菱形的判定方法

要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。

菱形的判定方法菱形是一种几何形状，它具有四个等长的边和四个等角。

在数学和工程中，我们经常需要判定一个图形是否为菱形。

本文将介绍几种常见的菱形判定方法。

1. 边长判定法：菱形的四条边长相等。

因此，如果一个图形的四条边长均相等，则可以判定该图形为菱形。

同时，如果已知一个图形的四个顶点坐标，可以计算出四条边的长度，并比较它们是否相等，即可判断该图形是否为菱形。

2. 对角线判定法：菱形的两条对角线互相垂直且相等。

因此，可以通过计算一个图形的两条对角线的长度，并判断它们是否相等来判定该图形是否为菱形。

如果两条对角线的长度相等，并且相互垂直（即两条对角线的斜率乘积为-1），则可以确定该图形为菱形。

3. 角度判定法：菱形具有四个等角，即每个内角均为90度。

因此，可以通过计算一个图形的四个内角的度数，并判断它们是否均为90度来判定该图形是否为菱形。

如果四个内角的度数均为90度，则可以确定该图形为菱形。

4. 等边三角形判定法：菱形可以视为等边三角形的两个相邻边连接起来得到的图形。

因此，如果一个图形是等边三角形，并且它的两个相邻边的连接线与另外两个边相交于直角，则可以判定该图形为菱形。

除了以上几种常见的判定方法，还有一些特殊情况需要考虑：1. 如果一个图形的四个顶点均在同一条直线上，则无法构成菱形。

2. 如果一个图形的四条边均相等，但其中一个内角不是90度，则无法构成菱形。

3. 如果一个图形是矩形，则它也是菱形，因为矩形是特殊的菱形。

但注意，非矩形的菱形四个角度度数不是90度。

总结起来，判定一个图形是否为菱形，可以采用边长判定法、对角线判定法、角度判定法和等边三角形判定法。

根据具体情况选择适合的方法进行判断，并注意排除特殊情况。

通过这些判定方法，我们可以准确地判断一个图形是否为菱形，为数学和工程领域的相关问题提供帮助。

菱形的判定方法既有理论基础又有实际应用，对于几何学和工程学的研究都具有重要意义。

希望本文所介绍的菱形判定方法能够对读者有所启发，并能在实际问题中发挥作用。

菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形重、难点知识点睛中考要求的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．E F DBC A例题精讲图1HO DC BA【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒ D．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为PDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．课后练习FEDCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。

菱形的判定6种方法
菱形是一种常见的几何形状，它有许多应用，比如在数学中用于判定某些条件是否成立。

下面我们来介绍一下菱形的判定方法。

1. 对角线相等法：如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个菱形。

这是最基本的判定方法。

2. 边长相等法：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较容易理解，但是实际应用中不太常见。

3. 顶角相等法：如果一个四边形的相邻两个顶角相等，那么它就是一个菱形。

这个方法也比较容易理解，但是需要注意的是，只有相邻的两个顶角相等才行。

4. 垂直平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相垂直，并且它们的交点处的两条垂直平分线相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较复杂，需要一定的几何知识。

5. 对角线平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相平分，并且它们的交点处的两条对角线平分线相等，那么它就是一个菱形。

这个方法也比较复杂，需要一定的几何知识。

6. 内角相等法：如果一个四边形的内角都相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较特殊，只有在某些特殊情况下才能使用。

以上就是菱形的六种判定方法，它们各有优缺点，可以根据实际情况选择合适的方法。

在实际应用中，我们通常会结合多种方法来判定一个四边形是否为菱形，以提高判定的准确性。

证菱形的判定方法
证菱形是一种数学概念，使用四边形与两个小圆相交而成，它具有非
常重要的意义。

首先，证菱形可以用来判断一个给定的四边形是否是
矩形或者是菱形。

其次，证菱形可以用来帮助人们计算四边形的面积、周长和夹角。

证菱形的判定方法非常简单：
1、先找出既是菱形又是矩形的两个角，这两个角都应该是90度。

2、其他两个角也同样是菱形，但是不会和90度相同，因此应该测量
其角度。

3、如果任意两个角的测量角度都相等，则四边形就是一个证菱形。

4、如果不是，则四边形可能是一个矩形，也可能是一个菱形。

如果需要计算证菱形的面积、周长和夹角，则可以使用三角函数或者
向量运算法。

三角函数可以帮助人们计算出几何图形的面积和周长。

而向量运算法则可以用来计算四边形内部各边的夹角大小。

综上所述，证菱形的判定方法包括：首先找出证菱形的两个90度角，
然后测量其他两个角的角度，如果任意两个角的测量角度都相等，则
四边形就是一个证菱形；最后，使用三角函数或者向量运算法来计算
证菱形的面积、周长和夹角。

菱形的判定和性质菱形是一个非常基本的几何形状，它有着很多重要的性质。

在本文中，我们将学习如何判定一个四边形是否为菱形，并探讨菱形的一些重要性质。

判定四边形是否为菱形在几何中，一个四边形是菱形的充分必要条件是它的四条边长度相等。

也就是说，如果一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d，那么这个四边形是菱形当且仅当a=b=c=d。

除此之外，我们还可以通过判定四边形的对角线是否相等来确定一个四边形是否为菱形。

具体来说，如果一个四边形的对角线长度分别为e,f，那么这个四边形是菱形当且仅当e=f。

为了方便起见，在接下来的部分中，我们将使用第二种方法来判定四边形是否为菱形。

菱形的性质性质1：菱形的两条对角线相互垂直一个菱形的两条对角线相互垂直。

我们可以通过使用勾股定理来证明这一点。

具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。

根据勾股定理，我们有：$$ \\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\\\ BD^2 &= AB^2 + AD^2\\end{aligned} $$注意到菱形的两个对角线相等，因此有AC=BD。

将它代入上面的式子中，得到：AB2+BC2=AB2+AD2化简上式可得：BC2=AD2这说明了菱形的对角线是相互垂直的。

性质2：菱形的对角线平分内角一个菱形的两条对角线平分它内部的角。

我们可以使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明这一点。

具体来说，假设一个菱形的两条对角线长度分别为e,f，交于点O，那么我们可以将它们分别表示为线段AC和BD。

根据性质1，菱形的对角线相互垂直，因此角$\\angle AOB$是一个直角。

又因为线段AC和BD是直线，所以它们平分了角$\\angle AOB$。

同理，它们也平分了菱形内部的所有角。

性质3：菱形的四个角相等一个菱形的四个角相等。

这可以通过使用相邻角互补或垂直平分线的性质来证明。

菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质【例1】☆⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离16cmAB BC==，则1∠=度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD中，60A∠=︒，E、F分别是AB、AD的中点，若2EF=，则菱形ABCD的边长是______．例题精讲重、难点知识点睛【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ， 证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ． 图1HO DCBA【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒ B ．30︒或45︒ C ．45︒或60︒ D ．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cmE F DBC A图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2D【例9】 已知，菱形A B C D 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB C DEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．PMF ED GCBA【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．H FDECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长； ⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME . ⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．2.如图，在菱形ABCD 中，4A Ba E =，在BC 上，2120B E a B A D P =∠=︒，，点在BD上，则PE PC +的最小值为DB3.已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为线的长为________．4.已知，菱形A B C D 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．EDCB A课后练习6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。

人生只有走出来的美丽，没有等出来的辉煌。

第08讲 菱形的判定一、精学新知1．从基础图形是平行四边形的角度判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ∵ ， ∵ ， ∴ ． ∴ ．2．从基础图形是四边形的角度判定：①四边都相等的四边形是菱形； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；∵ ， ∵ ， ∴ ． ∴ ．注意：特殊四边形中，要关注一种叫做 “筝形”(如图3)的特殊图形． 3．菱形判定方法的选择二、典例精讲知识点一 一组邻边相等的平行四边形是菱形例1 如图，在△Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于F ，交AC 于E ，若EG ⊥BC 于G ，连结FG ．说明四边形AFGE 是菱形．跟进练习：如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，BE ＝2DE ，过点C 作CF ∥BE 交DE 的延长线于F ．(1)求证：四边形BCFE 是菱形；(2)若CE ＝4，∠BCF ＝120°，求菱形BCFE 的面积．EA B C D图1 图2 图3人生只有走出来的美丽，没有等出来的辉煌。

知识点二 对角线互相垂直的平行四边形是菱形例2 如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 边上的点，且∠ADE ＝∠CBF ．当BD ⊥EF 时，求证：四边形EBFD 是菱形．跟进练习：如图，在□ABCD 中，点O 是BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E ，连接BD ，EC ．当AD ＝5，DE ＝12，AE ＝13时，证明四边形BECD 是菱形．知识点三 四边相等的四边形是菱形例3 如图，D 是∠EBF 内部的点，DE ⊥BE ，DF ⊥BF ，DE ＝DF ，∠FDA ＝∠EDC ，DC ＝BC ，求证：四边形DABC 是菱形．跟进练习 如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG ． (1)请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；(2)若∠ABC ＝30°，∠C ＝45°，ED ＝210，点H 是BD 上的一个动点，求HG ＋HC 的最小值．ACDEF知识点四 对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形例4如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点G，交AC于点E，AF平分∠DAC，分别交BE，BC于点O，F，连结EF，试判断四边形AGFE形状，并说明理由．跟进练习：如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，过O作两条互相垂直的直线，分别交四边形ABCD于E，F，G，H，求证：四边形EFGH是菱形．三、当堂检测1．下列说法中，错误的是()A．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形D．三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③AC⊥BD；④AD＝BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有()A．1种B．2种C．3种D．4种3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是()A．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形C．如果AB＝BC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，那么四边形ABCD是菱形4．如图，已知点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是()A．AB＝CD B．AC＝BDC．AC⊥BD D．AD＝BC5．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？()A．AB＝AC B．∠BAC＝90° C．∠BAC＝120° D．∠BAC＝150°6．数学课上，老师让同学们判断一个四边形是否为菱形，下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的方案有 （填序号）①测量对角线是否相等；②测量对角线是否垂直；③测量两组对角是否分别相等；④测量四边是否相等．7．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．则小米的依据是 ．8．如图，点M，N分别在▱ABCD的边AB，AD上，且AM＝AN，BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E，则图中的菱形共有 个．9．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分的四边形ABCD是 形．10．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．11．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．12．如图，在△Rt ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，作AF∥BC，已知AD是∠CAB的角平分线，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．第4题 第5题13．如图，已知△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线，交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD ，连接BF ． (1)求证：BD ＝CD ；(2)若四边形AFBD 要为菱形，则需要添加什么条件？证明你的结论．14．如图，四边形ABCD 是平行四边形对角线AC ，BD 交于点O ，BD ＝2AB ，AE ∥BD ，OE ∥AB ． (1)求证：四边形ABOE 是菱形；(2)若AO ＝2，S 四边形ABOE ＝43，求BD 的长．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC ＝10㎝，AD ＝8㎝，E ，F 分别是AB ，AC 的中点． (1)求证：四边形AEDF 是菱形； (2)求菱形AEDF 的面积；(3)若H 从F 点出发，沿线段FE 以每秒2㎝的速度向E 点运动，点P 从B 点出发，在线段BC 上以每秒3㎝的速度向C 点运动，设运动时间为t ． ①当t 为何值时，四边形BPHE 是平行四边形？②是否存在t 的值，使四边形PCFH 是菱形？若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．四、能力提升16．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG．有⑤DE＝3DC；⑥BF下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；2＝BC，正确结论的有(填序号)．第16题 第17题 第18题17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B 运动；同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，则t的值为 时，四边形QPCP′为菱形．18．在五边形ADBCE中，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠DAB＝∠EAC，M，N，O分别为AC，AB，BC的中点．(1)求证：△EMO≌△OND；(2)若AB＝AC，且∠BAC＝40°，当∠DAB等于多少时，四边形ADOE是菱形，并证明．。

菱形判定的5个方法
菱形是一种古老而美丽的形状，被广泛应用于学术研究，商业领域和生活中。

菱形的判定是一项重要的任务，因为它能够为我们提供各种有用的信息，比如它的大小、形状、位置等。

菱形判定的方法不止一种，有很多不同的方法可以用于识别菱形。

下面是5种常见的菱形判定方法：
1.觉法：根据物体的外观判断它是否是菱形。

人们可以通过观察物体的色彩、形状、大小等特征来判断它是否是菱形。

这种方法比较简单，但会影响判定的准确性。

2.线方法：将物体描绘成一个直线图形，然后用直线测量它的四个边角，对比每条边的度数，如果四个边的度数相等，则表明该物体是一个菱形。

3.影法：将物体投射到一个合适的面上，如果它的投影是一个菱形，则表明它是一个菱形。

4.学方法：将物体看作一个数学几何体，使用相应的数学公式来确定它是否是一个菱形，比如双曲线方程、圆心角等。

5.算机方法：使用计算机软件检测物体是否是一个菱形，识别物体的特征，比如大小、形状、位置等，然后根据这些特征判断是否是一个菱形。

虽然上述5种方法都能够识别菱形，但是它们各自有优劣势。

视觉法简单，但不准确；直线方法较为精确，但要求物体的边缘符合几何形状；投影法和数学方法更准确，但需要许多参数；计算机方法准
确率最高，但也需要配备计算机软件。

由此可见，菱形判定是一项复杂而又重要的任务，合理选择判定方法是关键，差别不大的方法能够有效提高判定的准确性。

研究者们正在努力改进菱形判定技术，以帮助人们更准确的识别菱形。