高中数学微积分初步

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大学微积分与高中数学的衔接

作者：薛立宏

来源：《教学管理与教育研究》2016年第06期

摘要： 在进入大学阶段，所获得的知识同高中知识存在较多的不同。同时，两者间也存在着一定的联系。通过这部分联系的把握，能够更好的为教学以及学习提供指引。笔者将就大学微积分与高中数学的衔接进行一定的研究。

关键词：大学微积分 高中数学 衔接

数学知识具有一定的连贯性特征，学生在中学学习到的数学知识，可以说是其进入到大学校园当中非常必要且基础的条件，且在大学数学当中也有很多同中学数学内容相联系。而在实际教学过程中，在两者衔接方面还存在着一定的问题，并因此对实际教学效果产生了较大的影响，需要及时做好问题把握，以科学方式的应用提升教学效果。

一、大学同中学微积分教学中存在问题

（一）内容脱节

就我国目前大学的数学教学来说，在课程方面已经较为稳定，不存在对课程内容进行大幅度调整的情况。而在该种情况下，不同专业间的教学大纲也存在着一定的不同，并在所使用教材方面存在较多的版本，大学同中学在教学当中相对独立的情况较为严重，并因此导致两者在教学内容衔接方面存在较多的问题。以高等数学为例，函数是其中的重点内容，而在高中数学当中，三角函数积化和等差公式等内容相对较少，并因此使学生在接触高等数学后存在一定的知识不足情况。此外，在目前高中教学中，极坐标系、不等式以及反函数等内容同以往相比也存在削弱的情况，而对于这部分内容来说，在大学数学的微积分教学中却具有重要的作用，且在大学教材中并没有对这部分内容进行详细的介绍，也因此会对学生的实际学习产生影响。

（二）手段差异

对于微分、积分以及导数等内容来说，其在高等数学以及高中数学课程中都有安排。而在实际教学中，对这部分内容在性质、思想阐述、定义以及定理推导方面也存在着一定的不同。对于大学来说，其在教学当中对数学方法以及数学思想非常注重，且同高中数学相比课堂容量更大。如在高中数学课程中，在对导数以及极限知识进行学习时主要以定性的方式对相关概念的求法以及定义进行介绍，在数学定义理解方面并没有太高的要求。而在高等数学当中，则通过严格的ε-δ语言对函数以及数列的极限进行定义，不仅对导数概念具有详细的定义，且在导数以及极限运算方面也有更高的要求。 龙源期刊网

微积分在高中数学解题中的应用　■张海燕　伴随新课程标准改革进程的不断深入，高中数学内容也　渐渐开始同大学数学内容紧密联系，有的甚至把大学生数学　当成是高中数学知识的一个延伸．加之，近些年来，反三角函　数、微积分与三角方程、向量、数列极限以及概率统计、矩阵等　知识均被不同程度的纳入到高中数学学生中，大大加大了高　中数学教学的难度．但是，从另一方面而言，这些知识虽相对　来说比较难，但却为学生解题带来了众多技巧，能够帮助学生　快速准确解题．下面就以微积分知识为例，就其在高中数学解　题中的应用作一分析．　一、导数在几何解题中的应用　在高中数学相关几何解题中应用导数知识，可使计算变　得更加简洁，大大提高了解题效率．例如在切线方程解题中，　若已经曲线外一点，求过该点的曲线切线方程，就可利用导数　这个知识进行快速求解．　例１求过Ａ（１，１）的曲线Ｂ：Ｙ—Ｌｚ　＋ｚ的切线的方程．　解析：结合题意得出点Ａ不在曲线Ｂ上，即将其切点设　为（ｚｌ，Ｙ１）．　因Ｙ　一２ｘ＋１，故其切线斜率为：ｋ一２ｘ　＋１．　得出切线方程为：Ｙ—Ｙ　一（２ｘ　＋１）（ｚ—ｚ　）　１（ｓｃ　＋ｚ１）一（２ｘ１＋１）（１一ｚ１）．　得出：ｚ１—０，或ｚｌ一２．　最后得出切线方程为：Ｙ—ｚ，或Ｙ一５ｘ　４．　二、导数在函数极值求解中的应用　例２已知函数ｆ（ｘ）—ｚ。一６ｏｒ　＋Ｃ２Ｃ在ｚ—ｆ处可取得　最小值ｇ（　），求ｇ（￡）定义域与值域．　解析：，　（ｓｏ）一３ｘ　１２ｘ＋Ｃ一（ｚ　２）　＋Ｃ　１２，　假设厂　（ｚ）一０，得出Ｃ一　３ｔ　＋１２ｔ．　这时，因＿厂（　）可取极小值，故ｆ（ｘ）一０有解．　当Ｃ≥１２时，，　（ｚ）≥０，这时，（ｓｃ）无极值；而当Ｃ＜１２　时，＿厂　（ｚ）一０存在两个互异实根Ｘ　，ｚ　，故假设ｚ　＜ｚ　，得出　ｌ＜２＜ｚ　２．　当ｚ＜ｚ　，，　（－ｚ）＞Ｏ，ｆ　（ｚ）在区间（一。。，ｚ　）内是增函　数；当ｚ　＜ｚ＜ｚ　ｚ，，　（Ｌｚ）＜Ｏ，ｆ　（ｚ）在区间（３ｃ　，ｚ　）内是减函　数；当ｚ＞ｚ。，ｆ　（ｚ）＞Ｏ，ｆ　（ｚ）在区间（　，＋。。）内是增函数．　故，（－Ｉ）在ｚ—ｚ　ｚ时，函数＿厂　（ｚ）在Ｘ—ｚ　ｚ有唯一极小　值，故ｔ—ｚ　２＞２．　得出ｇ（ｔ）定义域是（２，＋。。）．　同时由，（ｔ）一３ｔ。一１２ｔ＋ｃ一０，　得出ｆ一一３ｔ　＋１２ｔ　ｇ（ｔ）一厂（ｆ）一ｔ。一６￡　＋ｃｔ一一２ｔ。一６ｔ　．　当ｔ＞２时，ｇ　（ｔ）一一６ｔ　＋１２ｔ一６　（２一ｔ）＜０．　故得出函数ｇ（￡）在区间是（２，＋ｏｏ）内是减函数，即ｇ（￡）　值域是（一。。，８）．　在这类求解函数极值题目中，学生时常会将原函数导数　等于０的时候当成其极值点，进而导致求解错误，故解题时必　须注意这一问题．　三、定积分在求解平面图形面积中的应用　虽然利用定积分求解平面图形面积，不是高考中的一个　必考题目，但也是高中学生必须掌握的一种解题方法与步骤，　对发散学生思维有着重要作用．　例３　已知二次函数ｆ（－ｚ）一　一－ｚ　＋８ｘ，直线Ｌｌ：Ｙ一一ｔ　＋８ｔ，　其中Ｏ≤￡≤２，且ｔ为常数；Ｌ　ｚ：ｚ一　２．假如直线Ｌ　、Ｌ　同函数＿厂（ｚ）图　像与Ｙ轴所围成的封闭图形为图１　的阴影部分，求：阴影部分面积ｓ关　于ｔ的函数Ｓ（　）的解析式．　由ｆｙ￣ｍ　ｒ　２　’得出　解析：由｛　…，　得出　Ｉ　—　ｚ　十ｂｚ＇　ｚ　—８ｘ—ｔ（ｔ一８）一０．　所以　ｌ—ｔ，ｚ　２—８一ｔ．　因１　因为Ｏ≤ｔ≤２，所以直线Ｌ　同，（ｚ）图像的交点坐标为　（￡，一ｔ　＋８ｔ），进而由定积分几何意义得出：　Ｓ　（ｔ）　一　Ｊ　［（一ｔ　＋８ｔ）一（一－ｚ　＋８ｘ）］ｄｘ　＋Ｊ　Ｉ－（ｚ　＋８ｘ）一（一ｔ　＋８ｔ）３ｄｘ　一卜　＋ｓ　一（一等　）　ｒ，　３　、　－Ｉ　Ｉ　２　＋ｌ　ｌ　＋４ｘ。）一（一ｔ　＋８ｔ）ｚ　Ｉ　ｊ　Ｌ、　ｏ　，　Ｊ　ｔ　一　＋ｌｏｔ　ｚ－－１ｅ汁　．　在这道题目解答中，若学生对定积分几何意义理解不到　位，极易出错，故学生在解题时必须引起足够的重视．一般来　说，由曲线Ｙ—ｆ（ｘ），Ｙ—ｇ（ｚ）同两直线３２一。，ｚ—ｂ（ｎ＜６）　所围成的一个曲边形面积就是Ｓ—ｊ　Ｉ　ｆ（ｘ）一ｇ（ｚ）ｌ　ｄ　，而　在这里，被积函数绝对值也是不可缺少的，故在实际解题中，　其实就是具体结合两函数Ｙ—ｆ（ｘ），Ｙ—ｇ（ｚ）图像位置高低，　来采用分段形式将该曲边形面积表示出来．而在本题中，所求　阴影部分分布在直线Ｌ　上下两处，故可将其分成两段来求　解，而积分函数采用上方函数解析式减下方函数解析式的方　式来表示，即第一部分是ｎ［（一ｔ　＋８ｔ）一（一ｚ　＋８ｘ）］ｄ３ｃ，　而第二部分是Ｊ　［（一３２　＋８ｘ）一（一ｔ　＋８ｔ）ｚ］ｄｚ，这时，若将　两者颠倒顺序，得到的就是负值．在利用定积分几何意义来求　解曲边形面积的时候，需注意其图形面积同定积分并不一定　是相等的，比如函数Ｙ—ｓｉｎｚ，ｚ∈Ｆ０，２　］的图像同　ｚ轴所围　成的图形面积就是４，但其定积分却为Ｏ．故在利用定积分表示　几何意义来求得定积分的时候，学生必须要具备一定的分析　能力、观察能力与逻辑推理能力．　总而言之，微积分知识在高中数学解题中的具体应用，除了　上述三个方面，还可在不等式证明、因式分解、求等差数列与化简　代数式、平面曲线弧长，以及变速曲线运动位置等解题中广泛应　用，意义重大．而伴随同微积分相关的大学数学知识在高中数学　内容中的延伸，在教学过程中，教师在传授知识点的时候，不仅需　要要求学生掌握它、灵活运用它，就自身而言，还需准确把握高中　数学同大学数学问的衔接关系，准确把握高考热门考点，及时调　整教学内容，改进教学方法，积极引导学生利用微积分知识来解　决问题，以此来不断提升学生的解题能力，提高高中数学的教学　效果．　作者单位：山西省运城盐化中学　中　学　生　数　理　丫匕　掌　研　版　

第３５卷第２期　

２０１４年４月　通化师范学院学报（自然科学）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＯＮＧＨＵＡ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖ０１．３５№２　

Ａｐｒ．２０１４　

微积分教学中融合数学文化的初步探讨　

陈少军　

（闽南理工学院，福建泉州３６２７００）　

微积分教学是大学数学教学的基础部分，在整　

个教学体系中占有十分重要的地位．教好微积分，使　

学生打好基础，受到良好的数学教育，培养提高创新　

能力，是高校数学教师必须思考和解决的重大问题．　

数学文化对微积分教学的重要作用早已被一些　

西方数学家所认识．许多数学家都提倡在微积分教　

学中直接或间接融合数学文化，综合具体的教学实　

践，融合数学文化是教好微积分的一个有效途径．　

１　数学文化对微积分教学的意义和作用　

“数学文化”是指数学的思想、方法、观点，以及　

它们的形成和发展，广泛些说，它还包含数学家、数　

学史、数学美、数学发展中的人文成分、数学与各种　

文化的关系等．数学不是一系列数字符号的堆砌，其　

实它还包含着人文精神内涵，它体现了求真、勇敢、　

合作等人类精神，这些都是人文精神的升华，而这就　

是一种文化的体现．数学文化是不同于艺术、技术一　

类的文化，它属于科学的文化．数学文化具有思维　

性、数量化、实用性和育人性等主要特征，这些决定　

了数学不仅具有科学的价值，还要有文化的价值．数　

学的内容、方法和语言已成为现代文化的重要组成　

部分．数学文化对于深刻认识数学科学本身，乃至全　

面了解整个人类文明的发展都具有重要意义．　

数学文化对于微积分教学主要有以下三方面的　作用：　

（１）对课程设置和教材编写具有指导作用．数　

｛　收稿日期：２０１３—１０—２３　作者简介：陈少军（１９８４一），男，福建泉州人，教师．　基金项目：福建省中青年教师教育科研项目资助（ＪＢｌ３４１７Ｓ）　学课程的设置和教材编写要注意体现数学的发展趋　

势．长期以来，我国高校非数学专业的数学基础课都　

局限于以微积分为主要内容的高等数学．世纪之交，　

高中数学微积分知识点微积分极限概念

十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。

注:在中世纪(14—17世纪)欧洲数学大发展的时期，我国基本处于停滞状态(明、清时期)。所以，我国的数学家与微积分无缘。