九年级数学二次函数与一元二次方程的关系练习题(含答案)

第1页（共16页） 二次函数与一元二次方程的关系

一、选择题

1、［2021河西区·期末］若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论： ①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

［思路分析］将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项①进行判断；

再利用根与系数的关系求出两根之积为30﹣m，这只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；

将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y＝0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．

［答案详解］解：一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m化为一般形式得：x2﹣11x+30﹣m＝0，

∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，

∴b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4（30﹣m）＝4m+1＞0，

解得：m＞﹣，故选项①正确；

∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，

∴x1+x2＝11，x1x2＝30﹣m，

而选项②中x1＝5，x2＝6，只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；

二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m，

＝x2﹣11x+（30﹣m）+m

＝x2﹣11x+30

＝（x﹣5）（x﹣6），

令y＝0，可得（x﹣5）（x﹣6）＝0，

解得：x＝5或6．

∴抛物线与x轴的交点为（5，0）或（6，0），故选项③正确．

综上所述，正确的结论有2个：①③．

第2页（共16页） 故选：C．

［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．

2、［2021南关区·期末］二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（ ）

A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5

［思路分析］根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．

［答案详解］解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．

所以x1＝﹣1，x2＝5，

∴x1x2＝﹣1×5＝﹣5，

故选：C．

［经验总结］考查抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．

3、［2021肥东县·期末］二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（ ）

A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3

［思路分析］根据二次函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴有两个公共点可知Δ＞0且a≠0，据此可知a的取值范围．

［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，

∴Δ＞0且a≠0，

即36﹣4a×3＞0，

解得a＜3且a≠0．

故选：B．

［经验总结］本题考查了二次函数的定义和抛物线与x轴的交点，要结合判别式进行解答．

4、［2021房县·期末］二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（ ）

A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点

第3页（共16页） ［思路分析］根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点个数．

［答案详解］解：当x＝0时，y＝1，

当y＝0时，0＝﹣x2+2x+1，

∴△＝b2﹣4ac

＝22﹣4•（﹣1）•1

＝8＞0．

∴与x轴有两个交点

∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点．

故选：C．

［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、与y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

5、［2021旬邑县·期末］如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）

A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0

［思路分析］根据二次函数图像和性质依次判断即可．

［答案详解］解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，

∴a＜0，c＞0．

∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a＜0．

∴abc＞0．

∴A不合题意．

∵抛物线过点A（1，0）．

∴a+b+c＝0．

∴a+2a+c＝0，

∴3a+c＝0．

∴B符合题意．

由图知：当x＝2时，y＜0．

第4页（共16页） ∴4a+2b+c＜0．

∴C不合题意．

∵b＝2a，

∴2a﹣b＝0．

∴D不合题意．

故选：B．

［经验总结］本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是求解本题的关键．

6、［2021准格尔旗·期末］如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

［思路分析］根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1可得抛物线与x轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1可得b与a的关系，将b＝﹣2a代入函数解析式根据图象可判断②由ax2+bx+c＝n有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值为y＝n可判断④．

［答案详解］解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），

∴抛物线对称轴为直线x＝1，

∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，

∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，

∴x＝﹣1时，y＞0，

即a﹣b+c＞0，

故①正确，符合题意．

∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，

∴b＝﹣2a，

第5页（共16页） ∴y＝ax2﹣2ax+c，

∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，

故②正确，符合题意．

∵抛物线顶点坐标为（1，n），

∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，

∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，

∴b2＝4a（c﹣n），

故③正确，符合题意．

∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，

∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，

故④正确，符合题意．

故选：D．

［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．

二、填空题

7、［2021汕尾·期末］已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（﹣4，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为 ．

［思路分析］根据抛物线与x轴的交点坐标可以直接写出抛物线交点式方程，然后利用二次函数与一元二次方程的关系求得答案．

［答案详解］解：根据题意知，该抛物线解析式是y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x+4），

∴关于x的方程ax2+bx+c＝0＝a（x+2）（x+4）＝0．

∴x+2＝0或x+4＝0，

∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．

故答案是：x1＝﹣2，x2＝﹣4．

［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．

8、［2021庆阳·期末］若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），则该抛物线的对称轴是 ．

［思路分析］由抛物线与x轴的两个交点，利用对称性确定出对称轴即可．

［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣6，0）和（4，0），

第6页（共16页） ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，

故答案为：直线x＝﹣1．

［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握抛物线的对称性是解决问题的关键．

9、［2021姜堰区·期末］已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．

［思路分析］根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．

［答案详解］解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，

∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），

∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝﹣1，

∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），

∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，

∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，

∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），

故答案为：（﹣6，0）．

［经验总结］此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．

10、［2021密山市·八五七农场学校期末］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．

［思路分析］利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＞0的解集．

［答案详解］解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．