数学微积分的初步应用

上海中学数学・２０１３年第３期

微积分在高考数学试题中的应用

２００２３４上海师范大学数理学院王茜

随着新编高中教材内容的更新以及全国中学生

数学竞赛水平的不断提高，高等数学的思想和方法

的渗透越来越普遍和深入，高等数学中的某些概念

和理论与中学数学里相应知识的联系也日益增多．

纵观我国这几年的数学课程改革，高中课程标准中

增加了一些高等数学的基础知识（如向量、微积分、

概率和统计等），渗透了不少高等数学的思想方法．

中学数学中常用的高等数学方法有微积分法、

行列式法、向量法、概率法等．微积分是高中数学新

课程标准中新增的内容之一，它以数列极限为基础，

在中学数学的许多问题上能起到以简驭繁的作用，

四、全称命题的一题多解

例４已知户：ｚ２—２Ｔ＋ｎ＜。，ｑ：｛萎二篡丰ｉ主：，

且ｑ是ｐ的充分条件，求实数口的取值范围．

分析：ｑ：２＜Ｔ＜３，’．‘ｑ是户的充分条件，．‘．Ｖｚ

∈（２，３），Ｔ２—２ｚ＋口＜ｏ恒成立．

解１：（子集法）设Ｔ２—２ｚ＋口＜０的解集为

（ｚｌ，ｚ２），．‘．（２，３）∈（ｚ１，Ｔ２）．

令，（Ｔ）＝Ｔ２—２Ｔ＋口，结合图像可知

聪嚣得惫３．

解２：（函数思想）令．厂（ｚ）＝ｚ２—２ｚ＋ｎ，‘．。

厂（Ｔ）的对称轴为直线Ｔ一１，．。．厂（ｚ）在区间（２，３）上

单调递增，．。．厂（ｚ）。。。＜，（３）一３＋口，从而３＋ｎ≤ｏ，

得ｎ≤一３．

解３：（分离变量）将问题转化成口＜一ｚ２＋２ｚ

对Ｖｚ∈（２，３）恒成立，‘．’一３＜一ｚ２＋２ｚ＜０，．．．ｎ＜

（一ｚ２＋２ｚ）。，。，得口≤一３．

解决恒成立问题的方法有很多，一般根据具体

题目去选择适当的方法，而分离变量是比较常用的，

这样解题比较快而且正确率较高．

五、存在性命题的一题多解

例５若ｊｚ∈［１，２］使得ｚ２—２ｚ＋口＞ｏ成立，求实数口的取值范围．尤其是在不等式的证明、求函数极值与切线及单调

区间、方程根的讨论、求未知参数、求曲边图形的面

积等方面，不仅可以简化解法，而且能使问题的研究

.

1 / 15 微积分在中学数学教学中的应用

摘 要

微积分是高中数学新增加的容,也是大学数学的重要的基础课程,容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础,提供以直代曲,把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式,在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.

在高中阶段开设部分微积分的容,不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求,也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容,在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中,没有得到它应有的体现,难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.

论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书 数学》第三册〔选修2—2〔人民教育 ,从微积分产生的时代背景和历史意义出发,简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义,论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性,通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究,结合现代教育教学理论,归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.

关键词：微积分；导数；应用

目 录

1引言1

2文献综述3

2.1国外研究现状3

2.2国外研究现状评价3

2.3提出问题4

3微积分在中学数学教学中的应用4

3.1微积分与中学数学的联系4

3.2微积分在中学数学中的地位和作用4

3.3微积分在中学数学解题中的应用5 .

2 / 15 导数在求曲线的切线中的应用5

导数在不等式证明中的应用5

导数在恒等式证明中的应用的6

导数法在求函数极值、最大〔小值中的应用7

导数在几何上的应用9

导数在方程解的问题上的应用9

导数在数列问题中的应用9

运用微分学知识研究函数图像[4]10

4定积分在中学数学中的应用10

4.1定积分在求曲边形面积上的应用10

微积分的起源与发展

主要内容：

一、微积分为什么会产生

二、中国古代数学对微积分创立的贡献

三、对微积分理论有重要影响的重要科学家

四、微积分的现代发展

一、微积分为什么会产生

微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。

微积分的历史与现代应用

微积分是一门探究极限、导数、微分、积分等概念与运算的学科，也是数学学科中最为重要的分支之一。微积分的产生和发展与人类社会的发展息息相关，经历了长期的演变和不断的发展，其在现代科学技术中有着极其重要的应用，广泛应用于物理、工程、经济学、生物学等众多领域。

微积分的历史

一般认为，微积分的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家阿基米德、欧多克索斯、尤基里德等人已经发现了一些微积分的雏形，但由于观念的限制，未能发展成为完整的学科。直到17世纪，微积分才得到了完整的建立。欧洲的许多数学家如牛顿、莱布尼兹和贝努利等科学家为微积分的发展做出了巨大的贡献。

牛顿和莱布尼兹被认为是微积分的奠基人，他们独立地发明了微积分，并开创了微积分的现代化。牛顿在1687年发表的《自然哲学的数学原理》中系统地阐述了微积分学术体系，并提出了牛顿-莱布尼兹公式。莱布尼兹于1675年发明了微积分算法，并开创了解析几何的方向。此后，微积分的研究不断深入，数学家们陆续发现了微积分中导数、微分、积分等概念的重要性。

微积分的现代应用

微积分的应用领域非常广泛，是现代科技和社会发展不可或缺的数学工具之一。下面列举几个微积分在现代应用中的典型例子：

1. 物理学

微积分在物理学领域中应用广泛，可以用于描述宏观世界和微观世界中的运动、力学、动力学等现象。比如，微分方程可以用于模拟天体运动、分析电路的电流变化规律等。

2. 工程学

微积分在工程学领域中的应用也非常重要，可以用于分析机械系统、电子电路、管道流动等各种物理量的变化。比如，微积分可以用于分析控制系统的动态特性，以及对弹道飞行车的设计和仿真等。

3. 经济学

微积分在经济学领域也处于十分重要的地位，可以用于计算和分析股票、货币、商品价格变化等问题。比如，微积分可以用于研究供求关系，计算价格的变化率，以及预测市场走势等。

4. 生物学

生物学领域中也广泛应用了微积分的知识，比如用微分方程可以分析化学反应的速率，分析生物系统的动态变化等。微积分还可以用于分析生物中的生长、分裂、迁移等生命过程。