1.2《应用举例》课时2 课件

灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，
则灯塔 A 在灯塔 B 的( )
A．北偏东 5°
B．北偏西 10°
C．南偏东 5°
D．南偏西 10°
B [由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10°.]
A [结合题图可知∠DAC＝β－α.
在△ACD中，由正弦定理得
sin D∠CDAC＝sAinCα，
∴AC＝sina
∠sinDαAC＝sin
a sin α （β－α）.
在Rt△ABC中，
AB＝AC
sin
β＝sian
sin αsin β （β－α）.]
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思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？ ②在△ABC 中，能求出 BC 与∠ABC 吗？ ③在△BCD 中，如何求出∠BCD?
[解] 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t，
在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2×( 3－ 1)×2×cos 120°＝6，
即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船．
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际 问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦 定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求 角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不 是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在0，π2上时，用正、 余弦定理皆可．

3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3

又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，AC＝DC＝
3 2.
在△BCD 中，∠DBC＝45°，
∴siBn3C0°＝siDn4C5°，∴BC＝
6 4.
在△ABC 中，由余弦定理
AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos45°
＝34＋38－2× 23× 46× 22＝83，
∴AB＝
46.∴A、B 两点间距离为
6 4
km.
正、余弦定理在航海距离测量上的应用
如图所示，海中小岛 A 周围 38n mile 内有暗礁， 一船正向南航行，在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30°，航行 30n mile 后，在 C 处测得小岛在船的南偏东 45°，如果此船不 改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
[分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A 到 直线 BC 的距离与 38n mile 的大小，于是我们只要先求出 AC 或 AB 的大小，再计算出 A 到 BC 的距离，将它与 38n mile 比 较大小即可．
2·cos75°＝5.
∴AB＝ 5(km)．
答：A、B 之间的距离为 5 km.
如图，为了测量河对岸 A、B 两点间的距离，在河的这边
测得 CD＝
3 2
km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB
＝45°，求 A、B 两点间的距离．
[解析] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
AB成60°角的直线滑行，同时乙从B出发，以7m/s的速度沿着
与甲相遇的最短直线滑行． 那么相遇时，甲滑行了多远呢？
1.正弦定理指出了三角形中三条边与对应角的正弦之间的 一个关系式，这个关系式是________．
2．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角的余弦 之间的关系式，这三个关系式是_______，________和________．

教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源
第2课时 角度问题
●三维目标 1，知识与技能 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关计 算角度的实际问题． 2．过程与方法 通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主 动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举 一反三．
1．本题欲求方位角，先求边长，而要求边长，需先求时 间，由于舰艇与渔船同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的 航向不确定，解题时画图的关键是设出相遇点B，画出可以求解 的三角形． 2．解决这类问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分 析题意，根据题意画出正确的示意图，将实际问题转化为数学 问题，运用正弦定理或余弦定理求解．体现了数形结合与方程 的数学思想方法．
由正弦定理，得 BC AC ＝ ， sin ∠CAB sin ∠ABC BCsin ∠ABC sin ∠CAB＝ AC 54.0×sin 137° ＝ 113.15 ≈0.3255， 所以∠CAB＝19.0° ， 75° －∠CAB＝56.0° .
答：此船应该沿北偏东56.0° 的方向航行，需要航行113.15 n mile.
1．本题中由于A、C均为固定点，故所求航向是确定的， 只要解出∠CAB的大小，可用方向角表示出来． 2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定 理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数 在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角．但角 π 在(0， ]上时，用正、余弦定理皆可． 2
3．情感、态度与价值观 培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能 力，并在教学过程中激发学生的探索精神．

o o
讲解范例： 讲解范例：
如图， 、 两点都在河的对岸 两点都在河的对岸(不 例2. 如图，A、B两点都在河的对岸 不 可到达)，设计一种测量 、 两点间距 可到达 ，设计一种测量A、B两点间距 离的方法. 离的方法 A B
评注： 评注：
可见，在研究三角形时， 可见，在研究三角形时，灵活根据 两个定理可以寻找到多种解决问题的方 案，但有些过程较繁复，如何找到最优 但有些过程较繁复， 的方法， 的方法，最主要的还是分析两个定理的 特点， 特点，结合题目条件来选择最佳的计算 方式. 方式
θ 2θ
B
θ
C
2θ
4θ
D
E
讲解范例： 讲解范例：
某巡逻艇在A处发现北偏东 例3.某巡逻艇在 处发现北偏东 o相距 海里 某巡逻艇在 处发现北偏东45 相距9海里 o 处有一艘走私船， 的C处有一艘走私船，正沿南偏东 的方向 处有一艘走私船 正沿南偏东75 海里/小时的速度向我海岸行驶 以10海里 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇 海里 小时的速度向我海岸行驶， 立即以14海里 小时的速度沿着直线方向追去， 海里/小时的速度沿着直线方向追去 立即以 海里 小时的速度沿着直线方向追去， 问巡逻艇应该沿什么方向去追？ 问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时 间才追赶上该走私船？ 间才追赶上该走私船？ 北
1.2应用举例(四) 应用举例 四
课题导入
在△ABC中，边BC、CA、AB上的 中 、 、 上的 高分别记为h 高分别记为 a、hb、hc，那么它们如何 用已知边和角表示？ 用已知边和角表示？
课题导入
在△ABC中，边BC、CA、AB上的 中 、 、 上的 高分别记为h 高分别记为 a、hb、hc，那么它们如何 用已知边和角表示？ 用已知边和角表示？ ha＝bsinC＝csinB ＝ hb=csinA＝asinC ＝ hc=asinB＝bsinA ＝

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【规律方法】测量角度问题的关键是在弄清题意的基础 上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距 离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转 化为实际问题的解．
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3．某海上养殖基地 A，接到气象部门预报，位于基地南偏 东 60°相距 20( 3＋1)n mile 的海面上有一台风中心，影响半径 为 20 n mile，正以每小时 10 2 n mile 的速度沿某一方向匀速 直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且( 3＋1) h 后 开始持续影响基地 2 h．求台风移动的方向．
2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求 角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
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2．视角 从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角. 如图所 示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
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3．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平 面与地面之间有什么关系？
提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在 平面与地面垂直.
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马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿

sin∠BDC sin∠CBD
CDsin ∠BDC s·sin β
所以 BC＝
＝
.
sin∠CBD sin （α＋β）
s·tanθ sin β
在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝
.
sin （α＋β）
第二十七页，共51页。
类型 3 角度问题 [典例 3] 如图所示，在坡度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°，向山 顶前进了 100 米后到达 B 点，又从 B 点测得建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 45°，已知建筑物的高度为 50 m，求 此山坡相对于水平面的倾斜角 θ 大小(精确到 1°)．
故山的高度为 15(1＋ 3)(米)．
第二十页，共51页。
类型 2 用正弦定理求空间中高度问题 [典例 2] 如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶，到 A 处时测得公路南侧远处一山脚 C 在 东偏南 15°的方向上，行驶 5 km 后到达 B 处，测得此山 脚在东偏南 30°的方向上，且山顶 D 的仰角为 8°，求此 山的高度 CD(精确到 1 m，参考数据：tan 8°≈0.140 5)．
C．d1>20 m
D．d2<20 m
解析：仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即 d1<d2.
答案：B
第九页，共51页。
4．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处 在坡角为 15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一 排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°，第 一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示)，旗杆底部 与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为 50 秒钟，则 升旗手匀速升旗的速度为________．

灵溪第二高级中学 数学组：林月蕾
——2006年5 月
知道它有多远吗？
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从
A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C
岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间
的距离是
。
解：应用正弦定理，C=45 °
C
BC/sin60°=10/sin45° BC=10sin60 °/sin45° A
B A
C
例3、 为了测定河对岸两点A、B
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
知
道
它
有
多
长
D
吗
？
5.10 解斜三角形应用举例
小结
实际问题
抽象概括 示意图
构造三角形 演 算
还原说明 实际问题的解
知 道 它 有 多 高 吗 ！
知道它有多宽吗？
例3.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为
此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长
60° 75°
答：5 6 12.23海里
B
请回答下列问题：
（1）什么是解三角形，我们学了 哪些相关的定理？ （2）关于解斜三角形，你掌握了 哪几种类型？
解斜三角形理论 在实地测量中的应用
例2：如何在平地上 测量位于山上的灯 塔顶部离地面的高 度？
知道它有多高吗？
解三角形的应用---实地测量举例