2020-2021学年最新北师大版九年级数学上学期10月份月考测试题及答案解析-精品试题

2020-2021学年山东省德州九中九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列方程中，是一元二次方程的是()A. ax2+2x=1B. x+1x−1=0C. 3(x+2)2=3x2−4x+1D. 3x2−12=x+232.下列抛物线中，与抛物线y=x2−2x+4具有相同对称轴的是()A. y=4x2+2x+1B. y=2x2−4x+1C. y=2x2−x+4D. y=x2−4x+23.若x=2是关于x的一元二次方程x2−mx+8=0的一个解．则m的值是()A. 6B. 5C. 2D. −64.用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得()A. (x+5)2=16B. (x+5)2=1C. (x+10)2=91D. (x+10)2=1095.某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31.若设主干长出x个支干，则可列方程是()A. (1+x)2=31B. 1+x+x2=31C. (1+x)x=31D. 1+x+2x=316.已知点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)在函数y=−x2−2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为()A. y1<y3<y2B. y3<y1<y2C. y3<y2<y1D. y2<y1<y37.设a，b是方程x2+x−2020=0的两个实数根，则a2+2a+b的值是()A. 2021B. 2020C. 2019D. 20188.二次函数y=−2x2+4x+1的图象如何平移可得到y=−2x2的图象()A. 向左平移1个单位，向上平移3个单位B. 向右平移1个单位，向上平移3个单位C. 向左平移1个单位，向下平移3个单位D. 向右平移1个单位，向下平移3个单位9.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−(m−1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10.在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+b(a≠0)与一次函数y=ax+b的图象可能是()A. B.C. D.11.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，且它与x轴交于A、B两点．若AB的长是6，则该抛物线的顶点坐标为()A. (1,9)B. (1,8)C. (1,−9)D. (1,−8)12.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)和B，与y轴交于点C.下列结论：①abc<0，②2a+b<0，③4a−2b+c>0，④3a+c>0，其中正确的结论个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.方程x2=2x的根为______．14.篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为______．15.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是______16.若二次函数y=(k−2)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______．17.抛物线y=12x2+mx+m+12经过定点的坐标是______18.平面直角坐标系中，将抛物线y=−x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A(−1,0)和B(0,3)，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.解方程：(1)2x2+5x=−1；(2)2(x−3)2=x2−9．20.已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m−1=0，(1)求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．21.我市某楼盘原计划以每平方米5000元的均价对外销售，由于国家“限购”政策出台，购房者持币观望，房产商为了加快资金周转，对该楼盘价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求两次下调的平均百分率；(2)对开盘当天购房的客户，房产商在开盘均价的基础上，还给予以下两种优惠方案供选择：①打9.9折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米40元，某客户在开盘当天购买了该楼盘的一套120平方米的商品房，试问该客户选择哪种方案购房更优惠一些？x2+bx+c经过点A(3√3,0)和点B(0,3)，且这个抛物线的对称轴为22.抛物线y=−13直线l，顶点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占的面积是图案面积的19，则竖彩条宽度为多少？7524.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)．(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？(3)在上述条件不变、销售正常情况下，商场日盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出x，如果不行，请说明理由．25.已知直线l：y=−2，抛物线C：y=ax2−1经过点(2,0)(1)求a的值；(2)如图①，点P是抛物线C上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q.求证：PO=PQ；(3)请你参考(2)中的结论解决下列问题1.如图②，过原点作直线交抛物线C于A，B两点，过此两点作直线l的垂线，垂足分别为M，N，连接ON，OM，求证：OM⊥ON；2.如图③，点D(1,1)，使探究在抛物线C上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程未知数的最高次数是2，为整式方程，并且二次项系数不为0.找到化简后未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可．【解答】解：A、a有可能为0，不符合题意；B、为分式方程，不符合题意；C、化简后为一元一次方程，不符合题意；D、未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；故选D．2.【答案】B【解析】解：抛物线y=x2−2x+4的对称轴为x=1；A、y=4x2+2x+1的对称轴为x=−1，不符合题意；4B、y=2x2−4x+1的对称轴为x=1，符合题意；C、y=2x2−x+4的对称轴为x=1，不符合题意；4D、y=x2−4x+2的对称轴为x=2，不符合题意，故选B．根据对称轴方程分别确定各个抛物线的对称轴后即可作出判断．此题考查了二次函数的性质，牢记对称轴方程公式是解答本题的关键，难度不大．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一次方程即可．【解答】解：把x=2代入方程得：4−2m+8=0，解得m=6．故选：A．4.【答案】A【解析】解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=−9，配方得：x2+10x+25=16，即(x+5)2=16，故选A．方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：设主干长出x个支干，根据题意列方程得：x2+x+1=31．故选：B．由题意设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，找出所求问题需要的条件．根据二次函数图象具有对称性和二次函数的增减性，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵y=−x2−2x+b，∴函数y =−x 2−2x +b 的对称轴为直线x =−1，开口向下，当x <−1时，y 随x 的增大而增大，当x >−1时，y 随x 的增大而减小， ∵−1−(−3)=2，−1−(−1)=0，2−(−1)=3， ∴y 3<y 1<y 2， 故选B ．7.【答案】C【解析】解：∵a ，b 是方程x 2+x −2020=0的两个实数根， ∴a 2+a =2020，a +b =−1，∴a 2+2a +b =(a 2+a)+(a +b)=2020−1=2019． 故选：C ．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a 2+a =2020、a +b =−1，将其代入a 2+2a +b =(a 2+a)+(a +b)中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a 2+a =2020、a +b =−1是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：二次函数y =−2x 2+4x +1的顶点坐标为(1,3)，y =−2x 2的顶点坐标为(0,0)，只需将函数y =−2x 2+4x +1的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位即可． 故选：C ．根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案．本题考查函数的图象变换，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．9.【答案】D【解析】解：∵y =x 2−(m −1)x +m =(x −m−12)2+m −(m−1)24，∴该抛物线顶点坐标是(m−12,m −(m−1)24)，∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是(m−12,m −(m−1)24−3)，∵m>1，∴m−1>0，∴m−12>0，∵m−(m−1)24−3=4m−(m2−2m+1)−124=−(m−3)2−44=−(m−3)24−1<0，∴点(m−12,m−(m−1)24−3)在第四象限；故选：D．根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：A.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故A错误；B.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故B错误；C.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，故C 正确；∵D.二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a >0，b <0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y 轴负半轴的同一点， 故D 错误；故选C ．11.【答案】C【解析】解：∵抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为x =1，且它与x 轴交于A 、B 两点．AB 的长是6，∴点A 的坐标为(−2,0)，点B 的坐标为(4,0)或点A 的坐标为(4,0)，点B 的坐标为(−2,0)， ∴{−b 2×1=14−2b +c =0， 得{b =−2c =−8， ∴y =x 2−2x −8=(x −1)2−9，∴该抛物线的顶点坐标为(1,−9)，故选：C ．根据题意可以得到点A 和点B 的坐标，然后根据对称轴为x =1可以求得b 、c 的值，然后将函数解析式化为顶点式即可解答本题．本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】B【解析】解：①∵由抛物线的开口向上知a >0，∵对称轴位于y 轴的右侧，∴b <0．∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c <0，∴abc >0；故错误；<1，得2a>−b，即2a+b>0，②对称轴为x=−b2a故错误；③如图，当x=−2时，y>0，4a−2b+c>0，故正确；④∵当x=−1时，y=0，∴0=a−b+c<a+2a+c=3a+c，即3a+c>0．故正确．综上所述，有2个结论正确．故选：B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．13.【答案】x1=0，x2=2【解析】解：x2=2x，x2−2x=0，x(x−2)=0，x=0，或x−2=0，x1=0，x2=2，故答案为：x1=0，x2=2．移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．14.【答案】12x(x −1)=36【解析】解：设一共有x 个球队参赛，每个队都要赛(x −1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x(x −1)=36，故答案为12x(x −1)=36．赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x 个球队比赛总场数为x(x−1)2，即可列方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．15.【答案】−1<x <3【解析】解：抛物线的对称轴为直线x =1，而抛物线与x 轴的一个交点坐标为(−1,0)，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，所以当−1<x <3时，y >0．故答案为−1<x <3．利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，然后写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c(a,b ，c 是常数，a ≠0)与x 轴的交点坐标问题转化解．关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．16.【答案】k ≤3且k ≠2【解析】解：∵二次函数y =(k −2)x 2+2x +1的图象与x 轴有交点，∴一元二次方程(k −2)x 2+2x +1=0有解，∴{k −2≠0△=22−4(k −2)=12−4k ≥0， 解得：k ≤3且k ≠2．故答案为：k ≤3且k ≠2．根据二次函数图象与x 轴有交点可得出关于x 的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 本题考查了抛物线与x 轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．17.【答案】(−1,1)【解析】解：∵y =12x 2+(x +1)m +12，∵抛物线经过定点，∴x +1=0，∴x =−1，y =1，∴定点坐标为(−1,1)，故答案为(−1,1)由y =12x 2+(x +1)m +12，抛物线经过定点，可得x +1=0，由此即可解决问题； 本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，定点问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18.【答案】214【解析】解：设平移后的解析式为y =−x 2+bx +c ，∵抛物线C 经过点A(−1,0)和B(0,3)，∴{−1−b +c =0c =3，解得{b =2c =3， ∴抛物线C 的解析式为y =−x 2+2x +3，设Q(x,0)，则P(x,−x 2+2x +3)，∵点P 是抛物线C 上第一象限内一动点，∴OQ +PQ =x +(−x 2+2x +3)=−x 2+3x +3=−(x −32)2+214，∴OQ +PQ 的最大值为214，故答案为214．求得抛物线C 的解析式，设Q(x,0)，则P(x,−x 2+2x +3)，即可得出OQ +PQ =x +(−x 2+2x +3)=−(x −32)2+214，根据二次函数的性质即可求得．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ +PQ =−x 2+3x +3是解题的关键．19.【答案】解：(1)2x 2+5x +1=0，∵a =2，b =5，c =1，∴b 2−4ac =52−4×2×1=17，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=−5±√172，， ∴x 1=−5+√172，x 2=−5−√172；(2)2(x −3)2=x 2−9，2(x −3)2−(x −3)(x +3)=0，(x −3)(2x −6−x −3)=0，∴x −3=0或x −9=0，∴x 1=3，x 2=9．【解析】(1)先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程；(2)先把方程变形为2(x −3)2−(x −3)(x +3)=0，然后利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．20.【答案】解：(1)证明：Δ=(4m +1)2−4(2m −1)=16m 2+8m +1−8m +4=16m 2+5>0，∴不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)∵1x 1+1x 2=−12，即x 1+x 2x 1x 2=−12， ∴由根与系数的关系可得−4m−12m−1=−12，解得 m =−12，经检验得出m =−12是原方程的根，即m的值为−12．【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式Δ的符号的关系，把求未知系数的范围问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．(1)要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明Δ>0即可；(2)因为1x1+1x2=x1+x2x1x2=−12，所以由根与系数的关系可得−4m−12m−1=−12，解方程可得m的值．21.【答案】解：(1)设两次下调的平均百分率为x，根据题意得：5000(1−x)2=4050，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(舍去)，答：两次下调的平均百分率为10%．(2)∵方案①可优惠4050×120×(1−0.99)=4860(元)，方案②可优惠400×120=4800(元)，且4860>4800，∴方案①更优惠．【解析】(1)根据每次的均价等于上一次的价格乘以(1−x)(x为平均每次下调的百分率)，可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；(2)根据优惠方案先分别求出方案①和方案②的优惠钱数，再进行比较即可得出答案．本题主要考查一元二次方程在实际中的应用：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22.【答案】解：(1)∵抛物线y=−13x2+bx+c经过A(3√3,0)、B(0,3)，∴{−9+3√3b+c=0 c=3由上两式解得b=2√33，∴抛物线的解析式为：y=−13x2+2√33x+3；(2)由(1)抛物线对称轴为直线x=√3，把x=√3代入，y=−13x2+2√33x+3得y=4，则点C坐标为(√3,4)，设线段AB所在直线为：y=kx+b，解得AB解析式为：y=−√33x+3，∵线段AB所在直线经过点A(3√3,0)、B(0,3)，抛物线的对称轴l与直线AB交于点D，∴设点D的坐标为D(√3,m)，将点D(√3,m)代入y=−√33x+3，解得m=2，∴点D坐标为(√3,2)，∴CD=CE−DE=2过点B作BF⊥l于点F，∴BF=OE=√3，∵BF+AE=OE+AE=OA=3√3，∴S△ABC=S△BCD+S△ACD=12CD⋅BF+12CD⋅AE，∴S△ABC=12CD(BF+AE)=12×2×3√3=3√3．【解析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式，用割补法求三角形面积，二次函数的图象和性质，解答时注意数形结合．(1)利用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用割补法求ABC的面积．23.【答案】解：设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则(30−2x)(20−4x)=30×20×(1−1975)，整理得：x2−20x+19=0，解得：x1=1，x2=19(不合题意，舍去)．答：竖彩条的宽度为1cm．【解析】可设竖彩条的宽是xcm，则横彩条的宽是2xcm，根据彩条所占面积是图案面积的19，可列方程求解．75本题考查的是一元二次方程的应用，设出横竖条的宽，以面积做为等量关系列方程求解．24.【答案】2x(50−x)【解析】解：(1)商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50−x)元，故答案为：2x、(50−x)；(2)根据题意可得(30+2x)(50−x)=2100，解得：x=15或x=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．(3)根据题意可得(30+2x)(50−x)=2200，整理得到：x2−35x+350=0．由于△=b2−4ac=1225−1400=−175<0，所以该方程无解．故商场日盈利不可以达到2200元．(1)降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利−降低的钱数；(2)(3)根据日盈利=每件商品盈利的钱数×(原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数)，列出方程求解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．25.【答案】解：(1)∵抛物线C：y=ax2−1经过点(2,0)，∴0=4a−1，∴a=14；(2)∵a=14，∴抛物线解析式：y=14x2−1，设点P(a,14a2−1)，∴PO=√(a−0)2+(14a2−1) 2=14a2+1，PQ=14a2−1−(−2)=14a2+1，∴PO=PQ；(3)1.由(2)可得OA=AM，OB=BN，∴∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴AM//BN，∴∠ABN+∠BAM=180°，∵∠ABN+∠BON+∠BNO=180°，∠AOM+∠AMO+∠BAM=180°，∴∠ABN+∠BON+∠BNO+∠AOM+∠AMO+∠BAM=360°，∴∠BON+∠AOM=90°，∴∠MON=90°，∴OM⊥ON；2.如图：过点F作EF⊥直线l，由(2)可得OF=EF，∵OF+DF=EF+DF，∴当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小．即此时DE⊥直线l，∴OF+DF的最小值为DE=1+2=3．【解析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求解析式，两点距离公式，三角形内角和定理，最短路径问题，利用数形思想解决问题是本题的关键．(1)利用待定系数法可求a的值；a2−1)，根据两点距离公式可求PQ，PO的长度，即可证PQ=PO；(2)设点P(a,14(3)1.由(2)可得OB=BN，AM=AO，即可求∠BON=∠BNO，∠AOM=∠AMO，根据三角形内角和定理可求OM⊥ON；2.过点F作EF⊥直线l，由(2)得OF=EF，当点D，点F，点E三点共线时，OF+DF的值最小，此时DE⊥直线l，即可求FD+FO的最小值．。

2020-2021学年辽宁省沈阳134中九年级（上）段测数学试卷（10月份）一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，20分）1．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．42．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD3．下列说法正确的是（）A．367人中至少有2人生日相同B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖4．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直5．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙6．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）＝3000B．80×70﹣4x2＝3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x＝30007．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．9．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m10．如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（）A．8B．10C．12D．14二、填空题：（每小题3分，共18分11．（3分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有个白球．12．（3分）若，则＝．13．（3分）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是．14．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．15．（3分）一次函数y＝﹣2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA、OB的垂线，垂足为C、D，点P的坐标为时，矩形OCPD的面积为2．16．（3分）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝，则AP的长为．三、解答题（共3小题，满分22分）17．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝3．18．（8分）解方程：x2﹣6x﹣4＝0．19．（8分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字，求两次都摸到奇数的概率．四、解答题：（每小题8分，共16分）20．（8分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．五、解答题：（每小题10分，共20分）22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD 上滑动，且△AED与以点M、N、C为顶点的三角形相似，则CM的长是多少？23．（10分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．…32.53535.538…销售量y（千克）售价x（元/…27.52524.522…千克）（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？六、解答题：（每小题12分，共24分）24．（12分）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB 为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．25．（12分）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE⊥BD，垂足是E，点F 是点关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）直接求出：AF＝；BE；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A'F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD 交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．2020-2021学年辽宁省沈阳134中九年级（上）段测数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，20分）1．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k ＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，解得k＝2．故选：B．2．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD【分析】由平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：B．3．下列说法正确的是（）A．367人中至少有2人生日相同B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖【分析】利用概率的意义和必然事件的概念的概念进行分析．【解答】解：A、367人中至少有2人生日相同，正确；B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，错误；C、天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，错误；D、某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，错误；故选：A．4．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．5．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙【分析】分别求出矩形的邻边的比，再根据相似多边形的定义解答．【解答】解：甲：邻边的比为3：2，乙：邻边的比为2.5：1.5＝5：3，丙：邻边的比为1.5：1＝3：2，所以，是相似图形的是甲和丙．故选：B．6．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）＝3000B．80×70﹣4x2＝3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x＝3000【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000，故选：C．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．8．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为＝，故选：C．9．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故选：B．10．如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（）A．8B．10C．12D．14【分析】根据菱形的面积等于两条对角线长的积的一半，可求得．【解答】解：设菱形的另一条对角线长为x，则×7×x＝28，∴x＝8．故选：A．二、填空题：（每小题3分，共18分11．（3分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有20个白球．【分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【解答】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是＝，设口袋中大约有x个白球，则＝，解得x＝20．故答案为：20．12．（3分）若，则＝5．【分析】根据比例的性质解答：设＝t，则x、y、z分别用t表示，然后将其代入所求的代数式，消去t，从而解得代数式的值．【解答】解：设＝t，则x＝3t，y＝5t，z＝7t．∴＝＝5；故答案是：5．13．（3分）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是50（1﹣x）2＝32．【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．【解答】解：由题意可得，50（1﹣x）2＝32，故答案为：50（1﹣x）2＝32．14．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：KC的长为步．故答案为．15．（3分）一次函数y＝﹣2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA、OB的垂线，垂足为C、D，点P的坐标为（2，1）或（，4）时，矩形OCPD的面积为2．【分析】设P（a，﹣2a+5），则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a 值，继而求得点P的坐标．【解答】解：∵点P在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，∴P（a，﹣2a+5）（a＞0），由题意得a•（﹣2a+5）＝2，整理得﹣2a2+5a﹣2＝0，解得a1＝2，a2＝，∴﹣2a+5＝1或﹣2a+5＝4．综上所述，当P（2，1）或（，4）时，矩形OCPD的面积为2．故答案为：（2，1）或（，4）．16．（3分）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝，则AP的长为．【分析】设AB＝a，AD＝b，则ab＝32，构建方程组求出a、b即可解决问题；【解答】解：设AB＝a，AD＝b，则ab＝32，由△ABE∽△DAB可得：＝，∴b＝a2，∴a3＝64，∴a＝4，b＝8，设P A交BD于O．在Rt△ABD中，BD＝＝12，∴OP＝OA＝＝，∴AP＝．故答案为．三、解答题（共3小题，满分22分）17．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，所以x1＝0，x2＝4．18．（8分）解方程：x2﹣6x﹣4＝0．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x2﹣6x＝4，配方得x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，开方得x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．19．（8分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字，求两次都摸到奇数的概率．【分析】根据题意先画出树状图，得出所以等可能的结果数和两次都摸到奇数的情况数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中两次都摸到奇数的有2种，则两次都摸到奇数的概率是＝四、解答题：（每小题8分，共16分）20．（8分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．五、解答题：（每小题10分，共20分）22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，且△AED与以点M、N、C为顶点的三角形相似，则CM的长是多少？【分析】根据勾股定理求出DE的长，分△AED∽△CNM和△AED∽△CMN两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，∴AE＝1，∴DE ＝＝＝，当△AED∽△CNM 时，＝，即＝，解得CM ＝，当△AED∽△CMN 时，＝，即＝，解得CM ＝．23．（10分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．…32.53535.538…销售量y（千克）…27.52524.522…售价x（元/千克）（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；（2）根据利润＝销量×（售价﹣成本），列出m与x的函数关系式，再由函数值求出自变量的值．【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴y＝﹣x+60（15≤x≤40），∴当x＝28时，y＝32，答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；（2）由题易知m＝y（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，当m＝400时，则﹣x2+70x﹣600＝400，解得，x1＝20，x2＝50，∵15≤x≤40，∴x＝20，答：这天芒果的售价为20元．六、解答题：（每小题12分，共24分）24．（12分）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB 为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE＝OC，∥OC，CE＝OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE＝∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO＝∠QDO＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC＝ED，CE＝DQ，即可得到结论（2）①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP＝OR＝RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD＝30°，即可得到结论；②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，推出∠PEQ＝∠ACR＝90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB＝∠PEQ＝90°，根据四边形的内角和得到∠MON＝135°，求得∠APB＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE＝∠ODE，∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，∴∠PCO＝∠QDO＝90°，∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ，∵PC＝AO＝OC＝ED，CE＝OD＝OB＝DQ，在△PCE与△EDQ中，，∴△PCE≌△EDQ；（2）①如图2，连接RO，∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，∴AR＝OR＝RB，∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°，∴∠CRD＝30°，∴∠ARB＝60°，∴△ARB是等边三角形；②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°，∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°，∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝∠ARB＝45°，∴∠MON＝135°，此时P，O，B在一条直线上，△P AB为直角三角形，且∠APB＝90°，∴AB＝2PE＝2×PQ＝PQ，∴＝．25．（12分）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE⊥BD，垂足是E，点F 是点关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）直接求出：AF＝；BE＝；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A'F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD 交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如图①﹣1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝4，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝＝＝，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF＝AE＝，BF＝BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝，由勾股定理得：BE＝＝＝．故答案为：，＝．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①﹣1所示：由对称点性质可知，∠1＝∠2．BF＝BE＝，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝．①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝，即m＝；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D＝B′F′＝，∴BB′＝BD﹣B′D＝10﹣＝，即m＝．（3）存在．理由如下：在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，则∠Q＝∠DPQ，∴∠2＝∠Q+∠DPQ＝2∠Q，∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，∴∠3＝∠Q，∴A′Q＝A′B＝3，∴F′Q＝F′A′+A′Q＝+6＝．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝．∴DQ＝BQ﹣BD＝﹣10；②如图③﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，则∠2＝∠P，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ＝A′Q，∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝﹣BQ．在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，即：（）2+（﹣BQ）2＝BQ2，解得：BQ＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝10﹣＝；③如图③﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，则∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，∴∠4＝90°﹣∠2．∵∠1＝∠2，∴∠4＝90°﹣∠1．∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1，∴∠A′QB＝∠A′BQ，∴A′Q＝A′B＝3，∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝6﹣＝．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝10﹣；④如图④﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，则∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴BQ＝BA′＝6，∴DQ＝BD﹣BQ＝10﹣6＝4．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；DQ的长度分别为4或或﹣10或10﹣．。

2020-2021学年河南省焦作市九年级（上）期末数学试卷（北师大版）一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置.1．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似2．（3分）某几何体的主视图和左视图完全一样均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆5．（3分）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根6．（3分）在如图所示的网格中，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，位似中心是点O，则四边形ABCD与四边形NPMQ的位似比是（）A．1：2B．2：1C．1：D．：17．（3分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．8．（3分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（）A．S B．S C．S D．S9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．B．C．3D．210．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AD，若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，若△ABE的面积为24，则k的值为（）A．6B．12C．16D．24二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．12．（3分）一个密闭不透明的口袋中只有质地均匀大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球，估计这个口袋中白球的个数约为个．13．（3分）如图，在边长为4cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为cm2．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为．三、解答题（本大题共8题，共75分）16．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．17．（9分）国庆黄金周期间，甲、乙两名同学分别想从云台山、青天河、青龙峡3个景点中随机选择2个景点去游览．（1）求甲同学选择的2个景点是云台山、青天河的概率是．（2）甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的概率是多少？请用树状图或表格表示．18．（9分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测（结果精确到0.1m）．得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．19．（9分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．证明：如图2取EF的中点G，连接AG…任务：（1）完成材料中的证明过程．（2）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若BF＝AC，求∠F的度数．20．（9分）如图1是一种手机平板支架．由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE ＝90mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，≈1.732）21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），过点A的直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的3倍，求此直线的函数表达式．22．（10分）某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？23．（11分）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB ＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，则∠AEB＝；线段AE，EC，BE的数量关系为．（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出∠AEB的度数及线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由．（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．2020-2021学年河南省焦作市九年级（上）期末数学试卷（北师大版）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案前的代号字母填涂在答题卷上指定位置.1．（3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似【解答】解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，故选：D．2．（3分）某几何体的主视图和左视图完全一样均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：几何体的主视图和左视图完全一样均如图所示则上面的几何体从正面看和左面看的长度相等，只有等边三角形不可能，故选：C．3．（3分）如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：用A1、A2分别表示两张印有中国国际进口博览会的标志，用B表示一张印有进博会吉祥物“进宝”．一次性随机抽取两张，所有可能出现的情况如下：共有6种等可能出现的结果，有4种两张卡片图案不相同，∴P（两张卡片图案不相同）＝＝，故选：D．4．（3分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．5．（3分）关于x的方程（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝p2（p为常数），∴x2﹣x﹣6﹣p2＝0，∴△＝b2﹣4ac＝1+24+4p2＝25+4p2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，方程的两个根的积为﹣6﹣p2＜0，∴一个正根，一个负根．故选：C．6．（3分）在如图所示的网格中，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，位似中心是点O，则四边形ABCD与四边形NPMQ的位似比是（）A．1：2B．2：1C．1：D．：1【解答】解：如图，连接OD，OQ，∵四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，位似中心是点O，∴四边形ABCD与四边形NPMQ的位似比＝OD：OQ＝：2＝1：2．故选：A．7．（3分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，∵S△ABC＝AC•BD＝×3•BD＝×1×3，∴BD＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故选：B．8．（3分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（）A．S B．S C．S D．S【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵点E是线段BC的中点，∴EF、EG都是△OBC的中位线，∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝S；故选：B．9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．B．C．3D．2【解答】解：如图，延长BF交CD的延长线于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，AB∥CD，∴∠H＝∠ABF，∵EF∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是△BCH的中位线，∴BF＝FH，∵∠BFC＝90°，∴CF⊥BF，∴CF是BH的中垂线，∴BC＝CH＝8，∴DH＝CH﹣CD＝3，在△ABF和△GHF中，，∴△ABF≌△GFH（ASA），∴AB＝GH＝5，∴DG＝GH﹣DH＝2，故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AD，若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，若△ABE的面积为24，则k的值为（）A．6B．12C．16D．24【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为矩形，∴O为对角线AC，BD交点，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD＝∠EAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴BD∥AE，∴S△ABE＝S△AOE＝24．设点A坐标为（m，），∵AF＝EF，即F为AE中点，∴点F纵坐标为，将y＝代入y＝得x＝2m，∴点F坐标为（2m，），∴点E横坐标为2×2m﹣m＝3m，即点E坐标为（3m，0）．∴S△AOE＝OE•y A＝×3m×＝24，解得k＝16．故选：C．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是m ＞﹣1且m≠0．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4+4m＞0且m≠0，∴m＞﹣1且m≠0，故答案为：m＞﹣1且m≠0．12．（3分）一个密闭不透明的口袋中只有质地均匀大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入10个红球，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球，估计这个口袋中白球的个数约为4个．【解答】解：设袋子中白球有x个，根据题意，得：＝，解得x≈4，经检验x＝4是分式方程的解，所以袋子中白球的个数约为4个，故答案为：4．13．（3分）如图，在边长为4cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为8cm2．【解答】解：连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形，∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，∴S△PEF＝S△BEF，∵AT⊥BF，AB＝AF，∴BT＝FT，∠BAT＝∠F AT＝60°，∴BT＝FT＝AB•sin60°＝2（cm），∴BF＝2BT＝4（cm），∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，∴∠BFE＝90°，∴S△PEF＝S△BEF＝•EF•BF＝×4×4＝8（cm2），故答案为8．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为6．【解答】解：设OC＝a，则C（a，0），∵OC＝OB，∴B（5a，0），CB＝4a，过点A作AE⊥x轴于点E，则∠AEC＝∠DOC＝90°，∵∠ACE＝∠DCO，∴△COD∽△CEA，∴，∵AB＝AC，点A在反比例函数图象上，∴A（3a，），CE＝2a，∴，∴OD＝，∵S△BCD＝＝2，∴k＝6．故答案为：6．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝，即P A+PB的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共8题，共75分）16．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝17．（9分）国庆黄金周期间，甲、乙两名同学分别想从云台山、青天河、青龙峡3个景点中随机选择2个景点去游览．（1）求甲同学选择的2个景点是云台山、青天河的概率是．（2）甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的概率是多少？请用树状图或表格表示．【解答】解：把云台山、青天河、青龙峡3个景点分别记为A、B、C，（1）画树状图如图：共有6个等可能的结果，甲同学选择的2个景点是云台山、青天河的结果有2个，∴甲同学选择的2个景点是云台山、青天河的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9种等可能出现的结果，其中甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的有3种，∴甲、乙两名同学选择的2个景点恰好相同的概率为＝．18．（9分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测（结果精确到0.1m）．得AB＝1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．【解答】解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，∴MA∥CD∥BN，∴EC＝CD＝x米，∴△ABN∽△ACD，∴＝，即＝，解得：x＝6.125≈6.1．经检验，x＝6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米19．（9分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角ABC可被看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E，交DA的延长线于点F，若EF＝2AB，则射线BF是∠ABC的一条三等分线．证明：如图2取EF的中点G，连接AG…任务：（1）完成材料中的证明过程．（2）如图3，矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F．若BF＝AC，求∠F的度数．【解答】（1）证明：如图2，取EF的中点G，连接AG，∵四边形BCAD是矩形，∴AD∥BC，∠DAC＝90°，∴∠F＝∠CBF，∠EAF＝90°，∵点G是EF的中点，∴AG＝EF＝FG，∴∠F＝∠GAF，∵EF＝2AB，∴AG＝AB，∴∠ABG＝∠AGB＝∠F+∠GAF＝2∠F＝2∠CBF，∴∠ABC＝3∠CBF，∴射线BF是∠ABC的一条三等分线；（2）解：取AC的中点H，连接BH，如图2所示：∵四边形BCAD是矩形，∴∠CBA＝∠CBE＝90°，∵BF是∠CBE的角平分线，∴∠FBE＝∠CBE＝×90°＝45°，∵∠FBE＝∠F AB+∠F，∴∠F AB+∠F＝45°，∵∠CBA＝90°，点H是AC的中点，∴BH＝AH＝BF＝AC，∴∠HAB＝∠HBA，∠BHF＝∠F，∴∠BHF＝2∠HAB，∴∠F＝2∠HAB，∴∠F AB＝∠F，∴∠F+∠F＝45°，∴∠F＝30°．20．（9分）如图1是一种手机平板支架．由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE ＝90mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，≈1.732）【解答】解：如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40mm＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44（mm），∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），过点A的直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于B，C两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的3倍，求此直线的函数表达式．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，6），∴m＝2×6＝12，∴反比例函数的表达式为y＝；（2）∵直线y＝kx+b过点A，∴2k+b＝6，∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，∴B（﹣，0），C（0，b），∵△AOB的面积为△BOC的面积的3倍，∴×6×|﹣|＝3××|﹣|×|b|，∴b＝±2，当b＝2时，k＝2，当b＝﹣2时，k＝4，∴直线的函数表达式为：y＝2x+2或y＝4x﹣2．22．（10分）某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？【解答】解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x≥800．解得x≥50．答：4月份售出B型小家电至少50台；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．整理，得5y2﹣26y+33＝0．解得y1＝3，y2＝2.2．为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．答：两种型号的小家电都降价3元．23．（11分）如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB ＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，则∠AEB＝45°；线段AE，EC，BE的数量关系为AE＝EC+BE．（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出∠AEB的度数及线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由．（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．【解答】解：（1）连接AC，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四点共圆，∴∠AEB＝∠ACB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴∠AEB＝45°，∴AE＝EC+BE；故答案为：45°；AE＝EC+BE．（2）AE＝BE+CE，理由如下：在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，FH＝EH，在Rt△BHE中，BH＝BE，FH＝EH＝BH＝BE，∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE＝BE+CE；（3）分两种情况：①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：由（2）得：FH＝EH＝BE，∵tan∠DAB＝，∴AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，∴；②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示：同①得：FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，∴；综上所述，当α＝120°，tan∠DAB＝时，的值为或．。

天津市第二十五中学2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程是一元二次方程的序号是（ ）①3x 2+x=20；②2x 2﹣3xy+4=0；③x 2﹣1x =4；④x 2=﹣4；⑤x 2﹣3x ﹣4=0 A ．①② B ．①②④⑤ C ．①③④ D ．①④⑤ 2．下列哪个图形不是中心对称图形（ ）A ．圆B ．平行四边形C ．矩形D ．梯形 3．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4) 4．若二次函数2()1y x m =--，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）A ．1m =B ．1m >C ．1m ≥D ．1m ≤ 5．同一平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x －a )2与直线y ＝ax +a 的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知二次函数y=﹣x 2+2x+3的图象过点M （﹣2，y 1），N （﹣3，y 2），K （6，y 3），则y 1，y 2，y 3的关系从小到大的是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 2 7．若抛物线y=﹣x 2﹣8x+c 的顶点在x 轴上，则c 的值为（ ）A ．﹣16B ．16C ．±16D ．88．如图，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ．下列结论一定正确的是（ ）A ．AC AD =B ．AB EB ⊥C ．BC DE =D ．A EBC ∠=∠ 9．如图，Rt AOB 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ． 10．二次函数y ＝x 2+mx ﹣n 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣n ＝0在﹣1＜x ＜6的范围内有实数解，则n 的取值范围是（ ）A ．﹣4≤n ＜5B ．n ≥﹣4C ．﹣4≤n ＜12D ．5＜n ＜12 11．已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ）A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或312．如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 13．已知点A （2m ，﹣3）与B （6，1﹣n ）关于原点对称，则m +n=_____．14．抛物线2 34y x bx =-+的顶点在y 轴上，那么b ＝__．15．二次函数21(2)12y x =+-向左、下各平移2个单位，所得的函数解析式_______． 16．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x 元，每星期售出商品的利润y 元，则根据题意列函数关系式为： ____（要求：将函数解析式化成二次函数一般形式）17．如图，等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，若2AP =，BP =CP =则△ABC 的面积= _________________ ．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上.（1）ACB ∠的大小为__________（度）；（2）在如图所示的网格中，P 是BC 边上任意一点.A 为中心，取旋转角等于BAC ∠，把点P 逆时针旋转，点P 的对应点为'P .当'CP 最短时，请用无刻度．．．的直尺，画出点'P ，并简要说明点'P 的位置是如何找到的（不要求证明）__________．三、解答题19．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）．（1）请画出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1；（2）四边形CBC 1B 1为 四边形；（3）点P 为平面内一点，若以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P 坐标．20．解方程：（1）3x （x ﹣4）=2（x ﹣4）．（2）3x 2﹣5x ﹣1＝0．21．（1）已知()2m m y m 2x 3x 1-=---是y 关于x 的二次函数．求m 的值；（2）如图，二次函数()22y x m =-+的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点1,0A 及点(),3B n①求二次函数的解析式及B 的坐标②根据图象，直按写出满足()22kx b x m +≥-+的x 的取值范围22．如图，二次函数y ＝﹣x 2＋（k ﹣1）x ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且△AOB 的面积为6．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求该二次函数的表达式；（3）如果点P 在坐标轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．23．如图，用一段长为30m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（矩形ABCD ），墙长为22m ，这个矩形的长AB ＝xm ，菜园的面积为Sm 2，且AB ＞AD ．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）若要围建的菜园为100m 2时，求该莱园的长．（3）当该菜园的长为多少m 时，菜园的面积最大？最大面积是多少m 2？24．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （8，0），点B （0，6），把△ABO 绕点B 逆时针旋转得△A′B′O′，点A 、O 旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB= ，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA 上的一点P 旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．25．在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点1,0A .已知抛物线22y x mx m =+-（m 是常数），顶点为P .（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ） 无论m 取何值，该抛物线都经过定点H .当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式.参考答案1．D【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件：①只含有一个未知数，②未知数的最高次数是2，③是整式方程，据此逐一判断即得答案．【详解】解：①3x2+x=20是一元二次方程；②2x2﹣3xy+4=0不是一元二次方程；③x2﹣1x=4不是一元二次方程；④x2=﹣4是一元二次方程；⑤x2﹣3x﹣4=0是一元二次方程；综上，是一元二方程的是①④⑤．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题型，熟知概念是关键．2．D【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A、圆是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、矩形是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、梯形不是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义和常见的中心对称图形，属于基础题目，熟练掌握中心对称图形的概念是关键．3．A【解析】根据2()y a x h k =-+ 的顶点坐标为(,)h k ，易得抛物线y=2（x ﹣3）2+4顶点坐标是（3，4）.故选A.4．C【解析】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m ）2-1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m ，-1），∴该二次函数图象在x ＜m 上是减函数，即y 随x 的增大而减小，且对称轴为直线x=m ， 而已知中当x≤1时，y 随x 的增大而减小，∴x≤1，∴m≥1．故选C ．5．D【分析】先根据一次函数的图象判断 , ,a b 的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误.【详解】A.由一次函数y ＝ax+a 的图象可得: a<0且a>0 ,两者矛盾,故A 错误;B ．由一次函数 y ＝ax+a 的图象可得: a<0,此时二次函数 y ＝(x －a)2的顶点(a, 0)的位置可推出a>0 ,两者矛盾,故B 错误;C.由一次函数 y ＝ax+a 的图象可得: a<0且a>0,两者矛盾,故C 错误;D.由一次函数y ＝ax+a 的图象可得:a>0 ,此时二次函数 y ＝(x －a)2的顶点(a, 0)的位置可推出a>0 ,故D 正确;故选:D.【点睛】此题考查函数图象的判别，解题关键在于结合函数图象进行解答.6．B【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x ＝1，根据x ＜1时，y 随x 的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴图象的开口向下，对称轴是直线x ＝1，∵K （6，y 3）关于直线x ＝1的对称点是（﹣4，y 3），且﹣4＜﹣3＜﹣2，∴y 3＜y 2＜y 1，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基本题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．A【分析】根据二次函数的顶点坐标公式和x 轴上点的坐标特征解答即可．【详解】解：∵抛物线y =﹣x 2﹣8x +c 的顶点在x 轴上，∴()()()2418041c ⨯-⨯--=⨯-，解得：c =﹣16． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和x 轴上点的坐标特征，属于基础题目，熟知抛物线的顶点坐标公式是解题的关键．8．D【分析】利用旋转的性质得AC=CD ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，所以选项A 、C 不一定正确 再根据等腰三角形的性质即可得出A EBC ∠=∠，所以选项D 正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=0180-∠ACB 判断选项B 不一定正确即可．【详解】解：∵ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到DEC ∆，∴AC=CD ，BC=EC ，∠ACD=∠BCE ，∴∠A=∠CDA=180ACD 2∠︒-；∠EBC=∠BEC=180BCE 2∠︒-, ∴选项A 、C 不一定正确∴∠A =∠EBC∴选项D 正确．∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=0180-∠ACB 不一定等于090，∴选项B 不一定正确；故选D ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．9．D【分析】Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A ，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t ；最后根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD ⊥OB ，∴CD ∥AB ，∴∠OCD=∠A ，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t ，∴S △OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象； 故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．10．C【分析】根据对称轴求出m 的值，从而得到1x =-、6时的函数24y x x =-值，再根据一元二次方程20x mx n +-=在16x -<<的范围内有解相当于2y x mx =+与y n =在x 的范围内有交点解答．【详解】解：∵抛物线的对称轴x ＝-2m ＝2， ∴m ＝-4，则方程x 2+mx -n ＝0，即x 2-4x -n ＝0的解相当于y ＝x 2-4x 与直线y ＝n 的交点的横坐标， ∵方程x 2+mx -n ＝0在-1＜x ＜6的范围内有实数解，∴当x ＝-1时，y ＝1+4＝5，当x ＝6时，y ＝36-24＝12，又∵y ＝x 2-4x ＝（x -2）2-4，∴在-1＜x ＜6的范围，-4≤y ＜12，∴n 的取值范围是-4≤n ＜12，故选：C ．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．难点是把一元二次方程20x mx n +-=在16x -<<的范围内有实数解，转化为函数2y x mx =+与直线y n =在16x -<<的范围内有交点的问题进行解答．11．B【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果.【详解】∴①若h ＜1≤x ≤3，x =1时，y 取得最小值5，可得：（1﹣h ）2+1=5，解得：h =﹣1或h =3（舍）；②若1≤x ≤3＜h ，当x =3时，y 取得最小值5，可得：（3﹣h ）2+1=5，解得：h =5或h =1（舍）．综上，h 的值为﹣1或5，故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x =h 时取得最小值1、x ＞h 时，y 随x 的增大而增大、当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，根据1≤x ≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h ＜1≤x ≤3，x =1时，y 取得最小值5；②若1≤x ≤3＜h ，当x =3时，y 取得最小值5，分别列出关于h 的方程求解即可．12．C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴交点的位置可得a 、b 、c 的取值范围，由此可判断①；根据2b a =-结合c 的取值范围可对②进行判断；由OA=OC 可得A 的坐标，代入解析式可判断③；由点A 坐标结合对称轴可得点B 坐标，据此可判断④.【详解】∵抛物线开口向下，∴0a <，∵抛物线的对称轴为直线12b x a =-=， ∴20b a =->，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；∵2b a =-， ∴102a b a a +=-=， ∵0c >， ∴11024a b c ++>，所以②错误；∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③正确；∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确；综上正确的有3个，故选C.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点及与二次函数图象与系数的关系，做好本题要知道以下几点：①当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右．(简称：左同右异)；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于(0，c)．④抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程20ax bx c ++=的根.注意利用数形结合的思想． 13．-5【解析】∵点A （2m ，﹣3）与B （6，1﹣n ）关于原点对称，∴2m =﹣6，1﹣n =3，解得m =﹣3，n =﹣2，∴m +n =﹣3+（﹣2）=﹣5．点睛:关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.14．±【分析】根据二次函数的顶点坐标公式和y 轴上点的坐标特征解答即可．【详解】解：∵抛物线2 34y x bx =-+的顶点在y 轴上，∴2434043b ⨯⨯-=⨯，解得：b =±．故答案为：±【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和y 轴上点的坐标特征，属于常考题型，熟知抛物线的顶点坐标公式是解题的关键．15．21(4)32y x =+- 【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．【详解】 二次函数21(2)12y x =+-向左平移2个单位所得的函数解析式为21(22)12y x =++-，再向下平移2个单位所得的函数解析式为21(22)122y x =++--，即21(4)32y x =+-， 故答案为：21(4)32y x =+-． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移规律，掌握理解二次函数图象的平移规律是解题关键． 16．y ＝﹣10x 2+100x +6000【分析】每件涨价x 元，则每件的利润是（60﹣40+x ）元，所售件数是（300﹣10x ）件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式．【详解】解：y ＝（60﹣40+x ）（300﹣10x ）＝﹣10x 2+100x +6000．故答案为：y ＝﹣10x 2+100x +6000．【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确用x 的代数式表示每件的利润和所售的件数是解题的关键．17．14+【分析】将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°至△ACQ 的位置，连接PQ ，如图1，根据旋转的性质可得△APQ 是等腰直角三角形，根据勾股定理可求出PQ 的长，然后利用勾股定理的逆定理可判断△PCQ 是直角三角形，进而可得∠AQC=135°，过点A 作AF ⊥CQ 交CQ 的延长线于点F ，如图2，易得△AFQ 是等腰直角三角形，于是可得AF 与FC 的长，在Rt △FAC 中可利用勾股定理求出AC 2，进一步根据△ABC 的面积=212AC 即可求出答案． 【详解】解：将△ABP 绕点A 逆时针旋转90°至△ACQ 的位置，连接PQ ，如图1，则AQ=AP=2，∠PAQ=90°，QC=BP =∴PQ ==AQP=∠APQ=45°，∵((222232PQ CQ +=+=，(2232PC ==， ∴222PQ CQ PC +=，∴∠PQC=90°，∴∠AQC=90°+45°=135°，过点A 作AF ⊥CQ 交CQ 的延长线于点F ，如图2，则∠AQF=180°－135°=45°，∴2AF FQ AQ ===∴FC FQ QC =+=∴2222228AC AF FC =+=+=+∴△ABC 的面积=(211281422AC =⨯+=+故答案为：14+【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理及其逆定理等知识，具有相当的难度，正确作出辅助线、灵活应用整体的思想方法是解题的关键．18．90︒； 见解析【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，取格点D ，E ，连接DE 交AB 于点T ；取格点M ，N ，连接MN 交BC 延长线于点G ；取格点F ，连接FG 交TC 延长线于点P '，则点P '即为所求.详解：（1）∵每个小正方形的边长为1，∴AC=BC=，AB=∵22250+==∴222AC BC AB +=∴ΔABC 是直角三角形，且∠C=90°故答案为90；（2）如图，即为所求.点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.19．（1）答案见解析；（2）平行；（3）作图见解析，P 的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，3）．【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．（2）根据平行四边形的判定即为判定．（3）画出符合条件的平行四边形即可解决问题．【详解】解：（1）△A 1B 1C 1如图所示．（2）连接CB 1，BC 1．∵BC =B 'C '，BC ∥B 'C '，∴四边形CBC 1B 1为平行四边形．故答案为：平行．（3）如图所示，满足条件的点P 的坐标为（2，﹣1），（6，5），（0，3）．【点睛】本考查了中心对称作图和关于原点对称的性质，掌握相关的性质是解题的关键.20．（1）1224,3x x ==；（2）12x x == 【分析】（1）移项后利用分解因式法解答即可；（2）根据公式法求解．【详解】解：（1）移项，得：3x （x ﹣4）－2（x ﹣4）=0，原方程可变形为：()()4320x x --=，∴x －4=0或3x －2=0，解得：1224,3x x ==； （2）方程3x 2﹣5x ﹣1＝0中a =3，b =﹣5，c =﹣1，△=（﹣5）2－4×3×（﹣1）=37，∴()523x --==⨯，∴12x x ==． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．21．（1）1m =-；（2）①二次函数的解析式是()221y x =--，点B 的坐标是（4，3）；②14x ≤≤【分析】（1）根据二次函数的定义可得2220m m m -=-≠⎧⎨⎩，进一步即可求出结果； （2）①把点1,0A 代入()22y x m =-+即可求出m ，进而可得二次函数的解析式，把点B 坐标代入抛物线的解析式可得关于n 的方程，解方程即可求出n ，进一步可得点B 坐标； ②所求结果即为直线比抛物线高的部分图象对应的x 的取值范围，据此解答即可．【详解】 解：（1）由题意得：2220m m m -=-≠⎧⎨⎩，解得：1m =-；（2）①把点1,0A 代入()22y x m =-+，得()2012m =-+，解得：1m =-， ∴二次函数的解析式是()221y x =--，当y =3时，()2321n =--，解得：n =0（舍去）或n =4，∴点B 的坐标是（4，3）；②由图象可得：满足()22kx b x m +≥-+的x 的取值范围是：14x ≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的定义、二次函数图象上点的坐标特征、两个函数的交点、一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．22．（1）A的坐标为（0，4），B的坐标为（﹣3，0）；（2）254 3y x x=--+；（3）点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（76，0）或（0，78）或（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）．【分析】（1）令x＝0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的长，进而得到点B 的坐标；（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式；（3）若△ABP是等腰三角形，当点P在x轴上时，分三种情况讨论，当BP＝AB或AP＝BP 或AP＝BP时，由等腰三角形的性质分别求得即可，当点P在y轴上时同理可得．【详解】解：（1）令x＝0，y＝4，∴点A的坐标为（0，4），∵S△OAB＝12×BO×4＝6，∴BO＝3．∴B（3，0）或（﹣3，0），∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，∴点B的坐标为（﹣3，0）；（2）把点B的坐标（﹣3，0）代入y＝﹣x2＋（k﹣1）x＋4，得﹣（﹣3）2＋（k﹣1）×（﹣3）＋4＝0．解得k﹣1＝﹣53，∴所求二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣53x＋4；（3）（Ⅰ）当点P在x轴上时，①如图1，当AB＝AP时，则点P和点B关于y轴对称，则点P的坐标为（3，0）；②如图2，当AB＝BP时，当点P在y轴左侧时，BP＝AB＝5，则OP＝PB＋OB＝5＋3＝8，故点P（﹣8，0），当点P在y轴右侧时，则B P'＝5，则O P'＝P'B＋OB＝5﹣3＝2，故点P'（2，0），故点P的坐标为（2，0）或（﹣8，0）；③如图3，当AP＝BP时，设点P的坐标为（x，0），|x＋3|．解得x＝76．∴点P的坐标为（76，0）；故点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（76，0）．（Ⅱ）当点P在y轴上时，①如图4，当AB＝AP时，∵AB＝5，∴AP＝5，若点P在y轴的正半轴上，OP＝AO＋AP＝9，则点P的坐标为（0，9）；若点P在y轴的负半轴上，OP＝AP－AO＝1，则点P的坐标为（0，－1）；②如图5，当AB＝BP时，又∵BO⊥AP，∴OP＝OA＝4，∴点P的坐标为（0，﹣4）；③如图6，当AP＝BP时，设点P的坐标为（0，y），|4－y |．解得y＝78．∴点P的坐标为（0，78）综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（76，0）或（0，78）或（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质，注意当△ABP是等腰三角形时，要分情况讨论．23．（1）S＝﹣12x2+15x，10＜x≤22；（2）菜园的长为20m；（3）该菜园的长为15m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．【分析】（1）根据矩形的面积公式即可得结论；（2）根据题意列一元二次方程即可求解；（3）根据二次函数的顶点式即可求解．【详解】解：（1）由题意可知：AD＝12（30﹣x）∴S＝AB•AD＝x×12（30﹣x）＝﹣12x 2+15x 自变量x 的取值范围是10＜x ≤22． （2）当S ＝100时，﹣12x 2+15x ＝100 解得x 1＝10，x 2＝20，又10＜x ≤22．∴x ＝20，答：该菜园的长为20m ．（3）∵S ＝﹣12x 2+15x ＝﹣12（x ﹣15）2+2252又10＜x ≤22．∴当x ＝15时，S 取得最大值，最大值为112.5．答：该菜园的长为15m 时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m 2．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是理解题意列出二次函数解析式和方程．24．（1）10，；（2）（9）；（3）5455⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 【分析】(1)如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)作O′H ⊥y 轴于H ，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt △BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH 和O′H 的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP ，作B 点关于x 轴的对称点C ，连结O′C 交x 轴于P 点，如图②，易得O′P+BP=O′C ，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP 的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C 的解析式为y=3x ﹣3，从而得到P （5，0），则，作P′D ⊥O′H 于D ，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．【详解】(1)如图①， ∵点A （4，0），点B （0，3），∴OA=4，OB=3，∴，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴；(2)、作O′H ⊥y 轴于H ，如图②，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt △BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=12BO′=32， ∴OH=OB+BH=3+32=92，∴O′点的坐标为（2，92）； （3）∵△ABO 绕点B 逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P 的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP ，作B 点关于x 轴的对称点C ，连结O′C 交x 轴于P 点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C ，此时O′P+BP 的值最小，∵点C 与点B 关于x 轴对称，∴C （0，﹣3），设直线O′C 的解析式为y=kx+b ，把O′，92），C （0，﹣3）代入得923b b +=⎪=-⎩，解得33k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线O′C 的解析式为y=x ﹣3， 当y=0时，x ﹣3=0，解得， 则P，0）， ∴OP=5， ∴O′P′=OP=5， 作P′D ⊥O′H 于D ， ∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°， ∴∠DP′O′=30°，∴O′D=12O′P′=，9'10D =， ∴DH=O′H ﹣=， ∴P′，275）．25．（Ⅰ）19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）21020y x x =-+；（Ⅲ）2142855=-+y x x 或2224433=-+y x x.【分析】（Ⅰ）把点A （1，0）代入22x mx m =+-求出m 的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P 的坐标；（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为28,24m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.再结合已知条件可知PQ OQ =，从而求出10m =，210m =-.再进行分类讨论得到抛物线解析式为21020y x x =-+；（Ⅲ）由22y x mx m =+- ()22x m x =-+可知，定点H 的坐标为()2,4，过点A 作AD AH ⊥，交射线HP 于点D ，分别过点D ，H 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，G ，则可证ADE HAG △△≌.得点D 的坐标为()3,1-或()5,1-.然后进行分类讨论即可求解.【详解】（Ⅰ）∵抛物线22y x mx m =+-经过点1,0A ，∴012m m =+-，解得1m =.∴抛物线的解析式为22y x x =+-. ∵22y x x =+- 21924x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ∴顶点P 的坐标为19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （Ⅱ）抛物线22y x mx m =+-的顶点P 的坐标为28,24m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭. 由点1,0A 在x 轴正半轴上，点P 在x 轴下方，45AOP ∠=︒，知点P 在第四象限. 过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则45POQ OPQ ∠=∠=︒.可知PQ OQ =，即2842m m m +=-，解得10m =，210m =-. 当0m =时，点P 不在第四象限，舍去.∴10m =-.∴抛物线解析式为21020y x x =-+.（Ⅲ）由22y x mx m =+- ()22x m x =-+可知， 当2x =时，无论m 取何值，y 都等于4.得点H 的坐标为()2,4.过点A 作AD AH ⊥，交射线HP 于点D ，分别过点D ，H 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，G ，则90DEA AGH ∠=∠=︒.∵90DAH ∠=︒，45AHD ∠=︒，∴45ADH ∠=︒.∴AH AD =.∵DAE HAG ∠+∠= 90AHG HAG ∠+∠=︒， ∴DAE AHG ∠=∠.∴ADE HAG △△≌.∴1DE AG ==，4AE HG ==.可得点D 的坐标为()3,1-或()5,1-.当点D 的坐标为()3,1-时，可得直线DH 的解析式为31455y x =+. ∵点28,24m m m P ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在直线31455y x =+上， ∴283144525m m m +⎛⎫-=⨯-+ ⎪⎝⎭.解得14m =-，2145m =-. 当4m =-时，点P 与点H 重合，不符合题意，∴145m =-. 当点D 的坐标为()5,1-时，可得直线DH 的解析式为52233y x =-+. ∵点28,24m m m P ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在直线52233y x =-+上， ∴284m m +-= 522323m ⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭.解得14m =-（舍），2223m =-.∴223 m=-.综上，145m=-或223m=-.故抛物线解析式为21428 55=-+y x x或22244 33=-+y x x.【点睛】这是一道关于二次函数的综合题.解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.。

2020-2021学年北师大新版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（）A．3B．2C．1D．22．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 6．若，则的值为（）A．1B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB ＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．88．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD ＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝1610．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为米．12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是．13．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，则两次摸出的球都是红球的概率是．14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为．15．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，过点B、C分别作AB、BC的垂线相交于点D，延长AC、BD相交于点E，若tan∠BDC＝2，则DE＝．三．解答题（共3小题，满分22分）17．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．18．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜．（1）如果小明转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是．（2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列表法求出小亮获胜的概率．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE ∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416每周的销售量y（本）500400300（1）求y与x之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？六．解答题（共3小题，满分34分）22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．23．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．小明在分析解题思路时想到了两种平移法：方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；【尝试应用】（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC 的值；（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连结AC交DE于点H，求的值．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p＝1，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q＝1，则p+q＝2，故选：B．2．解：从几何体的左面看所得到的图形是：故选：A．3．解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为，不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是＝＝0.5，符合这一结果，故此选项正确；C、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；故选：B．4．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．5．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．6．解：∵，∴＝2＝2﹣＝；故选：B．7．解：作CE⊥x轴于E，∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴OA＝CE＝2，∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝4，∴OE＝5，∵点D是AB的中点，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．8．解：∵中线AD，BE相交于点F，∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；∵EG∥BC，∴△BDF∽△EGF，∴＝＝2，∴BD＝2GE，①正确；∵AF＝2FD，∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积，∵EG∥BC，AE＝CE，∴△AGE∽△ADC，＝，∴＝（）2＝，∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；∵BD＝CD，AE＝CE，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积﹣△BDF的面积，即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；故选：D．9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x＝，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a＝﹣，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．10．解：∵BF∥AD∴△BNF∽△DNA∴，而BF＝BC＝1，AF＝，∴AN＝，又∵AE＝BF，∠EAD＝∠FBA，AD＝AB，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠AED＝∠BFA∴△AME∽△ABF∴，即：，∴AM＝，∴MN＝AN﹣AM＝．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴＝，即＝，解得：AE＝3m，∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．故答案为：4.2．12．解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）．13．解：根据图表可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，则两次摸出的球都是红球的概率为；故答案为：．14．解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．故答案为：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．15．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝BD，∵EF＝5，∴BD＝10，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，故答案为：40．16．解：作CF⊥BD于F，作AG⊥BC于G，如图所示：∵AB＝AC＝9，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵BE⊥AB，CD⊥BC，∴∠ABG+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠ABG＝∠BDC，∴tan∠ABG＝＝tan∠BDC＝＝2，∴AG＝2BG，BC＝2CD，设BG＝x，则AG＝2x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝92，解得：x＝，∴BC＝2BG＝，CD＝BC＝，∴BD＝＝＝9，∵CF⊥BD，∴△BCD的面积＝BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，∴DF＝＝＝，∵AB⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AB，∴△CFE∽△ABE，∴＝，即＝，解得：DE＝3；故答案为：3．三．解答题（共3小题，满分22分）17．解：原式＝2×﹣××+（）2＝﹣+＝．18．解：（1）∵每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字，其中是“正数”的有2个数，∴小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有4种，∴小亮获胜的概率是．19．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝AB＝2，∴OD＝OB＝，在Rt△AOD中，AO＝＝＝3∴OC＝OA＝3，∵四边形OBEC是矩形，∴BE＝OC＝3．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan37°＝≈0.75．∴AE＝40，∵AB＝57，∴BE＝17∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝17．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝17，∴BC＝EF＝30﹣17＝13．答：教学楼BC高约13米．五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），，得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；（2）由题意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，∵a＝﹣50＜0∴w有最大值∴当x＜16时，w随x的增大而增大，∵12≤x≤15，x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．六．解答题（共3小题，满分34分）22．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝，解得，，，∴B（2，1）；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），∵A（1，2），∴AC＝＝2，过A作AD⊥x轴于D，∴OD＝1，CD＝AD＝2，当AP＝AC时，PD＝CD＝2，∴P（﹣1，0），当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，∴P（1，0），综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．23．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，∴AC＝AD，∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，∴＝＝＝．24．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．。

2020-2021学年辽宁省沈阳126中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.一元二次方程2x2+3x−5=0的常数项是()A. −5B. 2C. 3D. 52.若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是()A. 2a=3bB. 3a=2bC. ba =23D. a−bb=133.一元二次方程x2−4x−4=0的根的情况为()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根4.已知一元二次方程x2+k−3=0有一个根为1，则k的值为()A. −2B. 2C. −4D. 45.小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是()A. 掷一枚骰子，出现4点的概率B. 抛一枚硬币，出现反面的概率C. 任意写一个整数，它能被3整除的概率D. 从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率6.如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为()A. 一般平行四边形B. 正方形C. 矩形D. 菱形7.如图，直线l1//l2//l3，直线l1、l2、l3分别和直线m交于点A、B、C，和直线n交于点A1、B1、C1，若AB=6，AC=9，AB1=8，则线段B1C1的长为()A. 2B. 3C. 4D. 68.男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x支球队，则可列方程为()A. x(x−1)=6B. x(x+1)=6C. 12x(x−1)=6 D. 12x(x+1)=69.如图，D是BC上的点，∠ADC=∠BAC，则下列结论正确的是()A. △ABC∽△DABB. △ABC∽△DACC. △ABD∽△ACDD. 以上都不对10.等腰三角形的三边均满足方程x2−7x+10=0，该等腰三角形的周长是()A. 12B. 12或9C. 12或6或15D. 12或9或6或15二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.如果四条线段m，n，x，y成比例，若m=2，n=8，y=20，则线段x的长是______ ．12.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除颜色不同外，其余都相同，其中有4个是白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，大量重复上述实验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n 大约是______．13.根据表格确定方程x2−8x+7.5=0的一个解的范围是______ ．x 1.0 1.1 1.2 1.3x2−8x+7.50.5−0.09−0.66−1.2114.如图所示，在矩形ABCD中，E在直线AB上，AB=2AE，射线DE与直线AC交于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为______ ．15.如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20，x为______ 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．16.如图所示，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相的值为______．等的两部分，则ABAD17.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为______．18.如图所示，矩形ABCD中，BC=4√2，AE=√2，∠DFC=90°，∠BFE=135°，则AB=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共76.0分）19.解一元二次方程：x2−2x−2=0.(公式法解方程)20.某同学报名参加运动会，有以下4个项目可供选择：径赛项目：100m，400m(分别用A1、A2表示)；田赛项目：跳远，跳高(分别用B1、B2表示)．(1)该同学从4个项目中任选一个，求恰好选择的是田赛项目的概率；(2)该同学从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．21.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点．(1)求证：四边形EGFH是菱形；(2)若AB=4，且BA、CD延长后相交所成的锐角是60°，求四边形EGFH的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利50元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于26元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价4元，则平均每天销售数量为______ 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2000元？23.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．(1)根据题意知：CQ=______，CP=______；(用含t的代数式表示)(2)t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的1？8(3)运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？24.如图所示，在平面直角坐标系内，点A、B在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，点Q在边AB上，且AQ=2，过Q作QR⊥AB，垂足为Q，QR 交折线AC−CB于R(如图1)，当点Q以每秒2个单位向终点B移动时，点P同时从A出发，以每秒6个单位的速度沿AB−BC−CA移动，设移动时间为t秒(如图2)．(1)BQ=______ .(用含t的代数式表示)(2)求△BCQ的面积S与t的函数关系式．(3)t的值=______ 秒时，直线QR经过点P．(4)当点P在边AB上运动时，以PQ为边在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC内部，此时t的取值范围是______ ．25.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，等边△BDE的顶点D是△ABC内一点，连接AD，BD，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF．(1)如图1，射线BD与AC交于G，当F在射线BD上时，①求证：△BCD≌△ACF；②如图2，当B，D，F不在一条直线上时，求证：DF=√3DC．(2)如图3，当点C在线段EF上时，CDAC =2√19，▱ADEF周长=10√2+2√14，S△ACD=______ ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：一元二次方程2x2+3x−5=0的常数项是−5，故选：A．一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】B【解析】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；C、ba =23⇒b：a=2：3，故选项错误；D、a−bb =13⇒a：b=4：3，故选项错误．故选B．根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．3.【答案】A【解析】解：∵△=(−4)2−4×(−4)=32>0，∴方程有两个不相等的两个实数根故选：A．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．4.【答案】B【解析】解：把x=1代入方程得1+k−3=0，解得k=2．故选：B．根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1−3+k=0，然后解一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5.【答案】C【解析】解：A、掷一枚骰子，出现4点的概率为1；6B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为1；2C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为1；3D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率1．54故选：C．根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．6.【答案】D【解析】解：∵△ABC为等腰三角形，∴AB=AC，根据折叠可得BD=AB，AC=DC，∴AB=BD=DC=AC，∴四边形ABDC是菱形，故选：D．根据等腰三角形的性质可得AB=AC，再根据折叠可得BD=AB，AC=DC，进而得到AB =BD =DC =AC ，根据四边相等的四边形是菱形可得到答案．此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的性质，关键是掌握四边相等的四边形是菱形．7.【答案】C【解析】解：∵l 1//l 2//l 3， ∴AB AC =A 1B 1A 1C 1，即69=8A1C 1，∴A 1C 1=12，∴B 1C 1=A 1C 1−A 1B 1=12−8=4． 故选：C ．根据平行线分线段成比例定理得到AB AC =A 1B1A 1C 1，则可计算出A 1C 1=12，然后计算A 1C 1−A 1B 1即可．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．8.【答案】C【解析】解：设该小组有x 支球队，则共有12x(x −1)场比赛， 由题意得：12x(x −1)=6， 故选：C ．设该小组有x 支球队，则每个队参加(x −1)场比赛，则共有12x(x −1)场比赛，从而可以列出一个一元二次方程．此题考查了一元二次方程的应用，关要求我们掌握单循环制比赛的特点：如果有n 支球队参加，那么就有12n(n −1)场比赛，此类虽然不难求出x 的值，但要注意舍去不合题意的解．9.【答案】B【解析】解：∵∠ADC=∠BAC，∠ABC=∠DAC，∴△ABC∽△DAC．故选B．已知∠ADC=∠BAC，根据图示可知∠ABC和∠DAC为公共角，即可判断△ABC∽△DAC，然后对其它选项进行分析，均不具备三角形相似的条件．此题主要考查学生对相似三角形的判定的理解和掌握，要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理，难度不大，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：∵x2−7x+10=0，∴(x−2)(x−5)=0．∴x−2=0或x−5=0．解得x=2或x=5．当等腰三角形的腰长为2，底长为5时，由于2+2<5，构不成三角形；当等腰三角形的腰长为2，底长为2时，该等腰三角形的周长为2+2+2=6；当等腰三角形的腰长为5，底长为2时，该等腰三角形的周长为：5+5+2=12；当等腰三角形的腰长为5，底长为5时，该等腰三角形的周长为：5+5+5=15．故选：C．先求解一元二次方程，再根据等腰三角形分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系及一元二次方程的解法，题目综合性较强，求解一元二次方程和掌握分类讨论的思想是解决本题的关键．11.【答案】5【解析】解：∵m：n=2：8=1：4，∴x：y=1：4，∵y=20，∴x=5．因为四条线段成比例，可根据前两条线段，确定其比例，进而求出x的值．本题主要是要掌握比例线段的性质．12.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，=0.4，∴4n解得：n=10．故答案为：10．13.【答案】1.0<x<1.1【解析】解：∵x=1.0时，x2−8x+7.5=0.5；x=1.1时，x2−8x+7.5=−0.09，∴当x在1.0<x<1.1之间取一个值能使x2−8x+7.5=0．∴方程x2−8x+7.5=0的一个解的范围是1.0<x<1.1．故答案为1.0<x<1.1．由于x=1.0时，x2−8x+7.5=0.5；x=1.1时，x2−8x+7.5=−0.09，由此可判断当x在1.0<x<1.1之间取一个值能使x2−8x+7.5=0，然后根据方程解的定义得到方程x2−8x+7.5=0的一个解的范围是1.0<x<1.1．本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．14.【答案】10或103【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=3，CD=AB=4，CD//AB，∠B=90°，∵AB=2AE，∴AE=2，在Rt△ABC中，AC=√BC2+AB2=√32+42=5，当E点在AB上，如图1，∵AE//CD，∴△AEF∽△CDF，∴AFCF =AECD=24=12，∴CF=23AC=23×5=103；当E点在BA的延长线上时，如图2，∵AE//CD，∴△AEF∽△CDF，∴AFCF =AECD=24=12，∴CF=2AC=2×5=10，综上所述，CF的长为103或10．故答案为103或10．先利用勾股定理计算出AC=5，讨论：当E点在AB上，如图1，证明△AEF∽△CDF，利用相似比得到AFCF =AECD=12，利用比例性质得到CF=23AC；当E点在BA的延长线上时，如图2，证明△AEF∽△CDF，利用相似比得到AFCF =AECD=12，利用比例性质得到CF=2AC．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，利用相似比计算相应线段的长．也考查了矩形的性质．15.【答案】1.5或9【解析】解：当20−220=30−2x30时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，解得，x=1.5，当20−230−2x =3020时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，解得，x=9，故答案为：1.5或9．根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．16.【答案】√2【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE=S，四边形DBCE∴S△ABC=2，S△ADE=√2，∴ABAD故答案为：√2．由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ABC与△ADE相似，且面积比为2，则相似比为√2，即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．17.【答案】80(1+x)2=100【解析】【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100．故答案为80(1+x)2=100．18.【答案】4√3【解析】解：过点F作PQ⊥AD，分别交AD和BC于点P和Q，取PM=PE，QN=BQ，过点F作FG⊥CD，垂足为G，∵四边形ABCD是矩形，设PD=a，则FG=QC=DG=CG=FP=FQ=a，∵BC=4√2，AE=√2，∴EP=PM=3√2−a，BQ=NQ=4√2−a，∴EM=√2(3√2−a)=6−√2a，BN=√2(4√2−a)=8−√2a，∵∠BFE=135°，∴∠EFM+∠BFN=45°，∵∠EFM+∠FEM=45°，∴∠FEM=∠BFN，∵∠EMF=∠BNF=135°，∴△EMF∽△FNB，∴EMFN =FMBN，即6−√2aFN =8−√2a，∵FM=FP−PM=2a−3√2，FN=FQ−NQ=2a−4√2，∴√2a2a−4√2=√28−√2a，解得：a=2√3或a=−2√3(舍去)，经检验a=2√3是原方程的解，∴AB=2a=4√3，故答案为：4√3．过点F作PQ⊥AD，分别交AD和BC于点P和Q，取PM=PE，QN=BQ，过点F作FG⊥CD，垂足为G，根据矩形的性质相似三角形的判定和性质解答即可．本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用矩形的性质解答．19.【答案】解：∵a=1，b=−2，c=−2，∴△=(−2)2−4×1×(−2)=12>0，则x=−b±√b2−4ac2a =2±2√32=1±√3，即x1=1+√3，x2=1−√3．【解析】利用公式法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】解：(1)该同学从4个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率=24=12；(2)根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为8，所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率=812=23．【解析】(1)直接利用概率公式求解即可；(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，G是BD的中点，∴EG//AB，EG=12AB，同理FH//AB，FH=12AB，EH//CD，EH=12CD，FG//CD，FG=12CD，又AB=CD，∴EG=GF=FH=HE∴四边形EGFH是菱形．(2)解：BA、CD延长后相交所成的角是60°，由上知∠GEH=60°，∵AB=4，∴EG=2，即四边形EGFH是有一角为60°的菱形，∴菱形EGFH的面积为2×√3×22=2√3．4【解析】(1)利用三角形中位线定理证明四边相等即可解决问题；(2)想办法证明四边形EGFH是有一角为60°的菱形即可解决问题；本题考查菱形的性质和判定、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】38【解析】解：(1)根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价4元，则平均每天可多售出4×2=8(件)，即平均每天销售数量为30+8=38(件)；故答案为：38．(2)设每件商品降价x元时，该商品每天的销售利润为2000元，由题意得：(50−x)(30+2x)=2000，整理得：x2−35x+250=0，∴(x−10)(x−25)=0．∴x1=10，x2=25．∵每件盈利不少于26元，∴x2=25，舍去．答：每件商品降价10元时，该商品每天的销售利润为2000元．(1)根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价4元，则平均每天可多售出4×2=8(件)，即平均每天销售数量为30+8=38(件)；(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．23.【答案】解：(1) t ；4−2t ；(2)当△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18时，即12(4−2t)⋅t =18×12×3×4，解得；t =32或t =12；答：经过32或12秒后，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18；(3)设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt △ABC∽Rt △QPC 则AC BC =QC PC ，即34=t 4−2t ，解得t =1.2；②若Rt △ABC∽Rt △PQC 则PC QC =AC BC ，即4−2t t =34， 解得t =1611；由P 点在BC 边上的运动速度为2cm/s ，Q 点在AC 边上的速度为1cm/s ，可求出t 的取值范围应该为0<t <2，验证可知①②两种情况下所求的t 均满足条件．答：要使△CPQ 与△CBA 相似，运动的时间为1.2或1611秒．【解析】【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是(3)注意分类讨论．(1)结合题意，直接得出答案即可；(2)根据三角形的面积列方程即可求出结果；(3)设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt △ABC∽Rt △QPC ，②若Rt △ABC∽Rt △PQC ，然后列方程求解．【解答】解：(1)经过t 秒后，PC =4−2t ，CQ =t ，故答案为t；4−2t；(2)见答案；(3)见答案．24.【答案】10−2t0.5s或2.5s417<t<2318且t≠0.5【解析】解：(1)由题意AQ=2+2t，AB=10，∴BQ=AB−AQ=8−2t．故答案为8−2t．(2)如图1所示：∵AB=10，AQ=2+2t，∴QB=AB−AQ=10−(2+2t)=8−2t，在Rt△ABC中，AB=10，AC=8，根据勾股定理得：BC=6，∵12AC⋅BC=12AB⋅CO，即12×6×8=12×10×CO，∴CO=245，则S△BCQ=12QB⋅CO=125(8−2t)=−245t+965(0≤t≤4)．(3)①当Q、P均在AB上时，AP=6t，AQ=2+2t，可得：AP=AQ，即6t=2+2t，解得：t=0.5s；②当P在BC上时，P与R重合，如图3所示：∵∠PQB=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BPQ∽△BAC，∴BPAB =BQBC，又BP=6t−10，AB=10，BQ=8−2t，BC=6，∴6t−1010=8−2t6，即6(6t−10)=10(8−2t)，解得：t=2.5s；③当P在AC上不存在QR经过点P，综上，当t=0.5s或2.5s时直线QR经过点P；故答案为：0.5s或2.5s．(4)当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，如图4所示：∵AP=6t，AQ=2+2t，∴PQ=AQ−AP=2+2t−6t=2−4t，∵四边形PQMN是正方形，∴PN=PQ=2−4t，∵∠APN=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△APN∽△ACB，∴PNBC =APAC，即2−4t6=6t8，解得：t=417，当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，如图5所示：由题意得：BP=10−6t，PN=PQ=4t−2，∵∠BPN=∠BCA=90°，∠B=∠B，∴△BPN∽△BCA，∴BPBC =PNAC，即10−6t6=4t−28，整理得：8(10−6t)=6(4t−2)，解得：t=2318，∵t=0.5时点P与点Q重合，∴417<t<2318且t≠0.5时正方形PQMN在Rt△ABC内部．故答案为：417<t<2318且t≠0.5．(1)求出AQ的长，利用线段和差定义解决问题即可．(2)由AB及AQ的长，利用AB−AQ表示出QB的长，直角三角形ABC的面积有两种求法，两直角边乘积的一半，或斜边乘以斜边上的高的一半，两种求法表示的面积相等可得出CD的长，三角形BQC以QB为底边，CD为高，利用三角形的面积公式即可求出．(3)分三种情况讨论即可：①当Q，P均在AB上时；②当P在BC上时；③当P在AC 上不存在QR经过点P．(4)有两种情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+t−3t=2−2t，由△APN∽△ACB得PNBC =APAC，从而得出t.当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得BPBC =PNAC，综上两种情况，可得出t的取值范围．本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．25.【答案】5√3【解析】(1)①证明：如图1中，延长AC交DE的延长线于J，设DJ交BC于点O．∵四边形ADEF是平行四边形，∴DJ//AF，DE=AF，∴∠J=∠CAF，∵CB=CA，∠ACB=120°，△BDE是等边三角形，∴DE=DB=AF，∠BDE=∠JCO=60°，∵∠BOD=∠COJ，∴∠CBD=∠J，∴∠CBD=∠CAF，∵BC=AC，BD=AF，∴△BCD≌△ACF(SAS)，②证明：如图2中，过点C作CH⊥DF于H．∵△BCD≌△ACF，∴CD=CF，∠BCD=∠ACF，∴∠DCF=∠BCA=120°，∴∠CDF=∠CFD=30°，∵CH⊥DF，∴DH=FH，∴DF=2DH=2CD⋅cos30°=√3CD．(2)解：如图3中，过点C作CT⊥AD于T，过点D作DR⊥EC于R．∵CD：AC=2：√19，∴可以假设CD=2k，AC=√19k，由(2)可知，CD=CF=2k，∠DCF=120°，∵E，C，F共线，∴∠DCE=180°−120°=60°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴AD//EF，∴∠ADC=∠DCE=60°，∴DT=CD⋅cos60°=k，CT=CD⋅sin60°=√3k，在Rt△CTA中，AT=√AC2−CT2=√(√19k)2−(√3k)2=4k，∴AD=EF=5k，∴EC=3k，∵CR=CD⋅cos60°=k，DR=CD⋅sin60°=√3k，∴ER=EC−CR=2k，∴DE=√ER2+DR2=√(2k)2+(√3k)2=√7k，∵DE+AD=12(10√2+2√14)=5√2+√14=√7k+5k，∴k=√2，∴CT=√3k=√6，AD=5k=5√2，∴S△ACD=12×AD×CT=12×5√2×√6=5√3．故答案为5√3．(1)①如图1中，延长AC交DE的延长线于J，设DJ交BC于点O.只要证明∠CAF=∠CBD 即可解决问题．②利用全等三角形的性质，证明△DCF是顶角为120°的等腰三角形即可．(2)如图3中，过点C作CT⊥AD于T，过点D作DR⊥EC于R.首先证明∠ADC=∠DCE= 60°，设CD=2k，AC=√19k，解直角三角形用k表示AD，DE，构建方程求出k，即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

衡水市第九中学中学2020-2021初三第一学期10月份月考一．选择题（共16小题，1-10每题3分，11-16每题2分，共42分）1．方程x（x+1）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝﹣1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝1 2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣4）2＝﹣3+16B．（x﹣4）2＝3+16C．（x﹣2）2＝3+4D．（x﹣2）2＝﹣3+43．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：24．已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根为﹣1，则实数m的值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣35．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m 外的景物的宽CD为（）A．12m B．3m C．m D．m6．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝2207．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l1、l2、l3分别和直线m交于点A、B、C，和直线n交于点A1、B1、C1，若AB＝6，AC＝9，AB1＝8，则线段B1C1的长为（）A．2B．3C．4D．68．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于（）A．B．C．D．9．数b是数a和数c的比例中项，若a＝2，c＝8，则数b的值为（）A．5B．±5C．4D．±410．若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≥2B．k≥﹣2C．k＞﹣2且k≠0D．k≥﹣2且k≠0 11．用配方法解方程，下列配方正确的是（）.A. B. C. D.12．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米13．已知m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值（）A．2B．C．D．14．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，图中与△HBC相似的三角形为（）A．△HBD B．△HCD C．△HAC D．△HAD15．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF 的面积为18cm2，则S△DGF的值为（）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm2 16．（2020·河北）在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR二．填空题（共3小题,17题3分，18、每空2分，19,4分，共11分）17．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD、BE交于点G，GF∥AC，则S△DGF：S四边形FGAC＝．18．观察下列一组方程：①x 2﹣x ＝0；②x 2﹣3x +2＝0；③x 2﹣5x +6＝0；④x 2﹣7x +12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若x 2+kx +56＝0也是“连根一元二次方程”，则k 的值为 ，写出第n 个方程19．三．解答题（共7小题，共67分）20．解方程（8分）（1）022102=+-x x （2）25-x 5-x 7）（）（=21．（9） （2020·天津）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm ）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为__________，图①中m的值为__________；（Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．三、解答题22（9分）22. 在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．23．（9分）如图，点G是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一点，矩形DEFG的边EF 过点A，5GD ．（1）寻找并证明图中的两组相似三角形；（2）求HG、FG的长．24（10）．（2020·重庆A卷）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B 两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2 a%，由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20%9a．求a的值．25（10）．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E是AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）求证：CE∥AD；（3）若AB＝6，AD＝4，求的值．26．（12）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年9月26日的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．方程x（x+1）＝0的解是（）A．x＝0B．x＝﹣1C．x1＝0，x2＝﹣1D．x1＝0，x2＝1【解答】解：∵x（x+1）＝0∴x＝0，x+1＝0∴x1＝0，x2＝﹣1．故选：C．2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣4）2＝﹣3+16B．（x﹣4）2＝3+16C．（x﹣2）2＝3+4D．（x﹣2）2＝﹣3+4【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝4+3，∴（x﹣2）2＝7，故选：C．3．如图，△ADE∽△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：2【解答】解：∵AD＝2，BD＝4，∴AB＝AD+BD＝6．∵△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝1：3．∴△ADE与△ABC的相似比是1：3．故选：B．4．已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根为﹣1，则实数m的值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根为﹣1，∴当x＝﹣1时，由原方程，得1+2﹣m＝0，解得m＝3；故选：C．5．如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m 外的景物的宽CD为（）A．12m B．3m C．m D．m【解答】解：∵AB∥CD，∴△AEB∽△CED，∴，∴∴CD＝m．故选：D．6．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（）A．70（1+x）2＝220B．70（1+x）+70（1+x）2＝220C．70（1﹣x）2＝220D．70+70（1+x）+70（1+x）2＝220【解答】解：四月份共借出图书量为70×（1+x），五月份共借出图书量为70×（1+x）（1+x），那么70（1+x）+70（1+x）2＝220．故选：B．7．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l1、l2、l3分别和直线m交于点A、B、C，和直线n交于点A1、B1、C1，若AB＝6，AC＝9，AB1＝8，则线段B1C1的长为（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴A1C1＝12，∴B1C1＝A1C1﹣A1B1＝12﹣8＝4．故选：C．8．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴＝，又∵AD：DE＝3：5，AE＝8，∴AD＝3，DE＝5，∵BD＝4，∴＝，∴DC＝，故选：A．9．数b是数a和数c的比例中项，若a＝2，c＝8，则数b的值为（）A．5B．±5C．4D．±4【解答】解：∵数b是数a和数c的比例中项，∴b2＝ac＝16，解得：b＝±4，故选：D．10．若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≥2B．k≥﹣2C．k＞﹣2且k≠0D．k≥﹣2且k≠0【解答】解：当k＝0时，方程变形为﹣4x﹣2＝0，解得x＝﹣；当k≠0时，△＝（﹣4）2﹣4k×（﹣2）≥0，解得k≥﹣2且k≠0，综上所述，k的范围为k≥﹣2．故选：B．11．C12．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E 上升了（）A．1.2米B．1米C．0.8米D．1.5米【解答】解：根据题意得：AD：DE＝AB：x∴解得：x＝0.8．故选：C．13．已知m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值（）A．2B．C．D．【解答】解：∵m是方程3x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，∴3m2﹣2m＝2，3m2﹣2＝2m，∴3m﹣＝2，∴原式＝＝，故选：C．14．如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，图中与△HBC相似的三角形为（）A．△HBD B．△HCD C．△HAC D．△HAD【解答】解：设正方形ABGH的边长为1，运用勾股定理得HB＝，HC＝，则HC：HB：BC＝：：1．A、∵HB＝，BD＝2，HD＝，∴HD：BD：HB＝：2：＝：：1，∴HC：HB：BC＝HD：BD：HB，∴△HBC∽△DBH，故本选项正确；B、∵HC＝，CD＝1，HD＝，∴HD：HC：CD＝：：1，∴HC：HB：BC≠HD：HC：CD，∴△HBC与△HCD不相似，故本选项错误；C、∵HA＝1，AC＝2，HC＝，HC：AC：HA＝：2：1，∴HC：HB：BC≠HC：AC：HA，∴△HBC与△HAC不相似，故本选项错误；D、∵HA＝1，AD＝3，HD＝，HD：AD：HA＝：3：1，∴HC：HB：BC≠HD：AD：HA，∴△HBC与△HAD不相似，故本选项错误．故选：A．15．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF 的面积为18cm2，则S△DGF的值为（）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm2【解答】解：作GH⊥BC于H交DE于M，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵F是DE的中点，∴DF＝BC，∵DF∥BC，∴△GDF∽△GBC，∴＝＝，∴＝，∵DF＝FE，∴S△DGF＝×△CEF的面积＝6cm2，故选：C．16．故选：A．二．填空题（共2小题）17．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD、BE交于点G，GF∥AC，则S△DGF：S四边形FGAC＝1：8．【解答】解：连接DE．∵AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的中线，∴BD ＝DC ，AE ＝EC ，∴DE ∥AB ，∴DG ：AG ＝DE ：AB ＝1：2，∵GF ∥AC ，∴△DGF ∽△DAC ， ∴＝（）2＝，∴S △DGF ：S 四边形FGAC ＝1：8，故答案为1：8．18．观察下列一组方程：①x 2﹣x ＝0；②x 2﹣3x +2＝0；③x 2﹣5x +6＝0；④x 2﹣7x +12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x 2+kx +56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n 个方程和它的根．【解答】解：由题意可得：k ＝﹣15，第n 个方程为：x 2﹣（2n ﹣1）x +n （n ﹣1）＝0 19、24/5三．解答题（共7小题）20．（1）022102=+-x x （2）25-x 5-x 7）（）（= 53,5321+-=+=x x 12,521==x x21、{答案}解：(Ⅰ)由图②可知：本次抽取的麦苗株数为：2+3+4+10+6=25(株)，其中17cm 的麦苗株数为6株，故其所占的比为6÷25=0.24=24%，即m=24． 故答案为：25,24．(Ⅱ)观察条形统计图， 这组麦苗得平均数为：132143154161017615.6234106⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++x ， 在这组数据中，16出现了10次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为16．将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是16，∴这组数据的中位数为16．故答案为：麦苗高的平均数是15.6，众数是16，中位数是16．{解析}本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(Ⅰ)由图②中条形统计图即可求出麦苗的株数；用17cm 的麦苗株数6除以总株数24即可得到m 的值；(Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的概念逐一求解即可．22．【答案】解：，，，，．23【考点】LE ：正方形的性质；LB ：矩形的性质；9S ：相似三角形的判定与性质【专题】55D ：图形的相似【分析】（1）根据正方形的性质和矩形的性质以及相似三角形的判定解答即可；（2）根据相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）正方形ABCD90B C ∴∠=∠=︒ 又矩形DEFG90FGD ∴∠=︒90HGB DGC ∴∠+∠=︒又因为90DGC GDC ∠+∠=︒GDC HGB ∴∠=∠HGB GDC ∴∆∆∽，相似三角形还有：HGB HAF ∆∆∽，DAE GDC ∆∆∽（2）在Rt DGC ∆中，5GD =，4DC =3CG ∴=，HGB GDC ∆∆∽ ∴HG BG GD CD= 54HG ∴=， HGB ADE ∆∆∽ ∴AD DE GD CD= 165DE ∴= 四边形DEFG 是矩形，165FG DE ∴==． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据正方形的性质和矩形的性质以及相似三角形的判定解答．24．{解析}（1）设A 品种去年平均亩产量为xkg ，则B 品种去年平均亩产量为（x+100）kg ，根据“A 品种总收入+B 品种总收入=21600元”列方程求解；（2）根据“A 品种总收入+B 品种总收入=去年总收入（1+20%9a ）”列方程求解.{答案}解： （1）设A 品种去年平均亩产量为xkg ，则B 品种去年平均亩产量为（x+100）kg ，根据题意，得2.4×10x ＋2.4×10（x+100）=21600，解得x=400.答：A 品种去年平均亩产量为400kg ，B 品种去年平均亩产量为500kg.（2）根据题意，得10×400（1+a%）×2.4+10×500（1+2a%）×2.4（1+a%）=21600×（1+209a%）.设a%=m ，化简方程，得10m2-m=0，解得m1=110，m2=0（舍）.∴a=10.答：a 的值为10.25．如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 是AB 的中点．（1）求证：△ADC ∽△ACB ；（2）求证：CE∥AD；（3）若AB＝6，AD＝4，求的值．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB．∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB；（2）∵E是AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA．∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠CAD＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：由（2）知CE∥AD；∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF；∵CE＝AB＝3，AD＝4，，∴．26、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，（1）图1中共有3对相似三角形，写出来分别为△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD（不需证明）；（2）已知AB＝10，AC＝8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD；（2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6．∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝＝4.8；（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝6，OC＝4.8，∴OB＝＝3.6．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝2.25，即BQ＝CP＝2.25，∴BP＝BC﹣CP＝6﹣2.25＝3.75．在△BPQ中，由勾股定理，得PQ＝＝＝3，∴点P的坐标为（1.35，3）；②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴＝，∴＝，解得t＝3.75，即BQ＝CP＝3.75，BP＝BC﹣CP＝6﹣3.75＝2.25．过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴＝，即＝，∴PE＝1.8．在△BPE中，BE＝＝＝1.35，∴OE＝OB﹣BE＝3.6﹣1.35＝2.25，∴点P的坐标为（2.25，1.8）．综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．。

2020学年度第一学期10月教学质量自主调研九年级数学(考试时间：100分钟，满分：150分，范图：24.1-24.5)一、选择题：(本大题有6小题，每题4分，满分24分）1. 已知ax by=，且所有字母均表示正实数，则下列各式不成立的是（）A. a xb y= B.a by x= C.y ax b= D.x yb a=【答案】A【解析】【分析】四个选项分别十字相乘验证即可．【详解】解：四个选项分别十字相乘，只有A选项是ay=bx不满足题意．故选：A．【点睛】本题考查的是比例式，我们可以从乘式来写比例，也可以从比例式十字相乘来验证乘式．2. 在一幅比例尺为1:500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（）A. 125kmB. 12.5kmC. 1.25kmD. 1250km【答案】A【解析】【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离,列比例式即可求解.【详解】设实际距离是xcm,则,1:500000=25：x,解得：x=12500000.12500000cm=125km,故选A【点睛】本题考查了比例尺的定义,属于简单题,单位换算是解题关键.3. 下列说法中不正确的是（）A. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似B. 如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等C. 如果两个三角形都与另一个三角形相似，那么这两个三角形相似D. 如果两个三角形相似，那么它们一定能互相重合 【答案】D【解析】【分析】根据全等是相似的特殊情况，即相似比为1，和相似三角形的判定及性质逐一判断即可．【详解】解：A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似，故正确；B ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形必全等，故正确；C ．如果两个三角形都与另一个三角形相似，可利用相似三角形的对应角相等和有两个对应角相等的两个三角形相似，得到这两个三角形相似，故正确；D ．如果两个三角形相似，那么它们不一定能互相重合（全等才能重合），故错误．故选D ．【点睛】此题考查的是相似与全等的关系、相似三角形的判定及性质，掌握全等是相似的特殊情况，即相似比为1是解题关键．4. 如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式错误的是( )A. AD AE AB AC =B. CE EA CF FB =C. DE AD BC BD =D. EF CF AB CB= 【答案】C【解析】试题解析：A.∵DE ∥BC , AD AE AB AC ∴=，所以A 选项的比例式正确； B. //,,CE CF EF AB AE BF ∴=即CE AE CF BF =，所以B 选项的比例式正确； C.//,AD DE DE BC AB BC ∴=，所以C 选项的比例式错误； D. //,,EF CF EF AB AB CB ∴=即CE AE CF BF=，所以D 选项的比例式错误. 故选C.5. 如图，已知矩形ABCD 的顶点A ，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD =2OA =6，AD ：A B =3：1，则点C 的坐标是（ ）A. （2，7）B. （3，7）C. （3，8）D. （4，8）【答案】A【解析】过C作CE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°，∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO，∴CE DE CD OD OA AD==，∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，∴OA=3，CD：AD=13，∴CE=13OD=2，DE=13OA=1，∴OE=7，∴C（2，7），故选A．6. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）55 C. 5 D. 6【答案】C【解析】试题分析：连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用”AAS或ASA”易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=45，且tan ∠BAC=12BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=25 ，tan ∠BAC=12EM AM =可得EM=5；在Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C ．考点：菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知23a b =，则2a b a +的值为________．【答案】54 【解析】【分析】 设a=2k(k 为不等于0的实数)，则b=3k ，代入式子计算化简即可．【详解】解：设a=2k(k 为不等于0的实数)，则b=3k ，235522244++∴===⨯a b k k k a k k ． 故答案为：54． 【点睛】本题考查的是比例的性质和代数式的值，解题的关键是正确理解比例的性质．8. 如果Rt ABC Rt DEF ∽，∠C=∠F=90°，AB=5，BC=3，DE=15，则DF=________．【答案】12【解析】【分析】 由相似三角形的性质求解,EF 再利用勾股定理求解DF 即可得到答案．【详解】解：如图，Rt ABC Rt DEF ∽，,AB BC DE EF∴= 53,15EF∴= 9EF ∴=，经检验：9EF =符合题意， 由勾股定理可得：222215912.DF DE EF =--= 故答案为：12.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9. ABC 与DEF 是相似三角形，且A 与D ，B 与E 是对应顶点，若53A ∠=︒，61B ∠=︒，则F ∠=________．【答案】66°【解析】【分析】根据三角形的内角和是180°以及相似三角形的对应顶角的度数相等即可解答．【详解】解：在ABC 中，∵53A ∠=︒，61B ∠=︒，∴180536166∠=︒-︒-︒=︒C ，∵ABC 与DEF 是相似三角形，且A 与D ，B 与E 是对应顶点，∴66∠=∠=︒F C ．故答案为：66°．【点睛】本题考查的主要是相似三角形的对应角相等，注意掌握相似三角形的性质．10. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度80i =3米高的地方，那么物体所经过的路程为________米．【答案】27 【解析】【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：80i=AE⊥BD，AE=3米，∵80AEiBE==，∴19 AEAB=，∴AE=3米，∴AB=27（米）．故答案为：27．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．11. 有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．【答案】22【解析】【分析】根据相似三角形的三组对应边的比相等求出另两边的长，进而可得答案．【详解】设另一个三角形的另两边为x、y，∵一个三角形的三边长为2，4，5，另一个和它相似的三角形的最短边为4，∴两个三角形的相似比为24=12，∴4512 x y==，解得：x=8，y=10，∴第二个三角形的周长为4+8+10=22，故答案为：22【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例、对应角相等；熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．12. 如图，∠1=∠2，请补充一个条件：_____，使ABC ADE ．【答案】∠E=∠C(答案不唯一)【解析】【分析】由两个角分别相等的两个三角形相似，由1=2∠∠，证明,BAC DAE ∠=∠再补充一个角的对应相等即可得到两个三角形相似， 从而可得答案．【详解】解：1=2∠∠，1+2,DAC DAC ∴∠∠=∠+∠,BAC DAE ∴∠=∠所以补充：E C ∠=∠，.BAC DAE ∴∽故答案为：.E C ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．13. 如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．【答案】1.5【解析】【分析】求出EC ，根据菱形的性质得出AD ∥BC ，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【详解】∵DE=1，DC=3，∴EC=3-1=2，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴DF DEBC CE=，∴132DF=，∴DF=1.5，故答案为1.5．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.14. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= .【答案】22.【解析】试题分析：根据相似三角形的判定和性质，可得答案：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴2ADEABCSADAB S∆∆⎛⎫=⎪⎝⎭.∵S△ADE=S四边形BCDE，∴12ADEABCSS∆∆=，即2112222AD ADAB AB⎛⎫=⇒==⎪⎝⎭.考点：相似三角形判定和性质．15. 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10mm，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE//AB），那么小管口径DE的长是__________mm．【答案】5【解析】【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．【详解】解：∵DE∥AB∴△CDE∽△CAB∴CD：CA＝DE：AB∴30：60＝DE：10∴DE＝5毫米∴小管口径DE的长是5毫米，故填：5．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径DE的长．16. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，AE与CF交于点P，则CPFP=__________．【答案】3 5【解析】【分析】由CH∥AB，推出CE CHBE AB=，即253CH=，再由CH∥EF，推出2CP CH CHFP EF==，即可求解．【详解】∵正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为3和2，且B、C、E在一直线上，∴EF=CE=2，AB=BC=3，BE=2+3=5，CH∥EF，CH∥AB，由CH∥AB，∴CE CH BE AB =，即253CH =， ∴CH=65， 由CH ∥EF ，∴63525CP CH FP EF ===， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，正确的识别图形是解题的关键． 17. 如图，E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，BE 交DC 于点F ，若51AB =+，且AD DE >，则CF 的长为________．【答案】2【解析】【分析】先证明△ABE 和△DFE 相似，根据相似三角形对应边成比例及黄金分割点的条件求出DF AB 的值，然后求出CF AB的值，即可求出CF 的长度． 【详解】解：在平行四边形ABCD 中， AB ∥CD ， ∴△ABE ∽△DFE ，∴DE DF AE AB=， ∵D 为AE 的黄金分割点，且AD DE >，∴51351DE AE --==， ∴35DF AB -= ∵AB=CD ，∴3551122CF AB --=-= ∴()515122CF -=⨯+=． 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识及三角形相似的判定和性质，求出相应的比是解题的关键，难度不大．18. 如图，△ABC 中，AB =6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′=5，D ′C =4，则BC 的长为______．【答案】234+．【解析】【详解】解：由旋转可得，BE =BE '=5，BD =BD '，∵D 'C =4，∴BD '=BC ﹣4，即BD =BC ﹣4，∵DE ∥AC ，∴BD BE BA BC =，即456BC BC-=，解得BC =234+（负值已舍去）， 即BC 的长为234+．故答案为234+．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．三、解答题：(满分78分）19. 两个相似三角形对应边的比是2：3，它们的面积和为65平方厘米，求较小三角形的面积．【答案】20平方厘米【解析】【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩； 答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方． 20. 如图，已知面积为240cm 的锐角ABC ∆中，10cm BC =，四边形DEFG 是ABC ∆的内接正方形（四边形的各顶点在三角形的边上），求：正方形DEFG 的边长．【答案】40cm 9【解析】【分析】 先证明△∽△ADG ABC ，然后通过相似三角形的性质列出比例式即可求解．【详解】解：过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ，交DG 于点M ．∵1402BC AH ⨯⨯=，∴110402AH ⨯⨯=，∴8AH =． 设正方形DEFG 的边长为x ，∵DEFG 是正方形， ∴//DG BC∴△∽△ADG ABC∵AH BC ⊥，∴AH DG ⊥，∴AM DG AH BC= 即：8810x x -=，解得40cm 9x =． ∴正方形DEFG 的边长为40cm 9． 【点睛】该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质等来分析、判断、推理或解答．21. 如图，已知ABC ，DCE ，FEG 是三个全等的等腰三角，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB =3，1BC =，联结AG ，分别交DC 、DE 、EF 于点P 、Q 、R ． （1）判断ABG 是否也是等腰三角形？并证明你的结论；（2）求RE RF的值．【答案】（1）ABG 是等腰三角形，理由见解析；（2）12RE RF = 【解析】【分析】 （1）通过证明ABG CBA ∽△△，即可得到ABG 也是等腰三角形； （2）通过ABG REG ∽△△，可得到13RE GE AB GB ==，可求出RE 的值，然后由EF 的值求出RF ，即可得到答案． 【详解】（1）ABG 是等腰三角形∵33AB BC ==33GB AB ==∴AB GB BC AB=，且B 为公共角，∴ABG CBA ∽△△，∵CBA △是等腰三角形，∴ABG 也是等腰三角形（2）在ABG 中，//AB ER ，∴ABG REG ∽△△， ∴13RE GE AB GB ==，133RE AB == ∵3EF AB ==，∴23RF =， ∴12RE RF = 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．22. 如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，延长BC 至F 使CF CE =，联接DF ，延长BE 交DF 于点G ．求证：2BG EG DG ⋅=．【答案】理由见解析【解析】【分析】根据正方形的性质可得BC=CD ，利用SAS 可证明△BCE ≌△DCF ，可得∠EBC=∠FDC ，由BE 平分DBC∠即可证明∠FDC=∠DBG ，根据∠BGD=∠DGE 即可证明BGD DGE ∽△△，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BC=DC ，∠BCE=∠FDC=90°，在BCE 和DCF 中90BC DC BCE FCD CE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE DCF △≌△，∴EBC FDC ∠=∠∵BE 平分∠DBC ，∴DBE EBC ∠=∠，∴∠DBG=∠FDC ，∵∠BGD=∠DGE ，∴BGD DGE ∽△△ ∴BG DG DG GE=， ∴2BG GE DG ⋅=．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．23. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF =∠ABE ．求证：（1）△DEF ∽△BDE ；（2）DG DF =BD EF【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由AB=AC ，根据等边对等角，即可证得：∠ABC=∠ACB ，又由DE ∥BC ，易得∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°，则可证得：∠BDE=∠CED ，又由已知∠EDF=∠ABE ，则可根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DEF ∽△BDE ；（2）由（1）易证得DE 2=DB•EF ，又由∠BED=∠DFE 与∠GDE=∠EDF 证得：△GDE ∽△EDF ，则可得：DE 2=DG•DF ，则证得：DG•DF=DB•EF ．【详解】证明：（1）∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵DE ∥BC ，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°． ∴∠BDE=∠CED ，∵∠EDF=∠ABE ，∴△DEF ∽△BDE ；（2）由△DEF ∽△BDE ，得DB DE DE EF =， ∴DE 2=DB•EF ，由△DEF ∽△BDE ，得∠BED=∠DFE ．∵∠GDE=∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ．∴DG DE DE DF=， ∴DE 2=DG•DF ，∴DG•DF=DB•EF ．【点睛】考查了相似三角形的性质与判定．注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用．24. 在等腰直三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，已知(1,0)A ，(0,3)B ，M 为边BC 的中点．（1）求点C 的坐标；（2）设点M 的坐标为（a ，b ），求b a的值； （3）探究：在x 轴上是否存在点P ，使以O 、P 、M 点的三角形与OBM ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请简述理由．【答案】（1）(4,1)C ；（2）1b a=；（3）存在，1(3,0)P ，28,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】 （1）如图1中，作CD ⊥x 轴于D ．证明△ABO ≌△CAD （AAS ），利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）过点M 作MH x ⊥轴，垂足为点H ．根据平行线等分线段定理证得H 是OD 中点，再求出M 坐标即可解决问题；（3）在Rt△OMH 中，2MH OH ==，得45MOH ∠=︒，证得OM 平分∠BOD，再由△OMB 与△OMP 相似，根据相似性质求出P 点坐标即可；【详解】解：（1）过点C 作CD x ⊥轴，垂足为点D ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB CA =，90BAC ∠=︒，∴90OAB CAD ∠+∠=︒，又90OAB ABO ∠+∠=︒∴ABO CAD ∠=∠，∵AOB CDA ∠=∠，∴△ABO ≌△CAD ．∴1AO CD ==，3OB AD ==，∴(4,1)C（2）过点M 作MH x ⊥轴，垂足为点H ．∵////BO MH CD ，MB MC =．∴2a HO HD ===∴2b MH ==，∴1b a= （3）存在点P ，分两种情况：∵在Rt△OMH 中， ∵2MH OH ==，∴45MOH ∠=︒当点P 在x 轴时，∵45MOP BOM ∠=︒=∠，∴当△OMB 与△OMP 时．有OM OM OP OB =或OM OB OP OM = ∴3OP =或83OP = ∴1(3,0)P ，28,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25. 如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，DC BC ⊥，且45B ∠=，1AD DC ==．点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F ，作45FAE ∠=交射线BC 于点E 、交边DC 于点N ，联结EF ． （1）当:1:4CM CB =时，求CF 的长；（2）连接AC ，求证：2AC CE CF =⋅（3）设CM x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）22(01)x y x x-=<< 【解析】【分析】 （1）作AH BC ⊥于H ，结合题意，通过证明AHCD 为平行四边形，得1AH DC ==，1CH AD ==；结合45B ∠=，推得ABH 是直角等腰三角形，1==AH BH ，再通过证明CFM DFA △∽△，利用相似比计算即可得到答案；（2）连接AC ，通过证明45ACD DAC ∠=∠=和90D DCE ∠=∠=，求得ACE ∠；利用180ACD ACF ，得到ACE ACF ∠=∠；再通过ACF 三角形内角和及45FAE ∠=，得到CAE CFA ∠=∠，从而推导得CAF CEA ∽△△，即可完成解题；（3）根据45B ∠=，且45EAM ∠=，得B EAM ∠=∠，从而得到AEM BEA ∽△△，再根据相似比以及直角AHE 中勾股定理，建立等式并求解，即可得到答案．【详解】（1）作AH BC ⊥于H∴90AHB ∠=∵DC BC ⊥∴//AH DC∵//AD BC∴AHCD 为平行四边形∴1AH DC ==，1CH AD ==∵45B ∠=∴904545BAH ∠=-=∴ABH 是等腰三角形∴1==AH BH∴2BC BH CH =+=∵:1:4CM CB =∴12CM = ∵//AD BC∴CFM DFA △∽△∴CM FC DA FD= ∵1FD FC CD FC =+=+即1211CF CF =+∴1CF =；（2）连接AC ，如图：∵90D ∠=，AD CD =∴45ACD DAC ∠=∠=∵//AD BC∴90D DCE ∠=∠=∴4590135ACE ∠=+= 又∵180ACDACF∴135ACF ∠=∴ACE ACF ∠=∠∵180ACF CAF CFA ∠+∠+∠= ∴18013545CAF CFA ∠+∠=-= ∵45FAE ∠=∴45CAF CAE ∠+∠=∴CAE CFA ∠=∠∴CAF CEA ∽△△ ∴AC CF CE AC= ∴2AC CE CF =⋅（3）∵45B ∠=，且45EAM ∠= ∴B EAM ∠=∠∵AEB MEA ∠=∠∴AEM BEA ∽△△ ∴()()()()22AE EM EB CM CE BC y x y y =⋅=++=++∵()2222221(1)AE AH HE AH CH CE y =+=++=++∴21(1)()(2)y x y y ++=++∵点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F∴90DAF ∠<∴点M 在点H 和点C 之间，即01x << ∴22(01)x y x x -=<<． 【点睛】本题考查了梯形、平行四边形、等腰三角形、直角三角形勾股定理、相似三角形、一元一次方程、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．。

2020-2021学年上学期九年级第一阶段考试数学试题（考试时间：100分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )。

A B C D2．用配方法解方程 x2－6x＋8＝0 时，方程可变形为 ( )A．(x－3)2＝1 B．(x－3)2＝－1 C．(x＋3)2＝1 D．(x＋3)2＝－13．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0(k为实数)根的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定4．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5 C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+35．平行于x轴的直线与抛物线y＝a(x－2)2的一个交点坐标是(－1，2)，则另一个交点的坐标是( ) A．(1，2) B．(1，－2) C．(5，2) D．(－1，4)6.在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为（） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y37.在平面直角坐标系中，把点A(3，4)绕原点逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为( )A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)8．如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠A C′C的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°10、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1.给出下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（每小题3分，共18分）11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020=0有一个根为x=﹣1，则a+b= ．12．若二次函数y=（2﹣m）x|m|﹣3的图象开口向下，则m的值为．13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为．14．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是________．15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2；正确的有（填序号）三. 解答题（共75分）16．(8分)解方程：(1)x2＋3x＝1 (2)3x(x－2)＝2(x－2)．17.(9分）已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)等腰△ABC的一边是3，另两边是此方程的两个根，求△ABC的周长．18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，1)、B(5，1)、C(4，4)(1) 将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1并写出三顶点的坐标。

九年级（上）月考数学试卷（10月份）答案一、选择题：1. 【答案】C 解：32x y = ， ∴设3x k =，2y k =，3255222x y k k k y k k ++∴===， 故选：C ．2. 【答案】C解：2650x x −+=，移项后得：265x x −=−配方得：26959x x −+=−+，()234−=x ，故选：C ．3.【答案】D解：A 、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；B 、不正确，菱形的对角线不相等；C 、不正确，矩形的对角线不垂直；D 、正确，三者均具有此性质；故选D ．4. 【答案】D解：过点A 作平行横线的垂线，交点B 所在的平行横线于D ，交点C 所在平行横线于E ，AB AD AC AE∴=， 五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， 23AD AE ∴=， 21532AB ∴=，解得5AB =，故选：D ．5. 【答案】D解： 关于x 的一元二次方程2210mx x +−=有两个不相等的实数根，0m ∴≠且0∆>，即()22410m −×−>，解得1m >−，m ∴的取值范围为1m >−且0m ≠．∴当1m >−且0m ≠时，关于x 的一元二次方程2210mx x +−=有两个不相等的实数根． 故选：D ．6. 【答案】A 解：116ABC DEF S S = ，∴14AB DE=， 故选A ． 7. 【答案】B解：设停车场内车道的宽度为m x ，将两个停车位合在一起，则长为()40m x −，宽为()22m x −，因此(40)(22)520x x −−=， 故选B ．8. 【答案】C解：连接AC ，交BD 于点O ；∵在矩形ABCD 中，6AB CD ==，8BC =，90BAD ∠=°∴10AC BD ，5OA OB OC OD ====， ∴ABD BAC ∠=∠，∵EAF ABD ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，即BAE EAC CAF CAE ∠+∠=∠+∠， ∴BAE CAF ∠=∠∵AB CD ∥，∴ACF BAC ABD ∠=∠=∠，∴ABE ACF ∽， ∴AB BE AC CF=，即6310CF =， ∴5CF =，1DF CD CF =−=，∵AB CD ∥，∴ABG FDG ∽， ∴AB BG FD DG =，即6101DG DG−=， ∴107DG =， 故选C ．二、填空题：9. 【答案】3解：将1x =代入方程240x x a −+=，得140a −+=解得：3a =故答案为：3．10. 【答案】8解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为248×=， 故答案为：8．11. 【答案】4−解：∵m 是方程2410x x −=+的一个根，∴241m m +=(5)(1)m m +−255m m m =−+−245m m =+−15=−4=−，故答案为：4−．12. 【答案】258解：∵90MOB A ∠=∠=°，ABE ∠是公共角， ∴BOM BAE ∽，∴::OM AE BO BA =，∵4AB =，3AE =，∴5BE ，∵MN 垂直平分BE ， ∴1522OB BE ==， ∴5:3:42OM =， ∴158OM =， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB AD AB CD =，∥，作MF CD ⊥于点F ，则四边形AMFD 为矩形，∴90MFD MFN ∠=∠=°， ∴AD MF =，∴AB MF =，∵BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ， ∴9090MFN BAE FMN BMO BMO MBO ∠=∠=°∠+∠=∠+∠=°，， ∴FMN MBO ∠=∠，在ABE 和FMN 中，A MFN AB MFABO FMN ∠=∠ = ∠=∠， ∴()ASA ABE FMN ≌，∴5NM BE ==， ∴258ON MN MO =−=． 故答案为：258． 13. 【答案】103##133 解：取AB 的中点H ，连接CH ，过点B 作AE 的垂线，垂足为点G ，如图，∵90ACB ∠=°，AC =，6CB =，∴AB =，∵D 为AC 中点，∴12CD AC ==，∴BD ，∴12CH AH AB AC ===， ∴ACH 是等边三角形，∴60CAB ∠=°，∴3013CBA ∠=°=∠+∠，∵30AFD ∠=°，∴2330∠+∠°，∴12∠=∠，∵90DCB BGA ∠=∠=°，∴DCB BGA ∽△△， ∴CD BD BG AB ==解得BG = 设CE x =，6BE x =−，AE ， ∵AEC BEG ∠=∠，90ACE BGE ∠=∠=°， ∴AEC BEG ∽△△， ∴AC AE BG BE ==， 整理得23521400x x −+=， 解得103x =或14x =， 经检验103x =或14x =都是原方程的解，但14x =不符合题意，舍去， ∴103CE =， 故答案为：103． 三、解答题：14. 【答案】（1）12x x =；（2） 121620a b c ==，，【详解】解：（1）∵22450x x +−=，∴245a b c ===−，，，∴()24425560∆=−××−=>，∴x解得12x x =； （2）设()3450a k b k c k k ==>，，，∵48a b c ++=，∴34548k k k ++=，∴4k =，∴121620a b c ==，，．15. 【详解】解：如图(1)所示，DEF 即为所求；∵1AB =，BC ，AC ==2DE =，EFDF ∴2DEDF EF AB AC BC===， ∴DEF ABC ∽△△，∴DEF 即为所求；如图(2)所示，DEF 即为所求；∵1AB =，BC ，AC ==DE 2EF =，DF ==，∴DEDF EF AB AC BC ===，∴DEF ABC ∽△△，∴DEF 即为所求．16.解：（1）设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x ， 由题意得2100(1)144x +=，解得0.220%x ==或 2.2x =−（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率20%； （2）设该零件的实际售价m 元，由题意得()()30600104010000m m −−−=， 整理得213040000m m −+=，解得50m =或80m =．∵要尽可能让车企得到实惠，∴50m =．答：该零件的实际售价应定为50元．17. 【小问1详解】BAD CAB ∠=∠ ，ABD ACB ∠=∠， ABD ACB ∴∽ ；【小问2详解】ABD ACB ∽ ，AB AC AD AB∴=， 得646AC =， 解得9AC =，5AD AC AD ∴=−=，即5CD =．18. 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，90D B ∴∠=∠=°，AD CB = ，∵点E 、F 同时分别从D ，B 两点出发，以1cm/s 的速度沿DC BA 、向终点C 、A 运动，DE BF ∴=， 在ADE 和CBF 中，AD CB D B DE BF = ∠=∠ =， ()ADE CBF SAS ∴ ≌，∴AE CF =，DEA EAF CFB ∠=∠=∠， 点G 、H 分别为AE CF 、的中点， GE HF ∴ ，且GE HF =， ∴四边形EGFH 平行四边形；【小问2详解】解：①连接EF ，∵四边形EGFH 是菱形，点G 是AE 的中点， ∴1===2FG GE GA AE ， ∴EF AB ⊥，∴DE AF =，∴13t t =−， ∴132t =， 故答案为：132； ②∵四边形EGFH 是矩形，∴90D EHC AEH ∠=∠=∠=°， ∴90AED HEC ECH HEC ∠+∠=∠+∠=°， ∴AED ECH ∠=∠，∴ADE EHC ∽， ∴AE DE EC CH=， 是= 解得1=8t ，22=3t ， 故答案为：8或23．19. 【答案】（1）()7,4−，(3,4) （2）()0,2− （3）()3,4−或()1,0− （4）()2,4−或5,32 −【解析】【小问1详解】 解：∵AB x ∥轴，6AB =，点A 的坐标为()1,4−， ∴()7,4B −， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴6CD AB AB CD x ==，∥∥轴， ∵D 的坐标为()3,4−， ∴()3,4C ， 故答案为：()7,4−，(3,4)；【小问2详解】 解：设直线AD 的解析式为y kx b =+， 把()1,4A −，()3,4D −带入y kx b =+中得443k b k b −=+ =−+， 解得22k b =− =− ，∴直线AAAA 的解析式为22y x =−−， 在22y x =−−中，当0x =时，2y =−， ∴点G 的坐标为()0,2−；【小问3详解】解：设(),22P a a −−，且31a −≤≤，若点P 关于x 轴的对称点()1,22Q a a +在直线1y x =−上， ∴221a a +=−，解得3a =−，此时()3,4P −．若点P 关于y 轴的对称点()2,22Q a a −−−在直线1y x =−上时， ∴221a a −−=−，解得1a =−，此时()1,0P −综上所述，点P 的坐标为()3,4−或()1,0−．【小问4详解】解：当点P 在AB 上时，如解图1由折叠的性质可得MGP M GP ′=∠，GM GM PM PM ′′==，， ∵GM x ∥轴，PM y ∥轴，∴90MGM ′=°∠，90M ∠=°， ∴45MGP M GP ′==°∠，∴GMP △是等腰直角三角形，∴GM PM GM PM ′′===，∴四边形GM PM ′是正方形，∴GM PM ′′⊥，即PM x ′∥轴，∴M A B ′、、三点共线，∴()242PM GM ==−−−′=′，∴()2,4P −．当点P 在DA 上时，设直线AAAA 的解析式为22y x =−−与x 轴交点为K ，则()1,0K −， 如解图2，点M ′落在x 轴上，由折叠性质可得GM GM ′=，MKG M KG ′=∠∠， ∵GM x ∥轴，∴MGK M KG ′=∠∠∴MGK MKG ∠=∠，∴GM KM =，设点(),2M a −且30a −≤<，则(),22P a a −−， ∵()0,2G −，()1,0K −，∴22222(1)()KM a a =+−−=−， 解得：52a =−， ∴点5,32P −综上所述：点P 的坐标()2,4−或5,32 −的20. 【答案】（1）PEC DPA △∽△（2）①147128PEC S =△；②AP 值等于4或74；③AP 的值等于83或163． 【解析】【小问1详解】证明：在菱形ABCD 中，DA DC =，∴DAC DCA ∠=∠．∵DP DQ =， ∴DPQ DQP ∠=∠， ∵QDP CDA ∠=∠， ∴18021802DPQDAC °−∠=°−∠， ∴DPQ DAC ∠=∠， ∵180QPC DPQ DPA ∠=°−∠−∠，180ADP DAP DPA ∠=°−∠−∠， ∴EPC ADP ∠=∠．∵DAC DCA ∠=∠，∴PEC DPA △∽△；【小问2详解】解：①如图2，连接BD ，在菱形ABCD 中，BD 与AC 互相垂直平分，∴142AO CO AC ===， ∵222+DO AO AD =∴3DO =，的∵DP AD ⊥，∴ADP AOD △∽△， ∴D AO AOP AD AP AD DO AD ==，， 得152544DP AP ==，， ∴115752575824844ADP S CP =××==−=△，． ∵PEC DPA △∽△， ∴2PEC DPA S CP S AD =， ∴2757147820128PEC S =×= ； ②如下图所示, 当90QEC ∠=°时，90QEC PEC ∠=°=∠，∵PDQ ADC ∠=∠， ∴QDC PDA ∠=∠， ∵QD PDCD AD ==，， ∴CQD APD △≌△，∴CQ AP QCD DAC DCA =∠=∠=∠，， ∵QCD PCD CE CE ∠=∠=，，90QEC PEC ∠=°=∠， ∴CQE CPE △≌△，∴CQ CP =．∵CQ AP =∴118422AP CP AC ===×=． 如下图所示，当90EQC ∠=°时，延长DP 交AB 于H ，设AP x =，则8CQ x CP x ==−，．∵APH ABO △∽△ ∴45AH x =． ∵PQC DHA CPQ ADH ∠=∠∠=∠， ∴PCQ DAH △∽△， ∴PC CQ AD AH= ∴8455x x x −= 解得74x = ∵DQDP DC =< 当90ECQ ∠=°时DQ DC > ∴90ECQ ∠=°的情况不存在 综上所述，AP 的值等于4或74； ③∵AD CD =，PD QD =，ADC PDQ ∠=∠， ∴DCA Q ∠=∠， ∴DAC DPQ ∽△△，∴PQ DP AC AD=， ∵DCA Q DAP ∠=∠=∠，QDE PDQ PDE ADC PDE PDA ∠=∠−∠=∠−∠=∠， ∴DEQ DPA ∽△△， ∴QE DQ AP AD =，即QEDPAP AD =， ∴QEQPAP AC =，当2DEP DEQ S S =△△时，13QE PQ =， ∴1833AP AC ==； 当12DEP DEQ S S =△△时，23QE PQ =， ∴21633AP AC ==；综上所述，AP 的值等于83或163．。

2020-2021学年辽宁省沈阳134中九年级（上）段测数学试卷（10月份）一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，20分）1．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．42．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD3．下列说法正确的是（）A．367人中至少有2人生日相同B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖4．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直5．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙6．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）＝3000B．80×70﹣4x2＝3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x＝30007．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．9．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m10．如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（）A．8B．10C．12D．14二、填空题：（每小题3分，共18分11．（3分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有个白球．12．（3分）若，则＝．13．（3分）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是．14．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．15．（3分）一次函数y＝﹣2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA、OB的垂线，垂足为C、D，点P的坐标为时，矩形OCPD的面积为2．16．（3分）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝，则AP的长为．三、解答题（共3小题，满分22分）17．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝3．18．（8分）解方程：x2﹣6x﹣4＝0．19．（8分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字，求两次都摸到奇数的概率．四、解答题：（每小题8分，共16分）20．（8分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．五、解答题：（每小题10分，共20分）22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD 上滑动，且△AED与以点M、N、C为顶点的三角形相似，则CM的长是多少？23．（10分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．…32.53535.538…销售量y（千克）售价x（元/…27.52524.522…千克）（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？六、解答题：（每小题12分，共24分）24．（12分）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB 为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．25．（12分）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE⊥BD，垂足是E，点F 是点关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）直接求出：AF＝；BE；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A'F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD 交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．2020-2021学年辽宁省沈阳134中九年级（上）段测数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，20分）1．已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣4D．4【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x＝1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k ＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，解得k＝2．故选：B．2．四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝ODC．AD∥BC，AB＝DC D．AC⊥BD【分析】由平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：B．3．下列说法正确的是（）A．367人中至少有2人生日相同B．任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是C．天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨D．某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖【分析】利用概率的意义和必然事件的概念的概念进行分析．【解答】解：A、367人中至少有2人生日相同，正确；B、任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，错误；C、天气预报说明天的降水概率为90%，则明天不一定会下雨，错误；D、某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票不一定有1张中奖，错误；故选：A．4．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．5．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（）A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．甲、乙和丙【分析】分别求出矩形的邻边的比，再根据相似多边形的定义解答．【解答】解：甲：邻边的比为3：2，乙：邻边的比为2.5：1.5＝5：3，丙：邻边的比为1.5：1＝3：2，所以，是相似图形的是甲和丙．故选：B．6．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）＝3000B．80×70﹣4x2＝3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x＝3000【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000，故选：C．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．8．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为＝，故选：C．9．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝10.5（米）．故选：B．10．如图，一个菱形的一条对角线长为7，面积为28，则该菱形的另一条对角线长为（）A．8B．10C．12D．14【分析】根据菱形的面积等于两条对角线长的积的一半，可求得．【解答】解：设菱形的另一条对角线长为x，则×7×x＝28，∴x＝8．故选：A．二、填空题：（每小题3分，共18分11．（3分）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有20个白球．【分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【解答】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是＝，设口袋中大约有x个白球，则＝，解得x＝20．故答案为：20．12．（3分）若，则＝5．【分析】根据比例的性质解答：设＝t，则x、y、z分别用t表示，然后将其代入所求的代数式，消去t，从而解得代数式的值．【解答】解：设＝t，则x＝3t，y＝5t，z＝7t．∴＝＝5；故答案是：5．13．（3分）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是50（1﹣x）2＝32．【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．【解答】解：由题意可得，50（1﹣x）2＝32，故答案为：50（1﹣x）2＝32．14．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH＝100，DK＝100，AH＝15，∵AH∥DK，∴∠CDK＝∠A，而∠CKD＝∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴＝，即＝，∴CK＝．答：KC的长为步．故答案为．15．（3分）一次函数y＝﹣2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA、OB的垂线，垂足为C、D，点P的坐标为（2，1）或（，4）时，矩形OCPD的面积为2．【分析】设P（a，﹣2a+5），则利用矩形的性质列出关于a的方程，通过解方程求得a 值，继而求得点P的坐标．【解答】解：∵点P在一次函数y＝﹣2x+5的图象上，∴P（a，﹣2a+5）（a＞0），由题意得a•（﹣2a+5）＝2，整理得﹣2a2+5a﹣2＝0，解得a1＝2，a2＝，∴﹣2a+5＝1或﹣2a+5＝4．综上所述，当P（2，1）或（，4）时，矩形OCPD的面积为2．故答案为：（2，1）或（，4）．16．（3分）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝，则AP的长为．【分析】设AB＝a，AD＝b，则ab＝32，构建方程组求出a、b即可解决问题；【解答】解：设AB＝a，AD＝b，则ab＝32，由△ABE∽△DAB可得：＝，∴b＝a2，∴a3＝64，∴a＝4，b＝8，设P A交BD于O．在Rt△ABD中，BD＝＝12，∴OP＝OA＝＝，∴AP＝．故答案为．三、解答题（共3小题，满分22分）17．（6分）解方程：（x﹣3）（x﹣1）＝3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x＝0，x（x﹣4）＝0，所以x1＝0，x2＝4．18．（8分）解方程：x2﹣6x﹣4＝0．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x2﹣6x＝4，配方得x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，开方得x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．19．（8分）一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从中任意摸出一个小球（不放回），记下数字，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字，求两次都摸到奇数的概率．【分析】根据题意先画出树状图，得出所以等可能的结果数和两次都摸到奇数的情况数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中两次都摸到奇数的有2种，则两次都摸到奇数的概率是＝四、解答题：（每小题8分，共16分）20．（8分）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．21．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．五、解答题：（每小题10分，共20分）22．（10分）如图，正方形ABCD边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，且△AED与以点M、N、C为顶点的三角形相似，则CM的长是多少？【分析】根据勾股定理求出DE的长，分△AED∽△CNM和△AED∽△CMN两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，∴AE＝1，∴DE ＝＝＝，当△AED∽△CNM 时，＝，即＝，解得CM ＝，当△AED∽△CMN 时，＝，即＝，解得CM ＝．23．（10分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克．根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系．…32.53535.538…销售量y（千克）…27.52524.522…售价x（元/千克）（1）某天这种芒果的售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量．（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式，如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值；（2）根据利润＝销量×（售价﹣成本），列出m与x的函数关系式，再由函数值求出自变量的值．【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴y＝﹣x+60（15≤x≤40），∴当x＝28时，y＝32，答：芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克；（2）由题易知m＝y（x﹣10）＝（﹣x+60）（x﹣10）＝﹣x2+70x﹣600，当m＝400时，则﹣x2+70x﹣600＝400，解得，x1＝20，x2＝50，∵15≤x≤40，∴x＝20，答：这天芒果的售价为20元．六、解答题：（每小题12分，共24分）24．（12分）如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB 为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图2，若∠MON＝150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到DE＝OC，∥OC，CE＝OD，CE∥OD，推出四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE＝∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO＝∠QDO＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC＝ED，CE＝DQ，即可得到结论（2）①连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP＝OR＝RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD＝30°，即可得到结论；②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，推出∠PEQ＝∠ACR＝90°，证得△PEQ是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质得到ARB＝∠PEQ＝90°，根据四边形的内角和得到∠MON＝135°，求得∠APB＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵点C、D、E分别是OA，OB，AB的中点，∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，∴四边形ODEC是平行四边形，∴∠OCE＝∠ODE，∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，∴∠PCO＝∠QDO＝90°，∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ，∵PC＝AO＝OC＝ED，CE＝OD＝OB＝DQ，在△PCE与△EDQ中，，∴△PCE≌△EDQ；（2）①如图2，连接RO，∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，∴AR＝OR＝RB，∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°，∴∠CRD＝30°，∴∠ARB＝60°，∴△ARB是等边三角形；②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°，∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°，∴∠OCR＝∠ODR＝90°，∠CRD＝∠ARB＝45°，∴∠MON＝135°，此时P，O，B在一条直线上，△P AB为直角三角形，且∠APB＝90°，∴AB＝2PE＝2×PQ＝PQ，∴＝．25．（12分）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，AE⊥BD，垂足是E，点F 是点关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）直接求出：AF＝；BE＝；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，求出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A'F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD 交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如图①﹣1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝4，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝＝＝，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF＝AE＝，BF＝BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝，由勾股定理得：BE＝＝＝．故答案为：，＝．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①﹣1所示：由对称点性质可知，∠1＝∠2．BF＝BE＝，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝．①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3＝∠4，∴∠3＝∠2，∴BB′＝B′F′＝，即m＝；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D＝B′F′＝，∴BB′＝BD﹣B′D＝10﹣＝，即m＝．（3）存在．理由如下：在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD＝DQ，则∠Q＝∠DPQ，∴∠2＝∠Q+∠DPQ＝2∠Q，∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，∴∠3＝∠Q，∴A′Q＝A′B＝3，∴F′Q＝F′A′+A′Q＝+6＝．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝．∴DQ＝BQ﹣BD＝﹣10；②如图③﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ＝DQ，则∠2＝∠P，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，∴BQ＝A′Q，∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝﹣BQ．在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2＝BQ2，即：（）2+（﹣BQ）2＝BQ2，解得：BQ＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝10﹣＝；③如图③﹣3所示，点Q落在BD上，且PD＝DQ，则∠3＝∠4．∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，∴∠4＝90°﹣∠2．∵∠1＝∠2，∴∠4＝90°﹣∠1．∴∠A′QB＝∠4＝90°﹣∠1，∴∠A′BQ＝180°﹣∠A′QB﹣∠1＝90°﹣∠1，∴∠A′QB＝∠A′BQ，∴A′Q＝A′B＝3，∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝6﹣＝．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ＝＝＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝10﹣；④如图④﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ＝PD，则∠2＝∠3．∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴BQ＝BA′＝6，∴DQ＝BD﹣BQ＝10﹣6＝4．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；DQ的长度分别为4或或﹣10或10﹣．。

2020-2021学年内蒙古赤峰八中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）一.选择题1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x（x﹣2）＝0C．x2++1＝0D．2（x﹣1）2＝2x2﹣x2．将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣2）2＝3 3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．0或14．方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝3（x+2）2﹣1D．y＝3（x+2）2+16．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（）A．16B．﹣4C．4D．87．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2011的值为（）A．2009B．2012C．2011D．20108．对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象和性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1，最小值是5B．对称轴是直线x＝1，最大值是5C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是5D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是59．一学生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球落地水平距离为（）A．m B．3m C．10m D．12m10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．711．定义一种新运算：a※b＝a（a﹣b），例如4※3＝4×（4﹣3）＝4，若x※2＝3，则x 的值为（）A．3B．﹣1C．3或1D．3或﹣112．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣213．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④二．填空题15．当m≠时，函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数．16．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为．17．如图，是一座抛物线形拱桥，当拱顶距水面距离为2m时，水面宽度为4m，当水面下降1m时，水面宽度为m．18．已知一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两个根为a、b，则（a+3）（b+3）＝．三、解答题19．解下列方程．（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；（2）2x2+x﹣6＝0．20．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．21．已知二次函数y＝x2+bx+c图象过点A（1，0），C（0.3）．（1）求此二次函数解析式；（2）求此函数的顶点坐标和对称轴；（3）当y＜0时，直接写出x的取值范围．22．如图，某农户要建一个矩形菜园，菜园的一边用12m的院墙，另外三边用25m长的建筑材料围成．为出入方便，在垂直于院墙的一边留一个1m宽的门，长和宽为多少时菜园的面积为80m2？23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低1元，每天多售出5件，但要求销售单价不低于成本价．设每件工艺品的销售单价为x元，每天销量为y件．（1）写出y与x的关系式及自变量的取值范围．（2）若每天的利润为w元，当销售单价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？24．阅读理解解方程：x3﹣x＝0x（x2﹣1）＝0x（x+1）（x﹣1）＝0x＝0，x+1＝0，x﹣1＝0x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1（1）解方程：4x3﹣4x2+x＝0；（2）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0；（3）方程：（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0的解为．25．如图a，抛物线y＝ax2+bx+c，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）．当x ＝﹣1，抛物线有最大值4．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图b，设点Q是线段AC上的动点，作DQ⊥x轴交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值；（3）若点P在抛物线上，且S△AOP＝2S△BOC，请直接写出符合条件的点P的坐标．26．探究题探究1：如图甲，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上的一个动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF与BD之间的位置关系为，数量关系为；探究2：如图乙，当点D运动到线段BC的延长线上时，其余条件不变，探究1中的两个结论是否仍然成立？请写出证明过程．参考答案一.选择题1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x（x﹣2）＝0C．x2++1＝0D．2（x﹣1）2＝2x2﹣x【分析】一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程．根据定义即可求解．解：A．ax2+bx+c＝0中，a＝0时，方程不是一元二次方程，不符合题意；B．x（x﹣2）＝0可化为x2﹣2x＝0，是一元二次方程，符合题意；C．x2++1＝0，不是整式方程，不符合题意；D.2（x﹣1）2＝2x2﹣x，可化为﹣4x+2＝﹣x，是一元一次方程，不符合题意；故选：B．2．将一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝4B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝3D．（x﹣2）2＝3【分析】先移项，再配方，即可得出答案．解：x2﹣2x﹣3＝0，x2﹣2x＝3，x2﹣2x+1＝3+1，（x﹣1）2＝4，故选：B．3．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．0或1【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该方程来求m的值．解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，∴12+m﹣2＝0，即m﹣1＝0，解得m＝1．故选：C．4．方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】根据根的判别式的值与零的大小关系即可判断．解：依题意得Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，∴方程有两不相等的实数根．故选：A．5．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝3（x﹣2）2﹣1B．y＝3（x﹣2）2+1C．y＝3（x+2）2﹣1D．y＝3（x+2）2+1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．解：抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：C．6．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（）A．16B．﹣4C．4D．8【分析】根据抛物线的顶点在x轴上，得＝0，从而可以解答本题．解：∵抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，∴＝0，解得，c＝16．故选：A．7．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2011的值为（）A．2009B．2012C．2011D．2010【分析】由抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），将此点代入抛物线解析式，整理后求出m2﹣m的值，代入所求式子即可求出值．解：∵物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），∴将x＝m，y＝0代入抛物线解析式得：m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，则m2﹣m+2011＝1+2011＝2012．故选：B．8．对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象和性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1，最小值是5B．对称轴是直线x＝1，最大值是5C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是5D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是5【分析】根据二次函数的性质对各开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标进行判断即可．解：抛物线y＝﹣（x﹣1）2+5的图象，开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，5），函数有最大值是5，故选：B．9．一学生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球落地水平距离为（）A．m B．3m C．10m D．12m【分析】铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值．解：令函数式y＝﹣x2+x+中，y＝0，即﹣x2+x+＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即铅球推出的距离是10m．故选：C．10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，则这种植物每个枝干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】设这种植物每个枝干长出x个小分支，根据主干、枝干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．解：设这种植物每个枝干长出x个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．11．定义一种新运算：a※b＝a（a﹣b），例如4※3＝4×（4﹣3）＝4，若x※2＝3，则x 的值为（）A．3B．﹣1C．3或1D．3或﹣1【分析】根据题意，可得：x（x﹣2）＝3，所以x2﹣2x﹣3＝0，所以（x﹣3）（x+1）＝0，所以x﹣3＝0或x+1＝0，据此求出x的值即可．解：∵a※b＝a（a﹣b），x※2＝3，∴x（x﹣2）＝3，∴x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，解得：x＝3或﹣1．故选：D．12．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣2【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．13．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x＝，与y轴的交点坐标为（0，c）．解：解法一：逐项分析A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，二次函数的对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x＝＝＝＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；解法二：系统分析当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，一次函数图象过一、二、三象限．当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，对称轴x＝＜0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选：D．14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④【分析】根据图象得出a＞0，b＝2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x＝2代入抛物线的解析式即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x ＞﹣1时，y随x的增大而增大即可判断④．解：∵二次函数的图象的开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，∴①正确；2a﹣b＝2a﹣2a＝0，∴②正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．∴与x轴的另一个交点的坐标是（1，0），∴把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c＞0，∴③错误；∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝﹣1，∴点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∵＜3，∴y2＜y1，∴④正确；故选：C．二．填空题15．当m≠1时，函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数．【分析】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可．解：∵函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣5是二次函数，∴m﹣1≠0，解得m≠1．故答案为：m≠1．16．某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为8100×（1﹣x）2＝7600．【分析】该楼盘这两年房价平均降低率为x，则第一次降价后的单价是原价的1﹣x，第二次降价后的单价是原价的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：8100×（1﹣x）2＝7600，故答案为：8100×（1﹣x）2＝7600．17．如图，是一座抛物线形拱桥，当拱顶距水面距离为2m时，水面宽度为4m，当水面下降1m时，水面宽度为2m．【分析】根据图象建立平面直角坐标系，求出函数解析式，然后将y＝﹣1代入解析式求解．解：如图，建立平面直角坐标系，抛物线顶点C坐标为（0，2），AB＝4，则点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），设抛物线解析式为y＝ax2+2，将（2，0）代入y＝ax2+2得0＝4a+2，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2，把y＝﹣1代入y＝﹣x2+2得﹣1＝﹣x2+2，解得x＝±，∴水面宽度为2米．故答案为：2．18．已知一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两个根为a、b，则（a+3）（b+3）＝．【分析】由方程根与系数的关系可求得a+b＝，ab＝﹣，再把（a+3）（b+3）化为ab+3（a+b）+9代入可求得答案．解：∵一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两个根为a、b，∴a+b＝，ab＝﹣，∴（a+3）（b+3）＝ab+3（a+b）+9＝﹣+3×+9＝，故答案为：．三、解答题19．解下列方程．（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2）；（2）2x2+x﹣6＝0．【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）3x（x﹣2）＝2（x﹣2），3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，（3x﹣2）（x﹣2）＝0，∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝，x2＝2．（2）2x2+x﹣6＝0，（x+2）（2x﹣3）＝0，则x+2＝0或2x﹣3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝．20．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，进而可得[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0解不等式即可；（2）根据（1）中所计算的m的取值范围，确定出m的值，再把m的值代入方程，解方程即可．解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即：[﹣2（m+1）]2﹣4m2＞0解得m＞﹣；（2）∵m＞﹣，∴取m＝0，方程为x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2．21．已知二次函数y＝x2+bx+c图象过点A（1，0），C（0.3）．（1）求此二次函数解析式；（2）求此函数的顶点坐标和对称轴；（3）当y＜0时，直接写出x的取值范围．【分析】（1）根据二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），C（0，3），可以求得该函数的解析式；（2）根据（1）中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象；（3）根据（2）中画出的函数图象，可以写出当y≤0时，x的取值范围．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），C（0，3），∴，得，即该函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数的顶点坐标是（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，该函数图象如右图所示；（3）由图象可得，当y≤0时，x的取值范围x≤﹣1或x≥3．22．如图，某农户要建一个矩形菜园，菜园的一边用12m的院墙，另外三边用25m长的建筑材料围成．为出入方便，在垂直于院墙的一边留一个1m宽的门，长和宽为多少时菜园的面积为80m2？【分析】设矩形菜园垂直于墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．解：设矩形菜园垂直于住房墙一边长为xm，则得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得：x（25﹣2x+1）＝80，化简，得x2﹣13x+40＝0，解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，答：长为10m、宽为8m时菜园的面积为80m2．23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低1元，每天多售出5件，但要求销售单价不低于成本价．设每件工艺品的销售单价为x元，每天销量为y件．（1）写出y与x的关系式及自变量的取值范围．（2）若每天的利润为w元，当销售单价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，每天多售出5件可列出y与x的关系式．（2）由w＝（x﹣50）y可得函数解析式，然后将其配方整理为顶点式求解．解：（1）由题得y＝50+5（100﹣x）＝﹣5x+550，∴y＝﹣5x+550（50≤x≤100）．（2）∵w＝（x﹣50）y＝（x﹣50）（﹣5x+550）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∴x＝50时，w取最大值为4500．即当销售单价为80元时，每天利润最大为4500元．24．阅读理解解方程：x3﹣x＝0x（x2﹣1）＝0x（x+1）（x﹣1）＝0x＝0，x+1＝0，x﹣1＝0x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1（1）解方程：4x3﹣4x2+x＝0；（2）解方程：（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0；（3）方程：（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0的解为x1＝，x2＝．【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．解：（1）4x3﹣4x2+x＝0，x（4x2﹣4x+1）＝0，x（2x﹣1）2＝0，x＝0或（2x﹣1）2＝0，解得：x1＝0，x2＝x3＝；（2）（x2﹣x）2﹣3（x2﹣x）＝0，（x2﹣x）（x2﹣x﹣3）＝0，x2﹣x＝0，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝1，x3＝，x4＝；（3）（2x2﹣x+1）2﹣2（2x2﹣x）﹣5＝0，整理得：（2x2﹣x）2﹣4＝0，∴2x2﹣x﹣2＝0，2x2﹣x+2＝0，解方程2x2﹣x﹣2＝0得：x1＝，x2＝；方程2x2﹣x+2＝0中△＝﹣15＜0，此方程无解，所以原方程的解为：x1＝，x2＝；故答案为：x1＝，x2＝．25．如图a，抛物线y＝ax2+bx+c，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）．当x ＝﹣1，抛物线有最大值4．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图b，设点Q是线段AC上的动点，作DQ⊥x轴交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值；（3）若点P在抛物线上，且S△AOP＝2S△BOC，请直接写出符合条件的点P的坐标．【分析】（1）根据当x＝﹣1，抛物线有最大值4，可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），因此在用待定系数法求函数的解析式时，应设为顶点式，再将C（0，3）代入该顶点式，求出待定系数的值即可；（2）先用待定系数法求直线AC的解析式，再设点Q的横坐标为x，且用含x的代数式分别表示点Q、点D的纵坐标以及线段DQ的长度，再根据二次函数的性质求线段DQ 长度的最大值；（3）设点P的横坐标为x，再用含x的代数式表示点P的纵坐标，△AOP的边OA上的高为点P的纵坐标的绝对值，根据S△AOP＝2S△BOC列方程求出x的值及点P的坐标即可．解：（1）∵当x＝﹣1，抛物线有最大值4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+4，把C（0，3）代入y＝a（x+1）2+4，得a+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如图1，当y＝0时，由0＝﹣x2﹣2x+3得x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），设直线AC的解析式为y＝kx+3，把A（﹣3，0）代入y＝kx+3，得﹣3k+3＝0，解得k＝1，∴y＝x+3，设点Q的横坐标为x（﹣3≤x≤0），则Q（x，x+3），D（x，﹣x2﹣2x+3），∴DQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∵DQ＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，且﹣1＜0，﹣3＜﹣＜0，∴当x＝﹣时，DQ最大＝，∴线段DQ长度的最大值是．（3）如图2，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），∵∠BOC＝90°，OB＝1，OC＝3，∴S△BOC＝×1×3＝，∵S△AOP＝2S△BOC＝，且OA＝3，△AOP的边OA上的高为|﹣x2﹣2x+3|，∴×3|﹣x2﹣2x+3|＝2×，解得x1＝，x2＝，x3＝，x4＝，∴P1（，2），P2（，2），P3（，2），P4（，2）．26．探究题探究1：如图甲，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上的一个动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF与BD之间的位置关系为CF⊥BD，数量关系为CF＝BD；探究2：如图乙，当点D运动到线段BC的延长线上时，其余条件不变，探究1中的两个结论是否仍然成立？请写出证明过程．【分析】探究1：由“SAS”可证△BAD≌△CAF，可得CF＝BD，∠B＝∠ACF，由余角的性质可得∠B+∠BCA＝90°，推出∠BCA+∠ACF＝90°即可；探究2：结论不变．证明方法与探究1类似．解：探究1：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF＝90°，∴∠CAD+∠CAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF．∴在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD；故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；探究2：探究1中的两条结论仍然成立．理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°+∠CAD，∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF＝90°，∠CAF＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF．∴在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△CAF（SAS），∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCF＝90°，∴CF⊥BD．。

2020-2021学年北京市西城区三帆中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形2．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．（3分）若关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的取值为（）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m≠﹣15．（3分）⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝D．∠BCA＝∠DCA 6．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．7．（3分）小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A．①③B．①④C．②③D．②④8．（3分）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空题（共8小题）.9．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是．10．（2分）已知菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积是．11．（2分）请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y＝．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．13．（2分）关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a＞0）的图象与x轴的公共点有个．14．（2分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．15．（2分）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为．16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．解下列一元二次方程：（1）3（1+x）2＝15；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．18．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m经过原点，求m的值．19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为；（2）此函数与x轴的交点坐标为；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（不用列表）（4）直接写出当﹣2＜x＜3时，y的取值范围．20．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连结AE，交OD于点F，连结CF，若CF＝CE＝1，求AC长．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．22．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：x (2)1012…y… 4.3 3.20﹣2.2﹣1.40 2.8 3.74 3.7 2.80﹣1.4﹣2.2m 3.2 4.3…其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4＝0有个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是．23．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足，y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．24．在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．25．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y 轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．参考答案一、选择（共8小题）.1．（3分）如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A．三角形B．菱形C．矩形D．正方形解：将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，那么剪下的纸片打开后的形状，是对角线互相垂直平分的四边形，故是菱形．故选：B．2．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故选：B．3．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y ＝（x+1）2+2．故选：B．4．（3分）若关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的取值为（）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m≠﹣1解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣2x＝3是一元二次方程，∴，解得m＝1．故选：A．5．（3分）⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．＝D．∠BCA＝∠DCA 解：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴＝，∴BC＝CD．故选：B．6．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．7．（3分）小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A．①③B．①④C．②③D．②④解：①由折线统计图知小明的成绩有5次高于小亮的成绩，有1次和小亮相等，故小明的测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误；②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确；③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误；④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高，∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确；故选：D．8．（3分）两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径解：A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰也在点D，故本选项不符合题意；D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t＝＝4.84，故本选项正确；故选：D．二、填空（18题4分，其余每题2分）9．（2分）方程x2﹣2x＝0的根是x1＝0，x2＝2．解：因式分解得x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．故答案为x1＝0，x2＝2．10．（2分）已知菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，则菱形ABCD的面积是2．解：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝2，∠B＝60°，∴AH＝AB•sin B＝2×＝，∴菱形ABCD的面积＝BC•AH＝2×＝2．故答案为2．11．（2分）请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y＝﹣x2+2x（答案不唯一）．解：∵开口向下，∴a＜0，∵抛物线过坐标原点，∴c＝0，∴答案不唯一，如y＝﹣x2+2x．故答案为：y＝﹣x2+2x（答案不唯一）．12．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：△ABC 绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF．解：△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF；故答案为：△ABC绕C点逆时针旋转90°，并向左平移2个单位得到△DEF13．（2分）关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a＞0）的图象与x轴的公共点有2个．解：△＝b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣1）＝4a，∵a＞0，∴△＝4a＞0，∴关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣1（a＞0）的图象与x轴的公共点有2个，故答案为：2．14．（2分）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．解：连接OA，∵C是AB的中点，∴AC＝AB＝2，OC⊥AB，∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，解得，OA＝，故答案为：．15．（2分）阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为+1．解：如图，点M即为所求，连接AC、BC，由题意知，AB＝4、BC＝1，∵AB为圆的直径，∴∠ACB＝90°，则AM＝AC＝＝＝，∴点M表示的数为+1，故答案为：+1．16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是②④．解：①该函数图象的开口向下，a＜0，错误；②∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，正确；③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c＞0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．故答案为：②④三、解答17．解下列一元二次方程：（1）3（1+x）2＝15；（2）3x2﹣4x﹣2＝0．解：（1）3（1+x）2＝15，两边都除以3得，（1+x）2＝5，∴1+x＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）3x2﹣4x﹣2＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣2，△＝b2﹣4ac＝16+24＝40，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．18．已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m经过原点，求m的值．解：（1）由题意有△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝1＞0．∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线过原点，则m2﹣m＝0，解得m＝0或1．19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）此函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0）；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（不用列表）（4）直接写出当﹣2＜x＜3时，y的取值范围．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，故答案为（﹣1，0）、（3，0）；（3）根据（1）、（2）的数据描点连线大致画出函数的图象如下：（4）从函数图象看，当﹣2＜x＜3时，当x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝1，函数的顶点坐标为（1，﹣4），故y的取值范围为﹣4＜y＜1．20．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连结AE，交OD于点F，连结CF，若CF＝CE＝1，求AC长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴OC＝DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD∥CE，∠OCE＝90°，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF＝AF＝EF，∵CF＝CE＝1，∴CF＝1，∴AE＝2，∴AC＝＝＝．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．22．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4﹣5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：x…﹣2﹣012…1y… 4.3 3.20﹣2.2﹣1.40 2.8 3.74 3.7 2.80﹣1.4﹣2.2m 3.2 4.3…其中m＝0；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质函数图象关于y轴对称；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4﹣5x2+4＝0有4个互不相等的实数根；②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1＜y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；③若关于x的方程x4﹣5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是﹣2.2＜a＜4．解：（1）观察对应数值表可知：m＝0，（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：（3）观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于y轴对称；（4）①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4﹣5x2+4＝0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2＞x1＞2时，y1＜y2；故答案为＜；③观察函数图象，结合对应数值表可知：﹣2.2＜a＜4，故答案为：﹣2.2＜a＜4．23．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝2；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足，y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．解：（1）对称轴x＝﹣＝2．故答案为2．（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2．∴4a﹣8a+3a＝2．解得a＝﹣2，∴二次函数为y＝﹣2x2+8x﹣6，当x＝1时，y＝0．当x＝4时，y＝﹣6．∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6．（3）∵当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，∴t+1≤5，∴t≤4．24．在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．解：（1）如图：（2）∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90°，∴∠ABH＝90°﹣2α，∵BA＝BD，∴∠BDA＝45°+α；（3）补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE，∵AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90°﹣α，由（2）知∠ABH＝90°﹣2α，∠DBP＝90°﹣α﹣（90°﹣2α）＝α，∴∠DBP＝∠EBP＝α，∴∠BDE＝2α，∵AB＝BD，∴△ABC≌△BDE，∴BC＝DE，∴∠DPB＝∠ADB﹣∠DBP＝45°+α﹣α＝45°，∴＝，∴＝，∴＝，∴BC＝DP．25．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y 轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1＜d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P（﹣3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3＜4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A（2，﹣5）的最大距离为5；②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为±5；（2）若点C在直线y＝﹣x﹣2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．解：（1）①∵点A（2，﹣5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，∵2＜5，∴点A的“最大距离”为5．②∵点B（a，2）的“最大距离”为5，∴a＝±5；故答案为5，±5．（2）设点C的坐标（x，y），∵点C的“最大距离”为5，∴x＝±5或y＝±5，当x＝5时，y＝﹣7，当x＝﹣5时，y＝3，当y＝5时，x＝﹣7，当y＝﹣5时，x＝3，∴点C（﹣5，3）或（3，﹣5）．（3）如图，观察图象可知：当⊙O于直线x＝5，直线x＝﹣5，直线y＝5，直线y＝﹣5有交点时，⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，∴．。

2020-2021学年北京人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一．选择题（共8小题）.1．一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，3B．2，1，﹣3C．2，﹣1，3D．2，﹣1，﹣3 2．如图，圆O的弦中最长的是（）A．AB B．CD C．EF D．GH3．抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．（﹣1，0）4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x﹣1）2＝6D．（x+1）2＝6 5．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会，又举办过冬奥会的城市．下面的图形是各界冬奥会会徽中的部分图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，若点的对应点D恰好在线段AB上，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（）A．CA＝CD B．△CDF≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF8．在平面直角坐标系xOy中，对于自变量为x的函数y1和y2，当﹣1≤x≤1时，都满足|y1﹣y2|≤1成立，则称函数y1和y2互为“关联的”，下列函数中，不与y＝x2为“关联的”的函数是（）A．y＝x2﹣1B．y＝2x2C．y＝（x﹣1）2D．y＝﹣x2+1二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为．10．写出一个对称轴为y轴的二次函数的表达式．11．若关于x的方程x2+2kx+k﹣4＝0的一个根是1，则k的值为．12．如图，AB是⊙的弦，直径CD⊥AB于点H，若⊙O的半径为10，AB＝16，则DH的长为．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，则a0，b2﹣4ac0（两空均选填“＞”，“＝”，“＜”）．14．如果m是方程x2+3x＝2020的根，那么代数式m（2m+1）﹣（m﹣1）2的值为．15．已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x和y满足表格：x…﹣10123…y…105212…根据图表中信息推断，方程ax2+bx+c﹣10＝0的根为．16．如图，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，且满足CE＝2BE，过点B作AE的垂线，与CD交于点F，点P、Q分别为线段AE和BF的中点，连接PQ，若PQ＝2，则正方形ABCD的边长为．三、解答题（本题共60分，第17-20题，每小题5分，第21题4分，第22题6分，第23-24题每小题5分，第25题6分，第26-27题，每小题5分）解答应写出文字，说明演算步骤或证明过程17．解方程：x2+5x+7＝3x+8．18．求抛物线y＝x2﹣2x与x的交点坐标，并在坐标系中画出图像．19．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E在直线BC上，F在BA的延长线上，且满足BF ＝CE，∠E＝∠F．求证：AE＝DF．20．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0．（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；（2）若此方程的根都为正整数，求整数的值．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，1），B（2，3），C（2，1），将△ABC绕平面内的某个点P逆时针旋转α．（0°＜α＜180°）角度后，得到△DEF，其中点A、B、的对应点为D（0，2）、E（﹣2，1）．（1）在图中标出点P的位置，并画出旋转后的△DEF；（2）旋转角α的度数为°；（3）小宇尝试通过运用若干次轴对称变换来代替上面的旋转过程，他写出了一种变换的方法，将请将其补全；先将△ABC关于直线x＝1对称，再将所得的图形再关于直线．（填直线的表达式）对称得到△DEF．22．小宇遇到了这样一个问题：如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均3m，今有宽2.4m 的卡车在道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）为解决这个问题，小字以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；（2）求出抛物的表达式；（3）利用求出的表达式，帮助小雨解决这个问题．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，若M为CD的中点．（1）求证：DE∥AB；（2）连接AD，OE，若OE∥AD，求∠BAD的度数．24．小字在学习过程中遇到一个函数y＝|x﹣1|（x2﹣2x+1）﹣2．下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：（1）对于函数y1＝|x﹣1|，图像关于直线x＝1对称；对于二次函数y2＝x2﹣2x+1，图像的对称轴为；综合上述分析，进一步探究发现，函数y的图像也是轴对称图形，其对称轴为．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中画出了函数y的部分图像，用描点法将这个函数图像补充完整．（3）结合数图像和解析式的分析，小得出以下三个结论：①函数y有最小值，没有最大值；②函数y的图像与轴的负半轴交点的横坐标p满足﹣1＜p＜−1 2．③若（x1，m），N（x2，n）函数y图像上的两点，若x1＜x2，且x1+x2＞2，则一定有m＜n．所有正确结论的序号是．25．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图像上．（1）当t＝2时，求二次函数对称轴的表达式；（2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图像上，结合函数图像作答：①当这个函数的最小值为0时，求t 的值；②若在0≤x ≤1时，y 随x 的增大而增大，直接写出t 的取值范围．26．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点P 为∠ACB 平分线上的一动点，且满足PC ＜PA ，连接PA ，PB ，以P 为中心，将线段PB 旋转，得到线段PD ，使点D 在AC 的延长线上．（1）依题意补全图形；（2）求证：①PA ＝PB ；②∠BPD ＝∠BCD ；（3）过点D 作PC 的垂线，与PC 的延长线交于点E ，写出一个α的值，使得对于任意符合条件的点P ，都有PE AC 是一个定值，画出图形，并求出这个定值．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知y 是x 的函数，对于这个函数图像上的一点A （a ，b ）和给定的实数t （t ＞0）．若这个函数在a ≤x ≤a +t 上有定义且满足：当a ≤x ≤a +t 时，函数值y 的最大值M 与最小值m 的差M ﹣m ＝t ，就称这个函数满足性质Φ（A ，t ）． 如图1，对于函数y ＝x ，给定其图象上的点O （0，0）和t ＝1，在0≤x ≤1上函数值y的最大值M ＝1，最小值m ＝0，满足，M ﹣m ＝t ，因此函数y ＝x 满足性质Φ（0，1）．（1）根据定义，判断函数y ＝x 2是否满足性质Φ（0，1），并说明理由；（2）已知函数y ={−12x ，x ≤0kx ，x ＞0，点M 的坐标为（﹣2，1），若这个函数满足性质Φ（M ，3），结合函数图像，求k 的值；（3）点P 为二次函数y =12x 2图像上的动点，若存在唯一的t ＞0，使得函数y =12x 2满足性质Φ（P ，t ），直接写出点P 的横坐标m 的取值范围．。

齐齐哈尔28中月考试卷初三数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1. 用公式法解一元二次方程3x2+3=﹣2x时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（）A. a=3，b=2，c=3B. a=﹣3，b=2，c=3C. a=3，b=2，c=﹣3D. a=3，b=﹣2，c=3【答案】A【解析】【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号．【详解】3x2+3=﹣2x∴3x2+2x+3=0a=3，b=2，c=3．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，解题时注意：项的系数带着前面的符号．2. 下列美丽的图案，不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】解：A是中心对称图形，不符合题意；B不是中心对称图形，符合题意；C是中心对称图形，不符合题意；D是中心对称图形，不符合题意，故选B ．【点睛】本题考查中心对称图形，正确识图是解题的关键．3. 把抛物线y=（x ﹣1）2+2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（ ） A. y=﹣（x+1）2﹣2B. y=﹣（x ﹣1）2﹣2C. y=﹣（x ﹣1）2+2D. y=﹣（x+1）2+2【答案】A【解析】【分析】 求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标为（1，2），∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（-1，-2），∴所得到的图象的解析式为y=-（x+1）2-2．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．4. 二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A. 3k < B. 3k <且0k ≠ C. 3k ≤ D. 3k ≤且0k ≠ 【答案】D 【解析】 【分析】 利用kx 2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k 取值范围． 【详解】∵二次函数y=kx 2−6x+3的图象与x 轴有交点， ∴方程kx 2−6x+3=0(k≠0)有实数根， 即△=36−12k ⩾0，k ⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k 的取值范围是k ⩽3且k≠0. 故选D. 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于掌握其性质定义.5. 对于任意实数x ，多项式x 2-5x+8的值是一个（ ） A. 非负数 B. 正数 C. 负数D. 无法确定【答案】B【解析】试题解析：x 2-5x+8=x 2-5x+254+74=（x-52）2+74， 任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，所以（x-52）2+74的最小值是74， 故多项式x 2-5x+8的值是一个正数，故选B ．考点：1.配方法的应用；2.非负数的性质：偶次方．6. 已知点（﹣1，y 1）、（﹣2，y 2）、（2，y 3）都在二次函数y=﹣3ax 2﹣6ax+12（a ＞0）上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A. y 1＞y 3＞y 2B. y 3＞y 2＞y 1C. y 3＞y 1＞y 2D. y 1＞y 2＞y 3 【答案】D【解析】【分析】根据题意首先可知二次函数图像开口向下，进一步可得出其对称轴为：1x =-，然后根据图像上的点的横坐标距离对称轴的远近来比较各自纵坐标的大小即可.【详解】∵0a >，∴30a -<，即该二次函数图像开口向下，由二次函数解析式可知其对称轴为：()6123a x a -=-=-⨯-， ∵点（﹣1，y 1）、（﹣2，y 2）、（2，y 3）都在该二次函数图像上，而三点的横坐标距离对称轴1x =-的距离由近到远为：（﹣1，y 1）、（﹣2，y 2）、（2，y 3），∴y 1> y 2> y 3，故选：D.【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关方法是解题关键.7. 若t 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是（ ）A. M =B. M >C. M <D. 大小关系不能确定【答案】A【解析】【分析】 根据t 是一元二次方程的根，把t 代入原方程得到at 2+bt+c=0进行整理，两边同乘以4a ，再移项，两边同加上b 2，就得到了（2at+b ）2=b 2-4ac ．【详解】把t 代入方程ax 2+bx+c=0中得at 2+bt=-c ，∵(2at+b)2=4a 2t 2+4abt+b 2，∴(2at+b)2=4a(at 2+bt)+b 2=-4ac+b 2，∴△=M.故选：A.【点睛】考查了一元二次方程解的概念以及根的判别式，主要是对方程进行转化，注意转化思想在解题中的应用.8. 方程x 2+ax+1=0和x 2-x-a=0有一个公共根，则a 的值是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题解析：方程210x ax ++= 和20x x a --=有一个公共根. 221.x ax x x a ∴++=--1.ax x a ∴+=--()()110.a x a ∴+++=()()110.a x ∴++=解得： 1.x =-把1x =-代入210x ax ++=.即：110.a -+=2.a =故选C.9. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x 2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A. 24B. 48C. 24或85D. 85【答案】C【解析】试题分析：x2-16x+60=0（x-6）（x-10）=0，∴x=6或x=10．当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．∴高h=226425-=，∴三角形的面积是8×25÷2=85，当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．∴三角形的面积是6×8÷2=24，∴S=24或85.故选C．考点：一元二次方程的解法；分类讨论思想；三角形的面积10. 如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为A. （3，2）B. （3，3）C. （3，4）D. （3，1）【答案】A【解析】试题分析：根据A与A′关于C点对称，设A′坐标为（a，b），可知32a-+=，412b-+=-，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）. 故选A考点：中心对称二、填空题（每小题3分，共18分）11. 若方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则m=_____．【答案】2【解析】 解：由题意得，，解得，12. 已知：函数y ＝ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点，这个函数的关系式_____． 【答案】2114y x x =++或y=x+1 【解析】【分析】分a=0和a≠0两种情况讨论即可求解．【详解】（1）当a=0时，函数为一条直线，与x 轴必定有一个交点，方程为：y=x+1；（2）当a≠0时，函数为二次函数，图象与x 轴只有一个公共点，则△=b 2-4ac=0，即：1-4a=0，则a=14，则函数的表达式为：y=14x 2+x+1； 故答案为y=x+1或y=14x 2+x+1． 【点睛】本题考查的是函数与x 轴的交点，分分a=0和a≠0两种情况讨论，当a≠0时，利用△=0即可求解． 13. 已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2-3）=5，则x 2+y 2的值等于_____． 【答案】4.【解析】试题解析：设x 2+y 2=k∴（k+1）（k-3）=5 ∴k 2-2k-3=5，即k 2-2k-8=0∴k=4，或k=-2又∵x 2+y 2的值一定是非负数∴x 2+y 2的值是4．考点：1.换元法解一元二次方程；2.解一元二次方程-因式分解法．14. 已知x 2﹣3x ﹣2=0，那么代数式32(1)11x x x --+-的值为___________． 【答案】2【解析】【分析】本题考查了分式的化简，多项式的因式分解．化简代数式是解决本题的关键．【分析】先化简代数式，再整体代入求值．【详解】解：32(1)11x x x --+- =()32(1)11x x x ---- =2(1)(1)(1)1x x x x ⎡⎤--+⎣⎦--=x 2﹣3x因为x 2﹣3x ﹣2=0，所以x 2﹣3x=2所以原式=2．故答案为：2【点睛】本题考查了分式的化简，多项式的因式分解．化简代数式是解决本题的关键．15. 若将抛物线y=（x ﹣2）2+3向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的一般式是_____．【答案】2y=x -8x+22【解析】【分析】 所以根据“左加右减，上加下减”的规律．【详解】因为抛物线y=（x ﹣2）2+3向右平移2个单位,得：22y (22)3(4)3x x =--+=-+再向上平移3个单位得：222y=(4)3+3=(4)6=x -8x+22x x -+-+故所得抛物线的表达式为2y=x -8x+22故答案为2y=x -8x+22【点睛】考查二次函数的平移，掌握二次函数图象平移的规律是解题的关键.16. 如图所示，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴．给出四个结论：①a +b +c ＝0，②abc ＜0；③2a +b ＞0；④a +c ＝1；其中正确的结论的序号是_____【答案】②③④．【解析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：（1）①由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，正确；②因为对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=-2b a＞0，又因为a ＞0，∴b＜0，错误； ③由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c＜0，错误；④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确．故（1）中，正确结论的序号是①④．（2）①∵a＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc＞0，错误；②由图象可知：对称轴x=-2b a ＞0且对称轴x=-2b a＜1，∴2a +b ＞0，正确； ③由图象可知：当x=-1时y=2，∴a -b+c=2，当x=1时y=0，∴a+b+c=0；a-b+c=2与a+b+c=0相加得2a +2c =2，解得a+c=1，正确；④∵a+c=1，移项得a=1-c ，又∵c＜0，∴a＞1，正确．故（2）中，正确结论的序号是②③④．“点睛”二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=-2b a 判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac =0；没有交点，b 2-4ac ＜0．三、解答题（共8个小题，72分）17. 请用合适的方法解方程：（1）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0 （2）4x2﹣8x+1=0（3）（x﹣2）（x﹣3）=12【答案】（1）x1=x2=3；（2）x1=1+32，x2=1﹣32．（3）x1=-1，x2=6【解析】【分析】(1)利用完全平方公式即可求解；(2)利用配方法即可求解；(3)利用十字相乘法即可求解．【详解】(1)（x+2）2﹣10（x+2）+25=0 解：(x+2-5)2=0(x-3)2=0x1=x2 =3(2)4x2﹣8x+1=0解：4(x2-2x+1-1)+1=04(x-1)2-4+1=04(x-1)2=3(x-1)2=3 4x-1=3x13x2=13(3)(x-2)(x-3) =12解：x2-5x+6=12x2-5x-6=0(x-6)(x+1)=0x1=-1，x2=6【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法和配方法是解题的关键．18. 下图是一个风车图案的一部分，风车图案是一个关于点O的中心对称图形，请你把它补全．【答案】详见解析.【解析】【分析】易得旋转中心是O，旋转角度为45°，旋转方向顺时针，按此作图即可．【详解】如图，【点睛】旋转作图的关键是得到旋转中心，旋转方向．19. 某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【答案】应降价20元【解析】【分析】设每件童装应降价x元，平均每天可售出20件，每件盈利40元，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，根据这两句话可以分别表示出降价后的销售量和降价后每件利润，列出方程即可求解．【详解】解：设每件童装应降价x元，(40-x)(20+2x)=1200解得：x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x=20，答：每件童装应讲价20元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，准确的列出方程是解题的关键．20. 已知一次函数y=ax+b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x 2的图象经过A 、B 两点．（1）请求出一次函数的表达式；（2）设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积．【答案】（1）；（2）2． 【解析】【详解】试题分析：（1）将A 、B 的横坐标代入抛物线的解析式中，即可求得A 、B 的坐标，然后将它们代入直线的解析式中，可得方程组，解方程组即可求得a 、b 的值，从而得一次函数的表达式；（2）抛物线y=13x 2的顶点是原点O ，设直线AB 与x 轴的交点为D ，先根据直线AB 的解析式求出D 点坐标，然后根据△ADO 的面积减去△OBD 的面积=△OAB 的面积即可求得． △OAB 的面积．试题解析：解：（1）设A 点坐标为（3，m ）；B 点坐标为（-1，n ）．∵A 、B 两点在y=x 2的图象上，∴m=13×9=3， n=13×1=． ∴A （3，3），B （-1，13）． ∵A 、B 两点又在y=ax+b 的图象上，可得，3313a b a b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得231a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴一次函数的表达式是213y x =+． （2）如下图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，则D 点坐标为（32-,0）, S △ABC =S △ADC -S △BDC =12×32×3-12×32×1=2．考点：二次函数与一次函数综合题．21. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x ﹣k 2=0（k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2为方程的两个实数根，且2x 1+x 2=14，试求出方程的两个实数根和k 的值．【答案】（1）见解析；（2）x 1=8,x 2=-2; k=±4． 【解析】试题分析：()1证明>0∆成立即可. ()2由韦达定理可得：12 6.b x x a+=-=12214x x +=，两个式子联立可以求出12,x x 的值，算出k 的值.试题解析()1在方程2260x x k --=中，222(6)41()43636k k ，=--⨯⨯-=+≥ ∴方程有两个不相等的实数根． ()212,x x 为方程的两个实数根，126b x x a +=-=①.212.c x x k a⋅==- 12214x x +=②.联立①②成方程组12126{214,x x x x +=+=解之得：128{2,x x ==-，21216.c x x k a⋅==-=- 4k ∴=±．22. 如图，A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，AD=6cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，点Q 以2cm/s 的速度向点D 移动，当点P 运动到点B 停止时，点Q 也随之停止运动，问P，Q两点从出发经过几秒时，点P，Q间的距离是10cm？【答案】10cm【解析】试题分析：作PE⊥CD，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．试题解析：设t s后，点P和点Q的距离是10cm，则AP＝3t cm，CQ＝2t cm.过点P作PE⊥CD于点E，所以AD＝PE＝6cm，EQ＝16－2t－3t＝(16－5t)(cm)．在Rt△PQE中，由勾股定理PQ2＝PE2＋EQ2列方程，得100＝62＋(16－5t)2.解这个方程，得18 5t=，224 5t=.答：P，Q两点从出发开始到85s或245s时，点P和点Q的距离是10cm.【点睛】本题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程的解，正确地作辅助线是关键，能熟练地应用勾股定理也是解题的关键.23. 如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°．把ADN△绕点A顺时针旋转90°得到ABE△．（1）求证：AEM ANM ≅．（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质可得,AE AN BAE DAN =∠=∠，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，从而可得45MAN MAE ∠∠==︒，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形ABCD 的边长为a ，从而可得3,2CM a CN a =-=-，先根据旋转的性质可得2BE DN ==，从而可得5EM =，再根据全等三角形的性质可得5EM MN ==，然后在Rt CMN 中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）由旋转的性质得：,AE AN BAE DAN =∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，45MAN ∠=︒，45DAN BAM ∴∠+∠=︒，∴45MAE BAE BAM DAN BAM ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴45MAN MAE ∠∠==︒，在AEM △和ANM 中，AE AN MAE MAN AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEM ANM SAS ≅；（2）设正方形ABCD 边长为a ，∵四边形ABCD 是正方形，90,C BC CD a =︒=∠=∴，3,2BM DN ==，3,2CM a CN a ∴=-=-，由旋转的性质得：2BE DN ==，5EM BE BM ∴=+=，由（1）已证：AEM ANM ≅，5EM MN ∴==，在Rt CMN 中，由勾股定理得：222CM CN MN +=，即222(3)(2)5a a -+-=，解得6a =或1a =-（不符题意，舍去），故正方形ABCD 的边长为6．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，熟练掌握正方形和旋转的性质是解题关键．24. 在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋2 的图象与 x 轴交于 A （﹣3，0），B （1，0）两点，与 y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y ﹤0 ?（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P ，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q【解析】【分析】（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数解析式为24233y x x =--+. 由图像可知，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； 综上：二次函数解析式为24233y x x =--+，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； （2）设点P 坐标为224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，如图连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N.PM=224233m m --+，PN=m -，AO=3. 当x 0=时，24y 002233=-⨯-⨯+=，所以OC=2111222PAC PAO PCO ACO S S S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()221241132232323322m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭， ∵a 10=-<∴函数23PAC Sm m =--有最大值， 当()33m 212-=-=-⨯-时，PACS 有最大值， 此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 所以存在点35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△ACP 面积最大. （3）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形①若CM 平行于x 轴，如下图，有符合要求的两个点12Q Q 、，此时1Q A =2.Q A CM =∵CM ∥x 轴，∴点M 、点C （0,2）关于对称轴x 1=-对称，∴M （﹣2,2），∴CM=2.由1Q A =22Q A CM ==，得到12(5,0),(1,0)--Q Q ；②若CM 不平行于x 轴，如下图，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，易证△MGQ ≌△COA ，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2M y =-.设M （x ，﹣2），则有242=233--+-x x ，解得：x 17=-±又QG=3,∴327Q G x x =+= ∴34(27,0),(27,0)Q Q综上所述，存在点P 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q 点坐标为：1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q .【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.。