【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)

第14课时 等比数列的前n 项和(3)【分层训练】1．已知数列{}n a 的通项公式为212n n a -=,则数列{}n a 的前5项和5S =( )A.312 B.62 C.3412D.682 2．已知等比数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和n S =( ) A.31n - B.3(31)n-C.914n - D.3(91)4n -3.等比数列{}n a 中,37a =,前三项和321S =,则公比q 的值为（ ）A.1B.12-C.1或12-D.1-或124.在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果1418a a +=, 2312a a +=,则这个数列的前8项之和8S =( )A.513B.512C.510D.22585．数列221,12,122,,122++++++12,n -+的前99项和为（ ）A.1002101-B. 992101-C. 100299-D. 99299- 6. 数列{}n a 满足1a ,21a a -,32a a -,…,1n n a a --是以1为首项，13为公比的等比数列，则{}n a 的通项公式n a = .7. 已知lgx+lgx 2+…+lgx 10=110，则lgx+lg 2x+…+lg 10x= .8. 某工厂月生产总值的平均增长率为q ,则年平增长率为 . 【拓展延伸】9．已知等差数列{n a }的第二项为8，前十项的和为185，从数列{n a }中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第n 2项按原来的顺序排成一个新数列{n b }，求数列{n b }的通项公式和前项和公式n S10. 某人自己创业，向银行贷款，有两种方案．甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利１万元，以后每年比上一年增加30％的利润．乙方案：每年贷款１万元，第一年可获利１万元，以后每年都比上一年增加利润0.5万元．两种方案使用期都是10年，到期一次性还本付息．若银行贷款利率均按年息10％的复利计算，试比较两种方案的优劣．。

第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用课后篇巩固探究A 组1.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前3项和为21,则a 3+a 4+a 5等于()A.33B.72C.84D.189S 3=a 1(1+q+q 2)=21,且a 1=3,得q+q 2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a 3+a 4+a 5=q 2(a 1+a 2+a 3)=22·S 3=84.2.已知数列{a n }的前n 项和S n =a n -1(a 是不为零且不等于1的常数),则数列{a n }()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列S n =a n -1符合S n =-Aq n +A 的形式,且a ≠0,a ≠1,所以数列{a n }一定是等比数列.3已知{a n }是等比数列,a 1=1,a 4=,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1等于()A.2(1-4-n )B.2(1-2-n )C.(1-4-n )D.(1-2-n )q ,∵a4a 1=q 3=,∴q=. ∵a 1=1,∴a n a n+1=1×(12)n -1×1×(12)n =21-2n .故a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+…+a n a n+1=2-1+2-3+2-5+…+21-2n=12(1-14n )1-14=(1-4-n ).4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏a 盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a 为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a (1-27)1-2=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.5.已知一个等比数列共有3m 项,若前2m 项之和为15,后2m 项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为 ()A.63B.72C.75D.87已知S 2m =15,S 3m -S m =60,又(S 2m -S m )2=S m (S 3m -S 2m )=S m (S m +60-S 2m ),解得S m =3,所以S 3m =60+3=63.答案A6在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 1=2,a 2,a 4+2,a 5成等差数列,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 10-S 4=.解析依题意有2(a 4+2)=a 2+a 5,设公比为q ,则有2(2q 3+2)=2q+2q 4,解得q=2.于是S 10-S 4=2(1-210)1-2−2(1-24)1-2=2 016.答案2 0167.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1·a n =2n (n ∈N *),则S 2 018=.解析∵a n+1·a n =2n (n ∈N *),a 1=1,∴a 2=2,a 3=2.又a n+2·a n+1=2n+1, ∴a n+2a n=2, ∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S 2 018=(a 1+a 3+…+a 2 017)+(a 2+a 4+…+a 2 018)=21 009-12-1+2(21 009-1)2-1=3·21 009-3.答案3·21 009-38.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252)解析设每期应付款x 元,第n 期付款后欠款A n 元,则A 1=2 000(1+0.007)-x=2 000×1.007-x ,A 2=(2 000×1.007-x )×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x ,……A 12=2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x ,因为A 12=0,所以2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x=0,解得x=2 000×1.007121+1.007+…+1.00711=2 000×1.007121.00712-11.007-1≈175,即每期应付款175元.答案1759在等差数列{a n }中,a 2+a 7=-23,a 3+a 8=-29.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n +b n }是首项为1,公比为|a 2|的等比数列,求{b n }的前n 项和S n .解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意得a 3+a 8-(a 2+a 7)=2d=-6,从而d=-3.所以a 2+a 7=2a 1+7d=-23,解得a 1=-1.所以数列{a n }的通项公式为a n =-3n+2.(2)由(1)得a 2=-4,所以|a 2|=4.而数列{a n +b n }是首项为1,公比为4的等比数列.所以a n +b n =4n-1,即-3n+2+b n =4n-1,所以b n =3n-2+4n-1,于是S n =[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+4+42+…+4n-1)=n (3n -1)2+1-4n 1-4=n (3n -1)2+4n -13. 10.导学号04994050已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n+1=S n ,n ∈N *,求:(1)a 2,a 3,a 4的值及数列{a n }的通项公式;(2)a 2+a 4+a 6+…+a 2n 的值.解(1)由a 1=1,a n+1=S n ,n=1,2,3,…,得21=a 1=,a 3=S 2=(a 1+a 2)=,a 4=S 3=(a 1+a 2+a 3)=1627.由a n+1-a n =13(S n -S n-1)=a n (n ≥2),得a n+1=a n (n ≥2),∵a 2=, ∴a n =13(43)n -2(n ≥2). ∴数列{a n }的通项公式为a n ={1,n =1,13(43)n -2,n ≥2.(2)由(1)可知,a 2,a 4,…,a 2n 是首项为,公比为(43)2,项数为n的等比数列, ∴a 2+a 4+a 6+…+a 2n=13·1-(43)2n 1-(43)2=37[(43)2n -1]. B 组1.在等比数列{a n }中,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=3,a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15,则a 1-a 2+a 3-a 4+a 5的值是()A.3B.√5C.-√5D.5 解析由题意可知等比数列{a n }的公比q ≠1,则a 1+a 2+…+a 5=a 1(1-q 5)1-q =3,a 12+a 22+…+a 52=a 12(1-q 10)1-q 2=15, ∴a 1(1+q 5)1+q =5,∴a 1-a 2+a 3-a 4+a 5=a 1[1-(-q )5]1-(-q )=a 1(1+q 5)1+q=5. 答案D2.已知某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元大约还需要 ()(参考数据:lg 1.01≈0.004,lg 1.06≈0.025,lg 1.1≈0.041,lg 1.6≈0.204)A.4年B.7年C.12年D.50年解析根据题意知每年的利润构成一个等比数列{a n },其中首项a 1=5 000,公比q=1+10%=1.1,S n =30 000.于是得到5 000(1-1.1n )1-1.1=30 000,整理得1.1n =1.6,两边取对数,得n lg 1.1=lg 1.6,解得n=lg1.6lg1.1≈5,故还需要4年.答案A3.已知等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,前n 项之积为T n ,且满足a 1>1,a 2 016a 2 017>1,a 2 016-1a 2017-1<0,则下列结论正确的是() A.q<0B.a 2 016a 2 018-1>0C.T 2 016是数列{T n }中的最大数D.S 2 016>S 2 017解析由已知,得a 2 016>1,a 2 017<1,所以前2 016项均大于1,0<q<1,S 2 016<S 2 017,T 2 016是数列{T n }中的最大数,a 2 016a 2 018与1的大小关系无法确定.故选C .答案C4已知等比数列{a n },其前n 项和为S n ,若S 30=13S 10,S 10+S 30=140,则S 20等于.解析易知q ≠1 (否则S 30=3S 10),由{S 30=13S 10,S 10+S 30=140,得{S 10=10,S 30=130,即{a 1(1-q 10)1-q =10,a 1(1-q 30)1-q =130, 所以q 20+q 10-12=0,所以q 10=3(负值舍去),故S 20=a 1(1-q 20)1-q =S 10×(1+q 10)=10×(1+3)=40.答案405.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =b n+1-2(b>0,b ≠1),则a 4=.解析当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(b-1)·b n .因为a 1=S 1=b 2-2,所以(b-1)b=b 2-2,解得b=2,因此n 2-2,于是a 4=S 4-S 3=16.答案166.导学号04994051如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,……如此下去,则前n 个内切圆的面积和为.解析根据题意知第一个内切圆的半径为√3×3=√3,面积为π,第二个内切圆的半径为√3,面积为316π,……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为π,公比为,故前n 个内切圆的面积之和为34π(1-14n )1-14=(1-14n)π. 答案(1-14n)π 7.已知正项等差数列{a n }的公差不为0,a 2,a 5,a 14恰好是等比数列{b n }的前三项,a 2=3.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ,若对任意的n ∈N *,k (T n +32)≥3n-6恒成立,求实数k 的取值范围.解(1)设公差为d ,根据题意知d ≠0,a 2=a 1+d ,a 5=a 1+4d ,a 14=a 1+13d. ∵(a 1+4d )2=(a 1+d )(a 1+13d ),a 1+d=3,∴3d 2-6d=0,∴d=2(d=0舍去).又a 2=3,d=2,∴a 1=1,a n =2n-1.∵b 1=a 2=3,b 2=a 5=9,b 3=a 14=27,∴b n =3n .(2)由(1)知b 1=3,q=3. ∵T n =b 1(1-q n )1-q =3(1-3n )1-3=3n+1-32, ∴(3n+1-32+32)k ≥3n-6对n ∈N *恒成立.∴T n >0,∴k ≥2n -43n 对n ∈N *恒成立.令c n =2n -43n ,c n -c n-1=2n -43n −2n -63n -1=-2(2n -7)3n , 当n ≤3时,c n >c n-1,当n ≥4时,c n <c n-1, ∴(c n )max =c 3=227,故k ≥227.8.导学号04994052已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=8,S 4=40.数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n -2b n +3=0,n ∈N *.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n ={a n ,n 为奇数,b n ,n 为偶数,求数列{c n }的前2n+1项和P 2n+1. 解(1)由题意知,{a 1+d =8,4a 1+6d =40,解得{a 1=4,d =4,∴a n =4n. ∵T n -2b n +3=0,∴当n=1时,b 1=3,当n ≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n =2b n-1(n ≥2),故数列{b n }为等比数列,且b n =3·2n-1.(2)由(1)知c n ={4n ,n 为奇数,3·2n -1,n 为偶数.∴P 2n+1=(a 1+a 3+…+a 2n+1)+(b 2+b 4+…+b 2n ) =(n+1)[4+4(2n+1)]2+6(1-4n )1-4=22n+1+4n2+8n+2.。

2021年高中数学 2.5等比数列及前n项和练习题新人教A版必修51．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项（）（A）380 （B）39 （C）35 （D）232．在等差数列中，公差，，则的值为（）（A）40 （B）45 （C）50 （D）553.一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（）（A）1997 （B）xx （C）xx （D）xx4．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（）A.40B.42C.43D.455．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C. 3D. 26.在等比数列｛a n｝中，a1＝1，a10＝3，则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （）A. 81B. 27C.D. 2437.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）(A) (B) (C) (D)8.设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A． B． C． D．9.设是等差数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．10设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12＝（）（A）310（B）13（C）18（D）19二、填空题1．在数列中，，且，则．2．等比数列的前三项为，，，则3．若数列满足：，2，3….则.4．设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝. 5．在数列中，若，，则该数列的通项三、解答题1．已知为等比数列，，求的通项式。

2．设等比数列的前n项和为，3．已知正项数列{an }，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.4．数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求?26589 67DD 柝36328 8DE8 跨29268 7254 牔0929546 736A 獪26143 661F 星;Q20700 50DC 僜23826 5D12 崒。

2.3.2 等比数列的前n项和(人教B版必修5)2.3.2 等比数列的前n项和(人教B版必修5)答题纸得分：一、选择题二、填空题11． 12． 13. 14.三、解答题15.16.17.18.19.2.3.2 等比数列的前n 项和(人教B 版必修5)答案一、选择题1.D 解析：由已知得31121118,12.a a q a q a q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得q ＝2或q =12. ∵ q 为整数，∴ q ＝2.∴ 12a ＝.∴ 8S ＝82(12)12--＝29－2＝510.2. A 解析：∵ 2580a a －＝，∴ 4118a q a q ＝，∴ 38q ＝，∴ 2q ＝，∴ 424221151S q q S q-==+=-. 3. D 解析：因为a 2a 3=2a 1⟹a 1 q 3=2⟹a 4=2，a 4+2a 72=54⟹a 7=14，所以q 3=a7a 4=18，所以a 1=16，q =12，S 5=a 1(1−q 5)1−q=31.4.B 解析：设等比数列为{}n a ，由已知得1122133241248a S a a S S a S S ＝＝＋，＝－＝，＝－＝，又 2213a a a ＝，即144＝(4＋a )×48，∴ a ＝－1. 5.B 解析：3q ＝52a a ＝2439＝27，q ＝3，21a a q＝＝3，443(13)13S --＝＝120.6.A 解析：设公比为q ，依题意得32280a a q ＋＝.∵ 20a ≠，∴ q ＝－2，∴()()55522221111121S q S q ---===----. 7.C 解析：显然q ≠1，由题意知 369(1)111q q q q --=--，∴ 319q ＋＝，∴ q ＝2，∴ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和5T ＝5112112⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝3116.8.C 解析：∵n a =∴ n S ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋1＝10.解得n ＝120.9.C 解析：由52aa ＝3q ＝142＝18知q ＝12，而新的数列1{}n n a a ＋仍为等比数列，且公比为2q ＝14.又12a a ＝4×2＝8，故12231n n a a a a a a L ＋＋＋＋1814114n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝＝323(1－4n －)．10.D 解析：∵ {}n a 为正项等比数列，241a a ＝，∴ 31a ＝.又∵ 313S ＝，∴ 公比1q ≠. 由 313(1)131a q S q -=-＝，2311a a q ＝＝，解得q ＝13，∴ 3333133n n n n a a q --⎛⎫= ⎪⎝⎭－＝＝，∴ 3log 3n n b a n ＝＝－. ∴ 12b ＝，107b ＝－.∴ 1101010()2b b S +＝＝10(5)2⨯-＝－25.二、填空题11.511 解析：∵ 1a ＝13＝11×3，2a ＝115＝13×5，3a ＝135＝15×7，4a ＝163＝17×9，5a ＝199＝19×11，∴ 原式＝12345a a a a a ＋＋＋＋＝1111111111123355779911⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝121111⎛⎫- ⎪⎝⎭＝511.12.13 解析：依题意123,2,3S S S 成等差数列，故有21343S S S ＝＋，当q ≠1时，有311113(1)4()1a q a a q a q --＋＝＋，由10a ≠，得230q q －＝，又0q ≠，故q ＝13；当q ＝1时，不成立．13.13(4n －1) 解析：∵ 112211312a S a S S ＝＝，＝－＝－＝，∴ 公比q ＝2.又∵ 数列2{}na 也是等比数列，首项为21a ＝1，公比为2q ＝4， ∴ 22212na a a L ＋＋＋＝141(41)143n n-=--．14.－65 解析：∵ 1444(1)(43)n n S n L －＝－－－＋＋－－， ∴ 2241144S ⨯＝－＝－，101145(1)(4113)21S ⨯⨯＝－＋－－＝，∴ 221165S S －＝－. 三、解答题15.解：由已知632S S ≠，则1q ≠.又3S ＝139，6S ＝3649，∴ 3161(1)13,19(1)364.19a q qa q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩①② ②÷①，得1＋3q ＝28，∴ q ＝3，1a ＝19.因此1313n n n a a q －－＝＝.16.解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵ 3660a a ＝－，＝，∴ 1126,50.a d a d +=-⎧⎨+=⎩解得110,2.a d =-⎧⎨=⎩∴ 10(1)2212n a n n ⨯＝－＋－＝－.(2)设等比数列{}n b 的公比为q ，∵ 212324b a a a ＝＋＋＝－，b 1＝－8，∴ 824q －＝－，∴ 3q ＝.∴ {}n b 的前n 项和为1(1)8(13)4(13)113n n n n b q S q ---==--＝－．17.解：(1)由+1113n n n S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－＝ ，得1n a ＋＝+113n ⎛⎫ ⎪⎝⎭()∈+N n .又1a ＝13，故n a ＝13n⎛⎫⎪⎝⎭()∈+N n .从而1113311112313nn n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝()∈+N n .(2)由(1)可得1S ＝13，2S ＝49，3S ＝1327，又由11223,(),3()S t S S S S ＋＋成等差数列可得13＋3×413927⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2×1439t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得t ＝2.18. 解：（1）设{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 5=a 1q 4=256，得q =4.所以a n =4n−1. 设{b n }的公差为d ，由b 1=2，5S 5=2S 8得d =3，所以b n =b 1+（n -1）d =3n -1.（2）因为T n =1×2+4×5+42×8+…+4n−1（3n -1），① 4T n =4×2+42×5+…+4n （3n -1），②②-①得3T n =-2-3（4+42+…+4n−1）+4n （3n -1）=2+（3n -2）·4n . 所以T n =(n -23)·4n +23.19.解：(1)∵ 211233333n n na a a a ⋅⋅⋅－＋＋＋＋＝， ①∴ 当n ≥2时，221231333n n a a a a L －－＋＋＋＋＝13n -. ② ①－②，得13n n a －＝13，∴ 13n n a ＝（n ≥2）.又1a ＝13满足上式，∴ 13n n a ＝()∈+N n ．(2)∵ n nnb a ＝，∴ 3n n b n ⋅＝.∴ 23323333n n S n ⨯⨯⋅L ＝＋＋＋＋. ③∴ 2313323(1)33n n n S n n ⨯⋅L ＋＝＋＋＋－＋. ④ ③－④，得231233333n n n S n ⋅L ＋－＝＋＋＋＋－13(13)313n n n -=-⋅-＋＝13(31)32n n n ⋅＋－－＝1133322n n n +⋅＋－－.∴ 11333442n n n n S ++⋅++＝－，∴ 1(21)3344n n n S +-+＝()∈+N n .。

2.3.2等比数列的前n 项和(人教B 版必修5)一、选择题（每小题3分，共30分）1．已知在等比数列{}n a 中，公比q 是整数，14a a ＋＝18，23a a ＋＝12，则此数列的前8项和为( ) A.514B.513C.512D.5102.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a －＝，则42S S ＝( ) A.5 B.8 C.－8 D.153.已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和.若a 2a 3=2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5=（） A.28B.29C.30D.314.已知等比数列的前n 项和n S ＝4n a ＋，则a ＝( ) A.－4B.－1C.0D.15.在等比数列{}n a 中，29a ＝，5243a ＝，则{}n a 的前4项和为( )A.81B.120C.168D.1926.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a ＋＝，则62S S ＝( ) A.－11B.－8C.5D.117.已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n项和，且369S S ＝，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116D.1588.数列{}n a 的通项公式是n a n 项和为10，则项数n ＝( ) A.11B.99C.120D.1219.已知{}n a 是等比数列，22a ＝，5a ＝14，则1223a a a a ＋1n n a a L ＋＋＋＝( ) A.16(14)n －－ B.16(12)n －－ C.32(14)3n －－ D.32(12)3n －－10.若正项等比数列{}n a 满足241a a ＝，313S ＝,3log n n b a ＝，则数列{}n b 的前10项和是( ) A.65B.－65 C.25D.－25二、填空题（每小题4分，共16分）11.13＋115＋135＋163＋199＝________.12.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q ＝________.13.在等比数列{}n a 中，若前n 项的和为21nn S ＝－，则22212na a a L ＋＋＋＝________.14.已知数列{}n a 的前n 项和n S ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋1(1)(43)n n －－－，则2211S S －＝________.三、解答题（共54分）15.（10分）在等比数列{}n a 中，3S ＝139，6S ＝3649，求n a .16.（10分）已知{}n a 为等差数列，且3660a a ＝－，＝. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足18b ＝－，2123b a a a ＝＋＋，求{}n b 的前n 项和．17.（10分）在数列{}n a 中，1a ＝13，前n 项和n S 满足1n n S S ＋－＝113n +⎛⎫⎪⎝⎭()+∈N n .(1)求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ； (2)若11223()3()，＋，＋S t S S S S 成等差数列，求实数t 的值．18.（12分）已知{a n }为等比数列，a 1=1，a 5=256，S n 为等差数列{b n }的前n 项和，b 1=2，5S 5=2S 8. （1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）设T n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ，求T n .19.（12分）设数列{}n a 满足211233333n n na a a a L －＋＋＋＋＝()∈+N n .(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设n nnb a ＝，求数列{}n b 的前n 项和n S .2.3.2等比数列的前n 项和(人教B 版必修5)答题纸得分： 一、选择题二、填空题11． 12． 13. 14. 三、解答题 15. 16. 17.18.19.2.3.2等比数列的前n 项和(人教B 版必修5)答案一、选择题1.D 解析：由已知得31121118,12.a a q a q a q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得q ＝2或q =12. ∵q 为整数，∴q ＝2.∴12a ＝.∴8S ＝82(12)12--＝29－2＝510.2.A 解析：∵2580a a －＝，∴4118a q a q ＝，∴38q ＝，∴2q ＝，∴424221151S q q S q-==+=-. 3.D 解析：因为a 2a 3=2=2⟹a 4=2，a 4+2a 72=54⟹a 7=14，所以q 3=a7a 4=18，所以a 1=16，q =12，S 5=a 1(1−q 5)1−q=31.4.B 解析：设等比数列为{}n a ，由已知得1122133241248a S a a S S a S S ＝＝＋，＝－＝，＝－＝，又2213a a a ＝，即144＝(4＋a )×48，∴a ＝－1. 5.B 解析：3q ＝52a a ＝2439＝27，q ＝3，21a a q＝＝3，443(13)13S --＝＝120.6.A 解析：设公比为q ，依题意得32280a a q ＋＝.∵20a ≠，∴q ＝－2，∴()()55522221111121S q S q ---===----. 7.C 解析：显然q ≠1，由题意知369(1)111q q q q --=--，∴319q ＋＝，∴q ＝2，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和5T ＝5112112⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝3116.8.C 解析：∵n a ，∴n S ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋1＝10.解得n ＝120.9.C 解析：由52aa ＝3q ＝142＝18知q ＝12，而新的数列1{}n n a a ＋仍为等比数列，且公比为2q ＝14.又12a a ＝4×2＝8，故12231n n a a a a a a L ＋＋＋＋1814114n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝＝323(1－4n －)．10.D 解析：∵{}n a 为正项等比数列，241a a ＝，∴31a ＝.又∵313S ＝，∴公比1q ≠. 由313(1)131a q S q -=-＝，2311a a q ＝＝，解得q ＝13，∴3333133n n n n a a q --⎛⎫= ⎪⎝⎭－＝＝，∴3log 3n n b a n ＝＝－. ∴12b ＝，107b ＝－.∴1101010()2b b S +＝＝10(5)2⨯-＝－25.二、填空题11.511解析：∵1a ＝13＝11×3，2a ＝115＝13×5，3a ＝135＝15×7，4a ＝163＝17×9，5a ＝199＝19×11，∴原式＝12345a a a a a ＋＋＋＋＝1111111111123355779911⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝121111⎛⎫- ⎪⎝⎭＝511.12.13解析：依题意123,2,3S S S 成等差数列，故有21343S S S ＝＋，当q ≠1时，有311113(1)4()1a q a a q a q--＋＝＋，由10a ≠，得230q q －＝，又0q ≠，故q ＝13；当q ＝1时，不成立．13.13(4n －1)解析：∵112211312a S a S S ＝＝，＝－＝－＝，∴公比q ＝2.又∵数列2{}na 也是等比数列，首项为21a ＝1，公比为2q ＝4， ∴22212na a a L ＋＋＋＝141(41)143n n-=--．14.－65解析：∵1444(1)(43)n n S n L －＝－－－＋＋－－， ∴2241144S ⨯＝－＝－，101145(1)(4113)21S ⨯⨯＝－＋－－＝，∴221165S S －＝－. 三、解答题15.解：由已知632S S ≠，则1q ≠.又3S ＝139，6S ＝3649，∴3161(1)13,19(1)364.19a q qa q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩①② ②÷①，得1＋3q ＝28，∴q ＝3，1a ＝19.因此1313n n n a a q －－＝＝.16.解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3660a a ＝－，＝，∴1126,50.a d a d +=-⎧⎨+=⎩解得110,2.a d =-⎧⎨=⎩∴10(1)2212n a n n ⨯＝－＋－＝－.(2)设等比数列{}n b 的公比为q ，∵212324b a a a ＝＋＋＝－，b 1＝－8，∴824q －＝－，∴3q ＝.∴{}n b 的前n 项和为1(1)8(13)4(13)113n n n n b q S q ---==--＝－．17.解：(1)由+1113n n n S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋－＝，得1n a ＋＝+113n ⎛⎫ ⎪⎝⎭()∈+N n .又1a ＝13，故n a ＝13n⎛⎫⎪⎝⎭()∈+N n .从而1113311112313nn n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝()∈+N n .(2)由(1)可得1S ＝13，2S ＝49，3S ＝1327，又由11223,(),3()S t S S S S ＋＋成等差数列可得13＋3×413927⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2×1439t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得t ＝2.18.解：（1）设{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 5=a 1q 4=256，得q =4.所以a n =4n−1. 设{b n }的公差为d ，由b 1=2，5S 5=2S 8得d =3，所以b n =b 1+（n -1）d =3n -1.（2）因为T n =1×2+4×5+42×8+…+4n−1（3n -1），① 4T n =4×2+42×5+…+4n （3n -1），②②-①得3T n =-2-3（4+42+…+4n−1）+4n （3n -1）=2+（3n -2）·4n .所以T n =(n -23)·4n +23.19.解：(1)∵211233333n n na a a a ⋅⋅⋅－＋＋＋＋＝，①∴当n ≥2时，221231333n n a a a a L －－＋＋＋＋＝13n -.②①－②，得13n n a －＝13，∴13n n a ＝（n ≥2）.又1a ＝13满足上式，∴13n n a ＝()∈+N n ．(2)∵n nnb a ＝，∴3n n b n ⋅＝.∴23323333n n S n ⨯⨯⋅L ＝＋＋＋＋.③∴2313323(1)33n n n S n n ⨯⋅L ＋＝＋＋＋－＋.④ ③－④，得231233333n n n S n ⋅L ＋－＝＋＋＋＋－13(13)313n n n -=-⋅-＋＝13(31)32n n n ⋅＋－－＝1133322n n n +⋅＋－－.∴11333442n n n n S ++⋅++＝－，∴1(21)3344n n n S +-+＝()∈+N n .。

第二章 2.5第1课时一、选择题1．设等比数列{a n}的前n项和S n，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于() A．210＋2B．29－2C．210－2 D．211－2[答案] D[解析]∵q＝a2a1＝2，∴S10＝2(1－210)1－2＝2(210－1)＝211－2，选D．2．等比数列{a n}的前n项和S n＝3n＋a，则a的值为()A．3 B．0C．－1 D．任意实数[答案] C[解析]S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，186＝63＋a，所以a＝－1.3．设数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，且S3＝3a3，则公比q的值为() A．－12B．12C．1或－12D．－1或12[答案] C[解析]当q＝1时，S3＝3a1＝3a3符合题意；当q≠1时，S3＝a1(1－q3)1－q＝3a1q2.∵a1≠0，∴1－q3＝3q2(1－q)．由1－q≠0，两边同时约去1－q，得1＋q＋q2＝3q2，即2q2－q－1＝0，解得q＝－12.综上，公比q＝1，或q＝－12.4．已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝()A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．323(1－4－n )D ．323(1－2－n )[答案] C[解析] ∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12.∴a n ·a n ＋1＝4·(12)n －1·4·(12)n ＝25－2n ，故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝8(1－14n )1－14＝323(1－4－n )．5．(2014·大纲全国卷文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64[答案] C[解析] 解法1：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15，∴q ＝2. ∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63.解法2：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9 C ．63 D ．7或63[答案] D[解析] 由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列， ∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)， 即(21－S 10)2＝S 10(49－21)， ∴S 10＝7或63. 二、填空题7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________． [答案] 127[解析] 设数列{a n }的公比为q (q >0)， 则有a 5＝a 1q 4＝16，∴q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.8．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，则项数n ＝________. [答案] 5[解析] 由S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2n －1)＝93，a 1·2n －1＝48⇒2n ＝32⇒n ＝5. 三、解答题9．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n . [解析] (1)由题设，知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得 1＋2d 1＝1＋8d1＋2d， 解得d ＝1，或d ＝0(舍去)． 故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式，得 S n＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2. 10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解析] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2， ∴q ＝1不满足题意． ∴2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－12.(2)由(1)知q ＝12，又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3，∴a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83[1－(－12)n ].一、选择题1．若等比数列{a n }各项都是正数，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84[答案] D[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝21， 又∵a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7， ∵a n >0，∴q >0，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22×21＝84.2．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．2或－1 [答案] C[解析] S 4＝1，S 8＝S 4＋q 4·S 4＝1＋q 4＝17∴q ＝±2.3．在各项为正数的等比数列中，若a 5－a 4＝576，a 2－a 1＝9，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值是( )A ．1 061B ．1 023C ．1 024D ．268 [答案] B[解析] 由a 4(q －1)＝576，a 1(q －1)＝9， ∴a 4a 1＝q 3＝64，∴q ＝4，∴a 1＝3， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3×(45－1)4－1＝1 023.4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A ．152B ．314C ．334D ．172[答案] B[解析] {a n }是正数组成的等比数列，∴a 3＝a 2a 4＝1，又S 3＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝1a 1(1－q 3)1－q＝7，消去a 1得，q 2＋q ＋1q 2＝7，解之得q ＝12，∴a 1＝4，∴S 5＝4×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.二、填空题5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. [答案] 3[解析] 若q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，显然S 6≠4S 3，故q ≠1， ∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，∴1＋q 3＝4，∴q 3＝3.∴a 4＝a 1q 3＝3.6．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.[答案] 2[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240S 奇－S 偶＝80，解得S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.三、解答题7．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，首项a 1＝12.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝72，12＋12q ＋12q 2＝72.q 2＋q －6＝0， (q ＋3)(q －2)＝0 q ＝2或q ＝－3.(舍) ∴a n ＝a 1·q n －1＝2n －2. (2)b n ＝6n －61＋log 22n －2 ＝6n －61＋n －2＝7n －63.b n －b n －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7， ∴数列{a n }是等差数列．又b 1＝－56，∴T n ＝nb 1＋12n (n －1)×7＝－56n ＋12n (n －1)×7＝72n 2－1192n . 8．(2014·北京文，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1， 从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)． (2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。

一、本节学习目标1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明方法；2.灵活应用等比数列的前n 项和公式解决有关问题；二、重难点指引重点：等比数列的前n 项和公式推导和应用；难点：等比数列的前n 项和公式灵活应用及将实际问题转化为数学问题（数学建模）．三、学法指导1．由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，注意推导方法“错位相减法”落实；2．重视分类讨论的数学思想方法的指导作用.四、教材多维研读▲ 一读教材1．前n 项和公式的推导方法：_________________2．设等比数列{}n a ，它的前n 项和12...n n s a a a =+++，公比为q ≠0.(1)当1=q 时则1na s n =(2)当1≠q 时，若已知1a 和q ，则用公式_________=n S 较好；若已知n a 和q ，则用公式_________=n S 较好.3．若等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足{}n S 是等差数列，则{}n a 的公比q ＝ ．4．当1≠q 时，=--=q q a S n n 1)1(1n q q a -11qa --11，可以看做___________函数与_________函数的复合函数.5．{}n a 是___________数列B Aq S n n +=⇔其中____B A ____q ,A =+≠；0.6．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且0≠n S ，则n n n n n S S S S S 232,,--成 数列． ▲ 二读教材1．在等比数列{}n a 中，若14a =-，12q =，则10S =________；若11a =，243k a =，3q =，则k S =_________．2．若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则常数a 的值等于（ ） 若等比数列{}n a 的前n 项和为a 31n n +=+S ，则常数a 的值等于（ ）A ．13-B ．1-C ．13D ．3- 3．已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（ ） A ．50 B ．70 C ．80 D ．904．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S =( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3 5．已知数列{}n a 是等比数列，16,252==a a ，则______13221=++++n n a a a a a a Λ. ▲ 三读教材1．求数列11111,2,3,,,2482n n ++++L L 的前n 项和． (2)求和：1321-+++++n aa a a Λ五、典型例析 例1 在等比数列{}n a 中，661=+n a a ， 12821=⋅-a a n ， 126=n S ，求项数n 和公比q 的值．例2 设等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求首项、公比q 及项数n ．例3 设{}n a 是等比数列，求证：n n n n n S S S S S 232,,--成等比数列．例4 某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．六、课后自测◆ 基础知识自测1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）. A. 11n a a -- B. 111n a a+-- C. 211n a a +-- D. 以上都不对 2. 在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为（ ） A.4 B.5 C .6 D .73．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）A ．180 B.10 C.75 D.634. 等比数列{}n a 中，a 4=21，a 9=16则S 5的值为_______ 5.已知数列)}({*∈N n a n 是等比数列，公比为q ，如果有,18321=++a a aqa a a a --=++1,91432那么的值是 . ◆ 能力提升自测 1.等比数列{}n a 共2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = .2.若等比数列{}n a 的前n 项和为,13-=n n S 求2232221...n a a a a ++++=___________ 3．等比数列{}n a 中，)0(109≠=+a a a a ，b a a =+2019，则=+10099a a .4. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，143=n S ，则4n S 等于（ ）A ．80B ．30C ．26D ．16 ◆ 智能拓展训练1. 已知函数()()21-=x x f ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列(1≠q )，若()()()()1,1,1,13131+=-=+=-=q f b q f b d f a d f a(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2) 设数列{}n c 对任意的自然数n 均有： ()122111++=+++n n n a n b cb c b c Λ，求数列{}n c 前n 项和S n ．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、本节学习目标1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明方法；2.灵活应用等比数列的前n 项和公式解决有关问题；二、重难点指引重点：等比数列的前n 项和公式推导和应用；难点：等比数列的前n 项和公式灵活应用及将实际问题转化为数学问题（数学建模）．三、学法指导1．由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，注意推导方法“错位相减法”落实；2．重视分类讨论的数学思想方法的指导作用.四、教材多维研读▲ 一读教材1．前n 项和公式的推导方法：_________________2．设等比数列{}n a ，它的前n 项和12...n n s a a a =+++，公比为q ≠0.(1)当1=q 时则1na s n =(2)当1≠q 时，若已知1a 和q ，则用公式_________=n S 较好；若已知n a 和q ，则用公式_________=n S 较好.3．若等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足{}n S 是等差数列，则{}n a 的公比q ＝ ．4．当1≠q 时，=--=q q a S n n 1)1(1n q q a -11qa --11，可以看做___________函数与_________函数的复合函数.5．{}n a 是___________数列B Aq S n n +=⇔其中____B A ____q ,A =+≠；0.6．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且0≠n S ，则n n n n n S S S S S 232,,--成 数列． ▲ 二读教材1．在等比数列{}n a 中，若14a =-，12q =，则10S =________；若11a =，243k a =，3q =，则k S =_________．2．若等比数列{}n a 的前n 项之和3n n S a =+，则常数a 的值等于（ ） 若等比数列{}n a 的前n 项和为a 31n n +=+S ，则常数a 的值等于（ ） A ．13- B ．1- C ．13D ．3- 3．已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（ ）A ．50B ．70C ．80D ．904．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S =( ) A ．2 B ．73 C ．83D ．3 5．已知数列{}n a 是等比数列，16,252==a a ，则______13221=++++n n a a a a a a . ▲ 三读教材1．求数列11111,2,3,,,2482n n ++++的前n 项和．(2)求和：1321-+++++n aa a a五、典型例析例1 在等比数列{}n a 中，661=+n a a ， 12821=⋅-a a n ， 126=n S ，求项数n 和公比q 的值．例2 设等比数列{}n a 的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求首项、公比q 及项数n ．例3 设{}n a 是等比数列，求证：n n n n n S S S S S 232,,--成等比数列．例4 某人从2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购房，贷款的月利率为3.375%，并按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月开始归还．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？说明：对于分期付款，银行有如下的规定：（1）分期付款按复利计息，每期所付款额相同，在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利和等于商品售价的本利和．六、课后自测◆ 基础知识自测1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）. A. 11n a a -- B. 111n a a+-- C. 211n a a +-- D. 以上都不对2. 在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项和为778，则数列的项数为（ ） A.4 B.5 C .6 D .73．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）A ．180 B.10 C.75 D.634. 等比数列{}n a 中，a 4=21，a 9=16则S 5的值为_______ 5.已知数列)}({*∈N n a n 是等比数列，公比为q ，如果有,18321=++a a aqa a a a --=++1,91432那么的值是 . ◆ 能力提升自测 1.等比数列{}n a 共2n 项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q = .2.若等比数列{}n a 的前n 项和为,13-=n n S 求2232221...n a a a a ++++=___________ 3．等比数列{}n a 中，)0(109≠=+a a a a ，b a a =+2019，则=+10099a a .4. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，143=n S ，则4n S 等于（ ）A ．80B ．30C ．26D ．16◆ 智能拓展训练1. 已知函数()()21-=x x f ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，数列{}n b 是公比为q 的等比数列(1≠q )，若()()()()1,1,1,13131+=-=+=-=q f b q f b d f a d f a(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2) 设数列{}n c 对任意的自然数n 均有： ()122111++=+++n n n a n b cb c b c ，求数列{}n c 前n 项和S n ．。

等比数列前n 项和（强化训练）1、 在等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,且前n 项和Sn=126,求n 及公比q.答案：n=6,公比q=2或q=21.解析：∵a1an=a2an-1=128,a1+an=66,∴a1,an 是方程x2-66x+128=0的两根,解方程得x1=2,x2=64.∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.若a1=2,an=64,由Sn=q qa a n --11=126,得q=2.由an=a1qn-1,得2n-1=32.∴n=6.若a1=64,an=2,同理可得q=21,n=6.综上所述,知n=6,公比q=2或q=21.2、若等比数列{an}的前n 项和Sn=3n+a,则a 等于() A.-4B.-2C.0D.-1答案:D解析:a1=S1=3+a,a2=S2-S1=32-3=6,a3=S3-S2=33-32=18.由a1a3=a22,得a=-1.2、 在等比数列{an}中,S3=27,S6=263,求an.答案：an=2n-2.解析:由已知S6≠2S3,得q≠1.又S3=27,S6=263, 即q q a --1)1(31=27,q q a --1)1(61=263.两式相除,得1+q3=9,∴q=2.代入方程,得a1=21.∴an=2n-2.3、设等比数列{an}的公比为q ，前n 项和Sn ＞0（n=1，2，…）,（1）求q 的取值范围；（2）设bn=an+2-23an+1,记{bn}的前n 项和为Tn ，试比较Sn 和Tn 的大小．解析:（1）因为{an}是等比数列，Sn ＞0,可得a1=S1＞0,q≠0.当q=1时,Sn=na1＞0.当q≠1时,Sn=q q a n --1)1(1＞0，即q q n--11＞0(n=1,2,…),上式等价于不等式组)1(01,01⎩⎨⎧<-<-n q q 或⎩⎨⎧>->-01,01n q q ②（n=1，2，…）. 解①式,得q ＞1；解②式，由于n 可为奇数、可为偶数，得-1＜q ＜1.综上，q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).（2）由bn=an+2-23an+1,得bn=an(q2-23q),∴Tn=(q2-23q)Sn.于是Tn-Sn=Sn(q2-23q-1)=Sn(q+21)(q-2).又∵Sn ＞0且-1＜q ＜0或q ＞0,当-1＜q ＜-21或q ＞2时,Tn-Sn ＞0,即Tn ＞Sn;当-21＜q ＜2且q≠0时，Tn-Sn ＜0,即Tn ＜Sn;当q=-21或q=2时，Tn-Sn=0,即Tn=Sn ．4、（2006四川高考，文17）数列{an}的前n 项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1).（1）求{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n 项和为Tn ，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn ．答案：an=3n-1. Tn= n2+2n.解析：（1）由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n≥2).两式相减,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2). 又a2=2S1+1=3, ∴a2=3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列.∴an=3n-1.（2）设{bn}的公差为d,由T3=15,得b1+b2+b3=15,则b2=5.故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意,得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.解得d1=2,d2=-10.∵等差数列{bn}的各项为正，∴d ＞0.∴d=2.∴b1=3.∴Tn=3n+2)1(-n n ×2=n2+2n.5、求数列的前n 项和．-1,4,-7,10,… ,(-1)n(3n-2),…;解析:(1)n 为偶数时，令n=2k(k ∈N*)，则Sn=S2k=(-1+4)+(-7+10)+…+［(-1)2k-1(6k-5)+(-1)2k(6k-2)］=3k=23n（相邻两项和为3）； n 为奇数时，令n=2k+1(k ∈N*)，则Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=213+-n ．所以Sn=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-.,23,,213为偶数为奇数n n n n6、1,.,3211,,43211,3211,211 n ++++++++++答案：Sn=12+n n.解析：∵an=)111(2)1(2+-=+n n n n , ∴Sn=2［(1-21)+(21-31)+( 31-41)+…+(n 1-11+n )］ =2(1-11+n )=12+n n.。

2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列的前n 项和课后篇巩固提升基础巩固1.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n ,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 10等于( ) A.10B.210C.a 10-2D.211-2∵a n+1an=2n+12n=2,∴数列{a n }是公比为2的等比数列,且a 1=2.∴S 10=2(1-210)1-2=211-2.2.在等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为 ( )A.81B.120C.168D.192因为a5a 2=27=q 3,所以q=3,a 1=a 2q =3,S 4=3(1-34)1-3=120.3.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S n a n=( ) A.4n-1B.4n -1C.2n-1D.2n -1q ,则q=a 2+a4a 1+a 3=12,于是a 1+14a 1=52,因此a 1=2,于是S n =2[1-(12)n]1-12=4[1-(12)n ],而a n =2(12)n -1=(12)n -2,于是Sn a n=4[1-(12)n](12)n -2=2n -1.4.在14与78之间插入n 个数组成一个等比数列,若各项总和为778,则此数列的项数为( ) A .4 B .5C .6D .7a 1=14,a n+2=78,则S n+2=14-78q 1-q=778, 解得q=-12.所以a n+2=14·(-12)n+1=78,解得n=3.故该数列共5项.5.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=20,S 30=140,则S 40=( ) A.280B.300C.320D.340{a n }的公比为q ≠1.∵S 10=10,S 30=70,∴a 11-q (1-q 10)=20,a11-q(1-q 30)=140, 联立解得q 10=2,a 11-q =-20,则S 40=a11-q (1-q 40)=-20×(1-24)=300,故选B .6.对于等比数列{a n },若a 1=5,q=2,S n =35,则a n = .S n =a 1-a nq1-q ,得a n =a 1-(1-q )S nq=5+352=20.7.在等比数列{a n }中,设前n 项和为S n ,若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= .a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,两式相减,得a 4-a 3=2a 3,即a 4=3a 3,所以q=a43=3.8.已知等比数列{a n }是递减数列,S n 是{a n }的前n 项和,若a 1,a 2是方程2x 2-3x+1=0的两个根,则S 5= .a 1,a 2是方程2x 2-3x+1=0的两根,且等比数列{a n }是递减数列,∴a 1=1,a 2=12,则公比q=12,∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=1-1251-12=3116.9.已知等比数列{a n }满足a 3=12,a 8=38,记其前n 项和为S n . (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)若S n =93,求n.设等比数列{a n }的公比为q ,则{a 3=a 1q 2=12,a 8=a 1q 7=38,解得{a 1=48,q =12, 所以a n =a 1q n-1=48·(12)n -1.(2)S n =a 1(1-q n )1-q=48[1-(12)n]1-12=96[1-(12)n].由S n =93,得96[1-(12)n]=93,解得n=5.10.已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为b ,方程ax 2-3x+2=0的解为1和b (b ≠1). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }满足b n =a n ·2n ,求数列{b n }的前n 项和T n .因为方程ax 2-3x+2=0的两根为x 1=1,x 2=b ,可得{a -3+2=0,ab 2-3b +2=0,解得{a =1,b =2.所以a n =2n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)·2n ,所以T n =b 1+b 2+…+b n =1×2+3×22+…+(2n-1)·2n , ① 2T n =1×22+3×23+…+(2n-3)·2n +(2n-1)·2n+1,②由①-②,得-T n =1×2+2×22+2×23+…+2·2n -(2n-1)·2n+1=2(2+22+23+…+2n )-(2n-1)·2n+1-2=2·2(1-2n )1-2-(2n-1)·2n+1-2=(3-2n )·2n+1-6.所以T n =(2n-3)·2n+1+6.能力提升1.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2n =3(a 1+a 3+…+a 2n-1),a 1a 2a 3=8,则S n =( ) A.2n -1 B.2n-1-1 C.2n+1-1D.2n +1q ≠1,由已知,得a 1(1-q 2n )1-q =3×a 1(1-q 2n )1-q 2, 整理,得q=2.因为a 1a 2a 3=8,所以a 23=8,所以a 2=2,从而a 1=1.于是S n =1-2n =2n-1.2.已知数列{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1a n}的前5项和为( ) A .158或5 B .3116或5C .3116D .158q ≠1.由9S 3=S 6,得9·a 1(1-q 3)1-q=a 1(1-q 6)1-q ,解得q=2.所以{1a n}是首项为1,公比为12的等比数列.所以其前5项和为S 5=1×[1-(12)5]1-12=3116.3.在等比数列{a n }中,a 1+a 2+…+a 5=27,11+12+…+15=3,则a 3=( )A.±9B.9C.±3D.3q ,则由已知可得{a 1(1-q 5)1-q=27,1a 1[1-(1q)5]1-1q=3,两式相除,得a 12q 4=9,即a 32=9,所以a 3=±3.4.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 1,S 3,S 2成等差数列,则{a n }的公比q= .,得a 1+(a 1+a 1q )=2(a 1+a 1q+a 1q 2),又a 1≠0,q ≠0,故q=-12. -12 5.1+322+423+…+n2n -1+n+12n= .S n =1+322+423+…+n2n -1+n+12n ,则12S n =222+323+424+…+n2n+n+12n+1,两式相减,得12S n =1+122+123+…+12n −n+12n+1=12+12[1-(12)n]1-12−n+12n+1=32−(12)n−n+12n+1.所以S n =3-n+32n.-n+32n6.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3+S 6=2S 9,则公比q 等于 .q=1,S 3+S 6=3a 1+6a 1=9a 1≠2S 9.∴q ≠1,∴a 1(1-q 3)1-q +a 1(1-q 6)1-q=2a 1(1-q 9)1-q, 即 2q 9-q 6-q 3=0,∴q 3(2q 6-q 3-1)=0.∵q ≠0,∴2q 6-q 3-1=0,∴(q 3-1)(2q 3+1)=0,∴q 3=-12或q 3=1(舍),∴q=-√432.-√4327.已知等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,a 52=9a 4a 8.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =a n -a n-1,求数列{b n }的前n 项和S n .设{a n }的公比为q ,则由a 52=9a 4a 8,得(a 1q 4)2=9a 1q 3·a 1q 7,即a 12q 8=9a 12q 10,因此q 2=19. 因为{a n }的各项均为正数,所以q>0,所以q=13. 又因为2a 1+3a 2=1,所以2a 1+3a 1·13=1,解得a 1=13,故a n =13·(13)n -1,即a n =(13)n.(2)由(1)得b n =a n -a n-1=(13)n−(13)n -1=-23·(13)n -1,所以{b n }是首项为-23,公比为13的等比数列,因此其前n 项和S n =-23[1-(13)n]1-13=(13)n -1.8.已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +n 2-1,数列{b n }满足3n ·b n+1=(n+1)a n+1-na n ,且b 1=3. (1)求a n ,b n ;(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和,求T n .当n ≥2时,S n =a n +n 2-1,S n-1=a n-1+(n-1)2-1,两式相减,得a n =a n -a n-1+2n-1,∴a n-1=2n-1.∴a n =2n+1.∴3n ·b n+1=(n+1)(2n+3)-n (2n+1)=4n+3. ∴b n+1=4n+33n,∴当n ≥2时,b n =4n -13n -1.又b 1=3适合上式,∴b n =4n -13n -1.(2)由(1)知b n =4n -13n -1,∴T n =31+73+1132+…+4n -53n -2+4n -13n -1,①13T n =33+732+1133+…+4n -53n -1+4n -13n ,② ①-②,得23T n =3+43+432+…+43n -1−4n -13n=3+4·13(1-13n -1)1-13−4n -13n =5-5+4n3n .∴T n =152−4n+52·3n -1.。