2021人教版新教材高一数学配套提升训练《专题17 均值不等式及其应用》(原卷版)

课时分层作业(十七) 均值不等式的应用(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．假设a ＞1，那么a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2a a －1D ．3 D [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 (a －1)·1a －1＋1＝3.] 2．x ＜0，那么y ＝x ＋1x－2有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4 C [∵x <0，∴y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．] 3．设x ＞0，那么y ＝3－3x －1x的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3D ．－1 C [∵x ＞0，∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．] 4．假设x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，那么x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4x y ＝5＋4＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋4y ＝1，y x ＝4x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]5．x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，那么(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36 B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，应选B.]二、填空题6．函数y ＝x ＋1x ＋1(x ≥0)的最小值为________． [答案] 17．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影局部)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，那么四周空白局部面积的最小值是________dm 2. 56 [设阴影局部的高为x dm ，那么宽为72xdm ，四周空白局部的面积是y dm 2. 由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫72x ＋2－72 ＝8＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≥8＋2×2x ·144x ＝56(dm 2)． 当且仅当x ＝144x ，即x ＝12 dm 时等号成立．]8．假设a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，那么a ＋b 的取值范围是________．[6，＋∞) [∵a ＋b ＋3＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．]三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值． [解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32， ∵当x <32时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52. 10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．假设提前完成，那么每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；假设延期完成，那么每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)[解] 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得y ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋784x ＋3－118＝118－⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋784x ＋3 ＝118－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋3)＋784x ＋3－12 ＝130－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋3)＋784x ＋3 ≤130－24(x ＋3)·784x ＋3＝130－112＝18(千元)， 当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．[等级过关练]1．假设－4<x <1，那么y ＝x 2－2x ＋22x －2( ) A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1D [y ＝x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1， 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.故y ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立．] 2．x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，假设x ＋2y >m 2恒成立，那么实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤－22或m ≥2 2B ．m ≤－4或m ≥2C ．－2＜m ＜4D ．－22＜m ＜2 2 D [∵x >0，y >0且2x ＋1y＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y， 即x ＝4，y ＝2时取等号，∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2恒成立，即8>m 2，解得－22<m <2 2.]3．假设x >0，y >0，且x ＋4y ＝1，那么xy 的最大值为________．116[1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ， ∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y ＝12时等号成立．] 4．假设实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，那么x ＋y 的最大值是________．233 [x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝xy ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1.∴34(x ＋y )2≤1. ∴－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＝33时等号成立．] 5．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝1□＋9□，试求这两个数． [解] 设1a ＋9b＝1，a ，b ∈N *， ∴a ＋b ＝(a ＋b )·1＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝1＋9＋b a ＋9a b≥10＋2b a ·9a b＝10＋2×3＝16， 当且仅当b a ＝9a b，即b ＝3a 时等号成立． 又1a ＋9b ＝1，∴1a ＋93a＝1，∴a ＝4，b ＝12. 这两个数分别是4,12.。

2021人教版新教材配套提升训练《不等式》单元测试卷一、选择题1．若0a b <<，则下列不等式不可能成立的是 ( )A ．11a b >B ．22a b >C ．0a b +<D ．0ab <【答案】D【解析】由0a b <<，可得11a b>，22a b >，0a b +<，0ab >，即A,B,C 都成立，D 不可能成立.故选D. 2．不等式()()120x x -->的解集为（ ）A ．{}12x x x 或B ．{}|12x x <<C ．{}21x x x --或D ．{}|21x x -<<-【答案】B【解析】 将不等式()()120x x -->化为()()120x x --<，解得12x <<，所以解集为{}|12x x <<故选B.3．不等式102x x+-≤的解集为（ ） A ．{}|12x x -≤≤ B ．{}|12x x -≤≤C ．{}12x x x ≤-≥或D ．{}12x x x 或≤-> 【答案】D【解析】 因为102x x+-≤，所以102x x +≥-，即得1x ≤-或2x >，选D. 4．已知集合2{|4}M x x =<，103x N x x ⎧⎫+=<⎨⎬-⎩⎭，则集合M N ⋂等于（ ）A ．{|2}x x <-B ．{}|3x x >C ．{|12}x x -<<D ．{|23}x x <<【答案】C【解析】由24x <解得22x -<<，故{|22}M x x =-<<. 由103x x +<-得(1)(3)0x x +-<，解得13x -<<,故{|13}N x x =-<<.所以{|12}M N x x ⋂=-<<.故选C.5．（上海市2019年1月春季高考）已知，则“”是“”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】设，可知函数对称轴为由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立 由此可知：当，即时，当时，可得，即可知“”是“”的充要条件本题正确选项：6．“2a =”是“0x ∀>，1x a x +≥成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】0x ∀>时，12x x +≥，∴“0x ∀>，1x a x +≥”等价于2a ≤，而2a =可推出2a ≤，2a ≤不能推出2a =，所以“2a =”是“0x ∀>，1x a x +≥”成立的充分不必要条件，故选A. 7．下列命题中，正确的是( )A ．若ac bc >，则a b >B ．若,a b c d >>，则a c b d ->-C ．若,a b c d >>，则ac bd ≥D a b <a b <【答案】D【解析】 0c <时，若ac bc >，则a b <，排除A ；2,0,3a c b d ====-时，,a b c d >>成立，a c b d ->-不成立，排除B ；2,2,3a c b d ===-=-时，,a b c d >>成立，ac bd ≥不成立，排除C ；故选D.8．（2019年天津理)设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B.9．若0,0ab >>，且1=+b a ，则ba 11+的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】因为1=+b a ，所以()11112b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭. 因为0,0a b >>，所以0ba >，0a b>. 所以2b a b a a b a b+=≥，当且仅当b a a b =，即12a b ==时等号成立. 所以11222=4b a a b a b +=+++≥，即b a 11+的最小值为4. 10．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[4,15]D ．[1,15]【答案】B【解析】 令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩, 则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤ 又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B. 11．（2019年浙江省）若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b +≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.12．已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b+-的最小值为（ ）A ．322+B ．3242+C ．322+D ．1223+ 【答案】A【解析】 由题意知1,0,2a b a b >>+=，可得：(1)1,10a b a -+=->， 则111111313[(1)]()12212122212212a b a b a b a b a b b a b a --+=-++=+++≥+⋅=+----， 当且仅当121a b b a -=-时，等号成立， 则1112a b +-的最小值为322+。

均值不等式及其应用【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值． 2．均值不等式（1）当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 二、初试身手1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案：B解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0，即a ＝1时“＝”成立． 2．已知a ，b ∈（0，1），且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D解析：∵a ，b ∈（0，1），∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab （a ≠b ）， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又∵a ＋b ＞2ab （a ≠b ），∴a ＋b 最大．3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案：B解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ． 答案：③解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究类型1：对均值不等式的理解例1：给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案：B解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．规律方法1．均值不等式ab ≤a ＋b2 （a ＞0，b ＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a ，b 都是正数．（2）“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2． 答案：②解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2：利用均值不等式比较大小例2：（1）已知a ，b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2ab D ．2ab a ＋b ≥ab（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．答案：（1）D（2）a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac解析：（1）由a ＋b2≥ab 得a ＋b ＝2ab ， ∴A 成立；∵b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，∴D 不一定成立． （2）∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． ∴2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ． 规律方法1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是（ ） A ．P ＞Q ＞M B ．M ＞P ＞Q C ．Q ＞M ＞P D ．M ＞Q ＞P答案：B解析：显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞a ＋b 24也就是a ＋b 4＜1可得，所a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．类型3：利用均值不等式证明不等式例3：已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9．思路点拨：看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c >9． 母题探究本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8． 规律方法1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．跟踪训练3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2． 证明：由均值不等式可得 a 4＋b 4＝（a 2）2＋（b 2）2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴（a 4＋b 4）＋（b 4＋c 4）＋（c 4＋a 4）≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7．证明：由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1（a ＞1），则a ＋2b ＝a ＋6aa －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝（a －1）＋6a －1＋7≥26＋7， 当且仅当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号． 四、课堂小结1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构． 五、当堂达标1．思考辨析（1）对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．（ ）（2）若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1a ＝2．（ ）（3）若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．（ ） 提示：（1）任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．（2）只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a ＝2成立．（3）因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 答案：（1）×（2）×（3）√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a －b <0B ．0<ab <1C ．ab <a ＋b2 D ．ab >a ＋b 答案：C解析：∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．3．不等式9x －2＋（x －2）≥6（其中x ＞2）中等号成立的条件是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5答案：C解析：由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5（x ＝－1舍去）． 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ． 证明：∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ．【第2课时】【教学过程】一、新知初探已知x ，y 都是正数．（1）若x ＋y ＝S （和为定值），则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． （2）若xy ＝p （积为定值），则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 二、初试身手1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92D ．5 答案：C解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立． 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 答案：22解析：x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 答案：100解析：∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100． 三、合作探究类型1：利用均值不等式求最值例1：（1）已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x （1－2x ）的最大值．思路点拨：（1）看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求y ＝12x （1－2x ）的最值，需要出现和为定值．解：（1）∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1．（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x （1－2x ）≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116． ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116． 规律方法利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．跟踪训练1．（1）已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；（2）已知0<x <13，求函数y ＝x （1－3x ）的最大值．解：（1）∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x（x >0）的最小值为9．（2）法一：∵0<x <13，∴1－3x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝13·3x （1－3x ）≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：∵0<x <13，∴13－x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112． 类型2：利用均值不等式求条件最值例2：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1．求x ＋2y 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y （x ＋2y ）＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，（x ＋2y ）min ＝18．母题探究 若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y 的最小值． 解：∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18．当且仅当16y x ＝xy 时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16，∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y 取到最小值18． 规律方法1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y ＝ax ＋bx 型和y ＝ax （b －ax ）型．跟踪训练2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b 的最小值． 解：法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·（a ＋2b ） ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立． ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22． 法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22．类型3：利用均值不等式解决实际问题例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解：设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18．设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy ．法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y （6－y ）． ∵0<y <6，∴6－y >0．∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5．故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．规律方法在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案．跟踪训练3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ． 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30．当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．四、课堂小结1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．五、当堂达标1．思考辨析（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（ ）（2）若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4．（ ）（3）当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2x x －1．（ ） 提示：（1）由a ＋b ≥2ab 可知正确．（2）由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4可知正确．（3）xx －1不是常数，故错误．答案：（1）√（2）√（3）×2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为（） A ．1B ．22C ．2D ．4答案：A解析：由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1． 3．已知0<x <1，则x （3－3x ）取最大值时x 的值为（） A ．12 B ．34C ．23D ．25答案：A解析：∵0<x <1，∴1－x >0，则x （3－3x ）＝3[x （1－x ）]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 4．已知x >0，求y ＝2xx 2＋1的最大值．解：y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x．∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。

均值不等式及其运用编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅目标认知学习目标：1. 了解基本不等式的证明过程，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.重点：会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题难点：基本不等式等号成立条件，利用基本不等式求最大值、最小值。

知识要点梳理知识点一：2个重要不等式1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.注意：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。

（3）可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明1. 几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。

得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）2. 代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.注意：1. 在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2. 如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C ． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1 BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．4 BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6CD针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ） A ．114ab+≤、 B≥ C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916a b +≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①①① D ．①①①14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A ．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 215．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．2717．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2+20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（ ）针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A．B ．3+C ．2+ D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C D30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）． A ．13 B ．12 C ．25 D ．1632．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ） A ．12 B ．2 C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ） A ．12 B ．14CD35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥ B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】 【分析】均值不等式使用首要条件都为正数．排除BD ，A 选项可取等号． 【详解】A 选项，()()()222221110a b a b a b +---=-++≥，故A 不正确；B 、C 选项的不等式，只有0,0a b >>时才成立，所以不正确；D 选项, 作差法()22022a b a b ab -+⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，所以正确选项为D ． 【点睛】均值不等式的使用“一正二定三相等”，缺一不可． 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>> 【答案】C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为0a b >>，所以2a ba +>b ，又根据基本不等式可得，2a b+>所以2a ba b +>>>. 故选：C.3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】A. 2224()2a b ab a b ab +-=--不一定大于等于零，所以该选项错误；B. 4a a +，当a 取负数时，显然40a a +<，所以44a a+≥错误，所以该选项错误；C. 22122a a ++≥+，当且仅当221a +=时成立，由于取得条件不成立，所以221222a a ++>+，如0a =时，22152422a a ++=<+，所以该选项错误；D. 224a a +≥，当且仅当a =.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C 【解析】设图中直角三角形的边长分别为a ，b ，正方形面积，根据图象关系，可得222ab a b ≤+即可得答案. 【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a ，b ，则四个直角三角形的面积为1422a b ab ⨯⨯⨯=，正方形的面积为222a b =+， 由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积， 所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时等号成立，所以对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+【答案】A 【解析】本题可根据11112abab得出211a b≤+a b+≥2a b +≤，最后根据222a bab +≥2a b+≥，即可得出结果. 【详解】 因为111122a ba b ab，当且仅当a b =时取等号， 所以211ab≤+a b =时取等号，因为a b +≥a b =时取等号， 2a b+≤，当且仅当a b =时取等号， 因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以()22222222a b a b aba b +≥++=+，即22224a b ab 2a b +，当且仅当a b =时取等号，综上所述，2112a b a b+≤≤+a b =时取等号， 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的相关性质，主要考查基本不等式通过转化得出的其他形式，考查运算能力，考查转化与化归思想，是简单题.针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．116【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥即1≤， 解得18xy ≤，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，取等号， 故选：C.7．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1B C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式求得mn 的最大值. 【详解】依题意m n +=所以252m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =.故选：D8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．54【答案】D 【解析】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等，结合25a b +=即可得解. 【详解】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等， 又25a b +=，此时54b =. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，以及基本不等式的取等条件，属于基础题.9．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A．4 BC ．D 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式来求得最小值. 【详解】 依题意21a b -=，2213239b a ba-⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭122a b =-=时取等号． 故选：C10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 CD 【答案】B 【解析】 【分析】直接由基本不等式可得． 【详解】3236m n +≥⨯=，当且仅当33m n ==时取等号，所以3m n +的最小值为6，故选：B针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ）A ．114a b+≤ B +≥C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥【答案】B 【解析】 【分析】根据条件结合基本不等式进行求解. 【详解】由题意，()1124baa b a b a b⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故选项A 错误；2≥=12a b ==时，等号成立，故选项B 正确；2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则2212a b +≥，故选项C 错误；()222124a b ab a b ab a b +⎛⎫+=+≤= ⎪⎝⎭，故选项D 错误. 故选：B.12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4 B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 4【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可 【详解】解： 0x >，0y >，且2x y +=，对于A ，()221222242x y x y xy x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，所以A 正确，对于B ，因为2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1x y ==时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，对于C ，因为224x y +≥==，当且仅当1x y ==时取等号，即22x y +有最小值4，所以C 错误，对于D ，因为22()4x y x y =+++=，当且仅当1x y ==时取等号，即4，所以D 错误，故选：A13．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916ab+≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断解：对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以1a b =+≥12a b ==时取等号，得104ab <≤，所以①错误，对于①，由①可知，104ab <≤，所以()1ln ln 4ab ≤，即ln ln 2ln 2a b +≤-，所以ln ln 0a b +<，所以①正确，对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()19199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =即13,44a b ==时取等号，所以①正确，对于①，因为222()21a b a ab b +=++=，所以2212a b ab +=-，由①可知，104ab <≤，所以1122ab -≥，所以2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以①正确，故答案为：D14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2【答案】C 【解析】由基本不等式得1ab ≤，根据各选项结合已知条件即可判断正误. 【详解】由0a >，0b >，2a b +=，得2()14a b ab +≤=当且仅当a b =时等号成立， 222()22a b a b ab +=+-≥，124a b b --=，111b a -=->-，即124a b->， 222log log log ()0a b ab +=≤，24a b =++0>2≤，故选：C15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤【答案】C【分析】ab 范围可直接由基本不等式得到，22a b +可先将a b +平方再利用基本不等式关系．【详解】解：由0a ，0b ，且4a b +=，∴242a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时取等号而2222216()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当2a b ==时取等号228a b ∴+．故选：C ． 【点睛】本题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方．针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．27【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】11443333129152427b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当49ab ab =，即19a =，b ＝6时，等号成立，故13b a+的最小值为27 故选：D17．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的代换求34x y +的最小值，注意等号成立条件. 【详解】11123134(34)((13)31)(13555y x x y x y x y x y +=+++≥++=5=，当且仅当2x y =时等号成立，①34x y +的最小值是5. 故选：C18．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．400【答案】D 【解析】 【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为1919362b aa b++，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由,0,191a b a b >+=，①1191191919()(19)362362400b a a b ab a b a b +=++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立. ①119a b+的最小值为400. 故选：D19．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ） A．2 B ．3 C ．2D ．2+【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，3132122a b ab b a+=⇒+=，①313()2222222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭b =且32a b ab +=时等号成立，①a b +的最小值为2+ 故选：D ．20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（ ） A．6 B ．9 C ．D ．18【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得(1)1a b +-=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：0a >，1b >，且2a b +=，10b ->∴且(1)1a b +-=，∴4141()[(1)]11a b a b a b +=++--- 4(1)4(55291b a b a b -=+++-， 当且仅当4(1)1b aa b -=-，即23a =43b =时取等号， 故411ab +-的最小值为9； 故选：B针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式2a b ab +．(0,0)a b >>和关系式的恒等变换的应用求出结果．【详解】解：用基本不等式要满足“一正二定三相等“．A ．选项中x 的正负不确定．同样的，C ，选项中3log x 和log 3x 取值不一定大于0．B ．当(0,)x π∈时，sin (0x ∈，1]sin 0x ⇒>，40sin x>， 4sin sin x x=时sin 2x ⇒=不符合，所以也不能用基本不等式，不满足三相等， D ．0x e >，40x e ->且4244x x x x e e e e --+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =时取等号． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：直接利用基本不等式的性质的应用和用基本不等式要满足“一正二定三相等“．的条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为2 【答案】A 【解析】 【分析】A.2≥，所以该选项正确； B. 函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. 函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 【详解】解：A.2≥，当且仅当1x =时等号成立，所以该选项正确；B. 11111111x x x x +=++-≥=++，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误；C. 1222x x +≥，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0,0lg x x <<，所以1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 故选：A23．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥ 【答案】D 【解析】当0a <时，10a a+<，选项,A B 不成立；当0a >时，10a a+>，选项C 不成立；11||||a a a a+=+，由基本不等式可得选项D 成立. 【详解】取1a =-时，12a a+=-，可判断选项A,B 不正确； 取1a =时，12a a+=，可判断选项C 不正确； 因为1,a a同号，11=||||2a a a a++≥， 当且仅当1a =±时，等号成立，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题. 24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．9【答案】D【解析】先将函数解析式化为9333y x x =-++-，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】 因为3x >，所以993333933y x x x x =+=-++≥==--， 当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立. 故选：D. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 25．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求解，注意“一正二定三相等”的条件. 【详解】解：因为()0,4x ∈，所以44y x x=+≥=，当且仅当42x x ==时等号成立，所以函数有最小值4，由于定义域为开区间，故无最大值. 故选：B针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．2+D ．5 【答案】B【解析】【分析】 将函数化简变形为221(1)3(1)33()(1)3111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++---，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以221(1)3(1)33()(1)333111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++≥=---，当且仅当311x x -=-，即1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+ 故选：B 27．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ） A．1+B ．2 C ．4 D ．6【答案】C【解析】【分析】 由20x ->，而()4222f x x x =-++-，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出a 的值.【详解】 由题意，20x ->，而()()()22222424422222x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以4a =.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ） A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D【解析】【分析】 构造基本不等式()1()33f x x x =-+-即可得结果. 【详解】①72x ≥，①30x ->，①()()22316101()=32333x x x f x x x x x -+-+==-+≥---， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2. 故选：D.【点睛】 本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.29．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．2D 【答案】A【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12=， 当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12． 故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x ===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号）， 12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.32．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】【分析】 依据三点共线得到关于x y 、的等式，再依据均值定理去求1111x y +++的最小值 【详解】因为G 是①ABC 的重心，所以()()211(0,0)323AG AB AC xAM y AN x y =⨯+=+>> 由于M ､G ､N 共线，所以11133x y +=，即3x y += 所以()1111111111211511511y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭14255⎛+= ⎝≥（当且仅当1111y x x y ++=++即32x y ==时取等号） 故选：D33．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．43 【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得到3a b +=，再利用基本不等式可求出结果.【详解】 因为()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭233311(1)(1)(1)33ax x bx x x =-----， 3(1)x -的展开式的通项公式为313(1)k k k k T C x -+=⋅-，0,1,2,3k =,所以221333311(1)(1)233a Cb C C ⋅⋅--⋅⋅--=，即3a b +=， 因为0,0a b >>，所以1111()3a b a b a b ++=+⋅1(2)3b a a b =++14(22)33≥+=， 当且仅当32a b ==时，等号成立.故选：D 34．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ）A ．12B ．14 CD【答案】A【解析】【分析】依据重要不等式去求解cos cos αβ的最大值【详解】①tan tan 1αβ=，sin sin cos cos ,αβαβ∴=()22222sin cos sin cos 11cos cos sin cos sin cos cos cos .2242ααββαβααββαβ++∴=⋅⋅=⇒≤（当且仅当tan tan 1αβ==时等号成立），故选：A.35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可得321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，再利用基本不等式判断A ，利用特殊值判断B ，根据完全平方数的非负性判断C ，根据下标和性质判断D ；【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，所以321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，所以237221a q q a =≥++，当且仅当221q q =，即1q =±时取等号，故A 正确； 所以461a a q q +=+，当0q <时460a a +<，故B 错误；()2276212110a a q q q -+=-+=-≥，故C 正确； 19191921919511a a a a a a a a a a a +++===+⋅，故D 正确； 故选：B。

人教版高一上学期数学(必修一)《2.2.4均值不等式及其应用》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题 1.在不等式a+b2≥√ab 中，a ，b 需满足 ( )A .a>0，b>0B .a ≥0，b ≥0C .ab ≥0D .ab>02.已知x ，y 均为正数，且满足x+2y=4，则xy 的最大值为 ( )A .√2B .2C .2√2D .√33.若x>1，则y=x 2x -1的最小值为 ( ) A .3 B .-3 C .4 D .-44.已知a>0，若关于x 的不等式x+ax+1≥3在(-1，+∞)上恒成立，则a 的最小值为 ( )A .1B .2C .4D .85.下列函数中，最小值是2√2的是 ( ) A .y=x+2x B .y=x 3+1x3 C .y=x 2+2x 2+4 D .y=√x +√x6.[2023·广东佛山一中高一月考] 已知x>1，则x -1x 2-2x+4的最大值为 ( ) A .√36 B .12 C .√23 D .17.已知x>0，y>0，且x+2y=4，则(1+x )(1+2y )的最大值为 ( ) A .36B .4C .16D .98.(多选题)以下结论中正确的是 ( )A .y=x+1x的最小值为2B .当a>0，b>0时，1a +1b +2√ab ≥4 C .y=x (1-2x )，0<x<12的最大值为18D .当且仅当a ，b 均为正数时，a b +ba ≥2恒成立9.(多选题)[2023·江西抚州一中高一期中] 已知正数m ，n 满足2m+2n+5=mn ，则 ( )A .∀m ，n ∈(0，+∞)，mn ≥25B.∀m，n∈(0，+∞)，m+n≥10C.∃m，n∈(0，+∞)，4m+n=20D.∃m，n∈(0，+∞)，4m+n<25二、填空题★10.设x>0，y>0，x+y=2xy，则x+y的最小值为.11.已知不等式x+4x-2>m对任意x∈(2，+∞)恒成立，则实数m的取值范围为.12.[2023·浙江温州中学高一期末] 若x>0，y>1，则4yx +x3y-1的最小值为.三、解答题13.已知a>0，b>0，且a+b+ab=3.(1)求ab的取值范围;(2)求a+b的取值范围.14.(1)若x<3，求y=2x+1+1x-3的最大值.(2)已知x>0，求y=2xx2+1的最大值.15.规定a☉b=√ab+a+b(a，b为正实数).若1☉k=3，则k的值为，此时函数y=√x的最小值为.16.(1)已知0<x<32，求4x(3-2x)的最大值;(2)已知a>b>c，求(a-c)(1a-b +1b-c)的最小值.参考答案1.B[解析] 在均值不等式中，我们规定a>0，b>0，但当a=0，b=0时也满足a+b2≥√ab.故选B.2.B [解析] ∵x ，y 均为正数，x+2y=4，∴xy=12×2xy ≤12×(x+2y )24=2(当且仅当x=2y=2时等号成立).故选B .3.C [解析] ∵x>1，∴y=x 2x -1=x 2-1+1x -1=x+1+1x -1=x-1+1x -1+2≥2+2=4，当且仅当1x -1=x-1，即x=2时等号成立，∴y=x 2x -1的最小值为4.故选C .4.C [解析] 因为x>-1，所以x+1>0，所以x+a x+1=x+1+ax+1-1≥2√(x +1)·ax+1-1=2√a -1，当且仅当x+1=ax+1，即x=√a -1时取等号，所以x+ax+1的最小值为2√a -1.因为不等式x+ax+1≥3在(-1，+∞)上恒成立，所以2√a -1≥3，解得a ≥4，所以a 的最小值为4.故选C .5.D [解析] 对于A ，当x<0时，y=x+2x<0，故A 不符合题意;对于B ，当x<0时，y=x 3+1x3<0，故B 不符合题意;对于C ，当x=0时，y=x 2+2x 2+4=12，故C 不符合题意;对于D ，由均值不等式知y=√x +√x ≥2√√x ·√x=2√2(当且仅当x=2时取等号)，故D 符合题意.故选D . 6.A [解析] 由x>1，得x-1>0，则x -1x 2-2x+4=x -1(x -1)2+3=1x -1+3x -1≤2√(x -1)·3x -1=√36，当且仅当x-1=3x -1，即x=1+√3时取等号，故x -1x 2-2x+4的最大值为√36.故选A .7.D [解析] 由题意得，(1+x )+(1+2y )=6，1+x>1，1+2y>1，所以(1+x )(1+2y )≤[(1+x )+(1+2y )2]2=9，当且仅当1+x=1+2y ，即x=2，y=1时取等号.故选D .8.BC [解析] 对于A ，当x<0时，y<0，故A 错误;对于B ，当a>0，b>0时，1a +1b+2√ab ≥2√1a ·1b +2√ab =√ab+2√ab ≥2·√√ab2√ab =4，当且仅当a=b=1时取到等号，故B 正确;对于C ，y=x (1-2x )=12×2x (1-2x )≤12(2x+1-2x 2)2=18，当且仅当x=14时取等号，故y 的最大值为18，故C 正确;对于D ，当a ，b 同号时，a b +ba≥2√a b ·ba=2，当且仅当a=b 时取等号，故D 错误.故选BC .9.ABD [解析] 由mn=2m+2n+5≥4√mn +5，得(√mn -5)(√mn +1)≥0，可得mn ≥25，当且仅当m=n=5时等号成立，故A 正确;由2m+2n+5=mn ≤(m+n )24，得(m+n-10)(m+n+2)≥0，可得m+n ≥10，当且仅当m=n=5时等号成立，故B 正确;显然m ≠2，则n=2m+5m -2=2+9m -2，m>2，所以4m+n=4m+9m -2+2=4(m-2)+9m -2+10≥2√4(m -2)·9m -2+10=22，当且仅当m=72，n=8时等号成立，故C 错误，D 正确.故选ABD .10.2 [解析] ∵x>0，y>0，x+y=2xy ，xy ≤(x+y 2)2，∴x+y ≤(x+y )22，∴x+y ≥2，当且仅当x=y=1时等号成立，故x+y 的最小值为2.[技巧点拨] 由含有两个变量的等式求这两个变量的和(或积)的最值，需要借助基本不等式消去积(或和)，得到关于这两个变量的和(或积)的一元二次不等式，解这个不等式即可.11.(-∞，6) [解析] 因为x>2，所以x-2>0，所以x+4x -2=x-2+4x -2+2≥2√4+2=6，当且仅当x-2=4x -2，即x=4时等号成立，又不等式x+4x -2>m 对任意x ∈(2，+∞)恒成立，所以m<6，故实数m 的取值范围为(-∞，6). 12.8 [解析]4y x+x 3y -1=4(y -1)+4x+x 3y -1=4(y -1)x+x 3y -1+4x.因为4(y -1)x+x 3y -1≥2√4(y -1)x·x 3y -1=4x ，当且仅当4(y -1)x=x 3y -1，即2(y-1)=x 2时等号成立，4x+4x≥2√4x ·4x=8，当且仅当4x=4x，即x=1时等号成立，所以4y x+x3y -1≥8，当且仅当2(y-1)=x 2，x=1，即x=1，y=32时等号成立，所以4y x+x 3y -1的最小值为8.13.解:(1)因为a>0，b>0，且a+b+ab=3，所以a+b=3-ab ≥2√ab ，当且仅当a=b=1时取等号，可得0<√ab ≤1，所以0<ab ≤1，故ab 的取值范围是(0，1]. (2)因为a+b=3-ab ≥3-(a+b 2)2，当且仅当a=b=1时取等号，所以a+b ≥2，故a+b 的取值范围是[2，+∞).14.解:(1)因为x<3，所以3-x>0. y=2(x-3)+1x -3+7=-[2(3-x )+13-x]+7，由均值不等式可得2(3-x )+13-x≥2√2(3-x )·13-x=2√2当且仅当2(3-x )=13-x，即x=3-√22时，等号成立，所以-[2(3-x )+13-x]≤-2√2，所以y=-[2(3-x )+13-x]+7≤7-2√2，故y 的最大值是7-2√2. (2)因为x>0，所以y=2x x 2+1=2x+1x，又x+1x≥2√x ·1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立，所以0<y ≤22=1，故y 的最大值为1.15.1 3 [解析] 由题意得1☉k=√k +1+k=3，即k+√k -2=0，可得k=1，则y=√x =√x+x+1√x =1+√x +√x≥1+2=3，当且仅当√x =√x ，即x=1时，等号成立.综上可得，k=1，y=√x的最小值为3.16.解:(1)∵0<x<32，∴3-2x>0，∴4x (3-2x )=2[2x (3-2x )]≤2[2x+(3-2x )2]2=92，当且仅当2x=3-2x ，即x=34时，等号成立，∴4x (3-2x )(0<x <32)的最大值为92. (2)(a-c )(1a -b+1b -c)=(a-b+b-c )(1a -b +1b -c )=1+1+b -c a -b +a -b b -c .∵a>b>c ，∴a-b>0，b-c>0，∴2+b -c a -b +a -b b -c ≥2+2√b -c a -b ·a -bb -c =4，当且仅当a-b=b-c ，即2b=a+c 时取等号，∴(a-c )(1a -b +1b -c )的最小值为4.。

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）知识梳理1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式 如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。

二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。

4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ） A．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（ ）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（ ）A ．11s t +≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A．2a b +B 2a b +C 2a b +D 2a b +题型战法二 均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5 C ．32D ．52变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（ ） A ．0B ．13C ．12D ．1变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ）A ．27B ．C ．12D ．题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（ ）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤ C2 D ．112ab+≤变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A．112ab > B ．228a b +≥ C 2 D ．111a b+≤变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤变式3-3．已知A ．B ．C ．D ．变式3-4．已知0a >，0b >，4a +=，则下列各式中正确的是（ ） A．11ab+≤14B ．11a b+>1C ≤2D ．1ab≥1题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11xy+的最小值为（ ）A ．3+B ．12C ．8+D ．6变式4-1．已知正数a ，b 满足1a b +=，则19ab +的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x，则4x y+的最小值是（ ）A ．4B ．92C ．5D ．9变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（ ） A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b +变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x -+≥变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4-D ．()f x 有最大值4-变式5-3．若12x -<<，则12x x +-的（ ）A ．最小值为0B ．最大值为4C ．最小值为4D ．最大值为0变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3题型战法六 分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x -+=-有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2变式6-1．若0x <，则231x x +-的最大值是（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-变式6-2．若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2C ．1D ．3变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz-的最小值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3题型战法七 均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +-=>过圆()()22122022x y -+-=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A ．3+B ．3- C ．6 D ．9变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =-，当角A取最大值时，则sin C =（ ）A B C D变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（ ） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ-的最小值是（ ）A ．21B ．4 C．4 D ．2第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）知识梳理1．算术平均值与几何平均值给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b ,a b 的几何平均值． 2．均值不等式如果,a b 都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立．3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。

第二章等式与不等式习题课均值不等式的应用课后篇巩固提升基础达标练1。

某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则（）A。

x=a+a2B.x≤a+a2C。

x>a+a2D。

x≥a+a2解析由条件知A（1+a）(1+b）=A（1+x)2,所以（1+x）2=(1+a)（1+b）≤(1+a)+(1+a)22,所以1+x≤1+a+a2,故x≤a+a2。

2.已知正数x，y满足x+2y—xy=0,则x+2y的最小值为(）A。

8 B。

4 C.2 D。

0解析由x+2y—xy=0,得2a +1a=1，且x>0,y>0。

所以x+2y=（x+2y）×2 a +1a=4aa+aa+4≥4+4=8,当且仅当x=2y，即x=4，y=2时等号成立.3.若正实数a，b满足a+b=1，则(）A.1a +1a有最大值4B。

ab有最小值14 C。

√a+√a有最大值√2 D。

a2+b2有最小值√22a ，b 满足a+b=1,所以1a +1a =a +a a +a +a a =2+aa+aa≥2+2=4,当且仅当a=b=12时，等号成立,故1a +1a有最小值4，故A 不正确；由均值不等式可得a+b=1≥2√aa ,当且仅当a=b=12时，等号成立,∴ab ≤14,故ab 有最大值14,故B 不正确；由于(√a +√a ）2=a+b+2√aa =1+2√aa ≤2，∴√a +√a ≤√2,故√a +√a 有最大值为√2，故C 正确;∵a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=1-2ab ≥1—12=12,故a 2+b 2有最小值12,故D 不正确.4。

（多选题)（2020辽宁高一月考）已知正数a ,b 满足a+b=4,ab 的最大值为t ，不等式x 2+3x —t<0的解集为M ,则下列结论正确的是（ ) A 。

t=2B 。

t=4C 。

M=｛x|-4〈x 〈1}D 。

2.2.4 均值不等式及其应用第1课时学习目标1.学会推导并掌握均值不等式.2.能够简单应用定理求最值.自主预习1.给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值,数称为a,b的几何平均值.≥√ab,当且仅当时,等号成立.2.如果a,b都是正数,那么a+b23.几何意义:所有周长一定的矩形中,的面积最大.课堂探究问题探究一(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义.a 1 2b 1 4a+b1 32√ab 1 2√2问题探究二均值定理的几何解释:作线段AD=a,延长AD至点B,使DB=b(a,b>0)以AB为直径作半圆O,过D点作CD⊥AB 于D,交半圆于点C,连接AC,BC,OC.当点D在线段AB(端点除外)上运动时,试探讨OC与CD 的大小关系.典型例题:的最小值,并说明当x为何值时y取得最小值.例1已知x>0,求y=x+1x变式训练1已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值,并说明此时x,y的值.要点归纳在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值; 三是考虑等号成立的条件是否具备.例2已知ab>0,求证:ba +ab≥2,并推导出等号成立的条件.变式训练2已知ab>0,求证:b3a +3ab≥2,并推导出等号成立的条件.例3已知x∈(-1,3),求y=(1+x)(3-x)的最大值,以及y取得最大值时x的值.核心素养专练1.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是()A.a>a+b2>√ab>b B.b>√ab>a+b2>aC.b>a+b2>√ab>a D.b>a>a+b2>√ab2.已知a>0,b>0,则1a +1b+2√ab的最小值是()A.2B.2√2C.4D.53.设b>a>0,且a+b=1,则此四个数12,2ab,a2+b2,b中最大的是() A.b B.a2+b2C.2abD.124.x∈[0,3],y=(1+x)(3-x)的最大值是,最小值是.参考答案自主预习1.a+b2√ab2.a=b3.正方形课堂探究例1解:因为x>0,所以根据均值不等式有x+1x ≥2√x·1x=2,其中等号成立的条件是当且仅当x=1x,即x2=1,解得x=1或x=-1(舍去),因此x=1时,y取得最小值2.变式训练1解:∵x>0,y>0,∴4x+6y≥2√24×y.又xy=24,∴4x+6y≥2√24×24=48.当且仅当4x=6y时,等号成立.即当x=6,y=4时,最小值为48.例2证明:因为ab>0,所以ba >0,ab>0,根据均值不等式得b a +ab≥2√ba·ab=2.即ba +ab≥2.当且仅当ba =ab时,即a2=b2等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是a=b.变式训练2证明:因为ab>0,所以b3a >0,3ab>0,根据均值不等式得b 3a +3ab≥2√b3a·3ab=2.即b3a +3ab≥2.当且仅当b3a =3ab时,即9a2=b2等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是3a=b.例3解:当x∈(-1,3)时,1+x>0,3-x>0.√(1+x)(3-x)≤1+x+3-x2=2.从而(1+x)(3-x)≤4,即y≤4.当且仅当1+x=3-x,即x=1时,等号成立.从而x=1时,y取得最大值4.。

2021-2022年高中数学第三章不等式课时作业17均值不等式新人教B版答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 5．已知函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图象上，其中m ，n >0，求1m ＋2n的最小值．解：由题意，得点A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n >0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋22m ＋nn＝4＋n n＋4mn≥4＋24＝8. 当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n的最小值为8. (限时：30分钟)1．设x ，y 满足x ＋4y ＝40，且x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2解析：∵x ＋4y ＝40且x >0，y >0，∴xy ＝14·x ·4y ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝100，当且仅当x ＝4y ＝20时取等号，∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg100＝2，∴lg x ＋lg y 的最大值为2.答案：D2．若a ，b ∈R ，且a ＋b ＝0，则2a＋2b的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，∵2a >0,2b ＞0，∴2a ＋2b ＝2a ＋2－a ＝2a＋12a ≥2，当且仅当2a＝1时，即a ＝0，b ＝0时取等号，∴2a＋2b的最小值为2.答案：A3．已知0<x <1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为( ) A.12 B.34 C.23 D.25解析：∵0<x <1，∴1－x >0， 则x (3－3x )＝3[x (1－x )]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 答案：A4．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245 B.285C ．5D ．6解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝45＋95＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5. 当且仅当3x 5y ＝12y5x ，即x ＝2y 时取“＝”．答案：C5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：v ＝21a ＋1b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab .因为2ab a ＋b －a ＝2ab －a 2－ab a ＋b ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，所以2ab a ＋b >a ，即v >a .故选A.答案：A6．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．8 解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5， 因数x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0. 所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3，选C.答案：C 7．已知x >0，则xx 2＋4的最大值为________．解析：因为x x 2＋4＝1x ＋4x，又x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号，所以0<1x ＋4x≤14，即x x 2＋4的最大值为14. 答案：148．已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时取等号成立．答案：29．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低总造价为________元．解析：设池底的长和宽分别为a ，b ，则2ab ＝8，ab ＝4，总造价y ＝(2a ＋2b )×2×80＋120ab ＝320(a ＋b )＋480≥320×2ab ＋480＝1 760(当且仅当a ＝b ＝2 m 时取等号)．答案：1 76010．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c . 证明：∵a >0，b >0，c >0，∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ， ac b ＋ab c ≥2a 2bcbc＝2a ， bc a ＋ab c≥2bc a ·abc＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .11．已知a >b >0，求a 2＋16ba －b的最小值． 解：∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b ＋b 22＝a 24.当且仅当a －b ＝b ，即a ＝2b 时，等号成立． ∴y ＝a 2＋16b a －b ≥a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a 2＝64a2，即a ＝22时，等号成立．故当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16ba －b有最小值16. 12．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，求四周空白部分面积的最小值．解：设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫72x ＋2－72＝8＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≥8＋2×2x ×144x＝56.当且仅当x ＝144x即x ＝12时等号成立． 31766 7C16 簖:34976 88A0 袠33998 84CE 蓎23898 5D5A 嵚23451 5B9B 宛e21581 544D 呍27747 6C63 汣24791 60D7 惗 •'。

2021年秋高中数学课时分层作业17不等关系与不等式新人教A 版必修5(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )【导学号：91432269】A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－bC [法一：∵a ＋b >0，∴a >－b ， 又b <0，∴a >0，且|a |>|b |， ∴a >－b >b >－a .法二：设a ＝3，b ＝－2，则a >－b >b >－a .] 2．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C ．2b<2a <2D ．a 2<ab <1C [设a ＝23，b ＝13，验证即得A ，D 错误；结合y ＝log 12x ，y ＝2x 的单调性得B 错误，C 正确．]3．已知a ，b ∈(0,1)，记M ＝ab ，N ＝a ＋b －1，则M 与N 的大小关系是( )【导学号：91432270】A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定B [M －N ＝ab －(a ＋b －1)＝ab －a －b ＋1＝(a －1)(b －1)． ∵a ，b ∈(0,1)， ∴a －1<0，b －1<0 ∴M －N >0，∴M >N .]4．已知a ＜b ＜0，c ＜d ＜0，那么下列判定中正确的是( ) A ．a －c ＜b －d B ．ac ＞bd C.a d ＜bcD ．ad ＞bc B [∵a ＜b ＜0，c ＜d ＜0， ∴－a ＞－b ＞0，－c ＞－d ＞0，∴(－a )(－c )＞(－b )(－d )， 即ac ＞bd .]5．若α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范畴是( )【导学号：91432271】A ．－π<α－β<πB ．－π<α－β<0C ．－π2<α－β<π2D ．－π2<α－β<0B [从题中－π2<α<β<π2可分离出三个不等式：－π2<α<π2①，－π2<β<π2②，α<β③.依照不等式的性质，②式同乘以－1得－π2<－β<π2④，依照同向不等式的可加性，可得－π<α－β<π.由③式得α－β<0，因此－π<α－β<0.]二、填空题6．已知x <1，则x 2＋2与3x 的大小关系为________.【导学号：91432272】x 2＋2>3x [(x 2＋2)－3x ＝(x －1)(x －2)，因为x <1，因此x －1<0，x －2<0，因此(x －1)(x －2)>0，因此x 2＋2>3x .]7．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．f (x )＞g (x ) [∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0，∴f (x )＞g (x )．]8．某公司有20名技术人员，打算开发A 、B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和估量产值如下：【导学号：91432273】20 330 [设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6×(50－x )＝300＋1.5x ≤330， 当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.因此应开发A 类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．] 三、解答题9．(1)a <b <0，求证：b a <a b； (2)已知a >b ，1a <1b，求证：ab >0.[证明] (1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab＝b ＋ab －aab，∵a <b <0，∴b ＋a <0，b －a >0，ab >0， ∴b ＋ab －aab <0，故b a <ab.(2)∵1a <1b， ∴1a －1b<0，即b －aab<0， 而a >b ， ∴b －a <0， ∴ab >0.10．已知12<a <60,15<b <36，求a －b 和ab的取值范畴.【导学号：91432274】[解] ∵15<b <36， ∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15， ∴－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015， ∴13<a b<4. 综上，－24<a －b <45，13<ab<4.[冲A 挑战练]1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b cD [令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，b d ＝－1，因此A ，B 错误；a d ＝－32，bc＝－23，因此a d <bc，因此C 错误．故选D.] 2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >cb；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )【导学号：91432275】A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③D [由a >b >1，得0<1a <1b ，又c <0，因此c a >c b，①正确；幂函数y ＝x c(c <0)在(0，＋∞)上是减函数，因此a c <b c，②正确；因为a －c >b －c >0，因此log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．故①②③均正确．]3．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范畴是________(用区间表示)． [3,8] [∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范畴是[3,8]．]4．设a ，b 为正实数，有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号).【导学号：91432276】①④ [关于①，由题意a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b⇒a －b >0⇒a >b >0，故a ＋b >a －b >0.若a －b ≥1，则1a ＋b≥1⇒a ＋b ≤1≤a －b ，这与a ＋b >a －b >0矛盾，故a －b <1成立．关于②，取专门值，a ＝3，b ＝34，则a －b >1.关于③，取专门值，a ＝9，b ＝4时，|a －b |>1. 关于④，∵|a 3－b 3|＝1，a >0，b >0， ∴a ≠b ，不妨设a >b >0. ∴a 2＋ab ＋b 2>a 2－2ab ＋b 2>0， ∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)>(a －b )(a －b )2. 即a 3－b 3>(a －b )3>0， ∴1＝|a 3－b 3|>(a －b )3>0， ∴0<a －b <1，即|a －b |<1.因此正确．]5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优待”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优待．”这两车队的原价、车型差不多上一样的．试依照单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优待．[解] 设该单位有职工n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x (n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45xn ，因此y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn ＝14x －120xn＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当0<n <5时，y 1>y 2.因此，当单位人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优待；少于5人时，选乙车队更优待．。

课时分层作业(十六) 均值不等式(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，那么t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤tD ．s <tA [∵b 2＋1≥2b ，∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1.] 2．以下不等式中正确的选项是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3D [a ＜0，那么a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错； a ＝4，b ＝16，那么ab ＜a ＋b2，故C 错；由均值不等式可知D 项正确．]3．a >0，b >0，那么以下不等式中错误的选项是( )A ．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22C.1ab ≥2a 2＋b 2D.1ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2D [由均值不等式知A 、C 正确，由重要不等式知B 正确，由a 2＋b 22≥ab 得，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴1ab ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2，应选D.] 4．假设a ＞b ＞0，那么以下不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞abB ．a ＞a ＋b2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b2＞b ＞abD.a ＞ab ＞a ＋b2＞bB [a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．]5．假设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，那么以下不等式恒成立的是( ) A.1ab ＞12 B.1a ＋1b≤1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18D [由ab ≤2得ab ≤4， ∴1ab ≥14，故A 错； B 中，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故B 错；由a ＋b ＝4，得ab ≤a ＋b 2＝42＝2，故C 错；由a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22得a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝8， ∴1a 2＋b 2≤18，D 正确．] 二、填空题6．a ＞b ＞c ，那么(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．(a －b )(b －c )≤a －c2[∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c2.]7．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，那么这两年的平均增长率x 与增长率的平均值a ＋b2的大小关系为________．x ≤a ＋b2[用两种方法求出第三年的产量分别为A (1＋a )(1＋b )，A (1＋x )2，那么有(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2， ∴x ≤a ＋b2.当且仅当a ＝b 时等号成立．]8．函数y ＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，那么a ＝________.36 [y ＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立，此时y 取得最小值4a .又由x ＝3时，y min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36.]三、解答题9．a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＝1.求证：1a ＋1b≥4.[证明] 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋bb＝1＋b a ＋ab ＋1 ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4. 当且仅当a ＝b 时“＝〞成立． 10．a ，b ，c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. [证明] 左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b－1＋a c ＋bc－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3.∵a ，b ，c 为正数，∴b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝〞)；c a ＋ac≥2(当且仅当a ＝c 时取“＝〞)； c b ＋bc≥2(当且仅当b ＝c 时取“＝〞)． 从而⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥6(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3≥3， 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. [等级过关练]1．以下不等式一定成立的是( ) A ．x ＋1x≥2B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x≥2B [A 项中当x <0时，x ＋1x<0<2，∴A 错误．B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中取x ＝1,2－3x －4x<2，∴D 错误．]2．a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，那么( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3C [∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，而4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥2.]3．假设x 2＋y 2＝4，那么xy 的最大值为________． 2 [xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝〞．]4．设a ，b 为非零实数，给出不等式： ①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥aba ＋b ； ④a b ＋b a≥2.其中恒成立的不等式是________．①② [由重要不等式a 2＋b 2≥2ab 可知①正确； ②a 2＋b 22＝2(a 2＋b 2)4＝(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝(a ＋b )24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，故②正确；对于③，当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；令a ＝1，b ＝－1可知④不正确．]5．a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . [证明] ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b2≥ab ，b ＋c2≥bc ，c ＋a2≥ca ，∴a ＋b 2＋b ＋c2＋c ＋a2≥ab ＋bc ＋ca ，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 不全相等， ∴等号不成立，∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .。

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课时提升作业（十七）不等式的性质⑮分钟踽练'（15分钟30分）一、选择题（每小题4分，共12分）1.（2015 -濮阳高二检测）如果a〈0, -l<b<0,那么下列不等式成立的是（）A. a>ab>ab2B. ab3>ab>aC. ab>a>ab2D. ab>ab2>a【解析】选D.由-1<b<0,可得b<b2<1.又a<0,所以ab>ab2>a.【延伸探究】本题条件“-i〈b〈o”改为“b<-r\其他条件不变，比较a, ?音的大小.1【解析】因为b<-1,所以£〈0, b2>1,所以又因为*0,所以»2>a・D b2.（2015 •漳州高二检测）如果a〉b,则下列各式正确的是（）A. a • lgx>b • lgx （x>0）B. ax2>bx2C. a>b2D. a • 2x>b • 2X【解析】选D・当时,I gx<0, a Igx<b Igx,故A错: 当x二0 时，ax2=bx2,故 B 错；当ah, b 二-3时，虽有a>b,但『<b ［故C 错. 对任意x£R, 2x >0,故a • 2x >b • 2X,故D 正确.3. （2015 -龙岩高二检测）若-4<0（a, beR ）,则下列不等式恒成立的a b 是（）A. a<bB. a+b>abC. |a| >|b|D. ab<b 2【解析】选D.因为-4<0,a b 所以 a 〈0, b<0,所以 ab>0, a+b<0,故a+b<ab,所以B 错误；1 1-〈丄两边同乘以ab,得b<a<0, |a|<|b|,a b故A, C 错误；b 〈a 〈0两边同乘以b,得b 2>ab,即ab<b 2, D 正确;【解析】选C ・因为c 2+l^l,所以根据不等式的性质知亠〉亠成立.C-4L —+ ：二、填空题（每小题4分，共8分）4•若 a>b>0,则占 占（nWN ）（填“〉”或“〈”）11 1II 1 【解析】因为a>b>0,所以a n >b n >0,所以占〉缶 即计〈書 答案：〈5•已知-l<2x-Kl,则?-1的取值范围是 _____________【补偿训练】若a, b, ceR, a>b,则下列不等式成立的是（）A Vi A.-<- a b C ・4>¥ B. a>b 2C 2 + l C241 D. a c >b c•C【解析】X Xo所以一1的取值范围是（1, +8）.X答案：（1, +8）三、解答题6-（1°分）已知x>yM 〉o,求证：肖总【解题指南】首先比较盘与盘,盘与三的大小关系，然后利用不 等式的传递性判断丄与丄的大小. x_y x-z【证明】因为x>y,所以x~y>0.所以」一>0.因为y>z,所以-y 〈-乙 所以x-y<x~z.1 1 _ 所以0<x-y<x~乙 所以 >—>0. x-y x-z又因为z>0,所以丄>丄••② x-y x-z由①②得丄〉丄. x-y x-z*⑮分钟提升练’（15分钟 一、选择题（每小题5分，共10分）1. （2015 •邯郸高二检测）设x>0, y>0, A 二三务，B 二子+占，则A, B i+^+y l+x i+y的大小关系是（）A. A=BB. A<BC. AWBD. A>B 【解题指南】观察A 与B 的关系，需要先比较总与希，击与血的大小关系.【解析】选B.因为x>0, y>0i 1 所以 0<1+x<1+x+y,所以一> ------- >0,1+x l+x4y所以丄〉』一，同理丄〉」—1+x "x+y‘ 14y "x+y‘所以丄+丄〉亠+亠又 y>z>0, 所以却盘•①30分）1+x n-y l+x+y 14x+y 即丄+丄>上丄，所以A<B・l+x 1+y 1-i-x+y【补偿训练】已知a, b, ce（O, +8）,若三〈—〈亠，贝虹）a+b Me c4aA. c<a<bB. b<c<aD. c<b<aC. a<b<c【解析】选A.因为a, b, ce （0, +oo）且丄〈旦〈丄，所以—+1<—+1<^-+1, a+b b+c c+a a+b b+c c4a a4b b+c a+c所以a+b>b+c>a+c.由a+b>b+c,所以a>c.由b+c>a+c,所以b>a,所以b>a>c.2. （2015 -赣江高二检测）已知a>b>0,则％运币与、:石=5的大小关系是（）A. v'a-v'b>va - bB. va_¥,r b<va - bC. 一bD.无法确定【解析】选B.因为a>b>0,所以ab>b2>0,所以Vab>b,所以（Va-Vb）2-（v7^b）2=a+b_2\ ab_a+b=2b_2y所以\'a-v l，b<^a - b・【延伸探究】在本题条件下比较V'a+Vb与空i寸的大小.【解析】因为（甬+ Vb）2- （viTb）2二a+b+2、£b-a-b 二2p$b>0,又因为va+ v>o, ya + b>o,所以\'a+ yb>Va + b.二、填空题(每小题5分，共10分)3•若KC1 <3, -4<{3<2,则a-| 13 I的取值范围是 ____________ ・【解析】因为-4<3<2,所以0W|Bl〈4.所以-4<-| 0 | W0.所以-3<a-| 0 |<3.答案：(-3, 3)4•已知a, b, c, d均为实数，有下列命题：①若ab>0, bc-ad>0,则嘤>0；a v②若ab>0, —g>0,则bc-ad>0；a □③若bc-ad>0, —7>0,则处>0・a v其中正确的命题是_________ (填序号).【解析】因为ab>0, bc-ad>0, 所以}器弓尹所以①正确；因为ab>0,又因为^>0,即竺尹>0, 所以bc-ad>0,所以②正确；因为bc-ad>0,又・卜0,即匹丰>0,a v ab所以ab>0,所以③正确•故①②③都正确.答案：①②③三、解答题5. (10 分)设函数f (x) = | lgx|,若0<a<b,且f (a) >f (b).证明：ab<l.【解题指南】由| lga|>| lgb|可# Ig2a>Ig2b然后作差，根据lg(ab)为负数分析ab的取值范围.【证明】因为f(a)二|lga|, f ⑹二|lgb|, f (a) >f (b),所以 | lga|>| lgb|, lg2a>lg2b,所以I g2a-1 g2b= (I ga+1 gb) (Iga-lgb)二lg?・ lg(ab)>0・因为0<a<b,所以0〈2c,D所以Ig-<0,所以lg(ab) <0,所以abC.b关闭Word文档返回原板块。