中考数学专题一整体思想复习题及答案.doc

专题复习(一) 数学思想方法1．(2016·威海)若x 2－3y －5＝0，则6y －2x 2－6的值为(D)A ．4B ．－4C ．16D ．－162．(2016·兰州)如图，用—个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C)A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm3．(2016·恩施)已知∠AOB＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC＝42°，则∠BOC 的度数为(C) A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°4．(人教9上教材P116T8变式)如图，扇形纸扇完全打开后，外侧面两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30 cm ，扇面BD 的长为20 cm ，则扇面的面积为(A)A.8003π c m 2B.203π cm 2C.803π cm 2D.1 6003π cm 25．如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1 cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2(曲线OM 为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD＝BE ＝5 cm ；②当0＜t≤5时，y ＝25t 2；③直线NH 的解析式为y ＝－52t ＋27；④若△ABE 与△QBP 相似，则t ＝294秒．其中正确的结论个数为(B)图1 图2A ．4B ．3C ．2D ．1提示：①②④正确，直线NH 的解析式为y ＝－52t ＋552.6．(2016·淄博)如图，△ABC 的面积为16，点D 是BC 边上一点，且BD ＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形．则图中阴影的面积是(B)A ．3B ．4C ．5D ．67．(2016·雅安)已知a ＋b ＝8，a 2b 2＝4，则a 2＋b22－ab ＝28或36．8．(2016·荆州)若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为1，2或－1．提示：分函数为一次函数和二次函数两种情况考虑．9．(2016·随州)已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x 2－8x ＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为19或21或23．10．(2016·临沂)如图，将一矩形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A ，C 重合，折痕为FG.若AB ＝4，B C ＝8，则△ABF 的面积为6．11．(2016·东营)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＞AB ，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是4．提示：DE ＝2OD ，又OD 的最小值就是当OD⊥BC 时的情况，此时OD ＝12AB ＝2，∴DE 的最小值为4.12．(2016·鄂州)如图，AB ＝6，O 是AB 的中点，直线l 经过点O ，∠1＝120°，P 是直线l 上一点．当△APB 为直角三角形时，AP ＝3，33或37．13．(2016·江西)如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，A D ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是52，5或45．14．(2016·宜宾)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点(不含B 、C 两点)，将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA 、NA ，则以下结论中正确的有①②⑤(写出所有正确结论的序号)．①△CMP ∽△BPA ；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线； ④线段AM 的最小值为25；⑤当△ABP≌△ADN 时，BP ＝42－4.15．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根． (1)求a 的最大整数值； (2)当a 取最大整数值时， ①求出该方程的根；②求2x 2－32x －7x 2－8x ＋11的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0.解得a≤709且a≠6.∴a 的最大整数值为7.(2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0.解得x 1＝4＋7，x 2＝4－7.②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，∴x 2－8x ＝－9.∴2x 2－32x －7x 2－8x ＋11＝2x 2－32x －7－9＋11＝2x 2－16x ＋72＝2(x 2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－292.16．(2016·岳阳)已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5的值(要求先化简再求值)．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4m(m ＋1)＝1，∴b 2－4ac ＞0，即方程总有两个不相等的实数根． (2)∵方程的一个根为x ＝0， ∴m(m ＋1)＝0.∴原式＝4m 2－4m ＋1＋9－m 2＋7m －5＝3m 2＋3m ＋5 ＝3m(m ＋1)＋5 ＝3×0＋5＝5.。

于是 ,二次函数
y=-abx
2+
(a+b
)
x=-
1 2
x2+
3x=-
1
2(x-
3)
2+
9
2,它有最大值
9
,为2 .
4.D [解析 ] 整体观察图形 ,由折叠过程可知阴影部分图形的周长为 : EA1+A 1D1+BC+FC+EB+D 1F=EA+AD+BC+FC+EB+DF= (EA+EB )+AD+BC+ (FC+DF )=AB+AD+BC+CD= 2(A
∴
??4
??2 +??2
+1
=
8
3??-1 (3??-1
=
)
1 8
.
法二 :欲求
S=
??4
??2 +??2
+1
的值
,可转化成求
1
=
??
??4 +??2 +1 ??2
=x
2+
1+
?1?2 的值
.把方程
x2-3x+ 1= 0 两边都除以
x,得
1
1
x-3+ ??=0,x+ ??= 3,
x+
1 ??
2= 9.
.
8.若
x2-3
x+
1=
0,则
??4
??2 +??2
+1
的值为
.
9.[2018
·黄冈 ]

解方程中的整体思想知识方法精讲1．整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

用整体思想解方程，就是先考虑方程中的某一个代数式整体去代入，然后再解出方程中的未知数的值就可以。

2．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．3．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．4．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．5．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．6．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．7．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．8．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．9．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．10．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．一．选择题（共3小题）1．（2021秋•沙坪坝区校级期中）关于x、y的二元一次方程组的解345223x y kx y k-=-⎧⎨-=+⎩满足310x y k -=+，则k 的值是( ) A ．2B ．2-C ．3-D ．32．（2020秋•岳西县期末）若方程组537753x y x y -=⎧⎨-=⎩的解为 6.58.5x y =⎧⎨=⎩，则方程组5(13)3(1)77(13)5(1)3x y x y --+=⎧⎨--+=⎩的解为( ) A ．19.59.5x y =⎧⎨=⎩B ．19.57.5x y =⎧⎨=⎩C ． 6.59.5x y =-⎧⎨=⎩D ． 6.57.5x y =-⎧⎨=⎩3．（2021•越秀区校级一模）关于x ，y 的方程组2318517ax y x by +=⎧⎨-+=⎩（其中a ，b 是常数）的解为34x y =⎧⎨=⎩，则方程组2()3()18()5()17a x y x y x y b x y ++-=⎧⎨+--=-⎩的解为( ) A ．34x y =⎧⎨=⎩B ．71x y =⎧⎨=-⎩C ． 3.50.5x y =⎧⎨=-⎩D ． 3.50.5x y =⎧⎨=⎩二．填空题（共5小题）4．（2021秋•黄骅市期末）已知x ，y 满足（x ﹣y ）2﹣2（x ﹣y ）+1＝0． （1）x ﹣y 的值为 ；（2）若x 2+y 2＝6，则xy 的值为 ． 5．（2021秋•芜湖期末）观察下列方程：①23x x +=；②65x x +=；③127x x+=，可以发现它们的解分别是①1x =或2；②2x =或3；③3x =或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x 的方程224(3n nx n n x ++=+-为正整数）的解x = ．6．（2021春•常熟市期中）在解决以下问题：“已知关于x ，y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是49x y =⎧⎨=⎩，求关于x '，y '的方程组111222234234a x b y c a x b y c '+'=⎧⎨'+'=⎩的解”的过程中，甲、乙两位同学分别提出了各自的想法．甲说：“两个方程组外表很相似，且它们的系数有一定的规律，可以试试．”乙说：”能不能把第二个方程组中的两个方程利用等式性质加以变形，再利用整体思想通过换元的方法来解决．”参考他们俩的讨论内容，你认为该方程组的解是x '= ，y '= ．7．（2021秋•花都区期末）已知2x =是一元二次方程20x mx n ++=的一个解，则42m n +的值是 ．8．（2020秋•自贡期末）关于x 的方程11x a x a +=+的两个解为1x a =，21x a =；22x a x a+=+的两个解为1x a =，22x a =，则关于x 的方程4422x a x a +=+--的两个解为 ． 三．解答题（共11小题）9．（2021春•娄底期中）已知关于x 、y 的二元一次方程组35,26x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，求关于a 、b 的二元一次方程组3()()5,2()()6a b m a b a b n a b +--=⎧⎨++-=⎩的解．10．（2021秋•昌江区校级期中）解方程组： （1）431032255213225x y x y x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩；（2）352x my x y n +=⎧⎨+=⎩；（3）123451234512345123451234526212224248296x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎪++++=⎨⎪++++=⎪++++=⎪⎩，求4523x x +的值． 11．（2021春•济源期末）题目：满足方程组351,2332,x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩①②的x 与y 的值的和是2，求k 的值．按照常规方法，顺着题目思路解关于x 、y 的二元一次方程组，分别求出x 、y 的值（含有字母)k ，再由2x y +=，构造关于k 的方程求解，从而得出k 值．（1）某数学兴趣小组对本题的解法又进行了探究，利用整体思想，对于方程组中每个方程变形得到“x y +”这个整体，或者对方程组的两个方程进行加减变形，得到“x y +”整体值，从而求出k 值．请你运用这种整体思想的方法，完成题目的解答过程． （2）小勇同学的解答是：观察方程①，令3x k =，51y =． 解得：15y =，又2x y +=， 95x ∴=． 927355k ∴=⨯=． 把95x =，15y =代入方程②，得35k =-．所以k 的值为275或35-．请诊断分析并评价“小勇同学的解答”．12．（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4105x y y ++=即2(25)5x y y ++=③， 把方程①代入③得：235y ⨯+=，1y ∴=-，把1y =-代入①得4x =， ∴方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①②；（2）已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②，求224x y +与xy 的值； （3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．13．（2019秋•吉州区期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4105x y y ++=，即2(25)5x y y ++=③ 把方程①代入③得：235y ⨯+=，1y ∴=-，所以1y =-代入①得4x =，∴方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩，请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①②，（2）已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②，求224x y +的值和22x y xy +的值． 14．善于思考的小军在解方程组2534115x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4105x y y ++=， 即2(25)5x y y ++=，③把方程①代入③，得235y ⨯+=．1y ∴=-． 把1y =-代入①，得4x =． ∴原方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题：（1）模仿小军的“整体代换法”解方程组：3259419x y x y -=⎧⎨-=⎩①②（2）已知x ，y 满足方程组22223212472836x xy y x xy y ⎧-+=⎨++=⎩①②，求224x y +的值． 15．（2021春•饶平县校级期末）已知方程组51542ax y x by -=⎧⎨-=-⎩①②由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为31x y =-⎧⎨=-⎩；乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩，若按正确的a ，b 计算，请你求原方程组的解．16．（2020春•南关区月考）感知：解方程组()237,42327x y x y y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②，下列给出的两种方法中，方法简单的是 ． （A ）由①，得732yx -=，代入②，先消去x ，求出y ，再代入求解．（B ）将①代入②，得4727y ⨯-=，解得1y =，再代入求解． 探究：解方程组2018510942x y x y y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩．应用：若关于x ，y 的二元一次方程组321232233x y ax y x -=+⎧⎪-⎨-=⎪⎩的解中的x 是正数，则a 的取值范围为 ．17．（2021春•江都区校级期中）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值． 如以下问题：已知实数x 、y 满足35x y -=①，237x y +=②，求4x y -和75x y +的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得42x y -=-，由①+②2⨯可得7519x y +=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：（1）已知二元一次方程组2728x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -= ，x y += ；（2）对于实数x 、y ，定义新运算：*x y ax by c =++，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，求1*1的值． 18．（2021秋•长丰县月考）已知关于x ，y 的二元一次方程组221x y ax y +=⎧⎨-=⎩．（1）当方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩时，求a 的值．（2）当2a =-时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将22x y =-⎧⎨=-⎩代入方程2x y a +=中，即可求出a 的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由． 19．（2021春•沭阳县期末）仔细阅读下列内容，并回答问题： 用代入法解方程组723(1)212(2)x y x y -=⎧⎨-=-⎩有以下步骤：①由（1）得，732xy-=（3）；②把（3）代入（1）得，737232xx--⨯=；③整理得33=；④x∴可取一切实数，原方程组有无数个解．（1）选择：以上解法中，造成错误的一步是；A．①B．②C．③D．④（2）用加减法解这个方程组．解方程中的整体思想知识方法精讲1．整体思想从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

. 如图 1，它的
大灯 A 射出的光线 AB，AC与地面 MN的夹角分别为 22°和 31°， AT⊥ MN，垂足为 T，大灯照亮地面的宽度
BC的长为 5 m． 6
（ 1）求 BT的长（不考虑其他因素）；
（ 2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是
0.2s ，从发现危险 到电动车完全停下所行驶的
2. （2015·莱芜） 一个多边形除一个内角外其余内角的和为
1510 °，则这个多边形对角线的条数是 （
）
A． 27 B ． 35 C ． 44 D ． 54
3. 如图 4，矩形 ABCD中， AB=8，AD=6，将矩形 ABCD绕点 B 按顺时针方向旋转后得到矩形
边 A′ B 交线段 CD于 H，且 BH=DH，则 DH的值是（
例 2（ 2015·葫芦岛）如图 1，在五边形 ABCDE中，∠ A+∠ B+∠ E=300°， DP，CP分
别平分∠ EDC，∠ BCD，则∠ P 的度数是（
）
A．60° B ．65° C ．55° D ．50°
图1
解析： 根据五边形的内角和等于
540°，∠ A+∠ B+∠ E=300°，可得∠ EDC +∠
数学思想
数学思想是连接基础知识与解题能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱
题海的有效之路 . 中考常用的数学思想有：整体思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中
考复习备考阶段，要注意领会例题中所体现的数学思想，培养用数学思想解题的意识．
数形结合思想
例（ 2015 ·盘锦）图 1 是二次函数 y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）图象的一部分，对称轴是直