矩阵理论试卷(整理版)

山东科技大学2010研究生矩阵理论试卷 1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空

间和列空间.

2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是 左零空间。

3、 利用QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。

4、 通过矩阵 svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。

5、 将3×3矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式 ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛101010001

6、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。

7、 所有的2×2实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛1000010000100001 8、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。

9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与n R 同构。

10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行，n 列，则输入空间的维数是n 。

二、判断题

1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R ）

2、两个子空间的并集是一个子空间。（F ）

3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。（F ）

4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R ）

5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F ）

6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F ）

7、任何N ×N 的实矩阵都可以对角化。（F ）

8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F ）

9、任何M ×N 实矩阵都有奇异值分解。（R ）

10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R ）

三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）

设矩阵A 为 A=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛4242 1、求矩阵A 的四个基本子空间的基和维数

初等变换 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0042 dim R （A ）=dim R （T A ）=1 dim N （A ）=dim N （T A ）=1 R(A)的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22 R(T A )的基 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42 N(A)的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12 N(T A )的基 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-11 2、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。

自己画很好弄

3、写出投影到矩阵A 的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]T 在列空间上的投影矩阵。

IP =A(T A A)1-T A 因为 (T A A)1-不存在 不能用这种方法求解 求出列空间的基 B=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛11得

IP=B(T B B)1-T B =2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111 投影矩阵 IP*b=2⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛11 4、写出投影到矩阵A 的左零空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]在左零空间上的投影向量。 N(T A )⊕R(A)=IR 3 N(T A )=R(A)⊥ 所以3IR ∈∀α )()(T A N A R IP IP ααα+= 所以

)()(A R A N IP I IP T -==⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----1221 投影矩阵)(T A N IP *b=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12 四、（矩阵奇异值分解的伪逆）设矩阵A 为A=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-1122 1、求矩阵A 的奇异值分解。 A T

A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11221212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5335=V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222100σσV T 所以821=σ 222=σ 归一化为特征向量⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121和⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121 u 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01212111228111σAv 同理的u 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10从而A 的svd 分解是A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2008⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212121 2、通过奇异值分解计算矩阵的M-P 伪逆。

A +=V +∑T U =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212121⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛210081⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212141 五、（基变换和坐标变换）在线性空间V=P 3(x)中，有三个向量

f1（x ）=-3+2x-x 2

f2（x ）=-x+2x 2

f3(x)=-1+2x-x 2

1、 证明B={f1（x ），f2（x ），f3（x ）}构成V=P 3（x ）的一个基。

设1k f 1+k 2f 2+k 3f 3=θ 解方程得矩阵满秩 所以k 1=k 2=k 3=0所以是基

2、 设V=P 3（x ）中有标准基S={1，x ，x 2}，写出由标准基S 到基B 的过渡矩阵。

（-3+2x-x 2 -x+2x 2 _1+2x-x 2）=(1 x x 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----121212103 Q=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----121212103

计算出向量f （x ）=3+12x+7x 2在基S 下的坐标向量。

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛7123

3、 根据前述结果，利用坐标变换，计算出向量f （x ）=3+12x+7x 2在基B 下的坐标向量。

B=Q 1-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7123=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---2112

132310

613121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7123=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-17326320