(完整版)基本不等式及其应用复习课件

(2)∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
(3)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1， ∴4x＋9y＝(x＋y)4x＋9y＝13＋4xy＋9yx ≥13＋2 4xy·9yx＝25，
5．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据 市场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：10 万元)与营运年 数 x(x∈ N＋ )为二次 函数的 关系 (如 图 )， 则每辆 客车 营运 __________年，营运的年平均利润最大．
解析：求得函数式为 y＝－(x－6)2＋11， 则营运的年平均利润 yx＝－x－x62＋11
＝12－x＋2x5 ≤12－2 25＝2， 此时 x＝2x5，解得 x＝5. 答案：5
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源
1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个 条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值； 三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错 误．
对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋2 b2，要弄清它们的作用 和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化 关系．
当且仅当4xy＝9yx时等号成立，由4xx＋y＝y＝9yx，1， 得xy＝＝2535，，
∴当 x＝25，y＝35时取等号． 所以4x＋9y的最小值为 25.
点评：(1)求最值时，要注意“一正，二定，三相等”，一 定要明确什么时候等号成立．
(2)学好基本不等式，灵活应用是关键，添常数、配系数， “1”的代换别忘了，一正、二定、三相等，格式规范要切记， 千变万化不等式，透过现象看本质．在本例(1)中解法二采用了 配系数，(2)中采用了添常数，(3)中利用了“1”的代换，如果(3) 中若 x＋y＝2，则如何用“1”的代换？显然x＋2 y＝1，故4x＋9y＝ x＋2 y·4x＋9y.
3．当 x＞1 时，关于函数 f(x)＝x＋x－1 1，下列叙述正确的 是( )
A．函数 f(x)有最小值 2 B．函数 f(x)有最大值 2 C．函数 f(x)有最小值 3 D．函数 f(x)有最大值 3
解析：∵x＞1，∴x－1＞0，
x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 答案：C
x－1·x－1 1＋1＝3.
3．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当⑨__________时，x ＋y 有最小值是⑩______(简记：“积定和最小”)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当⑪__________时， xy 有最大值是⑫__________(简记：“和定积最大”)．
Hale Waihona Puke 2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公 式的逆用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab
(a，b＞0)逆用就是 ab≤a＋2 b2(a，b＞0)等．还要注意“添、 拆项”技巧和公式等号成立的条件等.
题型探究 题型一 利用基本不等式求最值 例 1 解下列问题： (1)已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； (2)已知 x＞2，求 x＋x－4 2的最小值； (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求4x＋9y的最小值．
6．4 基本不等式及其应用
考纲点击 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：①__________. (2)等号成立的条件：当且仅当②__________时取等号． (3)两个平均数：a＋2 b称为正数 a，b 的③______， ab称 为正数 a，b 的④__________.
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥⑤______(a，b∈R)．
(2)ab≤⑥__________(a，b∈R)．
(3)a＋2 b2≤⑦__________(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥⑧______(a·b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
解析：选项 A、B、C 中不能保证ba、ab为正． 答案：D
2．“a＞b＞0”是“ab＜a2＋2 b2”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a＞b＞0⇒a2＋2 b2＞ab. ∵a2＋b2≥2ab(a，b∈R)， ∴由a2＋2 b2＞ab⇒a，b∈R 且 a≠b/⇒a＞b＞0. 答案：A
解析：(1)方法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴1＝4a＋b≥2 4ab＝4 ab， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号成立． ∴ ab≤14，∴ab≤116. 所以 ab 的最大值为116.
方法二：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1， ∴ab＝144a·b≤144a＋2 b2＝116， 当且仅当 4a＝b＝12，即 a＝18，b＝12时，等号成立． 所以 ab 的最大值为116.
4．设
x ∈ 0，2π ， 则 函 数
y
＝
2sin2x＋1 sin2x
的
最
小
值
为
__________．
解析：y＝2sisnin2x2＋x 1 ＝2sin2x2＋sisnixnc2oxs＋x cos2x ＝32tanx＋2ta1nx. ∵x∈0，2π，∴tanx＞0， ∴32tanx＋2ta1nx≥2 32tanx·2ta1nx＝ 3， 当且仅当 tanx＝ 33时“＝”成立，故最小值为 3. 答案： 3
答案：①a＞0，b＞0 ②a＝b ③算术平均数 ④几何平 均数
⑤2ab ⑥a＋2 b2 ⑦a2＋2 b2 ⑧2 ⑨x＝y ⑩2 p ⑪x＝y ⑫s42
考点自测
1.已知 ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是( )
A.ba＋ab≥2
B.ba＋ab≥－2
C.ba＋ab≤－2
D．|ba＋ab|≥2