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算法分析与设计(第2版)分支限界法

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算法分析与设计分支限界法

算法分析与设计分支限界法

算法分析与设计分支限界法分支限界法是一种常用的优化算法，它通过剪枝和分支的方式在空间中找到最优解。

在算法设计与分析中，分支限界法在求解组合优化问题和图论问题中有广泛应用。

分支限界法的基本思想是将问题划分为一个个子问题，并对每个子问题进行求解，同时通过剪枝操作减少空间。

算法从一个初始状态开始，通过扩展子节点来生成树。

在每个节点上，先判断该节点是否需要剪枝操作。

如果需要剪枝，则舍弃该节点及其子节点；如果不需要剪枝，则继续扩展该节点为新的可能解。

通过不断扩展和剪枝操作，最终找到最优解。

分支限界法的核心是选择一个合适的策略来确定节点的扩展顺序。

常用的策略包括优先级队列、最小堆、最大堆等。

这些策略可以根据问题的性质和特点来选择，以保证效率。

同时，剪枝操作也是分支限界法中关键的一环。

剪枝操作有多种方式，如上界和下界剪枝、可行剪枝、标杆剪枝等。

通过剪枝操作，可以减少空间，提高算法的效率。

分支限界法的时间复杂度通常是指数级别的，因为每个节点需要根据策略进行扩展，并进行剪枝操作。

然而，通过合理选择策略和剪枝操作，可以显著减少空间，降低时间复杂度。

此外，分支限界法还可以通过并行计算等技术进一步提高效率。

分支限界法在求解组合优化问题中有广泛应用。

组合优化问题是在有限的资源条件下，通过组合和选择来达到最优解的问题。

例如，旅行商问题、背包问题等都是经典的组合优化问题，而分支限界法可以在有限的时间内找到最优解。

在图论问题中，分支限界法也有重要的应用。

例如，最短路径问题、图着色问题等都可以通过分支限界法求解。

总之，分支限界法是一种基于和剪枝的优化算法，通过合理选择策略和剪枝操作，在有限的时间内找到最优解。

该算法在组合优化问题和图论问题中有广泛应用，可以有效提高问题求解的效率。

在实际应用中，可以根据问题性质和特点选择合适的策略和剪枝操作，以达到最佳的求解效果。

算法设计与分析 分支限界

算法设计与分析 分支限界


…
13
纲要
一、分支限界的基本思想
二、背包问题
三、P和NP
14
问题定义

0-1背包问题
给定n个物品，商品i有两个属性i 和i ，分别代表重量和价格，
背包所承受的物品重量为W
0-1背包问题的目的是要选择一个物品的子集，使其总重量≤W，而价值最大。

解空间
假设解可以有向量（ , ,…, ）表示， ∈{0,1}， =1表示物品i被放进
（成为死节点），把剩下来的节点加到活节点的表中，然后，从这个
表中选一个节点作为下一个扩展节点。
7
分支限界法
从活节点的表中选一个节点并扩展它。这个扩展操作持续到找到解或这
个表为空为止。
选择下一个扩展节点的方法∶
1)先进先出(FIFO)
这个方法是按节点放进表中的次序从活节点表中选择节点。这个活节点
表可被看作一个队列。使用广度优先来搜索这个棵树。
在这个节点上我们得到的下界大于或等于上界，那么就没有必要在扩
展这个节点既不需在延伸这个分支。
·对于最大化问题规则正好相反:一旦上界小于或等于先前确定的下界，
那么就剪掉这个枝。
4
分支限界法
·首先，分支限界是对最优化问题可行解进行剪枝的一个方法。
·将搜索集中在有希望得到解的分支上。也就是说，在基于上下界和可
时，活节点表可用一个最大堆来表示。下一个扩展节点为最大收益的节点。
9
解空间树
扩展节点

死节点

活节点

success
10
分支限界法

使用分支限界法至少需要注意以下几点：
1．怎么样计算上界，极大值问题；

分支限界法求解单源最短路径

分支限界法求解单源最短路径

一道难题：如何用分支限界法求解单源最短路径单源最短路径问题是图论中的经典问题之一，不仅在实际生活中有广泛应用，而且对于算法设计和分析也有重要价值。

分支限界法是一种解决最短路径问题的强有力工具。

在这篇文章中，我们将详细介绍如何用分支限界法求解单源最短路径问题。

首先，我们需要了解单源最短路径问题的定义。

给定一个有向图和一个起点s，对于图中的每一个顶点v，找到从s到v的最短路径。

这里的最短路径是指从s到v经过的边权之和最小的路径。

接下来，我们可以按照以下步骤实现用分支限界法求解单源最短路径问题：1. 初始化距离数组dist[]，将s到其他所有点的距离设置为无穷大，将s到自己的距离设置为0。

2. 将起点s加入优先队列，队列中的元素按照距离dist[]从小到大排序。

3. 从优先队列中取出距离最小的顶点u，并遍历u的邻居节点v。

如果从s到v的距离可以通过从s到u再到v的路径更优，则更新dist[]数组和优先队列中的元素。

4. 重复步骤3，直到队列为空或者找到终点。

如果找到终点，则最优解就是dist[]数组中终点的值。

上述步骤中，第3步的优化是通过分支限界法实现的。

我们利用了贪心策略，并将目标函数设为从s到u的最短路径距离加上从u到v 的边权。

对于每一个节点u，我们只扩展目标函数值最小的那条边。

这样可以大幅度减少搜索空间，提高算法效率。

在实际应用中，分支限界法不仅可以求解单源最短路径问题，还可以应用于其他的组合优化问题中。

希望读者能够在掌握了基本理论和算法之后，加深对于分支限界法的理解，从而更好地解决实际问题。

《计算机算法设计与分析》分支限界法PPT83页

《计算机算法设计与分析》分支限界法PPT83页

46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
《计算机算法设计与分析》 分支限界法
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功定 。

算法设计与分析 王红梅 第二版 第9章 分支限界法

算法设计与分析 王红梅 第二版 第9章 分支限界法

4 × w=11 无效解
6 w=9, v=65 ub=69
8 w=12 无效解
2015/11/4
7 w=4, v=40 ub=64 9 w=9, v=65 ub=65
图9.1 0/1背包问题
10
×
Branch and Bound Method
分支限界法的设计思想

分支限界法的搜索过程如下：



在根结点1 没有物品装入背包，w=0,v=0 限界函数值：ub=0+(10-0)=10×10=100 在结点2 物品1装入背包，w=w1=4，v=40 目标函数值:ub=40 + (10-4)×6=76 将结点2加入待处理结点表PT中 在表PT中选取目标函数值取得 在结点3 极大的结点2 优先进行搜索； 物品1不装入背包， w=0,v=0 目标函数值: 10ub=0+(10-0)×6＝60， 将结点3加入表PT中
2015/11/4
Branch and Bound Method
16
分支限界法的设计思想
分支限界法的一般过程 1．根据限界函数计算目标函数的 [down，up]； 2．将待处理结点表PT 初始化为空； 3. 对根结点的每个孩子结点x执行下列操作 3.1 估算结点x的目标函数值value; 3.2 若（value>=down）,则将结点x加入表PT中； 4．循环直到某个叶子结点的目标函数值在表PT中最大 4.1 i=表PT中值最大的结点； 4.2 对结点i的每个孩子结点x执行下列操作 4.2.1 估算结点x的目标函数值value； 4.2.2 若(value>=down)，则将结点x加入表PT中； 4.2.3 若（结点x是叶子结点且value值在表PT中最大），则将结 点x对应的解输出，算法结束； 4.2.4 若 ( 结点 x 是叶子结点但 value 值在表 PT 中不是最大 ), 则令 down=value，并且将表PT中所有小于value的结点删除；

分支限界法概述_计算机常用算法与程序设计教程（第2版）_[共2页]

分支限界法概述_计算机常用算法与程序设计教程（第2版）_[共2页]

185
第8
章
分支限界法
分支限界法（branch and bound method ）是一种按层次遍历（广度优先）次序搜索解空间树求解最优化的搜索算法。

本章简要介绍分支限界法，并应用分支限界设计求解迷宫的最短通道、装载问题、0-1背包问题与8数码游戏等典型案例。

8.1 分支限界法概述
分支限界法与回溯法类似，是在问题的解空间树上搜索问题解的算法。

这两个算法在求解目标上不同：回溯法的求解目标是找出解空间树上满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标是找出满足条件的一个解，或是在满足约束条件下找出某一函数值达到极大或极小的解，即某种意义下的最优解。

由于求解目标不同，导致这两个算法在搜索次序不同：回溯法按前序遍历（深度优先）次序搜索解空间树，而分支限界法按层次遍历（广度优先）次序或以最优条件优先方式搜索解空间树。

广度优先与深度优先搜索示意如图8-1所示。

图8-1 广度优先与深度优先搜索示意图
1．分支限界策略组成
分支限界法由“分支”策略与“限界”策略两部分组成。

（1）“分支”策略体现在对问题解空间按广度优先的策略进行搜索。

“分支”是采用广度优先的策略，依次搜索活结点的所有分支，也就是所有相邻结点。

在生成的结点中，抛弃那些不满足约束条件或不可能导出可行解的结点，其余结点加入活结点表。

然后。

算法分支限界法货郎担问题解法

标题：算法分支限界法在货郎担问题中的应用摘要：分支限界法是一种高效的解决组合优化问题的算法，本文将详细介绍分支限界法在货郎担问题中的应用，包括问题的描述、算法原理、实现步骤以及案例分析等内容。

一、问题描述货郎担问题，又称为旅行商问题（TSP），是一个经典的组合优化问题。

问题的描述为：有n个城市，货郎担需要从一个城市出发，经过所有的城市且只经过一次，最后回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。

这是一个NP-hard问题，传统的穷举法在城市数量较大时难以找到最优解。

二、算法原理分支限界法是一种以深度优先搜索为基础的优化算法。

其核心思想是根据当前问题状态的下界（或上界）对搜索空间进行剪枝，从而减少搜索空间，提高搜索效率。

在货郎担问题中，分支限界法通过动态规划的方式记录已经访问过的城市，从而避免重复计算，同时利用启发式信息（如最近邻居、最小生成树等）进行路径选择，不断更新路径的下界，直至找到最优解或者搜索空间被完全剪枝。

三、实现步骤1. 初始化：设置初始的城市路径、已访问城市集合、路径长度、下界等参数。

2. 搜索：利用深度优先搜索，根据当前路径确定下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。

3. 剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，对搜索空间进行剪枝。

4. 回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。

5. 结束条件：当所有城市都被访问过一次后，得到一条完整的路径，更新最优解。

四、案例分析假设有5个城市，它们的坐标为：A(0, 0)、B(1, 2)、C(3, 1)、D(5, 3)、E(4, 0)利用分支限界法求解货郎担问题，我们按照以下步骤进行计算：（1）初始化：选择一个城市作为出发点，并初始化已访问城市集合、路径长度和下界。

（2）搜索：根据当前路径选择下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。

（3）剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，进行搜索空间的剪枝。

（4）回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。

算法设计与分析分支限界法02


n
32
智能信息处理研究中心（RCIIP）
旅行售货员问题
实例——FIFO队列式
A
1 2 3
1
30 5 4
2 10 4
P
6 3
B
3 2
4 4 2
20
B C,D,E
a
C
4
D
E
3
F
4
G
3
H
4
I
2
26 3
J P
K
2

n
F,G,H,I,J,K L,M,N,P,Q
33
L
59
M
66
N
25
O
Q
智能信息处理研究中心（RCIIP）
bestw
a
右儿子剪枝
// 检查右儿子结点
if (Ew + r > bestw && i < n) Q.Add(Ew); Q.Delete(Ew);
n
// 可能含最优解 // 取下一扩展结点
29
智能信息处理研究中心（RCIIP）
装载问题
构造最优解 P
为了在算法结束后能方便地构造出与最优值相应的最 优解，算法必须存储相应子集树中从活结点到根结点 的路径。为此目的，可在每个结点处设置指向其父结 a 点的指针，并设置左、右儿子标志。 找到最优值后，可以根据parent回溯到根节点，找到 最优解。
28
智能信息处理研究中心（RCIIP）
装载问题
算法的改进
// 检查左儿子结点
Type wt = Ew + w[i]; if (wt <= c) {
P // 左儿子结点的重量

算法设计与分析习题解答(第2版)

第1章算法引论11.1 算法与程序11.2 表达算法的抽象机制11.3 描述算法31.4 算法复杂性分析13小结16习题17第2章递归与分治策略192.1 递归的概念192.2 分治法的基本思想262.3 二分搜索技术272.4 大整数的乘法282.5 Strassen矩阵乘法302.6 棋盘覆盖322.7 合并排序342.8 快速排序372.9 线性时间选择392.10 最接近点对问题432.11 循环赛日程表53小结54习题54第3章动态规划613.1 矩阵连乘问题62目录算法设计与分析(第2版)3.2 动态规划算法的基本要素67 3.3 最长公共子序列713.4 凸多边形最优三角剖分753.5 多边形游戏793.6 图像压缩823.7 电路布线853.8 流水作业调度883.9 0-1背包问题923.10 最优二叉搜索树98小结101习题102第4章贪心算法1074.1 活动安排问题1074.2 贪心算法的基本要素1104.2.1 贪心选择性质1114.2.2 最优子结构性质1114.2.3 贪心算法与动态规划算法的差异1114.3 最优装载1144.4 哈夫曼编码1164.4.1 前缀码1174.4.2 构造哈夫曼编码1174.4.3 哈夫曼算法的正确性1194.5 单源最短路径1214.5.1 算法基本思想1214.5.2 算法的正确性和计算复杂性123 4.6 最小生成树1254.6.1 最小生成树性质1254.6.2 Prim算法1264.6.3 Kruskal算法1284.7 多机调度问题1304.8 贪心算法的理论基础1334.8.1 拟阵1334.8.2 带权拟阵的贪心算法1344.8.3 任务时间表问题137小结141习题141第5章回溯法1465.1 回溯法的算法框架1465.1.1 问题的解空间1465.1.2 回溯法的基本思想1475.1.3 递归回溯1495.1.4 迭代回溯1505.1.5 子集树与排列树1515.2 装载问题1525.3 批处理作业调度1605.4 符号三角形问题1625.5 n后问题1655.6 0\|1背包问题1685.7 最大团问题1715.8 图的m着色问题1745.9 旅行售货员问题1775.10 圆排列问题1795.11 电路板排列问题1815.12 连续邮资问题1855.13 回溯法的效率分析187小结190习题191第6章分支限界法1956.1 分支限界法的基本思想1956.2 单源最短路径问题1986.3 装载问题2026.4 布线问题2116.5 0\|1背包问题2166.6 最大团问题2226.7 旅行售货员问题2256.8 电路板排列问题2296.9 批处理作业调度232小结237习题238第7章概率算法2407.1 随机数2417.2 数值概率算法2447.2.1 用随机投点法计算π值2447.2.2 计算定积分2457.2.3 解非线性方程组2477.3 舍伍德算法2507.3.1 线性时间选择算法2507.3.2 跳跃表2527.4 拉斯维加斯算法2597.4.1 n 后问题2607.4.2 整数因子分解2647.5 蒙特卡罗算法2667.5.1 蒙特卡罗算法的基本思想2667.5.2 主元素问题2687.5.3 素数测试270小结273习题273第8章 NP完全性理论2788.1 计算模型2798.1.1 随机存取机RAM2798.1.2 随机存取存储程序机RASP2878.1.3 RAM模型的变形与简化2918.1.4 图灵机2958.1.5 图灵机模型与RAM模型的关系297 8.1.6 问题变换与计算复杂性归约299 8.2 P类与NP类问题3018.2.1 非确定性图灵机3018.2.2 P类与NP类语言3028.2.3 多项式时间验证3048.3 NP完全问题3058.3.1 多项式时间变换3058.3.2 Cook定理3078.4 一些典型的NP完全问题3108.4.1 合取范式的可满足性问题3118.4.2 3元合取范式的可满足性问题312 8.4.3 团问题3138.4.4 顶点覆盖问题3148.4.5 子集和问题3158.4.6 哈密顿回路问题3178.4.7 旅行售货员问题322小结323习题323第9章近似算法3269.1 近似算法的性能3279.2 顶点覆盖问题的近似算法3289.3 旅行售货员问题近似算法3299.3.1 具有三角不等式性质的旅行售货员问题330 9.3.2 一般的旅行售货员问题3319.4 集合覆盖问题的近似算法3339.5 子集和问题的近似算法3369.5.1 子集和问题的指数时间算法3369.5.2 子集和问题的完全多项式时间近似格式337 小结340习题340第10章算法优化策略34510.1 算法设计策略的比较与选择34510.1.1 最大子段和问题的简单算法34510.1.2 最大子段和问题的分治算法34610.1.3 最大子段和问题的动态规划算法34810.1.4 最大子段和问题与动态规划算法的推广349 10.2 动态规划加速原理35210.2.1 货物储运问题35210.2.2 算法及其优化35310.3 问题的算法特征35710.3.1 贪心策略35710.3.2 对贪心策略的改进35710.3.3 算法三部曲35910.3.4 算法实现36010.3.5 算法复杂性36610.4 优化数据结构36610.4.1 带权区间最短路问题36610.4.2 算法设计思想36710.4.3 算法实现方案36910.4.4 并查集37310.4.5 可并优先队列37610.5 优化搜索策略380小结388习题388第11章在线算法设计39111.1 在线算法设计的基本概念39111.2 页调度问题39311.3 势函数分析39511.4 k 服务问题39711.4.1 竞争比的下界39711.4.2 平衡算法39911.4.3 对称移动算法39911.5 Steiner树问题40311.6 在线任务调度40511.7 负载平衡406小结407习题407词汇索引409参考文献415习题1-1 实参交换1习题1-2 方法头签名1习题1-3 数组排序判定1习题1-4 函数的渐近表达式2习题1-5 O(1) 和 O(2) 的区别2习题1-7 按渐近阶排列表达式2习题1-8 算法效率2习题1-9 硬件效率3习题1-10 函数渐近阶3习题1-11 n !的阶4习题1-12 平均情况下的计算时间复杂性4算法实现题1-1 统计数字问题4算法实现题1-2 字典序问题5算法实现题1-3 最多约数问题6算法实现题1-4 金币阵列问题8算法实现题1-5 最大间隙问题11第2章递归与分治策略14 习题2-1 Hanoi 塔问题的非递归算法14习题2-2 7个二分搜索算法15习题2-3 改写二分搜索算法18习题2-4 大整数乘法的 O(nm log(3/2))算法19习题2-5 5次 n /3位整数的乘法19习题2-6 矩阵乘法21习题2-7 多项式乘积21习题2-8 不动点问题的 O( log n) 时间算法22习题2-9 主元素问题的线性时间算法22习题2-10 无序集主元素问题的线性时间算法22习题2-11 O (1)空间子数组换位算法23习题2-12 O (1)空间合并算法25习题2-13 n 段合并排序算法32习题2-14 自然合并排序算法32习题2-15 最大值和最小值问题的最优算法35习题2-16 最大值和次大值问题的最优算法35习题2-17 整数集合排序35习题2-18 第 k 小元素问题的计算时间下界36习题2-19 非增序快速排序算法37习题2-20 随机化算法37习题2-21 随机化快速排序算法38习题2-22 随机排列算法38习题2-23 算法qSort中的尾递归38习题2-24 用栈模拟递归38习题2-25 算法select中的元素划分39习题2-26 O(n log n) 时间快速排序算法40习题2-27 最接近中位数的 k 个数40习题2-28 X和Y 的中位数40习题2-29 网络开关设计41习题2-32 带权中位数问题42习题2-34 构造Gray码的分治算法43习题2-35 网球循环赛日程表44目录算法设计与分析习题解答（第2版）算法实现题2-1 输油管道问题（习题2-30) 49算法实现题2-2 众数问题（习题2-31) 50算法实现题2-3 邮局选址问题（习题2-32) 51算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题（习题2-33) 51算法实现题2-5 半数集问题60算法实现题2-6 半数单集问题62算法实现题2-7 士兵站队问题63算法实现题2-8 有重复元素的排列问题63算法实现题2-9 排列的字典序问题65算法实现题2-10 集合划分问题（一）67算法实现题2-11 集合划分问题（二）68算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题69算法实现题2-13 标准二维表问题71算法实现题2-14 整数因子分解问题72算法实现题2-15 有向直线2中值问题72第3章动态规划76习题3-1 最长单调递增子序列76习题3-2 最长单调递增子序列的 O(n log n) 算法77习题3-7 漂亮打印78习题3-11 整数线性规划问题79习题3-12 二维背包问题80习题3-14 Ackermann函数81习题3-17 最短行驶路线83习题3-19 最优旅行路线83算法实现题3-1 独立任务最优调度问题（习题3-3) 83算法实现题3-2 最少硬币问题（习题3-4) 85算法实现题3-3 序关系计数问题（习题3-5) 86算法实现题3-4 多重幂计数问题（习题3-6) 87算法实现题3-5 编辑距离问题（习题3-8) 87算法实现题3-6 石子合并问题（习题3-9) 89算法实现题3-7 数字三角形问题（习题3-10) 91算法实现题3-8 乘法表问题（习题3-13) 92算法实现题3-9 租用游艇问题（习题3-15) 93算法实现题3-10 汽车加油行驶问题（习题3-16) 95算法实现题3-11 圈乘运算问题（习题3-18) 96算法实现题3-12 最少费用购物（习题3-20) 102算法实现题3-13 最大长方体问题（习题3-21) 104算法实现题3-14 正则表达式匹配问题（习题3-22) 105算法实现题3-15 双调旅行售货员问题（习题3-23) 110算法实现题3-16 最大 k 乘积问题（习题5-24) 111算法实现题3-17 最小 m 段和问题113算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题115第4章贪心算法123 习题4-2 活动安排问题的贪心选择123习题4-3 背包问题的贪心选择性质123习题4-4 特殊的0-1背包问题124习题4-10 程序最优存储问题124习题4-13 最优装载问题的贪心算法125习题4-18 Fibonacci序列的Huffman编码125习题4-19 最优前缀码的编码序列125习题4-21 任务集独立性问题126习题4-22 矩阵拟阵126习题4-23 最小权最大独立子集拟阵126习题4-27 整数边权Prim算法126习题4-28 最大权最小生成树127习题4-29 最短路径的负边权127习题4-30 整数边权Dijkstra算法127算法实现题4-1 会场安排问题（习题4-1) 128算法实现题4-2 最优合并问题（习题4-5) 129算法实现题4-3 磁带最优存储问题（习题4-6) 130算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题（习题4-7) 131算法实现题4-5 程序存储问题（习题4-8) 132算法实现题4-6 最优服务次序问题（习题4-11) 133算法实现题4-7 多处最优服务次序问题（习题4-12) 134算法实现题4-8 d 森林问题（习题4-14) 135算法实现题4-9 汽车加油问题（习题4-16) 137算法实现题4-10 区间覆盖问题（习题4-17) 138算法实现题4-11 硬币找钱问题（习题4-24) 138算法实现题4-12 删数问题（习题4-25) 139算法实现题4-13 数列极差问题（习题4-26) 140算法实现题4-14 嵌套箱问题（习题4-31) 140算法实现题4-15 套汇问题（习题4-32) 142算法实现题4-16 信号增强装置问题（习题5-17) 143算法实现题4-17 磁带最大利用率问题（习题4-9) 144算法实现题4-18 非单位时间任务安排问题（习题4-15) 145算法实现题4-19 多元Huffman编码问题（习题4-20) 147算法实现题4-20 多元Huffman编码变形149算法实现题4-21 区间相交问题151算法实现题4-22 任务时间表问题151第5章回溯法153习题5\|1 装载问题改进回溯法（一）153习题5\|2 装载问题改进回溯法（二）154习题5\|4 0-1背包问题的最优解155习题5\|5 最大团问题的迭代回溯法156习题5\|7 旅行售货员问题的费用上界157习题5\|8 旅行售货员问题的上界函数158算法实现题5-1 子集和问题（习题5-3) 159算法实现题5-2 最小长度电路板排列问题（习题5-9) 160算法实现题5-3 最小重量机器设计问题（习题5-10) 163算法实现题5-4 运动员最佳匹配问题（习题5-11) 164算法实现题5-5 无分隔符字典问题（习题5-12) 165算法实现题5-6 无和集问题（习题5-13) 167算法实现题5-7 n 色方柱问题（习题5-14) 168算法实现题5-8 整数变换问题（习题5-15) 173算法实现题5-9 拉丁矩阵问题（习题5-16) 175算法实现题5-10 排列宝石问题（习题5-16) 176算法实现题5-11 重复拉丁矩阵问题（习题5-16) 179算法实现题5-12 罗密欧与朱丽叶的迷宫问题181算法实现题5-13 工作分配问题（习题5-18) 183算法实现题5-14 独立钻石跳棋问题（习题5-19) 184算法实现题5-15 智力拼图问题（习题5-20) 191算法实现题5-16 布线问题（习题5-21) 198算法实现题5-17 最佳调度问题（习题5-22) 200算法实现题5-18 无优先级运算问题（习题5-23) 201算法实现题5-19 世界名画陈列馆问题（习题5-25) 203算法实现题5-20 世界名画陈列馆问题（不重复监视）（习题5-26) 207 算法实现题5-21 部落卫队问题（习题5-6) 209算法实现题5-22 虫蚀算式问题211算法实现题5-23 完备环序列问题214算法实现题5-24 离散01串问题217算法实现题5-25 喷漆机器人问题218算法实现题5-26 n 2-1谜问题221第6章分支限界法229习题6-1 0-1背包问题的栈式分支限界法229习题6-2 用最大堆存储活结点的优先队列式分支限界法231习题6-3 团顶点数的上界234习题6-4 团顶点数改进的上界235习题6-5 修改解旅行售货员问题的分支限界法235习题6-6 解旅行售货员问题的分支限界法中保存已产生的排列树237 习题6-7 电路板排列问题的队列式分支限界法239算法实现题6-1 最小长度电路板排列问题一（习题6-8) 241算法实现题6-2 最小长度电路板排列问题二（习题6-9) 244算法实现题6-3 最小权顶点覆盖问题（习题6-10) 247算法实现题6-4 无向图的最大割问题（习题6-11) 250算法实现题6-5 最小重量机器设计问题（习题6-12) 253算法实现题6-6 运动员最佳匹配问题（习题6-13) 256算法实现题6-7 n 后问题（习题6-15) 259算法实现题6-8 圆排列问题（习题6-16) 260算法实现题6-9 布线问题（习题6-17) 263算法实现题6-10 最佳调度问题（习题6-18) 265算法实现题6-11 无优先级运算问题（习题6-19) 268算法实现题6-12 世界名画陈列馆问题（习题6-21) 271算法实现题6-13 骑士征途问题274算法实现题6-14 推箱子问题275算法实现题6-15 图形变换问题281算法实现题6-16 行列变换问题284算法实现题6-17 重排 n 2宫问题285算法实现题6-18 最长距离问题290第7章概率算法296习题7-1 模拟正态分布随机变量296习题7-2 随机抽样算法297习题7-3 随机产生 m 个整数297习题7-4 集合大小的概率算法298习题7-5 生日问题299习题7-6 易验证问题的拉斯维加斯算法300习题7-7 用数组模拟有序链表300习题7-8 O(n 3/2)舍伍德型排序算法300习题7-9 n 后问题解的存在性301习题7-11 整数因子分解算法302习题7-12 非蒙特卡罗算法的例子302习题7-13 重复3次的蒙特卡罗算法303习题7-14 集合随机元素算法304习题7-15 由蒙特卡罗算法构造拉斯维加斯算法305习题7-16 产生素数算法306习题7-18 矩阵方程问题306算法实现题7-1 模平方根问题（习题7-10) 307算法实现题7-2 集合相等问题（习题7-17) 309算法实现题7-3 逆矩阵问题（习题7-19) 309算法实现题7-4 多项式乘积问题（习题7-20) 310算法实现题7-5 皇后控制问题311算法实现题7-6 3-SAT问题314算法实现题7-7 战车问题315算法实现题7-8 圆排列问题317算法实现题7-9 骑士控制问题319算法实现题7-10 骑士对攻问题320第8章NP完全性理论322 习题8-1 RAM和RASP程序322习题8-2 RAM和RASP程序的复杂性322习题8-3 计算 n n 的RAM程序322习题8-4 没有MULT和DIV指令的RAM程序324习题8-5 MULT和DIV指令的计算能力324习题8-6 RAM和RASP的空间复杂性325习题8-7 行列式的直线式程序325习题8-8 求和的3带图灵机325习题8-9 模拟RAM指令325习题8-10 计算2 2 n 的RAM程序325习题8-11 计算 g(m,n)的程序 326习题8-12 图灵机模拟RAM的时间上界326习题8-13 图的同构问题326习题8-14 哈密顿回路327习题8-15 P类语言的封闭性327习题8-16 NP类语言的封闭性328习题8-17 语言的2 O (n k) 时间判定算法328习题8-18 P CO -NP329习题8-19 NP≠CO -NP329习题8-20 重言布尔表达式329习题8-21 关系∝ p的传递性329习题8-22 L ∝ p 330习题8-23 语言的完全性330习题8-24 的CO-NP完全性330习题8-25 判定重言式的CO-NP完全性331习题8-26 析取范式的可满足性331习题8-27 2-SAT问题的线性时间算法331习题8-28 整数规划问题332习题8-29 划分问题333习题8-30 最长简单回路问题334第9章近似算法336习题9-1 平面图着色问题的绝对近似算法336习题9-2 最优程序存储问题336习题9-4 树的最优顶点覆盖337习题9-5 顶点覆盖算法的性能比339习题9-6 团的常数性能比近似算法339习题9-9 售货员问题的常数性能比近似算法340习题9-10 瓶颈旅行售货员问题340习题9-11 最优旅行售货员回路不自相交342习题9-14 集合覆盖问题的实例342习题9-16 多机调度问题的近似算法343习题9-17 LPT算法的最坏情况实例345习题9-18 多机调度问题的多项式时间近似算法345算法实现题9-1 旅行售货员问题的近似算法（习题9-9) 346 算法实现题9-2 可满足问题的近似算法（习题9-20) 348算法实现题9-3 最大可满足问题的近似算法（习题9-21) 349 算法实现题9-4 子集和问题的近似算法（习题9-15) 351算法实现题9-5 子集和问题的完全多项式时间近似算法352算法实现题9-6 实现算法greedySetCover（习题9-13) 352算法实现题9-7 装箱问题的近似算法First Fit（习题9-19) 356算法实现题9-8 装箱问题的近似算法Best Fit（习题9-19) 358算法实现题9-9 装箱问题的近似算法First Fit Decreasing（习题9-19) 360算法实现题9-10 装箱问题的近似算法Best Fit Decreasing（习题9-19) 361算法实现题9-11 装箱问题的近似算法Next Fit361第10章算法优化策略365 习题10-1 算法obst的正确性365习题10-2 矩阵连乘问题的 O(n 2) 时间算法365习题10-6 货物储运问题的费用371习题10-7 Garsia算法371算法实现题10-1 货物储运问题（习题10-3) 374算法实现题10-2 石子合并问题（习题10-4) 374算法实现题10-3 最大运输费用货物储运问题（习题10-5) 375算法实现题10-4 五边形问题377算法实现题10-5 区间图最短路问题（习题10-8) 381算法实现题10-6 圆弧区间最短路问题（习题10-9) 381算法实现题10-7 双机调度问题（习题10-10) 382算法实现题10-8 离线最小值问题（习题10-11) 390算法实现题10-9 最近公共祖先问题（习题10-12) 393算法实现题10-10 达尔文芯片问题395算法实现题10-11 多柱Hanoi塔问题397算法实现题10-12 线性时间Huffman算法400算法实现题10-13 单机调度问题402算法实现题10-14 最大费用单机调度问题405算法实现题10-15 飞机加油问题408第11章在线算法设计410习题11-1 在线算法LFU的竞争性410习题11-4 多读写头磁盘问题的在线算法410习题11-6 带权页调度问题410算法实现题11-1 最优页调度问题（习题11-2) 411算法实现题11-2 在线LRU页调度（习题11-3) 414算法实现题11-3 k 服务问题（习题11-5) 416参考文献422。

算法设计与分析 第六章分支界限法


Closed表
[1, 0, 0] [2, 10, 1]
[4, 30, 1]
[3, 50, 4]
取出[3, 60, 3]，因其已经是目标结点，算法成 3] 取出[4, 30, 1]放入Closed；生成其后继[3, 50, 2]， 取出[5, 50, 4]放入Closed；生成其后继[2, 100, 取出[2, 10, 1]放入Closed；生成其后继[3, 60, 4] 取出[1, 0, 0]放入Closed；生成其后继[2, 10, 1]、 初始时，将源[1, 0, 0]放入Open，Closed为空。 和[5, 90, 4] ，修订Open中已有的两个结点并依 60, 3]，前者因劣于Closed中的[2, 10, 功并终止。 100, 1]，并依序放入Open。 1]而 并依序插入Open。 [4, 30, 1]和[5, 被抛弃，后者修订了Open中的[5, 90, 4]。 序排列。 依据逆向指针可得最短路径为1→4→3→5。

2013-8-14 计算机算法设计与分析 18
用新的评价函数求TSP

下面用新的评价函数求前面的例子，我们已经 求得了它的归约矩阵C’和约数r = 47。 5 3 63× 62 2 51 4 50
121 2 69×64× 67× 68× 81 4 × 3 4 2 3 ×
47 1
62 3 84× 72× 4 5 4 × 76
找到了一条周游路线 1→5→3→4→2→1， 其长度为95。 这不是最短周游路线，需要修改上界后继续搜索。
2013-8-14 计算机算法设计与分析 12
32 3 35 4 46 37 84 58 2 4 2 3 3 4 49 62 86 2
归约矩阵以及约数
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（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满 足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出 满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出 在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解 空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的 方式搜索解空间树。
2. 分支限界法基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益） 优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一 个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩 展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点 中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其 余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下 一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这 个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
第6章 分支限界法
本章主要知识点
• 6.1 分支限界法的基本思想
•
• • • •
6.2 单源最短路径问题
6.3 装载问题 6.4 布线问题 6.5 6.6 0－1背包问题 最大团问题
•
• •
6.7
6.8 6.9
旅行售货员问题
电路板排列问题 批处理作业调度
6.1 分支限界法的基本思想
1. 分支限界法与回溯法的不同
2. 算法思想
解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一 极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前 路长。 算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩 展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆 中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并 依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前 扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再 到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度， 则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个 结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。
}
private static void enqueue(int wt, int i) { if(i==n) //如果到达叶子 { if(wt>bestw) //如果该叶子代表的解优于当前最优解 bestw=wt; } else queue.put(new Integer(wt)); }
}
2. 算法的改进
public class FIFOBBLoading { static int n; //集装箱个数 static int bestw; //当前所求到的所有解中的最优载重量 static ArrayQueue queue; //活结点队列 public static int maxloading(int []w, int c) { //队列式分支限界法，返回最优载重量 n=w.length-1; // 初始化 bestw=0; queue=new ArrayQueue(); queue.put(new Integer(-1)); //同层结点尾部标志 int i=1; //当前扩展结点所在的层次 int ew=0; //扩展结点所表示的已经上第1艘船的集装箱载重量和
在解空间树中，如果以结点y为根的子树中所含的解 优于以结点x为根的子树中所含的解，则称结点y控制了结 点x，以被控制的结点x为根的子树可以剪去。
public class BBShortest { static class HeapNode implements Comparable { int i； float length； HeapNode(int ii, float ll) { i=ii; l=ll; } public int compareto(Object x) { float xl=((HeapNode)x).length; if(length<xl) return -1; if(length==xl) return 0; return 1; } } static float [][]a; public static void shortest(int v, float []dist, int []p) { int n=p.length-1; MinHeap heap=new MinHeap(); HeapNode enode=new HeapNode(v,0);//定义源为初始扩展结点 for(int j=1; j<=n; j++) dist[j]=Float.MAX-VALUE;//从源到各顶点的初始距离是无穷 dist[v]=0;
public class FIFOBBLoading { static int n; //集装箱个数 static int bestw; //当前所求到的所有解中的最优载重量 static ArrayQueue queue; //活结点队列 public static int maxloading(int []w, int c) { //队列式分支限界法，返回最优载重量 n=w.length-1; // 初始化 bestw=0; queue=new ArrayQueue(); queue.put(new Integer(-1)); //同层结点尾部标志 int i=1; //当前扩展结点所在的层次 int ew=0; //扩展结点所表示的已经上第1艘船的集装箱载重量和 int r=0; //目前尚未考虑的剩余集装箱的重量和 for(int j=2; j<=n; j++) //j为什么从2开始 r+=w[j];
while(true) { int wt=ew+w[i]; // 检查左儿子结点 if(wt<=c) //左儿子可行 { if(wt>bestw) bestw=wt; if(i<n) queue.put(new Integer(wt)); //左儿子进入扩展结点队列 if(ew+r>bestw&&i<n) queue.put(new Integer(ew)); //右儿子进入扩展结点队列 ew = ((Integer) queue.remove()).intValue();// 取下一扩展结点 if (ew == -1) { if (queue.isEmpty()) return bestw; queue.put(new Integer(-1)); // 设置同层结点尾部标志 ew = ((Integer) queue.remove()).intValue();// 取下一扩展结点 i++; // 进入下一层 } }
while (true) // 搜索问题的解空间 { for(int j=1;j<=n;j++)//对于当前扩展结点enode if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j] ) { // 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束 dist[j]=enode.length+a[enode.i][j]; p[j]=enode.i;//从源到顶点j的路径中j的前驱结点是i HeapNode node = new HeapNode(j,dist[j]); heap.put(node); // 加入活结点优先队列 } if (heap.isEmpty()) break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); } }
结点的左孩子表示将当前集装箱装上船，右孩子表示不将当前 集装箱装上船。设bestw是当前所求到的所有可行解中装上船的集装 箱重量和的最优解；ew是当前扩展结点所表示的已经装上船的集装 箱重量和；r是目前尚未考虑的剩余集装箱的重量和。则当 ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为，此时即使把剩余的集装 箱全部装上船，也不会的到比bestw更优的解。 另外，为了确保右子树成功剪枝，应该在算法每一次进入左子 树的时候更新bestw的值。
3. 剪枝策略
在算法的扩展结点生成其孩子结点的过程中，一旦发 现一个结点的下界不小于当前找到的最短路长，则算法剪 去以该结点为根的子树。 在算法中，利用结点间的控制关系进行剪枝。从源顶 点s出发，2条不同路径到达图G的同一顶点。由于两条路 径的路长不同，因此可以将路长长的路径所对应的树中的 结点为根的子树剪去。
w
i 1
n
i
c1 c2
max wi xi
i 1
n
s.t. wi xi c1
i 1
n
xi {0,1},1 i n
实质是第1艘船的最优装载
1. 队列式分支限界法
在算法的while循环中，首先检测当前扩展结点的左儿子结点是 否为可行结点，可行的条件是扩展结点所表示的已经上第1艘船的集 装箱载重量和ew加上第i个集装箱的重量小于第1艘船的载重量c，表 明第i个集装箱可以上船。如果是则将其加入到活结点队列中。然后 将其右儿子结点加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点)。 2个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。 活结点队列中的队首元素被取出作为当前扩展结点，由于队列 中每一层结点乊后都有一个尾部标记-1，故在取队首元素时，活结 点队列一定不空。当取出的元素是-1时，再判断当前队列是否为空。 如果队列非空，则将尾部标记-1加入活结点队列，算法开始处理下 一层的活结点。
while(true) { // 检查左儿子结点 if(ew+w[i]<=c) //左儿子可行 enQueue(ew + w[i], i); //左儿子进入扩展结点队列 //右儿子结点总是可行的 enQueue(ew, i); //右儿子进入扩展结点队列 ew = ((Integer) queue.remove()).intValue();// 取下一扩展结点 if (ew == -1) { if (queue.isEmpty()) return bestw; queue.put(new Integer(-1)); // 设置同层结点尾部标志 ew = ((Integer) queue.remove()).intValue();// 取下一扩展结点 i++; // 进入下一层 } }