2020-2021学年高二数学新教材苏教版必修5课时分层练习：2.1 数列 (含答案)

课时分层作业(五) 数列(建议用时：60分钟)[基础达标练］一、选择题1．若数列{a n}满足aｎ＝2n，则数列{ａn}是( ）Ａ.递增数列 B．递减数列C．常数列D．摆动数列A [ａn＋１-aｎ＝2n＋１－2n＝2n>0，∴a n+1＞a n,即｛ａn}是递增数列．]2.数列－错误!未定义书签。

,３，－3错误!未定义书签。

，9,…的一个通项公式是（)A.ａn＝(－１）n错误!未定义书签。

(n∈Ｎ＊)B.ａn=(－1）n错误!(ｎ∈N*)C.ａn＝(－1)n＋１错误!未定义书签。

（n∈N＊）Ｄ.a n＝（-1）n+1错误!未定义书签。

（n∈N*）Ｂ［把前四项统一形式为-错误!未定义书签。

,错误!未定义书签。

,－错误!未定义书签。

,＼r（81),可知它的一个通项公式为aｎ＝（-１）n错误!未定义书签。

.]3.已知数列－1,错误!，-错误!未定义书签。

，…，(-1)ｎ错误!未定义书签。

，…，则它的第５项为（)A.＼f(1,５)ﻩＢ.-错误!未定义书签。

C。

错误! D.-错误!未定义书签。

D［易知,数列的通项公式为a n=(-1)n·＼f(1,n2）,当n=5时,该项为（-1）5·＼f(１,52）=－1.]254.已知数列的通项公式为a n=错误!则a2a3等于( )A．2０ﻩ B.28C．0 Ｄ.１２A [a2=２×2－2=2,a３=3×3＋1=10，∴a2a3＝２×１0=２0。

］5.数列{ａn}中,a n=２n2-3,则12５是这个数列的第几项( )A.４B.8Ｃ．7D．１2Ｂ［令2ｎ2-3=1２5得n＝8或n=－8(舍）,故1２5是第8项.]二、填空题6．数列{a n｝的通项公式aｎ＝错误!未定义书签。

，则错误!未定义书签。

－３是此数列的第＿_____＿_项．9[令错误!=错误!未定义书签。

-３，即＼r（n+１)-错误!＝错误!－3,∴ｎ=9.]7．已知数列｛a n｝，ａｎ=a n＋m（a<0,n∈N＊),满足a1＝2,a2＝4,则a3＝_＿___＿__。

2.1 数列(一)课时目标1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．1．按照一定次序排列的一列数称为______，数列中的每个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做____项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第____项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为______．3．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的______公式．一、填空题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1n 为正奇数4n －1n 为正偶数，则它的前4项依次为_____．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的第________项． 4.35，12，511，37，717，…一个通项公式是________． 5．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式是a n ＝__________.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N *)，那么a n ＋1－a n ＝________. 7．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．8．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．9．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6＝________.10．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.二、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．能力提升13．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．14．在数列{a n}中，a1＝1，a2n－a n＋1－1＝0，则此数列的前2 010项之和为______________．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复． (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 n ＝2k －1，1 n ＝2k ，其中k ∈N *.第2章 数 列 §2.1 数列(一)答案知识梳理1．数列 项 首 n 2.{a n } 3.通项 作业设计 1．10解析 ∵1n n ＋2＝1120，∴n(n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.2．4,7,10,15 3．7解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．4．a n ＝n ＋23n ＋25．13(1－110n ) 6．12n ＋1－12n ＋2解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ，∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.7．a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 8．55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 9．33解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3， b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9， b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33. 10．1 0解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.11．解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n (n ∈N *)．(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n ·2n－32n (n ∈N *)．(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)．(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 n 为奇数1n 为偶数或a n ＝1＋－1n2(n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)．12．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.13．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1. 14．－1 003解析 ∵a n ＋1＝a 2n －1，a 1＝1，∴a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝－1，…， ∴n 为偶数时，a n ＝0；n 为奇数时，除a 1＝1外，a n ＝－1.∴S 2 010＝a 1＋[(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 008＋a 2 009)]＋a 2 010＝1＋(－1)×1 004＋0＝－1 003.。

课时分层作业(二)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14等于( ) A ．45 B ．41 C ．39D ．37B [设公差为d ，则d ＝a 6－a 26－2＝17－54＝3，∴a 1＝a 2－d ＝2，∴a 14＝a 1＋13d ＝2＋13×3＝41.]2．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52D [∵a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)·12＝2＋n －12，∴a 101＝2＋101－12＝52.]3．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20D ．28 C [设公差为d ，则a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋9d ＝10. ∴3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝20.] 二、填空题4．已知数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，若a n ＝2 017，则项的序号n 等于________．[解析] 由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 得2 017＝1＋(n －1)·3，解得n ＝673.[答案] 6735．已知数列{a n }为等差数列a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.[解析]法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34.∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ， 即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34.∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.[答案] －3146．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．[解析] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，37．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.[解析] 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝－2，b 1＋9d ＝12，解得b 1＝－6，d ＝2， 因为b n ＝a n ＋1－a n ，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ＋1－a 1，所以a 8＝b 1＋b 2＋…＋b 7＋3＝(－6＋6)×72＋3＝3.[答案] 38．下表是一个有i 行j 列的表格．已知每行每列都成等差数列，i ，j 4,5i ，j [解析] 根据图表和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1，j ＝4＋3(j －1)，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2，j ＝7＋5(j －1)， 第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此a i ，j ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j . 可得a 4,5＝2×4×5＋4＋5＝49.[答案] 49 2ij ＋i ＋j 三、解答题9．若等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根，求数列{a n }的通项公式．[解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1(a 1＋d )＝a 1＋3d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .故数列{a n }的通项公式a n ＝2n . 10．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2 ＝a n －22(a n －2)＝12，又∵b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)可知b n ＝12＋(n －1)×12＝n2，又由b n ＝1a n －2可知，a n ＝2＋1b n＝2＋2n .[能力提升练]1．数列{a n }中，a n ＋1＝a n1＋3a n，a 1＝2，则a 4为( ) A.87 B.85 C.165D.219D [法一：a 1＝2，a 2＝21＋3×2＝27，a 3＝271＋67＝213，a 4＝2131＋613＝219.法二：取倒数得1a n ＋1＝1a n ＋3，∴1a n ＋1－1a n＝3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，3为公差的等差数列．∴1a n ＝12＋(n －1)·3＝3n －52＝6n －52，∴a n ＝26n －5，∴a 4＝219.]2．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n ＝________.[解析] 由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.[答案] n 23．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中，c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.[解析] 因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.[答案] 194．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n＝1a n，n ∈N *.(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)试问a 1a 2是不是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．[解] (1)证明：法一：∵a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，∴a n －1(1－2a n )＝a n (2a n －1＋1)， 即a n －1＝a n (4a n －1＋1)， ∴a n ＝a n －14a n －1＋1，∴b n ＝1a n ＝4a n －1＋1a n －1＝4＋1a n －1，∴b n －b n －1＝4＋1a n －1－1a n －1＝4，又∵b 1＝1a 1＝5，∴数列{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5. 法二：当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n－1a n－1＝4⇔b n－b n－1＝4，且b1＝1a1＝5，∴{b n}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)由(1)知b n＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.∴a n＝1b n＝14n＋1，n∈N*.∴a1＝15，a2＝19，∴a1a2＝145.令a n＝14n＋1＝145，∴n＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{a n}中的项，且是第11项．。

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．数列－3，3，－33，9，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *)B ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *)C ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)D ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)B [把前四项统一形式为－3，9，－27，81，可知它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 3n .]2．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n 1n2，…，则它的第5项为( ) A.15B ．－15 C.125 D ．－125D [易知，数列的通项公式为a n ＝(－1)n ·1n 2，当n ＝5时，该项为(－1)5·152＝－125.] 3．已知数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3等于( ) A ．20B ．28C ．0D ．12 A [a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，∴a 2a 3＝2×10＝20.]二、填空题4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．[解析] 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.[答案] 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项． [解析] 数列的通项为a n ＝3n －1. ∵25＝20＝3×7－1， ∴25是数列的第7项．[答案] 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)[解析] 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2， 故第n 个图形中的点数为n 2.[答案] n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. [解析] ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15. [答案] 3－22n 158．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.[解析] 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．[答案] ①三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．[解] (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．[解] (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项． (3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1.所以0<a n <1， 所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升练]1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积为( ) A.15B ．5C ．6 D.log 23＋log 31325B [a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.] 2．如图，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．[解析] 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C ，D ，E ，A ，故动点运动的周期为5，∵a 2 016＝a 2 015＋1＝a 5×403＋1＝a 1＝1，故应在A 处．[答案] A3．已知数列{a n }满足a m ·n ＝a m ·a n (m ，n ∈N *)，且a 2＝3，则a 8＝________. [解析] 由a m ·n ＝a m ·a n ，得a 4＝a 2·2＝a 2·a 2＝9， a 8＝a 2·4＝a 2·a 4＝3×9＝27.[答案] 274．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的单调性．[解] (1)由f (x )＝log 2x －log x 2，可得f (2a n )＝a n －1a n＝2n ， 所以a 2n －2na n －1＝0，解得a n ＝n ±n 2＋1.因为0<x <1，所以0<2a n <1，所以a n <0. 故a n ＝n －n 2＋1.(2)法一：(作商比较)a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1 ＝n ＋n 2＋1(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1<1. 因为a n <0，所以a n ＋1>a n .故数列{a n }是递增数列． 法二：(作差比较)a n ＋1－a n ＝n ＋1－(n ＋1)2＋1－n ＋n 2＋1 ＝n 2＋1＋1－n 2＋2n ＋2 ＝2(n 2＋1－n )n 2＋1＋1＋n 2＋2n ＋2>0. 所以数列{a n }是递增数列．。

2.1 数列 一、选择题 1．数列0，13，12，35，23，…的通项公式为________． 解析：数列可化为02，13，24，35，46，…观察可得： a n ＝n －1n ＋1. 答案：a n ＝n －1n ＋12．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n n ＋2(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第________项．解析：由1n n ＋2＝1120得， n 2＋2n －120＝0，解得n ＝10或n ＝－12(舍去)．答案：103．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．解析：由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…则其通项公式为a n ＝n 2，故第n 个图形中的点数为n 2.答案：n 24．已知f(1)＝2，f(n ＋1)＝f n ＋12(n ∈N *)， 则f(4)＝________.解析：∵f(1)＝2，f(n ＋1)＝f n ＋12， ∴f(2)＝f 1＋12＝32，f(3)＝f 2＋12＝32＋12＝54， f(4)＝f 3＋12＝54＋12＝98. 答案：985．已知x 与函数f(x)的对应关系如下表所示，数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝f(a n )，则a 2 011＝________.x1 2 3 f(x)3 2 1解析：∵a 1＝3， ∴a 2＝f(a 1)＝f(3)＝1，a 3＝f(a 2)＝f(1)＝3.∴数列{a n }为周期排列，且周期T ＝2.∴a 2 011＝a 1＝3.答案：3二、解答题6．写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)－1,7，－13,19，…(2)8,88,888,8 888，…(3)23，415，635，863，1099，… (4)3,0，－3,0,3,0，－3,0，…解：(1)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n 或(－1)n ＋1表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式a n ＝(－1)n (6n －5)，(n ∈N *)．(2)首先联想数列9,99,999,9 999，…的通项公式a n ＝10n －1，而8＝89×9,88＝89×99,888＝89×999，8 888＝89×9 999. ∴a n ＝89(10n －1)，(n ∈N *)． (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．经过组合，则所求数列的通项公式a n ＝2n2n －12n ＋1，(n ∈N *)．(4)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0，－1,0，…，则a n ＝3sin nπ2，(n ∈N *)． 7．已知数列2，74，2，…的通项公式为a n ＝an 2＋b cn，求a 4、a 5. 解：将a 1＝2，a 2＝74代入通项公式得，⎩⎨⎧ a ＋b c ＝2，4a ＋b 2c ＝74，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ，c ＝2a ， 所以a n ＝an 2＋b cn ＝n 2＋32n. 所以a 4＝42＋32×4＝198，a 5＝52＋32×5＝145. 8．已知函数f(x)＝2x －2－x ，数列{a n }满足f(log 2a n )＝－2n(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．解：(1)∵f(x)＝2x －2－x ，f(log 2a n )＝－2n.∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1a n＝－2n ， ∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N *.(2)a n ＋1a n＝n ＋12＋1－n ＋1n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n n ＋12＋1＋n ＋1<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．。

课时分层作业(三)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10A [由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝2a 5，又∵a 1＋a 9＝10，即2a 5＝10，∴a 5＝5.]2．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－2B ．－12C ．2D.12C [∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列，且d ＝3.a 2＋a 4＋a 6＝9＝3a 4，∴a 4＝3，a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3(a 4＋3d )＝3(3＋3×3)＝36，∴log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 636＝2.]3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )A ．5B ．8C ．10D ．14 B [由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.]二、填空题4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.[解析] ∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列，其公差为21－72＝142＝7，∴a5＋b5＝7＋(5－1)×7＝35.[答案]355．若等差数列的前三项依次是1x＋1，56x，1x，那么这个数列的第101项是________．[解析]由已知得2×56x＝1x＋1＋1x，解得x＝2，∴a1＝13，d＝112，∴a101＝13＋100×112＝823.[答案]8236．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m＝________.[解析]由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.[答案]87．已知数列－1，a1，a2，－4与数列1，b1，b2，b3，－5各自成等差数列，则a2－a1b2＝________.[解析]设数列－1，a1，a2，－4的公差是d，则a2－a1＝d＝－4－(－1)4－1＝－1，b2＝－5＋12＝－2，故知a2－a1b2＝12.[答案]128．已知数列{a n}满足a1＝0，数列{b n}为等差数列，且a n＋1＝a n＋b n，b15＋b16＝15，则a31＝________.[解析]因为数列{a n}满足a1＝0，数列{b n}为等差数列，且a n＋1＝a n＋b n，b15＋b16＝15，所以a n＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋b n，所以a31＝b1＋b2＋b3＋…＋b30＝302(b1＋b30)＝15(b15＋b16)＝15×15＝225.[答案]225 三、解答题9．已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，a＋cb，a＋bc也成等差数列．[证明]∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)．∵b＋ca＋a＋bc＝c(b＋c)＋a(a＋b)ac＝c2＋a2＋b(a＋c)ac＝a2＋c2＋2acac＝2(a＋c)2b(a＋c)＝2(a＋c)b.∴b＋ca，a＋cb，a＋bc成等差数列．10．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．[解]显然a－4<a＋2，(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.[能力提升练]1．在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为()A．14 B．15C ．16D ．17C [设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.] 2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[解析] 设最上面一节的容积为a 1，公差为d ，则有⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 即⎩⎨⎧ 4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1322，d ＝766，则a 5＝6766， 故第5节的容积为6766升． [答案] 67663．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x ＝0，过点(1,2)的该圆的三条弦的长a 1，a 2，a 3构成等差数列，则数列a 1，a 2，a 3的公差的最大值是________．[解析] 如图，由x 2＋y 2－6x ＝0，得(x －3)2＋y 2＝9，所以圆心坐标C (3,0)，半径r ＝3，由圆的性质可知，过点P (1,2)的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过P 且垂直于CP 的弦的弦长，因为|CP |＝(3－1)2＋(0－2)2＝22，所以|AB |＝232－(22)2＝2，即a 1＝2，a 3＝6，所以公差d 的最大值为a 3－a 12＝6－22＝2. [答案] 2 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，求|m －n |.[解] 可设由这四个根组成的等差数列的公差为d ，那么这四个数依次为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d ， 又原方程等价于x 2－2x ＋m ＝0或x 2－2x ＋n ＝0.由于方程x 2－2x ＋m ＝0与x 2－2x ＋n ＝0的两根之和均为2，∴14＋(14＋d )＋(14＋2d )＋(14＋3d )＝1＋6d ＝4， ∴d ＝12. ∴这个等差数列为14，34，54，74，结合题意可知：14，74是其中一个一元二次方程的两个根，34，54是另一个一元二次方程的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝716，n ＝1516或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1516，n ＝716.∴|m －n |＝12.由Ruize收集整理。

§2.1 数列(二)课时目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．2．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，k })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．3．一般地，一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即a n ＋1<a n ，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．一、填空题1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是________． 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________.3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于________．4．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．5．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N ＋)，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2 009等于________．6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 20等于________． 7．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为________． 9．若数列{a n }满足：a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，则当n ≥2时，a n ＝________. 10．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是第________项和第________项．二、解答题 11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ；(2)求a 2 010.12．已知a n ＝9n (n ＋1)10n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．能力提升13．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，则通项公式a n ＝________. 14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．§2.1 数列(二)答案知识梳理2．正整数集N * 函数值作业设计1.122．3·21－n3.6116解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116. 4．125．－3 011 解析 S 2 009＝a 1＋(a 2＋a 3＋…＋a 2 009)＝a 1＋1 004×H ＝1＋1 004×(－3)＝－3 011.6．－3解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1 (n ∈N ＋)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，….由此可知这是一个周期数列，周期为3，∴a 20＝a 2＝－ 3.7．－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3. 8.37解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37. 9.n (n ＋1)2解析 ∵a 1＝1，且a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)． ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a n －1a n －2·a n a n －1＝31·42·53·…n n －2·n ＋1n －1，即a n ＝n (n ＋1)2. 10．10 9解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1， ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上，在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象，由图象易知 当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1， 当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减，∴a 10>a 11>…>a 30>1. 所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.11．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1 ＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n . ∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. 又∵a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2，∴a 2 010＝2.12．解 因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则 当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0， 当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 13．－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)， ∴a 2－a 1＝11×2； a 3－a 2＝12×3； a 4－a 3＝13×4； … …a n －a n －1＝1(n －1)n； 以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝1－1n. ∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n. 14．a n ＝1n解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n a n ＋1＝0，∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. 方法一 a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ， ∴a na 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 方法二 (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， ∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1， ∴na n ＝1，a n ＝1n .。

课时分层作业(一)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．数列－3，3，－33，9，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *)B ．a n ＝(－1)n 3n (n ∈N *)C ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)D ．a n ＝(－1)n ＋13n (n ∈N *)B [把前四项统一形式为－3，9，－27，81，可知它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 3n .]2．已知数列－1，14，－19，…，(－1)n 1n 2，…，则它的第5项为( ) A.15B ．－15 C.125 D ．－125D [易知，数列的通项公式为a n ＝(－1)n ·1n 2，当n ＝5时，该项为(－1)5·152＝－125.] 3．已知数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2a 3等于( ) A ．20B ．28C ．0D ．12 A [a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，∴a 2a 3＝2×10＝20.]二、填空题4．数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于________．[解析] 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2＝2，a 3＝10，所以a 2·a 3＝20.[答案] 205．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的第________项．[解析] 数列的通项为a n ＝3n －1. ∵25＝20＝3×7－1， ∴25是数列的第7项．[答案] 76．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．(1) (2) (3) (4)[解析] 由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，…，则其通项公式为a n ＝n 2， 故第n 个图形中的点数为n 2.[答案] n 27．若数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则a 2n ＝______，a 2a 3＝________. [解析] ∵a n ＝3－2n ，∴a 2n ＝3－22n ，a 2a 3＝3－223－23＝15. [答案] 3－22n 158．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，则数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是________．①a 10，a 9；②a 1，a 9；③a 1，a 30；④a 9，a 30.[解析] 通项公式变形为：a n ＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99，显然当n ＝10和n ＝9时，a n 分别取最大值和最小值．[答案] ①三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 相应的函数是一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 017；(2)若{b n }是由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式．[解] (1)由题意可设a n ＝kn ＋b ，又a 1＝3，a 10＝21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 017＝2×2 017＋1＝4 035.(2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成，∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1(n ∈N *)． (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．[解] (1)a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，故98101不是该数列中的项． (3)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，所以0<33n ＋1<1.所以0<a n <1， 所以数列中的各项都在区间(0,1)内．[能力提升练]1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积为( ) A.15B ．5C ．6 D.log 23＋log 31325B [a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.] 2．如图，五角星魅力无穷，一动点由A 处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A 处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2 016应在________处．[解析] 设a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，a 6＝1分别对应点A ，B ，C ，D ，E ，A ，故动点运动的周期为5，∵a 2 016＝a 2 015＋1＝a 5×403＋1＝a 1＝1，故应在A 处．[答案] A3．已知数列{a n }满足a m ·n ＝a m ·a n (m ，n ∈N *)，且a 2＝3，则a 8＝________. [解析] 由a m ·n ＝a m ·a n ，得a 4＝a 2·2＝a 2·a 2＝9， a 8＝a 2·4＝a 2·a 4＝3×9＝27.[答案] 274．设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的单调性．[解] (1)由f (x )＝log 2x －log x 2，可得f (2a n )＝a n －1a n＝2n ， 所以a 2n －2na n －1＝0，解得a n ＝n ±n 2＋1.因为0<x <1，所以0<2a n <1，所以a n <0. 故a n ＝n －n 2＋1.(2)法一：(作商比较) a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1 ＝n ＋n 2＋1(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1<1. 因为a n <0，所以a n ＋1>a n .故数列{a n }是递增数列． 法二：(作差比较)a n ＋1－a n ＝n ＋1－(n ＋1)2＋1－n ＋n 2＋1 ＝n 2＋1＋1－n 2＋2n ＋2 ＝2(n 2＋1－n )n 2＋1＋1＋n 2＋2n ＋2>0. 所以数列{a n }是递增数列．。

明目标、知重点 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简洁的数列，会依据其前n 项写出它的通项公式．1．数列的概念依据确定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a n 称为第n 项． 3．数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 4．数列的通项假如数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[情境导学]“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，假如把木棒每天的长度记录下来，就会得到无穷多个数，这无穷多个数就组成了本节要争辩的一个数列． 探究点一 数列的概念思考1 阅读课本29页的几个例子，得出下列几组数： (1)20,22,24,26,28，….(2)1 740,1 823,1 906,1 989,2 072，…. (3)1,2,4,8,16，…. (4)12，14，18，116，132，…. (5)1,1,2,3,5,8，…. (6)15,5,16,16,28,32.以上这6组数有什么共同特点？ 答 都是按确定的次序排列的．小结 数列的定义：依据确定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．思考2 依据思考1这6个具体的数列，你能抽象出数列的一般形式如何表达吗？ 答 数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，….简记为{a n }，其中a n 是数列的第n 项．思考3 数列可以简记为{a n }，那么a n 仅仅是数列的第n 项吗？答 a n 有时是数列的第n 项，具有确定性，有时代表任意项，即具有任意性．探究点二 数列的通项公式思考1 观看数列1，12，13，14，15，…，数列的每一项与这一项的序号是否有确定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？答 该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，用通项公式a n ＝1n可表示这个数列．小结 (1)一般地，假如数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)并不是全部的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不唯一．(3)通项公式的作用：①求数列中的任意一项；②检验某数是不是该数列中的项．思考2 数列{a n }的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？答 能确定数列是递增数列还是递减数列，是否具有周期性，有没有最大或最小项等． 例1 已知数列的第n 项a n 为2n －1，写出这个数列的首项、第2项和第3项． 解 首项为a 1＝2×1－1＝1；第2项为a 2＝2×2－1＝3； 第3项为a 3＝2×3－1＝5.反思与感悟 在本例中，第n 项a n 可用一个公式2n －1来表示，即该数列的通项公式．假如已知数列的通项公式，就可以求出数列中的任意一项．跟踪训练1 已知数列{a n }的通项公式，写出这个数列的前5项．(1)a n ＝nn ＋1；(2)a n ＝(－1)n 2n .解 我们用列表法分别给出这两个数列的前5项.n 1 2 3 4 5 a n ＝nn ＋112 23 34 45 56 a n ＝(－1)n 2n－1214－18116－132例2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)11×2，－12×3，13×4，－14×5； (2)0,2,0,2.解 (1)这个数列的前4项的分母都等于序号与序号加1的积，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋1n (n ＋1).(2)这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通项公式是a n ＝1＋(－1)n.反思与感悟 要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观看分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数．跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14；(2)2,0,2,0；(3)22－12，32－13，42－14，52－15.解 (1)这个数列的前4项的确定值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1n.(2)这个数列的前4项构成一个摇摆数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1.(3)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1.例3 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)(2n －1)(2n ＋1).(1)写出它的第10项；(2)推断233是不是该数列中的项．解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21＝11399.(2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝233，化简得：8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5(n ＝－78，舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.∴233不是该数列中的项．反思与感悟 推断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.1．下列叙述正确的是________． ①数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列； ②数列0,1,2,3，…可以表示为{n }； ③数列0,1,0,1，…是常数列；④数列{nn ＋1}是递增数列．答案 ④解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值渐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故答案为④.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为________． 答案 a n ＝n ＋1解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.3．下列有关数列的表述：①数列的通项公式是唯一的；②数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是相同的数列；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④数列中的数是按确定次序排列的．其中说法正确的是________． 答案 ③④解析 假如数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，但一个数列可以没有通项公式，也可以有几个通项公式，如：数列1，－1,1，－1,1，－1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ＋1，也可以是a n ＝cos(n －1)π，故①错；由数列的概念知数列0,1,0，－1与数列－1,0,1,0是不同的数列，故②错；易知③④是正确的．4．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的确定值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N *.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观看：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.(4)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2 (n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)．[呈重点、现规律]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三共性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非全部的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．3．假如一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．一、基础过关1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为________．答案 1,0,1,0解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的第________项． 答案 7解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是________． ①a n ＝n 2－n ＋1；②a n ＝n (n －1)2；③a n ＝n (n ＋1)2；④a n ＝n 2＋1. 答案 ③解析 令n ＝1,2,3,4，代入①、②、③、④检验即可．排解①②④，从而确定答案为③.4．数列23，45，67，89，…的第10项是________．答案 2021解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021.5．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有________个．答案 3解析 数列12，23，34，45，…的通项公式为a n ＝n n ＋1，0.94＝94100＝4750，0.96＝96100＝2425，0．98＝98100＝4950，0.99＝99100，2425，4950，99100都在数列{n n ＋1}中，故有3个． 6．观看下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3. 7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) (1)3,5,9,17,33，…； (2)23，415，635，863，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，….解 (1)a n ＝2n ＋1. (2)a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性毁灭，因此，我们可以用sin n π2表示，故a n ＝sinn π2n .8．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？假如是，是第几项？ 解 (1)∵a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ， ∴a 8＝80，a 20＝440.(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)． ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 二、力气提升9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n ＝________.答案 13(1－110n )解析 ∵0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项是1－(0.1)n ＝1－110n ，∴数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n ＝13(1－110n )．10．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n ＝________.答案 2n ＋1解析 ∵3＝21＋1,5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，….∴a n ＝2n ＋1. 11．依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的确定值的排列规律为后面的数的确定值总比前面数的确定值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子均比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n ·2n －32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1， ∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.12．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 10＝21，通项a n 是项数n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式，并求出a 2 014；(2)若b n 由a 2，a 4，a 6，a 8，…组成，试归纳{b n }的一个通项公式． 解 (1)a n 是项数n 的一次函数，故可设a n ＝kn ＋b ， 又a 1＝3，a 10＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝3，10k ＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，a 2 014＝2×2 014＋1＝4 029. (2)∵{b n }是由{a n }的偶数项组成的， ∴b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)． 三、探究与拓展13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有很多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． (1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76，n <83.∴76<n <83. ∵n ∈N *，∴n ＝2，故区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

课时分层作业(七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12D [S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.]2．已知{a n }是等比数列，a 3＝1，a 6＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) C [∵a 3＝1，a 6＝18，∴q ＝12，∴a 1＝4，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n )．]3．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 1a 5＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172B [∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 1a 5＝1， ∴a 1·a 1q 4＝1，又a 1，q >0，∴a 1q 2＝1，即a 3＝1，S 3＝7＝1q 2＋1q ＋1，∴6q 2－q －1＝0，解得q ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－13舍去，∴a 1＝1q 2＝4，S 5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝314.]二、填空题4．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a ＝______. [解析] ∵S n ＝Aq n －A ，∴a ＝－1. [答案] －15．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，解得⎩⎨⎧q 2＝9，a 1＝19，所以a 1＝19.[答案]196．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝________. [解析] 设数列{a n }的公比为q ，则3116＝a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2∴1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝314， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝1a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝31. [答案] 317．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．[解析] 每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.[答案] 68．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．[解析] 由题意可知，q ≠1， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q.又∵S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，∴2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2－2q n ＝2－q n ＋1－q n ＋2， 即2＝q ＋q 2，∴q ＝－2(q ＝1不合题意舍去)． [答案] －2 三、解答题9．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第1年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式．[解] 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元，所以，总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n(万元)． 同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14 n －1万元．所以，总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. [能力提升练]1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B.13(2n－1)2 C ．4n －1D.13(4n －1) D [a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，即S n ＝2n －1，则S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，则a n＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1，a 2n＝4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n－1)．] 2．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________. [解析] 当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－a n 1－a .即S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (a ＝1)，1－a n1－a(a ≠1).[答案]⎩⎨⎧n (a ＝1)，1－a n 1－a(a ≠1)3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．[解析] 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)， ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.[答案]134．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1×32n .(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数，当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时， S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.。