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(完整版)基本不等式及其应用复习课件

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不等式基本不等式实际应用ppt

不等式基本不等式实际应用ppt
柯西不等式
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。

第04讲 基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)

第04讲 基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2






⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4


B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2

基本不等式及应用PPT课件

基本不等式及应用PPT课件
5
2020年10月2日
6
2020年10月2日
7
Dห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G
F
A
aH E
B
2020年10月2日
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么 样的不等关系？
S≥S’ 8
探究：
D
A
a Cb
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
ab
B 则CD=＿＿ab,半径=＿＿＿2＿
E
半弦不大于半径
2020年10月2日
２、你能用这个图形得出
基本不等式
abab(a>0,b>0) 2
几何解释吗?
9
10月23日作业：
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
2.4（1）基本不等式及其应用
要点：
1.学习两个重要(基本)不等式 2.应用这两个不等式(的有关应用) 求代数式的最值
2020年10月2日
1
两个重要不等式
2020年10月2日
2

高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件

高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件

(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，

当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤

基本不等式ppt课件

基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明

基本不等式ppt课件

基本不等式ppt课件

资源分配问题
总结词
基本不等式可以帮助我们找到在资源分配中达到最大效益的方法。
详细描述
在现实生活中，我们经常需要分配有限的资源以达到最大的效益。基本不等式可以为我们提供一种在资源分配中 达到最大效益的方法。例如，假设我们有一定数量的资金和时间，我们需要分配这些资源来最大化效益。通过使 用基本不等式，我们可以找到最佳的资源分配方式。
基本不等式ppt课件
目录
• 基本不等式概述 • 基本不等式的应用 • 基本不等式的扩展 • 基本不等式的实际应用 • 基本不等式的进一步学习建议
01
基本不等式概述
基本不等式的定义
基本不等式定义
对于任意实数a和b，总有$(ab)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
微积分应用
不定积分
利用基本不等式可以求解不定积分，以及求解原函数等微积 分问题。
定积分
基本不等式可以用于求解定积分，以及求解曲线下面积等微 积分问题。
03
基本不等式的扩展
柯西不等式
柯西不等式的表述
如果$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$是实数，那么有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$。
柯西不等式的证明
根据平方和的性质，我们有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \leq [a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2][b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2]$，这就得到了柯西不等式。

高考数学一轮复习 6.3基本不等式及其应用课件 文


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21
【拓展探究】 若本例(1)中的“－6≤a≤3”改为 “0≤a≤3”，结果如何？
解：∵ 3－aa＋b＝ －a＋322＋841 且f(a)＝－a＋322＋841在[0,3]上为减函数，∴原式的最大值为 3 2.
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22
考点二 利用基本不等式证明不等式 1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情
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29
考点三 基本不等式的实际应用 应用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)仔细阅读题目，透彻理解题意； (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示
() A．(0，＋∞) B.15，＋∞
C．[1,4)
D．(0,4)
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12
解析：a≥x2＋3xx＋1＝x＋1x1＋3，又x>0，∴x＋1x≥2， ∴x＋1x1＋3≤15，∴a≥15.故选B.
答案：B
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13
3．已知函数f(x)＝4x＋
a x
(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，
第
六
不等式、推理与证明
章
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1
第三节
基本不等式及其应用
完整版ppt
2
高考导航
完整版ppt
3
基础
知识回顾
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4
1．基本不等式
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5
2.常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ab ≤ a＋2 b2(a，b∈R)．
a2＋b2 (3) 2
≥
a＋2 b2(a，b∈R)．
由基本不等式可知，
3－aa＋6
≤

基本不等式及其应用ppt课件

【解析】 x＋x－4 1＝(x－1)＋x－4 1＋1≥ 2 x－1·x－4 1＋1＝5.(当且仅当 x＝3 时取等号)
易错点睛：(1)忽略基本不等式成立的前提条件致误． (2)忽略“定值”致误．
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1：拼凑法求最值
2
【例 1】 (1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为_3_______．
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 因为每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：万元)与机器运转时间
t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，所以年平均利润 y＝st＝－t－6t4＋23＝－
t＋6t4＋23≤－2 t·6t4＋23＝7，当且仅当 t＝8 时等号成立，故要使年平均利润最大，则 每台机器运转的时间 t 为 8，故选 D.
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
【解析】 (1)因为函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx 在 x＝1 处有极值，所以 f ′(1)＝12－2a －2b＝0，即 a＋b＝6，又 a>0，b>0，则4a＋1b＝16(a＋b)·4a＋1b＝165＋ab＋4ab≥5＋6 4＝32 当且仅当ab＝4ab，即a＝2b＝4时取“＝”，故选 C.
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.

基本不等式的应用课件


另解：
由题知，直线 l 的斜率一定存在。设 l 的方程为
y 2 k(x 1)(k 0) 令 x 0 ，则 y k 2
令 y 0 ，则 x 2 1 k
， 故 A( 2 1,0)B(0,k 2) k
S AOBBiblioteka 1 2(2 k
1)(k
2)
2
1 2
[(
2) k
（
k）]
2
当且仅当
k
2 k
(3) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周长为 24，把它关于AC对折起来，AB折过去以后， 交DC于点P，AB=x，求⊿ADP的最大面积 及相应的x值。
x
当前您正浏览第十六页，共十六页。
12-x
基本不等式的应用课件
当前您正浏览第一页，共十六页。
一、知识梳理
一.知1.重识要点的复不习等式
重要不等式 应用条件 “＝”何时取得
作用
变形
a b ab 2
a,b R
a 2 b2 2ab a, b R
ab ab
和积
ab a b 2 2
平方和 积
ab a 2 b2 2
当前您正浏览第二页，共十六页。
面积为 S x2a x,且 x 0,2a x 0.
由基本不等式, 得
x2a
x
x
2a
2
x
a.
上式当且仅当x 2a x ,即 x a时,取""号.由此
可知,当x a时, S x2a x有最大值 a2 .
答 将铁丝围成正方形时面积最大,最大面积为a2.
1.本题可转化为求二次函数 S x2a x的最大值.
答 当水池设计成底面边长为40 m的正方形时,总

基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习

+


+
则

所以
<


+



<
−
−
< <
<

+

−
−

<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+

基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和


( − ) 的最大值


( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件

重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +

当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法


的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =

+


，求
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(2)∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
(3)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， ∴4x＋9y＝(x＋y)4x＋9y＝13＋4xy＋9yx ≥13＋2 4xy·9yx＝25，
5．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据 市场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：10 万元)与营运年 数 x(x∈ N＋ )为二次 函数的 关系 (如 图 )， 则每辆 客车 营运 __________年，营运的年平均利润最大．
解析：求得函数式为 y＝－(x－6)2＋11， 则营运的年平均利润 yx＝－x－x62＋11
＝12－x＋2x5 ≤12－2 25＝2， 此时 x＝2x5，解得 x＝5. 答案：5
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源
1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个 条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值； 三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错 误．
对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋2 b2，要弄清它们的作用 和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化 关系．
当且仅当4xy＝9yx时等号成立，由4xx＋y＝y＝9yx，1， 得xy＝＝2535，，
∴当 x＝25，y＝35时取等号． 所以4x＋9y的最小值为 25.
点评：(1)求最值时，要注意“一正，二定，三相等”，一 定要明确什么时候等号成立．
(2)学好基本不等式，灵活应用是关键，添常数、配系数， “1”的代换别忘了，一正、二定、三相等，格式规范要切记， 千变万化不等式，透过现象看本质．在本例(1)中解法二采用了 配系数，(2)中采用了添常数，(3)中利用了“1”的代换，如果(3) 中若 x＋y＝2，则如何用“1”的代换？显然x＋2 y＝1，故4x＋9y＝ x＋2 y·4x＋9y.
3．当 x＞1 时，关于函数 f(x)＝x＋x－1 1，下列叙述正确的 是( )
A．函数 f(x)有最小值 2 B．函数 f(x)有最大值 2 C．函数 f(x)有最小值 3 D．函数 f(x)有最大值 3
解析：∵x＞1，∴x－1＞0，
x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 答案：C
x－1·x－1 1＋1＝3.
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当⑨__________时，x ＋y 有最小值是⑩______(简记：“积定和最小”)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当⑪__________时， xy 有最大值是⑫__________(简记：“和定积最大”)．
Hale Waihona Puke 2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公 式的逆用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab
(a，b＞0)逆用就是 ab≤a＋2 b2(a，b＞0)等．还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
题型探究 题型一 利用基本不等式求最值 例 1 解下列问题： (1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； (2)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值； (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求4x＋9y的最小值．
6．4 基本不等式及其应用
考纲点击 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：①__________. (2)等号成立的条件：当且仅当②__________时取等号． (3)两个平均数：a＋2 b称为正数 a，b 的③______， ab称 为正数 a，b 的④__________.
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥⑤______(a，b∈R)．
(2)ab≤⑥__________(a，b∈R)．
(3)a＋2 b2≤⑦__________(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥⑧______(a·b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
解析：选项 A、B、C 中不能保证ba、ab为正． 答案：D
2．“a＞b＞0”是“ab＜a2＋2 b2”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a＞b＞0⇒a2＋2 b2＞ab. ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴由a2＋2 b2＞ab⇒a，b∈R 且 a≠b/⇒a＞b＞0. 答案：A
解析：(1)方法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116. 所以 ab 的最大值为116.
方法二：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴ab＝144a·b≤144a＋2 b2＝116， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号成立． 所以 ab 的最大值为116.
4．设
x ∈ 0，2π ， 则 函 数
y
＝
2sin2x＋1 sin2x
的
最
小
值
为
__________．
解析：y＝2sisnin2x2＋x 1 ＝2sin2x2＋sisnixnc2oxs＋x cos2x ＝32tanx＋2ta1nx. ∵x∈0，2π，∴tanx＞0， ∴32tanx＋2ta1nx≥2 32tanx·2ta1nx＝ 3， 当且仅当 tanx＝ 33时“＝”成立，故最小值为 3. 答案： 3
答案：①a＞0，b＞0 ②a＝b ③算术平均数 ④几何平 均数
⑤2ab ⑥a＋2 b2 ⑦a2＋2 b2 ⑧2 ⑨x＝y ⑩2 p ⑪x＝y ⑫s42
考点自测
1.已知 ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是( )
A.ba＋ab≥2
B.ba＋ab≥－2
C.ba＋ab≤－2
D．|ba＋ab|≥2