平面向量的表示和坐标

平面向量的基本运算法则平面向量是在平面上具有大小和方向的量，它在数学和物理中都有广泛的应用。

对于平面向量，有一些基本的运算法则需要掌握。

一、平面向量的表示方法表示一个平面向量可以使用坐标表示法或者矢量表示法。

1. 坐标表示法：假设平面上有一个点P，以原点O为起点，连接OP，并将OP表示为一个有向线段，那么OP就是一个平面向量。

通常用大写字母表示向量，比如向量OP可以表示为向量OQ = (x, y)。

2. 矢量表示法：平面向量还可以使用矢量符号表示，比如向量OP 可以表示为向量→OP。

二、平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和数量积。

1. 加法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的和表示为→AB+→CD，即将两个向量的起点对齐，连接终点即可得到它们的和向量→AD。

2. 减法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的差表示为→AB-→CD，即将被减向量→CD取反，然后按照加法法则相加，即→AB+(-→CD)。

3. 数乘：设有一个平面向量→AB，它与一个实数k的乘积表示为k→AB，即将向量→AB的长度乘以实数k，方向不变。

4. 数量积：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的数量积表示为→AB·→CD，即将两个向量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值。

如果→AB和→CD垂直，它们的数量积为0；如果夹角为锐角，它们的数量积为正；如果夹角为钝角，它们的数量积为负。

三、平面向量基本运算法则的性质平面向量的基本运算法则满足一些重要的性质。

1. 交换律：对于加法和数量积来说，交换向量的顺序不改变运算结果，即→AB+→CD = →CD+→AB，→AB·→CD = →CD·→AB。

2. 结合律：对于加法来说，可以将多个向量的和分成多个组，然后先对每组中的向量进行加法运算，再将每组的运算结果进行加法运算，结果是相同的。

3. 分配律：对于加法和数乘来说，分配律成立，即k(→AB+→CD)= k→AB+k→CD，(k+m)→AB = k→AB+m→AB。

平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。

平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。

一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。

位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。

当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。

当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。

当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。

当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。

二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。

方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。

通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。

三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。

首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。

然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。

四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。

2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。

3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。

五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。

平面向量的坐标表示与方向角平面向量是平面上的有向线段，既有大小又有方向。

为了方便表示和计算，我们可以使用坐标表示和方向角来描述平面向量。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以使用二维坐标来表示平面上的点。

同样地，我们可以使用两个实数来表示一个平面向量。

设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂, y₂)。

则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。

举例说明：若A(1, 2)和B(4, 5)是平面上的两个点，可以计算得到向量AB的坐标表示为(3, 3)。

二、平面向量的方向角平面向量的方向可以用方向角来表示。

方向角是从正 x 轴逆时针旋转到向量所在直线的角度。

设平面向量为AB，与正 x 轴的夹角为θ（0 <= θ < 2π）。

则向量AB的极坐标表示为(│AB│, θ)，其中│AB│表示向量AB的长度。

计算方向角θ的方法如下：1. 若向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，则有tanθ = Δy/Δx。

- 当Δx > 0时，θ = arctan(Δy/Δx)。

- 当Δx = 0且Δy > 0时，θ = π/2。

- 当Δx = 0且Δy < 0时，θ = 3π/2。

- 当Δx < 0时，θ = arctan(Δy/Δx) + π。

2. 根据θ的值的范围，进行调整使其满足0 <= θ < 2π。

举例说明：若向量AB的坐标表示为(3, 3)，则有tanθ = 3/3 = 1，所以θ = π/4。

由于0 <= π/4 < 2π，θ = π/4就是向量AB的方向角。

三、使用坐标表示和方向角求解平面向量的运算使用坐标表示和方向角可以方便地进行平面向量的运算，包括加减法和数量乘法。

1. 加减法：设向量AB的坐标表示为(Δx₁, Δy₁)，向量CD的坐标表示为(Δx₂, Δy₂)。

5．2平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. [试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 解析：由a ∥b 得2×(－6)＝3x ，解得x ＝－4. 答案：－42．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________． 解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12.答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， 所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13考点一平面向量的坐标运算1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________． 解析：BC ＝AC －AB ＝(1,4)． 答案：(1,4)2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如下图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[备课札记] [类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．平面向量基本定理及其应用[典例] 如下图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[解析] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . [备课札记] [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理． [针对训练](2014·济南调研)如下图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k （14AC －AB ）＝(1－k ) AB ＋k4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311. 答案：311考点三平面向量共线的坐标表示[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613.[备课札记]在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解：设d ＝(x ，y )，d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②. 2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值． [针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．[课堂练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.解析：设b ＝(x ，y )，则a ＋b ＝(2＋x ，y －1)，由条件知2＋x ＝0，|y －1|＝1，解得x ＝－2，y ＝0或x ＝－2，y ＝2，故b ＝(－2,0)或(－2,2)． 答案：(－2,2)或(－2,0)2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于________．解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )a －2b ＝(4，－1)，由于(m a ＋n b )∥(a －2b )，可得－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，可得m n ＝－12.答案：－123．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.解析：由题意，得－4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－34，所以tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247.答案：－2474．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA . 其中正确结论的个数是________．解析：∵由题意得k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12，∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC ＝AC ，∴②错误； ∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB ，∴③正确；∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC ＝(－4,0)，∴④正确． 答案：35．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：126．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．解析：∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB ＋y AC (x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC .∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.答案：12。

平面向量的坐标表示与向量模长在平面几何中，向量是一种具有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。

为了描述和计算向量的性质和运算，常常使用它的坐标表示和模长。

本文将探讨平面向量的坐标表示以及如何计算其模长。

一、平面向量的坐标表示平面向量通常由两个不平行的线段表示，其中一个线段表示向量的大小和方向，另一个线段表示向量的方向。

为了方便计算和描述，我们可以使用坐标表示来表示平面向量。

平面坐标系是一个由两条彼此垂直的坐标轴组成的坐标系，通常称为x轴和y轴。

以原点O为起点，x轴和y轴正方向分别为正向和负向。

在平面坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点到y轴的水平距离，y表示点到x轴的垂直距离。

对于平面向量AB，可以使用一个有序对来表示其坐标表示，即(ABx, ABy)，其中ABx表示向量AB在x轴上的投影长度，ABy表示向量AB在y轴上的投影长度。

二、向量的模长向量的模长表示向量的大小，也称为向量的长度。

在平面向量中，向量的模长通常由向量的坐标表示计算而得。

设平面向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，那么向量AB的模长记作|AB|，可以通过勾股定理得到如下公式：|AB| = √(ABx^2 + ABy^2)其中^2表示平方运算，√表示开方运算。

三、示例与应用为了更好地理解平面向量的坐标表示和模长，我们来看一个具体的示例。

示例：已知平面向量AC的坐标表示为(3, 4)，求向量AC的模长。

解析：根据上述公式，我们可以计算向量AC的模长：|AC| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量AC的模长为5。

平面向量的坐标表示和模长在几何学和物理学中有着广泛的应用。

它们可以用于描述力和力矩等物理量，计算线段的长度和方向等几何性质。

同时，在向量运算和向量计算中，坐标表示和模长也是必不可少的工具。

结论平面向量的坐标表示和模长是描述和计算向量性质的重要工具。

通过使用坐标表示，我们可以准确地表示向量的方向和大小；通过计算模长，我们可以得到向量的大小。

平面向量的坐标表示与向量投影的应用平面向量是向量的一种，可以用来描述平面内的位移、速度、力等物理量，具有大小和方向的特性。

在平面向量的研究中，坐标表示和向量投影是两个重要的概念和应用。

本文将介绍平面向量的坐标表示及其计算方法，并探讨向量投影在几何和物理问题中的应用。

一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在直角坐标系下在x轴和y轴上的投影长度。

具体来说，设A和B是平面上的两点，向量AB的坐标表示为(x, y)，其中x和y分别为B点的横坐标和纵坐标减去A点的横坐标和纵坐标。

对于任意的平面向量AB和CD，如果它们的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则它们之间的运算规则如下：1. 两个向量的加法：(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)2. 一个向量与实数的乘法：k(x1, y1) = (kx1, ky1)，其中k为实数3. 两个向量的减法：(x1, y1) - (x2, y2) = (x1 - x2, y1 - y2)二、向量投影的应用向量投影是指一个向量在某个方向上的投影长度，广泛应用于几何和物理问题中。

1. 几何应用向量投影在几何中的应用主要包括：（1）求向量的模：对于平面向量AB，它的模可以表示为|AB| =√(x^2 + y^2)，其中x和y分别为向量AB的横纵坐标。

（2）求两个向量的夹角：对于平面向量AB和CD，它们之间的夹角为θ，可以通过向量的点乘公式求得：AB · CD = |AB| |CD| cosθ。

（3）求垂直向量：若向量AB与向量CD垂直，则它们的向量积为0，即AB × CD = 0。

2. 物理应用向量投影在物理学中的应用非常广泛，其中最常见的包括：（1）分解力：对于一个施加在物体上的力F，我们可以将它分解为平行于倾斜平面的分力F1和垂直于倾斜平面的分力F2。

其中，F1为F在倾斜平面上的投影，F2为F在倾斜平面垂直方向上的投影。

平面向量的表示方法平面向量是研究平面上对象的重要工具。

在研究平面向量时，我们需要了解不同的表示方法。

下面将介绍平面向量的不同表示方法，包括坐标表示法、分量表示法和模长与方向角表示法。

一、坐标表示法坐标表示法是最常见的一种表示方法。

在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为一个有序数对 (x, y)。

其中，x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。

例如，向量 AB 可以表示为 (x, y)。

二、分量表示法分量表示法是将平面向量拆分为两个独立的有向线段的表示方法。

我们可以将向量拆分为水平和垂直方向的分量。

设向量 AB 的水平分量为 A 的 x 分量与 B 的 x 分量的差，垂直分量为 A 的 y 分量与 B 的 y 分量的差。

用 (a, b) 表示向量 AB 的分量表示法，其中 a 表示水平分量，b 表示垂直分量。

三、模长与方向角表示法模长与方向角表示法是将平面向量表示为一个长度与一个角度的表示方法。

向量的模长是从向量的起点到终点的长度，可以通过勾股定理计算出来。

向量的方向角是向量与平面上某个固定方向之间的角度，可以用三角函数计算出来。

表示为 |AB|，其中 |AB| 表示向量 AB 的模长，θ 表示向量 AB 的方向角。

总结：平面向量的表示方法包括坐标表示法、分量表示法和模长与方向角表示法。

坐标表示法是最常见的一种，通过给出向量在坐标系中的位置来表示向量。

分量表示法将向量拆分为水平和垂直方向的分量表示。

模长与方向角表示法是将向量表示为一个长度和一个角度的方式。

以上是关于平面向量的表示方法的讨论。

了解这些不同的表示方法对于理解平面向量的性质和运算非常重要。

在实际应用中，我们根据具体的问题选择合适的表示方法，并利用向量的性质进行计算和分析。

对于进一步学习平面向量的相关知识和应用具有重要的指导意义。

平面向量的坐标和方向角平面向量是数学中一个重要的概念，可以描述平面上的位移、速度、力等物理量。

在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标和方向角来表示。

本文将介绍平面向量的坐标表示和方向角表示，并探讨它们之间的转换关系。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，平面向量可以用两个有序实数（即坐标）表示。

设平面向量为向量AB，点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂ - x₁, y₂ - y₁)。

例如，设点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(4, 5)，则向量AB的坐标表示为(4 - 1, 5 - 2)，即(3, 3)。

坐标表示的优点是简洁明了，可以直观地看出向量在水平和垂直方向上的分量。

但它并不能提供关于向量长度和方向的详细信息。

二、平面向量的方向角表示平面向量的方向角表示是指用角度来描述向量的方向。

一般情况下，我们取与x轴的正方向之间的夹角作为向量的方向角，并规定逆时针方向为正。

设向量AB的方向角为θ，则根据三角函数的定义，有以下关系：cosθ = (x₂ - x₁) / √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)sinθ = (y₂ - y₁) / √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)通过反三角函数，可以求得向量AB的方向角θ。

例如，设向量AB的坐标表示为(3, 3)，则根据上述公式，可以求得：cosθ = 3 / √(3² + 3²) ≈ 0.707sinθ = 3 / √(3² + 3²) ≈ 0.707通过反余弦函数和反正弦函数，可以求得θ的值为约45°。

方向角表示能够提供更为具体的方向信息，但它并不能直接获得向量的长度。

三、坐标和方向角的转换在实际问题中，我们经常需要将平面向量的坐标表示和方向角表示进行转换。

下面介绍两种常用的转换方法。