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【⾼等代数】04-多项式环1. 多项式环1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。
虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。
以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。
先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。
要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。
a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。
系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。
另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。
有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。
为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。
系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。
由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。
环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。
ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2} 其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。
一元多项式环的举例一元多项式环是一种数学概念，它是由一组多项式和一组运算构成的代数结构。
在一元多项式环中，多项式的系数属于某个数域，通常是实数域或复数域。
下面我将列举10个例子，以帮助您更好地理解一元多项式环。
1. 例子一：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于实数域。
一个简单的例子是多项式环R[x]，其中R是实数域。
在这个环中，多项式的系数可以是实数，而变量x是多项式的未知数。
2. 例子二：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于复数域。
一个常见的例子是多项式环C[x]，其中C是复数域。
在这个环中，多项式的系数可以是复数，而变量x是多项式的未知数。
3. 例子三：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有理数域。
一个典型的例子是多项式环Q[x]，其中Q是有理数域。
在这个环中，多项式的系数可以是有理数，而变量x是多项式的未知数。
4. 例子四：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于整数环。
一个常见的例子是多项式环Z[x]，其中Z是整数环。
在这个环中，多项式的系数可以是整数，而变量x是多项式的未知数。
5. 例子五：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限域。
一个典型的例子是多项式环F[x]，其中F是有限域。
在这个环中，多项式的系数可以是有限域中的元素，而变量x是多项式的未知数。
6. 例子六：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于布尔环。
一个简单的例子是多项式环B[x]，其中B是布尔环。
在这个环中，多项式的系数只能是0和1，而变量x是多项式的未知数。
7. 例子七：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限整数环。
一个典型的例子是多项式环Z/nZ[x]，其中Z/nZ是有限整数环。
在这个环中，多项式的系数可以是有限整数环中的元素，而变量x是多项式的未知数。
8. 例子八：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限域的扩域。
一个常见的例子是多项式环F[x]/(f(x))，其中F是有限域，f(x)是F[x]中的一个不可约多项式。
多项式环与整除性质的应用多项式环是现代代数学中的一个重要概念，它在数论、代数几何以及密码学等领域中都有广泛的应用。
本文将探讨多项式环与整除性质的应用，并介绍一些相关的理论知识和实际案例。
一、多项式环的定义与性质在开始讨论多项式环的应用之前，我们需要先了解多项式环的基本概念和性质。
多项式环是由一组多项式构成的环结构，记作F[x]，其中F表示系数的域。
例如，当F为实数域时，多项式环F[x]就是实系数多项式的集合。
多项式环具有加法和乘法运算，同时满足环的乘法结合律、分配律等性质。
每个多项式在 F[x] 中都有唯一的表示形式，即多项式的系数可以唯一确定该多项式。
二、多项式环的整除性质在多项式环中，我们可以类似于整数环中的“整除”的概念，引入多项式的整除关系。
定义：设f(x)、g(x)为多项式环F[x]中的多项式，如果存在多项式h(x)，使得f(x)=g(x)·h(x)，则称g(x)整除f(x)，记作g(x)|f(x)。
多项式环的整除性质与整数环类似，具有以下性质：1. 整除的传递性：如果g(x)|f(x)，且h(x)|g(x)，则h(x)|f(x)。
2. 单位元：任意非零多项式f(x)都整除它自身。
3. 零因子与不可约元：如果g(x)是一个零因子，即存在另一个非零多项式h(x)，使得g(x)·h(x)=0，则g(x)不能整除任何非零多项式。
如果g(x)既不是单位元，也没有零因子，则称其为不可约元。
三、多项式环的应用1. 因式分解多项式环的一个重要应用是因式分解。
通过将一个多项式分解为若干不可约元的乘积，我们可以更好地理解和研究多项式的性质。
例如，考虑一个多项式f(x)=x^2-1，我们可以将其分解为(x+1)(x-1)。
通过因式分解，我们可以更清晰地理解多项式的根、零点等重要概念。
2. 方程求解多项式环的另一个应用是解方程。
对于给定的多项式方程，我们可以通过因式分解和零点的性质来求解方程的解。
多项式环的定义设0R 是一个含有单位元01R 的可变换环。
又设R 是0R 的子环且R R ∈01，现考察0R 中含R 及 任取定元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα显然每个()0100R a a a a f n n ni ii ∈+++==∑=αααα .定义 1. 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个子环) ()()∑∑====∀nj jjm i i ib g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当n m )()()()∑=+=+nj j j jb ag f 0ααα, 必定假设 021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中 ∑=+=kj i jik ba C又 ()()∑∑==-=-=-mi i i mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,, ∴ []α∙R 确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环) 定义2. 如果上方得到的环[]αR 叫做R 上的α的多项式环.显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么 []2Z 中的零元()()2222200+-=+=α. ∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:()02210=++++=n n a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论. 定义3. 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni ii ,022100αααα( 即002100=====⇔=∑=n ni ii a a a a a α) .否则称α为R 上的代数元. 习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的问题.定义4. 设()()0210≠++++=n nn a x a x a x a a f α为环R 上的一元多项式.那么 非负整数n 叫做多项式()a f 的次数.若()0=x f ,记为没有()αf 没有次数。
多项式环的定义多项式环是数学中的一个重要概念，它在代数学、数论、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍多项式环的定义及其相关概念，以及它在代数学中的重要性。
多项式环是由一组多项式构成的环。
在代数学中，环是一种特殊的数学结构，它包含了加法和乘法运算，并满足一定的运算规则。
多项式环是一种特殊的环，它由多项式构成。
在多项式环中，多项式是基本的元素。
一个多项式由一组系数和一组指数构成。
系数可以是实数、复数或其他代数结构中的元素，而指数则是非负整数。
多项式的形式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式，a_n到a_0表示系数，x^n到x^0表示指数。
多项式环中的加法运算是多项式的系数相加，乘法运算是多项式的系数相乘并按指数相加。
例如，多项式环中的两个多项式P(x)和Q(x)的加法和乘法可以表示为：P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)P(x) * Q(x) = (a_n * b_m)x^{n+m} + (a_n * b_{m-1} + a_{n-1} * b_m)x^{n+m-1} + ... + (a_1 * b_0 + a_0 * b_1)x + a_0 * b_0多项式环的定义可以推广到多个变量的情况。
在多变量的多项式环中，每个多项式的变量可以是不同的，而系数和指数的定义与一元多项式环相同。
多项式环在代数学中有着广泛的应用。
它是一种重要的代数结构，可以用来研究和解决各种代数问题。
在线性代数中，多项式环可以用来表示和求解线性方程组。
在数论中，多项式环可以用来研究数的性质和素性。
在计算机科学中，多项式环可以用来设计和分析算法，解决各种计算问题。
多项式环的性质和运算规则在代数学中有着重要的地位。
-多项式环————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:ﻩ§６ 多项式环我们已经有了一般环的定义,现在要认识一种特殊的环——多项式环.这种环在数学里非常重要．设0R 是一个有单位元的交换环，R 是环0R 的子环,且R 包含环0R 的单位元． 设n 为非负整数，0R α∈,,0,1,,i a R i n ∈=，则01010.n n a a a R ααα+++∈定义 一个可以写成()01,n n i a a a a R n αα+++∈为非负整数形式的0R 的元叫做R 上的α的一个多项式．i a 叫做多项式的系数． 把所有R 上的α的多项式所作成的集合，用[]R α表示.注意到当m n <时，1010100m m m n m m a a a a a a αααααα++++=++++++，故当我们只考虑[]R α的有限多个多项式的时候,可以假定这些多项式的项数都是一样的.对于[]R α的两个元相加相乘有如下公式：()()()()()01010011,n n n n n n n aa ab b b a b a b a b αααααα+++++++=++++++()()010101,m n m n m n m n aa ab b bc c c αααααα++++++++=+++其中0110.k k k k i ji j kc a b a b a b a b -+==+++=∑于是,[]R α对加法和乘法来说都是闭的.又因()[]0101n n n a a a a a a R ααααα-+++=----∈，故[]R α是一个环.[]R α是环0R 的一个子环,且是包括R 和α的最小子环. 定义 []R α叫做R 上的α的多项式环． 在[]R α中取一个元01n a a a αα+++,当01,,,n a a a 不全为零时，可能有010.n n a a a αα+++=如，当R α∈时，取01,1a a α==-,则()0110.a a ααααα+=+-=-=定义 0R 的一个元x 叫做R 上的一未定元，如果在R 里不存在不全为零的元01,,,na a a 使得010.n n a a x a x +++=R 上未定元的x 的多项式（简称一元多项式式）只能用一种方法写成()01n n i a a x a x a R +++∈的形式（不计系数是零的项）.定义 设01,0n n n a a x a x a +++≠是环R 上的一个一元多项式，那么非负整数n 叫做这个多项式的次数．多项式0没有次数． 对于给定的0R ,0R 不一定含有R 的未定元．例 R 整数环,0R 包含所有(),a bi a b +是整数的整环.对于0R 的每一个元a bi α=+来说，22,2a b R a R +∈-∈,但()()()()()()22222222222222220.ab a a b a a bi a bi a b a abi a abi b αα++-+=++-+++=+--++-=定理 设R 是一个有单位元的交换环,则存在R 上的未定元x ，从而存在R 上的一元多项式环[].R x证 1.利用R 作一个环.P 设(){}01,,|,0,1,,0i i P a a a R i a =∈=≠但只有有限个，P 的元素()01,,a a 是一个无穷序列.设()()0101,,,,,a a b b P ∈,规定当且仅当,0,1,i i a b i==时,()()0101,,,,.a a b b =规定一个加法;()()()01010011,,,,,,a a b b a b a b +=++,这是P 的一个代数运算，且P 对这个加法来说作成一个加群,其零元是()0,0,.再规定一个乘法：()()()010101,,,,,,a a b b c c =,其中0110,0,1,.k k k k c a b a b a b k -=+++=易知这也是P 的一个代数运算,这个乘法适合交换律.下面证明,这个乘法还适合结合律,即证明()()()()()()010*********,,,,,,,,,,,,.a a b b c c a a b b c c =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦按照乘法定义，()()()010101,,,,,,a a b b d d =，这里,0,1,.m i ji j md a b m +===∑故()()()()()()010*********,,,,,,,,,,,,a a b b c c d d c c e e ==⎡⎤⎣⎦,这里,0,1,.n m k i j k i j k i j k m k nm k n i j m m k n i j m i j k ne d c a b c a b c a b c n +=+=+=+=+=++=⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑对()()()010101,,,,,,a a b b c c ⎡⎤⎣⎦进行计算,结果也是一样的.这两个运算还适合分配律：()()()()()()()01010101010101,,,,,,,,,,,,,,.a a b b c c a a b b a a c c +=+⎡⎤⎣⎦这是因为()()()()()()01010101001101,,,,,,,,,,,,a a b b c c a a b c b c d d +=++=⎡⎤⎣⎦,这里()(),0,1,.k ijj iji j i ji ji j ki j ki j ki j kd a bc a ba c ab ac k +=+=+=+==+=+=+=∑∑∑∑而()()()010101,,,,,,a a b b e e =，()()()010101,,,,,,,a a c c f f =这里,0,,0,1,.k i jki ji j ki j ke a b k fa c k +=+=====∑∑从而()()()()()()()0101010101010011,,,,,,,,,,,,,,.a ab b a ac c e e f f e f e f +=+=++易知,,0,1,k k i jijk i j ki j ke f a b a cd k +=+=+=+==∑∑，故()()()()()()()01010101010101,,,,,,,,,,,,,,.a a b b c c a a b b a a c c +=+⎡⎤⎣⎦因此,P 作成一个交换环．在P 有如下等式： (1） ()()()0010001,0,0,,,,,.a b b a b a b =特别地，有()()()01011,0,0,,,,,.b b b b =故P 有单位元()1,0,0,.2.利用P 作出一个包含R 的环P ．由(1）式可得 (２） ()()(),0,0,,0,0,,0,0,.a b ab = 由假法定义 （3) ()()(),0,0,,0,0,,0,0,.a b a b +=+ 由(2）和(３)得(){},0,0,|R a a R =∈是环P 的一个子环,且():,0,0,R Ra aϕ→是环R 与环R 间的的一个同构映射.因R 与P 没有共同元,故R 与R 在P 里的补足集合\P R 也没有共同元,故由挖补定理，我们可以用R 来代替R ,而得到一个与环P 同构且包含R 的环P .因P 是一个有单位元的交换环，故P 也是一个有单位元的交换.且环P 与环P 间的同构映射下,P 的单位元()1,0,0,的象1（这是环R 的单位元）就是环P 的单位元．ﻬ３.最后证明,P包含R 的未定元．令()0,1,0,0,x =，则x P ∈.下面用数学归纳法证明,对任意正整数k ，有(４） (0,,0,1,0,).k k x =个当1k =时，结论是正确的.假设对于1k -(2k ≥）结论是正确的，那么()11010,1,0,(0,,0,1,0,),,,k k k i j i j i j i j x xx a b a b --+=+===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑个其中,1,1,0,0,2,3,4,i i a i =⎧=⎨=⎩，1,1,0,0,1,,2,,1,.j j k b j k k k =-⎧=⎨=-+⎩故1,,0,0,1,,1,1,2,.i j i j s s k a b s k k k +==⎧=⎨=-++⎩∑于是，(0,,0,1,0,).k k x =个设在环P 里,()010,n n i a a x a x a R +++=∈，则在环P 里()()()()01,0,,0,,0,0,0,.n n a a x a x +++=于是,由（４)和(1）得()()01,,,,0,0,0,.n a a a =从而010n a a a ==+=.这就证明了x 是R 上的未定元．习题解答(Ｐ109)1. 证明, 假定R 是一个整环，那么R 上的一个多项式环][x R 也是一个整环.证 R ！是交换环][x R ⇒交换环, R 有单位元11⇒是][x R 的单位元, R 没有零因子][x R ⇒没有零因子事实上,0,)(10≠++=a x a x a a x f nn0,)(10≠++=m mm b x b x b b x g则mn m n x b a b a x g x f +++= 00)()(因为R 没有零因子,所以0≠m n b a 因而0)()(≠x g x f 这样][x R 是整环2. 假定R 是模7的剩余类环,在][x R 里把乘积 ])3[]4])([4[]5[]3([23+--+x x x x 计算出来解 原式＝]2[]5[]4[]5[]5[]5[]3[]5[345345++++=-++-x x x x x x x x3. 证明:（ⅰ) ],[],[1221ααααR R =(ⅱ) 若n x x x ,,,21 是R 上的无关未定元,那么每一个i x 都是R 上的未定元. 证 （ⅰ)=],[21ααR {一切}211221i i i i aαα∑{],[12=ααR 一切}112212j j j j aαα∑由于=∑211221i i i i aαα112212j j j j a αα∑ 因而=],[21ααR ],[12ααR（ⅱ)设00=∑=nk ki k x a 即∑=+-nk n i h i i k x x x x x a 00010101因为n x x x ,,21是R 上的无关未定元,所以即i x 是R 上的未定元4. 证明:（ⅰ) 若是n x x x ,,21和n y y y ,,21上的两组无关未定元,那么],,[],,[2121n n y y y R x x x R ≅(ⅱ) R !上的一元多项式环][x R 能与它的一个真子环同构. 证 (ⅰ)),,(),,(:2121n n y y y f x x x f →φ根据本节定理3 ],,[~],,[2121n n y y y R x x x R容易验证),,(),,(212211n n x x x f x x x f ≠),,(),,(212211n n y y y f y y y f ≠⇒这样],,[],,[2121n n y y y R x x x R ≅(ⅱ)令{][=x R 一切}2210nn x a x a a +++显然][][2x R x R ⊂ 但][2x R x ∉不然的话m m m m x b x b x b x b x b b x 22102210 ++-⇒++=这与x 是R 上未定元矛盾. 所以][2x R 是][x R 上未定元显然 故有（ⅰ)}[][2x R x R ≅这就是说，][2x R 是][x R 的真子环,且此真子环与][x R 同构.。
