下载文档原格式
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高二数学均值定理的应用试题答案及解析1.设x>0，y>0，z>0，a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】由于三者的地位彼此相同，三者的地位彼此也相同.因此设,则，即至少有一个不小于2.【考点】基本不等式.2.设，若，则的最小值为____________.【答案】9.【解析】∵①，同理②，③，①+②+③，可得，当且仅当时，“=”成立，故的最小值为9.【考点】基本不等式求最值.3.设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是()A．a2＋b2＋2≥2a＋2b B．C．＋≥2D．a3＋b3≥2ab2【答案】D【解析】A可变为，一定成立；B 由已知，结合对数函数的性质一定成立；C由已知，结合基本不等式，知一定成立；故选D.考点:对数函数，基本不等式.4.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?【答案】故当长宽都为9m时,面积最大为81.【解析】本题考查周长为定值的矩形面积最大的问题.应用基本不等式求得最大值.试题解析：解:设矩形的长宽分别为,则有,,面积,当且仅当时取“＝”,故当长宽都为9m时,面积最大为81.【考点】基本不等式的应用.5.若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A．8B．12C．16D．20【答案】C【解析】因为，直线始终平分圆的周长，所以圆心（-4，-1）在直线上，从而，4a+b=1，所以，，故选C。
【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系，均值定理的应用。
点评：小综合题，本解法通过“1”的代换，创造了应用均值定理的条件。
应用均值定理，“一正，二定，三相等”缺一不可。
6.求使≤(x＞0，y＞0)恒成立的的最小值【答案】【解析】本题主要考查了基本不等式的综合．（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．先将题设的不等式平方后，同时利用基本不等式综合可求得a的最小值满足的等式求得a．解法一由于的值为正数，将已知不等式两边平方，得x+y+2≤2(x+y)，即2≤(2－1)(x+y)，①∴x，y＞0，∴x+y≥2，②当且仅当x=y时，②中有等号成立比较①、②得的最小值满足2－1=1，∴2=2，= (因＞0)，∴的最小值是解法二设∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，7.下列各式中，最小值等于的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为选项A中没有说明x,y是同号，因此不成立选项B中，由于，使用均值不等式时，等号不成立，因此错误。
均值不等式专题20道-带答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（均值不等式专题20道-带答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为均值不等式专题20道-带答案的全部内容。
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。
15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。
20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式,巧解高考题(高二、高三)
均值不等式是数学中一个重要的定理，在高考数学考试中，也常常出现均值不等式这类题目，值得深入了解。
均值不等式是指大于等于算术平均数的等式：有n个实数的算术平均数为x1, x2, x3,…, xn 的时候，可得:x1+x2+x3+…+xn≥n*x。
在高考中，经常出现均值不等式的题目。
比如有个简单的题目：若给定的三个数a,b,c的和为6，则a,b,c的算术平均数不大于多少呢？解题方法
1.设三个数为a,b,c，因为这三个数的和为6，所以，有a+b+c=6；
2.现在要求a,b,c的平均数不大于多少，即求a,b,c的算术平均数x，即x=（a+b+c）/3；
3.由于a,b,c三个数的和为6，代入上式可以得x=2；
4.最后，通过均值不等式可以得：a+b+c≥3*2，也就是a,b,c的算术平均数不大于2。
以上就是均值不等式的一般求解方法，解题的思路是先明确问题的类型，然后再利用均值不等式的条件来解决问题。
同时也可以利用均值不等式解答一些常见的数学题目。
总之，均值不等式是一个重要的数学定理，在高考数学考试中，也经常出现，要想在考试中取得好成绩，就要熟悉均值不等式相关的试题，并掌握它的解题思路。
高二下册均值不等式练习题在高中数学的学习中，均值不等式是一个非常重要且常用的概念。
它包含了一系列不等关系，可以帮助我们解决许多数学问题。
在下面的练习题中，我们将通过实例来巩固和应用均值不等式的知识。
练习题1：已知实数a、b、c均为正数，并且满足abc=1，证明：(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8。
解答：首先，我们可以展开(a+b)(b+c)(c+a)的乘积：(a+b)(b+c)(c+a) = ab^2 + bc^2 + ca^2 + 2abc + (a^2c + b^2a + c^2b)。
注意到abc=1，我们可以得到：(a+b)(b+c)(c+a) = ab^2 + bc^2 + ca^2 + 2 + (a^2c + b^2a + c^2b)。
由于a、b、c均为正数，所以ab^2 + bc^2 + ca^2 ≥ 3√(ab^2bc^2) = 3abc = 3，而(a^2c + b^2a + c^2b) ≥ 3√(a^2c^3b) = 3abc = 3。
将这两个不等式代入前面的等式，我们得到：(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 3 + 2 + 3 = 8。
因此，要证明的不等式成立。
练习题2：已知实数a、b、c大于0，并且满足a+b+c=1，证明：(3a+1)(3b+1)(3c+1) ≤ 8。
解答：我们可以先展开(3a+1)(3b+1)(3c+1)的乘积：(3a+1)(3b+1)(3c+1) = 27abc + 9(ab+ac+bc) + 3(a+b+c) + 1。
注意到a+b+c=1，我们可以得到：(3a+1)(3b+1)(3c+1) = 27abc + 9(ab+ac+bc) + 3 + 1。
由于abc≤(ab+ac+bc)/3，所以27abc ≤ 9(ab+ac+bc)。
将这个不等式代入前面的等式，我们得到：(3a+1)(3b+1)(3c+1) ≤ 9(ab+ac+bc) + 9(ab+ac+bc) + 3 + 1 =18(ab+ac+bc) + 4。
均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式应用题在数学中，均值不等式是一种常用的数学工具，常用于证明数学不等式或者解决数学问题。
均值不等式有很多种形式，其中最常见的包括算术平均数和几何平均数的关系、柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等。
本文将通过几个具体的应用题目，来展示均值不等式在解决实际数学问题中的重要性和有效性。
应用题一：设实数a、b、c均大于1，且满足abc=1，求证：a+b+c≥3。
解析：由已知条件abc=1，可得a=1/bc。
则要证明a+b+c≥3，即证明1/bc+b+c≥3。
根据均值不等式，对1/bc，b，c进行取平均数得到：(1/bc+b+c)/3 ≥ (1/bc * b * c)^(1/3) = 1即1/bc+b+c≥3，得证。
应用题二：已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，求证：a^2+ b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac。
解析：要证明a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac，即证明(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0。
根据均值不等式，对(a-b)^2，(b-c)^2，(c-a)^2进行取平均数得到：((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)/3 ≥ ((a-b)(b-c)(c-a))^(2/3)化简得(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≥ 0，得证。
应用题三：已知实数x、y、z均为正数，且满足x^2 + y^2 + z^2 = 1，求证：xy + yz + zx ≤ 1/3。
解析：要证明xy + yz + zx ≤ 1/3，即证明3(xy + yz + zx) ≤ 1。
根据均值不等式，对xy，yz，zx进行取算术平均数得到：(xy + yz + zx)/3 ≤ ((x^2 + y^2 + z^2)/3)^(1/2) = (1/3)^(1/2)即xy + yz + zx ≤ 1/3，得证。
通过以上三个具体的应用题目，我们可以看到均值不等式在解决实际数学问题中的广泛应用和重要性。
专题三：均值不等式应用题
一：2018年高考试题回顾
1． [2018年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第19题，文科数学第20题]． 某村计划建造一个室内面积为8002
m 的矩形蔬菜温室。
在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。
最大种植面积是多少？
2．(2018年上海高考·理工第18题，文史第18题，本题满分12分)
某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)
的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2
. 问x 、y 分别为多少 (精确到0.001m) 时用料最省?
二．强化练习
3. 一份印刷品，要求排版面积（矩形）为432平方厘米。
它的左、右两边都留有4
厘米的空白，上、下底部都留3厘米的空白（如图）。
问长宽各设计成多少厘米时，用纸最省？并求出此时纸的面积。
4. 要设计一个金属容积为V （常数）的密闭容器，下部是圆柱形，上部为半球形（如图）。
当圆柱底面半径r 与高h 各为何值时，制造这个容器用料最省（表面积最小）？
5. （本小题满分12分）某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建 筑面积为A(m 2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m 2，且每层的建筑面积相同， 土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同 都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼 高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
（题12）
432
（题13）
参考答案
1． [2018年全国高考(陕西广西海南西藏内蒙古)理科数学第19题，文科数学第20题]．
本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.
解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则 a b=800.
蔬菜的种植面积 ).2(2808824)2)(4(b a a b ab b a S +-=+--=--= 所以 ).(648248082m ab S =-≤
当).(648,)(20),(40,22m S m b m a b a ====最大值时即
答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种
植面积为648m 2
.
2．(2018年上海高考·理工第18题，文史第18题，本题满分12分)
【解】由题意得 x y+4
1x 2=8,∴y=
x x 482-
=48x x -(0<x <42). 于定, 框架用料长度为 l=2x +2y+2(
x 2
2
)=(23+2)x +x 16≥4246+.
当(
23+2)x=x
16
,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.
3. 设排版矩形的长为x cm ，宽为y cm ，则用纸的长为（x ＋8）cm ，宽为（y ＋6）cm ，记纸面积为S ，则
S ＝ xy ＋6x ＋8y ＋48＝432＋48＋6x ＋8y
≥ 480＋2y x 86⋅＝480＋243248⋅＝786（cm 2） 等式成立，当且仅当6x ＝8y ，即x ＝24，y ＝18时， ∴ 纸的长为32cm ，宽为24cm ，纸的面积为768cm 2。
xy ＝432 S ＝（x ＋8）（y ＋6）
4. 3
3
53,53π
πV
h V r ==时用料最省。
略解：,3
2
34213232
r h r r h V ππππ+=⋅+
= ① S 表＝S 上＋S 中＋S 下＝2πr 2＋πr 2＋2πrh ＝3πr 3＋2πrh .
②
由①解出 23
32
r
r V h ππ-=，代入② S 表 ＝ 3πr 2＋2πr 3·2
3
32r
r V ππ-＝.2352r V r +π ＝ ,3
53))(35(33532
3222V r V r r V r V r πππ=≥++ 当且仅当
r V r =235π即353π
V
r =时S 表最小。
此时3
53πV h =即353π
V h r ==时用料最省。
5.解： 设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为2
5.2m
n A ，征地费用为n A 5970元，
楼层建筑费用为
[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n －2）]·A n n n A )40030
15(++=元，
故A
A n n A n A nA n A y 1000)400600015(40030155970≥++=+++=（元）
仅当
n n 6000
15=
即n=20（层）时，总费用最少为1000A 元。
