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2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）（2017秋•上杭县期末）把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为( )A ．21y x =+B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =--2．（3分）（2014秋•朝阳区期末）如图，A ，B ，C 是O 上的三个点，若35C ∠=︒，则AOB ∠的度数为( )A ．35︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒3．（3分）（2018•西城区校级模拟）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2015•武汉模拟）二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．3k <B ．3k <且0k ≠C ．3k …D ．3k …且0k ≠5．（3分）（2017•涿州市一模）如图，ODC ∆是由OAB ∆绕点O 顺时针旋转30︒后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100︒，则DOB ∠的度数是( )A．40︒B．30︒C．38︒D．15︒6．（3分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为()A ．B ．CD ．27．（3分）（2019秋•朝阳区校级月考）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米)与旋转时间x（分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是()A．8分B．7分C．6分D．5分8．（3分）（2014•缙云县模拟）如图，在O中，直径4AB=，CD=，AB CD⊥于点E，点M为线段EA上一个动点，连接CM、DM，并延长DM与弦AC交于点P，设线段CM的长为x，PMC∆的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A．B．C．D．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）（2013•泰州一模）点(1,2)P-关于原点的对称点的坐标是．10．（2分）写出一个图象开口向上，过点(0,0)的二次函数的表达式：．11．（2分）（2019•岳池县模拟）如图，四边形ABCD内接于O，E为CD延长线上一点．若∠的度数为．110∠=︒，则ADEB12．（2分）（2018秋•沙洋县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为(0,2)，(1,0)-，将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A'的坐标为(2,0)，则点B的对应点B'的坐标为．13．如图，正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是12，则O的半径是．14．（2分）（2017秋•海淀区期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：ABC∆．求作：BC边上的高AD．作法：如图2，（1）分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为单位作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是．15．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，O的动弦AB，CD相交于点E，且A B C D=，(090)BEDαα∠=︒<<︒．在①BODα∠=，②90OABα∠=︒-，③12ABCα∠=中，一定成立的是（填序号）．16．（2分）（2014秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy中，(,0)A m-，(,0)B m（其中0)m>，点P在以点(3,4)C为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足90APB∠=︒，（1）线段OP的长等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为．三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）17．（5分）（2012秋•东城区期末）画图：（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，OAB∆的顶点都在格点上，请将OAB∆绕点O顺时针旋转90︒，画出旋转后的△OA B''；（2）在44⨯的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．18．（5分）（2015秋•朝阳区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②)，其中BO CD⊥于点A，求间径就是要求O的直径．再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出O的直径．19．（5分）（2015秋•海淀区期中）如图，AC是O的直径，PA，PB是O的切线，A，∠的度数．B为切点，25∠=︒．求PBAC20．（5分）（2016•仪征市一模）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB 边的长度为x 米，矩形ABCD 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为 （不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD 的最大面积．21．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：DE 与O 相切；（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长．22．（5分）（2018•朝阳区一模）如图，AB 是O 的直径，4AB cm =，C 为AB 上一动点，过点C 的直线交O 于D 、E 两点，且60ACD ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF xcm =，DE ycm =（当x 的值为0或3时，y 的值为2)，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F 与点O 重合时，DE 长度约为 cm （结果保留一位小数）．23．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，旋转角为α，且0180α︒<<︒．在旋转过程中，点B '可以恰好落在AB 的中点处，如图②．（1）求A ∠的度数；（2）当点C 到AA '的距离等于AC 的一半时，求α的度数．24．（6分）（2015秋•朝阳区期末）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E ，F ，G ，H （其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．25．（2019秋•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，直线23y x =-与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线23y x =-交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线245(0)y nx nx n n =-+>与线段BC 有唯一公共点，①求抛物线245y nx nx n =-+的对称轴；②求n 的取值范围．26．（6分）（2017•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于半径为(0)r r >的O 和点P ，给出如下定义： 若32r PO r 剟，则称P 为O 的“近外点”．（1）当O的半径为2时，点(4,0)A，B5(2-，0)，(0,3)C，D(1,1)-中，O的“近外点”是；（2）若点(3,4)E是O的“近外点”，求O的半径r的取值范围；（3）当O的半径为2时，直线(0)y b b=+≠与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在O的“近外点”，直接写出b的取值范围．27．（7分）（2017秋•海淀区期中）在Rt ABC∆中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将ABC∆绕点O顺时针旋转至DCE∆，连接BD，BE，如图所示．（1）在①BOE∠，②ACD∠，③COE∠中，等于旋转角的是（填出满足条件的角的序号）；（2）若Aα∠=，求BEC∠的大小（用含α的式子表示）；（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．2019-2020学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．（3分）（2017秋•上杭县期末）把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为( )A ．21y x =+B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =--【解答】解：把抛物线2y x =向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是21y x =+． 故选：A ．2．（3分）（2014秋•朝阳区期末）如图，A ，B ，C 是O 上的三个点，若35C ∠=︒，则AOB ∠的度数为( )A ．35︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒ 【解答】解：A ，B ，C 是O 上的三个点，35C ∠=︒，270AOB C ∴∠=∠=︒．故选：D ．3．（3分）（2018•西城区校级模拟）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、不是中心对称图形；B 、是中心对称图形；C 、不是中心对称图形；D 、不是中心对称图形．故选：B ．4．（3分）（2015•武汉模拟）二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．3k <B ．3k <且0k ≠C ．3k …D ．3k …且0k ≠【解答】解：二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，∴方程2630(0)kx x k -+=≠有实数根，即△36120k =-…，3k …，由于是二次函数，故0k ≠，则k 的取值范围是3k …且0k ≠． 故选：D ．5．（3分）（2017•涿州市一模）如图，ODC ∆是由OAB ∆绕点O 顺时针旋转30︒后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且AOC ∠的度数为100︒，则DOB ∠的度数是( )A ．40︒B ．30︒C ．38︒D ．15︒【解答】解：由题意得，30AOD ∠=︒，30BOC ∠=︒，又100AOC ∠=︒，100303040DOB ∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：A ．6．（3分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB 的长为( )A ．B ．CD ． 2【解答】解： 如图： 连接OP ，AOAB 是O 切线OP AB ∴⊥，12AP PB AB ∴==在Rt APO ∆中，AP ==AB ∴=故选：A ．7．（3分）（2019秋•朝阳区校级月考）小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米)与旋转时间x （分)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是( )A ．8分B ．7分C ．6分D ．5分【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选：C ．8．（3分）（2014•缙云县模拟）如图，在O 中，直径4AB =，CD =，AB CD ⊥于点E ，点M 为线段EA 上一个动点，连接CM 、DM ，并延长DM 与弦AC 交于点P ，设线段CM 的长为x ，PMC ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：如图所示：当2CM =时，点M 与圆心O 重合．在直角CEO ∆中，90CEO ∠=︒，CE 2OC =，则由勾股定理得到：OE ==所以，11222OCD S CD OE ∆=⨯=⨯．1OCE S ∆∴=，OAC S ∆=PMC OAC S S ∆∆∴<，即1PMC S ∆<．观察选项，只有A 符合题意．故选：A ．二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）（2013•泰州一模）点(1,2)P -关于原点的对称点的坐标是 (1,2)- ．【解答】解：点(1,2)P -，∴关于原点的对称点的坐标是：(1,2)-故答案为：(1,2)-．10．（2分）（2017秋•海淀区期中）写出一个图象开口向上，过点(0,0)的二次函数的表达式： 2y x =（答案不唯一） ．【解答】解：设二次函数的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠，图象为开口向上，且经过(0,0)，0a ∴>，0c =，∴二次函数表达式可以为：2y x =（答案不唯一）．故答案为：2y x =（答案不唯一）．11．（2分）（2019•岳池县模拟）如图，四边形ABCD 内接于O ，E 为CD 延长线上一点．若110B ∠=︒，则ADE ∠的度数为 110︒ ．【解答】解：110B ∠=︒，110ADE ∴∠=︒．故答案为：110︒．12．（2分）（2018秋•沙洋县期中） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，点B 的坐标分别为(0,2)，(1,0)-，将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)，则点B 的对应点B '的坐标为 (0,1) ．【解答】解：将线段AB 绕点O 顺时针旋转，若点A 的对应点A '的坐标为(2,0)， 90AOA ∴∠'=︒，90BOB AOA ∴∠'=∠'=︒，(0,1)B ∴'，故答案为：(0,1)．13．（2分）（2019秋•朝阳区校级月考）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，正六边形的周长是12，则O 的半径是 2 ．【解答】解：连接OB ，OC ，多边形ABCDEF 是正六边形，60BOC ∴∠=︒，OB OC =，OBC ∴∆是等边三角形，OB BC ∴=，正六边形的周长是12，2BC ∴=，O ∴的半径是2，故答案为：2．14．（2分）（2017秋•海淀区期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程． 已知：ABC ∆．求作：BC 边上的高AD ．作法：如图2，（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为单位作弧，两弧相交于P ，Q 两点； （2）作直线PQ ，交AC 于点O ；（3）以O为圆心，OA为半径作O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．．【解答】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．15．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，O的动弦AB，CD相交于点E，且A B C D=，(090)BEDαα∠=︒<<︒．在①BODα∠=，②90OABα∠=︒-，③12ABCα∠=中，一定成立的是①③（填序号）．【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．AB CD=，OD OC OB OA===，()AOB COD SSS∴∆≅∆，CDO OBA∴∠=∠，DKO BKE∠=∠，DOK BEKα∴∠=∠=，即BOD α∠=，故①正确，不妨设，90OAB α∠=︒-，OA OB =，OAB OBA ∴∠=∠，90OBE BEK ∴∠+∠=︒，90BKE ∴∠=︒，OB CD ∴⊥，显然不可能成立，故②错误，CD AB =，∴CB CD =，∴BD AC =，1122ABC DOB α∴∠=∠=，故③正确． 故答案为①③．16．（2分）（2014秋•西城区期末）在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0)m >，点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，（1）线段OP 的长等于 m （用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为 ．【解答】解：（1）90APB ∠=︒，(,0)A m -，(,0)B m ，OP ∴为Rt ABP ∆斜边上的中线，12OP ∴= AB OB m ==； 故答案为：m ；（2）当P 为OC 与C 的交点时，OP 最小；作CM x ⊥轴于M ，如图所示：则90∠=︒，OMC∴==，OC5∴=-=；OP523故答案为：3．三、解答题（17-23小题每题5分，24-26小题每题6分，27题7分，共60分）17．（5分）（2012秋•东城区期末）画图：（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，OAB∆∆的顶点都在格点上，请将OAB 绕点O顺时针旋转90︒，画出旋转后的△OA B''；（2）在44⨯的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个中心对称图形．在图1，图2中分别画出两种符合题意的图形．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图所示：18．（5分）（2015秋•朝阳区期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO CD⊥于点A，求间径就是要求O的直径．再次阅读后，发现AB=1寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出O的直径．【解答】解：根据题意得：1AB=寸，10CD=寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：⊥，BO CD∴152CA CD ==． 设CO OB x ==寸，则(1)AO x =-寸，在Rt CAO ∆中，90CAO ∠=︒，222AO CA CO ∴+=．222(1)5x x ∴-+=．解得：13x =，O ∴的直径为26寸．19．（5分）（2015秋•海淀区期中）如图，AC 是O 的直径，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，25BAC ∠=︒．求P ∠的度数．【解答】解：PA ，PB 是O 的切线，PA PB ∴=，PAB PBA ∴∠=∠， PA 为切线，CA PA ∴⊥．90CAP ∴∠=︒，25BAC ∠=︒，9065PAB BAC ∴∠=︒-∠=︒，180250P PAB ∴∠=︒-∠=︒．20．（5分）（2016•仪征市一模）如图，矩形ABCD 为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB 边的长度为x 米，矩形ABCD 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为 216y x x =-+ （不要求写自变量的取值范围）； （2）求矩形ABCD 的最大面积．【解答】解：（1）2(16)16y x x x x =-=-+； （2）216y x x =-+，2(8)64y x ∴=--+． 016x <<，∴当8x =时，y 的最大值为64．答：矩形ABCD 的最大面积为64平方米．21．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：DE 与O 相切；（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长．【解答】（1）证明：连接OD ，AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒， AD BC ∴⊥，又AB AC =，12∴∠=∠，OA OD =， 2ADO ∴∠=∠， 1ADO ∴∠=∠， //OD AC ∴， DE AC ⊥，90ODF AED ∴∠=∠=︒， OD ED ∴⊥， OD 过0，DE ∴与O 相切；（2）解：AB AC =，AD BC ⊥，12∴∠=∠，CD BD =，CD BF =，BF BD ∴=，3F ∴∠=∠，4323F ∴∠=∠+∠=∠， OB OD =， 423ODB ∴∠=∠=∠， 90ODF ∠=︒，330F ∴∠=∠=︒，460ODB ∠=∠=︒， 90ADB ∠=︒， 2130∴∠=∠=︒，2F ∴∠=∠， DF AD ∴=，130∠=︒，90AED ∠=︒，2AD ED ∴=，222AE DE AD +=，3AE =，AD ∴=，DF ∴=22．（5分）（2018•朝阳区一模）如图，AB 是O 的直径，4AB cm =，C 为AB 上一动点，过点C 的直线交O 于D 、E 两点，且60ACD ∠=︒，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF xcm =，DE ycm =（当x 的值为0或3时，y 的值为2)，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律．（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：点F 与点O 重合时，DE 长度约为 cm （结果保留一位小数）．【解答】解：（1）如图1，（为了说明点C 和点O 重合，DE 没画成过点)O 连接OD ，当1x =时，1AF =， 2OA =，1OF OA AF ∴=-=，DF AB ⊥，90DFO ∴∠=︒，在Rt OFD ∆中，2OD =，1OF =，根据勾股定理得，DF =，tanOF ODF DF ∴∠===， 30ODF ∴∠=︒，在Rt CFD ∆中，60ACD ∠=︒， 30CDF ∴∠=︒， CDF ODF ∴∠=∠，DE ∴过点O ， DE ∴是O 的直径，24DE OD ∴==，4y ∴=，故答案为4.00；（2）描点，连线，得出函数图形如右图所示，（3）如图2， 点F 和点O 重合，2OD OA ∴==，过点O 作OM DE ⊥于M ，2DE DM ∴=，60ACD ∠=︒，9030ODE ACD ∴∠=︒-∠=︒，在Rt OMD ∆中，cos DMODE OD∠=，cos 2cos30DM OD ODE ∴=∠=⨯︒=，2 3.5DE DM ∴==≈，故答案为：3.5．23．（5分）（2019秋•朝阳区校级月考）如图①，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，旋转角为α，且0180α︒<<︒．在旋转过程中，点B '可以恰好落在AB 的中点处，如图②．（1）求A ∠的度数；（2）当点C 到AA '的距离等于AC 的一半时，求α的度数．【解答】解：（1）将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，旋转角为α， CB CB ∴='点B '可以恰好落在AB 的中点处，∴点B '是AB 的中点．90ACB ∠=︒， 12CB AB BB ∴'=='， CB CB BB ∴='='，即CBB ∆'是等边三角形． 60B ∴∠=︒． 90ACB ∠=︒， 30A ∴∠=︒；（2）如图，过点C 作CD AA ⊥'于点D ， 点C 到AA '的距离等于AC 的一半，即12CD AC =． 在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒，1sin 2CD CAD AC ∠==， 30CAD ∴∠=︒， CA CA ='， 30A CAD ∴∠'=∠=︒． 120ACA ∴∠'=︒，即120α=︒．24．（6分）（2015秋•朝阳区期末）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB 的最小覆盖圆就是以线段AB 为直径的圆．（1）请分别作出图①中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）三角形的最小覆盖圆有何规律？请直接写出你所得到的结论（不要求证明）；（3）某城市有四个小区E，F，G，H（其位置如图②所示），现拟建一个手机信号基站，为了使这四个小区居民的手机都能有信号，且使基站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此基站应建在何处？请写出你的结论并说明研究思路．【解答】解：（1）如图所示：（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．（3）此中转站应建在EFH∆的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．理由如下:∠=∠+∠=︒+︒=︒，HEF HEG GEF4833.8881.88EFB∠=︒，∠=︒，48.1250EHF∴∆是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为EFHEFH∆的外接圆，设此外接圆为O，直线EG与O交于点E，M，故点G 在O 内，从而O 也是四边形EFGH 的最小覆盖圆． 所以中转站建在EFH ∆的外接圆圆心处，能够符合题中要求．25．（6分）（2019秋•朝阳区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，直线23y x =-与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线23y x =-交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线245(0)y nx nx n n =-+>与线段BC 有唯一公共点， ①求抛物线245y nx nx n =-+的对称轴； ②求n 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可求(0,3)A -， (0,3)B ∴， l ∴为3y =，(3,3)C ∴；（2）2245(2)y nx nx n n x n =-+=-+，∴对称轴为2x =，顶点为(2,)n ，①当3n >时，抛物线最小值为3n >，与线段BC 无交点；②当3n =时，抛物线顶点为(2,3)，在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点； ③当03n <<时，抛物线最小值为n ，与直线BC 有两个交点， 若抛物线经过点(0,3)B ，则35n =， 抛物线对称轴2x =，∴抛物线经过点(4,3)，点(4,3)不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；若抛物线经过点(3,3)，则32n=，抛物线对称轴2x=，∴抛物线经过点(1,3)，点(1,3)在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；综上所述：当3352n<…时，抛物线与线段BC有一个公共点．26．（6分）（2017•朝阳区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于半径为(0)r r>的O和点P，给出如下定义：若32r PO r剟，则称P为O的“近外点”．（1）当O的半径为2时，点(4,0)A，B5(2-，0)，(0,3)C，D(1,1)-中，O的“近外点”是B，C；（2）若点(3,4)E是O的“近外点”，求O的半径r的取值范围；（3）当O的半径为2时，直线(0)y b b=+≠与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在O的“近外点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：（1）O的半径为2，∴332r=，(4,0) A，43 OA∴=>，∴点A不是O的“近外点”，B5(2-，0)，52OB ∴=，而5232<<， B ∴是O 的“近外点”，(0,3)C ， 3OC ∴=，∴点C 是O 的“近外点”，D (1,1)-，2OD ∴=，∴点D 不是O 的“近外点”，故答案为：B ，C ； （2）(3,4)E ，5OE ∴=， 点E 是O 的“近外点”， ∴5352r r ⎧⎪⎨⎪⎩……，∴1053r 剟；（3）如图，直线MN的解析式为y x b =+， OM ON ∴>，①点N 在y 轴坐标轴时，当点M 是O 的“近外点”，此时，点(2,0)M -， 将(2,0)M -代入直线MN的解析式y b =+中，解得，b =， 即：b过点O 作OG M N ''⊥于G ，当点G 是O 的“近外点”时，此时3OG =， 在Rt △ON G '中，60ON G '∠=︒，sin 60OCON '∴==︒b的最大值为∴b②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出，b----．b b27．（7分）（2017秋•海淀区期中）在Rt ABC∆中，斜边AC的中点M关于BC的对称点为O，将ABC∆绕点O顺时针旋转至DCE∆，连接BD，BE，如图所示．（1）在①BOE∠中，等于旋转角的是③（填出满足条件的角的∠，③COE∠，②ACD序号）；（2）若Aα∠的大小（用含α的式子表示）；∠=，求BEC（3）点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，OC，OD，OD，由旋转知，旋转角为BOC AOD COE∠=∠=∠，故答案为③；（2）如图2，连接BM，OB，OC，OE，在Rt ABC ∆中，点M 是AC 中点， 12MA MB MC AC ∴===， A ABM α∴∠=∠=，2BMC A ABM α∴∠=∠+∠=， 点M 和点O 关于直线BC 对称，2BOC BMC α∴∠=∠=， OC OB OE ==，∴点C ，B ，E 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上，12BEC BOC α∴∠=∠=；（3）12MN BE =， 理由：如图3，连接BM 并延长至点F ，使BM MF =，连接FD ， A α∠=，90ABC ∠=︒， 9090ACB A α∴∠=︒-∠=︒-， 90DEC ACB α∴∠=∠=︒-，由（2）知，BEC α∠=，90BED BEC DEC ∴∠=∠+∠=︒， BC CE =，CBE CEB α∴∠=∠=， MB MC =，90MBC ACB α∴∠=∠=︒-， 90MBE MBC CBE ∴∠=∠+∠=︒， 180MBE BED ∴∠+∠=︒， //BF DE ∴，2BF BM =，2AC BM =， BF AC ∴=，AC DE =，BF DE ∴=，∴四边形BFDE 是平行四边形，DF BE ∴=， BM MF =，BN ND =， 12MN DF ∴=， 12MN BE ∴=．。
2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．若代数式有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．x ≥C ．x ≤D ．x ≠﹣2．已知P 1（﹣2，y 1），P 2（1，y 2）是函数y ＝﹣2x +1图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1＝y 2D ．无法确定3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点．若∠AOB ＝60°，AC ＝8，则AB 的长为（ ）A ．4B ．C ．3D ．54．如图，AC 与BD 相交于点E ，AD ∥BC ．若AE ：EC ＝1：2，则S △AED ：S △CEB 为（ ）A ．1：B ．1：2C ．1：3D ．1：45．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s 2：平均数（秒） 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A ．队员1B ．队员2C ．队员3D ．队员46．若关于x 的方程kx 2﹣（k +1）x +1＝0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．如图，是用图象反映的某地男女生身高生长速度y（厘米/年）与年龄x（岁）的对应关系．根据图象，有以下四个推断：①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快③15岁时，男生、女生的身高增长速度达到最高值④13岁以前，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度慢其中合理的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若3a＝4b，则a：b＝．10．一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是．11．如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax ﹣3的解集是．12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝6，S3＝10，则S1＝．13．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF 的长为．14．已知一次函数y＝kx+b（k＜0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，b的值为．15．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB ＝2，则PB+PE的最小值是．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确的结论是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：x2+x﹣1＝0．18．已知：a＝+1，求代数式a2﹣2a﹣1的值．19．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：DE∥BF．20．平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与直线y＝x交于点A（m，1）．与y轴交于点B （1）求m的值和点B的坐标；（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是1，请直接写出点C的坐标．21．关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝4．求△ABC的面积．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C 作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．24．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：（1）可求得m的值为；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为．25．某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 7979.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．26．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是；（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．①依题意补全图2；②判断△QPM的形状并加以证明；（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．28．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ 为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．如图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“伴随矩形”的面积为；（2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，并求出直线ON的函数解析式；②当正方形的对角线长度为时，原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值和最小值分别为m和n，则m＝，．n＝．2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，解得：x≥．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣2＜1即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小．∵P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，﹣2＜1，∴y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝4，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．4．【分析】由AD∥BC可证明△ADE∽CBE，再由相似三角形的性质就可以得出结论【解答】解：∵AD ∥BC ． ∴△ADE ∽CBE ，∴S △AED ：S △CEB ＝AE 2：EC 2， ∵AE ：EC ＝1：2， ∴S △AED ：S △CEB ＝1：4， 故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用．解答本题求出两三角形相似是关健．5．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定． 故选：B ．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．【分析】当k ＝0时，可求出x 的值，根据x 的值为整数可得出k ＝0符合题意；k ≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x 的值，再根据x 的值为整数结合k 的值为整数即可得出k 的值．综上即可得出结论．【解答】解：当k ＝0时，原方程为﹣x +1＝0， 解得：x ＝1， ∴k ＝0符合题意；当k ≠0时，kx 2﹣（k +1）x +1＝（kx ﹣1）（x ﹣1）＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝，∵方程的根是整数， ∴为整数，k 为整数，∴k ＝±1．综上可知：满足条件的整数k 为0、1和﹣1． 故选：C ．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．7．【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝＝15（m）．故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．【分析】依据男女生身高生长速度y（厘米/年）与年龄x（岁）的对应关系，即可得到正确的结论．【解答】解：①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同，故①正确；②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快，故②正确；③15岁时，只有男生的身高增长速度达到最高值，故③错误；④在9岁以后，13岁以前，男生的身高增长速度明显比女生的身高增长速度慢，故④错误；故选：A．【点评】本题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】根据比例的基本性质，若3a＝4b，则可直接得出a：b的值．【解答】解：∵3a＝4b，∴＝．∴a：b＝4；3．【点评】考查了比例的基本性质：比例式和等积式的互相转换．10．【分析】利用方差的定义求解．方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．【解答】解：数据的平均数＝（﹣1+0+1+2+3）＝1，方差s2＝[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝2．故填2．【点评】本题考查了方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n，平均数＝（x1+x2+x3…+x n），方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．11．【分析】根据函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），然后根据图象即可得到不等式3x+b ＞ax﹣3的解集．【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．【分析】先根据勾股定理得出△ABC的三边关系，再根据正方形的性质即可得出S1的值．【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴BC2＝AC2﹣AB2，∵BC2＝S1、AB2＝S2＝6，AC2＝S3＝10，∴S1＝S3﹣S2＝10﹣6＝4．故答案为：4【点评】本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出AB、BC及AC之间的关系是解答此题的关键．13．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠FAE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF＝2AF是解题的关键．14．【分析】由一次函数的性质，求解即可．【解答】解：当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，∴当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝﹣2，代入一次函数解析式y＝kx+b得：，解得，故答案为：4【点评】此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质解答．15．【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．【解答】解：连接DE交AC于P，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE＝＝．∴PB+PE的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．16．【分析】根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②进行判断；由ax2+bx+c﹣m ＝0没有实数根得到抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，加上二次函数的最大值为2，则m＞2，于是可对③进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确；∵ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，即抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，而二次函数的最大值为2，∴m＞2，故③正确．故答案是：①②③．【点评】主要考查抛物线与x轴的交点坐标，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】观察原方程，可用公式法进行求解，首先确定a，b，c，再判断方程的解是否存在，若存在代入公式即可求解．【解答】解：a＝1，b＝1，c＝﹣1，b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对不同的题型选用合适的方法．18．【分析】利用完全平方公式得到原式＝（a﹣1）2﹣2，再由已知条件得到a﹣1＝，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：原式＝（a﹣1）2﹣2，因为a＝+1，所以a﹣1＝，所以原式＝（）2﹣2＝5﹣2＝3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．19．【分析】直接连接BD，交AC于点O，利用平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，进而得出四边形EBFD是平行四边形求出答案即可．【解答】证明：连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵AF＝CE，∴OF＝OE．∴四边形EBFD是平行四边形．∴DE∥BF．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形EBFD是平行四边形是解题关键．20．【分析】（1）依据一次函数图象上点的坐标特征，即可得到m的值和点B的坐标；（2）依据点C在y轴上，且△ABC的面积是1，即可得到BC＝1，进而得出点C的坐标．【解答】解：（1）∵直线与直线交于点A（m，1），∴，∴m＝2，∴A（2，1），代入y＝x+b，可得，∴b＝﹣2，∴B（0，﹣2）．（2）点C（0，﹣1）或C（0，﹣3）．理由：∵△ABC的面积是1，点C在y轴上，∴BC×2＝1，∴BC＝1，又∵B（0，﹣2），∴C（0，﹣1）或C（0，﹣3）．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△＝b2﹣4a＝0，设b＝2，a＝1，方程变形为x2+2x+1＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．22．【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长即可解决问题．．【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB；∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD；∴CD2＝AD•BD＝8，即CD＝2，＝×6×2＝6∴S△ACB【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，题目比较简单．23．【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．24．【分析】（1）（2）把表中的三个点（0，3），（1，0），（2，﹣1）代入函数的解析式，得到关于a，b，c的方程组，即可求得解析式，把x＝4代入即可求得m的值；（3）根据函数的图象开口方向，增减性即可确定．【解答】解：（1）（2）根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y＝x2﹣4x+3，当x＝4时，m＝16﹣16+3＝3；（3）函数的顶点坐标是：（2，﹣1），当0＜x＜3时，则y的取值范围为：﹣1≤y＜3．故答案是：3；﹣1≤y＜3．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，理解函数的增减性是关键．25．【分析】（1）先确定A课程的中位数落在第4小组，再由此分组具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；（3）用总人数乘以样本中超过75.8分的人数所占比例可得．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A课程的中位数为＝78.75，即m＝78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩超过75.8分的人数为300×＝180人．【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．27．【分析】（1）连接AC，由正方形的性质得到∠DBC＝45°，再求出∠BQM＝90°，根据等腰直角三角形的判定即可解答；（2）①根据题意补充图形即可；②△QPM的形状是等腰三角形，延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，证明△DCP≌△ABE，得到∠DPC＝∠E，再证明MN∥AE，得到∠NMP＝∠E，通过等量代换得到∠DPC＝∠NMP，根据等角对等边得到QM＝QP，即可解答．（3）利用相似三角形的性质定理和判定定理、对称的性质，写出解题思路．【解答】解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，∵点M、N分别为BC、AP的中点，∴MN∥AC，∴∠BQM＝∠BOC＝90°，∴∠QMB＝45°，∴△QPM是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．（2）①如图2，②△QPM的形状是等腰三角形，如图3，延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，∵PB＝CE，∴PB+BC＝CE+BC，即CP＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，在△DCP和△ABE中，∴△DCP≌△ABE，∴∠DPC＝∠E，∵M为BC的中点，∴MB＝MC，∴MB+BP＝MC+CE，即MP＝ME，∴M为PE的中点，∵N为AP的中点，∴MN∥AE，∴∠NMP＝∠E，∴∠DPC＝∠NMP，∴QM＝QP，∴△QPM是等腰三角形．（3）求解思路如下：a，由题意画出图形，并延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，如图4．b，由（2）可得QM∥AE，可证．c，由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，从而．d，可得．e，由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′＝BP＝CE，设BP′＝BP＝CE＝x，由AD＝BC＝2，可分别表示P′M，ME，P′P，可求BP的长．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、相似三角形的性质定理与判定定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线．28．【分析】（1）确定BC的解析式求出点C坐标即可解决问题；（2）①根据题意确定点N的坐标即可解决问题；②由正方形MENF的对角线为3，推出点F的运动轨迹是直线l′：y＝﹣x+9，点E的运动轨迹是直线l：y＝﹣x+3，作OP⊥直线l于P交直线l′于Q．求出OP，OQ即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵A（0，6），B（4，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，当x＝2时，y＝3，∴C（2，3），∴B，C的“伴随矩形”矩形BFCE的长为3，宽为2，面积为6．故答案为6．（2）①如图2中，∵点M，N的“伴随矩形”是正方形，∴B（6，0），由题意M（3，3），N（5，1）或（1，5），∴直线ON的解析式为y＝5x或y＝x．②如图3中：∵正方形MENF的对角线为3，∴点F的运动轨迹是直线l′：y＝﹣x+9，点E的运动轨迹是直线l：y＝﹣x+3，作OP⊥直线l于P交直线l′于Q．可得OP＝，OQ＝，当点N与B重合时，点F（6，3），此时OF的值最大，最大值＝＝3∴原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值m＝3，最小值n＝，故答案为3，．。
初三上学期10月份月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．－3的相反数是 （ ） A ．3 B ．3±C ．13D ．－132．方程234-=x x 的解为 （ ） A ．x ＝0 B ．x ＝2 C ．x ＝4 D ．x ＝83．已知b a 12=，则ba ba -+2的值是 （ ） A ．－5 B ．5 C ． －4 D ．44．若12x x ，是一元二次方程2560x x --=的两个根，则12x x +的值是 （ ） A ．1 B ．6 C ．－5 D ．55．已知一元二次方程012=+-x kx 有两个不相等的实数根,则k 的范围是 （ ）A ．41>k B ．41<k C ．41≠k D ．41<k 且0≠k 6．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 （）7．如图，在ABC ∆中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE ，则EC 的长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AD = 3，AB = 5，BC = 9，CD 的垂直平分线交BC 于E ，连结DE ，则四边形ABED 的周长等于 ( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．20AB CDFE第10题图第9题图第7题图A BCD第6题图第17题图第16题图AC BFE D第18题图9．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE ＝60°，BD ＝3，CE ＝2，则△ABC 的边长为 （ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．1810．在矩形ABCD 中，BC=10cm 、DC=6cm ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的两个动点，E 从点A 出发以每秒5cm 的速度向B 运动，F 从点B 出发以每秒3cm 的速度向C 运动，设运动时间为t 秒．若∠AFD=∠AED ，则t 的值为 （ ） A ．12-B ．0.5 C ．32 D ．1 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．如果分式32+x x有意义，那么x 的取值范围是____________． 12．若分式242--x x 的值为零，则x 的取值为__________．13．为纪念抗战胜利70周年，在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，已知天安门广场的面积为44万平方米，在比例尺为1:20000的地图上天安门的面积为__________2cm ．14．某公司在2013年的盈利额为200万元，预计2015年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2014年的盈利额为________万元． 15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的外接圆的半径为． 16．如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则=ODOB_____． 17．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，只添加一个条件______________，使得△ABP ∽△ACB ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上），若△CEF 与△ABC 相似，则AD 的长为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分） 19．（本题满分6分）（1）化简：x xy x +2（2）计算：ba b b a a ---2220．（本题满分9分）ABCDE （第8题）（1）解方程：223+=x x ；（2）()36142=-x ； （3）解方程：0232=+-x x ． 21．（本题满分6分） 先化简，再求值：242122+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x xx x ，其中34+-=x ． 22．（本题满分8分）如图，已知AB=AC=AD ，且AD ∥BC ．求证：D C ∠=∠2．23．（本题满分9分）如图：若AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，动点P 在BD 上且CP ⊥AP ， 若AB=3， CD=2，BD=7．（1）说明：ΔABP ∽ ΔPDC ； （2）求出DP 的长．AB CD24．（本题满分9分）如图，△ABC 三个定点坐标分别为A （﹣1，3），B （﹣1，1），C （﹣3，2）． （1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2， 请在第三象限内画出△A 2B 2C 2，并求出111C B A S ∆：222C B A S ∆的值．25．（本题满分9分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．（1）在△ABC 内放入正方形纸片DEFG ，使边EF 在斜边AB 上，点D 、G 分别在AC 、BC 上。
2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）考生须知：1．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；2．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；3．考试结束后，只需上交答题卷一、选择题（本题共16分,每小题2分)1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可.【详解】A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；B.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误；C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确.故选：D.【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义.一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.2.一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A. 2，﹣3，﹣4B. 2，3，4C. 2，﹣3，4D. 2，3，﹣4【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．【详解】解：一元二次方程2x2+3x-4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，-4．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．3.若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【答案】B【解析】【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【详解】解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．4.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】分析：由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．：解答：如图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE=AB，∵OC=5，CE=2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE==4，∴AB=2AE=8，故选C．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE5.点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A. y1＝y2＞y3B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＜y2＜y3【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．【详解】解：∵y=-x2+2x-1=-（x-1）2，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选：A．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 100°【答案】B【解析】试题分析：∵OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC＝180°－2∠OCB＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A＝∠BOC＝50°．故选B．7.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF ＝4：25，则DE：EC＝（）A. 2：3B. 2：5C. 3：5D. 3：2【答案】A【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是【】【答案】D【解析】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒。
C17级数学统练试卷03一、选择题（8小题，每題2分，共16分)1.抛物线y =3(x - 2)2 + 5和顶点坐标是（）A. (-2,5)B. (-2,-5)C. (2,5)D. (2,-5)2.二次函数y=x2 - ax + b中，若a + b=0，则它的图象必经过点（）A. (-1, 1)B.(1, 1)C.(1, -1)D.(-1, -1)3.若x=1是方程ax2 + bx + c = 0的解，则（）A. a + b + c = 1B. a - b + c = 0C. a + b + c = 0D. a - b - c = 04.用配方法解方程x2 - 4x +1 = 0，配方后所得的方程是（）A. (x - 2)2 = 3B. (x + 2)2 = 3C. (x - 2)2 = -3D. (x + 2)2 = -35.关于x的一元二次方程x2 - 3x + m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. m<B. m≤C. m>D. m≥6.如图，在 ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE:EC=2:3，则S∆DEF : S∆ABF = （）A. 2:3B.4:9C.2:5D.4:257.如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图，等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10 米，如果小明的眼晴距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（）A.10米B.11.7 米C.10米D.(5 + 1.7)米8.如图所示，二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)的图象经过点(-1,2)与x轴交点的横坐标分别为X1，X2，其中-2 < X1 < -1， 0 < X2 < 1 ，下列结论：(1)4a - 2b + c < 0；(2)2a - b < 0； (3)a-2b>0；(4)b2 >4a (c-2)，其中正确的有（）A.1个B. 2个C.3个D.4个二、填空題（8小题，每題2分，共16分）9.若二次根式有意义，则x的取值范围是____________.10.如果点P1(2,y1)、P2(3,y2)在抛物线y = - x2 + 2x上，那么y1__y2（填">"、 <"或"="）11.请写岀一个开口向下，对称轴为直线x=1的抛物线解析式，y = ____________。
2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学九年级上学期10月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.用配方法解方程，变形后结果正确的是()A. B. C. D.3.如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为()A. B. C. D.4.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是()A. B.C. D.5.如果，是正比例函数的图象上的两点，且那么符合题意的k的值可能是()A. B.1 C.3 D.6.如图，在菱形ABCD中，，对角线交于点O，E为CD的中点，连接OE，则的度数为()A. B. C. D.7.已知时，二次函数的图象如下列四个图之一所示．根据图分析，a的值等于()A. B. C.1 D.28.如图，在中，，D、E是斜边BC上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，连接EF，若≌，下列结论：①；②；③；④其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①②D.①②④二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________.10.二次函数的最大值是__________.11.如图，▱中，延长BC至E，使得若，则DF的长为__________.12.2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由万元增长至万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程得__________.13.已知点，在一次函数的图象上，且，则k的值可以是__________写出一个即可14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作，垂足为E，若，则OE的长为__________.15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边DF 离地面的高度，，则树高AB是__________16.某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如表所示：步骤打扫卫生整理床铺更换客用物品检查设备所需时间/分钟10865在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要__________分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要__________分钟．三、解答题：本题共12小题，共96分。
2019-2020年北京清华附中初三第⼀学期10⽉⽉考数学试题卷初三第⼀学期10⽉学科能⼒测评数学⼀、选择题(本题共24分，每⼩题3分)1.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( )A. B. C. D.2.已知关于x 的⼀元⼆次⽅程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A.1m <- B.1m > C.1m <且0m ≠ D.1m >-且0m ≠3.⼆次函数2242y x x =--的对称轴是( ) A.直线1x =-B.直线1x =C.直线0x =D.直线1y =4.如图，O ☉的直径AB 垂直于弦CD ，垂⾜为E .若60B ∠=?，3AC =，则CD 的长为( )A.6B.23C.3D.35.已知⼆次函数的图象经过()2,2P ，顶点为()0,0O ，将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为( )A.212y x =B.()2122y x =- C.()2142y x =- D.()21222y x =-+ 6.如图，ABC △和111A B C △是以点O 为位似中⼼的位似三⾓形，若1C 为OC 的中点，4AB =，则11A B 的长为( )A.1B.2C.4D.87.如图，ABCD 中，E 是边DC 上⼀点，AE 交BD 于F ，若2DE =，3EC =，则D EF △与BAF △的周长之⽐为( )A.3:2B.2:3C.2:5D.3:58.如图1，AB 是半圆O 的直径，正⽅形OPNM 的对⾓线ON 与AB 垂直且相等，Q 是OP 的中点，⼀只机器甲⾍从点A 出发匀速爬⾏，它先沿直径爬到点B ，再沿半圆爬回到点A ，⼀台微型记录仪记录了甲⾍的爬⾏过程.设甲⾍爬⾏的时间为t ，甲⾍与微型记录仪之间的距离为y ，表⽰y 与t 的函数关系的图象如图2所⽰，那么微型记录仪可能位于图1中的( )A.MB.NC.PD.Q⼆、填空题(本题共24分，每⼩题3分) 9.如果14b a b =-，那么ab 的值为__________.10.如图，四边形ABCD 内接于O ☉，120BOD ∠=?，则DCE =∠__________.11.若⽅程()22110x m x m +-++=的两根互为相反数，则m =__________.12.如图，在平⾯直⾓坐标系中，过格点A 、B 、C 作⼀圆弧，则圆⼼的坐标是__________.13.已知⼆次函数()20y ax bx c a =++≠，其中⾃变量x 与函数值y 之间满⾜下⾯的对应关系： x … 1 3 5 … y… 1.5 1.5 2.6-…则a b c -+=__________.14.如图，等边AOB △，且OA OC =，20CAB ∠=?，则ABC ∠的⼤⼩是__________.15.如图，已知点E 在正⽅形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正⽅形ABCD 外部作正⽅形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN .若7AB =，5BE =，则MN =__________.16.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，四条抛物线1y 、2y 、3y 、4y 如图所⽰，其解析式中的⼆次项系数⼀定⼤于1-的是__________.三、解答题17.解⽅程：2310x x -+=18.已知m 是⼀元⼆次⽅程25x x +=的实数根，求代数式()()()212137m m m m -+---的值.19.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于D ，5AC =，4BD =. (1)求证：ACD ABC △△∽； (2)求ABC △的⾯积.20.关于x 的⼀元⼆次⽅程210ax bx --=.(1)当20a b --=时，利⽤根的判别式判断⽅程根的情况；(2)若⽅程有两个相等的实数根，写出⼀组满⾜条件的a 、b 的值，并求此时⽅程的根.21.如图，在四边形ABCD 中，BD 为⼀条射线，AD BC ∥，2AD BC =，90ABD ∠=?，E 为AD 的中点，连接BE .(1)求证：四边形BCDE 为菱形；(2)连接AC ，若AC 平分BAD ∠，1BC =，求AC 的长.22.如图是⼀个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸1的情形：⼩明说只要建⽴适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮⼩明求出该抛物线的表达式.23.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线():10l y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A 、B ，直线x k =与直线y k =-交于点C .(1)求直线l 与y 轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段AB 、BC 、CA 围成的区域(不含边界)为W . ①当1k =时，区域W 内的整点有_____个，其坐标为_____；②当2k =时，区域W 内的整点有_____个.24.如图，AB 是O ☉的直径，M 是OA 的中点，弦CD AB ⊥于点M ，连接AD ，点E 在BC 上，45CDE ∠=?，DE 交AB 于点F ，6CD =. (1)求OAD ∠的度数； (2)求DE 的长.25.阅读下⾯材料：⼩明观察⼀个由11?正⽅形点阵组成的点阵图，图中⽔平与竖直⽅向上任意两个相邻点间的距离都是1.他发现⼀个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到⼀点构造垂直，进⽽求出交点与垂⾜之间的数值. 请回答：（1）如图1，A 、B 、C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D ，作出线段CD ，使得CD AB ⊥；（2）如图2，线段AB 与CD 交于点O ，⼩明在点阵中找到了点E ，连接AE .恰好满⾜AE CD ⊥于E ，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三⾓形，经过推理和计算能够使问题得到解决. 请你帮⼩明计算：OC =__________；OF =__________；参考⼩明思考问题的⽅法，解决问题：（3）如图3，线段AB 与CD 交于点O .在点阵中找到点E ，连接AE ，满⾜AE CD ⊥于F .计算：OC =__________；OF=__________.26.已知⼆次函数()()2210y ax a x c a =+++>的图象经过坐标原点O ，⼀次函数4y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A 、B .(1)c =__________，点A 的坐标为__________；(2)若⼆次函数()221y ax a x c =+++的图象经过点A ，求a 的值.(3)若⼆次函数()221y ax a x c =+++的图象与AOB △只有⼀个公共点，直接写出a 的取值范围.27.已知2PA =，43PB =，以AB 为边作等边ABC △，使P 、C 落在直线AB 的两侧，连接PC . (1)如图，当30APB ∠=?时，①按要求补个图形；②求AB 和PC 的长.(2)当APB ∠变化时，其它条件不变，则PC 的最⼤值为_____，此时APB =∠_____.28.对于平⾯上A 、B 两点，给出如下定义：以点A 为中⼼，B 为其中⼀个顶点的正⽅形称为点A 、B 的“领域”.(1)已知点A 的坐标为()1,1-，点B 的坐标为()3,3，顶点A 、B 的“领域”的⾯积为_____. (2)若点A 、B 的“领域”的正⽅形的边与坐标轴平⾏或垂直，回答下列问题：①已知点A 的坐标为()2,0，若点A 、B 的“领域”的⾯积为16，点B 在x 轴上⽅，求B 点坐标；②已知点A 的坐标为()2,m ，若在直线:32l y x =-+上存在点B ，点A 、B 的“领域”的⾯积不超过16，直接写出m 的取值范围.。
北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y=3B．x+=2C．x2﹣2x+1=0D．x﹣1=02．（3分）把抛物线y=（x+3）2+1向上平移2个单位，抛物线的解析式为（）A．y=（x+3）2﹣1B．y=（x+3）2+3C．y=（x+5）2+1D．y=（x﹣3）2+1 3．（3分）已知，AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80°D．60°6．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）7．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1 8．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=65°，则∠P为（）A．75°B．60°C．50°D．45°9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 10．（3分）由四个直径相等的半圆围成的道路如图①所示，小张在道路上匀速行走，他从点C出发，沿箭头所示的方向经过点D再走到点A，共用时40秒，有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小张的走路过程，设小张走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．（3分）请写出一个开口向下且对称轴为y轴的抛物线的解析式．12．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．14．（3分）点P（1，y1）和点Q（2，y2）分别为抛物线y=x2﹣3上的两点，则y1y2（用“＞”或“＜”填空）．15．（3分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D 对应的刻度值为60°，则∠BCD的度数为．16．（3分）如图所示，已知P是⊙O外一点，求作经过点P且与⊙O相切的直线．小明的作法如下：连接OP，取OP的中点M，以M为圆心，MO为半径作两段圆弧，分别与⊙O 交于A、B两点，连接PA、PB，PA、PB所在的直线即为所求，小明的作法的依据是：．三、解答题（共12小题）17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．18．（5分）如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：AB=CE．19．（5分）在直径为650mm的圆柱形油桶内装进不足半桶油后其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．20．（5分）已知关于x的方程x2+3x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．21．（6分）△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；（2）在图中做出△ABC的外接圆⊙M，并标注出外接圆的圆心M．22．（6分）二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．（1）求二次函数解析式；（2）在同一直角坐标系中作出二次函数的图象；（3）当自变量x取值范围是时，一次函数值大于二次函数值．23．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．24．（6分）已知关于x的方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6=0与x2﹣2x﹣3=0互为“同根轮换方程”．（1）若关于x的方程x2+4x+m=0与x2﹣6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；（2）已知方程①：x2+ax+b=0和方程②：x2+2ax+b=0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，弦AD的延长线交直线BC于点C．（1）若AB=10，∠ACB=60°，求BD的长；（2）若点E是线段BC的中点，求证：DE是⊙O的切线．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，a）、B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及实数a的值；（2）记抛物线在点A、B之间的部分图象为G（包含A、B两点），直线y=kx+3与G有公共点，结合图形直接写出实数k的取值范围．27．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形F上的点的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为该点的“坐标差”，而该图形上所有点的“坐标差”的最大值称为该图形的“特征值”．（1）①点A（0，1）的“坐标差”为；（直接写出答案）②线段MN：y=2x+1（﹣1≤x≤2）的“特征值”为；（直接出错答案）（2）若二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的公共点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；（3）直接写出圆心为（2，3），半径为2的圆的“特征值”为．28．（8分）在△ABC中，∠C=60°，AC=BC，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．（1）①依题意补全图1；②探究线段AB、BD、BE之间的数量关系，并写出证明过程．（2）若AB=6，AD=2，求BE的长（直接写出答案）北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．C；2．B；3．C；4．B；5．B；6．D；7．A；8．C；9．D；10．B；二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．y=﹣x2+1；12．x1=0，x2=2；13．1；14．＜；15．60°；16．直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端点，且垂直于半径的直线是圆的切线；三、解答题（共12小题）17．；18．；19．；20．；21．；22．0＜x＜3；23．；24．；25．；26．；27．1；1；1+2；28．；。
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．清华附中初三月考试卷数学（清华附中初11级）10月一、选择题（每小题4分，共32分）1．下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（ ）B 2．若02)1(2=+-+mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）AA.1-≠mB.1-=mC.1-≥mD.0≠m 3．下列计算中，正确的是（ ）BA.532=⨯B.2221=C.2223=-D. 532=+4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO =30º， 则∠ACB 的大小为（ ）D A ．50º B ．45º C ．30º D ．60º 5．下列一元二次方程中没有．．实数根的是（ ）D A ．0322=-+x x B ．0962=++x x C ．0522=--x x D ．0432=++x x6．已知点A 的坐标为）（3,2，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得1OA ，则点1A 的坐标为（ ）A A ．）（2,3- B ．）（2,3- C ．）（3,2- D ．）（3,2-7．如图，每个正方形网格的边长为1个单位长度，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是（ ）CA ．)4,4(--B ．)3,3(--C ．)3,4(--D ．)4,3(--AOBC8．如图，AC 、BD 为圆O 的两条垂直的直径，动点P 从圆心O 出发，沿线段OC -⋂CD -线段DO 的路线作匀速运动．设运动时间为t 秒，∠APB 的度数为y 度，则下列图象中表示y 与t 的函数关系最恰当的是（ ）C二、填空题（每小题4分，共16分）9．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是 ．10．关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为 ．11．如图，在△ABC 中，DE //AB 分别交AC ，BC 于 点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A (-4,0)，B (0,3)，对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第(7)个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ；第()个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ．（第12题）初11级初三月考数学答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BABDDACC题号 9 10 11 12答案2>x 1- 3:5(24,0)(8052,0)三、解答题（每小题5分，共30分）13．计算：|3|212013261-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-）（．解：原式=3213+++………………………4分=332+………………………………5分14．解方程：1242=+x x ． 解法一：因式分解，得()()620x x +-=………………..…2分 于是得 60x +=或20x -=126,2x x =-=……………………...5分解法二：1,4,12a b c ===-2464b ac ∆=-=………………..…2分24482b b ac x -±--±=………….4分 126,2x x =-=……….…………..…5分15．如图，在ABC △中，AB 是O 的直径，O 与AC 交于点D ，，， 7560=∠=∠C B 求BOD ∠的度数．解：在ABC △中，60,75B C ∠=︒∠=︒,45A ∴∠=︒.………………..………………….2分AB 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D, ∴290DOB A ∠=∠=︒…………………………5分AD C B O16．已知321+=a ，321-=b ，求b a b ab a 22322--++的值.解：32-=a ，32+=b ………………..……….2分所以4=+b a ，1=ab ………………..………...3分 原式)(2)(2b a ab b a +-++=42142⨯-+=9=………………..……………………………...2分17．如图，等腰直角△ABC 绕直角顶点A 按逆时针方向旋转60°后得到△ADE ，且BC =2，求EC 的长．解： △ABC 是等腰直角三角形，且斜边BC =2，∴AC =2，………………..………………………...1分 △ADE 是由△ABC 绕A 旋转60°得到，∴ 60=∠CAE ，AE AC =，………………..……...3分 ∴CAE Δ为等边三角形，………………..…………..4分 ∴CE =AC =2．………………..…………………....5分18．如图，有一块矩形纸板，长为20cm ，宽为14cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm 2，那么纸板各角应切去边长为多大的正方形？解：设切去的小正方形边长为x .cm ，………………..…..…..1分则 160(202)(142)x x =--，…………..…………..…..…....2分 整理得 217300x x -+=，E C B A D解得 122,15x x ==（不合题意，舍去），….............4分 答：纸板各角应切去边长为2cm 的正方形．………....5分 四、解答题（每小题5分，共20分）19．已知a ,b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20132013b a -的值．解： 0-1)1-(1=-+b b a ， ∴0-1)1(1=-++b b a ，………………..…..…..………...…1分 根据二次根式的性质可得：01)1(,01≥--≥+b b a ，……2分 ∴0-1)1(,01=-=+b b a∴1,1=-=b a ………………..….……….………..…………......4分 ∴20132013b a -=2111)1(20132013-=--=--………..…………....5分 20．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=++--m m x m x . （1）若此方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若x =－1是这个方程的一个根，求1423+-+m m m 的值． 解：（1） 此方程有实数根，∴)2(4)1(4Δ2+--=m m m0)41(4≥-=m ………..……….…….……......1分 ∴41≤m …….………..…………….………..…......3分（2）把x =－1代入原方程，得：0)2()1()1(2)1(2=++-⨯---m m m ，………..…………..4分 化简得：0142=-+m m ，∴1101)14(14223=+=+-+=+-+m m m m m m ...……....5分 21．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8，D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ．（1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．………………..…..…..…..…1分 ∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ， 且∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ．………………..…..…2分 ∴ △BDE ∽△CAD ．………………..….…3分（2）解：由（1）得DB ACBE CD=．……………….….….…4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2， ∴ 6DB BC CD =-=． ∴ 622.45DB CD BE AC ⨯⨯===．……………..…..5分 22．如图，已知点C 、D 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆上，且OC BD ⊥于点M ，CF ⊥AB 于点F 交BD 于点E ，8BD =,2CM =． （1）求⊙O 的半径；（2）求证：CE = BE ．解：（1）∵AB 为直径，∴ 90=∠ADB ，∵BD OC ⊥，∴M 为的中点，482121=⨯==BD BM ….…..1分设半径为r ，则OM ＝OC －CM ＝r －2 ∴在OBM ΔRt 中，２BM OM OB +=22，∴２4)2(22+-=r r ，解得5=r ，∴半径为5；………..……..3分 （2）（方法一）易证OBM OCF ΔΔ≅(AAS)， ∴OF =OM ，又OB =OC∴OB -OF =OC -OM ，即BF =CM再证CEM BEF ΔΔ≅(AAS 或ASA)，∴CE = BE ．………..…………………………..…….….….…..5分 （方法二）连结BC ，易证OBM OCF ΔΔ≅(AAS)， ∴OBM OCF ∠=∠，又OB =OC ，∴OCB OBC ∠=∠， ∴ECB EBC ∠=∠，∴CE = BE ．………..…………………………..…….….….…..5分 五、解答题（第23、24小题各7分，第25小题8分，共22分） 23．已知关于x 的一元二次方程250x ax a -++=. （1）若2x =是该方程的一个根，求a 的值；M F E DC B A OPQA （2）无论a 取任何值，该方程的根不可能为0x x =，写出0x 的值，并证明；（3）若a 为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数a 的值．解：（1）4250a a -++=，…………………..…………1分解得9a =. ..…………………………………..….2分 （2）01x = ………………………………3分把0x x =代入，20050x ax a -++=，200(1)50x a x -++=，当01x =时，无论a 取何值，此等式均不成立.无论a 取任何值，该方程的根不可能为1x =.…………4分（3）2420a a ∆=--,记2n ∆=，n 为正整数； 22(2)24a n --=[(2)][(2)]24a n a n ---+=由于2a n -+为非负数，且22a n a n -+>--，且2a n -+与2a n --奇偶性相同，所以22212a n a n --=⎧⎨-+=⎩ 或24216a n a n --=⎧⎨-+=⎩解得：7a =或9a =……………………………………6分 经验证，当7a =或9a =时正整数数，符合题………7分（注：两个答案全部猜对且无其他答案可给结论分1分.）24．在△ABC 中，AC AB =， 60<∠BAC ，把线段BC 绕点B 逆时针旋转 60至BP ；如图所示位置有 60=∠ABQ ， 150=∠BCQ ． （1）若 30=∠BAC ，则=∠ABP 度；若αBAC =∠，则=∠ABP （用α表示）；（2）求证：△ABQ 为等边三角形；（3）四边形CBPQ 的面积为1，求△ABC 的面积．解：（1）15；α2130- ………2分证明：连结CP ，∵ BC BP =，60CBP ∠=︒∴ △BCP 为等边三角形. ∴ 60CBP ∠=︒ ∵ AB AC =∴ 18019022CBA αα︒-∠==︒-, ∴ 1302ABP ABC PBC α∠=∠-∠=︒-(2) ∵ △BCP 为等边三角形，∴ BP CP =，60BPC ∠=︒， 在△BAP 与△CAP 中 AB AC AP AP BP CP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △BAP ≌△CAP∴1(36060)1502APB APC ∠=∠=︒-︒=︒ BPA BCQ ∠=∠，又∵ 60ABP QBC ABC ∠=∠=∠-︒ ∴ △BAP ≌△BQC ∴ BA BQ =,∴ △ABQ 为等边三角形.…………………………………5分 (3) ∵ △BAP ≌△BQC ∴ AP CQ =1506090PCQ ∠=︒-︒=︒易证：12CPQ S CP CQ ∆=⨯而111()224ABP S BP AP BP AP ∆=⨯⨯=⨯（注：作高与利用正弦型面积公式均可）∴ 2CBPQ BCP CPQ BCP ABP ABC S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+= ∴ 1ABC S ∆=.……………………………………..7分25．点P 在图形M 上, 点Q 在图形N 上,记max (,)d M N 为线段PQ 长度的最大值，min (,)d M N 为线段PQ 长度的最小值，图形,M N的平均距离(,)Ed M N =max min (,)(,)2d M N d M N +．（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 是以O 为圆心，2的半径的圆，且13(,)22A ，(2,23)B ，求(,Ed A ⊙)O 及(,Ed B ⊙)O ；(直接写出答案即可)（2）半径为1的⊙C 的圆心C 与坐标原点O 重合，直线33433+-=x y 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点F ，记线段DF 为图形G ，求(,Ed G ⊙)C ；（3）在（2）的条件下，如果⊙C 的圆心C 从原点沿x 轴向右移动，⊙C 的半径不变，且(,Ed G ⊙)C =52，求圆心C 的横坐标． 解：（1）(,Ed A ⊙)O =2，……………………………….…1分(,Ed B ⊙)O =4 ………………………………….…2分 （2）max (,d G ⊙)C =5，min (,d G ⊙)C =1，……………………………..…4分（求对1个给一分，对于圆外一点到圆上的一点的距离的最大值与最小值要求有说理或画图解释，点到直线上一点的距离的最小值为该点到垂足的距离，要求有说理或画图解释。
