2011届高三数学一轮教案 《平面向量》

§4.1 平面向量的概念及线性运算一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·苏州模拟)如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是________．①AB →=DC →②AD →＋AB →＝AC → ③AB →－AD →＝BD → ④AD →＋CB →＝0解析 ①显然正确；由平行四边形法则知②正确；AB →－AD →＝DB →故③不正确；④中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0 答案 ①②④2.（2010·徐州模拟）设四边形ABCD 中，有，AB DC 21=且|,|||BC AD =则这个四边形是 . 解析 由AB 21DC =知四边形ABCD 是梯形，又|,|||BC AD =所以四边形ABCD 是等腰梯形. 答案 等腰梯形3.（2008·全国Ⅰ理）在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则A D →＝ ____________(用b ，c 表示)． 解析 如图所示，在△ABC 中， A D →=AB →＋BD →.又.32,2BC BD DC BD =∴=,c b AB AC BC -=-=∴+=∴AB AD 23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .答案 23＋13c4.（2010·泰州模拟）如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）. 若,21OP b oOP a OP +=且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满 足a ______0，b ______0(用“>”，“<”或“＝”填空)．平面向量解析 由于点P 落在第Ⅲ部分，且,21OP b oOP a OP += 则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a >0，b <0. 答案 > <5.（2009·江苏南京二模）设OB →＝xOA →＋yOC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过端点O )， 则x ＋y ＝________.解析 ∵A 、B 、C 三点共线，∴存在一个实数λ， AB →=λAC →，即OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)． OB →＝(1－λ)OA →＋λOC →.又∵OB →＝xOA →＝xOA →＋yOC →，∴x ＋y ＝(1－λ)＋λ＝1. 答案 16.（2009·广东茂名一模）在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若,2DB AD =,31CB CA CD λ=则λ＝________.解析 由图知AC CA CD +=BD CB CD +=且A D →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.答案 237．(2009·浙江改编)设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构 成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________． 解析 由|a |=3，|b |=4及a ·b =0知a ⊥b ，故a ，b ，a -b 构成直角三角 形，且|a -b |=5.又其内切圆半径为.12543=-+如图所示．将内切圆向上或向下平移可知该圆与该直角三角形最多有4个交点． 答案 4 8．(2009·北京改编)设D 是正△P 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是△P 1P 2P 3的中心．若集合S ＝{P |P ∈D ，|PP 0|≤|PP i |，i ＝1,2,3}，则 集合S 表示的平面区域是________．解析 如图所示，AB 、CD 、EF 分别为P 0P 1、P 0P 2、P 0P 3的垂直平 分线，且AB 、CD 、EF 分别交P 1P 2、P 2P 3、P 3P 1于点A 、C 、D 、E 、 F 、B .若|PP 0|=|PP 1|，则点P 在线段AB 上，若|PP 0|≤|PP 1|，则点P 在 梯形ABP 3P 2中．同理，若|PP 0|≤|PP 2|，则点P 在梯形CDP 3P 1中．若|PP 0|≤|PP 3|，则点P 在梯形EFP 1P 2中．综上可知，若|PP 0|≤|PP i |，i =1,2,3，则点P 在六边形ABFEDC 中． 答案 六边形区域9.（2009·山东改编）设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →+BA →＋BA →＝2BP →，则PC →＋PA →＝________.解析 因为BC →＋BA →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，即PC →＋PA →＝0.①②答案 0二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.（14分）（2010·南京调研）在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC →＝BA →在OB 上取点D ，使DB →＝13OB →.DC 与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ； DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .11.（16分）（2010·江苏苏州调研）已知：任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的 中点， 求证：).(21DC AB EF +=证明 方法一 如图，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →＝0，又∵BF →＋BF →＋FE →＋EA →＝0， ∴EF →=A B →＋BF →＋EA →①同理EF →=ED →+DC →＋CF →② 由①＋②得， 2EF →=AB →+DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)=AB →+DC →.).(21DC AB EF +=∴方法二 连结,,EC EB 则,DC ED EC +=)(21)(21AB EA DC ED EB EC EF +++=+=∴).(21DC AB +=12.（16分）（2009·上海宝山模拟）已知点G 为△ABC 的重心，过点G 作直线与AB 、AC两边分别交于M 、N 两点，且,,AC y AN AB x AM ==求1x ＋1y的值．解 根据题意G 为三角形的重心， AG →＝13(AB →＋AC →)，MG →=AG →－AM →＝13(AB →＋AC →)－xAB →,31)31()(31,31)31(AB AC yAC AB AC y AG AC y AG AN GN AC AB x --=+-=-=-=+-=由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得,GN MG λ=即⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →,31)31(⎥⎦⎤⎢⎣⎡--AB AC y λ 即⎩⎨⎧13－x ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫y －13，因此13－x －13＝13y －13即x ＋y －3xy ＝0两边同除以xy 整理得1x ＋1y＝3.§4.2 平面向量的坐标运算一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·天津汉沽一中模拟)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝__________.解析 12－32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝⎝⎛⎭⎫12，12－⎝⎛⎭⎫32，－32＝⎝⎛⎭⎫12－32，12＋32＝(－1,2)．答案 (－1,2)2．(2010·湖南衡阳四校联考)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝________.解析 m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由于m a ＋n b 与a －2b 共线，则有2m －n 4＝3m ＋2n－1，∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12答案 －123．(2009·宁夏、海南改编)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ 的值为__________．解析 ∵a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， ∴λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)．由(λa ＋b )⊥(a －2b )知4λ＋3λ＋1＝0.∴λ＝－7.答案 －174．(2009·湖北理改编)已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R } 是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 解析 ∵P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }＝{a |a ＝(1，m )}，Q ＝{b |b ＝(1－n,1＋n )，n ∈R }， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝1－n ，m ＝1＋n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝1，∴a ＝b ＝(1,1)， ∴P ∩Q ＝{(1,1)}． 答案 {(1,1)}5．(2009·山东潍坊一模)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则 x 的值为____________．解析 a －2b ＝(8－2x ，12x －2),2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，故有(8－2x ，12－2)＝λ(16＋x ，x ＋1)即⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ(16＋x )12x －2＝λ(x ＋1)，解得x ＝4(x >0)．答案 46．(2010·泰州模拟)已知向量a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若向量b ⊥(a ＋λb )，则实数λ的值是 ______________．解析 a ＋λb ＝(2,4)＋λ(1,1)＝(2＋λ，4＋λ)． ∵b ⊥(a ＋λb )，∴b·(a ＋λb )＝0， 即(1,1)·(2＋λ，4＋λ)＝2＋λ＋4＋λ＝6＋2λ＝0， ∴λ＝－3.答案 －37.（2008·辽宁文）已知四边形ABCD 的顶点A （0，2）、B （-1，-2）、C （3，1），且，AD BC 2=则顶点D 的坐标为________．解析 ∵A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，BC ∴＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)．设D (x ，y )，∵A D →＝(x ，y －2)，BC →＝2A D →，∴(4,3)＝(2x,2y －4)．∴x ＝2，y ＝72.答案 ⎝⎛⎭⎫2，728．(2009·辽宁改编)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知 A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为______________．解析 设D 点的坐标为（x ,y ）,由题意知BC →=AD →，即(2，－2)＝(x ＋2，y )，所以x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)． 答案 (0，－2)9．(2009·浙江改编)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0. ① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0. ②解①②得x ＝－79，y ＝－73.答案 ⎝⎛－79，－73 二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.（14分）（2009·江苏金陵中学三模）已知A （-2，4）、B （3，-1）、C （-3，-4）且 CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求点M 、N 及MN →的坐标. 解 ∵A (－2,4)、B (3，－1)、C (－3，－4)，).6,12(2),24,3()(3),3,6(),8,1(====∴==∴CB CN CA CM CB CA设M （x ，y ），则有CM =（x +3，y +4），∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3y ＋4＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝20， ∴M 点的坐标为(0,20)．同理可求得N 点坐标为(9,2)，因此MN =（9，-18），故所求点M 、N 的坐标分别为(0,20)、(9,2)，MN 的坐标为(9，－18)．11.（16分）（2010·江苏丹阳高级中学一模）已知A （-2，4），B （3，-1），C （-3，-4）.设 AB = a ，BC = b ，CA = c ，且=CM 3 c ,,-=CN 2b . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－1. 12.（16分）（2010·山东济宁模拟）在 ABCD 中，A （1，1），AB =（6，0）， 点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若A D →＝(3,5)，求点C 的坐标；(2)当|AB →|=|AD →|时，求点P 的轨迹． 解 (1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)， 又AB AD AC +=＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)． (2)由三角形相似,不准得出MP PC 2= 设P (x ，y )，则AB AP BP -=＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，),33,93()0,6())1(3),1(3(3)21(321321--=---=-=-+=+=+=y x y x AB AP AB AP AB MPAB MC AM AC |,|||AD AB = ∴ ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD . ,BP AC ⊥∴即（x -7，y -1）·（3x -9，3y -3）=0. 即（x -7）（3x -9）+（y -1）（3y -3）=0， ∴x 2+y 2-10x -2y +22=0（y ≠1）.∴（x -5）2+（y -1）2=4（y ≠1）.故点P 的轨迹是以（5，1）为圆心，2为半径的圆去掉与直线y =1的两个交点.§4.3 平面向量的数量积一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·常州模拟)向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(－sin 15°，－cos 15°)，则|a －b |的值是 __________．解析 由题设，|a |＝1，|b |＝1，a·b ＝－sin(15°＋15°)＝－12.∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋1－2×⎝⎛⎭⎫－12＝3.∴|a －b |＝ 3. 答案32.（2009·浙江温州十校联考）在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝a ，AB →＝c ，AC →＝b ， 则a·b ＋b·c ＋c·a ＝______________________. 解析 如图所示，a +c =b ， a ·b +b ·c +c ·a =b ·(a +c )+a ·c =b 2+a ·c =1+|a |·|c |cos 〈a ，c 〉 =1+cos 120°=.21答案213．(2010·广东韶关一中模拟)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＋b·b 的值为________． 解析 a·b ＋b·b ＝|a|·|b |·cos 60°＋|b |2＝1×2×2＋4＝5.答案 5 4．(2009·重庆改编)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是________． 解析 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12∴a 与b 的夹角为π3.答案 π35．(2009·福建福州期末)若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的 __________________条件． 解析 若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0⇔a·b －a·c ＝0 ⇔a·b ＝a·c . 答案 充要6.（2010·天津六校联考）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________心．解析 OA →·OB →＝OB →·OC →， 得OB →·OA →－OB →·OC →＝0，即OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →.同理可得OA →⊥BC →，OC →⊥AB →. ∴O 是三角形三条高线的交点．答案 垂7.（2008·江西理，13）直角坐标平面内三点A （1，2）、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅AF AE . 解析 ),9,6(=BC).6,4(32),3,2(31====∴BC BF BC BE又),4,2(-=AB.22)1(64),2,6(),1,4(=⨯-+⨯=⋅∴=+=-=+=∴AF AE BF AB AF BE AB AE答案 228．(2009·辽宁改编)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 a ＝(2,0)，故|a |＝2，|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2. ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝1， ∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.答案 2 39.（2009·陕西改编）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足AP =2PM →＝2PM →，则PA ·(PB →·(PB →＋PC →)＝________. 解析 M 是BC 的中点，则.94)32()(2)(22-=-=-=⋅=⋅=+⋅MA PA AP PA PM PA PC PB PA答案 －49二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·山东临沂一模)向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)． (1)求a·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值． 解 (1)a·b ＝cos 23°·cos 68°＋cos 67°·cos 22° ＝cos 23°·sin 22°＋sin 23°·cos 22°＝sin 45°＝22. (2)由向量b 与向量m 共线，得m ＝λb (λ∈R )，u ＝a ＋m ＝a ＋λb ＝(cos 23°＋λcos 68°，cos 67°＋λcos 22°) ＝(cos 23°＋λsin 22°，sin 23°＋λcos 22°)， |u |2＝(cos 23°＋λsin 22°)2＋(sin 23°＋λcos 22°)2＝λ2＋2λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ＋222＋12，∴当λ＝－22时，|u |有最小值为22.11．(16分)(2010·浙江台州月考)已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围． (1)证明 ∵(a －b )·c ＝a·c －b·c ＝|a|·|c |·cos 120°－|b|·|c |·cos 120°＝0， ∴(a －b )⊥c .(2)解 |k a ＋b ＋c |>1⇔|k a ＋b ＋c |2>1，⇔k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c >1.∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 相互之间的夹角均为120°，∴a 2＝b 2＝c 2＝1，a·b ＝b·c ＝a·c ＝－12，∴k 2＋1－2k >1，即k 2－2k >0，∴k >2或k <0.12．(16分)(2009·广东广州二模)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，－sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，sin x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 若函数f (x )＝a·b －12λ|a ＋b |的最小值为－32，求实数λ的值．解 ∵|a |＝1，|b |＝1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，cos x ∈[0,1]．∴a·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |＝2cos x .∴f (x )＝cos 2x －λcos x ＝2cos 2x －λcos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －λ42－λ28－1， ①当λ<0时，取cos x ＝0，此时f (x )取得最小值，并且f (x )min ＝－1≠－2，不合题意．②当0≤λ≤4时，取cos x ＝λ4，此时f (x )取得最小值，并且f (x )min ＝－λ281＝－32，解得λ＝2.③当λ>4时，取cos x ＝1，此时f (x )取得最小值，并且f (x )min ＝1－λ＝－32，解得λ＝52，不符合λ>4舍去，∴λ＝2.§4.4 平面向量的应用一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1.（2009·泰州实验一模）已知O 是四边形ABCD 所在平面内任一点，且||OB AO +＝|DO →＋OC →|，CD AB //,则四边形ABCD 的形状是____________________．解析 由条件知|,|||DC AB =又,//CD AB ∴AB 綊CD ，∴四边形为平行四边形．答案 平行四边形 2．(2010·日照模拟)给出下列命题：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相反或者相同； ②△ABC 中，必有;0=++CA BC AB③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是;DC AB =④若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a 、b 之一方向相同．其中正确的命题为________．解析 ①中未注意零向量所以①错误，在④中a ＋b 有可能为零向量，只有②③正确． 答案 ②③3.（2010·徐州模拟）已知向量OA =（1，-3），OB =（2，-1），OC =（m +1，m -2），若点 A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件是 . 解析 若点A 、B 、C 不能构成三角形，则只能共线．=AB OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(m ＋1，m －2)－(1，－3)＝(m ，m ＋1)． 假设A 、B 、C 三点共线，则1×(m ＋1)－2m ＝0，即m ＝1.∴若A 、B 、C 三点能构成三角形，则m ≠1. 答案 m ≠14．(2009·江苏南通模拟)已知向量m ＝(a －2，－2)，n ＝(－2，b －2)，m ∥n (a >0，b >0)，则 ab 的最小值是________．解析 由已知m ∥n 可得(a －2)(b －2)－4＝0，即2(a ＋b )－ab ＝0，∴4ab －ab ≤0，解得ab ≥4或ab ≤0(舍去)，∴ab ≥16.∴ab 的最小值为16.答案 165．(2010·无锡模拟)若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大 小为________．解析 设a ，b 的夹角为θ.∵a ·(a ＋b )＝1，∴a 2＋a ·b ＝1.又∵|a |＝2，a 2＋a ·b ＝1，∴a ·b ＝－1.cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4. 答案 3π46．(2010·江苏栟茶中学模拟)已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为 ________．解析 ∵a －b ＝(0，sin θ－cos θ)，∴|a －b |＝|sin θ－cos θ|＝2⎪⎪⎪⎪sin(θ－π4)≤ 2. ∴|a －b |的最大值为 2.答案 27.（2009·安徽理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．解析 建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，即).23,21(-B ． 设∠AOC =α,则OC ＝(cos α，sin α)．=OC xOA →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝⎛⎭⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎨⎧ x －y 2＝cos α，32y ＝sin α. ∴⎩⎨⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3， ∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)．∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°.∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值．答案 28．(2009·安徽文)在平行四边行ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AE AC λ=AF μ+设∠AOC=α,其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.解析 设,,b AD a AB ==那么AE ＝12a ＋b ， AF =a ＋12b ， 又∵AC →＝a ＋b ，AC ＝23),(AF AE + 即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案 439．(2009·湖南文)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 若,AC y AB x AD +=则x ＝___________________________，y ＝__________.解析 ,AC y AB x AD += 又,BD AB AD +=.)1(,AC y AB x BD AC y AB x BD AB +-=∴+=+∴ 又,AB AC ⊥.)1(2AB x AB BD -=⋅∴ 设,1||=AB 则由题意知.2||||==BC DE 又∵∠BED =60°,,26||=∴BD 显然BD 与AB 的夹角为45°. ∴由2)1(AB x AB BD -=⋅得 62×1×cos 45°＝(x －1)×12. ∴x ＝32＋1. 同理,在AC y AB x BD +-=)1(两边与数量积可得y ＝32. 答案 1＋32 32二、解答题(本大题共3小题，共46分) 10.（14分）（2009·沈阳二中二模）已知点A (2,3),B (5,4),C (7,10),若AC AB AP λ+= (λ∈R).试当λ为何值时,点P 在第三象限内?解 设AP ＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)AC AB λ+＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ) AC AB AP λ+=∴(x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. ∵P 在第三象限内∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋5λ<0，4＋7λ<0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ<－1，λ<－47.∴λ<－1，即λ<－1时，P 点在第三象限．11．(16分)(2010·扬州模拟)已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ. (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－k a ＋t b ，满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t的最小值．(1)证明 ∵a·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin(－θ)·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0. ∴a ⊥b . (2)解 由x ⊥y 得x·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，∴－k a 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0，∴k ＝t 3＋3t .∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114. 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114. 12．(16分)(2010·镇江模拟)如图所示，有两条相交成60°的直线xx ′、yy ′，其交点是O ，甲、乙两辆汽车分别在xx ′、yy ′上行驶，起初甲离O 点30 km ，乙离O 点10 km ，后来两车均以60 km/h 的速度，甲沿xx ′方向，乙沿yy ′方向行驶．(1)起初两车的距离是多少？(2)t 小时后两车的距离是多少？(3)何时两车的距离最短？解 (1)设甲、乙两车最初的位置为A 、B ， 则2||AB ＝|OA →|2＋|OB →|2－2|OA →||OB →|cos 60°＝700. 故||AB ＝700 km ＝107 km.(2)设甲、乙两车t 小时后的位置分别为P 、Q ， 则.60||,60||t BQ t AP ==当210≤≤t 时，2||PQ ＝(30－60t )2＋(10＋60t )2－2(30－60t )(10＋60t )cos 60°； 当21>t 时，2||PQ ＝(60t －30)2＋(10＋60t )2－2(60t －30)(10＋60t )cos 120°. 上面两式可统一为2||PQ ＝10 800t 2－3 600t ＋700， 即||PQ ＝10108t 2－36t ＋7 km.（3）因为||PQ ＝10108t 2－36t ＋7＝10108(t －16)2＋4， 故当t ＝16，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为20 km.。