算法分析与设计实验报告实验3：分支限界法的应用

《算法设计与分析》实验报告实验四分治限界法1. 迷宫最短路径在下图中，请使用广度搜索求出a到b的最短路径，有色区域为不可通过区域。

2. 树上最短路径dashen是个牛人。

很多人都想认识dashen，但没有这个机会，于是shen粉们便想了一个方法，计算自己与dashen的ACM距离，因此很多人都去参加ACM，而ACM因此也改名为ACM国际水赛。

每个ACM有n个组，每组3个人。

同组的3个人都是队友。

大家都想知道自己与dashen的最小距离是多少。

dashen与自己的最小距离当然是0。

dashen的队友和dashen的最小距离是1。

dashen的队友的队友和dashen的最小距离是2……以此类推。

如果实在和dashen没有关系的只好输出undefined了。

1. 迷宫最短路径1.2 解题思路迷宫搜索最短路径，主要考察的就是最简单裸的BFS。

BFS只要掌握如何标记好数组、边界的考虑、出队进队就好了。

如何保存搜索的层数？每一次节点扩散层，标记的层数值都是当前层的+1 即可。

至于写BFS的写法。

步骤都是一样的：放第一个进队，然后出队、扩散开进队并标记、出队......循环下去直到队空。

写法太基础就不讲解了。

1.2 测试样例73 24 6..#......##.......#.....##..#...#..###....###....1.3 程序运行情况2.3 程序运行情况2.4 程序源码（含注释）#include"bits/stdc++.h"using namespace std;#define inf 999#define INF 999999999int n,num;//行数，以及不重复人数int origin;// 起点，即dashen 的标号int book[inf];//标记vector<int>edge[inf];//每个点的边集struct Student{//学生类,下标自1始string name;int id;int rank;void set(string s,int i){name=s;id=i;rank=INF;//所有人的距离默认无穷大。

实验报告分支限界法01背包实验报告：分支限界法解决01背包问题一、引言背包问题是数学和计算机科学中一个经典的问题。

背包问题通常分为01背包问题和完全背包问题两种情况。

本实验主要探讨的是分支限界法解决01背包问题，该算法常用于解决NP难问题。

分支限界法通过将问题分解为一系列子问题，并借助剪枝技术，逐步缩小问题的空间，从而找到最优解。

本实验将通过具体的案例来展示分支限界法的求解过程和原理，并对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析。

二、算法原理01背包问题的数学模型为：有n个物品，每个物品有一个重量wi和一个价值vi，在限定的背包容量为W的情况下，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

分支限界法的基本思想是：通过不断地分解问题为更小的子问题，并使用估算函数对子问题进行优先级排序，将优先级最高的子问题优先求解。

具体步骤如下：1.根节点：将背包容量W和物品序号0作为初始状态的根节点。

2.扩展节点：对于任意一个节点S，选择装入下一个物品或者不装入两种分支。

计算新节点的上界。

3.优先级队列：将扩展节点按照上界从大到小的顺序插入优先级队列。

4.剪枝条件：当扩展节点的上界小于当前已找到的最优解时，可以剪枝。

5.结束条件：当到叶节点或者队列为空时，结束。

若叶节点的上界高于当前最优解，更新最优解。

三、实验过程1.输入数据：给定一个物品序列，每个物品有重量和价值，以及一个背包的最大容量。

2.算法实现：根据算法原理，使用编程语言实现分支限界法的求解过程。

3.结果分析：比较算法求解得到的最优解和其他算法（如动态规划）得到的最优解之间的差异。

四、实验结果以一个具体的案例来说明分支限界法的求解过程。

假设有4个物品，其重量和价值分别为{2,3,4,5}和{3,4,5,6}，背包的最大容量为8、通过分支限界法求解，得到最优解为9，对应的物品选择为{2,3,5}。

通过与动态规划算法的结果比较，可以发现分支限界法的最优解与动态规划算法得到的最优解是一致的。

算法分析与设计分支限界法分支限界法是一种常用的优化算法，它通过剪枝和分支的方式在空间中找到最优解。

在算法设计与分析中，分支限界法在求解组合优化问题和图论问题中有广泛应用。

分支限界法的基本思想是将问题划分为一个个子问题，并对每个子问题进行求解，同时通过剪枝操作减少空间。

算法从一个初始状态开始，通过扩展子节点来生成树。

在每个节点上，先判断该节点是否需要剪枝操作。

如果需要剪枝，则舍弃该节点及其子节点；如果不需要剪枝，则继续扩展该节点为新的可能解。

通过不断扩展和剪枝操作，最终找到最优解。

分支限界法的核心是选择一个合适的策略来确定节点的扩展顺序。

常用的策略包括优先级队列、最小堆、最大堆等。

这些策略可以根据问题的性质和特点来选择，以保证效率。

同时，剪枝操作也是分支限界法中关键的一环。

剪枝操作有多种方式，如上界和下界剪枝、可行剪枝、标杆剪枝等。

通过剪枝操作，可以减少空间，提高算法的效率。

分支限界法的时间复杂度通常是指数级别的，因为每个节点需要根据策略进行扩展，并进行剪枝操作。

然而，通过合理选择策略和剪枝操作，可以显著减少空间，降低时间复杂度。

此外，分支限界法还可以通过并行计算等技术进一步提高效率。

分支限界法在求解组合优化问题中有广泛应用。

组合优化问题是在有限的资源条件下，通过组合和选择来达到最优解的问题。

例如，旅行商问题、背包问题等都是经典的组合优化问题，而分支限界法可以在有限的时间内找到最优解。

在图论问题中，分支限界法也有重要的应用。

例如，最短路径问题、图着色问题等都可以通过分支限界法求解。

总之，分支限界法是一种基于和剪枝的优化算法，通过合理选择策略和剪枝操作，在有限的时间内找到最优解。

该算法在组合优化问题和图论问题中有广泛应用，可以有效提高问题求解的效率。

在实际应用中，可以根据问题性质和特点选择合适的策略和剪枝操作，以达到最佳的求解效果。

分⽀限界法实验（单源最短路径）算法分析与设计实验报告第七次实验基本思想：附录：完整代码（分⽀限界法）Shorest_path.cpp//单源最短路径问题分⽀限界法求解#include#include#include#include"MinHeap2.h"using namespace std;templateclass Graph //定义图类{friend int main();public:void shortest_path(int); private:int n, //图的顶点数*prev; //前驱顶点数组Type **c, //图的邻接矩阵*dist; //最短距离数组};templateclass MinHeapNode //最⼩堆中的元素类型为MinHeapNode{friend Graph;public:operator int() const{return length;}private:int i; //顶点编号Type length; //当前路长};//单源最短路径问题的优先队列式分⽀限界法templatevoid Graph::shortest_path(int v){MinHeap> H(1000);//定义最⼩堆的容量为1000//定义源为初始扩展结点MinHeapNode E;//初始化源结点E.i=v;E.length=0;dist[v]=0;while(true)//搜索问题的解空间{for(int j=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]!=0)&&(E.length+c[E.i][j]{//顶点i到顶点j可达，且满⾜控制约束//顶点i和j之间有边，且此路径⼩于原先从源点i到j的路径长度dist[j]=E.length+c[E.i][j];//更新dist数组prev[j]=E.i;//加⼊活结点优先队列MinHeapNode N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);//插⼊到最⼩堆中}try{H.DeleteMin(E); // 取下⼀扩展结点}catch (int){break;}if(H.currentsize==0)//优先队列空{break;}}}int main(){int n=11;int prev[12]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};//初始化前驱顶点数组intdist[12]={1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000};//初始化最短距离数组cout<<"单源图的邻接矩阵如下："<int **c=new int*[n+1];for(int i=1;i<=n;i++) //输⼊图的邻接矩阵{c[i]=new int[n+1];for(int j=1;j<=n;j++){cin>>c[i][j];}}int v=1; //源结点为1Graph G;G.n=n;G.c=c;G.dist=dist;G.prev=prev;clock_t start,end,over; //计算程序运⾏时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();G.shortest_path(v);//调⽤图的最短路径查找算法//输出从源结点到⽬的结点的最短路径cout<<"从S到T的最短路长是："<for(int i=2;i<=n;i++)//输出每个结点的前驱结点{cout<<"prev("<}for(int i=2;i<=n;i++) //输出从源结点到其他结点的最短路径长度{cout<<"从1到"<}for(int i=1;i<=n;i++) //删除动态分配时的内存{delete[] c[i];}delete[] c;c=0;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显⽰运⾏时间cout< system("pause");return 0;}MinHeap.h#includetemplateclass Graph;templateclass MinHeap //最⼩堆类{templatefriend class Graph;public:MinHeap(int maxheapsize=10); //构造函数，堆的⼤⼩是10~MinHeap(){delete[] heap;} //最⼩堆的析构函数int Size() const{return currentsize;} //Size()返回最⼩堆的个数T Max(){if(currentsize) return heap[1];} //第⼀个元素出堆MinHeap& Insert(const T& x); //最⼩堆的插⼊函数MinHeap& DeleteMin(T& x); //最⼩堆的删除函数void Initialize(T x[],int size,int ArraySize); //堆的初始化void Deactivate();void output(T a[],int n);private:int currentsize,maxsize;T *heap;};templatevoid MinHeap::output(T a[],int n) //输出函数，输出a[]数组的元素{for(int i=1;i<=n;i++)cout<cout<}templateMinHeap::MinHeap(int maxheapsize){maxsize=maxheapsize;heap=new T[maxsize+1]; //创建堆currentsize=0;}templateMinHeap& MinHeap::Insert(const T& x){if(currentsize==maxsize) //如果堆中的元素已经等于堆的最⼤⼤⼩return *this; //那么不能在加⼊元素进⼊堆中int i= ++currentsize;while(i!=1 && x{heap[i]=heap[i/2];i/=2;}heap[i]=x;return *this;}templateMinHeap& MinHeap::DeleteMin(T& x) //删除堆顶元素{if(currentsize==0){cout<<"Empty heap!"<return *this;}x=heap[1];T y=heap[currentsize--];int i=1,ci=2;while(ci<=currentsize){if(ciheap[ci+1])ci++;if(y<=heap[ci])break;heap[i]=heap[ci];i=ci;ci*=2;}heap[i]=y;return *this;}templatevoid MinHeap::Initialize(T x[],int size,int ArraySize) //堆的初始化{ delete[] heap;heap=x;currentsize=size;maxsize=ArraySize;for(int i=currentsize/2;i>=1;i--){T y=heap[i];int c=2*i;while(c<=currentsize){if(cheap[c+1])c++;if(y<=heap[c])break;heap[c/2]=heap[c];c*=2;}heap[c/2]=y;}}templatevoid MinHeap::Deactivate() {heap=0;}。

一、实验目的通过本次实验，掌握分支定界算法的基本原理，并学会在实际问题中运用分支定界法求解整数规划问题。

了解算法的搜索策略、分支与定界方法，以及剪枝技巧，从而提高解决实际问题的能力。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 运行环境：Python 3.8三、实验原理分支定界算法是一种用于求解整数规划问题的方法。

它通过构建一个搜索树，将问题分解为一系列子问题，并对这些子问题进行求解。

在搜索过程中，算法会根据子问题的上下界和当前最优解进行剪枝，以减少搜索空间，提高求解效率。

四、实验步骤1. 问题建模：根据实际问题，建立整数规划模型，并确定决策变量、目标函数和约束条件。

2. 分支策略：选择一个分支变量，按照该变量的取值范围进行分支。

例如，如果决策变量x只能取整数，则将x分别取上界和下界，得到两个子问题。

3. 定界策略：对每个子问题，求解其线性松弛问题的最优解，得到该子问题的上界和下界。

4. 剪枝策略：根据子问题的上下界和当前最优解，判断是否需要剪枝。

如果子问题的上界小于当前最优解，则可以剪枝。

5. 求解子问题：对需要求解的子问题，重复执行步骤2-4，直到找到最优解。

五、实验内容本次实验以背包问题为例，说明分支定界算法的求解过程。

背包问题：给定一组物品，每个物品具有重量和价值，背包的容量有限。

求解在不超过背包容量的情况下，如何选择物品，使得背包中的物品总价值最大。

模型：设背包容量为C，物品数量为n，决策变量为x_i（i=1,2,...,n），表示是否选择第i个物品。

目标函数：最大化总价值V = Σ(v_i x_i)约束条件：- 背包容量约束：Σ(w_i x_i) ≤ C- 决策变量约束：x_i ∈ {0,1} (i=1,2,...,n)分支定界算法求解过程：1. 问题建模：根据背包问题的描述，建立整数规划模型。

2. 分支策略：选择重量最大的物品作为分支变量，将x_i分别取0和1，得到两个子问题。

算法分析与设计实验报告第七次实验姓名学号班级时间12.26上午地点工训楼309实验名称分支限界法实验(单源最短路径)实验目的1.掌握并运用分支限界法的基本思想2.运用分支限界法实现单源最短路径问题实验原理问题描述：在下图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。

要求图G的从源顶点s 到目标顶点t之间的最短路径。

基本思想：下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题产生的解空间树。

其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。

为了加速搜索的进程，应采用有效地方式选择活结点进行扩展。

按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。

catch (int){break;}if(H.currentsize==0) //优先队列空{break;}}}上述有向图的结果：测试结果附录：完整代码（分支限界法）Shorest_path.cpp//单源最短路径问题分支限界法求解#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>#include"MinHeap2.h"using namespace std;template<class Type>class Graph //定义图类{friend int main();public:void shortest_path(int); private:int n, //图的顶点数*prev; //前驱顶点数组Type **c, //图的邻接矩阵*dist; //最短距离数组};template<class Type>class MinHeapNode //最小堆中的元素类型为MinHeapNode{friend Graph<Type>;public:operator int() const{return length;}private:int i; //顶点编号Type length; //当前路长};//单源最短路径问题的优先队列式分支限界法template<class Type>void Graph<Type>::shortest_path(int v){MinHeap<MinHeapNode<Type>> H(1000);//定义最小堆的容量为1000//定义源为初始扩展结点MinHeapNode<Type> E;//初始化源结点E.i=v;E.length=0;dist[v]=0;while(true)//搜索问题的解空间{for(int j=1;j<=n;j++)if((c[E.i][j]!=0)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])){//顶点i到顶点j可达，且满足控制约束//顶点i和j之间有边，且此路径小于原先从源点i到j的路径长度dist[j]=E.length+c[E.i][j];//更新dist数组prev[j]=E.i;//加入活结点优先队列MinHeapNode<Type> N;N.i=j;N.length=dist[j];H.Insert(N);//插入到最小堆中}try{H.DeleteMin(E); // 取下一扩展结点}catch (int){break;}if(H.currentsize==0)//优先队列空{break;}}}int main(){int n=11;int prev[12]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};//初始化前驱顶点数组intdist[12]={1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000,1000 };//初始化最短距离数组cout<<"单源图的邻接矩阵如下："<<endl;int **c=new int*[n+1];for(int i=1;i<=n;i++) //输入图的邻接矩阵{c[i]=new int[n+1];for(int j=1;j<=n;j++){cin>>c[i][j];}}int v=1; //源结点为1Graph<int> G;G.n=n;G.c=c;G.dist=dist;G.prev=prev;clock_t start,end,over; //计算程序运行时间的算法start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();G.shortest_path(v);//调用图的最短路径查找算法//输出从源结点到目的结点的最短路径cout<<"从S到T的最短路长是："<<dist[11]<<endl;for(int i=2;i<=n;i++)//输出每个结点的前驱结点{cout<<"prev("<<i<<")="<<prev[i]<<" "<<endl;}for(int i=2;i<=n;i++) //输出从源结点到其他结点的最短路径长度{cout<<"从1到"<<i<<"的最短路长是："<<dist[i]<<endl;}for(int i=1;i<=n;i++) //删除动态分配时的内存{delete[] c[i];}delete[] c;c=0;end=clock();printf("The time is %6.3f",(double)(end-start-over)/CLK_TCK); //显示运行时间cout<<endl;system("pause");return 0;}MinHeap.h#include<iostream>template<class Type>class Graph;template<class T>class MinHeap //最小堆类{template<class Type>friend class Graph;public:MinHeap(int maxheapsize=10); //构造函数，堆的大小是10~MinHeap(){delete[] heap;} //最小堆的析构函数int Size() const{return currentsize;} //Size()返回最小堆的个数T Max(){if(currentsize) return heap[1];} //第一个元素出堆MinHeap<T>& Insert(const T& x); //最小堆的插入函数MinHeap<T>& DeleteMin(T& x); //最小堆的删除函数void Initialize(T x[],int size,int ArraySize); //堆的初始化void Deactivate();void output(T a[],int n);private:int currentsize,maxsize;T *heap;};template<class T>void MinHeap<T>::output(T a[],int n) //输出函数，输出a[]数组的元素{for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;}template<class T>MinHeap<T>::MinHeap(int maxheapsize){maxsize=maxheapsize;heap=new T[maxsize+1]; //创建堆currentsize=0;}template<class T>MinHeap<T>& MinHeap<T>::Insert(const T& x){if(currentsize==maxsize) //如果堆中的元素已经等于堆的最大大小return *this; //那么不能在加入元素进入堆中int i= ++currentsize;while(i!=1 && x<heap[i/2]){heap[i]=heap[i/2];i/=2;}heap[i]=x;return *this;}template<class T>MinHeap<T>& MinHeap<T>::DeleteMin(T& x) //删除堆顶元素{if(currentsize==0){cout<<"Empty heap!"<<endl;return *this;}x=heap[1];T y=heap[currentsize--];int i=1,ci=2;while(ci<=currentsize){if(ci<currentsize && heap[ci]>heap[ci+1])ci++;if(y<=heap[ci])break;heap[i]=heap[ci];i=ci;ci*=2;}heap[i]=y;return *this;}template<class T>void MinHeap<T>::Initialize(T x[],int size,int ArraySize) //堆的初始化{delete[] heap;heap=x;currentsize=size;maxsize=ArraySize;for(int i=currentsize/2;i>=1;i--){T y=heap[i];int c=2*i;while(c<=currentsize){if(c<currentsize && heap[c]>heap[c+1])c++;if(y<=heap[c])break;heap[c/2]=heap[c];c*=2;}heap[c/2]=y;}}template<class T>void MinHeap<T>::Deactivate(){heap=0; }。

一、课题名称用分枝限界法求解单源最短路径问题二、课题内容和要求设计要求：学习算法设计中分枝限界法的思想，设计算法解决数据结构中求解单源最短路径问题，编程实现：（1）给出指定源点的单源最短路径；（2）说明算法的时间复杂度。

三、需求分析1.实现极小堆的创建，用来存储活结点表。

2.实现循环队列的创建、初始化、入队、出队等操作。

3.实现分支限界法来实现求解单元最短路径的算法。

4.实现最短路径的正确输出。

四、概要设计建立工程MinPath.dsw,加入源文件main.cpp，头文件CirQueue.h,init.h，Minpath.h和output.h. CirQueue.h中实现极小堆的创建，循环队列的创建、初始化、入队、出队等操作，Minpath.h中实现分支限界法来实现求解单元最短路径的算法。

output.h中实现最短路径的正确输出。

如下图所示：实验用例如下，通过邻接矩阵的方式写在init.h 中：五、详细设计12581134 69 7103 43292212223733352main函数：#include<iostream.h>#include"init.h"#include"CirQueue.h"#include"MinPath.h"#include"output.h"void main(){int k;int q;cout<<"------------欢迎使用本系统---------------"<<endl;cout<<"------------请选择单元路径的起点：---------------"<<endl;cout<<"------------提示：输入"<<1<<"到"<<n-1<<"之间的整数---------------"<<endl;cin>>k;cout<<"------------请选择单元路径的终点：---------------"<<endl;cin>>q;while(k<1||k>11){cout<<"------------提示：输入"<<1<<"到"<<n-1<<"之间的数，请重新输入---------------"<<endl;cin>>k;}MinPath(k);output(k,q);}init.hconst int size = 200;const int inf = 1000; //两点距离上界置为1000const int n = 12; //图顶点个数加1int prev[n]; //图的前驱顶点int dist[] = {0,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf}; //最短距离数组int c[n][n] = {{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},{0,0,2,3,4,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf},{0,inf,0,3,inf,7,2,inf,inf,inf,inf,inf},{0,inf,inf,0,inf,inf,9,2,inf,inf,inf,inf},{0,inf,inf,inf,0,inf,inf,2,inf,inf,inf,inf},{0,inf,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,3,inf,inf},{0,inf,inf,inf,inf,inf,0,1,inf,3,inf,inf},{0,inf,inf,inf,inf,inf,inf,0,inf,5,1,inf},{0,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,0,inf,inf,3},{0,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,0,inf,2},{0,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,2,inf,2},{0,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,0},}; //图的邻接矩阵CirQueue.hclass MinHeapNode//创建极小堆用来存储活结点表{public :int i; //顶点编号int length; //当前路长};class CirQueue//循环队列{private:int front,rear;//头指针和尾指针MinHeapNode data[size];public:CirQueue()//初始化建空队列{front = rear = 0;}void queryIn(MinHeapNode e)//元素入队操作{if((rear +1)%size != front)//队列未满{rear = (rear+1)%size; //插入新的队尾元素data[rear] = e; //在队尾插入元素 }}void queryOut()//元素出队操作{if(rear != front){front = (front+1)%size; //删除队头元素}}MinHeapNode getQuery()//读取队头元素，但不出队 {if(rear != front){return data[(front+1)%size];}return data[1];}bool empty()//判断队列是否为空{return front == rear;}bool full()//判断队列是否为满{return (rear +1)%size == front;}};//CirQueue结束MainPath.hvoid MinPath(int v){CirQueue s;//定义源为初始扩展结点MinHeapNode e;e.i = v;e.length = 0;dist[v] = 0;s.queryIn(e); //将源节点加入队列while(true){for(int j = 1;j<n;j++){if(j>=n){break;}MinHeapNode m = s.getQuery();if((c[m.i][j]<inf)&&(m.length + c[m.i][j] < dist[j]))//顶点i到顶点j可达，且从源出发途经i到j的路径长度小于当前最优路径长度{dist[j] = m.length + c[m.i][j];prev[j] = m.i;MinHeapNode mi;//加入活结点优先队列mi.i = j;mi.length = dist[j];if(s.full()){break;}s.queryIn(mi); //元素入队}}//for循环结束if(s.empty()){break;}s.queryOut(); //当该结点的孩子结点全部入队后，删除该结点 }//while循环结束}//方法结束output.hvoid output(int k,int q){int q1=q;if(dist[q1]==1000){cout<<"------------找不到此路径---------------"<<endl;return;}cout<<"最短路径长为: "<<dist[q1]<<endl;cout<<"单源最短路径为: ";int a[12]={0};int t =q1;int s=0;for(int i=0;t!=k;i++){a[i] = prev[t];t = prev[t];s=s+1;}for(i=s-1;i>-1;i--) {cout<<a[i]<<" ";}cout<<q1;cout<<endl<<"------------欢迎使用本系统---------------"<<endl; }六、测试数据及其结果分析1.选择起点：1，终点：111到11最短路径长为8，为1->3->7->10->11所获得。

《算法设计与分析》作业作业四+五回溯法+分支限界法1. 二元最大连通块搜索因为下了场大雨，青蛙王子高兴坏了，它有机会重新划定自己的王国范围。

在下图中，空白区域表示积水的地方，青蛙王子需要找到一块最大的连续积水区域（上下或左右相连）作为自己的新领地。

2. 三元最大连通块搜索小明在玩一种消除游戏。

游戏中有一个长方形的区域，被RGB(红绿蓝)三种颜色的小球充满。

要求每次找出当前最大连通区域（上下左右相邻同种颜色即可算作连通），进行消除。

####.######.######.#####the ans is 712 8..#......##....#.#....#..###.#......#.....##.#...#....#..##..#.####..#......#......#......#.....the ans is 181.3 程序运行情况1.4 程序源码（含注释）#include"bits/stdc++.h"using namespace std;#define inf 999//代码下标从0始，输入时.为可走，#为不可走int n,m;//行、列int ans,now;//最大连通数，当前搜索时连通数char e[inf][inf];//地图int book[inf][inf];//标记地图int pos[4][2]={-1,0,1,0,0,1,0,-1};//方位，上下右左void read()//输入数据{printf("input the row and the column of the map:"); scanf("%d%d",&n,&m);printf("now input the map:\n");for(int i=0;i<n;i++)scanf("%s",e[i]);2.4 程序源码（含注释）#include"bits/stdc++.h"using namespace std;#define inf 999//代码下标从0始int n,m;//行、列int ans,now;//最大连通数，当前搜索时连通数int ans_x,ans_y;//最大连通对应的字符char e[inf][inf];//地图int book[inf][inf];//标记地图int pos[4][2]={-1,0,1,0,0,1,0,-1};//方位，上下右左void read()//输入数据{printf("input the row and the column of the map:");scanf("%d%d",&n,&m);printf("now input the map:\n");for(int i=0;i<n;i++)scanf("%s",e[i]);。

算法设计与分析实验报告三=∉=+k i U r j i i i i j ,111行最小的两个元素素行不在路径上的最小元五.实验程序：#include<iostream>#include<stack>#define N 200using namespace std;class HeapNode{public:double uprofit,profit,weight; int level,x[N];};stack<HeapNode> H;double w[N],p[N];double cw,cp,c;int n;double Bound(int i){double cleft=c-cw,b=cp;while(i<=n&&w[i]<=cleft){cleft-=w[i];b+=p[i];i++;}if(i<=n) b+=p[i]/w[i]*cleft;return b;}void AddLiveNode(double up,double cp,double cw,bool ch,int level)HeapNode nod;nod.uprofit=up;nod.profit=cp;nod.weight=cw;nod.level=level;if(level<=n) H.push(nod); }double Knap(){int i=1;cw=cp=0;double bestp=0,up=Bound(1); while(1){double wt=cw+w[i];if(wt<=c){if(cp+p[i]>bestp) bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1); }up=Bound(i+1);if(up>=bestp)AddLiveNode(up,cp,cw,false,i+1);if(H.empty()) return bestp;HeapNode node=H.top();H.pop();cw=node.weight;cp=node.profit;up=node.uprofit;i=node.level;}}int main(){cout<<"请输入n和c:"; cin>>n>>c; cout<<"请输入w[i]"<<endl;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];cout<<"请输入p[i]"<<endl;for(int j=1;j<=n;j++) cin>>p[j];cout<<"最优值是："<<Knap()<<endl; return 0;}。

分支限界法实验报告引言分支限界法是一种解决组合优化问题的常用方法，该方法通过对问题空间进行分割，并使用上、下界进行限制，从而快速得到较优解。

在本次实验中，我们主要使用分支限界法解决旅行商问题（TSP），即给定一组城市和各城市之间的距离，求解经过所有城市且距离之和最小的路径。

实验目的本次实验的目的是通过编写程序，利用分支限界法求解旅行商问题，并分析算法的效率和求解结果的优劣。

实验过程问题模型我们使用邻接矩阵来表示城市之间的距离，并通过回溯法和分支限界法来求解最优解。

其中，回溯法用于生成所有可能的路径，而分支限界法则用于剪枝和获取最优解。

在分支限界法中，我们将问题抽象为一个树形结构，树的每个节点代表选择了某一条路径。

同时，我们定义一个上界来限制搜索的范围，并实时更新下界以筛选一些无效的路径。

通过不断剪枝和对路径进行排序，我们最终可以得到最优解。

算法实现我们使用Python语言实现了分支限界法求解旅行商问题的算法。

具体实施步骤如下：步骤1：生成邻接矩阵根据给定的城市和距离，我们首先生成一个邻接矩阵，用于表示各个城市之间的距离。

步骤2：初始化数据结构我们使用一个优先队列来保存当前搜索的路径，并将起始城市加入队列。

同时，我们定义一个全局变量来保存最优路径和当前最优路径的长度。

步骤3：搜索路径通过递归的方式，不断进行路径的搜索。

在搜索过程中，我们使用上、下界和分支限界来进行剪枝操作，并实时更新最优路径信息。

步骤4：输出结果最终，我们得到的最优路径就是旅行商问题的解。

我们将其输出，并统计算法的运行时间。

实验结果实验数据我们使用了一个包含20个城市的实例进行测试，城市之间距离的数据如下：城市距离-1 -2 101 - 3 15... ...19-20 12结果分析经过多次实验，我们得到了最优路径如下：1 -> 3 -> 10 -> 5 -> 17 ->2 -> 12 -> 11 -> 4 -> 9 -> 16 -> 6 -> 19 -> 18-> 13 -> 20 -> 15 -> 8 -> 7 -> 14 -> 1该路径的总距离为123，是经过所有城市且距离之和最小的路径。

实验报告分支限界法01背包实验报告：分支限界法01背包问题一、引言01背包问题是计算机科学中经典的问题之一，也是分枝限界法（Branch and Bound）的重要应用之一、本实验旨在通过使用分支限界法求解01背包问题，加深对该算法的理解，并验证其在计算机科学中的实际应用价值。

二、算法原理01背包问题是指在给定容量的背包和一组物品中，求解如何选择物品，使得在背包容量限制下，装入背包的物品总价值最大。

该问题可以使用动态规划方法求解，但这里我们采用分支限界法进行求解。

分支限界法首先将问题划分为多个较小的子问题，然后通过选择最有希望的子问题进行探索，并进行剪枝操作，以避免无效的，最后得到问题的最优解。

在01背包问题中，每个物品可以选择装入背包或不装入背包，因此可以通过对每个物品的选择进行枚举，并使用上界函数（bound function）对每个子问题的解进行估计，去掉必然不是最优解的子问题，从而减少空间。

具体实现中，可以使用一个优先队列（Priority Queue）来存储这些子问题，按照优先级从高到低的顺序进行扩展探索，直到找到最优解或队列为空时停止。

三、实验过程1.根据给定的背包容量和物品价值、重量数组，创建一个优先队列并初始化其第一个子问题。

2.使用循环进行优先队列的遍历，直到队列为空。

3.取出队列中优先级最高的子问题进行扩展探索。

4.对该子问题进行剪枝操作：若当前子问题的上界函数值小于当前最优解，则该子问题无需继续扩展。

5.对没有剪枝的子问题进行扩展操作：分为两种情况，一种是将当前物品放入背包，一种是不放入背包。

6.若扩展的子问题是可行解，则更新当前最优解。

7.将扩展的子问题加入优先队列。

8.重复步骤3-7，直到找到最优解或队列为空。

四、实验结果本次实验使用分支限界法求解了一个01背包问题。

背包的最大容量为W=10，共有5个物品，其重量分别为w={2,3,4,5,9}，价值分别为v={3,4,5,8,10}。

算法分析与设计实验报告第八次附加实验for(int i=1;i<n;i++)cout<<bestx[i]<<",";cout<<bestx[n]<<")"<<endl; }测试结果当输入物品数量较少时：当输入物品数量较一般时：当输入物品数量较大时：实验心得最优装载就是求解载重量最好的载重方案，之前最优装载采用了贪心算法，这里使用的使分支限界法；其实在使用分支限界法进行了单源最短路径的实现之后，在完成这个实验就显得更简单一点。

分支限界法的算法思想本身还是很好理解的，但是在这个问题中由于涉及到了剪枝的问题，所以新加入了一个0来判断一层是否结束，因为在一层结束的时候，代表该集装箱的情况已经考虑完了，需要考虑下一个集装箱，这个时候就需要更新剩余集装箱的重量，这会影响到一个右子树是否会被剪掉，因此要特别注意。

完整代码（分支限界法）//分支限界法求最优装载#include<iostream>#include<time.h>#include<iomanip>#include<queue>using namespace std;class QNode{friend void Enqueue(queue<QNode *>&,int,int,int,int,QNode *,QNode *&,int *,bool);friend void Maxloading(int *,int,int,int *);private:QNode *parent; //指向父节点的指针bool LChild; //左儿子标志，用来表明自己是否为父节点的左儿子int weight; //节点所相应的载重量};void Enqueue(queue<QNode *>&Q,int wt,int i,int n,int bestw,QNode*E,QNode *&bestE,int bestx[],bool ch){//将活节点加入到队列中if(i==n) //到达叶子节点{if(wt==bestw) //确保当前解为最优解{bestE=E;bestx[n]=ch;}return;}//当不为叶子节点时，加入到队列中，并更新载重、父节点等信息QNode *b;b=new QNode;b->weight=wt;b->parent=E;b->LChild=ch;Q.push(b);}void Maxloading(int w[],int c,int n,int bestx[]) //其中w[]为重量数组¦ { // c为船的总载重量,n为节点数//初始化queue <QNode *>Q; //活节点队列Q.push(0); //将第一个节点加入队列中，并用0表示同层节点的尾部标志int i=1; //当前扩展节点的层数，此时为int Ew=0; //扩展节点相应的载重量int bestw=0; //当前最优载重量int r=0; //剩余集装箱的重量for(int j=2;j<=n;j++) //求得最初的剩余载重量r+=w[j];QNode *E =0; //当前扩展节点QNode *bestE; //当前最优扩展节点//搜索子集空间树while(true){//首先检查左儿子节点int wt=Ew+w[i];if(wt<=c) //左儿子节点为可行结点{if(wt>bestw)bestw=wt;Enqueue(Q,wt,i,n,bestw,E,bestE,bestx,true);//将左节点加入队列}//检查右儿子节点，利用上届函数if(Ew+r>=bestw)Enqueue(Q,Ew,i,n,bestw,E,bestE,bestx,false);//将右节点加入队列E=Q.front(); //取出当前扩展节点Q.pop();if(!E) //到达同层的最末，此时需要更新剩余装箱载重量{if(Q.empty()) break; //此时队列为空Q.push(0); //加入0，表示该层结束E=Q.front();Q.pop();i++; //进入下一层r-=w[i];//更新剩余集装箱的值}Ew=E->weight; //新扩展的节点对应的载重量}//构造当前最优解for(int j=n-1;j>0;j--){bestx[j]=bestE->LChild;bestE=bestE->parent;}cout<<"最优载重量为："<<bestw<<endl;cout<<"最优载重方式："<<"(";for(int i=1;i<n;i++)cout<<bestx[i]<<",";cout<<bestx[n]<<")"<<endl;}int main(){int n;cout<<"please input number of node:";cin>>n;int *w=new int[n+1];int *bestx=new int[n+1];cout<<"please input weight:"<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];int c;cout<<"please input limit weight:";cin>>c;clock_t start,end,over;start=clock();end=clock();over=end-start;start=clock();Maxloading(w,c,n,bestx);cout<<"The time is "<<((double)(end-start-over)/CLK_TCK)<<endl;system("pause");return 0;}。

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握分枝限界法的基本原理和实现方法。

2. 通过实际编程，运用分枝限界法解决实际问题。

3. 比较分析分枝限界法与其他搜索算法（如回溯法）的优缺点。

4. 增强算法设计能力和编程实践能力。

二、实验内容本次实验主要涉及以下内容：1. 分支限界法的基本概念和原理。

2. 分支限界法在单源最短路径问题中的应用。

3. 分支限界法的实现步骤和代码编写。

4. 分支限界法与其他搜索算法的对比分析。

三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.83. 开发环境：PyCharm四、实验步骤1. 算法描述：分支限界法是一种用于解决组合优化问题的算法，其基本思想是在问题的解空间树中，按照一定的搜索策略，优先选择有潜力的节点进行扩展，从而减少搜索空间，提高搜索效率。

2. 程序代码：下面是使用Python实现的分支限界法解决单源最短路径问题的代码示例：```pythonimport heapqclass Node:def __init__(self, vertex, distance, parent): self.vertex = vertexself.distance = distanceself.parent = parentdef __lt__(self, other):return self.distance < other.distancedef branch_and_bound(graph, source):初始化优先队列和已访问节点集合open_set = []closed_set = set()添加源节点到优先队列heapq.heappush(open_set, Node(source, 0, None))主循环，直到找到最短路径while open_set:弹出优先队列中最小距离的节点current_node = heapq.heappop(open_set)检查是否已访问过该节点if current_node.vertex in closed_set:continue标记节点为已访问closed_set.add(current_node.vertex)如果当前节点为目标节点，则找到最短路径if current_node.vertex == target:path = []while current_node:path.append(current_node.vertex)current_node = current_node.parentreturn path[::-1]遍历当前节点的邻居节点for neighbor, weight in graph[current_node.vertex].items():if neighbor not in closed_set:计算新节点的距离distance = current_node.distance + weight添加新节点到优先队列heapq.heappush(open_set, Node(neighbor, distance, current_node))没有找到最短路径return None图的表示graph = {0: {1: 2, 2: 3},1: {2: 1, 3: 2},2: {3: 2},3: {1: 3}}源节点和目标节点source = 0target = 3执行分支限界法path = branch_and_bound(graph, source)print("最短路径为：", path)```3. 调试与测试：在编写代码过程中，注意检查数据结构的使用和算法逻辑的正确性。

实验五分支限界算法的应用一、实验目的1．掌握分支限界算法的基本思想、技巧和效率分析方法。

2．熟练掌握用分支限界算法的基本步骤和算法框架，FIFO搜索，LIFO搜索，优先队列式搜索的思想。

3．学会利用分支限界算法解决实际问题。

二、算法问题描述批处理作业调度问题：n个作业{1, 2, …, n}要在两台机器上处理，每个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理，机器1处理作业i所需时间为ai，机器2处理作业i所需时间为bi（1≤i≤n），批处理作业调度问题（batch-job scheduling problem）要求确定这n个作业的最优处理顺序，使得从第1个作业在机器1上处理开始，到最后一个作业在机器2上处理结束所需时间最少。

注意：由于要从n个作业的所有排列中找出具有最早完成时间的作业调度，所以，批处理作业调度问题的解空间是一棵排列树，并且要搜索整个解空间树才能确定最优解，因此，其时间性能是O(n!)。

在搜索过程中利用已得到的最短完成时间进行剪枝，才能够提高搜索速度。

三、算法设计批处理作业调度问题要从n个作业的所有排列中找出具有最小完成时间和的作业调度，所以如图，批处理作业调度问题的解空间是一颗排列树。

在作业调度问相应的排列空间树中，每一个节点E都对应于一个已安排的作业集。

以该节点为根的子树中所含叶节点的完成时间和可表示为：设|M|=r，且L是以节点E为根的子树中的叶节点，相应的作业调度为{pk,k=1,2,……n}，其中pk是第k个安排的作业。

如果从节点E到叶节点L的路上，每一个作业pk在机器1上完成处理后都能立即在机器2上开始处理，即从pr+1开始，机器1没有空闲时间，则对于该叶节点L有：注：(n-k+1)t1pk,因为是完成时间和，所以，后续的(n-k+1)个作业完成时间和都得算上t1pk。

如果不能做到上面这一点，则s1只会增加，从而有：。

类似地，如果从节点E开始到节点L的路上，从作业pr+1开始，机器2没有空闲时间，则：同理可知，s2是的下界。

华北水利水电学院算法分析与设计实验报告2011～2012学年第二学期2009 级计算机专业班级：2009119 学号：200911915 姓名：张志高实验三分支限界算法设计与实现一、实验目的：1、了解分支限界算法的设计思路与设计技巧，了解分支限界算法的算法框架，掌握两种分支限界算法的设计方法：队列式分支限界和优先队列式分支限界法；2、了解分支限界算法与回溯算法的区别与联系，了解分支限界算法复杂性计算。

二、试验内容：1、布线问题三、核心程序源代码：#include <iostream> #include<stdio.h>using namespace std;typedef struct{int row ;int col ;}Position;typedef struct{//struct Position;int row[10000] ;int col[10000] ;int end;int begin ;}Queue;int grid[100][100];Position start, finish;int PathLen = 0;Position * path;int n , m , a , b , x ;bool FindPath(Position start,Position finish){//计算从起点位置start到目标位置finish的最短布线路径，找到最短布线路//径则返回true，否则返回falseif((start.row==finish.row) && (start.col==finish.col)){PathLen=0;return true;} //start=finish//设置方格阵列“围墙”int i ;for( i=0; i<= m+1; i++)grid[0][i]=grid[n+1][i]=1; //顶部和底部for( i=0; i<= n+1; i++)grid[i][0]=grid[i][m+1]=1; //左翼和右翼int j ;//初始化相对位移Position offset[4];offset[0].row=0; offset[0].col=1;//右offset[1].row=1; offset[1].col=0;//下offset[2].row=0; offset[2].col=-1;//左offset[3].row=-1; offset[3].col=0;//上int NumOfNbrs=4;//相邻方格数Position here,nbr;here.row=start.row;here.col=start.col;grid[start.row][start.col]=2;//标记可达方格位置//LinkedQueue<Position> Q;Queue Q ;Q.end = 0 ;Q.begin = 0 ;do {//标记相邻可达方格for( i=0; i<NumOfNbrs; i++){nbr.row=here.row + offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//该方格未被标记grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row) &&(nbr.col==finish.col))break; //完成布线//Q.Add(nbr);Q.col[Q.end] = nbr.col;Q.row[Q.end] = nbr.row;Q.end++;}}//是否到达目标位置finish？if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col)) break;//完成布线//活结点队列是否非空？if(Q.begin==Q.end) return false;//无解else{here.row=Q.row[Q.begin];here.col=Q.col[Q.begin];Q.begin++;//取下一个扩展结点}}while(true);//构造最短布线路径PathLen=grid[finish.row][finish.col]-2;path=new Position[PathLen];//从目标位置finish开始向起始位置回溯here=finish;for( j = PathLen-1; j>=0; j--){path[j]=here;//找前驱位置for( i=0; i<NumOfNbrs; i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==j+2) break;}here=nbr;//向前移动}return true;}int main(){int j ;printf("输入电路板区域n*m和封锁的格数x:\n"); cin>>n>>m>>x; printf("输入封锁的坐标:\n");for( a = 0 ; a < n+2 ; a ++ )for( b = 0 ; b < m +2 ; b ++ )grid[a][b] = 0 ;for( x = x ; x >= 1 ; x -- ){cin >> a >> b ;grid[a][b]= 1;}printf("输入起始位置和结束位置:\n");cin>>start.row>>start.col>>finish.row>>finish.col; if(FindPath(start,finish)){printf("输出路径长度及途中坐标:");cout<<PathLen<<endl;cout<<start.row<<" "<< start.col<<endl;for( j = 0 ; j < PathLen ; j++ )cout<<path[j].row<<" "<<path[j].col<<endl;}else cout<<"No Solution!"<<endl;delete []path;return 0 ;。