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第五章 解二元一次方程组 《加减消元法》教学设计一．教学目标1.会用加减消元法解二元一次方程组.2.进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学中“化未知为已知”的化归思想.3.能根据方程组的特点，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力。
4.通过探求二元一次方程组的解法，经历把“二元”转化为“一元”的过程，从而体会消元的思想，以及把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。
二．教学重点会用加减消元法解二元一次方程组 三．教学难点在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想. 四、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：讲授新知；第三环节：巩固新知；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.第一环节：知识回顾：1、到目前为止，我们学了哪些方法解二元一次方程组？此方法的基本思路是什么？ 代入消元法基本思路：消元；二元 ------ 一元 2、用代入法解方程组的主要步骤是什么？（1）变------用一个未知数的代数式表示另一个未知数 （2）代------把变形后的方程代入到另一个方程中，消去一个元 （3）解------分别求出两个未知数的值 （4）写------写出方程组的解 （5）检验——一般不写检验过程 第二环节：讲授新知： （1）探究引入：做一做：解下面的二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+11522153y x y x（学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现铺路.）学生可能的解答方案1： 解1：把②变形，得：5112y x-=, ③ ① ②把③代入①，得：51135212y y -⨯+=, 解得3y =. 把3y=代入②，得2x =.所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩.学生可能的解答方案2： 解2：由②得5211yx =+, ③把5y 当做整体将③代入①，得：()321121x x ++=,解得：2x =. 把2x =代入③，得：3y=.所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩.（此种解法体现了整体的思想）学生可能的解答方案3：（观察发现：两个方程中一个含有5y ，而另一个是-5y ，两者互为相反数）解3：根据等式的基本性质方程①+方程②得：5x=10, 解得：2x =, 把2x =代入①，解得：3y=,所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩.通过上面的练习发现，代入消元法核心是代入“消元”，通过“消元”，使“二元”转化为“一元”，从而使问题得以解决，那么（方案3）的解法又如何？它达到“消元”的目的了吗?它是如何达到的？（留些时间给学生观察，注意引导学生观察方程中某一未知数的系数，如x 的系数或y 的系数引导学生发现方程①和②中的5y 和5y -互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y ，得到了一个关于x 的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的).这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法. （2）讲授新知： 内容1：（教师板书课题）下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组.（学生试着用第三种方法解答，然后教师规范解答过程，）例1 解下列二元一次方程组（若学生先前的环节接受得好，可以让学生独立完成，教师再跟进讲授）(1)257231x y x y -=⎧⎨+=-⎩分析：观察到方程①、②中未知数x 的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x .解：②-①，得：88y=- 解得：1y =-,把1-=y 代入①，得：752=+x , 解得：1=x ,所以方程组的解为⎩⎨⎧-==11y x(解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点： (1)注意解此题的易错点是②-①时是()()232517x y x y +--=--，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x ，不过在①-②得到的方程中，y 的系数是负数，所以在上面的解法中选择②-①；(2)把1y =-代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值.内容2.随堂练习：1.方程组⎩⎨⎧=-=+83732y x y x 的解是2.用加减消元法解方程组：⎩⎨⎧=--=+17561976y x y x 应用（ ）A.①-②消去yB.①-②消去xC. ②- ①消去常数项D. 以上都不对3.用加减法解方程组：⎩⎨⎧=-=+810158.2103y x y x解： 把 ①+②得 18x ＝10.8，解得x ＝0.6把x ＝0.6代入①得3×0.6+10y ＝2.8 解得y ＝0.1 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==1.06.0y x目的：由学生做练习，体会加减消元法的基本特点，熟悉加减消元法的基本步骤，提升学生用加减消元法解二元一次方程组的基本技能，积累解二元一次方程的活动经验.师生一起分析上面的解答过程，归纳出下面的一些规律：① ②①②在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法内容3：例2 解方程组 23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？让学生讨论，学生可能得到的结论如下：1.x 、y 的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法.2.是不是可以用等式的基本性质将这个方程组中的x 或y 的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.(在引导的过程中，肯定学生的好的想法.）其实，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或-1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.这时就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.由讨论得出如下过程：解：①×3，得：6936x y +=， ③ ②×2,得：3486=+y x ， ④ ③－④，得：2=y . 将2=y 代入①，得：3=x .所以原方程组的解是⎩⎨⎧==23y x .内容4：议一议：根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题： (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？ (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？ (由学生分组讨论、总结并请学生代表发言)(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”. (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤是：①变形----找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．②加减消元，得到一个一元一次方程. ③解一元一次方程．④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．⑤检验解的正确性①②过手训练：用加减消元法解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+9)3(5)2(46132y x y x 注意：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.解：将原方程组整理得：⎩⎨⎧=-=+3254123y x y x ①×5得：51015=+y x ③ ②×2得：6410-8=y x ④ ③+④得：6923=x 解得3=x把3=x 代入①得: 1233=+⨯y4-=y所以原方程组的解是：⎩⎨⎧-==43y x第三环节：巩固新知 ， （—）巩固练习：1. 类型之一:用加减法解某一未知数的系数相同或是相反数的二元一次方程组:解方程组：⎩⎨⎧=--=+17561976y x y x2. 类型之二:用加减法解某一未知数的系数成整数倍数关系的二元一次方程组：解方程组：⎩⎨⎧-=-=+41241632y x y x3. 类型之三:用加减法解两个未知数的系数均不成整数倍数关系的方程组解方程组：⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x(二）拓展练习1.已知：05)-3y (2x |2-y x |2=+++求x,y 的值 .①② ① ②① ②①②①② 解： 05)-3y (2x |2-y x |2=+++∴⎩⎨⎧=-+=-+053202y x y x①×2，得：0422=-+y x ③ ②－ ③,得：01y =-，即：1y = 把1y =代入①，得：021=-+x ，即：x=1∴ 原方程组的解为：｛11==y x2. 已知：关于x,y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=++=+2233232k y x k y x 的解满足2=+y x ， 求x,y,k 的值目的：通过此题的练习，对于含参数的二元一次方程组的解法的灵活选择，摸索运算技巧，培养能力．第四环节：课堂小结① ②1.关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法.比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.2. 用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等．3. 用加减法解二元一次方程组的步骤：①变：将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）；②加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；③解：解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，•求得另一个未知数的值；④写：写出方程组的解；⑤检验：但不必写出检验过程第五环节：布置作业1.课本习题5.32.阅读读一读·你知道计算机是如何解方程组吗.3.预习课本下一节教学反思板书设计：。
《加减法解二元一次方程组》导学案甘南县平阳中学 刘山友学习目标：知识与技能：1、理解加减消元法含义；2、掌握用加减法解二元一次方程组方法。
过程与方法：理解加减法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。
情感态度与价值观：体验数学学习的乐趣，在探索过程中体验成功的喜悦，树立学好数学的信心。
学习重难点：会灵活运用加减法解二元一次方程组。
学习过程：一、 温故而知新:1、 解二元一次方程组的基本思路是什么？2、 用代入法解二元一次方程组的步骤是什么？3、 根据等式性质填空：（1）、若a=b,那么a ±c=（2）、若a=b,那么ac=思考：若a=b,c=d,那么a+c=b+d 吗？a-c=b-d 吗？二、自主学习教材99、100、102页，小组交流完成下列概念任务：1、两个二元一次方程中，同一个未知数的系数_______或______ 时，把这两个方程的两边分别 _______或________ ，就能________这个未知数，得到一个____________方程，这种方法叫做________________，简称_________。
2、加减消元法的步骤：①将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数_____________的两个方程。
②把这两个方程____________，消去一个未知数。
③解得到的___________方程。
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求另一个未知数的值。
⑤确定原方程组的解。
3、_______法和______法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过_____使方程组转化为________方程，只是_____的方法不同。
当方程组中的某一个未知数的系数______时，用代入法较简便；当两个方程中，同一个未知数系数_______或______，用加减法较简便。
应根据方程组的具体情况选择更适合它的解法。
三、成果展示，合作探究1、方程组⎩⎨⎧-=+=-252132y x y x 中，x 的系数特点是______；方程组⎩⎨⎧=-=+437835y x y x 中，y 的系数特点是________.这两个方程组用______法解比较方便。
8.2 消元——加减消元法（第1课时）教学设计蕲春思源实验学校：梁小华教学目标：1、使学生理解“加减消元法”，并能用“加减消元法”解简单的二元一次方程组。
2、通过加减消元法，使学生体会把“未知”转化为“已知”，把二元转化为一元的思想方法；3、通过探索二元一次方程组的解法，理解加减消元法的基本思想。
教学重点、难点：1、重点：自主探究、合作与交流、师生共同研讨，掌握用加减法解二元一次方程组的方法。
2、难点：准确地把二元一次方程组转化为一元一次方程，体会消元思想。
教学方法：情境引入，以发现法为主，进行小组讨论 教学过程设计： 一、温故知新：（课前完成导学案前部分，口答）1、解二元一次方程组的基本思想是_______，要把二元一次方程组转化为____来解.2、计算：（1）()______,x y x y ++-= （2）()_____.x y x y +--=（3）()()3252____x y x y ++-=， （4）()()334_____.x y x y +--=观察发现：以上每小题中的式子中都含有_____个字母，而结果中含有_____个字母. 3、用代入法解方程组一名学生演板用代入法完成上题，其余学生完成第二部分。
评讲时可展示用整体代入法给学生简化解方程过程，为后面对比引入加减法做好铺垫。
二、自学指导：1、认真阅读P94完成下面填空。
（口答）当二元一次方程组的两个二元一次方程中，同一个未知数的系数_______或______ 时，把这两个方程的两边分别_______或________ ，就能________这个未知数，得到一个____________方程，这种方法叫做________________，简称_________。
2、自学检测：试试用加减法解方程组： （演板）通过对比让学生初步体会：用加减法更简单。
3、想挑战吗？课件上展示3种不同的路的图片，分别链接三个不同的问题，答对可奖励小组适当分值。
8.2.2 加减消元法简介：本节课的内容是人教版义务教育教科书《数学》七年级（下）§8.2消元---解二元一次方程组，主要内容是掌握用加减法消元解二元一次方程组，进一步了解消元是解二元一次方程组的思想方法．在本节学习之前，学生已经学习了二元一次方程组和代入消元解二元一次方程组的内容，学生已经对二元一次方程组及解二元一次方程组有一定的认识，会用二元一次方程组表示问题中的数量关系。
本节内容是学习解二元一次方程组的重要部分，在教材中占据重要的地位。
教材分析本节课是学习用加减法解二元一次方程组，进一步理解消元，通过实际情境问题引出解二元一次方程组的方法概念，对于方程组中有一个未知数的系数相等或者是互为相反数的方程组学生往往比较容易掌握，但是对于系数既不相等又不是互为相反数的方程组，老师要引导学生转化解决，让学生掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤。
本节课教学重点为：用加减消元法解二元一次方程组。
教学难点：探索如何用加减法将“二元”转化为“一元”的消元过程.教学目标1、知识与技能使学生熟练的掌握用加减消元法解二元一次方程组。
2、过程与方法通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，使学生进一步理解加减消元法所体现的化归思想，培养观察能力。
3、情感态度与价值观进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型重点难点教学重点：用代入法、加减法解二元一次方程组. 教学难点：会用二元一次方程组解决实际问题教学方法引导发现法、小组合作探究法、练习法。
教学准备教学过程设计程序（要素）时间创设情教师行为期望的学生行为景创设情境引入新课8分钟创设问题情境知识回顾1.根据等式性质填空<1>若a=b,那么a±c= .<2>若a=b,那么ac=2.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。
某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？列出方程组思考：1、用代入消元法怎么解此方程组？2、观察y的系数，能否找出新的消元方法呢师生共同得出答案引出新知。
8.2《消元——用加减法解二元一次方程组》学案 班级 姓名学习目标1、会运用加减消元法解二元一次方程组；2、体会解二元一次方程组的基本思想----“消元”；3、领会“消元”法所体现的“化未知为已知”的化归思想。
学习重、难点1、学习重点：加减消元法解二元一次方程组。
2、学习难点：解两个未知数在两个方程中的系数的绝对值不相等且不成整数倍的方程组。
学习过程（一）回顾1、解二元一次方程组的基本思路是什么？2、用代入法解方程组的主要步骤是什么？3、怎样解下面的二元一次方程组呢？⎩⎨⎧=-=+11-52125y 3x y x（二）尝试发现、探究新知第一站—发现之旅1、解方程组 ：（1）观察这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？(2) 下面这个方程组能不能用两个方程相加消去x ？① ② ⎩⎨⎧=-=+11-52125y 3x y x ⎩⎨⎧-=+=-13275y 2x y x发现直接加减消元法：【归纳】 两个二元一次方程中同一未知数的系数________或________时，将两个方程的两边分别_______或_________，就能消去这个未知数，得到一个_________方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.【比比谁更快】1. 已知方程组 ⎩⎨⎧=-=+632173y x y x两个方程只要两边分别_________,就可以消去未知数_________. 2.已知方程组两个方程只要两边分别__________,就可以消去未知数_________.3. 用加减法解方程组⎩⎨⎧=--=+17561976y x y x 应用（ ） A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数 D. 以上都不对4.方程组⎩⎨⎧=-=+5341335y x y x 消去y 后所得的方程是（ ） A.9x=8 B.9x=18 C.6x=5 D.x=185.指出下列方程组求解过程中的错误步骤，并写出正确的解题过程（1)解:①－②，得 2x ＝4－4， x ＝0 (2)⎩⎨⎧=+=-2451443y x y x 解：①－②，得－2x ＝12x ＝－66.已知a 、b 满足方程组 a+2b=8 2a+b=7则a+b= 。
数学《加减消元法-解二元一次方程组》教案课时安排：第一课时：引入加减消元法第二课时：解决简单的二元一次方程组第三课时：引入倍加消元法第四课时：解决复杂的二元一次方程组课堂活动：第一课时：1.引入问题：小明有 6 条红色的绳子， 8 条绿色的绳子和 10 条蓝色的绳子，共计有多少条绳子？同学们快速作答并验证答案。
2.老师通过上述问题引导学生理解加减消元法。
3.教师给出一个简单的二元一次方程组，让学生通过加减消元法来解决。
4.让学生自己找到一些二元一次方程组，让同桌分别用加减消元法来解决。
第二课时：1.老师总结昨天加减消元法的解决方法，引入倍加消元法，告诉学生在某些情况下倍加消元法可能更适合。
2.老师给出一个适合倍加消元法的问题，让同学们快速求解。
3.让一些同学将他们在昨天找到的二元一次方程组用倍加消元法来解决。
第三课时：1.老师对昨天学过的知识进行复习。
2.展示一些更复杂的二元一次方程组，让同学们思考如何用加减消元法或倍加消元法来解决，让同学们互相讨论。
3.让一些同学来解决这些问题，记录下解题过程。
第四课时：1.老师对昨天学习的内容进行总结，让同学们回顾、检验自己的学习成果。
2.老师给出几道复杂的二元一次方程组，让同学们通过加减消元法或倍加消元法来解决，让同学们互相讨论。
3.让一些同学来解决这些问题，记录下解题过程并与同学分享。
作业安排：1.课后练习，让同学们运用加减消元法和倍加消元法来解决一些二元一次方程组。
2.让同学们自己编写一些二元一次方程组，让同桌来解决。
5.2 解二元一次方程组（二）
【学习目标】 1.会用加减消元法解二元一次方程组。
2.会用加减消元法解二元一次方程组，了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想。
3.享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心。
合作交流，自主探索，激情投入。
【学习重点】
1.会用加减消元法解二元一次方程组；
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想. 【学习难点】1.“消元”的思想；2.“化未知为已知”的化归思想. 【使用说明与学法指导】
1.使用10分钟精读一遍教材P110—P112用红色笔进行勾画；再针对预习案二次阅读教材，解答预习案中的问题；把疑惑随时记载“我的疑惑”栏内，准备课上讨论质疑；
2.通过预习， A 、B 层的同学能够灵活选择方法完成探究案的所有题目；C 层的同学注重基础知识的理解，学会应用. A,B 层的同学完成带★的题目,C 层的同学尝试完成带★的题目。
预 习 案
一、复习回顾：
1、等式的基本性质1：若a=b ,则a ±c=b
等式的基本性质2: ①、若a=b ,则a ×c=b ②、若a=b,c ≠0,则a ÷c=b 2、根据提示，用代入法解二元一次方程组： （1）、 ⎩⎨
⎧=-=+
11-52125y 3x y x （2）、⎩⎨⎧=-=+11-52125y 3x y x
提示1：把方程②变形为用y 表示x 的形式 提示2：把方程②变形为5y= 形式
二、预习自学
1、观察：在二元一次方程组⎩⎨
⎧=-=+11-52125y 3x y x 中，5y 与-5y 互为相反数。
所以通过变形
①+②： =21+（-11），得一元一次方程 ，这样做就达到消去未知数 的目的.
【归纳总结】：若在二元一次方程组中，若存在未知数的系数相同或相反。
则可把方程组的两个方程相 或相 ，消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为 ，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2、用加减法解方程组： ⎩⎨
⎧=-=+11-52125y 3x y x
【总结】：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤:
（1）____________________________________________________ （2）____________________________________________________ （3）____________________________________________________ （4）____________________________________________________ 探 究 案 探究点一：方程组中存在未知数的系数相同或相反
例1、用加减法解方程组
（1）9
65x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）⎩⎨⎧=-=-53234y x y x
①
②
①
②
①② ①
②
探究点二：方程组中不存在未知数的系数相同或相反1、方程组中其中一个未知数的系数成倍数
例2、用加减法解方程组：
（1）
210,
522;
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=-
⎩
（2）
25,
52;
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
2、方程组中未知数的系数不相同也不相反，更不成倍数例
3、用加减消元法解方程组
（1）
278
387
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
（2）
⎩
⎨
⎧
=
+
=
-
17
3
2
6
2
3
y
x
y
x
小结：
探究点三：方程组中未知数的系数为分数例4、用加减消元法解方程组
（1）
326
1
3
x y
y
x
+=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
（2）
1
1
23
6219
x y
x y
+
⎧
-=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
小结：【针对训练】1、用加减消元法解方程组
（1）
1,
4
22
x y
x
x y
+
⎧
-=
⎪
⎨
⎪-=
⎩
（2）
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
-
+
=
-
+
-
1
4
3
1
2
3
4
2
3
5
1
2
y
x
y
x
巩固练习
1.已知二元一次方程组
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
8
2
7
2
y
x
y
x
，则x＋y ＝，x－y ＝．
2.解下列方程组：（1）
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
7
5
3
16
11
6
t
s
t
s
(2)
⎩
⎨
⎧
-
=
-
=
+
4.0
2
3
2.
15
6
5
n
m
n
m
3.若关于x、y的方程组
()
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
-
6
5
my
nx
y
x
n
m
的解是
⎩
⎨
⎧
=
=
2
1
y
x
求n
m,
★4．若
200920102008
201020092011
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，求23
()()
x y x y
++-的值．
【我的收获】通过讨论、展示点评，整理巩固（从知识方面，思想方面）你有哪些收获？
________________。
