3）若对任意的R t ∈，不等式()()02222<-+-k t f t f 恒成立，求k 的取值范围.19. （本小题满分16分）已知向量(cos ,1)m x ω=，(3,sin )n x ω=（0>ω），函数x f ⋅=)(，且)(x f 图象上一个最高点为P )2,12(π，与P 最近的一个最低点的坐标为)2,127(-π. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）设a 为常数，判断方程()f x a =在区间[0,]2π上的解的个数；（3）在锐角ABC ∆中，若1)3cos(=-B π，求)(A f 的取值范围.20. （本小题满分16分）已知圆C 通过不同三点()()()1,0,0.2,0,R N m M ，且直线CM 斜率为1-, (Ⅰ) 试求圆C 的方程；（Ⅱ）若Q 是x 轴上的动点，QB QA ,分别切圆C 于B A ,两点， （1） 求证：直线AB 恒过一定点; （2） 求−→−−→−⋅QB QA 的最小值.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．0214 2．2- 3. 71-4. 23-5. 226. 327.8. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4,25 9. 41 10. ()zk k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++85,8ππππ 11.-11 12. 1619 13.3 14. 21 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解：两角差的余弦公式为：cos )cos cos sin sin αβαβαβ-=+（ …………………6分证明：设()().sin ,cos ,sin ,cos 21ββααP P 则=−→−1OP ()ααsin ,cos ,=−→−2OP ()ββsin ,cos , 因为⋅−→−1OP =−→−2OP cos cos sin sin αβαβ+，又因为⋅−→−1OP =−→−2OP ⋅−→−1OP ()βα-⋅−→−cos 2OP ⋅⋅=11()βα-cos =()βα-cos .所以cos )cos cos sin sin αβαβαβ-=+（. …………………14分60．16．证：（1） ,,,11AD CC ABC AD ABC CC ⊥∴⊂⊥面面,1D C AD ⊥ 又,111C D C CC =⋂∴AD ⊥平面11B BCC . …………………7分(2) 因为AD ⊥平面11B BCC ，所以.BC AD ⊥ 从而D 是BC 中点.连接.//,1AA DE DE ===则.1是平行四边形四边形ADE A ∴∴E A 1//,,111ADC E A ADC AD 面面∉⊂ ∴E A 1//平面1ADC .…………………14分17．解：（1）22a b +=2…………………4分（2）()()()[],05sin 5sin sin 5cos 5sin cos ==+-=⋅-+-⋅θλθθλλθθλθλλθ.,5z k k ∈=∴πθ…………………9分 (3) 10πθ=时，a =(),105cos ,10cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-πλλπb ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λππλ10sin ,105sin ，,5sin 2110sin10cosλπλπλπ=⋅()()()=-=-⋅-λππλπλ55sin 21105sin 105cos λπλππ5sin 215sin 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-. ∴//a b .…………………14分18．解：（1）()(),x f x f -=-bab a x x x x +-=++-∴++--112222，()()()()x x x x a b a b -+--+=-+∴222211,x x x x b a a b ab --⋅-⋅=⋅-⋅+-∴22222224⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧===-2122024b a ba ab ab .…………………4分 （2）因为()x x f 21121++-=，所以()x f y =是单调递减的. .AD证明：设,21x x <()()()()211221212221x x x x x f x f ++-=-,因为,21x x <所以,02212>-x x 从而()()21x f x f >，所以()x f y =在R 上是单调递减的. …………………10分（3）()(),2222k t f t f --<- 又()x f 是奇函数，∴()(),2222t k f t f -<-又()x f 是减函数，∴2222t k t ->-，即,232-<t k ∴.2-<k …………………16分19．（1）(),3sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+=πωx x f .,2121272ππππ=∴=-=T T 又.2,2=∴=ωωπT ∴().32sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f …………………4分 （2）(),32sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f [0,]2x π∈，()[].2,3∈∴x f ，故有图像知()f x a =，所以2=a 或33<≤-a 时，方程一解；23<≤a 时，方程两解；2>a 或3-<a 时，方程无解. …………………10分（3）3π=B ,.26,20,2ππππ<<∴<<>+A A B A∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+34,3232πππA ,∴()().3,332sin -∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f …………………16分 20．(Ⅰ)设圆C ：),04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=---+=-=++=++12222202401m D E m D F D F E ，.3,6,5,1-=-===∴m F E D即圆C ：.06522=-+++y x y x （也可以写成.225252122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x (5)分（Ⅱ）（1）设()0,0x Q ，则过B A Q ,,三点的圆是以QC 为直径的圆. 设为圆()02521:01=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y y x x x C ① 又因为圆C ：06522=-+++y x y x ②②-①得：062521210=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+062521021y x x∴.25,21=-=y x ∴恒过定点.25,21⎪⎭⎫⎝⎛-…………………10分（3） 设,2θ=∠AQB 则,sin cos 225θθ==−→−−→−QB QA 则 −→−−→−⋅QB QA ()θθθθθθ22222sin sin 21cos 2252cos sin 2cos 25-⋅⋅=⋅==()()θθθ222sin sin 21sin 1225-⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅3sin 1sin 222522θθ， 则,2,0,sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθθt −→−−→−⋅QB QA ,312225⎪⎭⎫⎝⎛-+=t t 当22=t 时，().275225322225min -=-=⋅−→−−→−QB QA …………………16分。