人教版高一数学下学期三角函数的图像和性质共30页

1.3三角函数的图象与性质知识梳理1.正弦函数的图象和性质 (1)图象：如图1-3-1所示.图1-3-1(2)性质定义域：R .值域：［-1，1］. 当x=2kπ+2π(k ∈Z )时，y 取最大值1；当x=2kπ-2π(k ∈Z )时，y 取最小值-1. 周期性：周期函数，周期为2π.奇偶性：奇函数.单调性：单调递增区间是［2kπ-2π,2kπ+2π］；单调递减区间是［2kπ+2π,2kπ+23π］(k ∈Z ).2.周期函数一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，总有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.规定：在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的最小正周期. 3.四种变换画图方法 (1)振幅变换：对于函数y=Asinx(A ＞0,A≠1)的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.(2)周期变换：对于函数y=sinωx (ω＞0,ω≠1)的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到的. (3)相位变换：对于函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位得到的.(4)平移变换：对于函数y=sinx+b 的图象，可以看作是把y=sinx 的图象上所有的点向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b|个单位得到的. 4.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b(A ＞0,ω＞0)的图象和性质 (1)有关概念：在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)中，A 叫振幅，T=ωπ2叫周期，f=πω2叫频率，ωx+φ叫相位，φ叫初相.(2)正弦型函数的图象常见画法：五点法和变换法. 五点法步骤：①列表(ωx+φ通常取0,2π,π,23π,2π这五个值)；②描点；③连线.变换法：(常用的变换步骤)①(相位变换)先把y=sinx 的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位，得函数y=sin(x+φ)的图象；②(周期变换)再把函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，得函数y=sin(ωx+φ)的图象； ③(振幅变换)再把函数y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)，得函数y=Asin(ωx+φ)的图象；④(上下平移变换)再把函数y=Asin(ωx+φ)的图象上所有点向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b|个单位，得函数y=Asin(ωx+φ)+b 的图象. (3)性质：定义域：R .值域：［-A,A ］.当x=ωϕππ-+22k (k ∈Z )时，y 取最大值A+b ；当x=ωϕππ-+22k (k ∈Z )时，y 取最小值-A+b.周期性：周期函数，周期为ωπ2.奇偶性：当且仅当φ=kπ(k ∈Z )且b=0时，函数y=Asin(ωx+φ)+b 是奇函数，否则不是奇函数；当且仅当φ=kπ+2π(k ∈Z )时，函数y=sin(ωx+φ)+b 是偶函数. 单调性：单调递增区间是［ωϕππ-+22k ,ωϕππ-+22k ］(k ∈Z )； 单调递减区间是［ωϕππ-+22k ,ωϕππ-+22k ］(k ∈Z ) 5.余弦函数、正切函数的图象和性质y=cosxy=tanx图象定义域R{x|x≠kπ+2π,k ∈Z } 值域 ［-1,1］ 当x=2k π(k ∈Z )时，y 最大值为1R (无最大值，无最小值)当x=2kπ+π(k ∈Z )时，y 最小值为-1周期性 2π π 奇偶性 偶函数奇函数单调性在［(2k-1)π,2kπ］上是增函数；在［2kπ,(2k+1)π］上是减函数(k ∈Z )在(-2π+kπ,2π+kπ)上是增函数(k ∈Z ) 6.用arccsinx,arccosx,arctanx 表示角当sinα=x ，x ∈［-1,1］,α∈［-2π,2π］时，α=arcsinx ； 当cosα=x ，x ∈［-1,1］,α∈［0,π］时，α=arccosx ； 当tanα=x ，x ∈R ,α∈(-2π,2π)时，α=arctanx. 知识导学学好本节有必要复习三角函数的定义和三角函数线，这是讨论三角函数性质、画三角函数图象的基础.在学习中，重视应用化归的数学思想，自觉地运用数形结合解决三角问题. 疑难突破1.如何理解arcsinx 、arccosx 、arctanx ？剖析:疑点是这三个符号到底是表达了什么，arcsinx=(arc)×(sinx) 吗？其突破方法是明确这三个符号是如何规定的.(1)根据正弦函数的图象及性质，为了使符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x 有且只有一个，选择区间［-2π,2π］作为基本范围，在这个闭区间上符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x ，叫做实数a 的反正弦，记作x=arcsina.因此arcsina,x ∈［-1,1］表示在［-2π,2π］上正弦值为a 的角，即arcsina ∈［-2π,2π］，且sin(arcsina)=a,a ∈［-1,1］.例如：arcsin 21表示在［-2π,2π］上正弦值为21的一个角，由于在［-2π,2π］上正弦值为21的角仅有6π，则arcsin 21=6π.(2)根据余弦函数的图象及性质，为了使符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x 有且只有一个，选择区间［0,π］作为基本范围，在这个闭区间上符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作x=arccosa,即arccosa=x,a ∈［-1,1］，表示在［0,π］上余弦值为a 的角，即arccosa ∈［0,π］，且cos(arccosa)=a,a ∈［-1,1］.例如：arccos(-23)表示在［0,π］上余弦值为-23的一个角，由于在［0,π］上余弦值为-23的角仅有65π，则有arccos(-23)=65π. (3)根据正切函数图象及性质，为了使符合条件tanx=a(a ∈R )的角x 有且只有一个，选择区间(-2π,2π)作为基本范围，在这个区间内，符合条件tanx=a(a ∈R )的角x ，叫做实数a 的反正切，记作x=arctana ，即arctana ∈R ，表示在(-2π,2π)上，正切值为a 的唯一角，即arctana ∈(-2π,2π)，且tan(arctana)=a,a ∈R .例如：arctan(-1)表示在(-2π,2π)上正切值为-1的一个角，由于在(-2π,2π)上正切值为-1的角仅有-4π，则有arctan(-1)=-4π.由此可见：arcsinx 、arccosx 、arctanx 都是角；并且这些角都分别在特定范围内；它们的同名三角函数值等于x.arcsinx 不能写成(arc)×(sinx)，arccosx 不能写成(arc)×(cosx)，arctanx 不能写成(arc)×(tanx)，也就是这三个符号是一个整体，如果拆开，就没有什么意义了. 2.由函数y=sinx 的图象经过怎样的变换得到函数y=sin(ωx +φ)(ω＞0)的图象？ 剖析:由y=sinx 的图象变换出y=sin(ωx +φ)的图象一般有两个途径.途径一：先相位变换，再周期变换先将y=sinx 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(纵坐标不变)，得y=sin(ωx +φ)的图象. 途径二：先周期变换，再相位变换先将y=sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(纵坐标不变)；再将得到的图象沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位，便得y=sin(ωx +φ)的图象.疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x 轴平移的单位长度不同.其突破口是化归到由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换得到函数y=f(ωx+φ)的图象.只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.若按途径一有：先将y=f(x)的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位，得函数y=f(x+φ)的图象；再将函数y=f(x+φ)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得y=f(ωx+φ)的图象.若按途径二有：先将y=f(x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍，得函数y=f(ωx )的图象；再将函数y=f(x+φ)的图象上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ωϕ||个单位，得y=f(ωx+φ)的图象.若将y=f(x)的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，得函数y=f(ωx )的图象；再将函数y=f(ωx )的图象上各点沿x 轴向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位，得到y=f ［ω(x+φ)］的图象，即函数y=f(ωx+ωφ)的图象，而不是函数y=f(ωx+φ)的图象.例如：由函数y=sinx 的图象经过怎样的变换得到函数y=sin(2x+3π)的图象？ 方法一：(先相位变换，再周期变换)先将y=sinx 的图象向左平移3π个单位得函数y=sin(x+3π)；再将函数y=sin(x+3π)图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得y=sin(2x+3π)的图象.方法二：(先周期变换，再相位变换)先将f(x)=sinx 的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，得函数f(2x)=sin2x 的图象；再将函数f(2x)=sin2x 的图象上各点沿x 轴向左平移6π个单位，得f ［2(x+6π)］=sin2(x+6π)的图象，即函数y=sin(2x+3π)的图象.在方法二中，得到函数f(2x)=sin2x 的图象后，如果把f(2x)=sin2x 图象沿x 轴向左平移3π个单位，得f ［2(x+3π)］=sin2(x+3π)的图象，即函数y=sin(2x+32π)的图象，而不是函数y=sin(2x+3π)的图象.由以上可见，利用变换法作y=Asin(ωx+φ)的图象时，通常先进行相位变换，后进行周期变换，这样可避免出错.由于容易出错，因此是高考题和模拟题的热点之一.。

1
2 3
2
2
1 2
3 2
2
y cos x，x R
3 2
2
正、余弦函数的性质
y
2
sin
1 2
x
4
④周期性：形如y Asin x 或y Aco1sx 的
函数的周期T 2 .
2 1
3 2 5 3 7 4
2
2
2
2
y sin 2x 1
1
2 3 2
2 1
2
3 2
例1：已知函数y
Asin x A
0，
0，
2
，x
R
的部分图像，求函数解析式.
解：由图知A 2.
又 T 3 1 2，故T 8， 即 2 8， .
4
4
令 1 = 得= .
4
2
4
综上得，y
2sin
4
x
4
.
例2：函数f
x
Asin
x
0，
2
，x
R
的部分图像如图，则函数表达式为（
x
0
4
3
2
4
2x
0
3
2
2
2
y sin 2x
0
1
0
1
0
五点：0，0， 4 ，1， 2 ，0，
3
4
，1，，0.
1
3 2
2 1 2
2
五点作图法
例1：用“五点法”作y
2sin
1 2
x
4
，x
2
，7 2
的图像.
x
3
5
7
2
2

(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；

『规律总结』 利用诱导公式(一)求三角函数值： (1)解此类问题的方法是先借助于终边相同的角的诱导公式把已知角化归到 [0,2π)之间，然后利用公式化简求值．在问题的解答过程中，重在体现数 学上的化归(转化)思想． (2)要熟记特殊角的三角函数值，这是解题的基础．
第一章 三角函数
〔跟踪练习 3〕求值： (1)sin(－1 740°)cos1 470°＋cos(－660°)sin750°＋tan405°； (2)sin2174π＋tan2(－116π)tan94π.
(4)若 sinα＝sinβ，则必有 α＝β.( × )
(5)若 α 是第二象限角，且 P(x，y)是其终边上一点，则 cosα＝－
x .( ×
x2＋y2
)
2
2
2．若角 α 的终边与单位圆相交于点( 2 ，－ 2 )，则 sinα 的值为( B )
2 A． 2
2 B．－ 2
1 C．2
D．－1
2
2
2
y (2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)是单位圆上点，则 sinα＝y，cosα＝x，tanα＝x.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)不是单位圆上一点，则先求 r＝ x2＋y2，再求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x
sinα＝ r，cosα＝ r.
(4)若已知角 α 终边上点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
y
y
___x___叫做 α 的正切，记作 tanα，即 tanα＝x(x≠0)．
第一章 三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值 的函数．
③由三角形相似的知识，我们也可以利用角 α 终边上任意一点的坐标来定义三角函 数．