多边形的面积计算公式1、长方形的面积=长×宽
字母表示：S=ab
长方形的长=面积÷宽a=S÷b
长方形的宽=面积÷长b=S÷a
2、正方形的面积=边长×边长
字母表示:S= a2
3平行四边形的面积=底×高
字母表示:S=ah
平行四边形的高=面积÷底h=S÷a
平行四边形的底=面积÷高a=S÷h
4、三角形的面积=底×高÷2
字母表示: S=ah÷2
三角形的高= 2×面积÷底h=2S÷a
三角形的底= 2×面积÷高a=2S÷h
5、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
字母表示：S=(a+b)·h ÷2
梯形的高=2×面积÷（上底+下底）h=2S÷(a+b)
梯形的上底=2×面积÷高—下底a=2S÷h-b
梯形的下底=2×面积÷高—上底b=2S÷h-a
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方米=10000平方厘米1米==10分米=100厘米
格点与面积小学奥数知 道点详解 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。 一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法： ①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积； ②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积； ③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原 始，很少用。 任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积： 格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。 皮克定理的证明： 将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1 所以格点多边形面积为： 图内格点个数+周界格点数÷2-1。 皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理 解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握 格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克 定理。 例1： 求下面各图形的面积。
不规则图形面积的计算（一） 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表： 实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。 例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.
例5 如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘 例6 如右图，已知：S△ABC=1， 例7 如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
例8 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积. 例9 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
习题一 一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：
例题精讲 模块一、正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等 (通常规定 是 1 个单位 ) ，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶 点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形． 那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算 公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用 N 表示多边形内部格点， L 表示多边形周界上的格点， S 表示多边形面积， 请同学们分析前几个例 题的格点数． 我们能发现如下规律： S N L 1．这个规律就是毕克定理． 2 毕克定理 若一个格点多边形内部有 N 个格点，它的边界上有 L 个格点， 则它的面积为 S N L 1 ． 2 例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？ 例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积． 例 3】 如图 ( a )，计算这个格点多边形的面积． 4-2-7. 格点型面积 ⑵ ⑷⑸⑹
例5】分别计算图中两个格点多边形的面积． 巩固】求下列各个格点多边形的面积．例6】“乡村小屋”的面积是多少？ 例4】右图是
例7】右图是一个8 12 面积单 位的图形．求矩形内的箭形 ABCDEFGH 的面积．F D 例8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系 例9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ 例10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在721 是1，那么7、2、1 三个数字所占的面积之和是多少？ 巩固】那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘 米？ ① ⑥ ⑤ ②③ ④ G E C 面的图形中，每一个小方格的面积
五年级《多边形面积的计算》复习题姓名： 一、我会填。 1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来平行四边形的面积( )， 这个长方形的长等于原平行四边形的( )，这个长方形的宽等于原平行四边形的( )。长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于( )乘( )，用字母表示的公式为( )。 2、一个平行四边形的底为15分米，高为18分米，面积为( )平方分米。如果一个 平行四边形底为12分米，面积为180平方分米，则高为( )分米。 3、一个平行四边形的底扩大4倍，高缩小2倍，则面积( )；如果它的底缩小 3倍，高扩大3倍，则面积( )。 4、一个梯形的面积是42平方米，它的上下底之和与一个平行四边形的底边相等，高与 平行四边形的高相等，这个平行四边形的面积是( )平方米。 5、一个梯形的面积是22平方分米，上、下底之和为11分米，它的高是( )分米。 6、一个梯形的面积是24平方分米，下底是5分米，高是4分米，上底是( )分米。 7、一个平行四边形的面积为64平方厘米，高为8厘米，底为( )厘米。 8、一块直角三角形的地，两条直角边的长分别是36米、27米，这块地的面积是( )。 9、一个三角形，它的面积为36平方分米，高为8分米，则它的底为( )分米。 10、一块直角梯形的地，它的下底是40米，如果上底增加38米，这块地就变成了正方 形，原梯形的面积是( )平方米。 11、一个长方形木框，长10dm，宽8dm，将它拉成一个平行四边形，面积变( )， 这个平行四边形的周长为( )dm。 12、三角形有一条边的长为9厘米，这条边上的高为4厘米，另一条边长6厘米，这条 边上的高是( )厘米。 13、一个三角形的面积为10平方分米，若底扩大2倍，高缩小4倍，则现在的面积为 ( )平方分米。 14、一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12平方分米，则平行四边 形的面积是( )平方分米，三角形的面积为( )平方分米。 15、一个三角形与一个平行四边形的面积相等，高也相等，如果三角形的高是8米，那 么平行四边形的高是( )米；如果平行四边形高是8米，那么三角形的高是( )米 16、填“＞”、“＜”或“＝”。 ①A的面积( )B的面积②A的面积( )B的面积
小学奥数：格点型面积（毕克定理） 板块一正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形． 那么，格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：1 2 L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少面积等于2平方厘米的三角形有多少个 【例 2】如图，44?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个． 毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形 ⑴⑵⑶ 【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积． 【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积． 【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积． ⑴ ⑵ 【巩固】求下列各个格点多边形的面积． ⑵ ⑴ ⑷ ⑶ 【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少 【例 9】 右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积． H G F E D C A 【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是 多少
第一讲不规则图形面积的计算（一） 习题一（及详细答案） 一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）： 二、解答题： 1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。 2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN （阴影部分）的面积. 3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。 4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积. 5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。求三角形DEF的面积. 6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？ 7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.
8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长. 习题一解答 一、填空题： 二、解答题： 3．CE=7厘米． 可求出BE=12．所以CE=BE-5=7厘米． 4．3．提示：加辅助线BD ∴CE=4，DE=CD-CE=5-4=1。 同理AF=8，DF=AD-AF=14-8=6， 6．如右图，大正方形边长等于长方形的长与宽的和.中间小正方形的边长等于长方形的长与宽的差.而大、小正方形的边长分别是8米和3米，所以长方形的宽为（8-3）÷2=（米），长方形的长为=（米）.
正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题． 1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L 2 -1)×单位 正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7 2 -1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，
②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米． 2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米? 【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x 单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数． 有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)． 方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)． 3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
五年级数学上册期末复习：多边形面积的计算练习题 一、单位换算 （1）把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来的平行四边形（）。这个长方形的长等于平形四边形的（），宽等于平行四边形的（）。平行四边形的面积等于（），用字母表示是（）。 （2）一个平行四边形的底为15分米，高为18分米，面积为( )平方分米。如果一个平行四边 底为12分米，面积为180平方分米，则高为( )分米。 （3）一个平行四边形的底扩大4倍，高缩小2倍，则面积( )；如果它的底缩小3倍，高扩大3倍，则面积( )。 （4）一个长方形木框，长10dm，宽8dm，将它拉成一个平行四边形，面积变( )，这个平行四边形的周长为( )dm。 （5）把一个长8厘米，宽4厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这时面积减少8平方厘米，平行四边形的面积为( )平方厘米，这时平行四边形的高为( )厘米。 三、（三角形）三角形的面积=底×高÷2 S= a h÷2 （1）两个完全一样的三角形能拼成（），所以三角形的面积等于（）。用字母表示是（）。 （2）一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是（）。 （3）一个三角形，它的面积为36平方分米，高为8分米，则它的底为( )分米。 （4）一个三角形的面积是4.8 m2，与它等底等高的平行四边形的面积是（）。 （5）一个三角形的面积为10平方分米，若底扩大2倍，高缩小4倍，则现在的面积为( )平方分米。 （6）一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12平方分米，则平行四边形的面积是( )平方分米，三角形的面积为( )平方分米。 （7）一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是8米，那么平行四边形的高是( )米；如果平行四边形的高是8米，那么三角形的高是( )米。 （8）一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形面积大48平方厘米，这个三角形的面积是（）平方厘米。 四、（梯形）梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a+b）×h÷2 （1）两个完全一样的梯形能拼（），所以梯形的面积等于（）。用字母表示是（）。 （2）一个梯形的面积是22平方分米，上、下底之和为11分米，它的高是( )分米。 （3）一个梯形的面积是24平方分米，下底是5分米，高是4分米，上底是( )分米。 （4）一个梯形的面积是42平方米，它的上下底之和与一个平行四边形的底边相等，高与平行四边形的高相等，这个平行四边形的面积是( )平方米。 （5）一块直角梯形的地，它的下底是40米，如果上底增加38米，这块地就变成了正方形，原梯形的面积是( )平方米。 （6）一个梯形的高是6厘米，下底10厘米，如果上底增加7厘米，它就变成了一个平行四边形，这个梯形的面积是( )平方厘米。 五、选择（填上正确答案的序号） 1、下面的四个平行四边形，根据已知条件第( )个平行四边形的面积可以算出。
苏教版五年级第二单元《多边形面积的计算》练习题 一、我会填。 1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来 平行四边形的面积( )，这个长方形的长等于原平行四边形的( )，这个长方形的宽等于原平行四边形的( )。长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于( )乘( )，用字母表示的公式为( )。 2、一个平行四边形的底为15分米，高为18分米，面积为 ( )平方分米。如果一个平行四边形底为12分米，面积为180平方分米，则高为( )分米。 3、一个平行四边形的底扩大4倍，高缩小2倍，则面积 ( )；如果它的底缩小3倍，高扩大3倍，则面积( )。 4、一个梯形的面积是42平方米，它的上下底之和与一个平 行四边形的底边相等，高与平行四边形的高相等，这个平行四边形的面积是( )平方米。 5、一个梯形的面积是22平方分米，上、下底之和为11分 米，它的高是( )分米。 6、一个梯形的面积是24平方分米，下底是5分米，高是4 分米，上底是( )分米。 7、一个平行四边形的面积为64平方厘米，高为8厘米，底 为( )厘米。 8、一块直角三角形的地，两条直角边的长分别是36米、27 米，这块地的面积是( )平方米。 9、一个三角形，它的面积为36平方分米，高为8分米，则 它的底为( )分米。 10、一块直角梯形的地，它的下底是40米，如果上底增加 38米，这块地就变成了正方形，原梯形的面积是( )平方米。 11、一个长方形木框，长10dm，宽8dm，将它拉成一个平行 四边形，面积变( )，这个平行四边形的周长为( )dm。 12、三角形有一条边的长为9厘米，这条边上的高为4厘米， 另一条边长6厘米，这条边上的高是( )厘米。
多边形面积的计算 多边形面积的计算第三单元多边形面积的计算 1·平行四边形面积的计算 课题一：平行四边形面积的计算 教学内容：教科书第70页一第72页的内容，完成练习十七的第l～3 题。 教学目的：1.使学生在理解的基础上掌握平行四边形的面积计算公式，能够正确地计算平行四边形的面积。 2.使学生通过操作和对图形的观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生的分析、综合、抽象、概括和解决实际问题的能力。 教学重点：掌握平行四边形的面积计算公式，能够正确地计算平行四边形的面积。 教学难点：通过操作和对图形的观察、比较，发展学生的空间观念。 教具准备：参照教科书第70页的方格纸，投影片; 教学过程：一、复习 1.出示方格纸上画的平行四边形。提问:方格纸上面的是什么图形?什么叫平行四边形?它有什么特征? 2·让学生指出平行四边形的底，再指出它的高。然后让每个学生在自己准备的平行四边形上画高。(教师巡视，注意画得是否正确。)
教师：今天我们就来学习平行四边形面积的计算方法。 板书课题：平行四边形的面积 二、新课 1.用数方格的方法计算平行四边形的面积。 (1)我们在计算长方形的面积时，曾经用数方格的方法来计算它的面积，现在我们学习平行四边形面积的计算，也先用数方格的方法数一数它的面积是多少。请打开教科书，看第70页上边的平行四边形图，每一个方格表示一平方厘米，自己数一数是多少平方厘米? 请同学们认真观察一下，平行四边形在方格纸上出现了不满一格的，该怎么数呢?(可以都按半格计算。)然后指名说出数得的结果，并说一说是怎样数的。 (2)出示方格纸上画的长方形，要求直接计算出它的面积。然后指名说出计算结果。 (3)比较平行四边形和长方形。 提问：平行四边形的底和长方形的长有什么关系?平行四边形的高和长方形的宽呢?它们的面积怎么样? 启发学生把比较的结果重复说一遍。平行四边形的底和长方形的长，平行四边形的高和长方形的党分别相等，它们的面积也相等。 (4)小结：从上面的研究我们知道，平行四边形的面
第6单元多边形的面积 单元分析 【教材分析】 本单元学习的内容主要包括：平行四边形、三角形、梯形和组合图形的面积四个部分。它们的面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上，以未知向已知转化为基本方法开展学习的。这是进一步学习圆的面积和立体图形的表面积的基础。学习组合图形的面积安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后，也是利用转化的数学思想，让学生把不规则的平面图形转化为规则的平面图形来计算，降低了学生的学习难度，并巩固了学生对各种平面图形的特征的认识及面积计算，发展了学生的空间观念。 【学情分析】 学生已经对空间观念和直观几何有了较为丰盛的经验。在学习本单元之前，他们在生活中积累了有关图形认识和图形测量的经验，再加上已经学习了长方形、正方形、三角形的特征以及长方形、正方形的面积计算。为此，学习本单元面积公式的推导过程中，教师应引导学生紧密联系生活实际，从已有的认知基础和生活经验出发，让学生在数、剪、拼、摆等操作活动中，完成对新知的构建。所以引导学生利用转化的数学思想，在操作中学习新知是本单元教学的重要环节。教师既要做好引导，又要注意不要包办代替，一定要学生在独立思考和合作交流的基础上进行操作，切忌由教师带着做。通过实际操作活动，发展学生的空间观念，培养动手操作能力，为接下来学习圆的面积作好铺垫。 【教学目标】 知识技能：掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式，并能正确地计算相应图形的面积；了解简单组合图形面积的计算方法。 数学思考：在推理公式的过程中，引导学生应用转化的数学思想方法，经历计算公式的过程。
问题解决：能用有关图形的面积计算公式解决简单的实际问题。在解决问题的过程中，感受数学和现实生活的密切联系，体会学数学、用数学的欢乐。 情感态度：培养学生认真思考、比较、推理和概况的能力。 教学重点：掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式；会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。 教学难点：渗透“转化”思想，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力。 【课时划分】 1．平行四边形的面积………………………2课时 2．三角形的面积……………………………2课时 3．梯形的面积………………………………2课时 4．组合图形的面积…………………………2课时 5．整理和复习………………………………1课时
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。 一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法： ①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积； ②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积； ③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。 任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积： 格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。 皮克定理的证明： 将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1 所以格点多边形面积为： 图内格点个数+周界格点数÷2-1。 皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲 只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应 用，到初中还会进一步学习皮克定理。 例1： 求下面各图形的面积。 【解析】：
《多边形面积的计算》练习题 一、我会填。 1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来平行四边形的面积 ()，这个长方形的长等于原平行四边形的()，这个长方形的宽 等于原平行四边形的形的面积等于( ( )乘( )。长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边 )，用字母表示的公式为( )。 ) 平方分米。 2、一个平行四边形的底为15 分米，高为18 分米，面积为( 如果一个平行四边形底为 分米。 3、一个平行四边形的底扩大 它的底缩小 3 倍，高扩大12 分米，面积为180 平方分米，则高为( ) 4 倍，高缩小 3 倍，则面积( 2 倍，则面积( )。 )；如果 4、一个梯形的面积是42 平方米，它的上下底之和与一个平行四边形的底边相 等，高与平行四边形的高相等，这个平行四边形的面积是()平方米。 5、一个梯形的面积是 分米。 6、一个梯形的面积是 分米。22 平方分米，上、下底之和为11 分米，它的高是( ) 24 平方分米，下底是5 分米，高是4 分米，上底是( ) 7、一个平行四边形的面积为64 平方厘米，高为8 厘米，底为( )厘米。 8、一块直角三角形的地，两条直角边的长分别是36 米、27 米，这块地的面 积是( )平方米。 9、一个三角形，它的面积为 分米。 36 平方分米，高为8 分米，则它的底为( ) 10、一块直角梯形的地，它的下底是 成了正方形，原梯形的面积是 40 米，如果上底增加 )平方米。 38 米，这块地就变( 11、一个长方形木框，长10dm，宽8dm，将它拉成一个平行四边形，面积变 ()，这个平行四边形的周长为()dm。 12、三角形有一条边的长为 厘米，这条边上的高是 9 厘米，这条边上的高为 )厘米。 4 厘米，另一条边长6 ( 13、一个三角形的面积为10 平方分米，若底扩大 2 倍，高缩小 4 倍，则现在 的面积为( )平方分米。
曲线型组合图形的面积计算方法姓名对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有： 一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计 算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。例如下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。 30厘米 二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图 形的面积之差。例如下图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。 三、
四、 重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。 五、 辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、 割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。 七、 平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。例如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边长方形内，这样整个阴影部分恰是一个长方形。 旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下左图中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A 与C 重合，从而构成如下右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。 九、 对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半。例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB 在原图下方作关于AB 为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD 的面积的一半就是所求阴影部分的面积。 十、 重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA ∪B ＝SA ＋SB-SA ∩B ）解决。例如欲求下图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部 分的面积恰好是两个扇形重叠的部分。 10厘米 6厘米 4厘米 20厘米 8厘米 10厘米 20厘米 30厘米 10厘米
格点多边形的面积计算教学设计 ——浙教版八年级下课题学习 丈亭镇中张荣 一、教学目标 知识与技能：理解格点多边形的定义，掌握求格点多边形面积的一般方法； 过程与方法：1、培养学生观察能力； 2、进一步提高学生推理、归纳能力； 情感与价值观：1、体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创 新的科学精神； 2、渗透函数的数学思想； 3、培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识； 二、教学重点 格点多边形面积公式的理解与探索过程 三、教学难点 格点多边形面积公式的探索过程 四、教学方法：启发式教学 启发学生逐步发现格点多边形特点及探索出格点多边形面积计算公式 五、教学手段 计算机多媒体教学平台与板书结合 六、教学过程 （一）问题情境 如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点。如：点A、点B。 如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形。如：格点多边形ABCDE。 提出问题：你能求这个格点多边形的面 积吗？ 让学生讲述他们的方法， （1）把图形补成一个规则的图形，如： 长方形用长方形面积减去补上去的部分面积。 （2）把图形分割成几个三角形或四边形， 进行求解。 （二）引入新课 1、直接引入主题 以上方法繁琐，继而引导学生一起探索简便的格点多边形面积计算公式。 下图的4个格点多边形, 其内部都只有一个格点，请计算它们的面积，并完 成下面的 表格。
个数和 a 之间的函数关系 a s 2 1 = 2、进一步探索 引导学生继续探索多边形内部分别有2个，3个格点的情形： （1）下图的4个格点多边形, 其内部都有两个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。 的个数和 a 之间的函数关系吗？ 为了帮助学生发现规律，指导学生尝试应用函数图象得到结果： 发现：12 1 +=a s （2）下图的4个格点多边形, 其内部都有3个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。 ① ② ③ ④
五年级数学多边形面积的计算练习题 单位换算 1.25公顷=（）平方米5600平方分米=（）平方米 0.85公顷=（）平方米0.56平方千米=（）公顷 86000平方米=（）公顷9.28平方米=（）平方厘米 12.5公顷=（）平方米78000平方米=（）公顷 680平方厘米=（）平方分米0.75平方米=( )平方分米（平行四边形）平行四边形的面积=底×高S=ah （1）把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来的平行四边形（）。这个长方形的长等于平形四边形的（），宽等于平行四边形的（）。平行四边形的面积等于（），用字母表示是（）。 （2）一个平行四边形的底为15分米，高为18分米，面积为( )平方分米。如果一个平行四边 底为12分米，面积为180平方分米，则高为( )分米。 （3）一个平行四边形的底扩大4倍，高缩小2倍，则面积( )；如果它的底缩小3倍，高扩大3倍，则面积( )。 （4）一个长方形木框，长10dm，宽8dm，将它拉成一个平行四边形，面积变( )，这个平行四边形的周长为( )dm。 （5）把一个长8厘米，宽4厘米的长方形框架拉成一个平行四边形，这时面积减少8平方厘米，平行四边形的面积为( )平方厘米，这时平行四边形的高为( )厘米。 （三角形）三角形的面积=底×高÷2 S= a h÷2 （1）两个完全一样的三角形能拼成（），所以三角形的面积等于（）。用字母表示是（）。 （2）一个三角形底是5cm，高是7cm，面积是（）。 （3）一个三角形，它的面积为36平方分米，高为8分米，则它的底为( )分米。 （4）一个三角形的面积是4.8 m2，与它等底等高的平行四边形的面积是（）。 （5）一个三角形的面积为10平方分米，若底扩大2倍，高缩小4倍，则现在的面积为( )平方分米。 （6）一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12平方分米，则平行四边形的面积是( )平方分米，三角形的面积为( )平方分米。 （7）一个三角形与一个平行四边形的面积相等，底也相等，如果三角形的高是8米，那么平行四边形的高是( )米；如果平行四边形的高是8米，那么三角形的高是( )米。 （8）一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形面积大48平方厘米，这个三角形的面积是（）平方厘米。 （梯形）梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a+b）×h÷2 （1）两个完全一样的梯形能拼（），所以梯形的面积等于（）。用字母表示是（）。 （2）一个梯形的面积是22平方分米，上、下底之和为11分米，它的高是( )分米。 （3）一个梯形的面积是24平方分米，下底是5分米，高是4分米，上底是( )分米。 （4）一个梯形的面积是42平方米，它的上下底之和与一个平行四边形的底边相等，高与平行四边形的高相等，这个平行四边形的面积是( )平方米。 （5）一块直角梯形的地，它的下底是40米，如果上底增加38米，这块地就变成了正方
多边形的面积计算公式1、长方形的面积=长×宽 字母表示：S=ab 长方形的长=面积÷宽 a=S÷b 长方形的宽=面积÷长b=S÷a 2、正方形的面积=边长×边长 字母表示: S= a2 3平行四边形的面积=底×高 字母表示: S=ah 平行四边形的高=面积÷底 h=S÷a 平行四边形的底=面积÷高 a=S÷h 4、三角形的面积=底×高÷2 字母表示: S=ah÷2 三角形的高= 2×面积÷底h=2S÷a 三角形的底= 2×面积÷高a=2S÷h 5、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 字母表示：S=(a+b)·h ÷2 梯形的高=2×面积÷（上底+下底） h=2S÷(a+b)梯形的上底=2×面积÷高—下底 a=2S÷h-b 梯形的下底=2×面积÷高—上底 b=2S÷h-a
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方米=10000平方厘米 1米==10分米=100厘米 《多边形的面积》同步试题 一、填空 1．完成下表。 考查目的：平行四边形、三角形和梯形的面积计算及变式练习。 答案： 解析：直接利用公式计算这三种图形的面积；对于学生来说完成的难度不大。对于已知平行四边形的面积和高求底、已知三角形的面积和底求高这两个变式练习；可引导
学生进行比较；理解并强化三角形和梯形的类似计算中需要先将“面积×2”这一知 识点。 2．下图是一个平行四边形；它包含了三个三角形；其中两个空白三角形的面积分别 是15平方厘米和25平方厘米。中间涂色三角形的面积是（）。 考查目的：等底等高的三角形和平行四边形的面积之间的关系。 答案：40平方厘米。 解析：引导学生仔细观察图形；得出涂色部分三角形与整个平行四边形存在等底等高 的关系；则该三角形的面积应为平行四边形面积的一半；据此进一步推导出涂色三角 形的面积和两个空白三角形的面积之和相等这一结论。 3．有一批圆木堆成梯形；最上面一层有3根；最下面一层有8根；相邻两层相差1根；一共堆了6层；这堆圆木共有（）根。 考查目的：运用梯形的面积计算方法解决相关的实际问题。 答案：33。 解析：根据“（顶层根数+底层根数）×层数÷2”进行解答。在此基础上；可引导学 生用不同的方法对结果加以验证；重点分析采用等差数列求和的方法即“（首项+末项）×项数÷2”；这既是解决该题的基本数学模型；也能突出体现“数形结合”的 思想。 4．如图的小花瓶中；1个小正方形的面积是1平方厘米；那么整个花瓶的面积是（）平方厘米。
数格点算面积 一．活动目标 (1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理； (2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验,积累直接经验。强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动； (3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法。 二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。 网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻的平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点称为格点。 如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形。 (如下图中的五边形ABCDE)。
有趣的是：这种称为格点多边形的面积可以根据图形内部及它的边上的格点的数目来计算，算法十分简捷。 设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，下面我们来探究S与N、L三者之间的关系。 问题的研究应该从简单的图形入手。 1．如图①②③都是N=0的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。 2．根据以上图形以及你画的图形填表： 图形序号S N L ① 1 0 4 ② 2 0 6
③ 3 0 8 ④ 3．观察图表可以发现：1 2 1 - =L S。判断一下在你画的图中这个关系式是否成立？ 4．如图⑤⑥⑦都是N= 1的格点多边形，请你在仿照此式样再画一个这样的多边形。 5．根据以上图形以及你画的图形填表： 图形序号S N L ⑤ 2 1 4 ⑥ 2.5 1 5 ⑦ 4.5 1 9 ⑧ 6．观察上表，你有什么发现？怎样用N、L的代数式来表示S ？
长方形的周长=（长+ 宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=（上底+ 下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径 圆的周长=圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= （长×宽长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高
s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a b c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长 α－夹角
D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a b)h/2 ＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360)
五年级《多边形面积的计算》 一、我会填。 1、把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来平行四边形 的面积（），这个长方形的长等于原平行四边形的（ ）， 这个长方形的宽等于原平行四边形的（）。长方形的面积等于氏乘宽，所以平行四边形的面积等于（）乘（），用字母 表示的公式为（）。 2、一个平行四边形的底为15分米，高为18分米，面积为（）平方分 米。如果一个平行四边形底为12分米，面积为180平方分米，则高为（）分米。 3、一个平行四边形的底扩大4倍，高缩小2倍，则面积（ ）； 如果它的底缩小3倍，高扩大3倍，则面积（）。 4、一个梯形的面积是42平方米，它的上下底之和与一个平行四边形的 底边相等，高与平行四边形的高相等，这个平行四边形的面积是（）平方米。 5、一个梯形的面积是22平方分米，上、下底之和为11分米，它的高 是（）分米。 6、一个梯形的面积是24平方分米，下底是5分米，高是4分米，上底 是（）分米。 7、一个平行四边形的面积为64平方厘米，高为8厘米，底为（ ） 厘米。 8、一块直角三角形的地，两条直角边的长分别是36米、27米，这块
地的面积是（）平方米。 9、一个三角形，它的面积为36平方分米，高为8分米，则它的底为 （）分米。 10、一块直角梯形的地，它的下底是40米，如果上底增加38米，这块 地就变成了正方形，原梯形的面积是（）平方米。
②A的面积（）B的面积 11、一个长方形木框，长10dm,宽8dm,将它拉成一个平行四边形，面 积变（），这个平行四边形的周长为（）血。 12、三角形有一条边的长为9厘米，这条边上的高为4厘米，另一条 边 R 6厘米，这条边上的高是（）厘米。 13、一个三角形的面积为10平方分米，若底扩大2倍，高缩小4倍， 则现在的面积为（）平方分米。 14、一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少12平方 分米，则平行四边形的面积是（）平方分米，三角形的面积为 （）平方分米。 15、一个三角形与一个平行四边形的面积相等，高也相等，如果三角 形 的高是8米，那么平行四边形的高是（）米；如果平行四边形 的高是8米，那么三角形的高是（）米。 16、填“>”、"V” 或“=”。 %1A的面积（）B的面积 ④空自的面积（）阴影面积 17、一个梯形的高是6厘米，下底10厘米，如果上底增加7厘米，它 ③A的面积（）B的面积